Bài giản tiểu luận thuyết trình toán rời rạc chương 2 phép đếm 1

GIẢNG VIÊN HƢỚNG DẪN

Thực hiện:
Phạm Ngọc Dƣơng
Bùi Nguyễn Mạnh Cƣờng
Võ Khôi Việt

Trƣơng Minh Châu
Đinh Văn Đại
Hoàng Thanh Huy
Đỗ Bá Hƣng
Phạm Cao Thắng


ĐH QG TPHCM
ĐH CNTT

CHƢƠNG 2. PHÉP ĐẾM

Nhóm 3


NỘI DUNG


Định nghĩa: trong toán học, tập hợp có thể
hiểu tổng quát là một sự tụ tập của một số hữu
hạn hay vô hạn các đối tượng nào đó

A

Nếu a là phần tử của tập hợp A, ta kí hiệu a
Và a không là phần tử của tập hợp A
kí hiệu aA

Hai tập hợp A và B bằng nhau khi mỗi phần
tử của A đều thuộc B và ngược lại, kí hiệu A = B
Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập
hợp rỗng, kí hiệu là 
Chuong 2.phép đếm

1


Có nhiều cách để biểu diễn tập hợp
Tập hợp có thể biểu diễn bằng lời
ví dụ: A là tập hợp 4 số nguyên.
Có thể biểu diễn cách liệt kê phần tử
ví dụ: A = {1,2,3,4}
Có thể biểu diễn cách nêu lên tính chất đặc trưng của
các phần tử trong tập hợp

ℕ|n<5}

ví dụ: A = {n
Chƣơng 2.phép đếm

2


Quan hệ “bao hàm trong” và tập hợp con

Định nghĩa: cho 2 tập hợp A và B. A bao hàm trong
tập B nếu mỗi phần tử của A đều thuộc tập hợp B.

Ta nói rằng B bao hàm A
(B chứa A)
kí hiệu: A  B (hay B  A)

Khi A  B ta nói A là một tập hợp con của tập hợp B
Chƣơng 2.phép đếm

3


Quan hệ “bao hàm trong” và tập hợp con
Ví dụ:
ℝ 𝑙à 𝑡ậ𝑝 ℎợ𝑝 𝑠ố 𝑡ℎự𝑐

ℚ 𝑙à 𝑡ậ𝑝 ℎợ𝑝 𝑠ố ℎữ𝑢 𝑡ỉ
ℤ 𝑙à 𝑡ậ𝑝 ℎợ𝑝 𝑠ố 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛

ℚ
𝕀

ℤ
ℕ

ℕ 𝑙à 𝑡ậ𝑝 ℎợ𝑝 𝑠ố 𝑡ự 𝑛ℎ𝑖ê𝑛

𝕀 = ℝ − ℚ: 𝑙à 𝑡ậ𝑝 ℎợ𝑝 𝑠ố 𝑣ô 𝑡ỉ
ℝ

Ta có ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Chƣơng 2.phép đếm

4


Quan hệ “bao hàm trong” và tập hợp con
Tính chất:

 ∅ ⊂ 𝐴 𝑣à 𝐴 ⊂ 𝐴, 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑡ậ𝑝 𝐴
 𝐴⊂𝐵 ∧ 𝐵⊂𝐴 ⇒𝐴=𝐵
 𝐴⊂𝐵 ∧ 𝐵⊂𝐶 ⇒𝐴⊂𝐶

Chƣơng 2.phép đếm

5


Tập hợp lũy thừa

Định nghĩa: cho tập S, tập lũy thừa của S là tập của
tất cả các tập con của S, kí hiệu là P(S)
Ví dụ: tập lũy thừa của tập S={1,2,3} là:
P(S)={∅,{1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3} ,{1,2,3}}
Số phần tử của một tập hợp lũy thừa của tập S có n
phần tử là 2𝑛

Chƣơng 2.phép đếm

6

a/ Hợp: hợp của A và B là tập hợp tất cả các phần tử
thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A và B
kí hiệu là A ∪ B

Ta có A ∪ B = {x: x ∈ A hoặc x ∈ B}

Chƣơng 2.phép đếm

7


b/ Giao: giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tất
cả các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B
kí hiệu là A ∩ B

A

A∩B

B

Ta có A ∩ B = {x: x ∈ A và x ∈ B}
Chƣơng 2.phép đếm

8


c/ Hiệu: hiệu của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả

các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B
kí hiệu là A \ B

A
A\B

B

Ta có A \ B = {x: x ∈ A và x ∉ B}
Chƣơng 2.phép đếm

9


d/ Hiệu đối xứng của hai tập hợp A và B là tập hợp
𝐴 △ 𝐵 ≔ (𝐴\B)⋃(𝐵\A)

Chƣơng 2.phép đếm

10


e/ Phần bù: là hiệu của tập hợp con. Nếu A⊂ B thì
B \ A đƣợc gọi là phần bù của A trong B
ký hiệu CAB (hay CB A)

Chƣơng 2.phép đếm

11

Trong nhiều trƣờng hợp, khi tất cả các tập hợp đang
xét đều là tập con của một tập hợp U (đƣợc gọi
là Tập vũ trụ), ngƣời ta thƣờng xét phần bù của mỗi
tập A, B, C,... đang xét trong tập U, khi đó ký hiệu
phần bù không cần chỉ rõ U mà ký hiệu đơn giản
là CA,CB,... hoặc , 𝐴 , 𝐵 ...

𝐴 = *𝑥|𝑥 ∉ 𝐴+
Chƣơng 2.phép đếm

12


Ví dụ 1: cho 2 tập hợp A ={1,3,5) và B={1,2,3}

Ta có:

A ∪ B={1,2,3,5},

A ∩ B ={3}

Ví dụ 2: cho 2 tập hợp A ={1,3,5) và B={1,2,3}
Với Tập U={𝑥|𝑥 ∈ ℤ+ ∧ 𝑥 < 10+
Ta có:

Chƣơng 2.phép đếm

A \ B={5}
𝐴 = *2,4,6,7,8,9+

13


Hằng đẳng thức tập hợp

Chƣơng 2.phép đếm

14


Hằng đẳng thức tập hợp

Chƣơng 2.phép đếm

15


Chứng minh tập hợp bằng nhau

Chƣơng 2.phép đếm

16


Chứng minh tập hợp bằng nhau
Ví dụ: chứng minh 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵

Giả sử
Kéo theo

Suy ra
Tức là

Chƣơng 2.phép đếm

𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∉ 𝐴⋂𝐵
𝑥 ∉ 𝐴 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 ∉ 𝐵
𝑥 ∈ 𝐴 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 ∈ 𝐵
𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 (đpcm)

17


Tổng quát hóa:

𝐴1 ∪ 𝐴2 … ∪ 𝐴𝑛 =∪𝑛
𝑖=1

𝐴𝑖

𝐴1 ∩ 𝐴2 … ∩ 𝐴𝑛 =∩𝑛
𝑖=1

𝐴𝑖

= *𝑥|𝑥 ∈ 𝐴1 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴1 ∨ ⋯ ∨ 𝑥 ∈ 𝐴𝑛 +

= *𝑥|𝑥 ∈ 𝐴1 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴1 ∧ ⋯ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴𝑛 +

Chƣơng 2.phép đếm

18


Cho A,B là hai tập hợp. Tích descartes của A
và B được định nghĩa như sau:
𝐴 × 𝐵 = *(𝑎, 𝑏)|𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵+
Chú ý rằng: 𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴. 𝐷ĩ 𝑛ℎ𝑖ê𝑛 𝐴 × ∅ = ∅

Ví dụ: 𝐴 = 0,1 𝑣à 𝐵 = 𝑎, 𝑏, 𝑐
Khi đó 𝐴 × 𝐵 = 0, 𝑎 , 0, 𝑏 , 0, 𝑐 , 1, 𝑎 , 1, 𝑏 , 1, 𝑐
𝐵 × 𝐴 = 𝑎, 0 , 𝑎, 1 , 𝑏, 0 , 𝑏, 1 , 𝑐, 0 , 𝑐, 1
Tổng quát descartes của n tập hợp
𝐴1 × 𝐴2 × ⋯ × 𝐴𝑛 =
*(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 )|𝑎1 ∈ 𝐴1 , 𝑎2 ∈ 𝐴2 , … , 𝑎𝑛 ∈ 𝐴𝑛 +
Chƣơng 2.phép đếm

19


2.1 Hoán vị
Bài toán :

Trong giờ học môn Giáo dục quốc phòng, một
tiểu đội học sinh gồm 10 ngƣời đƣợc xếp thành
một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
Có bao nhiêu cách sắp
xếp????

Chƣơng 2.phép đếm

1

20


 Trả

lời:

Các cách xếp 10 ngƣời vào hàng là một
hoán vị của 10 ngƣời đó.
Định nghĩa hoán vị :

Cho tập hợp A gồm n phần tử
khác nhau(n>0).Khi sắp xếp phần tử
này theo một thứ tự, ta đƣợc một
Hoán vị các phần tử của tập A .
Chƣơng 2.phép đếm

21


 Định

lý:
Số các Hoán vị của một tập hợp có phần
tử là: Pn= n!=n(n-1)....2.1
Quy ước : 0! = 1

Ví dụ 1: Sắp xếp 6 học sinh vào vào 6 cái ghế.
Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?

Đáp án:
Chƣơng 2.phép đếm

P6 = 6!=1.2.3…6=720
22