Bài giản tiểu luận thuyết trình toán rời rạc Quan he nhom 1

Nhóm 1

Chương 3

Quan Hệ

1


2

5
4

•

Biểu đồ hasse

•

3
Phần tử nhỏ nhất và lớn nhất

2
Quan hệ thứ tự

•

Thứ tự toàn phần và bán phần

•

Phần tử tối tểu và tối đại

•

1
Mục lục


1

• Quan hệ thứ tự

3


1.Quan hệ thứ tự

••

Ví dụ. Cho R là quan hệ trên tập số thực:
 
nếu

Hỏi:

R phản xạ không?
Có

R đối xứng không?

R phản xứng không?
R bắc cầu không?

Không

Có

Có

4


1.Quan hệ thứ tự

•Định  nghĩa:
• Quan hệ R trên tập A là quan hệ thứ tự ( thứ tự) nếu nó có tính chất phản xạ,
phản xứng và bắc cầu.

•
•

Người ta thường kí hiệu quan hệ thứ tự bởi
Cặp (A, ) được gọi là tập sắp thứ tự hay Poset

5


1.Quan hệ thứ tự

•

 Cho (A, ) là tập có thứ tự và x, y là hai phần tử bất kì trong A:

– Nếu , ta nói y là trội của x hay x được trội bởi y.
– Y là trội trực tiếp của x nếu y là trội của x và không tồn tại một phần tử nào sao cho và

6


1.Quan hệ thứ tự

Ví dụ.
(12 ,dễ dàng nhận thấy rằng:
số Xét
tínhtập
chất:
••Một
 
Phản xạ: a
 

◦–Trội của 2 là 4,6,12
◦ Trội trực tiếp của 2 là 4,6.
– Phản xứng: (
– Bắc cầu:

7


1.Quan hệ thứ tự

8


1.Quan hệ thứ tự

9


2

• Thứ tự toàn phần và bán phần

10


2.Thứ tự toàn phần và bán phần

•

 Định nghĩa:

– Các phần tử a và b của poset (S,) gọi là so sánh được nếu a b hay b a.
– Trái lại thì ta nói a và b không so sánh được.

11


2.Thứ tự toàn phần và bán phần

•Ví dụ.
  Quan hệ “” trên tập số nguyên dương là thứ tự toàn phần.
Ví dụ. Quan hệ ước số “|” trên tập số nguyên dương là thứ tự bán phần, vì các số 5
và 7 là không so sánh được.

12


3

• Phần tử tối tểu và tối đại

13


3.Phần tử tối tiểu và tối đại

•

Định nghĩa (phần tử tối tiêu và phần tử tối đại):
 
Xét tập hợp có thứ tự (A, ).
1) aA là phần tử tối tiêu của A nếu không tồn tại
xA sao cho ax a. Nói cách khác mệnh đề sau
là đúng: x A, x a x = a.
2) b A là phần tử tối đại của A nếu không tồn tại
xA sao cho b x b. Nói cách khác mệnh đề sau
là đúng: x A, b x b = x.

14

3.Phần tử tối tiểu và tối đại

Ví dụ:
a) (R, ≤) không có phần tử tối tiểu và tối đại.
b) Cho E = {a, b, c} và A = P(E) \ {∅, E}.
Khi đó (A, ⊂) có:
các phần tử tối tiểu là:{a},{b},{c}
các phần tử tối đại là:{a,b},{b,c},{a,c}
c) Cho A = {2; 4; 5; 6; 8; 12}. Khi đó (A, | ) có
các phần tử tối tiểu là 2 và 5
các phần tử tối đại là 5, 8 và 12

15


4

•

Phần tử nhỏ nhất và lớn nhất

16


4.Phần tử nhỏ nhất và lớn nhất

•

Định nghĩa 2.3.4 (phần tử nhỏ nhất, phần tử lớn nhất):
 
Xét tập hợp có thứ tự (A, ).
1) a ∈ A là phần tử nhỏ nhât của tập A; ký hiệu
a = min(A), nếu ∀x∈A ta có: a p x.
2) b ∈ A là phần tử lớn nhât của tập A, ký hiệu
b = max(A), nếu ∀x∈A ta có: x p b.
Ví dụ
a) Trong tập hợp có thứ tự (A, ≤), với A = {x∈<100}.
Ta có min(A) = -9, max(A) = 9.
b) min(R, ≤) và max(R, ≤) không tồn tại.

17


4.Phần tử nhỏ nhất và lớn nhất

Định lý:
Cho tập hợp có thứ tự (A,p ) và ∅ ≠ X ⊂ A. Khi đó:
a) Nếu X có phần tử lớn nhất ( nhỏ nhất) là a thì a
là phần tử tối đại ( tối tiểu) duy nhất của X.
 
b)

Nếu X được bởi sắp thứ tự toàn phần bởi quan hệ p thì phần tử a ∈ X là phần tử

lớn nhất ( nhỏ nhất) của X khi và chỉ khi a là phần tử tối đại (tối tiểu) của X

.

18


5

• Biểu đồ hasse

19


5.Biểu đồ Hasse

20


5.Biểu đồ Hasse

21


5.Biểu đồ Hasse

22


5.Biểu đồ Hasse

23

Nhóm 1

Xin cảm ơn các bạn đã theo dõi

24