de thi hoc ky 2 mon toan 12 nam hoc 2014 2015

Trường THPT Lê Hồng Phong

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II

Tổ :Toán

Môn :TOÁN Lớp 12

Đề chính thức

Thời gian làm bài 90 phút

Câu I: (3.0 điểm)
1. Dùng các phép tính tích phân để tính các tích phân sau:
1

π
4

a. I = 12 ∫ ( 3x − 2 ) dx
3

b. J = x tan x ( 2 + x tan x ) dx
∫

0

0

 y = x 2 − 2 x + 2, y = 0
2. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 

. Hãy tính diện tích của
 x = 0, x = 3
hình phẳng đã cho .
Câu II.(3.0 điểm)
1. Cho số phức z =

(1+ i) ( 2 + i)
1 + 3i

2

, hãy tìm phần thực, phần ảo và số phức liên hợp của z.

2. Giải phương trình: z 2 − 2 z + 5 = 0 trên tập hợp số phức .
3
3. Tìm số phức z khi biết z = 1 và biểu thức z − z + 2 đạt giá trị lớn nhất.

Câu III.(2.0 điểm)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm M(0;-1;2), N(- 1;1;3), mặt phẳng

( α ) có phương trình ( α ) : 2x − y − 2z − 2 = 0 .
1. Hãy viết phương trình tham số đường thẳng d đi qua hai điểm M, N.
2. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( β ) khi biết ( β ) đi qua hai điểm M, N và

(β)

vuông góc với mặt phẳng ( α ) .

Câu IV.(2.0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) lần lượt có

phương trình ( S ) : ( x − 1) + ( y + 3) + z 2 = 16 , ( P ) : 2 x − y − z + 3 = 0
2

2

1. Hãy xác định toạ độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S).Tính khoảng cách từ I tới
mặt phẳng (P).
2. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A ( 0; −1; 2 ) , song song với mặt phẳng ( P ) và
cắt mặt cầu ( S ) tại hai điểm B, C sao cho đoạn BC có độ dài nhỏ nhất.
...........................................Hết..........................................


ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM(Đề chính thức)
Câu
I

Ý
1.a
(1.0)

Nội dung
1

I = 4∫ ( 3x − 2 ) d ( 3 x − 2 ) = ( 3x − 2 )
3

4 1

0

π
4

π
4

0

0

π
4

π
4

x
π 3 (1)
2
dx
+
2
x
tan
xdx
−
x
dx
=
J

+
J
−
1
2
∫0
∫0
cos 2 x
192
0

J = ∫ x 2 tan 2 xdx + 2 ∫ x tan xdx = ∫

2

u = x 2
du = 2xdx

x
⇒
Tính J1 =
. Đặt 
1
dx
∫0 cos2 x
dx  v = t anx
dv =
cos 2 x

π

4

1.b
(1.0)

= −15

0

π
4

Điểm
3.0
0.5x2

0.25

2

π
4

π
4

J1 = ( x 2 t anx ) − 2 ∫ x tan xdx ⇔ J1 =
0

0

Thay vào (1) ta có J =

0.25

π2
− J2
16

0.25

π2 π3
π2 
π
−
⇔ J = 1 − ÷
16 192
16  12 

0.25

3

2
Diện tích S của hình phẳng trên là S = ∫ x − 2 x + 2 dx
0

2
2
(1.0) Ta có x − 2 x + 2 > 0 ∀x ∈ [ 0;3]

3

⇒ S = ∫ ( x 2 − 2 x + 2)dx = (
0

II

0.5

3
x3
− x 2 + 2 x) = 6 (đvdt)
0
3

0.5
3.0

( 1 + i ) ( 3 + 4i ) = −1 + 7i = 2 + i
z=
1
1 + 3i
1 + 3i
(1.0) Phần thực của z là a = 2, phần ảo của z là b = 1.
Số phức liên hợp của z là z = 2 − i
Ta có ∆ / = −4 < 0 ⇒ căn bậc hai của ∆ / có giá trị là ±2i
2
 z = 1 − 2i
(1.0) PT có nghiệm 
 z = 1 + 2i

Đặt z = x + yi với x, y ∈ R .
z = 1 ⇔ y 2 = 1 − x 2 và x ∈ [ −1;1]

(

)

0.5
0.5
0.5
0.5
0.25

3
3
2
3
3
2
Ta có z − z + 2 = ( 4 x − 4 x + 2 ) +  4 x − 2  y i ⇒ z − z + 2 = 4 ( 4 x − x − 4 x + 2 )
3
2
Xét hàm số f ( x ) = 4 x − x − 4 x + 2 với x ∈ [ −1;1]

3
(1.0)

2

x=


3
f / ( x ) = 12 x 2 − 2 x − 4; f / ( x ) = 0 ⇔ 
x = − 1

2
1
 1  13  2  2
3
f ( ±1) = 1; f  − ÷ = ; f  ÷ =
. Vậy Max z − z + 2 = 13 ⇔ x = −
−
1;1
[ ]
2
 2 4
 3  27
1
3
1
3
x=− ⇒ y=±
⇒z=− ±
i
2
2
2 2

III

2

0.25

0.25

0.25
2.0


→
Đường thẳng d đi qua hai điểm M, N nên d nhận MN ( −1; 2;1) làm VTCP
1
(1.0)

0.5

 x = −t

Phương trình tham số của đường thẳng d:  y = −1 + 2t
z = 2 + t

→
→
Ta có MN ( −1; 2;1) ∈ ( β ) và VTPT của mp ( α ) là n ( 2; −1; −2 ) có gía song song

2
(1.0) hoặc chứa trong ( β ) .
 → →
Nên ( β ) nhận  MN ; n  ( −3;0; −3 ) làm VTPT. ⇒ PTTQ ( β ) : x + z − 2 = 0




0.5
0.5

IV

2.0
0.5

Ta có toạ độ tâm là I(1; -3; 0), bán kính R = 4
1
(1.0)

d ( I;( P) ) =

( S)

2+3+3
6

⇔ d ( I;( P) ) =

8
6

0.5

→

có tâm I ( 1; −3;0 ) , bán kính R = 4 . Ta có IA ( −1; 2; 2 ) ⇒ IA = 3 < R ⇒ A nằm

trong mặt cầu.
Gọi H là trung điểm của BC. Có BC = 2 BH = 2 R 2 − IH 2 = 2 16 − IH 2 .BC nhỏ
nhất khi IH lớn nhất.
2
(1.0) Mà IH ≤ IA ⇒ IH lớn nhất ⇔ IH = IA ⇔ H ≡ A ⇒ BC vuông góc IA.
→
nP ( 2; −1; −1) là véc tơ pháp tuyến của (P)
→
→ → 
 IA; nP  ( 0;3; −3) ⇒ véc tơ chỉ phương của ∆ là u ( 0;1; −1) .


x = 0

Phương trình của ∆ là  y = −1 + t
z = 2 − t


0.5

0.25
0.25
0.25

0.25

Hướng dẩn chấm.
Nếu học sinh làm theo cách khác đúng thì cho điểm tối đa của ý đó.

MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II LỚP 12
Năm học 2014-2015
Chủ đề hoặc mạch kiến thức kĩ
Tầm quan trọng
Trọng số

Tổng điểm


năng
Tích phân
Ứng dụng của tích phân
Khái niệm số phức, phép toán về số
phức
Phương trình bậc hai số phức
Phương trình mặt phẳng
Phương trình đường thẳng
Tâm và bán khính của mặt cầu

20
10
20

3
1
3

60
20

60

10
1
10
15
2
30
20
3
60
5
1
5
100%
245
MA TRẬN THEO MA TRẬN MỤC TIÊU GIÁO DỤC VÀ MỨC ĐỘ NHẬN THỨC
Chủ đề hoặc mạch kiến thức kĩ
Trọng số
Tổng điểm
năng
Theo ma trận nhận
Theo thang điểm
thức
10
Tích phân
3
60
2.0
Ứng dụng của tích phân

1
20
1.0
Khái niệm số phức, phép toán về số
3
60
2.0
phức
Phương trình bậc hai số phức
1
10
1.0
Phương trình mặt phẳng
2
30
Phương trình đường thẳng
3
60
2.0
Tâm và bán khính của mặt cầu,
1
5
1.0
245
10
MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II LỚP 12
Chủ đề hoặc mạch kiến thức
Mức độ nhận thức - Hình thức câu hỏi
Tổng điểm
kĩ năng

1
2
3
TL
TL
TL
Điểm Câu
Câu
Điểm
Câu
Điểm
Câu
Điểm
Câu1.1a
Tích phân
Câu1.1b
2
1.0
1.0
2.0
Ứng dụng của tích phân
Câu1.2
1
1.0
1.0
Khái niệm số phức, phép toán
Câu 2.1
Câu 2.3
2
về số phức

1.0
1.0
2.0
Phương trình bậc hai số phức
Câu2.2
1
1.0
1.0
Phương trình mặt phẳng
Câu3.2
1
1.0
1.0
Phương trình đường thẳng
Câu3.1
Câu 4.2
2
1.0
1.0
2.0
Tâm và bán khính của mặt cầu Câu 4.1
1
1.0
1.0
Tổng
3
4
3
10
3.0

4.0
3.0
10.0

BẢNG MÔ TẢ MA TRẦN ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 12
Câu I (3,0 điểm)


1. Dùng các phép tính tích phân để tính các tích phân.
2. Hãy tính diện tích của hình phẳng
Câu II (3.0 điểm)
1. Tìm phần thực, phần ảo và số phức liên hợp của z.
2. Giải phương trình trên tập hợp số phức .
3. Hãy tìm số phức z .
Câu III.(2.0 điểm)
1. Viết phương trình tham số đường thẳng d đi qua hai điểm
2. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
Câu IV.(2.0 điểm)
1. Hãy xác định toạ độ tâm I và tính bán kính R của mặt cầu .
2. Viết phương trình đường thẳng