Đề thi học sinh giỏi toán lớp 7 cấp huyện

UBND HUYỆN YÊN DŨNG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán lớp 7
Thời gian làm bài: 150 phút

(Đề thi gồm có 01 trang)

Câu 1 (4 điểm)
Tính giá trị các biểu thức sau
2 2
1


 0,4- 9 + 11 1 6 + 0,875 − 0, 7 ÷
2) B = 2014:  2 7 7 . 1
.
1 ÷
1 − +
÷
+ 0, 25 −
3
5 
 5 9 11

1 1 1
1

1
+ + + .
3 15 35 63 99

1) A = +

Câu 2 (4 điểm)
1) Tim tất cả các cặp số nguyên ( x; y ) thoả man: 2 x +1.3 y = 12 x.
2) Cho hai biểu thức M =
Chứng minh rằng:

1
1
1
1
1
1
+
+ .......... +
+
+ ............... +
và N =
.
1.2 3.4
37.38
20.38 21.37
38.20

M
là một số nguyên.

N

Câu 3 (4 điểm)
1) Cho các số x,y,z thoả man

x
y
z
=
=
.
2013 2014 2015

Chứng minh rằng 4( x – y )(y - z) = ( z – x )2.
2) Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2013 − x + 2014 − x .
Câu 4 (6 điểm)
µ .
1) Cho hinh vẽ, biết ·ABC = µA + C

x

A

Chứng minh rằng: Ax // Cy .
B
y

C

2) Cho tam giác ABC. Kẻ AH vuông góc với BC tại H . Gọi M là trung điểm của BC.

·
·
·
µ = 2C
µ . Tính các góc của tam giác ABC.
Biết BAH
và B
= HAM
= MAC

Câu 5 (2 điểm)
Cho ba số x, y, z ≠ 0 thỏa man xy + 2013x + 2013 ≠ 0 ; yz + y + 2013 ≠ 0 ; xz + z + 1 ≠ 0 và
xyz = 2013. Chứng minh rằng:

2013 x
y
z
+
+
= 1.
xy + 2013 x + 2013 yz + y + 2013 xz + z + 1

.................................... Hết ......................................
Họ và tên thí sinh: ........................................................ Số báo danh: .....................


UBND HUYÊN YÊN DŨNG

ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

MÔN: TOÁN, LỚP 7

ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu

(Đáp án - thang điểm gồm 3 trang)

Ý

Nội Dung
1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
A= + + + +
+
+
+
= +
3 15 35 63 99 1.3 3.5 5.7 7.9 9.11
1 1 1 1
1 3 3 5

1 1
9 11

2A = − + − + ..... + −
a

2A = 1 -

1
11

b

a

Vậy B = 2014
x
Ta có 2 x +1.3 y = ( 4.3)

0,5diểm
0,5diểm

2 x +1.3 y = 22 x.3x

0,5diểm

0,5diểm

1diểm

Suy ra x + 1 = 2x và x = y

0,5diểm

Vậy (x,y) = (1;1)

0,5diểm

1 1 1 1
1
1
−
1 2 3 4
37 38
1  1 1 1
1 
 1 1
M =  1 + + + ... + ÷−  + + + ..... + ÷
37   2 4 6
38 
 3 5
1   1 1
1
 1 1
M =  1 + + + ..... + ÷− 1 + + + ..... + ÷
38   2 3
19 
 2 3

1

1
1
+ + ..... +
20 21
38
1
1 1
1
1
1
+ + + + ..... + +
Lại có 58N =
20 38 21 37
38 20
1
1
1
+ + ..... +
29N =
20 21
38

M=

b

0,5diểm
0,5diểm

Ta có M = − + − + ..... +

2

0,5diểm

5
11
 2 2 2 7 7 7 
+ − ÷
 - +
B = 2014:  5 9 11 . 6 8 10 ÷
 7−7+ 7 1+1−1 ÷
 5 9 11 3 4 5 
2 7
B = 2014:  . ÷
7 2

Vậy A =
1

Điểm
0,5diểm

0,25diểm
0,25diểm
0,25diểm

0,25diểm
0,25diểm
0,25diểm

Suy ra
Vậy
a

Ta có

0,25diểm

M
= 29
N

M
= 29 là một số nguyên.
N

0,25diểm

x
y
z
x− y y−z z−x
=
=
=
=
=
2013 2014 2015

−1
−1
2

1 diểm
0,5diểm

2

 x-y  y − z   z − x 
Nên 
÷
÷= 
÷
 -1  −1   2 

b

Hay 4(x – y)(y – z) = (z – x)2
Áp dụng BĐT a + b ≥ a + b
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a,b cùng dấu
Ta có P = x − 2013 + 2014 − x

0,5diểm
0,5diểm
0,25diểm
0,5diểm

P = x − 2013 + 2014 − x = 1 = 1
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi 2013 ≤ x ≤ 2014

Vậy minP = 1 khi và chỉ khi 2013 ≤ x ≤ 2014
A

x

z

B

a
y

0,5diểm
0,25diểm

C

Kẻ tia Bz nằm giữa hai tia BA và BC sao cho tia Bz //Ax (1)
Suy ra ·ABz = µA ( Cặp góc so le trong)
·
µ
Mặt khác hay ·ABz + CBz
= µA + C
·
µ
Do đó CBz
=C
·
µ là hai góc so le trong
Mà CBz

và C
Do đó Bz //Cy (2)
Từ (1) và (2) suy ra Ax // Cy (đpcm)

0,5diểm
0,5diểm
0,5diểm
0,25diểm
0,25diểm
0,5diểm
0,5diểm

µ + 2 BAC
·
= 900
Xét tam giác AHC vuông tai H ta có C

0,5diểm

4

3


0,25diểm

µ = 900 − 2 BAC
·
Suy ra C

b

3

µ = 2C
µ nên
Mặt khác B

4·
µ = 2(900 − 2 BAC
·
B
) = 1800 − BAC
3
3

0,5diểm

·
µ +C
µ = 1800 ( tổng 3 góc của một tam 0,25diểm
Xét tam giác ABC ta co BAC
+B
giác)
4·
2·
0,5diểm
·
+ 1800 − BAC
+ 900 − BAC

= 1800
Do đó BAC

5

3
3
·BAC = 900
µ = 600 và C
µ = 300
Suy ra B
2013 x
y
z
+
+
= 1.
Đặt A =
xy + 2013 x + 2013 yz + y + 2013 xz + z + 1
2013
2013
Vi xyz = 2013 suy ra xy =
và y =
z
xz
2013 x
y
z
+
+

= 1.
Do đó A = 2013 + 2013 x + 2013 yz + 2013 + 2013 xz + z + 1
z
xz
xz
1
z
+
+
A=
1 + xz + z z + 1 + xz xz + z + 1
xz + z + 1
=1
A=
xz + z + 1

Vậy A = 1 ( đpcm)
Học sinh làm cách khác vẫn cho điểm tối đa

0,5diểm
0,5diểm

0,5diểm
0,5diểm
0,5diểm
0,25diểm
0,25diểm