Bài giản tiểu luận thuyết trình toán rời rạc Quan hệ

GIỚI THIỆU VỀ NHÓM

Quan hệ

1


1

2

Nguyễn Đức Duy

Nguyễn Văn Thái

Nguyễn Quang Thái

3

4

5

6

Nguyễn Lê Huy

Võ Đình Phú

Phan Đình Phong

Quan hệ

2


Cấu trúc rời rạc

QUAN HỆ

Quan hệ

3


Nội dung

I.
II.
III.
IV.
V.

Quan hệ hai ngôi
Các tính chất của quan hệ hai ngôi
Biểu diễn quan hệ hai ngôi
Quan hệ tương đương. Đồng dư
Quan hệ thứ tự và biểu đồ Hass

Quan hệ

4


QUAN HỆ HAI NGÔI

CẤU TRÚC RỜI RẠC
QUAN HỆ
Quan hệ

5


I. QUAN HỆ HAI NGÔI

Quan hệ hai ngôi là gì?
 
Một quan hệ hai ngôi giữa tập hợp và tập hợp là một tập con của . Nếu thì ta viết .

•

Một quan hệ giữa A và A được gọi là một quan hệ hai ngôi trên A.
Kí hiệu: (, ), trong đó là quan hệ hai ngôi.

(*Để thuận tiện cho việc trình bày, ta quy ước gọi tắt quan hệ hai ngôi là quan hệ)

Quan hệ

6

I. QUAN HỆ HAI NGÔI

Quan hệ hai ngôi là gì? (tt)
 
Ví dụ 1:

•

A={1,2,3,4}, B={4,5}
={(1,4), (1,5), (3,5), (4,4)}
là một quan hệ giữa A và B.

Quan hệ

7


I. QUAN HỆ HAI NGÔI

Quan hệ hai ngôi là gì? (tt)
 
Ví dụ 1 (tt):

•

={(1,4), (1,5), (3,5), (4,4)}

Ta thường biểu diễn
bởi sơ đồ sau:

Quan hệ

8


I. QUAN HỆ HAI NGÔI

Quan hệ hai ngôi là gì? (tt)
 
Ví dụ 2:

•

Cho A={1,2,3,4}, và ={(a,b)| a là ước của b}
Khi đó
={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,4),(3,3),(4,4)}
Ta thấy các cặp (a,b) trong tập đều có điểm chung là b chia hết cho a .

Quan hệ

9


I. QUAN HỆ HAI NGÔI

Quan hệ hai ngôi là gì? (tt)
 
Ví dụ 2(tt):

•

Ta có cũng có thể viết:
1 1, 1 2, 1 3, 1 4,
2 2, 2 4, 3 3, 4 4.
Xét cặp (3,1) không thõa quan hệ
khi đó ta kí hiệu 31.

Quan hệ

10


CÁC TÍNH CHẤT
CỦA QUAN HỆ HAI NGÔI

CẤU TRÚC RỜI RẠC
QUAN HỆ
Quan hệ

11


II. CÁC TÍNH CHẤT (NẾU CÓ) CỦA
QUAN HỆ HAI NGÔI

chất 1: Tính phản xạ

• Tính
 
Quan hệ trên S được gọi là phản xạ nếu:

x S, x x

Quan hệ trên S được gọi là không phản xạ nếu:
x S, x x

Chú ý:

– Quan hệ R trên tập A là phản xạ nếu
nó chứa đường chéo của AxA:

– ={(a,a); aA}

Quan hệ

12


II. CÁC TÍNH CHẤT (NẾU CÓ) CỦA
QUAN HỆ HAI NGÔI

Tính chất 1: Tính phản xạ (tt)
Ví dụ:
Trên tập A={1,2,3,4}, quan hệ:



R1= {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,1),(4,4)}

không phản xạ vì (3,3) ∉ R1



R2= {(1,1),(1,2),(1,4),(2,2),(3,3),(4,1),(4,4)}

phản xạ vì (1,1),(2,2),(3,3),(4,4) ∈ R2

Quan hệ ≤ trên Z phản xạ vì a ≤a với mọi a ∈ Z
Quan hệ > trên Z không phản xạ vì 1>1 không đúng
Quan hệ “|”(ước số) trên Z+ là phản xạ vì mọi số nguyên a là ước của chính nó.

Quan hệ

13


II. CÁC TÍNH CHẤT (NẾU CÓ) CỦA
QUAN HỆ HAI NGÔI

chất 2: Tính đối xứng

• Tính
 

Quan hệ trên S được gọi là đối xứng nếu:
Quan hệ trên S được gọi là không đối xứng nếu:
x)

Quan hệ

14

II. CÁC TÍNH CHẤT (NẾU CÓ) CỦA
QUAN HỆ HAI NGÔI

chất 2: Tính đối xứng (tt)

• Tính
 
Ví dụ 1: cho S={1,2,3}

Ta thấy đối xứng vì
11 , 11

2 , 22

12, 21

23 , 32

1 3, 3 1

33 , 33

Quan hệ

15


II. CÁC TÍNH CHẤT (NẾU CÓ) CỦA

QUAN HỆ HAI NGÔI

chất 2: Tính đối xứng (tt)

• Tính
 
Ví dụ 2: cho S={1,2,3}
không đối xứng vì

Quan hệ

16


II. CÁC TÍNH CHẤT (NẾU CÓ) CỦA
QUAN HỆ HAI NGÔI

chất 3: Tính phản (đối) xứng

• Tính
 

Quan hệ R được gọi là phản xứng nếu
x,y S,((x y(x=y)
Ví dụ:

•

Quan hệ trên phản xứng vì

•

Quan hệ”|” trên + có tính phản xứng vì
(a=b)

Quan hệ

17


II. CÁC TÍNH CHẤT (NẾU CÓ) CỦA
QUAN HỆ HAI NGÔI

chất 3: Tính phản (đối) xứng

• Tính
 
Chú ý:

•
•

Quan hệ trên A là đối xứng nếu nó đối xứng nhau qua đường chéo của tích Đề Các
AxA.
Quan hệ là phản xứng nếu chỉ có các phần tử nằm trên đường chéo là đối xứng qua

Quan hệ

18

II. CÁC TÍNH CHẤT (NẾU CÓ) CỦA
QUAN HỆ HAI NGÔI

chất 4: Tính truyền (bắc cầu)

• Tính
 

Quan hệ trên S có tính bắc cầu(truyền) nếu
x,y,z S,(x z)
Quan hệ trên S không có tính bắc cầu(truyền) nếu
x,y,z S,

Quan hệ

19


II. CÁC TÍNH CHẤT (NẾU CÓ) CỦA
QUAN HỆ HAI NGÔI

chất 4: Tính truyền (bắc cầu) (tt)

• Tính
 
Ví dụ:
Quan hệ ={(1,1), (1,2),(2,1),(2,2),(1,3),(2,3)} trên tập A={1,2,3,4} có tính bắc cầu.
Quan hệ và | trên có tính bắc cầu,
vì

(a (b (a
(a|b) (b|c) (a|c)

Quan hệ

20


BIỂU DIỄN
QUAN HỆ HAI NGÔI

CẤU TRÚC RỜI RẠC
QUAN HỆ
Quan hệ

21


III. BIỂU DIỄN QUAN HỆ HAI NGÔI

1. Định nghĩa
 
Cho là quan hệ từ A = {1,2,3,4} đến

•


B = {u,v,w}:
= {(1,u),(1,v),(2,w),(3,w),(4,u)}.
Khi đó có thể biểu diễn như sau:

Đây là ma trận cấp 4 x 3 biểu diễn
cho quan hệ
*Lưu ý: Dòng và cột tiêu đề có thể bỏ qua nếu không gây hiểu nhầm

Quan hệ

22


III. BIỂU DIỄN QUAN HỆ HAI NGÔI

Ví dụ 1:
 
Nếu là quan hệ từ A = {1, 2, 3} đến B = {1, 2} sao cho a b nếu a > b. Khi đó ma trận
biểu diễn của là:

•


Quan hệ

23


III. BIỂU DIỄN QUAN HỆ HAI NGÔI

•

  

Ví dụ 2: Cho là quan hệ từ A = {a1, a2, a3} đến
B = {b1, b2, b3, b4, b5} được biểu diễn bởi ma trận MR
b1

b2 b3

b4

b5
a1

MR =
a2
a3

Khi đó R bao gồm các cặp:
{(a1, b2), (a2, b1), (a2, b3), (a2, b4), (a3, b1), (a3, b3), (a3, b5)}
Quan hệ

24


III. BIỂU DIỄN QUAN HỆ HAI NGÔI

2. Biểu diễn quan hệ



 

Cho là quan hệ trên tập A, khi đó MR là ma trận vuông.
là phản xạ nếu tất cả các phần tử trên đường chéo của M R đều bằng 1: mii= 1 với mọi i

Quan hệ

25