SKKN CAC SAI LAM KHI GIAI BAI TOAN DAO HAM vu thi tung chau toan

SỞ GD-ĐT DAKLAK

TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ

Sở Giáo Dục và Đào Tạo ĐakLak
Trường THPT TRẦN PHÚ
---------------------------------

ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI
“CÁC SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN ĐẠO HÀM”

GIÁO VIÊN : VŨ THỊ TÙNG CHÂU
TỔ
: TOÁN TIN
ĐƠN VỊ : TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ

NĂM HỌC: 2010 – 2011
SKKN- CÁC SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN ĐẠO HÀM

GV: VŨ THỊ TÙNG CHÂU

-1-


SỞ GD-ĐT DAKLAK

TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

I.

Lý do chọn đề tài

Năm học 2010-2011, tôi được tổ chuyên môn phân công giảng dạy môn Toán tại các lớp 12A1,
12A9. Trong quá trình giảng dạy tôi thấy rằng học sinh còn mắc phải một số sai lầm khi giải các
bài toán liên quan tới đạo hàm, áp dụng các kiến thức đã học để giải các bài toán liên quan như
tính đồng biến, nghịch biến, tìm GTLN-GTNN, giải pt-bpt, đồ thị hàm số. Tôi lựa chọn đề tài
“CÁC SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN ĐẠO HÀM” này với mục đích giúp các em nhìn nhận
những sai lầm thường mắc phải mà các em sẽ không tự mình khắc phục được nếu không có sự
hướng dẫn của người thầy cô.
Trong chương trình giải tích 12, nội dung ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan có
một vị trí đặc biệt quan trọng. Là một công cụ rất "mạnh" để giải quyết hầu hết những bài toán
trong các đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông cũng như trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao
đẳng.
Ưu điểm của phương pháp này là rất hiệu quả và dễ sử dụng khi giải toán liên quan đến đạo
hàm.Nhằm giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về đạo hàm, có kỹ năng ứng dụng đạo hàm để
giải các bài toán liên quan nên tôi đã chọn đề tài
II. Mục đích nghiên cứu
- Chỉ ra cho học sinh thấy những sai lầm thường mắc phải. Qua đó, học sinh hiểu đúng bản
chất của vấn đề.
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả
năng tư duy, sáng tạo.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Đánh giá thực tế quá trình vận dụng giải bài tập toán lên quan đến việc ứng dụng đạo hàm,
giải các bài toán liên quan (Chương trình Giải tích 12 – Ban cơ bản) để có được bài giải toán hoàn
chỉnh và chính xác.
IV. Đối tượng nghiên cứu
- Các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo giải tích lớp 12 .
SKKN- CÁC SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN ĐẠO HÀM

GV: VŨ THỊ TÙNG CHÂU

-2-


SỞ GD-ĐT DAKLAK
V. Phương pháp nghiên cứu

TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ

- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp đối chứng.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.

SKKN- CÁC SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN ĐẠO HÀM

GV: VŨ THỊ TÙNG CHÂU

-3-


SỞ GD-ĐT DAKLAK

TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ

PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ CỦA ĐỀ TÀI
I. Cơ sở lý luận
1. Nội dung chương trình ( giải tích 12 - Ban cơ bản)

Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung và phạm vi nghiên cứu
của đề tài)
1.1. Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số.
1.2. Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến.
1.3. Công thức tính đạo hàm.
1.4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số của hàm số dựa trên định lí sau.
1.5. Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số dựa trên hai định lí sau.
1.6. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D.
1.7. Về phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x).
2. Sai lầm thường gặp khi giải toán
1.1. Sai lầm trong bài toán xét tính đơn điệu của hàm số, khi không nắm vững định nghĩa về
tính đơn điệu của hàm số hay không chú ý tới các điểm tới hạn của hàm số.
1.2. Sai lầm trong bài toán chứng minh bất đẳng thức, khi không nhớ chính xác tính đơn điệu
của hàm số để vận dụng hoặc vận dụng sai tính chất của các hàm đồng biến, nghịch biến.
1.3. Sai lầm trong việc giải các bài toán liên quan tới đạo hàm, khi vận dụng sai công thức tính
đạo hàm hay hiểu sai công thức lũy thừa với số mũ thực.
1.4. Sai lầm trong việc giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số, khi vận dụng sai về
điều kiện để hàm số có cực trị hay điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng (a;b).
1.5. Sai lầm trong việc giải các bài tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên một
miền D, khi chuyển đổi bài toán không tương đương.
1.6. Sai lầm trong việc giải các bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm
M1(x1;y1) thuộc đồ thị (C) của hàm số.
II. Cơ sở pháp lý
- Dựa trên những khái niệm, định nghĩa, định lí đã học
- Dựa trên những khái niệm, định nghĩa khác có liên quan tới quá trình giải bài tập về ứng dụng
của đạo hàm.
SKKN- CÁC SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN ĐẠO HÀM

GV: VŨ THỊ TÙNG CHÂU

-4-


SỞ GD-ĐT DAKLAK

TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ

CHƯƠNG II: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ
I. Biện pháp thực hiện
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên cứu đề tài tôi đã đưa
ra các biện pháp như sau:
1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt
2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp...
3. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá
4. Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp với từng loại đối
tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai làm thường mắc phải khi giải các bài toán về ứng
dụng đạo hàm. Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập.
5. Phân dạng bài tập và phương pháp giải
- Hệ thống kiến thức cơ bản.
- Phân dạng bài tập và phương pháp giải.
- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
II. Nghiên cứu thực tế
1. Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ minh họa
1.1. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số

 Các em thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm
số.
Ví dụ minh họa 1:
Tìm m để hàm số đồng biến trên R
y = f(x) =

1 3
x − mx 2 + (m + 2) x + 1
3

Một số học sinh trình bày như sau:
y đồng biến trên R
⇔ y , > 0, ∀x ∈ R
⇔ x 2 − 2mx + m + 2 > 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ 'x < 0
⇔ m2 − m − 2 < 0
⇔ −1 < m < 2

SKKN- CÁC SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN ĐẠO HÀM

GV: VŨ THỊ TÙNG CHÂU

-5-


SỞ GD-ĐT DAKLAK

TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ

Phân tích:
Lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài toán .Chú ý rằng:
y ' > 0, ∀x ∈ (a; b) là đk đủ để y đồng biến trên (a;b), chứ không phải điều kiện cần.Chẳng hạn y = x 3

đồng biến trên R, nhưng y′ = 3x 2 = 0 khi x = 0. Nhớ rằng y = f(x) xác định trên (a;b),
f ′( x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) nhưng f ′( x) chỉ triệt tiêu tại hữu hại điểm thuộc (a;b) thì y = f(x) đồng biến trên

(a;b).
Lời giải đúng là:
y đồng biến trên R
⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ R
⇔ x 2 − 2mx + m + 2 ≥ 0, ∀x ∈ R
⇔ ∆′x ≤ 0 ⇔ m 2 − m − 2 ≤ 0
⇔ −1 ≤ m ≤ 2

Ví dụ minh họa 2:
Xét tính đơn điệu của hàm số: y = f(x) =

x− 1
x+ 1

Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: D = ¡ \ { - 1}
2

Ta có: y' = (x+ 1)2 > 0,∀x∈ D
Bảng biến thiên:
x - ¥
y'

+¥

-1
+

+
+¥

y

1

1
- ¥

Suy ra: Hàm số đồng biến trên (- ¥ ;- 1) È (- 1; +¥ )
Phân tích:
Lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài toán ! Chú ý rằng:
nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên tập D thì với mọi x1, x2 thuộc D,
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2). Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy x1 = - 2 Î D và
x2 = 0 Î D thì x1 < x2 nhưng f(x1) = 3 > - 1 = f(x2) ???
SKKN- CÁC SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN ĐẠO HÀM

GV: VŨ THỊ TÙNG CHÂU

-6-


SỞ GD-ĐT DAKLAK
Lời giải đúng là:

TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ

Tập xác định: D = ¡ \ { - 1}
2

Ta có: y' = (x+ 1)2 > 0,∀x∈ D

Bảng biến thiên:
x- ¥
y'

+¥

-1
+

+
+¥

1

y

- ¥
1
Suy ra: Hàm số đồng biến trên từng khoảng (- ¥ ;- 1) và (- 1; +¥ ) .

1.2. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm

 Sai lầm khi vận dụng các công thức tính đạo hàm.
Ví dụ minh họa 3:
Tính đạo hàm của hàm số

a / y = ( x 2 + 1) x
b / y = sin(cos 2 x)

Một số học sinh trình bày như sau:

Ta có

a/
y ′ = x ( x 2 + 1)
= x ( x 2 + 1)

x −1

= 2 x 2 ( x 2 + 1)

x −1

. ( x 2 = 1) ′

.2 x
x −1

Ta có : b/
y ′ = cos ( cos 2 x ) . ( cos 2 x ) ′

= cos ( cos 2 x ) .2 cos x

Phân tích:
a/ Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây đã vận dụng ( x n ) ′ = n.x n −1 ở bài này thì mũ x là biến
chứ không phải là hằng số .
b/ đây là hàm hợp nên cần vận dụng triệt để quy tắc , lời giải này còn thiếu một thuừa số ở kết quả

SKKN- CÁC SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN ĐẠO HÀM

GV: VŨ THỊ TÙNG CHÂU

-7-


SỞ GD-ĐT DAKLAK
Lời giải đúng là:

TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ

a/
ln y − x.ln( x 2 + 1)
⇒

y′
2 x2
= ln( x 2 + 1) + 2
y
x +1


2x2 
⇒ y′ = ( x 2 + 1) x  ln( x 2 + 1) + 2 
x + 1


b/
y ′ = cos(cos 2 x ).2 cos x. ( − sin x )

= − sin 2 x.cos ( cos 2 x )

1.3. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số

 Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số các em cũng quên rằng đó chỉ là điều
kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Ví dụ minh họa 4: Cho hàm số y = f(x) = mx 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt
cực đại tại x = 0 ?
Một số học sinh trình bày như sau:
f '(x) = 4mx3 , f ''(x) = 12mx2.
ìï f '(0) = 0
ìï 4m.0 = 0
Û ïí
Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = 0 là: ïíï
hệ vô nghiệm m.
ïïî 12m.0 < 0
ïî f ''(0) < 0

Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Phân tích:
Ta thấy, với m = - 1, hàm số y = - x4 có y ' = - 4x3 , y ' = 0 Û x = 0.
Bảng biến thiên:
x
y'

- ¥

+¥

0
+

y

0
0

- ¥

- ¥

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0 (!)
Vậy lời giải trên sai ở đâu ?
ïì f '(x 0 ) = 0
Þ x 0 là điểm cực đại của hàm số, còn điều ngược lại thì chưa
Nhớ rằng, nếu x0 thỏa mãn ïíï
ïî f ''(x 0 ) < 0

chắc đúng
SKKN- CÁC SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN ĐẠO HÀM

GV: VŨ THỊ TÙNG CHÂU

-8-


SỞ GD-ĐT DAKLAK
Lời giải đúng là:

TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ

Ta có y ' = 4mx3. Để hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì y '(x) > 0, " x Î (- h;0) , với h > 0. Tức là:

ìïï 4mx3 > 0
Þ
í
ïïî - h < x < 0

m < 0.

Thử lại, ta thấy với m < 0 là điều kiện cần tìm.
1.4. Sai lầm khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
Ví dụ minh họa 5:
Tìm GTLN-GTNN của hàm số y =

x3
, ∀x ∈ [ −2;0]
x +1

Một số học sinh trình bày như sau:
Ta có y’ =

x 2 (2 x + 3)
( x + 1) 2

Lập BBT của y với x ∈ [ −2;0]
x
y’
y

-2
-

-3/2
0
+

-

0
+

8

0
27/4

Phân tích: Chỉ cần nhìn vào BBT các em đã thăy vô lí khi x tăng từ -3/2 đến 0 thì y tăng từ 27/4
đến 0. đây là sai lầm thường gặp khi các em lập BBT các hàm số dạng phân thức mà không xet tập
xác định của nó.
Lời giải đúng là:
Ta có :
lim y = +∞; lim+ y = −∞

x →−1−

x →−1

Do đó với x ∈ [ −2;0] hàm số không có GTLN và GTNN
x
y’

-2

-

-

SKKN- CÁC SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN ĐẠO HÀM

-3/2
0

-1
+
GV: VŨ THỊ TÙNG CHÂU

0
+
-9-


SỞ GD-ĐT DAKLAK
y

TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
+∞

8

0
27/4

−∞

Ví dụ minh họa 6:
Tìm tập giá trị của hàm số
y=

x+3
x 2 +1

Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định là R
y′ =

−3 x + 1
3

( x 2 + 1) 2

BBT
x

1
3

−∞

y’
y

+

+∞

0

-

10

−∞

−∞

Vậy tập giá trị của y là ( −∞ : 10 )
Phân tích: các em mắc sai lầm khi không nắm vững định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN) và
f ( x) = −∞ .
giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một miền D. Cứ tưởng lim
x →∞

Lời giải đúng là:

Ta có :

lim f ( x) = 1

x →+∞

lim f ( x) = −1

x →−∞

Do đó tập giá trị của y sẽ là: (-1; 10 )
2. Bài tập tương tự
Bài tập 1: tìm sai làm trong lời giải bài toán sau: “ tìm m để hàm số y =

1
nghịch biến
x − mx + 1
2

∀x ∈ (2; +∞) .
SKKN- CÁC SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN ĐẠO HÀM

GV: VŨ THỊ TÙNG CHÂU

- 10 -


SỞ GD-ĐT DAKLAK
Giải:

TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
−(2 x − m)
≤ 0, ∀x > 2
( x 2 mx + 1) 2
m
⇔ x ≥ , ∀x > 2
2
m
⇔2≥
2

⇔m≤4
y′ =

Hãy cho lời giải đúng.
Bài tập 2: Xác định m để hàm số sau nghịch biến trên [1; +∞)
y=

mx 2 + 6x - 2
x +2

Bài tập 3: Xác định m để hàm số sau nghịch biến trên (1; +∞)
y=

1 3
x − (m − 1) x 2 − (m + 3) x + 1
3

Bài tập 4: tính đạo hàm của các hàm số sau
a/ y = ( x 2 + 96 )

sin 2 x

b/ y = sin 3 5x
Bài tập 5: lập BBT của các hàm số
a/ y =

x3 − 2 x 2
x +1

b/ y = 3 1 + x + 3 1 − x

Bài tập 6: Xác định m để hàm số sau đạt cực trị tại x = 1:
æ

3
2
y = x - mx +ç
ç
çm è

ö
2÷
x +5
÷
ø
3÷

Bài tập 7: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
3
2
y = x + 3x - 72x + 90 trên đoạn [- 5;5]

III. Kết quả nghiên cứu
Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết quả đạt được có khả
quan hơn. Như vậy, bước đầu đã khắc phục được cơ bản những sai lầm của học sinh thường mắc
phải khi giải các bài tập toán liên quan đến việc ứng dụng đạo hàm, các bài toán liên quan.
SKKN- CÁC SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN ĐẠO HÀM

GV: VŨ THỊ TÙNG CHÂU

- 11 -

SỞ GD-ĐT DAKLAK

TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ

PHẦN 3: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
I – Kết luận
Trước hết, đề tài này giúp bản thân tôi tham khảo được nhiều vấn đề có ích trong giảng dạy
cho học sinh của mình, đồng thời cung cấp cho các thầy cô giáo và các em học sinh như một tài
SKKN- CÁC SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN ĐẠO HÀM

GV: VŨ THỊ TÙNG CHÂU

- 12 -


SỞ GD-ĐT DAKLAK
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
liệu tham khảo. Với lượng kiến thức nhất định về đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm, với
những kiến thức liên quan, người học sẽ có cái nhìn sâu sắc hơn về những sai lầm thường mắc phải
khi giải toán. Đồng thời, qua những sai lầm ấy mà rút ra cho mình những kinh nghiệm và phương
pháp giải toán cho riêng mình, với học sinh thì những kiến thức về đạo hàm cũng là tương đối khó,
nhất là đối với những em có lực học trung bình trở xuống. Các em thường quen với việc vận dụng
hơn là hiểu rõ bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí cũng như những kiến thức liên quan
đã được học. Đó là chưa kể sách giáo khoa hiện nay đã giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu
tượng .
Trong khuôn khổ của bài viết này, tôi không có tham vọng sẽ phân tích được hết những sai
lầm của học sinh và cũng sẽ không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự
đóng góp ý kiến của Hội đồng khoa học trường THP TRẦN PHÚ và của quý thầy cô.

II – Kiến nghị
Như trên đã nói, hàm số có rất nhiều ứng dụng và một trong các ứng dụng đó là khảo sát, vẽ
đồ thị hàm số và giải các bài toán liên quan. Ngoài ra, đạo hàm còn là công cụ để giải quyết nhiều
dạng toán khác như giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình ;
chứng minh bất đẳng thức.
Chính vì lẽ đó, tôi hi vọng đề tài sẽ đóng góp một phần nhỏ bé vào việc giải các dạng toán đã nêu
trên

PHẦN 4: TÀI LIỆU THAM KHẢO
1/ Sai lầm phổ biến khi giải toán- NXB Giáo dục
2/ Tuyển tập 30 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ - NXB Giáo Dục
3/ chuyên đề toán giải tích- NXB ĐHQG TPHCM
SKKN- CÁC SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN ĐẠO HÀM

GV: VŨ THỊ TÙNG CHÂU

- 13 -


SỞ GD-ĐT DAKLAK
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
4/ SGK Giải Tích 12- Ban cơ bản- NXB Giáo Dục

ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
SKKN- CÁC SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN ĐẠO HÀM

GV: VŨ THỊ TÙNG CHÂU

- 14 -


SỞ GD-ĐT DAKLAK
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐAKLAK
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................

SKKN- CÁC SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN ĐẠO HÀM

GV: VŨ THỊ TÙNG CHÂU

- 15 -