HIỆU ỨNG COMTON với ÁNH ÁNG

MÃ: C4
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi

HIỆU ỨNG COMPTON &
HIỆU ỨNG DOPPLER ĐỐI VỚI SÓNG ÁNH SÁNG

MỤC LỤC
1


A
MỞ ĐẦU
1. Lí do chon đề tài
2. Mục tiêu của đề tài
3. Đối tượng và phạm vi áp dụng
B
NỘI DUNG
Chuyên đề thứ nhất: HIỆU ỨNG COMPTON
I. TÓM TẮT THUYẾT PHOTON ÁNH SÁNG
II. HIỆU ỨNG COMPTON
1. Thí nghiệm
2. Lý thuyết hiệu ứng Compton
a. Giải thích hiệu ứng Compton trên cơ sở thuyết lượng tử ánh
sáng
b. Giải thích hiệu ứng Compton trên cơ sở thuyết sóng ánh sáng
c. Giải thích hiệu ứng Compton không xảy ra với ánh sáng nhìn
thấy.
III BÀI TẬP VÍ DỤ

3
3

3
3
4
4
4
4
4
5
5
7
8
9

.
Chuyên đề thứ hai: HIỆU ỨNG DOPPLER ĐỐI VỚI SÓNG
ÁNH SÁNG
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
II. BÀI TẬP VÍ DỤ

16
16
18

C

BÀI TẬP ÁP DỤNG
I. BÀI TẬP HIỆU ỨNG COMPTON
II. BÀI TẬP HIỆU ỨNG DOPPLER ĐỐI VỚI SÓNG ÁNH SÁNG
D
KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

A. MỞ ĐẦU
2

20
20
22
26
27


1. Lí do chọn đề tài
Trong đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia, những bài toán liên quan đến hiệu ứng
Compton và Hiệu ứng Doppler là những vấn đề có trong chương trình ; do đó việc
biên soạn và sưu tầm những bài toán về hiệu ứng Doppler và hiệu ứng Compton để
bồi dưỡng cho học sinh là rất cần thiết.
Trong chuyên đề này, nội dung chủ yếu tập trung vào hai chuyên đề đó là Hiệu
ứng Compton và Hiệu ứng Doppler đối với ánh sáng, đặc biệt trong Hiệu ứng
Compton có sử dụng đến các kiến thức của vật lý hiện đại như các công thức tương
đối tính.
Trong một số tài liệu còn khẳng định cực đoan rằng hiệu ứng Compton chỉ giải
thích được bằng lý thuyết hạt của ánh sáng-điều này là sai lầm, vì hiệu ứng
Compton còn có thể giải thích được bằng lý thuyết sóng ánh sáng. Trong đề tài
này tác giả cũng sẽ đề cập đến vấn đề này khi giải thích hiệu ứng Compton thông
qua hiệu ứng Doppler.
Đây là một vấn đề khó, tuy nhiên khả năng của người viết còn có nhiều hạn chế,
nên không tránh khỏi những khiếm khuyết, rất mong được bạn đọc thông cảm.
2. Mục tiêu của đề tài
Mục tiêu của chuyên đề này là hệ thống các kiến thức về lý thuyết và bài tập để

bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi chọn học sinh giỏi quốc gia hằng năm.
Nội dung của chuyên đề dựa trên chương trình, nội dung , mức độ của các đề thi
chọn đội tuyển học sinh dự thi quốc gia và các đề thi olympic quốc tế đã tổ chức
trong các năm qua.
3. Đối tượng và phạm vi tác động
Tài liệu này được dùng để bồi dưỡng những học sinh giỏi dự thi chọn học sinh
quốc gia .
Nội dung gồm hai chuyên đề, chuyên đề thứ nhất về Hiệu ứng Compton, chuyên
đề thứ hai về Hiệu ứng Doppler đối với ánh sáng
3


B. NỘI DUNG
Chuyên đề thứ nhất
HIỆU ỨNG COMPTON
I. Tóm tắt Thuyết photon ánh sáng của Einstein:
- Bức xạ điện từ là dòng các hạt gọi là lượng tử ánh sáng hay photon.
c
λ

- Mỗi photon có năng lượng ε = hf = h ; với c = 3.108 m / s là tốc độ ánh sáng
trong chân không, h = 6, 625.10−34 J .s là hằng số plank.
- Vật hấp thụ hay phát xạ sóng điện từ là hấp thụ hay phát xạ photon.
- Khối lượng photon m =

h
là khối lượng tương đối tính.
cλ

- Xung lượng hay động lượng của photon p = mc =

h hf
=
λ c

II. Hiệu ứng Compton:
1. Thí nghiệm
Năm 1923, khi nghiên cứu hiện tượng
tán xạ tia X trên các nguyên tử nhẹ
(parafin, grafit…), Compton đã thu được
kết quả rất đặc biệt: chùm tia X đơn sắc,
hẹp, bước sóng λ khi rọi vào vật tán xạ
A (là khối parafin, grafit…), thì một phần xuyên qua A, phần còn lại bị tán xạ.
Phần tia X bị tán xạ được thu bằng một máy quang phổ tia X, quan sát trên kính
ảnh ngoài vạch có bước sóng λ của tia X tới, còn có một vạch (có cường độ yếu
hơn), ứng với bước sóng λ’>λ. Đồng thời thí nghiệm cũng cho thấy độ lệch
∆λ=λ’-λ tăng theo góc tán xạ θ (mà không phụ thuộc bước sóng λ) theo hệ thức
∆λ = λ '− λ =

Với λc =

h
θ
(1 − cos θ ) = 2.λc .sin 2
me c
2

h
6,626.10 =34
-12

=
m, gọi là bước sóng Compton
=31
8 = 2,424.10
me c
9,11 .10 .3,0.10
4


2. Lý thuyết hiệu ứng Compton
a. Giải thích hiệu ứng Compton trên cơ sở thuyết lượng tử ánh sáng
Hiện tượng tán xạ tia X trên các nguyên tử nhẹ được giải thích như kết quả của sự
va chạm giữa photon tia X và electron của các nguyên tử chất tán xạ. Trong quá
trình đó các định luật bảo toàn năng lượng và bảo toàn động lượng được thỏa mãn.
Xét một photon tia X có bước sóng λ tần số f đến va chạm với một electron
đứng yên, trong quá trình va chạm photon nhường một phần năng lượng cho
electron và biến thành photon khác có năng lượng nhỏ hơn (tức là có tần số nhỏ
hơn, bước sóng dài hơn).

Năng lượng của photon trước và sau va chạm là hf =

hc
hc
; hf ' = '
λ
λ
mo
2

2

Năng lượng của electron trước và sau va chạm là moc và mc =

1−

2

v
c2

.c 2

; trong đó

mo là khối lượng nghỉ của electron
Động lượng của photon trước và sau va chạm là p =

h hf
h hf '
=
& p' = ' =
λ c
λ
c

Động lượng electron (còn gọi là electron giật lùi) trước va chạm là 0 và sau va

chạm là

pe =

mo
v2
1− 2
c

v





Góc tán xạ θ là góc tạo bởi vec tơ động lượng p & p ' của photon
5


Bảo toàn năng lượng:
hf + mo c 2 = hf ' + mc 2 → mc 2 = mo c 2 + h( f − f ' )

Bình phương hai vế hệ thức này ta được:
m 2c 4 = mo2c 4 + 2m o c 2 h( f − f ' ) + h 2 ( f − f ' )2 (1)

Bảo toàn động lượng:
2
2
uuv uv uu
v
 hf   hf ' 
 hf   hf ' 
2 2

pe = p − p ' → m v =  ÷ + 
÷ − 2.  ÷
÷.cos θ
 c   c 
 c  c 

⇒ m 2 v 2 c 2 = ( hf ) + ( hf ') − 2. ( hf ) ( hf ) .cos θ (2)
2

2

Lấy (1) trừ (2) theo vế ta được:
v2
m c (1 − 2 ) = −2. ( hf ) ( hf ' ) (1 − cos θ ) + 2h.moc 2 ( f − f ') + mo2c 4 (3)
c
2 4

Mặt khác từ

m=

mo
v2
1− 2
c

→ m 2 (1 −

v2
) = m o2 (4)

2
c

Thay (4) vào (3) ta thu được:
mo c 2 ( f − f ') = hff '(1 − cos θ ) (5)
c

θ

c

2
Chia hai vế của (5) cho mo cff ' → f ' − f = 2.sin 2

Hay ∆λ = λ '− λ =

2h
θ 
θ 
.sin 2  ÷ = λc sin 2  ÷ (*)
mc
2
2

Chúng ta dễ dàng nhận thấy, sự thay đổi bước sóng của bức xạ điện từ chỉ phụ
thuộc vào góc tán xạ θ mà thôi, bởi vì tất cả phần còn lại trong (*) đều là hằng số.
Từ (*) cũng có thể thấy rằng, nếu góc tán xạ θ nhỏ, nghĩa là 1-cos θ ≈ 0 sự thay
đổi bước sóng của photon cũng sẽ nhỏ. Còn nếu θ lớn, nghĩa là 1-cos θ >> 0, sự
thay đổi bước sóng cá giá trị lớn. ∆λ có giá trị cực đại khi góc tán xạ = 1800.
λ '−λ = 2

h
me c

Tất cả những tiên đoán lý thuyết này đều hoàn toàn trùng khớp với các quan sát
thực nghiệm của Compton.
Sự thay đổi bước sóng trong tán xạ Compton khi θ = 900 được gọi là bước
sóng Compton λc :
6


λc =

h
6,626.10 =34
=
= 2,424.10-12 m
me c
9,11 .10 =31.3,0.10 8

Chú ý: Trong các tính toán ở trên ta đã đơn giản hóa coi electron hoàn toàn tự
do. Thực tế electron luôn luôn lên kết với nguyên tử. Vì vậy ở định luật bảo toàn
năng lượng ta còn cần kể đến công cần thiết để bứt e ra khỏi nguyên tử và công
làm nguyên tử dịch chuyển. Tuy nhiên thực nghiệm cho thấy các electron tán xạ
thường là các electron liên kết lỏng lẻo với hạt nhân, nên trong gần đúng bậc
nhất có thể coi là electron tự do.
b. Giải thích hiệu ứng Compton trên cơ sở thuyết sóng ánh sáng
Phải chăng hiệu ứng Compton chỉ có thể giải thích bằng mô hình hạt ?
Chúng ta vừa chứng kiến, hiệu ứng Compton có thể được giải tích tuyệt với
bằng mô hình hạt của ánh sáng và bằng cách đó có thể tính được đọ dịch chuyển

bước sóng. Tuy nhiên, nói rang mô hình hạt là khả năng duy nhất giải thích
đượng hiệu ứng Compton lại là một sự nhầm lẫn thường thấy trong cách tài liệu
khoa học đại chúng cũng như trong các sách giáo khoa nơi học đường.
Chính bản thân Compton cũng đã nhận ra rằng, bên cạnh cách giải thích hiệu
ứng bằng mẫu hạt của ánh sáng, cũng có thể chọn mô hình sóng để đưa ra sự dịch
chuyển bước sóng trong hiệu ứng. Trong trường hợp này, có sự dịch chuyển bước
sóng trong hiệu ứng Doppler, một hiệu ứng phản ánh tính chất sóng của ánh
áng, xảy ra khi có sự chuyển động tương đối giữa nguồn phát sóng và máy nhận
sóng, khiến cho dù chỉ có một nguồn sóng mà tùy theo việc chọn hệ quy chiếu ta
lại thu được những bước sóng khác nhau. Sự thay đổi bước sóng trong hiệu ứng
Compton có thể giải thích theo quan niệm sóng như sau:
Electron ở trạng thái nghỉ được gia tốc đến tốc độ v nhờ bước sóng λ đến đập
vào nó. Vấn đề ở đây là do bước sóng trong hệ quy chiếu nào: trong hệ đứng yên
gắn với electron đứng yên hay trong hệ gắn với electron sau khi tán xạ với sóng
điền từ. Hệ sau chuyển động với vạn tốc

so với hệ trước. Do đó, nếu λ là bước

sóng đo được trong hệ gắn với electron chuyển động thì bước sóng đo được trong
hệ gắn với electron đứng yên sẽ là λ’ và λ’ > λ. Nghĩa là bước sóng của sóng tán
xạ sẽ lớn hơn bước sóng của ánh sáng tới một lượng Δλ = λ’ – λ.
7


Bằng cách mô tả hiệu ứng này theo lý thuyết sóng, ta cũng sẽ có những tiên
đoán lý thuyết định lượng về dịch chuyển bước sóng, và những tiên đoán này
cũng trùng hợp với những tiên đoán nhận được từ lý thuyết hạt. như vậy, mô tả lý
thuyết sóng cũng có giá trị tương đồng bên cạnh mô tả bằng lý thuyết hạt mà ta
đã khảo sát kỹ ở trên. Do đó, xin được nhấn mạnh một lần nữa, trái với sự trình
bày sai lầm trong không ít cuốn sách vật lý, không chỉ mô hình hạt của ánh sáng

mới cho phép ta hiểu và tính toán hiệu ứng Compton, mà mô hình sóng cũng có
giá trị hoàn toàn tương đương.
c. Giải thích hiệu ứng Compton không xảy ra với ánh sáng nhìn thấy.
Vì sao hiệu ứng Compton không xuất hiện ở ánh sang nhìn thấy ?
Đến đây, chúng ta có thể tự đặt câu hỏi: vì sao sự thay đổi tần số của bức xạ
điện từ khi tán xạ trên những electron tự do lại không quan sát thấy trên vùng phổ
ánh sáng nhìn thấy. Chúng ta có thể hình dung, chẳng hạn khi ánh sáng xanh chiếu
tới một vật nào đó, sau tán xạ trở nên có màu đỏ, tức là bức xạ nhìn thấy có bước
sóng dài hơn, tuy nhiên, trong thực tế điều đó đã không xảy ra.
Với ánh sáng nhìn thấy, độ dịch chuyển Compton không quan sát thấy một
cách rõ rệt bởi vì trong trong trường hợp này mối tương quan khối lượng giữa
electron và photon là hết sức không thuận lợi. Khi quan sát và va chạm đàn hồi lý
tưởng, người ta nhận thấy phần xung lượng được truyền sang đối tác va chạm là
nhiều nhất nếu tỉ lệ khối lượng là 1:1 .
Ta biết rằng, năng lượng của photon ánh sáng nhìn thấy khoảng 2,5 eV (ở vùng
bước sóng cỡ λ = 5.10-7 m). Trái lại, năng lượng của electron tính theo tương
đương khối lượng - năng lượng lại có giá trị cỡ 511.10 3 eV. Từ đó suy ra khối
lượng photon/electron là:
m photon
m electron

=

1
20000

Để có thể so sánh trong khuôn khổ vĩ mô, ta hình dung một quả cầu nhỏ kim
loại đập vòa một bức tường thép vững chắc: quả cầu nhỏ sẽ bay ngược lại với
xung lượng hầu như không đổi và phần xung lượng (-2

8

cầu

) mà nó truyền cho bức


tường thép với khối lượng cực lớn rõ ràng là nhỏ đến mức có thể bỏ qua. Năng
lượng của quả cầu nhỏ có thể xem là không thay đổi.
Điều đó có nghĩa, để phần năng lượng chuyển giao đáng kể đến mức sự thay
đổi bước sóng của photon tán xạ là quan sát được, thì tỉ lệ khối lượng
photon/electron không được quá nhỏ. Đấy chính là lý do vì sao trong thí nghiệm
của mình Compton đã sử dụng photon tới của bức xạ Rơnghen có năng lượng
tương đương năng lượng của electron nghỉ, điều kiện để có thể đo được phần năng
lượng chuyển từ photon sang electron, và đó chính là điều không thể có ánh sáng
nhìn thấy.
III. BÀI TẬP VÍ DỤ
Bài 1:
Chứng minh rằng một electron tự do không thể hấp thụ hoàn toàn một photon
Lời giải
Giả sử electron tự do hấp thụ hoàn toàn một photon
Chọn hệ qui chiếu gắn với electron trước khi hấp thu photon.
Năng lượng của hệ trước và sau khi hấp thu photon lần lượt là

mc 2 + hf ;

m
1−

v

c2

với m là khối lượng nghỉ của electron
Động lượng của hệ trước và sau hấp thụ photon lần lượt
hf
( của photon, còn electron đứng yên) và
c

m
v2
1− 2
c

v

( photon đã bị hấp thụ)

Bảo toàn năng lượng và bảo toàn động lượng của hệ, ta được
mc 2 + hf =

m
v2
1− 2
c

c2

m

(1) và

mcv

Nhân (2) với c, được

v2
1− 2
c

v2
1− 2
c
= hf

v

=

hf
(2)
c

và kết hợp với (1) suy ra

9

2

c2

;

mc 2
2

−

mc.v

= mc 2 ⇒

v2
1− 2
c
2
f =0
v
v
⇒ 2 − =0⇒v =0⇒ 
c
c
v = c
v
1− 2
c

2

1

v
1− 2
c

−

c 1−

v
2
c =1⇒ 1 − v =1 − v
=1⇒
c
c2
v2
1− 2
c
1−

v
v2
c2

Điều này mâu thuẫn với thuyết tương đối, vậy electron không hấp thụ hoàn toàn
photon
Bài 2:


Xét hai hệ qui chiếu K và K ' , trong đó hệ K ' chuyển động với vận tốc v không
đổi (v<



hai hệ qui chiếu đó. Giả thiết là phương chuyển động của photon trùng với v .
Lời giải
c
λ

Trong hệ qui chiếu K, photon có năng lượng ε = hf = h ; trọng hệ K ' , quan sát
v

1 + 
viên ghi được bức xạ có bước sóng λ' = λ 1 + v  ⇒ 1 =  c 
c
f
f'



v>0 nếu v ngược chiều chuyển động của photon ( đi đến gần nhau); v<0 nếu v

cùng chiều photon. Suy ra

∆λ λ ' − λ v
=
= . Trong hệ qui chiếu K ' photon có bước
λ
λ
c

'

sóng λ' , có năng lượng hf = h

∆f
∆λ
v
c
=−
= − . Vậy hệ thức giữa các
; sao cho
'
f
λ
c
λ

∆( hf ) hf ' − hf ∆f
v
=
=
=−
năng lượng của photon trong hai hệ qui chiếu là
hf
hf
f
c

Và động lượng của photon là p =
∆p

∆f

∆( hf )

hf
nên hệ thức giữa các động lượng trong hai hệ
c

v

qui chiếu là p = f = hf = − c

Bài 3
10


Xét quá trình va chạm của photon và electron tự do đứng yên.
1) Chứng minh rằng trong quá trình va chạm này, năng lượng và xung lượng
không bảo toàn cho electron.
2) Sau va chạm electron sẽ nhận được một phần năng lượng của photon và
chuyển động giật lùi, còn photon bị tán xạ. Tính độ dịch chuyển của bước
sóng trước và sau va chạm của photon.
3) Giả sử photon tới có năng lượng ε = 2E 0 , còn electron giật lùi có động
năng Wd = E 0 ; với E0= 0,512 MeV là năng lượng nghỉ của electron. Tính
góc giật lùi của electron.
Lời giải
1) Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng và xung lượng trong quá trình
1
2

tương tác: hf = mv 2 ;

hf
1
= mv ⇒ c = v Điều này vô lý vì trái với tiên đề 2.
c
2

Vậy năng lượng và xung lượng của electron không bảo toàn.
2) Trường hợp tương tác giữa electron và photon tự do, do không bị hấp thụ
hoàn toàn, nên photon sau phản ứng bị
giảm năng lượng va xung lượng bị thay
đổi do tán xạ Compton. Để tính độ dịch
chuyển của bước sóng ta sử dụng định
luật bảo toàn năng lượng và xung lượng:
hf + m 0 c 2 = hf ' + mc 2 (1)
  ' 


 p = p + p e = p ' + mv (2)

Từ giản đồ vec- tơ của xung lượng, ta có

( mv ) 2 = p 2 + p '
Thay p =

2

− 2. pp ' cos θ (3)

hf

hf '
; p' =
vào (3), được
c
c

m2v2c2 = h2 f 2 + h2 f

'2

− 2hff ' cos θ (4)

Từ (1) suy ra
mc 2 = hf − hf ' + m0 c 2 (1a ) ⇒ m 2 c 4 = h 2 f

2

Từ (4) và (5) suy ra
11

− h '2 f

'2 '

(

)

+ m 2 0 c 4 + 2h f − f ' m0 c 2 − 2h 2 ff ' (5)

m 2 c 4 (1 − β 2 ) = −2h 2 ff ' (1 − cos θ ) + 2h( f − f ' ) m0 c 2 + m 2 0 c 4

(6)

Vì m 2 c 4 (1 − β 2 ) = m 2 0 c 4 nên
ff ' (1 − cos θ ) =
c

m0 c 2
f − f
h

(

'

) ⇒ cf −

c
h
(1 − cos θ ) = 2h sin 2 θ
=
'
m0 c
m0 c
2
f

c

θ

2h

'
'
2
Vì f = λ ; f = λ' ; ∆λ = λ − λ ⇒ ∆λ = m c sin 2 ( là độ dịch chuyển của bước
0

sóng)
3) Tính góc giật lùi φ của electron
Bảo toàn năng lượng hf + m0 c 2 = hf ' + W
Vì p =

d

+ m0 c 2 (7)

hf '
ε hf
W
=
; p' =
nên từ (7) suy ra p ' = p −
c c
c
c

'

(7a)

Từ giản đồ vec tỏ có:
p 2 + p e2 − p '2
'  
p = p − p e ⇒ cos φ =
2 pp e

(8)

W 2 − m02 c 4 (Wd + E 0 ) − E 02 Wd2 + 2Wd E 0
=
=
Ngoài ra có p =
c2
c2
c2
2

2
e

(9)

Vì W = p e c 2 + m02 c 4 ; E 0 = m 0 c 2 = 0,512MeV là năng lượng nghỉ của electron
Thay (7a), (9) và p =
1+
cos φ =

E0
φ

1+ 2

E0
d

=

ε
vào (8) được
c

1 + 0,512
1+ 2

0,512
0,512

=

3
⇒ φ = 30 0
2

Bài 4:
Một ống Rơn-ghen hoạt động ở hiệu điện thế 10 5V. Bỏ qua động năng khi
electron bứt khỏi bề mặt catot. Một photon có bước sóng nhắn nhất được

phát ra từ ống trên tới tán xạ trên một electron tự do đang đứng yên, do kết
quả tương tác electron bị giật lùi.
1) Hãy tính góc giật lùi của electron (là góc hợp bởi hướng bay của electron
và hướng của photon) và góc tán xạ của photon, biết động năng của
electron giật lùi bằng Wđe= 10KeV.
12


2) Tính động năng lớn nhất mà electron có thể thu được trong quá trình tán
xạ.
Lời giải:
1) Theo định lý động năng, năng lượng của photon tới thoả mãn
ε = hf ≤ Wđ= eU

eU là năng lượng của photon có bước sóng ngắn nhất trong chùm photon

⇒ hf max =

0
hc
hc 6,625.10 −34 .3.10 8
−10
= eU ⇒ λ min =
=
0
,
124
.
10
m

=
0
,
124
=
A
λ min
eU
1,6.10 −19 .10 5

ε
c

Động lượng của photon p = =

eU
(1)
c


p'

α

Theo định luật bảo toàn năng lượng có
p.c + me c = p c + wde + m e c
2

'

2

’

với p là động lượng


pe

của photon tán xạ
Suy ra p ' = p −

φ

wde eU − wde
(2)
=
c
c

Bảo toàn động lượng
 

p = p ' + p e ⇒ p '2 = p 2 + p e2 − 2 p. p e cos φ ; φ là góc giật lùi

Từ hệ thức tương đối tính

E 2 = p e2 c 2 + me2 c 4 = ( wde + me c 2 ) ⇒ p e2 =
2

1 2
( wde + 2wde me c 2 ) (4)
2
c

Thay 1,2,4 vào (3), ta được
e.U 

wde  me + 2 
c
c 

cos φ =
.
=
2
eU wde + 2 wde me c 2
2

E0
ε
(5)
E
1+ 2 0
wde
1+

Với E 0 = me c 2 = 0,511MeV ; ε = eU = 0,1MeV
Thay số được φ = 53 0 7 '
p e2 = p 2 + p '2 − 2 p. p ' cos α ⇒ cos α =

p 2 + p '2 − p e2
2 p. p '
13

φ


p


α là góc tán xạ photon

Thay (1),(2),(4) và số, ta được
2

2

 eU − wde 
 eU 
 −

 +
c
 c 


cos α =
 eU  eU
2


 c 

(

)

1
E0
wde2 + 2 wde me c 2
2
c
=1− ε
= 0,432
ε
− wde 
−1

wde
c


⇒ α ≈ 64 0 24 '

2) Từ (5) ta thấy wde max khi cos φ (max) và cos φ (max) khi φ = 0
Suy ra

wde max =

2E 0

2

E 

1 + 0  − 1
ε 


≈ 28keV

Bài 5:
Một tia X bước sóng 0,3 (A0) làm tán xạ đi một góc 600 do hiệu ứng Compton. Tìm
bước sóng của photon tán xạ và động năng của electron.
Lời giải
+) λ ′ − λ = λc (1 − cos ϕ ) = 0,3 + 0,0243(1-cos600) ≅ 0,312 (A0)

Ta có

+) theo định luật bảo toàn năng lượng
hc
hc
hc
+ mo c 2 = + mc 2 = + K + m0 c 2
λ
λ′
λ

K =

6,625.10 −3

.3.10 8.1010 ≅ 12,4 (keV)
hc =
−19
1,6.10

Với

Suy ra

hc hc hc(λ − λ ′) 12,4(0,312 − 0,3)
≅ 1,59 (keV)
−
=
=
0,312.0,3
λ λ′
λλ ′

wde max =

2E 0
2

E 

1 + 0  − 1
ε 


≈ 28keV

Bài 6:
Photon tới có năng lương 0,8 (MeV) tán xạ trên electron tự do và biến thành
photon ứng với bức xạ có bước sóng bằng bước sóng Compton. Hãy tính góc tán
xạ.
Lời giải
14


Ta có

+) Năng lượng photon tới : ε =

hc
hc
⇒λ =
λ
ε

+) Công thức Compton: λ ′ − λ = λc (1 − cos ϕ )
⇔ λc −

hc
= λc (1 − cosϕ )
ε

⇔ cos ϕ =

hc
12,4

=
=0,0638
λc ε 0,0243.0,8.10 3

 ϕ =50022’
Bài 7:
Dùng định luật bảo toàn động lượng và công thức Compton, hãy tìm hệ thức liên
hệ giữa góc tán xạ ϕ và góc θ xác định hướng bay của electron.
Lời giải
Ta có
Với p ′ : động lượng photon tán xạ
p : động lượng photon tới
pe : động lượng electron giật lùi

Dựa vào hình vẽ , ta có :
p ′. sin ϕ
tan θ = p − p′. cos ϕ

 tan θ =

h
h
h
=
mà p = và p’= λ ′ λ + 2λ .sin 2 ϕ
λ
c
2

λ .sin ϕ

ϕ
2 sin 2 (λ + λc )
2

=

ϕ
ϕ
cos
2
2
ϕ
2 sin 2 (λ + λc )
2
2λ sin

ϕ
2
=
λc
1+
λ
cot

Bài 8:
Trong hiệu ứng Compton, hãy tìm bước sóng của photon tới biết rằng năng lượng
photon tán xạ và động năng electron bay ra bằng nhau khi góc giữa hai phương
chuyển động của chúng bằng 900.
Lời giải:
Gọi Ke là động năng của electron .

Theo đề , ta có :
15


hc hc hc
=
 λ ′ = 2λ
λ
λ′ λ′
Theo trên ta có: λ ′ − λ = λc (1 − cos ϕ ) ⇔ λ = λc (1 − cos ϕ )

Ke =

= 2λc sin 2
Dẫn thức liên hệ giữa ϕ và θ ,ta có : 2 góc này phụ nhau .

ϕ
2

ϕ
2
ϕ ⇔ tan ϕ (1 + λ c ) = tan ϕ
tan θ =
=
cot
λ
2
λ
1+ c
λ

2
tan ϕ
ϕ
λc
sin 2
ϕ=
1+
=
2
1−
tan
λ
ϕ
2
cos 2
2
ϕ
λ
λ
1
2
2
Đặt sin 2 = 2λ = x
 c = 2
λ 2x
c
1
Thế vào trên ta được : x2 =
4
cot

Do đó

λ c 0,0243
= 0,0122 (A0)
=
2
2
ϕ
1
sin 2 =
 ϕ = 600
2 4
λ =

(0 ≤ ϕ ≤ π )

Chuyên đề thứ hai
HIỆU ỨNG DOPPLER ĐỐI VỚI SÓNG ÁNH SÁNG
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Xét một nguồn phát sóng ánh sáng N và một máy thu T, nếu cả hai cùng đứng
yên trong một hệ quy chiếu K. Khi đó máy thu T ghi được sóng phát ra từ nguồn
c

N có tần số fo và bước sóng λo = f
o

16

Khi nguồn sáng hoặc máy thu chuyển động tương đối với nhau thì tần số mà
máy thu nhận được tăng hoặc giảm so với tần số fo mà máy thu nhận được khi
đứng yên tương đối với nhau.
Nguyên nhân của hiệu ứng này không phải do thời gian máy thu nhận một
xung sóng tăng hay giảm mà do thời gian co lại khi nguồn và máy thu có chuyển
động tương đối.
r

Xét khi máy thu đứng yên, còn nguồn chuyển động với vận tốc v hợp với
phương quan sát góc φ
Công thức tính tần số do hiệu ứng Dopler đối với ánh sáng

f = f0

1− β 2
(*) .
1 + β .cos ϕ

β=

v
c

Nếu vận tốc v của nguồn v<giống như hiệu ứng Doppler với sóng âm:
f =

fo
v
1 + .cos ϕ

c

(**)

*) Hiệu ứng Doppler dọc
Nếu vận tốc v của nguồn có phương trùng với phương quan sát ϕ= 0 tức
cosφ=1 thì (*) trở thành
f = f0

1− β 2
1+ β

Nếu v<f =

f0
f
= 0
1+ β 1+ v
c

*) Hiệu ứng Doppler ngang
Nếu vận tốc v của nguồn có phương vuông góc với phương quan sát ϕ =
tức cosφ=0 thì (*) trở thành
17

π
2

f = f0 1 − β 2

Nếu v<f = fo

Ta thấy rằng nếu cùng giá trị vận tốc v thì hiệu ứng Doppler ngang (tỉ lệ với
β2 ) yếu hơn rất nhiều so với hiệu ứng Doppler dọc (tỉ lệ với β); thậm chí
trong hiệu ứng Doppler ngang nếu v nhỏ thì tần số máy thu ghi được bằng tần
số nguồn phát ra.
II. BÀI TẬP VÍ DỤ
Bài 1: Trên đường cao tốc có một trạm kiểm soát tốc độ ô tô dựa theo hiệu ứng
Doppler của sóng điện từ. Trạm phát sóng có tần số f= 100MHz, dọc theo đường
đi. Sóng mà ô tô nhận được có độ rông (phách) là ∆ f. Nếu người lái xe có ∆ f > ∆
f0 thì phát lệnh dừng xe và phạt. Theo luật đường bộ thì tốc độ tối đa của ô tô là
80km/h. Hỏi ∆ f0 bằng bao nhiêu? Có cần qui định giới hạn ∆ f01 và ∆ f02 cho ô tô
chuyển động hai chiều khác nhau hay không? Vì sao?
Lời giải:
Vì vận tốc ô tô v<f1= f( 1- v/c); và
2
f2 − f
f
f (1 − v / c )(1 − v / c)  v 
2v
 v
f 2 = f 1 1 −  ⇒ 2 =
= 1 −  = 1 −
⇒
f
f

c
f
 c
 c
2v
2.80
=
=
≈ 2.10 −7 ⇒ f 2 − f = 100.10 6 .2.10 −7 = 20 Hz
c 3.10 5.3600

Nếu ô tô đi ngược chiều tức là đi xa trạm phát thì f 2 < f 1 ; f − f 2 = f .

2v
= 20 Hz
c

Nên không cần qui định về ∆ f01 và ∆ f02 cho ô tô chuyển động hai chiều khác
nhau.
Bài 2: Để đo tốc độ lưu thông của máu trong cơ thể, người ta dùng 1 lade phát
tia hồng ngoại, khi gặp hồng cầu đang di chuyển, nó phản xạ và người ta thu lại
tín hiệu vào đầu thu. Sau đó trộn đầu phát và đầu thu vào máy và đo phách ∆ f.
Biết rằng người ta đo ∆ f với sai số 1Hz. Hỏi người ta đo được tốc độ di chuyển
của máu với độ chính xác cao nhất là bao nhiêu?
18


Lời giải

f2

f0

f1

v

1+

c
 f 2 = f1
v
v 
v
2v 
2v



1 − ⇒ f 2 = f 1 1 + 1 +  = f 1 1 +  ⇒ f 2 − f 1 = f 1

c
c 
c
c 
c



v

 c << 1
2v
⇒ ∆f = f 1
c

Mà

c0
3c
4
= n = ⇒ c = 0 = 2,2.10 8 m / s
c
3
4

Trong đó c là vận tốc của lade trong máu, c 0 là vận tốc lade trong chân không.
Trong không khí λ = 11µm ⇒ f =
Vậy ∆f = 3.1014.

c
= 3.1014 Hz
λ

2v 3.10 6
=
⇒ v = 0,3µm
c
1,1

Bài 3: Tần số do một thiên hà phát ra là λ = 513 nm, tần số đo được từ Trái

Đất thấp hơn là 12nm. Tìm vận tốc của thiên hà đó.Hỏi thiên hà đang chuyển
động ra xa hay đến gần Trái Đất?
Lời giải:
Tần số đo được từ Trái Đất là λ 1< λ nên tần số đo được lớn hớn, vậy thiên hà
đang đi ra xa Trái Đất ( v>0).
Có

1 1
v
= 1 + ; λ1 = 513 − 12 = 501nm ⇒ v ≈ 7.10 6 m / s
λ λ  c

Bài 4: Vạch đỏ trong quang phổ của nguyên tử khí Neon mà máy thu đo được
có độ rộng ∆f = 1,6.10 9 Hz và tần số bức xạ đỏ là f 0 = 4,8.10 9 Hz . Hãy ước lượng
nhiệt độ của khí Neon.
Lời giải:
f 1 > f 0 là trường hợp nguyên tử chuyển động về phía máy thu:
19

f1 =

f0
1−

v
c


 v


 1 + −1+ v 
f0
 c
1
1
c  = 2 f 0 vc
Tương tự f 2 = v ⇒ ∆f = f 1 − f 2 = f 0 ( v − v ) = f 0 

2
2
2
 1 −  v   c − v
1+
1−
1+


c
c
c
c 

2v

c.∆f

Với v << c ⇒ ∆f = f 0 c ⇒ v = 2 f ;
0
3RT
µ  c.∆f


⇒T =
Vì v =
µ
3R  2 f 0

2


 . Bài này cho ∆ f lớn quá nên T lớn đến 7000K


Bài 5: Vạch quang phổ H β trong quang phổ của khí hidro có bước sóng λ
=4681.10-10m. Tính độ rộng của quang phổ do chùm ion hidro chuyển động với
động năng K= 4MeV.
Lời giải: v =

f1 =

2K
= 8,87.105 m / s < 0, 4c ; nên dùng công thức Doppler cổ điển
m

1
f
v
1 

 v
≈ f 0 1 + ; f 2 = 0 ≈ f 0 1 −  ⇒ ∆f = c −  = 2,7.10 −10 m

v
v
c

 c
 f1 f 2 
1−
1+
c
c
f0

C. BÀI TẬP ÁP DỤNG
I. BÀI TẬP VẬN DỤNG HIỆU ỨNG COMPTON
Bài 1:
Một photon tia X có bước sóng 0,5 Å tán xạ trên một electron tự do, đứng yên.
Góc tán xạ là θ=120o. Tính năng lượng của photon và động năng của electron
sau khi tán xạ.
Bài 2
Một photon có năng lượng 1,00MeV, tán xạ trên một electron tự do, đứng yên.
Sau tán xạ bước sóng của photon biến đổi 25% giá trị của nó. Tính góc tán xạ
của photon và động năng của electron sau khi tán xạ.
Bài 3
Một photon có năng lượng bằng năng lượng nghỉ của electron, tán xạ trên một
electron đang chuyển động nhanh. Sau tán xạ electron dừng lại, còn photon tán
20


xạ dưới góc 60o. Tính độ dịch chuyển của bước sóng sau tán xạ và động năng
của electron trước khi tán xạ.

Bài 4
Một photon có năng lượng ε tán xạ trên một electron tự do
a. Tính độ dịch chuyển của bước sóng lớn nhất có thể có sau tán xạ
b. Tính năng lượng lớn nhất mà electron có thể thu được trong hiện tượng này.
Bài 5
Một photon tia X có năng lượng ε tán xạ trên một electron tự do, đứng yên.
Sau khi tán xạ, động năng lớn nhất mà electron có thể thu được trong hiện tượng
này là 0,19MeV. Tính ε.
Bài 6:
Một photon tia X có bước sóng λ tán xạ trên một electron tự do, đứng yên.
Góc tán xạ là θ.
1. Cho λ=6,2pm, θ=60o, hãy xác định:
a. Bước sóng λ’ của tia X tán xạ.
b. Phương và độ lớn vận tốc giật lùi của e lectron.
2. Tia X trên được phát ra từ ống Coolidge có hai cực nối vào hai đầu cuộn thứ
cấp của một máy tăng áp với tỉ số biến áp là k=1000. Hai đầu cuộn sơ cấp của
máy biến áp này được nối vào điện áp xoay chiều có điện áp hiệu dụng có thể
biến thiên liên tục từ 0 đến 500V.
a. Hỏi U phải có giá trị tối thiểu Um bằng bao nhiêu để phát ra tia X nêu trên.
b. Với Um ấy, vận tốc của e trong ống phát khi tới đối catôt bằng bao nhiêu?
c. Để phương chuyển động của e vuông góc với phương của photon tán xạ thì
λ không được vượt quá giá trị bao nhiêu?
d. Giả sử sau va chạm e có vận tốc 2.10 8 m/s vuông góc với tia X tán xạ; hãy
tính bước sóng λ của tia X tới và điện áp U cần đặt vào cuộng sơ cấp của máy
biến áp.
ĐS: 1a. 7,4pm; b. 9,26.107m/s, 68o14’
2a. Um=141,4V; b. 2,09.108m/s; c. λmax= 2,42pm; d. 484V.
21

Bài 7:
Một photon tia X có tần số f tán xạ trên một electron tự do, đứng yên. Góc tán
xạ của photon có tần số f’ là θ=90o, góc giật lùi của e là φ.
a. Xác địn tỉ số f/f’ theo φ.
b. Tính năng lượng toàn phần của e giật lùi theo f khối lượng nghỉ của e.
c. Nếu năng lượng của photon mất đi bằng 20% năng lượng nghỉ của e thì vận
tốc của e giật lùi bằng bao nhiêu.
Gợi ý: năng lượng toàn phần của e là E = mo2c 4 + pe2c 2
d. Một người quan sát O chuyển động theo hướng song song với với hướng
của e tới với vận tốc u khi van chạm giữa photon và e xảy ra. Người đó có thể
dùng hệ thức nào để xác định năng lượng của e trong trạng thái tán xạ của nó
(tính theo mo, v, u, c)?
E'=

uur r
E − po .u
1−

Gợi ý: dùng công thức:
voi E =

=

u2
c2
mo c 2
1−

E − pou cos ϕ
1−

2

u
c2

; po =

u2
c2

hf
c

II. BÀI TẬP VẬN DỤNG HIỆU ỨNG DOPPLER
Bài 1:
Một hạt đứng yên phát ra hạt có tần số f, nếu chuyển động với vận tốc v thì
phát ra hạt có tần số bao nhiêu? Biết góc tạo bởi phương chuyển động và hướng
phát ra hạt là θ và góc tạo bới hạt sinh ra và phương ngang là α .
Bài 2:
Một sóng phẳng đơn sắc có tần số f đập vuông góc với một gương phẳng đang
chuyển động đều theo phương pháp tuyến với vận tốc v. Tính tần số f 1 của sóng
phản xạ.
Bài 3:

22


Một nguồn sáng chuyển động với vận tốc v đối với một máy thu. Chứng minh
rằng khi v<

∆ω v. cos α
=
.
ω
c

Trong đó α là góc giữa phương chuyển động của nguồn và đường quan sát.
Bài 4:
Một trong những vạch quang phổ do ion Heli bị kích thích phát ra có bước
sóng λ = 410nm. Tìm độ dịch chuyển bước sóng ∆ λ của vạch này, nếu người
quan sát nó dưới một góc α = 300 tới chùm ion chuyển động với động năng K=
10MeV.
Bài 5:
Khi quan sát vạch quang phổ có bước sóng λ = 0,59 µ m theo các hướng kẻ từ
các bờ đối diện của một đĩa Mặt Trời tới xích đạo của nó, người ta phát hiện
được sự khác biệt về bước sóng là ∆ λ = 8,0 pm. Tìm chu kỳ quay của của Mặt
Trời xung quanh trục riêng của nó.
Bài 6:
Hiệu ứng Doppler cho phép khám phá các sao đôi xa nhau đến nỗi không thể
phân biệt được chúng bằng kính thiên văn. Những vạch quang phổ của các sao
đó trở thành kép một cách tuần hoàn, từ đó có thể giả thiết rằng nguồn là hai
ngôi sao quay xung quanh khối tâm của chúng. Giả sử rằng khối lượng của các
ngôi sao như nhau, tìm khoảng cách giữa chúng và khối lượng của chúng, nếu
∆λ



−4
biết sự tách cực đại các vạch quang phổ bằng  λ  = 1,2.10 và cứ sau 30 ngày


m

nó lại xảy ra một lần.
Bài 7:
Một sóng điện từ phẳng có tần số ω 0 đập vuông góc lên một mặt gương phẳng,
chuyển động theo chiều ngược lại, với vận tốc tương đối tính v. Dùng công thức
Doppler để tìm tần số của sóng phản xạ. Công thức thu được trở thành như thế
nào nếu v<Bài 8:
23


Một máy rada làm việc ở bước sóng λ = 50,0cm. Xác định vận tốc của máy
bay đang bay tới, nếu tần số của phách tín hiệu của máy phát và tín hiệu phản xạ
từ máy bay ở chỗ đặt rada bằng ∆ f= 1,0Hz.
Bài 9:
Xét một sóng điện từ có pha ωt − kx là bất biến, nghĩa là không thay đổi khi
chuyển từ hệ qui chiếu này sang hệ qui chiếu khác, xác định xem tần số ω và số
sóng k đưa vào pha được biến đổi như thế nào? Khảo sát trường hợp một chiều.
Bài 10:
Một tinh vân đang đi ra xa chúng ta với vận tốc bao nhiêu, nếu biết rằng các
vạch của quang phổ hidro đang dịch chuyển về phía đỏ 130nm?
Bài 11:
Một xe ô tô phải chuyển động với vận tốc bao nhiêu để ánh sáng đỏ của đèn
sau ( λ =0,70 µ m) chuyển thành màu xanh ( λ =0,55 µ m).
Bài 12:
Một quan sát viên chuyển động theo một hướng nào đó với vận tốc v1 =
trước người đó là một nguồn sáng đơn sắc chuyển động với vận tốc v 2 =

c
và
2

3c
. Tần
4

số riêng của ánh sáng là ω 0 . Tìm tần số của ánh sáng mà quan sát viên quan sát
được.
Bài 13:
Một trong những vạch của quang phổ hidro có bước sóng λ =656,3 nm. Tìm
độ dịch chuyển của bước sóng ∆ λ của vạch này, nếu người quan sát nó dưới
một góc vuông đối với chùm nguyên tử Hidro có động năng K= 1,0MeV
(Doppler ngang).
Bài 14:
Một nguồn phát các tín hiệu điện từ với tần số
riêng ω =3,0.1010 rad/s, chuyển động với vận tốc
không đổi v= 0,80c theo một đường thẳng cách quan
sát viên P đang đứng yên có khoảng cách đến đường
24

O
°P

v


thẳng là  ( hình vẽ). Tìm tần số của tín hiệu mà quan
sát viên nhận được tại lúc:

1.Nguồn ở điểm O.
2.Quan sát viên nhìn thấy nguồn ở O.
Bài 15:
Một chùm hẹp electron đi qua ngay sát một mặt gương kim loại, mà trên đó
người ta kẻ một cách tử có chu kỳ d= 20 µ m. các electron chuyển động với vận tốc
v ≈ c , vuông góc với các vạch của cách tử. Khi đó người quan sát được một bức xạ

khả kiến: Quỹ đạo các electron có dạng một dải, có mầu biến đổi phụ thuộc vào
góc quan sát α (hình vẽ). Giải thích hiện tượng này; tìm bước sóng của bức xạ
được quan sát với α =450.

λ

α
v

Bài 16:
Sao đôi là một cặp có hai sao sáng có độ sáng khác nhau và quay quanh khố
tâm G của chúng. Vì sao đôi ở rất xa chúng ta nên khi quan sát trong kính thiên
văn lớn nhất ta cũng chỉ thấy một chấm sáng duy nhất. Sở dĩ ta biết được có hai
sao khác nhau là do sự tách các vạch quang phổ của hiệu ứng Doppler: Sao A
chuyển động lại gần Trái Đất thì vạch quang phổ sẽ dịch chuyển về một đầu của
quang phổ, còn vạch quang phổ của sao B sẽ dịch chuyển về phía ngược lại.
Quan sát vạch H α có bước sóng λ = 656,279 nm, người ta thấy vạch đó tách dần
thành 2 vạch và lúc hai vạch này ở xa nhau nhất thì vạch sáng có bước sóng λ
=656,004 nm, còn vạch kia sáng yếu hơn có bước sóng λ 2=656,651 nm. Sau đó

1

hai vạch dịch chuyển lại gần nhau, chập làm một như ban đầu, và hiện tượng lặp

lại như trên. Chu kỳ của hiện tượng là T= 16,5 ngày. Giả sử rằng khối tâm G của
25