BÀI tập NÂNG CAO giáo viên (1)

DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Câu 1: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có biên độ bằng trung bình
0
cộng của hai biên độ thành phần; có góc lệch pha so với dao động thành phần thứ nhất là 90 . Góc lệch pha
của hai dao động thành phần đó là
0
0
0
0
A. 120 .
B. 126,9 .
C. 143,1 .
D. 105 .
Ta có: A1 + A2 = 2A, dựa vào giản đồ:
A
A
A
2
2
2
A = A − A = (A − A )(A + A ) ⇒ A − A =
2

2

1

2

1

2

1

2

1

2
0
Từ đó ⇒ A2 = 5A/4 ⇒ cosα = A/A2 ⇒ α = 36,9 ⇒ độ lệch pha của
0
0
0
2 dao động là: 90 + 36,9 = 126,9

α

A1

Câu 2: Một vật thực hiện một dao động điêu hòa x = Acos(2πt + φ) là kết quả tổng hợp của hai dao động
điều hòa cùng phương có phương trình dao động x1 = 12cos(2πt + φ1) cm và x2 = A2cos(2πt + φ2) cm. Khi
x1 = - 6 cm thì x = - 5 cm; khi x2 = 0 thì x = 63

(cm) .Giá trị của A có thể là :

A. 15,32cm
B. 14,27cm
C. 13,11cm
Ta có: x = x1 + x2.

Tại thời điểm t1: x2 = x – x1 = 1 (cm) và x1 = A1/2.
Trên vòng tròn có 2 vị trí có li độ x1 = -6, chọn 1 vị trí cố định.
A
3
Tại thời điểm t2 : x1 = x – x2 = 63 (cm) =1
2

D. 11,83cm

A1 (t2)

A2 (t2)
6

O

1A2

6 3

A1 = 12

x1; x2 (cm)

Trên vòng vòng có 2 vị trí có li độ x1 = 6 3 (chọn 1 vị trí để giải, nếu
A (t )
có đáp án thì chọn, không có giải trường hợp còn lại là đúng).
0
Cung màu đỏ biểu diễn véctơ quay của A1 từ t1 đến t2 là 150 .
A (t )

0
Từ đó suy ra véctơ quay của A2 cũng quay 150 từ t1 đến t2 như hình
vẽ.
0
Dễ dàng suy ra A2 = 2 (cm), tại thời điểm t1, A1 và A2 lệch nhau 60 (độ lệch pha không đổi theo thời gian).
600

2

1

Suy ra : A = A 212 A 2  2A A1 cos60
0
2

1

1

= 172 ≈ 13,11 (cm).

Câu 3: Khi đưa một vật lên một hành tinh, vật ấy chỉ chịu một lực hấp dẫn bằng 0,25 lực hấp dẫn mà nó chịu
trên trái đất. Giả sử một đồng hồ quả lắc chạy rất chính xác trên bề mặt Trái đất được đưa lên hành tinh đó.
Khi kim phút của đồng hồ này quay được một vòng thì thời gian trong thực tế là:
A. 0.5h
B. 4h
C. 2h
D. 0.25h
Giải: Do P’ = 0,25P nên g’ = 0,25g
l

l
l
Trên bề mặt rái đất: T = 2π
;
Trên
hành
tinh:
T’
=
2π
g
g' = 2π 0.25g = 2T
Do đó khi T’ = 1h thì T = 0,5h. Đáp án A
Câu 3: Một ô tô nặng 1000 kg chở 4 người, mỗi người nặng 60 kg đi qua con đường đất gồ ghề, với những
nếp gấp (chỗ gồ ghề) cách đều nhau 4,5m. Ô tô nảy lên với biên độ cực đại khi tốc độ của nó là 16,2 km/h.
1


2

2

Bây giờ ô tô dừng lại và 4 người ra khỏi xe. Lấy g = 10m/s , π = 10. Thân xe sẽ nâng cao trên hệ treo của
nó một đoạn là
A. 4,8cm
B. 48cm
C. 24cm
D. 2,4cm
Giải: vận tốc v = 16,2 km/h = 4,5 m/ s
4,5

l
=
=1s
Ô tô nảy lên với biên độ cực đại khi chu kỳ dao động của lò xo T =
v
4,5
m
3
-- Độ cứng của lò xo k =
2
= 49,6.10 N/m
k
4π
40.1240
T = 2π
m =
1
T2
Khi 4 người xuống xe thân xe sẽ nâng cao trên hệ treo một đoạn
∆l
=

= 0,048m = 4,8 cm. Đáp án
∆m.
240.10
3
g k = 49,6.10

Câu 4: Một vật dao động điều hòa với phương trình x =Acos( ω t + ϕ ) . Lấy π = 10 . Vị trí mà vận tốc
tức thời bằng vận tốc trung bình của vật trong một chu kì có tọa độ là :

A 15
2
A 3
A. x = ±
B. x = ±
C. x = ± A 2
D. x =± 5
5
A
2
2

3
Giải : x =Acos( ω t + ϕ ) => v = - ω A sin (ωt + φ)
2
2
Trong 1 chu kỳ thì vtb = 4A/T= 2Aω /π . Thay v = vtb vào phương trình độc lập với thời gian => x = A –
A 3
2
2
2
v / ω = 3A /5 => x =
x = ± 5 => D và A

Câu 5: Hai vật dao động điều hòa theo hai trục tọa độ song song cùng chiều. Phương trình dao động của hai
vật tương ứng là x1 = Acos(3πt + φ1) và x2 = Acos(4πt + φ2). Tại thời điểm ban đầu, hai vật đều có li độ
bằng A/2 nhưng vật thứ nhất đi theo chiều dương trục tọa độ, vật thứ hai đi theo chiều âm trục tọa độ.
Khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái của hai vật lặp lại như ban đầu là:
A. 4s.
B. 1 s.

C. 2s.
D. 3s.
2π

Giải:
nT1 = mT2 ↔ n.

= m. ↔ 4n = 3m → n = 3 → ∆t = 3.T = 2 s
()
min
min
1
2π

3π

4π

Câu 6: Hai chất điểm M và N có cùng khối lượng, dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai đường thẳng
song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên một đường
A212của
A2 N là 8 cm. Trong quá trình dao
thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biên độ của M là 6 cm,
động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 10 cm. Mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Ở thời
điểm mà M có động năng bằng thế năng, tỉ số động năng của M và động năng của N là
4
3
9
16
A. .

B. .
C.
.
D.
.
3
4
16
9
Giải:
Khoảng cách 2 vật: d = x − x = Acos(ωt + ϕ) ⇒ d = A =
1

2

Max


Suy ra x1. x2 vuông pha
Khi tại M có động năng bằng thế năng : W
W = 2.
M

1
2

2

kx =
M

1
2

=

đM

M

2 A
2 . 2
= M
= A .cosϕ;cosϕ =

2

kA ⇒ x
M

1 1
2
. kA

M

2

M

2
2


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, HàNội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

Do N,M dao động vuông pha: x

= A .sin ϕ =

N

AN. 2

N

2

2

=
đN

1 1
2
. kA

2 2

N

A
9
M
=
2 =
WđN A N 16
Câu 7: Cho 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình lần lượt là x1 = A1cos(ωt + φ1);
x2 = A2cos(ωt + φ2) và x3 = A3cos(ωt + φ3). Biết A1 = 1,5A3; φ3 – φ1 = π. Gọi x12 = x1 + x2 là dao động tổng
hợp của dao động thứ nhất và dao động thứ hai; x23 = x2 + x3 là dao động tổng hợp của dao động thứ hai và
dao động thứ ba. Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc vào thời gian của li độ hai dao động tổng hợp trên là như
hình vẽ. Giá trị của A2 là:
A. A2 ≈ 3,17 cm
B. A2 ≈ 6,15 cm
C. A2 ≈ 4,87 cm
D. A2 ≈ 8,25 cm
Theo đồ thị có x23=4cos(πt+π/2) cm=x2+x3 vì x12 sau cực đại âm sau x23 T/6 nên nó chậm pha hơn π/3
=>x12=8cos(πt+π/6) cm=x2+x1
A23
A2
0
A12
Cách 1: A1 = 1,5A3; φ3 – φ1 = π  x1=-1,5x3
60
1,5x23=6cos(πt+π/2)=1,5x2+1,5x3
0
A3

30 A1
x12=8cos(πt+π/6) cm=
Do đó:

W

⇒ W

đM

6cos(πt+π/2)+ 8cos(πt+π/6)= 1,5x2+1,5x3 +x2+x1=1,5x2+x2=2,5x2=2√37cos(πt+55,3π/180)cm A2=4,866
Cách 2: x12- x23=x1-x3=8cos(πt+π/6) - 4cos(πt+π/2) = 4√ cos(πt)
vì 2A1 = 1,5A
3; φ3 – φ1 = π nên φ1=0 (đồng pha với φ1-3)
2
2
2 2
2
2
A1−3 = + A − 2A A cosϕ ⇔ 3.16
A
+
A
+
2.1,5A
3
3
3
3
1 3

1−3
A1
=1,5
64.3/ 25 16
A323
2  A2
3
A3=
/ 5 ⇒ A2 =
=
= 4,866 cm
8
Câu 8: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số, trên hai đường thẳng song song với nhau và song song
với trục Ox có phương trình lần lượt là x1 = A1 cos(ωt +ϕ1 )
x2 = A2 cos(ωt +ϕ2 ) . Gỉa
x = x1 + x2 và
và
sử
y = x1 − x2 . Biết biên độ dao động của x gấp 2 lần biên độ dao động của y . Độ lệch pha cực đại giữa x và
1
x2 gần với giá trị nào nhất sau đây:
0

0

0

A. 36,87
B. 53,14
C. 143,14

Giải: Đặt ∆ϕ = ϕ2 - ϕ1 . Gọi biên độ của y là A; khi đó biên độ của x là 2A.
2

2

X

X2

Vẽ giãn đồ véc tơ biễu diễn x1, x2, x và y Ta
có:

0

D. 126,87

2

4A = A1 + A2 + 2A1A2cos∆ϕ (1)
2

2

2

A = A1 + A2 - 2A1A2cos∆ϕ (2)
2

2

2

Lấy (1) + (2): 5A =2( A1 + A2 ) (*)

∆ϕ=
0,6

2

(1) - (2): 3A = 4A1A2cos∆ϕ (**)
Từ (*) và (**) cos∆ϕ =

3 A

12

10

2

+ A2

A1 A2

= 0,3( X + 1
=
X

) với X

A1

>0

A2

Độ lệch pha giữa x1 và x2 ∆ϕ có giá trị cực đại khi cos∆ϕ có giá trị cực tiểu

X1


cos∆ϕ = 0,3( X + 1
X

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, HàNội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn
) có giá trị cực tiểu khi X = 1 tức khi A1 = A2

y

0

----- cos∆ϕmax = 0,6 ----- ∆ϕ max = 53,13 Chọn đáp án B
3

-X2

Câu 9: Cho hai chất điểm dao động điều hoà cùng phương, cùng
tần 2số, có phương trình dao động tương
2
ứng là : x1 = A1cos( ωt+ϕ1 ); x2 = A2cos( ωt+ϕ2 ). Biết rằng 4x1 + 9x2 = 25. Khi chất điểm thứ nhất có li
độ
x1 = −2cm , vận tốc bằng 9 m/s thì vận tốc của chất điểm thứ hai có độ lớn bằng:
A. 8 cm/s.
B. 12 cm/s.
C. 6 cm/s.
D. 9 cm/s.
Giải:
2
4. ( −2)2 + 9x = 25 ⇒
2
2
4x + 9x ' = 25 '
2
2 = 1cm lấy đạo hàm
x
1
2
8v1x1
⇔ 8v x +18v x = 0 ⇒ v = −
⇒
8.9.2
m
=
=8
v

(

)

2
1.18
s
18x 2
Câu 10: Một chất điểm dao động điều hoà không ma sát dọc theo trục Ox. Biết rằng trong quá trình khảo
sát chất điểm chưa đổi chiều chuyển động. Khi vừa rời khỏi vị trí cân bằng một đoạn s thì động năng của
chất điểm là 13,95 mJ. Đi tiếp một đoạn s nữa thì động năng của chất điểm chỉ còn 12,60 mJ. Nếu chất điểm
đi thêm một đoạn s nữa thì động năng của nó khi đó là:
A. 11,25 mJ.
B. 8,95 mJ.
C. 10,35 mJ.
D. 6,68 mJ.
1 1

2 2

2

Giải: Theo định luật bảo toàn cơ năng: W
+
đ1

Từ đó suy ra:

3

1

2

ks =
W

+
đ2

2

đ2

2

k.4s = W +

2

đ3

1

k.9s

2

2

) (1 )

2
ks = W − W ⇒ ks2 = 2 ( W − W
đ1

1

đ1

đ2

2
3
1 2 1
2
2
W = W + ks − k.9s = W − 4k.s
đ3

đ1

2

đ1

2

Thay (1) vào (2) được Wđ3 = Wđ1 − 4.

2

2

()

( Wđ1 − Wđ 2 ) = 10,35 ( mJ ).

⟹ Chọn C.

3

Câu 11: Dụng cụ đo khối lượng trong một con tàu vũ trụ có cấu tạo gồm một chiếc ghế có khối lượng m
được gắn vào đầu của một chiếc lò xo có độ cứng k = 480 N/m. Để đo khối lượng của nhà du hành thì nhà
du hành phải ngồi vào ghế rồi cho chiếc ghế dao động. Người ta đo được chu kì dao động của ghế khi không
có người là T0 = 1 s còn khi có nhà du hành là T = 2,5 s. Khối lượng nhà du hành là
A. 80 kg.
B. 63 kg.
C. 75 kg.
D. 70 kg.
Giải:
- Nhận xét: Chiếc ghế có cấu tạo giống như một con lắc lò xo treo thẳng đứng, ghế ở phía trên, lò xo ở phía
dưới. Gọi khối lượng của ghế là m (kg), của người là m0 (kg).
6


-Khi chưa có người ngồi vào ghế: T0 =
2π

m
k

m  m0
-Khi có người ngồi vào ghế: T = 2π
k

= 1 (1).
= 2,5 (2).

7


- Từ (1) và (2), ta có:


2π




= 2,5
m0m
m k
k

2

⇒

m0
k

=

2

 2,5

 1  ⇒ m = 63kg (π 2 = 10)
−

 

0
2
π

 


 2π = 1
Câu 12: Hai chất điểm dao động điều hoà trên hai trục tọa độ Ox và Oy vuông góc với nhau (O là vị trí cần
bằng của cả hai chất điểm). Biết phương trình dao động của hai chất điểm là: x = 2cos(5πt +π/2)cm và y
=4cos(5πt – π/6)cm. Khi chất điểm thứ nhất có li độ x = − 3 cm và đang đi theo chiều âm thì khoảng cách
giữa hai chất điểm là
A. 33 cm.
B. 7 cm.
C. 23 cm.
D. 15 cm.

Giải : Chọn D
t = 0: x = 0, vx< 0 chất điểm qua VTCB theo chiều âm
y = 2 3 , vy >0, chất điểm y đi 2 3 ra biên.
từ
x =− 3 hết thời gian
* Khi chất điểm x đi từ VTCB đến vị trí
T/6
* Trong thời gian T/6 đó, chất điểm y đi từ y = 23 ra biên
dương rồi về lại đúng y = 23
* Vị trí của 2 vật như hình vẽ
Khoảng cách giữa 2 vật là d =

3 2  23 2

= 15 cm

Câu 13: Hai vật dao động điều hòa dọc theo hai trục tọa độ song song cùng chiều. Phương trình dao động
của hai vật tương ứng là x1 = Acos(3πt + ϕ1) và x2 = Acos(4πt + ϕ2) . Tại thời điểm ban đầu, hai vật đều có
li độ bằng A/2 nhưng vật thứ nhất đi theo chiều dương trục tọa độ, vật thứ hai đi theo chiều âm trục tọa độ.
Khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái của hai vật lặp lại như ban đầu là:
A. 4s
B. 3s
C. 2s
D. 1s
2π 2π
2
2π 2π
1
Giải: Chu kì dao động của 2 vật: T1 =
=

=
(s); T2 =
=
=
(s)
ω1 3π
3
ω 2 4π
2
Khoảng thời gian để trạng thái của hai vật lặp lại như ban đầu là:
2
1
t = n1T1 = n2T2 với n1; n2 nguyên dương => n1 = n2 => n1 = 3n; n2 = 4n
3
2
Do đó t = 3nT1 = 4nT2 = 2n (s). n = 0 ứng với t = 0
Khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái của hai vật lặp lại như ban đầu là t = 2 (s) (n = 1)
Đáp án C
Câu 14: Một vật có khối lượng không đổi thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa
x1 = 10cos(ωt + ϕ1 ) và
π

π
x = A cos ωt −  , phương trình dao động tổng hợp của vật là x = Acos(ωt − ) . Để vật dao động với




2
biên độ bằng một nửa giá trị cực đại của biên độ thì A2 bằng bao nhiêu?

A. 10 3 cm
B. 20cm
C. 20 / 3 cm
2

2

3
D. 10/ 3

cm


πA
1
sin

Mà ta có

sin

A

=>Amax =

A1
cos

π

π

6

1

2
2

/3

2

A
A2

3

α

= 10 .
A2 = 2A1 sin
6
2 Ta có:
2
2
2
A = A + A → A = A − A → A = A + A − 2AA cos(ϕ − ϕ )
2

1

2

π = 20 . Để A = Amax/2 = 10 thi
3

A1

π

max

6

 
⇔A⊥A

⇔α=

A1 sinα
A
α
⇒A=
= sin

1

2

2

1

2

2

→10 = A + A − AA
→A −
AA
3
2

2

2

2

3

∆

φ
/3

2

/6

/6

+ A −10 = 0 (*)
2

2

O

2

Phương trình trên luôn có nghiệm nên:
∆ = 3A2 − 4A2 − 4.102 ≥ 0 → A ≤ 20(cm)
Khi A=10(cm) từ (*) suy ra: A2 = 103

(cm)

3
* Định lý hàm số sin trong tam giác ∆OA1 A
10
0
.sin
 A=
 Amax = 20cm khi α = 90
sin α

π

6
* Khi A=Amax/2 =10 cm  Dùng định lý hàm số cos trong ∆OA1 A  A = 10 3

( cm) .

Câu 15: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = A.cos(ωt). Tỉ số giữa tốc độ trung bình và vận tốc
trung bình khi vật đi được sau thời gian 3T/4 đầu tiên kể từ lúc bắt đầu dao động là:
A. 1/3
B. 3
C. 2
D. 1/2
Giải:
2 −
là độ dời. Vận tốc trung bình trong một chu kỳ luôn bằng
x2 − x1
, Δx = x1
Vận tốc trung bình: v =
không

x

tb

t 2 − t1

Tốc độ trung bình luôn khác 0:

S
trong đó S là quãng đường vật đi được từ t1 đến t2.
t2 − t1
3T
3T

S x23A
 x1 4A
Tốc độ trung bình: vtocdo = =
=
(1);
chu kỳ đầu vật đi từ x1 = + A (t1 = 0) đến x2 = 0 (t2 =
)
t 3T
T
4
4
4
(VTCB theo chiều dương)
0−
(2). Từ (1) và (2) suy ra kết quả bằng 3.
A
4A
Vận tốc trung bình: v
=
=
=
vtb =


van toctb

t −t
2

1

3T

−0

3T

4
Câu 16: Một vật dao động điều hòa với phương trình li độ: x = 4cos(8πt –2π/3) cm. Thời gian vật đi được
quãng đường S = (2 + 2 2 ) cm kể từ lúc bắt đầu dao động là:


A. 1/12

B. 5/66

C. 1/45

D. 5/96

Giải:
2 . Thời gian:
Vật xuất phát từ M đến N thì đi được quãng đường S = 2 + 2
Δt =

5
T T
(s)
12 + 8 = 96

Câu 17: Một chất điểm dao động đh trên trục Ox.Tốc độ trung bình của chất
điểm tương ứng với khoảng thời gian thế năng không vượt quá 3 lần động năng trong 1 nửa chu kì là 300√3
(cm/s)Tốc độ cực đại của dao động là:
A.400 cm/s
B.200 cm/s
C.2 m/s
D.4 m/s
Giải:

≥

w ≤ 3w ⇒
w
T

Thế năng không vượt quá 3 lần động năng:

d

wt

d

3
2
4
≥
w
w=k
4kx

= wT + wd
= 3.2
2
3
A

2

T

Góc quay AOB=

2π

x ≤ ± 3A
2

,thời gian quay:

3
∆t =

∆ϕ

ω

Quãng đường trong một nửa chu kì ứng chất điểm quay từ A đến B là: 3 A
Tốc độ trung bình:

v =

S
tb

=
t
2π

3A
∆ϕ

ω

=

3A
∆ϕ

= 3vma = 3003
x

Suy ra vmax=2π (m/s)

3


Câu 18: Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A và chu kì là T = 2s. Biết khoảng thời gian ngắn
nhất để vật đi từ x1 = 1,8cm theo chiều dương đến x2 =theo chiều âm là 1/6 s. Biên độ của dao động là:
A. A=
Giải:

cm.

B. A =

cm.

C. A =

cm.

D.A =

gọi pha dao động khi vật có ly độ x2 làta có
(sd giải PT bằng máy tính)

cm


Câu 19: Một vật dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ là A = 4cm, khi vật đi qua vị trí cân bằng thì
tốc độ của vật là 40cm/s. Tại thời điểm t1 vật có vận tốc v1 = 10cm/s và gia tốc có giá trị âm. Trước đó π/60 s vận tốc củ

A.

(cm/s).

B.

(cm/s).

C.

(cm/s).

D.

(cm/s).

Giải:

pha ban đầu của vận tốc (trên trục O v) là
trước đó

tức là lúc đó pha của vận tốc là

vận tốc lúc này là
π

Câu 20: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 2 cos 5πt +
+1(cm)

. Trong giây đầu tiên kể



6

từ lúc vật bắt đầu dao động vật đi qua vị trí có ly độ 2cm theo chiều dương mấy lần?
A. 2.
B. 3.
C. 4.

D. 5
Giải:
2π
Ta có: T =
= 0, 4s
ω
Khi x = 2cm ⇒ X = 1 cm.
π

Xét X = x −1 = 2 cos 5πt + cm


6

π
Khi t = 0 : X0 = 2 cos 
3cm theo chiều âm
=
6
Trong giây đầu tiên vật thực hiện được 2,5 chu kỳ . Trong mỗi chu kỳ vật qua li độ X = 1cm theo
chiều dương 1 lần.
Do đó trong giây đầu tiên kể từ lúc vật bắt đầu dao động vật đi qua vị trí có ly độ X = 1cm hay x =
2cm theo chiều dương 2 lần
Câu 21: Cho một vật dao động điều hòa với chu kì T. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất từ lúc công suất lực
hồi phục cực đại đến lúc động năng vật gấp ba lần thế năng.
A.T/24
B. T/36
C. T/6
D. T/12
Giải

Giả sử x=Acos ωt
1
2
Công suất lực hồi phục là: P=F.v=kA.cos ωt .A ωAsin ωt = kωA sin 2ωt
2
T
8
P max khi sin 2ωt = 1 → t =


→x=

A

22

( lấy một giá trị dương để tính)
Động năng bằng 3 lân thế năng 1 kA2 = 3. 1 kx2 + 1 kx2 → x = A
2
2
2
2


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, HàNội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn
Thời gian ngắn nhất góc quét như hình: ϕ =

Thời gian : t =

ϕ
2π

π
3

−

π
4

=

π
12

T

T=

24

Câu 22: Một vật có khối lượng m=100g chuyển động với phương trình x = (4 + Acosωt) (cm;s).Trong đó
A,ω là những hằng số. Biết rằng cứ sau một khoảng thời gian ngắn nhất π s thì vật lại cách vị trí cân bằng
30
42 cm. Xác định tốc độ vật và hợp lực tác dụng lên vật tại vị trí x1= - 4cm.
A. 0 cm/s và 1,8N
B. 120cm/s và 0 N

C. 80 cm/s và 0,8N
D. 32cm/s và 0,9N
Giải:
C1: + Vì khoảng thời gian ngắn nhất để vật có cùng khoảng cách tới VTCB ⇒ Góc pha nhỏ nhất ứng với
0

0

hai thời điểm đó là 360 /4 = 90 hay ∆t = T/4 ⇒ Vị trí có li độ |x’| =
⇒ A = 8cm. và T =

2π
15

A 2
2

⇒ω = 15(rad/s)

+ Khi x = - 4cm ⇒ li độ x’ = - 8cm = -A⇒ v = 0
2
2
⇒ Hợp lực Fhl = - mω x’= -0,1.15 .(-0,08) = 1,8N.
C2:
* x = (4 + Acosωt) => y = x – 4 = Acoswt

π

* cứ sau một khoảng thời gian ngắn
nhất

s thì vật lại

T/4
-

-4

0

y
4

A

30

cách vị trí cân bằng 4 2 cm :
2 π
+ T/4 =
s => T = π/7,5 (s) => w = 15
30
+ A/
= 4 2 => A = 8 cm
* tại vị trí x1= -4cm. => y = - 4 – 4 = - 8 cm = - A
+ tốc độ vật : v = 0
2
2
+ hợp lực tác dụng lên vat : F = -ky = -22,5.(- 0,08) = 1,8N (k = mw = 0,1.15 = 22,5)
ĐÁP ÁN A

π
Câu 23: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 5cos(4π t − ) −1 (cm) . Tìm thời gian trong
6
chu kì đầu để tọa độ của vật không vượt quá -3,5cm.
sin
A. 1/12 s
B.1/8 s
C. 1/4s
D. 1/6 s
Giải:

π

+ x là tọa độ, li độ x’ = 5cos(4πt -

6

)cm.

+ x ≤ - 3,5cm ⇒ x’ ≤ - 2,5cm = - A/2.
0
+ ∆t = 2T/3 ⇒ góc quét 240 như hình bên
0
⇒ Góc quét của bán kính thỏa mãn điều kiện bài là: 90 ⇒∆t = T/4 = 1/8(s)

-

A 3
2

-AA

2400

2
3

cos


Đáp án B.

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, HàNội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, HàNội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn
Câu 24: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 6cos(2πt −π )cm. Tại thời điểm pha của dao động
bằng 1 6 lần độ biến thiên pha trong một chu kỳ, tốc độ của vật bằng
A. 6π cm/
s.

B. 12 3π cm/

C. 6 3π cm/

s.

D. 12π cm/ s.

s.

Giải:
π
1
+ Độ biến thiên pha dao động trong 1 chu kì là ∆ϕ = 2π⇒ (ωt + ϕ) = ∆ϕ =
6

3

+ v = -12πsin(ωt + ϕ) = - 6 3 π (cm/s) ⇒ Tốc độ |v| = 6 3 π (cm/s)
π
Câu 25: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 8cos(2 t- ) cm. Thời điểm thứ 2010 vật qua vị trí
6
có vận tốc v = - 8 cm/s là:
M1
A. 1005,5 s
B. 1004,5 s
C. 1005 s
D. 1004 s
Giải:

+ v = x’ = 16πcos(2πt +

π
6

)cm/s.

M0

+ t0 = 0 ⇒ v0 = vmax 3
và đang giảm.
2
+ v = - 8π(cm/s) = −

vmax
2

⇒ t2010 = t2 + (2010 − 2)

T

=

7T
12

-vmax

vmax

+1004T =

2

M2

Câu 26: Hai chất điểm chuyển động trên quỹ đạo song song sát
nhau, cùng gốc tọa độ với các phương trình x1 = 3cos(ωt)(cm) và x2 = 4sin(ωt)(cm). Khi hai vật ở xa nhau
nhất thì chất điểm 1 có li độ bao nhiêu?
A.± 1,8cm
B. 0
C. ± 2,12cm.
D. ± 1,4cm.
Giải:
•Cách 1: Phương pháp giản đồ.
+ Khoảng cách hai chất điểm là hình chiếu của hai đầu mút
A1A2 xuống Ox. Và
khoảng
cách này cực đại khi A1A2 song
A212
 A2
song với Ox như hình vẽ.
+ Theo hệ thức lượng trong tam giác ta có:
2

A =| x | .d =| x
1
1
| .1

2

⇒ | x |= A 1
1,8cm.
1
2
2

|x1|

d

A1

A2

A1

=

x

x1

x2

A1 + A 2

•Cách 2: Phương pháp đại số.
+ Khoảng cách hai chất điểm dmax
= |x1 - x2| = 5|cos(ωt

+

)|cm.
⇒ Khoảng
cách này cực

đại
d

= 5cm ⇒ (ωt +

53π
180


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, HàNội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn
O+ kπ

53π
180

)=±1

⇒ωt = -

53π

180

+ Li độ của chất điểm 1 là: x1 = 3cos(ωt) = 3. (±0,6) = ±1,8cm.


Câu 27: Hai chất điểm M, N dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song
với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc
với Ox. Phương trình dao động của chúng lần lượt là x1 = 10cos2πt (cm) và x2 = 10 3 cos(2πt + π ) (cm) .
2
Hai chất điểm gặp nhau khi chúng đi qua nhau trên đường thẳng vuông góc với trục Ox. Thời điểm lần thứ
2013 hai chất điểm gặp nhau là:
A.16 phút 46,42s.
B. 16 phút 47,42s
C. 16 phút 46,92s
D. 16 phút 45,92s
Giải:
+ Khoảng cách hai chất điểm d = |x1 - x2| = 20|cos(2πt -

π
3

)|

⇒t=

+ Khi hai chất điểm đi ngang qua nhau thì d = 0

5
12

+

k
2

Vậy lần thứ 2013 (k = 2013 - 1) hai chất điểm gặp nhau ở thời điểm: t = 16phút 46,4166s = 16 phút 46,42s
Đáp án A
Cách 2: Giải: ta có x2 =
10
x1 = x2 => 10cos(2πt = - 10
=> 2πt = - π + kπ
6

3

cos(2πt +

3

=> t = -

π
2

sin(2πt )
1
12

+

k
2

) cm = - 10

3

sin(2πt )

=> tan(2πt ) = -

1
3

(s) với k = 1; 2; 3.... hay t =

5
12

Thời điểm lần đầu tiên hai chất điểm gặp nhau ứng với k = 0: t1 = 5
Lần thứ 2013 chúng gặp nhau ứng với k = 2012 --> t2013 = 1006

5 12

+

k
2

với k = 0, 1,2 ...

s.

12 = 16phút 46,4166s = 16 phút 46,42s Đáp

án A.
Câu 28: Hai chất điểm dao động điều hoà trên hai trục tọa độ Ox và Oy vuông góc với nhau (O là vị trí cần
bằng của cả hai chất điểm). Biết phương trình dao động của hai chất điểm là: x = 2cos(5πt +π/2)cm và
y
=4cos(5πt – π/6)cm. Khi chất điểm thứ nhất có li độ
x = −3 cm và đang đi theo chiều âm thì khoảng
cách giữa hai chất điểm là
7 cm.
A. 33 cm.
C. 23 cm.
D. 15 cm.
Giải:
B.
π
+ Hai dao động lệch pha nhau 2
3
cm và đang giảm thì
+ Thời điểm t, dao động thứ nhất x = - 3
π

góc pha là α1 = 5

6

⇒ góc pha của dao động thứ hai là α2 =

3 cm.

π
6

(= α1 - 2

π
3

)⇒y=2


Vì hai dao động trên hai phương vuông góc nhau nên khoảng
cách của chúng là: d = x2  y2 = 15 cm


Giải
t = 0: x = 0, vx< 0 chất điểm qua VTCB theo chiều âm
y = 23 , vy>0, chất điểm y đi từ 2 3 ra biên.
* Khi chất điểm x đi từ VTCB đến vị trí x = − 3 hết thời gian T/6
* Trong thời gian T/6 đó, chất điểm y đi từ y = 23 ra biên dương rồi về lại đúng y = 23
* Vị trí của 2 vật như hình vẽ

3 2 1523 2 =

Khoảng cách giữa 2 vật là d =
Chọn D

Câu 29: Hai vật dao động điều hòa coi như trên cùng 1 trục Ox, cùng tần số và cùng vị trí cân bằng, có các

0
biên độ lần lượt là 4cm và 2cm. Biết độ lệch pha hai dao động nói trên là 60 . Tìm khoảng cách cực đại giữa
hai vật?
cm 3 D.6cm.
A. 2 3cm B. 2 2cm
C. 3
Giải:
* Hiệu của 2 dđ : x = x1 – x2 = Acos(wt +ϕ)
2
0
2
2
2
2
A = A1 + A2 – 2A1A2cos∆ϕ = 4 + 2 – 2.4.2cos60
=> A = 2 3 cm
3 cm
* Khoảng cách cực đại giữa 2 vật : xmax= A = 2

ĐÁP ÁN A

Câu 30: Hai vật dao động điều hòa quanh gốc tọa độ O (không va chạm nhau) theo các phương trình:x1 =
2cos(4πt)(cm) ; x2 = 2 3 cos(4πt +

π

)(cm). Tìm số lần hai vật gặp nhau trong 2,013s kể từ thời điểm ban

6

đầu.
A. 11 lần

B. 7 lần

C. 8 lần

Giải:
+ Khoảng cách hai dao động d = |x1 - x2| = 2|cos(4πt - 2
+ Khi hai dao động gặp nhau thì d = 0.
+ ∆t = 2,013(s) = 4,026T =
4426T

T

12

+7

T

+ 0,

D. 9 lần

π )|cm.
3

= thời điểm lần 1 + k

T
2

+ ∆t1 (< T/2)

2

(Vì hai lần liên tiếp qua vị trí cân bằng hết T/2)
⇒ Số lần gặp nhau là 1 + 7 = 8 lần ⇒Đáp án C.
Câu 30: Hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số, dao động 1 có phương trình
π
π


x = 8cos 5πt − cm , phương trình dao động tổng
x1 = A1 cos 5πt + cm , dao động 2 có phương trình 1

2
3
hợp x = Acos(5πt + ϕ)cm, A1 có giá trị thay đổi được. Thay đổi A1 đến giá trị sao cho biên độ dao động


tổng hợp đạt giá trị nhỏ nhất, tại thời điểm dao động tổng hợp có li độ bằng 2cm hãy xác định độ lớn li độ
của dao động 1?
A. 4cm B. 3cm
C. 6cm
D. 5cm
Giải:

Vẽ giãn đồ véc tơ như hình vẽ. Ta có β=

π

A1

6
Theo đinh lý hàm số sin
A2 ⇒ A = A2 .sinβ
sin
sin
A
=
α
α
sin β
π

A = Amin khi α = 2π⇒ πsin α =
A1 = 4 3cm / s
π 1⇒ A = Amin = 4cm; π
⇒ ϕ = − = − ⇒ x = 4 cos 5πt − cm


3 2
6
6

π 1
π



= ⇒ sin 5πt −
3= ±
Khi x = 2 ⇔ cos 5πt −




6 2
6
2


π
π π
π



cos 5πt +
= cos 5πt − +
= −sin 5πt −
=3







3
6 2
6 2



π


Do vậy: x1 = 43 cos5πt  = ±6cm
3
+


α
A2

A

β

Câu 31: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, biết phương
trình x1 = A1cos(ωt – π/6) cm và x2 = A2cos(ωt – π) cm có phương trình
dao động tổng hợp là x = 9cos(ωt + φ). Để biên độ A 2 có giá trị cực đại thì
A1 có giá trị:
A. 18 3 cm
B. 7cm
C. 15 3 cm
D. 9 3 cm
HD: Vẽ giản đồ vectơ như hình vẽ và theo định lý hàm số sin:

A2
A
Asinα
, A2 có giá trị cực đại khi sinα có giá trị cực đại bằng 1 ⇒ α = π/2
=
⇒A2=
π
π
sinα
sin
sin
A22  A2
182  92
6
6
=
= 3 (cm).
A2max = 2A = 18cm ⇒ A1 =
9

Câu 32: Hai chất điểm cùng thực hiện dao động điều hòa trên cùng một trục Ox (O là vị trí cân bằng),
có cùng biên độ A nhưng tần số lần lượt là f1 = 3Hz và f1 = 6Hz. Lúc đầu cả hai chất điểm đều qua li độ
A/2 theo chiều âm. Thời điểm đầu tiên các chất điểm đó gặp nhau là
A. 2/9s.
B. 1/3s.
C. 1/9s.
D. 2/27s.
Giải:
Nhau đầu tiên khi hai chất điểm M1 và M2 có cùng li độ do tần số vật M2 gấp đôi M1 nên độ dài cung mà
0

0
0
M2 chuyển động được sẽ gấp 2 lần M1 nên ta có 2(60 −α) = 60 +α ⇒ α = 20 như vậy từ khi bắt đầu
chuyển động đến khi gặp nhau chất điểm M1 chuyển động được góc 40 độ .
1
40 .T 40.( )
1
3 =
1
Khi đó thời gian chất điểm M1 chuyển động đến khi gạp nhau là t =
=
đáp án D
360
360
27


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, HàNội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

M2
α
α

A

BM1

M1trungM2

Câu 33: Hai chất điểm dao động điều hoà trên hai trục tọa độ Ox và Oy vuông góc với nhau (O là vị trí cần
bằng của cả hai chất điểm). Biết phương trình dao động của hai chất điểm là: x = 2cos(5πt +π/2)cm và y =
4cos(5πt – π/6) cm. Khi chất điểm thứ nhất có li độ x = - 3 cm và đang đi theo chiều âm thì khoảng cách
giữa hai chất điểm là
A.3 3 cm.
C. 2 3 cm.
D. 15 cm.
7 cm.
B.
Giải: Giả sử chất điểm M dao động trên trục Ox;
chất điểm N dao động trên trục Oy.
Vẽ giãn đồ vec tơ như hình vẽ:
Ở thời điểm ban đầu M ở O; N ở N0
.Khi M có li độ x = - 3 cm và đang đi theo chiều âm;
π
ta có : x = 2cos(5πt + )cm = - 3 cm
x
MO
2
π
3
5π
= cos
cos(5πt + ) = 2
2
6
5πt = 5π - π + 2kπ = π + 2kπ

6 2
3
3
Khi đó y = 4cos(5πt – π ) = 4cos( π + 2kπ) = 2
cm
6
6
3 MN
15
Khoảng cách giữa3hai chất điểm
2

MN =
(-

2

) +
(2

2

) = 15 ----> MN
=

cm . Chọn đáp án D

2
Câu 34: Hai chất điểm M và N cùng dao động điều hòa trên cùng một trục tọa độ Ox ( O là vị trí cân bằng
của chúng ), coi trong quá trình dao động hai chất điểm không va chạm vào nhau. Biết phương trình dao

động của chúng lần lượt là x1 = 10Cos( 4πt +π/3) và x2 = 10
Cos( 4πt +π/12)cm. Hai chất điểm cách
nhau 5cm ở thời điểm đầu tiên kể từ lúc t = 0 là
2
A. 1 8 s
B. 1 9 s
C. 5 24 s
D. 11 24 s
Giải :
L = x2- x1 = 10
Cos( 4πt +π/12) - 10Cos( 4πt +π/3) = 10Cos( 4πt -π/6) cm
Với L = 5cm