de thi hoc ky 2 mon toan lop 11 nam hoc 2014 2015

TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG
TỔ TOÁN

KIỂM TRA HỌC KÌ II TOÁN LỚP 11
NĂM HỌC: 2014 - 2015
Thời gian: 90 Phút

ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1(2điểm): Tìm các giới hạn sau:
3
2
a. lim ( −2 x + 3x + 1)

b. lim−

x →+∞

x →1

 x2 + 5 − 3

x−2
f
(
x
)
=
Câu 2(1điểm): Tìm m để hàm số

 m −1


3

khi x ≠ 2

2x +1
x −1

liên tục tại điểm x =2 .

khi x = 2

Câu 3(2điểm): Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. y =

1 4
x + 2 x2 − x + 3
4

Câu 4(2điểm): Cho hàm số y =

b. y = sin 3 2 x
x+3
có đồ thị (C).
x −1

a.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tai điểm M(3;3)
b.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C); biết khoảng cách từ điểm I(1;1) đến
tiếp tuyến đó đạt giá trị lớn nhất.
Câu 5(3điểm): Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Có đáy ABCD là hình vuông tâm O
cạnh a, SA = SB = SC = SD và SO = a .

a. Chứng minh rằng: SO ⊥ (ABCD); (SAC) ⊥ (SBD) .
b. Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng: (SCD) và (ABCD) . Tính tan ϕ .
c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB.


ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC - TOÁN 11
Câu Ý
1
a

Đáp Án Tóm Tắt

3 1
+ ) = −∞
x →+∞
x x3
lim− ( x − 1) = 0

lim (−2 x3 + 3x 2 + 1) = lim x3 ( −2 +

x →+∞

b

Điểm
0,5x2

lim− (2 x + 1) = 3;

x →1

0,25x2

x →1

x → 1− ⇒ x − 1 < 0

0,25

2x +1
= −∞
Vậy : lim−
x →1 x − 1
2

0,25

x2 + 5 − 3
x2 − 4
x+2
2
+ lim
f
(
x
)
=
lim
=
lim

=
lim
=
x →2
x →2
x →2
x−2
( x − 2)( x 2 + 5 + 3) x→2 x 2 + 5 + 3 3
m −1
+ f (2) =
3
2
3

f ( x) = f (2) ⇔ =
Để hàm số liên tục tại điểm x =2 thì lim
x →2

3

a
b

m −1
⇒m=3
3

1
y ' = .4 x3 + 2.2 x − 1 = x3 + 4 x − 1
4

y ' = 3(sin 2 x) 2 (sin 2 x) '

a

0,25
0,25
0.5x2
0,5
0.25x2

= 3(sin 2 x) 2 cos 2 x(2 x) ' = 6sin 2 2 x cos 2 x
4

0,5

−4
x+3
y
'
=
có TXĐ: D = R\{1} và
x −1
( x − 1) 2

0.25

Tiếp tuyến tại M có hệ số góc: k = f '(3) = −1

0.25

y=

0.25x2
Vậy tiếp tuyến có phương trình: t: y − 3 = −( x − 3) ⇔ y = − x + 6
b Tiếp tuyến (d) của đồ thị (C) tại điểm N có hoành độ a ≠ 1 thuộc (C) có
phương trình:
−4
a+ 3
y=
(
x
−
a
)
+
⇔ 4x + (a − 1)2 y − (a + 3)(a − 1) − 4a = 0
2
0.25
a−1
(a − 1)
Ta có:
8a−1
8a−1
8a−1
0.25
d(I ,d) =
≤
=
=2 2
4

2
2
2
a
−
1
16 + (a − 1)
2.4.(a − 1)
a = 3
d(I ,d) lớn nhất khi (a − 1)2 = 4 ⇔ 
.
 a = −1
Từ đó suy ra có hai tiếp tuyến y = − x + 6 và
5

0.25
y = − x − 2.

0.25


0.5
(Tính
từ ý a)

a

Có : + Tam giác SAC cân tại S ⇒ SO ⊥ AC (1)
+ Tam giác SBD cân tại S ⇒ SO ⊥ BD (2)

Từ (1), (2) ⇒ SO ⊥ (ABCD);
 AC ⊥ SO
⇒ AC ⊥ ( SBD ) mà AC ⊂ (SAC) ⇒ (SAC) ⊥ ( SBD)

AC
⊥
BD

b Gọi M là trung điểm của CD

0.25
0.25x2

( SCD) ∩ ( ABCD ) = CD

·
SM ⊥ CD
⇒ (( SCD );( ABCD )) = SMO


OM ⊥ CD


0.25

SO
=2
OM
Có AB // CD ⇒ AB //( SCD ) ⊃ SC ⇒ d ( AB, SC ) = d ( AB,( SCD ))

0.25

·
)=
Xét tam giác SOM vuông tại O có: tan( SMO
c

0.25

= d ( A,( SCD)) = 2d (O,( SCD))

0.25
0.25

+ Có SM ⊥ CD và OM ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( SOM )
+ Gọi AH là đường cao của tam giác SOM và cắt SM tại H khi đó ta có:
OH ⊥ SM và OH ⊥ CD ⇒ OH ⊥ ( SCD) ⇒ d (O,( SCD)) = OH
Mà

1
OH 2

=

1
SO 2

+

1

OM 2

=

1
a2

+

4
a2

⇒ OH =

a 5
2a 5
⇒ d ( SC , AB ) =
5
5

0.25
0.25