Hàm số: Hàm số bậc nhất

TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

Dạng 1.

Tìm tập xác định của hàm số (TXĐ).

Dạng 2.

Khảo sát sự biến thiên của hàm số. Lập bảng biến thiên.

Dạng 3.

Hàm số chẵn – Hàm số lẻ.

Dạng 1.

Khảo sát sự biến thiên của hàm số. Lập bảng biến thiên. Vẽ đồ thị.

Dạng 2.

Ứng dụng khảo sát hàm số
Vào bài toán biện luận số nghiệm của phương trình.
Vào bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất
(GTNN).
Vào bài toán tìm điều kiện của tham số trong bất phương trình.

Dạng 3.

Tìm điểm cố định của họ đồ thị hàm số bậc nhất.

Dạng 1.

Khảo sát sự biến thiên của hàm số. Lập bảng biến thiên.. Vẽ đồ thị.

Dạng 2.

Biến đổi đồ thị dựa vào tính chẵn lẻ của hàm số.
Ứng dụng của đồ thị hàm số ddeer biện luận về số nghiệm của
phương trình.

Dạng 3.

Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN).
Tìm điều kiện của tham số trong các bất phương trình.

Dạng 4.

Tìm điểm cố định của họ Parabol.

Dạng 5.

Sự tương giao giữa Parabol với đường thẳng.

Bản đầy đủ của cả chuyên đề này và các chuyên đề khác, xem và tải (có phí) tại địa
chỉ website:
/>Trong quá trình sử dụng tài liệu, nếu có khó khăn hay có những lỗi sai xin hãy
phản hồi tới E.T.C theo hotline, website và facebook.
Tài liệu này chúng tôi xây dựng dựa trên bài tập Toán theo chương trình học của học sinh
trường THPT Chuyên Ngoại ngữ. Có chỉnh sửa, bổ sung kiến thức – chuyên đề, thêm đáp
án để phù hợp với mọi đối tượng học sinh và các đồng nghiệp tham khảo.

1
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Hàm số bậc nhất y = ax + b ( a ≠ 0 )
TXĐ: D = ! .
Chiều biến thiên:
a > 0 hàm số đồng biến trên ! .
a < 0 hàm số nghịch biến trên ! .
Đồ thị của hàm số là một đường thẳng không song song, không trùng với các
⎛ b ⎞⎟
trục tọa độ, luôn đi qua hai điểm A 0;b và B⎜⎜⎜− ;0⎟⎟ .
⎜⎝ a ⎟⎟⎠

( )

2. Hàm số y = b
TXĐ: D = ! .
Hàm số này là hàm hằng.
Đồ thị của hàm số là một đường thẳng vuông góc với trục tung tại điểm có

( )

tọa độ 0;b .
3. Hàm số y = x
TXĐ: D = ! .
Hàm số này là hàm số chẵn.

(

)

(

)

Hàm số đồng biến trên khoảng 0;+∞ và nghịch biến trên khoảng −∞;0 .
4. Hàm số y = ax + b ( a ≠ 0 )
TXĐ: D = ! .
Chiều biến thiên:

⎛
b ⎞⎟⎟
⎜
⎜
a > 0 hàm số nghịch biến trên khoảng ⎜−∞;− ⎟ và đồng biến trên
⎜⎝
a ⎟⎟⎠
⎛ b
⎞⎟
⎜
⎜
khoảng ⎜− ;+∞⎟⎟ .
⎟⎟⎠
⎜⎝ a
⎛
b ⎞⎟

a < 0 hàm số đồng biến trên ⎜⎜⎜−∞;− ⎟⎟ và nghịch biến trên khoảng
⎜⎝
a ⎟⎟⎠
⎛ b
⎞
⎜⎜− ;+∞⎟⎟ .
⎟⎟
⎜⎜ a
⎝
⎠⎟
BÀI TẬP
Dạng 1.

Khảo sát sự biến thiên của hàm số. Lập bảng biến thiên. Vẽ đồ thị.

2
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

Bài 1. Lập bảng biến thiên của các hàm số sau:
a) y = 2x − 6 + x −14

b) y = 3x −15 + 4x −1

c) y = x −1 + x + 4 + 2x − 9

d) y = 2x − 4 + x + 3 + x − 5

Hướng dẫn giải.
a) y = 2x − 6 + x −14
TXĐ: D = !
• Với x < 3 thì 2x − 6 < 0 ⇒ 2x − 6 = −2x + 6
Khi đó y = −2x + 6 + x −14 = −x −8
• Với x ≥ 3 thì 2x − 6 ≥ 0 ⇒ 2x − 6 = 2x − 6
Khi đó y = 2x − 6 + x −14 = 3x − 20 .

⎧−x −8
⎪
Ta có y = ⎪
⎨
⎪
⎪
⎩3x − 20

khi x < 3
khi x ≥ 3

Bảng biến thiên:

x

3

−∞

+∞

y

-11
b) y = 3x −15 + 4x −1
TXĐ: D = !
• Với x < 5 thì 3x −15 < 0 ⇒ 3x −15 = −3x + 15
Khi đó y = −3x + 15 + 4x −1 = x + 14
• Với x ≥ 5 thì 3x −15 ≥ 0 ⇒ 3x −15 = 3x −15
Khi đó y = 3x −15 + 4x −1 = 7x −16 .

⎧
⎪x + 14
Ta có y = ⎪
⎨
⎪
⎪
⎩7x −16

khi x < 5
khi x ≥ 5

Bảng biến thiên:

3
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

x

5

−∞

+∞

y
19
⎧−12
⎪
khi x <−4
⎪
⎪
c) y = x −1 + x + 4 + 2x − 9 = ⎪
⎨2x − 4 khi − 4 ≤ x < 1
⎪
⎪
4x − 6 khi x ≥ 1
⎪
⎪
⎩
TXĐ: D = !
Bảng biến thiên:

x

−∞

-4

y

1

+∞

2
-12

⎧−2x − 4
⎪
⎪
⎪
d) y = 2x − 4 + x + 3 + x − 5 = ⎪
⎨2
⎪
⎪
4x − 6
⎪
⎪
⎩
TXĐ: D = !

khi x <−3
khi − 3 ≤ x < 2
khi x ≥ 2

Bảng biến thiên:

x

−∞

-3

2

2

2

+∞

y

Dạng 2.

Ứng dụng khảo sát hàm số
Vào bài toán biện luận số nghiệm của phương trình.
Vào bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất
(GTNN).
Vào bài toán tìm điều kiện của tham số trong bất phương trình.

Bài 1.
a) Cho hàm số y = x + 1 + x + 3 + 2x −1 .
4
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

x + 1 + x + 3 = m− 2x .
b) Cho hàm số y = x − 2 − 2 x − 3 − 3 x + 1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

x−2 −2 x−3 = 3 x+1 +m.
Hướng dẫn giải.
a) y = x + 1 + x + 3 + 2x −1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
TXĐ: D = !

⎧
⎪
−5
khi x <−3
⎪
⎪
⎪
y = x + 1 + x + 3 + 2x −1 = ⎨2x + 1 khi − 3 ≤ x <−1
⎪
⎪
4x + 3 khi x ≥−1
⎪
⎪
⎩
Bảng biến thiên:

x

−∞

-3

y

-1

+∞

-1
-5

Vẽ đồ thị hàm số:

5
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

2. x + 1 + x + 3 = m− 2x ⇔ x + 1 + x + 3 + 2x −1 = m−1
Xét hàm số y = f (x) = x + 1 + x + 3 + 2x −1 và hàm số y = g(x) = m−1 .
Số nghiệm của phương trình f (x) = g(x) tương ứng với số giao điểm của đồ
thị hàm số y = f (x) và đồ thị hàm số y = g(x) .
Ta có đồ thị hàm số y = f (x) đã vẽ ở phần 1; đồ thị hàm số y = g(x) là đường
thẳng song song với trục hoành.
Từ đây ta có:

• Với m−1 <−5 ⇔ m <−4 đồ thị hai hàm số không cắt nhau. Suy ra
phương trình đã cho vô nghiệm.
• Với m−1 = −5 ⇔ m = −4 đồ thị hai hàm số có vô số điểm chung trên

(−∞;−3) . Suy ra phương trình có vô số nghiệm x <−3 .

• Với m−1 >−5 ⇔ m >−4 đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm. Suy ra
phương trình đã cho có một nghiệm.
Vậy

m <−4 phương trình đã cho vô nghiệm
m = −4 phương trình đã cho có vô số nghiệm x <−3 .
m >−4 phương trình đã cho có một nghiệm.

b) y = x − 2 − 2 x − 3 − 3 x + 1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
TXĐ: D = ! .

⎪⎧⎪4x −1
⎪⎪
⎪−2x −7
y = x−2 −2 x−3 −3 x+1 = ⎨
⎪⎪−11
⎪⎪
⎪⎪⎩−4x + 1
Bảng biến thiên:

x

−∞

y

-1

khi x <−1
khi −1 ≤ x < 2
khi 2 ≤ x < 3
khi x ≥ 3

2

3

- 11

- 11

+∞

-5

Vẽ đồ thị hàm số:

6
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

2. x − 2 − 2 x − 3 = 3 x + 1 + m ⇔ x − 2 − 2 x − 3 − 3 x + 1 = m .
Xét hàm số y = f (x) = x − 2 − 2 x − 3 − 3 x + 1 và hàm số y = g(x) = m .
Số nghiệm của phương trình f (x) = g(x) tương ứng với số giao điểm của đồ
thị hàm số y = f (x) và đồ thị hàm số y = g(x) .
Ta có đồ thị hàm số y = f (x) đã vẽ ở phần 1; đồ thị hàm số y = g(x) là đường
thẳng song song với trục hoành.
Từ đây ta có:
• Với m <−11 đồ thị hai hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Suy ra
phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
⎧ 5⎪
⎫
⎪
• Với m = −11 đồ thị hai hàm số có vô số điểm chung trên 2;3 ∪ ⎪
⎨− ⎪
⎬.
⎪
⎪
2
⎪
⎩ ⎪
⎭
⎧ 5⎪
⎫
⎪
Suy ra phương trình có vô số nghiệm x ∈ 2;3 ∪ ⎪
⎨− ⎪
⎬.
⎪
⎪
2

⎪
⎩ ⎪
⎭
• Với −5 > m >−11 đồ thị hai hàm số cắt nhau tại hai điểm. Suy ra phương
trình đã cho có hai nghiệm.
• Với m = −5 đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm. Suy ra phương trình
đã cho có một nghiệm.
• Với m >−5 đồ thị hai hàm số không cắt nhau. Suy ra phương trình đã
cho vô nghiệm.

( )

( )

7
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

Vậy

(

) (

)

m ∈ −∞;−11 ∪ −11;−5 phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
⎧ 5⎪

⎫
⎪
m = −11 phương trình đã cho có vô số nghiệm x ∈ 2;3 ∪ ⎪
⎨− ⎪
⎬.
⎪
⎪
2
⎪
⎩ ⎪
⎭

( )

m = −5 phương trình đã cho có một nghiệm.

(

)

m ∈ −5;+∞ phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số:
a) y = x −1 + 4x + 8 + 3x với x ∈ ⎡⎢−5;2⎤⎥ .
⎣
⎦
b) y = 2x + 2 + x 2 −10x + 25 − 5x −10 với x ∈ ⎡⎢−3;6⎤⎥ .
⎣
⎦
Hướng dẫn giải.
a) y = x −1 + 4x + 8 + 3x với x ∈ ⎡⎢−5;2⎤⎥ .

⎣
⎦
⎧
⎪
−2x −7 khi x <−2
⎪
⎪
Ta có: y = x −1 + 4x + 8 + 3x = ⎪
⎨6x + 9 khi − 2 ≤ x < 1
⎪
⎪
8x + 7 khi x ≥ 1
⎪
⎪
⎩
Bảng biến thiên:

x

−∞

-2

-5

1

2

+∞

23
y

15
3
-3

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra:
•
•

Min y = −3 ⇔ x = −2

⎡−5;2⎤
⎢⎣
⎥⎦

Max y = 23 ⇔ x = 2
⎡−5;2⎤
⎢⎣
⎥⎦

b) y = 2x + 2 + x 2 −10x + 25 − 5x −10 với x ∈ ⎡⎢−3;6⎤⎥ .
⎣
⎦
Ta có: y = 2x + 2 + x 2 −10x + 25 − 5x −10 = 2x + 2 +

2

(x − 5)

− 5x −10

8
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

⎧⎪2x −7
⎪⎪
⎪⎪6x − 3
= 2x + 2 + x − 5 − 5x −10 = ⎨
⎪⎪−4x + 17
⎪⎪
⎪⎪⎩−2x + 17

khi x <−1
khi −1 ≤ x < 2
.
khi 2 ≤ x < 5
khi x ≥ 5

Bảng biến thiên:

x

-3

−∞

-1

2

5

6

+∞

9
-3
y

-9

-5

-13
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra:
•
•

Dạng 3.

Min y = −13 ⇔ x = −3

⎡−5;2⎤

⎣⎢
⎦⎥

Max y = 9 ⇔ x = 2
⎡−5;2⎤
⎢⎣
⎥⎦

Tìm điểm cố định của họ đồ thị hàm số bậc nhất.

Bài 1. Tìm điểm cố định của họ đường thẳng dm sau khi tham số m thay đổi. Biết
phương trình đường thẳng dm là:

( )
b) y = (2m + 1) x − 5m + 3
c) (3− 2m) x + y − 4m + 1 = 0
d) (2m−1) x + (m− 2) y = 3
a) y = m−1 x + 3m− 2

1) Tìm điểm cố định của họ đường thẳng dm .

( )

2) Tìm m để khoảng cách từ điểm E 3; 4 đến đường thẳng dm là lớn nhất.
Hướng dẫn giải.

(

)

1) Gọi M x0 ; y0 là điểm cố định thuộc họ đường thẳng dm .

(

)

a) Ta có: y0 = m−1 x0 + 3m− 2 với mọi m
9
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

(

) (

)

⇔ m x0 + 3 − y0 + x0 + 2 = 0 với mọi m
⎧
⎧
⎪
⎪
⎪ x0 + 3 = 0
⎪x = −3
⇔⎨
⇔⎨ 0
⇒ M −3;1
⎪

⎪
y
+
x
+
2
=
0
y
=
1
⎪
⎪
0
⎪
⎪
⎩ 0
⎩ 0
Vậy M −3;1 là điểm cố định của họ đường thẳng dm .

(

(

(

)

)

)

b) Ta có: y0 = 2m + 1 x0 − 5m + 3 với mọi m

(

) (

)

⇔ m 2x0 − 5 + x0 − y0 + 3 = 0 với mọi m
⎧⎪
⎪⎪x = 5
⎪⎧⎪2x − 5 = 0
⎛ 5 11 ⎞⎟
⎪⎪ 0 2
0
⇔⎨
⇔⎨
⇒ M ⎜⎜⎜ ; ⎟⎟
⎪⎪x − y + 3 = 0 ⎪⎪
⎜⎝ 2 2 ⎟⎟⎠
11
0
⎪⎩ 0
y
=
⎪⎪ 0
2
⎪⎩

⎛ 5 11 ⎞⎟
Vậy M ⎜⎜⎜ ; ⎟⎟ là điểm cố định của họ đường thẳng dm .
⎜⎝ 2 2 ⎟⎟⎠

(

)

c) Ta có: 3− 2m x0 + y0 − 4m + 1 = 0 với mọi m

(

)

(

)

⇔ 3x0 + y0 + 1 − 2m x0 + 2 = 0 với mọi m
⎧
⎧
⎪
⎪
⎪ x0 + 2 = 0
⎪x = −2
⇔⎨
⇔⎨ 0
⇒ M −2;5
⎪
3x0 + y0 + 1 = 0 ⎪

y0 = 5
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎩
Vậy M −2;5 là điểm cố định của họ đường thẳng dm .

(

)

( )
d) Ta có: (2m−1) x0 + (m− 2) y0 = 3 với mọi m
⇔ m(2x0 + y0 ) −( x0 + 2y0 + 3) = 0 với mọi m

⎧2x + y = 0
⎧x = 1
⎪
⎪
⎪
⎪
0
⇔⎨ 0
⇔⎨ 0
⇒ M 1;−2
⎪
⎪
x

+
2y
+
3
=
0
y
=
−2
⎪
⎪
0
⎪
⎪
⎩ 0
⎩ 0
Vậy M 1;−2 là điểm cố định của họ đường thẳng dm .

(

(

)

)

2) Khoảng cách từ điểm E đến đường thẳng dm luôn nhỏ hơn hoặc bằng độ dài
đoạn thẳng EM (mối quan hệ đường xiên – đường vuông góc). Suy ra khoảng
cách từ điểm E đến đường thẳng dm lớn nhất khi và chỉ khi EM vuông góc với

dm .
Đến đây, nếu đã học kiến thức về tọa độ vecto chỉ cần biểu diễn vecto chỉ phương của
EM và vecto chỉ phương của dm rồi tính tích vô hướng. Vì hai đường thẳng vuông góc

nên tích vô hướng bằng 0.
10
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

Nếu theo đúng chương trình học của trường THPT Chuyên Ngoại ngữ và phân phối
chương trình của Bộ Giáo dục thì khi học tới phần kiến thức này trong đại số thì sẽ chưa
học kiến thức về vecto chỉ phương. Ta sẽ giải bài toán bằng cách gọi phương trình
đường thẳng EM có dạng y = ax + b , thay tọa độ E và M tìm ra phương trình đường
thẳng.
Gọi phương trình đường thẳng EM có dạng y = ax + b .

⎧⎪
1
⎪
⎧⎪−3a + b = 1 ⎪⎪a =
2 suy
a) Ta có M −3;1 ; E 3; 4 nên có hệ phương trình ⎪
⇔ ⎪⎨
⎨
⎪⎪3a + b = 4
⎪⎪
5
⎩

⎪⎪b =
2
⎪⎩

(

) ( )

1
5
ra EM : y = x + .
2
2
Đường thẳng dm : y = m−1 x + 3m− 2 vuông góc với đường thẳng

( )

(

)

(EM) : y = 12 x + 52 nên 12 .(m−1) = −1 ⇔ m = −1

Vậy m = −1 .

⎪⎧⎪ 5
11 ⎪⎧
⎛ 5 11 ⎞⎟
a = −3
⎪ a+b =

⎜
⎟
b) Ta có M ⎜⎜ ; ⎟ ; E 3; 4 nên có hệ phương trình ⎨ 2
⇔ ⎪⎨
2
⎪⎪
⎪⎪b = 13
⎜⎝ 2 2 ⎟⎟⎠
⎩
⎪⎪⎩3a + b = 4

( )

( )

suy ra EM : y = −3x + 13 .

(

)

Đường thẳng dm : y = 2m + 1 x − 5m + 3 vuông góc với đường thẳng

(EM) : y = −3x + 13 nên −3.(2m + 1) = −1 ⇔ m = − 13
1
Vậy m = − .
3

⎧⎪
1

⎪
⎧⎪−2a + b = 5 ⎪⎪a = −
5
c) Ta có M −2;5 ; E 3; 4 nên có hệ phương trình ⎪
⇔ ⎪⎨
⎨
⎪⎪3a + b = 4
⎪⎪
23
⎩
⎪⎪b =
5
⎪⎩

(

) ( )

1
23
suy ra EM : y = − x + .
5
5
Đường
thẳng
dm : 3− 2m x + y − 4m + 1 = 0 ⇔ y = 2m− 3 x + 4m−1

( )

(

vuông góc với đường
⇔ m= 4.

)
1
23
thẳng (EM) : y = − x +
5
5

(

)

1
nên − . 2m− 3 = −1
5

(

)

11
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn


TỔ CHỨC GIÁO DỤC E.T.C

Vậy m = 4 .

⎧
⎪
⎪a = 3
a + b = −2 ⎧
⎪
⇔⎪
d) Ta có M 1;−2 ; E 3; 4 nên có hệ phương trình ⎨
suy
⎨
⎪
⎪
3a
+
b
=
4
b
=
−5
⎪
⎪
⎩
⎩

(

) ( )

( )

ra EM : y = 3x − 5 .

(

) (

)

Đường thẳng dm : 2m−1 x + m− 2 y = 3 ⇒ y =

1− 2m

3

(thỏa mãn
m− 2 m− 2
1− 2m
1
.3 = −1 ⇔ m = .
m ≠ 2 ) vuông góc với EM : y = −3x + 13 nên
m− 2
5
1
Vậy m = .
5

+

( )

Chuyên đề trước đã phát hành ngày 28.08.2017

Hàm số: Đại cương về Hàm số
(Xem miễn phí 30% số trang | Giá mua tài liệu: 10.000)
Chuyên đề tiếp theo dự kiến phát hành ngày 04.09.2017

Hàm số: Hàm số bậc hai
(Xem miễn phí 30% số trang | Giá mua tài liệu: 10.000)

12
www.etcgroup.edu.vn | 0964595404 – 0966868747 – 0946595404 | fb.com/etcgroup.edu.vn