Xác định hằng số mạng tinh thể silic bằng phương pháp thống kê momen

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

HOÀNG THỊ HOA

XÁC ĐỊNH HẰNG SỐ MẠNG TINH THỂ SILIC
BẰNG PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ MOMEN
Chuyên ngành: Vật lý lí thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2017


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

HOÀNG THỊ HOA

XÁC ĐỊNH HẰNG SỐ MẠNG TINH THỂ SILIC
BẰNG PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ MOMEN
Chuyên ngành: Vật lý lí thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Người hướng dẫn khoa học

PHAN THỊ THANH HỒNG

HÀ NỘI, 2017

LỜI CÁM ƠN
Em xin gửi lời cám ơn chân thành, sâu sắc đến TS.Phan Thị Thanh
Hồng người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo và tạo điều kiện cho em
hoàn thành khóa luận.
Em cũng xin chân thành cám ơn Ban Chủ nhiệm Khoa Vật lý Trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2 và các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy, tạo điều
kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này.
Tôi xin cám ơn các bạn sinh viên lớp K39A – Sư phạm Vật lý – Khoa
Vật lý – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã đóng góp ý kiến quý báu cho
khóa luận.
Hà Nội, ngày 18 tháng 04 năm 2017
Sinh Viên

Hoàng Thị Hoa


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của T.S Phan Thị
Thanh Hồng cùng với sự cố gắng của bản thân trong quá trình nghiên cứu và
thực hiện khoá luận, em có tham khảo tài liệu của một số tác giả(đã nêu trong
mục tài liệu tham khảo)
Em xin cam đoan những kêt quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu
của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm .
Hà Nội, ngày 18 tháng 05 năm 2017
Sinh viên

Hoàng Thị Hoa

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ....................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................. 1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ............................................................. 1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................ 1
5. Phương pháp nghiên cứu........................................................................... 2
6. Ý nghĩa khoa học của đề tài ...................................................................... 2
7. Cấu trúc khóa luận .................................................................................... 2
CHƯƠNG 1: CẤU TRÚC CỦA TINH THẾ SI ............................................... 3
1.1. Cấu trúc tinh thể Si ................................................................................. 3
1.2 Các tính chất hóa, lý học của Silic. ......................................................... 4
1.2.1. Tính chất hóa học. ........................................................................... 4
1.2.2. Tính chất vật lý................................................................................ 5
1.3 Một số ứng dụng của chất bán dẫn Si. .................................................... 5
1.4. Các khuyết tật trong tinh thể Si ............................................................. 9
CHƯƠNG 2 : XÁC ĐỊNH HẰNG SỐ MẠNG TINH THỂ SILIC................ 13
2.1. Cách xác định hằng số mạng của tinh thể bằng phương pháp thống kê
mô men. ....................................................................................................... 13
2.2. Xác định độ dịch chuyển y0 của hạt khỏi vị trí cân bằng. ................... 14
2.3. Xác định khoảng lân cận gần nhất r10 .................................................. 18
2.4. Áp dụng tính số và thảo luận kết quả ................................................... 19
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 23
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 24


DANH MỤC HÌNH
Hình 1.1: Cấu trúc tinh thể Silic....................................................................... 4
Hình 1.2: Khuyết tật nút khuyết trong tinh thể Si. ......................................... 11

Hình 1.3: Khuyết tật tự xen kẽ (self-interstitial) trong tinh thể Si. ................ 11
Hình 1.4: Khuyết tật tạp xen kẽ (dopant-interstitial) trong tinh thể Si. ......... 12
Hình 1.5: Ô cơ sở lập phương của tinh thể Si ................................................ 13


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong hàng ngũ đông đảo các vật liệu chất rắn, các chất bán dẫn chiếm
một vị trí quan trọng và được quan tâm nghiên cứu liên tục trong suốt mấy
chục năm qua. Lĩnh vực khoa học kỹ thuật nghiên cứu những tính chất và cơ
chế vật lý xảy ra trong các chất bán dẫn đã đạt được những thành tựu hết sức
to lớn. Với những thành tựu đó, các chất bán dẫn thực sự đã làm một cuộc
cách mạng trong công nghiệp điện tử cũng như trong nhiều ngành khoa học
và công nghiệp khác.
Silic(Si) là vật liệu bán dẫn điển hình. Đơn tinh thể Si có cấu trúc kim
cương. Si cũng là chất bán dẫn được nghiên cứu nhiều nhất và có nhiều ứng
dụng quan trọng trong thực tế.
Khi nghiên cứu các vật liệu rắn nói chung và Si nói riêng, việc xác định
chính xác hằng số mạng của tinh thể là điều hết sức quan trọng. Có nhiều
phương pháp lí thuyết khác nhau để xác định hằng số mạng của tinh thể.
Trong luận văn này, chúng tôi “Xác định hằng số mạng của tinh thể silic
bằng phương pháp thống kê mô men’’.
2. Mục đích nghiên cứu
Áp dụng phương pháp thống kê mô men để xác định hằng số mạng của
tinh thể Si.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
 Đối tượng nghiên cứu: tinh thể bán dẫn Si.
 Phạm vi nghiên cứu: Xác định sự phụ thuộc nhiệt độ của hằng số mạng
của tinh thể Si bằng phương pháp thống kê mô men.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được mục đích nghiên cứu đề ra cần thực hiện các nhiệm vụ sau:

1


 Tìm hiểu cấu trúc tinh thể của Si.
 Tìm hiểu về phương pháp thống kê mô men.
 Xác định hằng số mạng của tinh thể Si bằng phương pháp thống kê mô
men.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc các tài liệu liên quan đến đề tài nghiên cứu.
Sử dụng các phần mềm hỗ trợ tính toán để tính số.
Tổng hợp, khái quát các kiến thức tìm hiểu và tính toán được.
6. Ý nghĩa khoa học của đề tài
 Đề tài giúp cho tác giả và người đọc biết rõ hơn về bán dẫn Si cũng như
các ứng dụng quan trọng của nó.
 Biết được cách xác định hằng số mạng của tinh thể Si bằng phương pháp
thống kê mô men.
7. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận được chia
làm 2 chương, 5 mục . Nội dung chủ yếu của từng chương cụ thể như sau :
Chương 1: Trình bày sơ lược về cấu trúc của tinh thể Si, các ứng dụng
quan trọng của tinh thể Si ; cách xác định hẳng số mạng của tinh thể Si.
Chương 2: Sử dụng các biểu thức giải tích thu được từ việc áp dụng
phương pháp thống kê momen đồng thời sử dụng phần mềm maple để tính
hằng số mạng tinh thể Si

2

CHƯƠNG 1: CẤU TRÚC CỦA TINH THẾ SI
1.1. Cấu trúc tinh thể Si
Các chất bán dẫn thông dụng thường kết tinh theo dạng tinh thể lập
phương tâm diện [3]. Trong đó, mỗi nút mạng được gắn với một gốc gồm hai
nguyên tử. Đối với các chất bán dẫn đơn chất như Si, Ge thì hai nguyên tử đó
là cùng loại và nó là khác loại nếu là bán dẫn hợp chất như : GaAs, InSB,
CdTe,…
Trong tinh thể Si, nếu ở nút mạng có một nguyên tử thì còn có một
nguyên tử khác nằm cách nguyên tử đó một khoảng bằng
mạng cơ bản, khoảng cách đó bằng

1
đường chéo của ô
4

a 3
( a là hằng số mạng của tinh thể ). Do
4

vậy, nếu tọa độ của nguyên tử thứ nhất trong hệ trục tọa giao là (0,0,0) thì tọa
a a a
độ nguyên tử thứ hai là  , ,  .
4 4 4

Như vậy tinh thể Si được xem như gồm hai mạng lập phương tâm diện
lồng vào nhau, mạng thứ hai dịch đi một đoạn bằng

a 3
theo phương đường
4

chéo của hình lập phương so với mạng thứ nhất (Hình 1.1). Đối với tinh thể
Si hay các chất bán dẫn khác, hai mạng đó đều được cấu tạo từ cùng một loại
nguyên tử. Từ (Hình 1.1) ta thấy rằng, mỗi nguyên tử Si là tâm của một hình
tứ diện đều cấu tạo từ 4 nguyên tử Si xung quanh.
Ta thấy rằng trong tinh thể Si, mỗi nguyên tử Si là tâm của một hình tứ
diện đều cấu tạo từ 4 nguyên tử Si xung quanh. Đây là đặc trưng quan trọng
của cấu trúc này – cấu trúc kim cương.

3


𝑟1

a

Hình 1.1: Cấu trúc tinh thể Silic.
Tuy nhiên, trong thực tế tinh thể lí tưởng thường không có thực và cũng
hiếm có bán dẫn tinh khiết. Các tinh thể bán dẫn thường có tạp chất và bị
khuyết tật. Chính việc nghiên cứu về bán dẫn pha tạp này, cùng với việc đi
sâu tìm hiểu các yếu tố ảnh hưởng cũng như các tính chất vật lý, hóa học của
chúng mà đã có rất nhiều phát minh khoa học đã được ra đời với nhiều ứng
dung quan trọng trong kỹ thuật cũng như trong đời sống.
1.2 Các tính chất hóa, lý học của Silic.
1.2.1 Tính chất hóa học.
Silic tinh khiết kết tinh ở dạng tinh thể lập phương, có cấu trúc giống kim
cương. Trong mạng lưới tinh thể đó mỗi nguyên tử silic liên kết cộng hóa với

4

4 nguyên tử silic bao quanh kiểu hình tứ diện đều [4]. Độ dài của liên kết SiSi-Si là 2,34 Å.
- Ở điều kiện thường, silic khá trơ về mặt hóa học vì có mạng lưới tinh
thể rất bền.
- Ở khoảng 800- 900оC, Si tác dụng với một số kim loại như Mg, Ca,
Fe, Cu,… tạo thành Sixilua. Giống với Cacbua, Sixilua của kim loại chuyển
tiếp thường là hợp chất kiểu xâm nhập, thành phần của chúng không ứng với
hóa trị bình thường của các nguyên tố.
- Silic không tan trong dung môi mà chỉ tan trong một số kim loại nóng
chảy như Al, Ag, Zn, Pb,… Khi để nguội những dung dịch đó, Si sẽ kết tinh
và tính chất này được sử dụng để điều chế Silic tinh thể.
1.2.2 Tính chất vật lý.
- Giống với kim cương, Si tinh thể cũng cứng (độ cứng bằng 7), rất khó
nóng chảy, khó sôi (nhiệt độ nóng chảy là 1428оC và nhiệt độ sôi là 3280оC)
và có tỉ khối là 2,33.
- Trong tinh thể silic có một phần nào đó sự không định chỗ của liên
kết nên silic có màu xám, có ánh kim.
- Silic tinh khiết là chất bán dẫn, tính dẫn điện kém, khi nhiệt độ càng
cao tính dẫn điện càng tăng dần. Si bán dẫn chịu được nhiệt độ cao (250 оC)
hơn Gecmani bán dẫn (75оC).
- Có khả năng truyền nhiệt tốt do các nguyên tử trong mạng lưới liên
kết rất chặt chẽ với nhau.
Dựa vào tất cả những đặc tính này mà người ta thường dùng nó để chế
tạo và sử dụng các thiết bị bán dẫn và nhiều thiết bị khác ứng dụng tính bán
dẫn này.
1.3 Một số ứng dụng của chất bán dẫn Si.
Ứng dụng của Si

5

Silic là nguyên tố rất có ích và cực kỳ cần thiết trong nhiều ngành
công nghiệp [6]. Chẳng hạn như trong xây dựng thì Silica là thành phần quan
trọng trong sản xuất gạch, xi măng, bê tông vì tính hoạt hoá thấp của nó.
Trong y tế thì vật liệu y tế - Silicon là hợp chất dẻo chứa các liên kết silic-oxy
và silic-cacbon, chúng được sử dụng trong các ứng dụng như nâng ngực nhân
tạo và lăng kính tiếp giáp. Một số hợp chất của silic với kim loại như thépsilic, Cu-Si,… là thành phần quan trọng trong sản xuất vật liệu, đồ dùng thiết
thực cho đời sống của con người. Ngoài ra còn có hợp chất cacbua-silic dùng
để sản xuất giấy nhám và là một trong những vật liệu mài mòn quan trọng
nhất. Trong các photonic-silic được sử dụng trong các laser để sản xuất ánh
sáng đơn sắc có bước sóng 456nm. Thuỷ tinh-Silica từ cát là thành phần cơ
bản của thuỷ tinh. Thuỷ tinh có thể sản xuất thành nhiều chủng loại đồ vật với
những thuộc tính lý học khác nhau. Silica được sử dụng như vật liệu cơ bản
trong sản xuất kính cửa sổ, đồ chứa, sứ cách điện…Nhưng đáng quan tâm hơn
cả là những ứng dụng của Si dựa vào tính bán dẫn của nó. Có thể kể ra một số
ví dụ điển hình như sau:
+ Đầu tiên là việc chế tạo hai loại bán dẫn, đó là bán dẫn kiểu n và bán
dẫn kiểu p. Đối với bán dẫn kiểu n thì khi cho thêm một lượng nhỏ các
nguyên tố hóa trị V (nhóm V) như: phôtpho (P), asen (As),… vào tinh thể
silic, những nguyên tử pha thêm đó xâm nhập vào mạng lưới tinh thể của Si.
Vì mỗi nguyên tử Si chỉ cần 4 electron hoá trị để tạo nên liên kết với 4
nguyên tử Si bao quanh, nên các nguyên tử pha thêm có dư một elecctron.
Electron đó chiếm một mức năng lượng ở trong vùng dẫn của tinh thể Si. Nếu
đặt một hiệu điện thế lên tinh thể Si, electron đó di chuyển xuyên suốt tinh thể
và tinh thể trở nên dẫn điện. Trong trường hợp này, sự dẫn điện gây ra bởi sự
dịch chuyển của electron âm điện nên Si là chất bán dẫn kiểu n (negative) [4]

6

Tương tự như vậy, đối với bán dẫn kiểu p, khi cho một lượng nhỏ các nguyên
tố hóa trị III (nhóm III) như: bo (B), nhôm (Al),… vào tinh thể silic, những
nguyên tử pha thêm này cũng xâm nhập vào mạng lưới tinh thể silic. Vì cần 4
electron để tạo 4 liên kết với silic nên nguyên tử B hay Al phải lấy thêm 1
electron của nguyên tử silic bao quanh làm cho nguyên tử silic này bị mất bớt
electron nên mang điện dương. Lỗ khuyết trong vỏ electron hoá trị của Si
được gọi là lỗ khuyết dương. Một electron từ nguyên tử Si khác ở bên cạnh di
chuyển đến lỗ khuyết dương đó làm xuất hiện lỗ khuyết dương mới ở nguyên
tử silic đó và cứ như vậy hiện tượng xuất hiện lỗ khuyết dương tiếp tục xảy
ra. Nếu đặt một thế hiệu điện lên tinh thể silic, những lỗ khuyết dương di
chuyển xuyên suốt tinh thể và tinh thể trở nên dẫn điện. Trường hợp này sự
dẫn điện gây ra bởi sự di chuyển của lỗ khuyết dương trong mạng tinh thể nên
được gọi là bán dẫn kiểu p (positive).
+ Tranzito là thiết bị bán dẫn được sáng chế từ năm 1948 và là áp dụng
đầu tiên của công nghệ bán dẫn [4]. Đây là thiết bị bán dẫn bao gồm một lớp
màng mỏng chất bán dẫn kiểu n (hay p) kẹp giữa hai lớp màng mỏng chất bán
dẫn kiểu p (hay n). Tranzito kiểu pnp hoạt động nhờ sự di chuyển của lỗ
khuyết dương (+), còn tranzito kiểu npn hoạt động nhờ sự di chuyển của
electron (-). Tranzito có khả năng khuếch đại dòng và thế điện.
+ Pin Mặt Trời cũng được cấu tạo dựa trên hai loại bán dẫn này. Bằng
cách xếp một màng mỏng chất bán dẫn kiểu n lên trên một màng mỏng bán
dẫn kiểu p. Nếu chiếu ánh sáng mặt trời lên các lớp màng đó, những electron
tự do ở lớp trên theo dây dẫn của mạch ngoài được hút đến lỗ khuyết dương ở
lớp dưới. Vì electron rời khỏi lớp bán dẫn kiểu n đến tích luỹ ở lớp bán dẫn
kiểu p nên lớp trên trở nên dương và lớp dưới trở nên âm hơn. Electron ở lớp
dưới được hút kéo lên lớp trên và mạch điện trở nên kín. Pin mặt trời hay pin
quang điện này chuyển hoá được 25 % năng lượng mặt trời chiếu tới thành

7

điện năng [4]. Hàng vạn pin mặt trời ghép lại thành tấm có thể thay thế cho
trạm điện. Pin mặt trời thường được dùng để cung cấp điện cho máy móc
trong vệ tinh nhân tạo và tàu du hành vũ trụ, nó cũng ngày càng được dùng
phổ biến hơn trong đời sống hàng ngày.
+ Khi ghép một cực làm bằng chất bán dẫn kiểu p với một cực làm bằng chất
bán dẫn kiểu n, chúng ta được một tiếp giáp p-n. Bằng cách đặt vào hai cực
đó một thế hiệu điện người ta đã tạo ra được một thiết bị có khả năng chuyển
dòng điện xoay chiều thành dòng điện một chiều.Vì vậy mà thiết bị này được
gọi là bộ chỉnh lưu. Bộ chỉnh lưu bán dẫn thay cho điôt điện tử trước đây nên
được gọi là điôt bán dẫn.
+ Mạch tổ hợp: bao gồm hàng ngàn điện trở, tranzito, chỉnh lưu và tụ điện
được cấu tạo nên từ chất bán dẫn kiểu p và n ở trên một mảnh silic có kích
thước vài milimet được cắt ra từ đơn tinh thể Si. Có thể nói vi mạch silic là
trái tim của đồng hồ đeo tay hiện số, máy tính và máy vi tính [4]. Việc thu
nhỏ mạch điện bằng tranzito và vi mạch tổ hợp là một cuộc cách mạng rất lớn
trong ngành công nghiệp điện tử và ngành công nghiệp máy tính.
Để có được các linh kiện bán dẫn kể trên, từ chất bán dẫn tinh khiết ban
đầu (Si hoặc Ge) người ta phải tạo ra hai loại bán dẫn là bán dẫn loại n (dẫn
điện chủ yếu bằng điện tử) và bán dẫn loại p (dẫn điện chủ yếu bằng lỗ trống),
bằng cách pha các nguyên tử tạp chất vào Si (hay Ge). Sau đó ghép hai loại
bán dẫn đó lại với nhau để được điôt hay tranzito. Công nghệ pha tạp nói
chung rất đa dạng và cũng là một công nghệ rất cơ bản được sử dụng thường
xuyên từ xa xưa. Có nhiều phương pháp pha nguyên tử tạp chất vào vật liệu
bán dẫn như: Phương pháp nuôi đơn tinh thể, phương pháp cấy ion, phương
pháp khuếch tán,... So với các phương pháp khác thì phương pháp khuếch tán
có nhiều ưu điểm như không làm thay đổi cấu trúc tinh thể, có thể pha tạp với

8

chiều sâu tùy ý, cho phép điều khiển tốt hơn tính chất của transistor và đã thu
được những thiết bị có thể hoạt động ở tần số cao. Hơn nữa, quá trình khuếch
tán cũng cho phép nhiều transistor được chế tạo trên một lớp silic đơn tinh
thể mỏng, vì vậy giá thành của những thiết bị này giảm xuống. Đó là những lí
do khiến cho kĩ thuật khuếch tán các nguyên tử tạp chất vào vật liệu bán dẫn
đã và đang phát triển nhanh chóng nhằm chế tạo các tranzito, các vi mạch
điện tử và ngày nay là các mạch điện có các cấu hình có kích thước nanô,
nanô sensor,...
1.4. Các khuyết tật trong tinh thể Si
Đa số vật rắn có cấu trúc mạng tinh thể và chúng gồm một số rất lớn
các nguyên tử, phân tử được sắp xếp một cách tuần hoàn trong không gian để
tạo thành mạng tinh thể lí tưởng. Thực tế, mạng tinh thể lí tưởng thường
không có thực. Các tinh thể thực luôn chứa đựng bên trong nó những khuyết
tật (còn gọi là sai hỏng). Có nhiều loại khuyết tật với những đặc điểm khác
nhau như:
-

khuyết tật điểm có kích thước cỡ nguyên tử theo ba chiều không gian,

-

khuyết tật đường có kích thước cỡ nguyên tử theo hai chiều và rất lớn

theo chiều thứ ba,
-

khuyết tật mặt có kích thước lớn theo hai chiều và nhỏ theo chiều thứ

ba,

-

khuyết tật khối có kích thước lớn theo cả ba chiều không gian.
Trong số các loại khuyết tật kể trên, khuyết tật điểm có cấu trúc đơn

giản nhất và tồn tại nhiều nhất trong các tinh thể rắn. Các khuyết tật điểm có
thể được phát sinh trong tinh thể bằng quá trình Schottky hoặc Frenkel [2].
Trong quá trình Schottky, một xen kẽ (Iterstitial- kí hiệu là I) được tạo ra bởi
sự di chuyển của một nguyên tử từ bề mặt vào một lỗ hổng nào đó bên trong
tinh thể hay ngược lại một nút khuyết (Vacancy- kí hiệu là V) được hình

9


thành khi một nguyên tử rời khỏi nút mạng để di chuyển ra mặt ngoài của tinh
thể. Trong quá trình Frenkel, một nguyên tử sẽ rời khỏi vị trí nút mạng của nó
để tới một vị trí lỗ hổng mạng, tạo ra một xen kẽ và một nút khuyết. Khi
nghiên cứu hiện tượng khuếch tán của các nguyên tử trong tinh thể, người ta
đã chỉ ra rằng các khuyết tật điểm trong tinh thể đóng vai trò quyết định trong
sự khuếch tán của các nguyên tử. Các khuyết tật điểm có thể được phân làm
hai loại là khuyết tật điểm tự nhiên và khuyết tật điểm gắn liền với tạp.
Khuyết tật điểm tự nhiên tồn tại trong tinh thể Si tinh khiết. Khuyết tật điểm
gắn liền với tạp xuất hiện từ việc đưa các tạp chất từ bên ngoài vào trong tinh
thể. Khuyết tật điểm tự nhiên tồn tại trong tinh thể Si là nút khuyết (vacancy)
và xen kẽ (interstitial)
Nút khuyết được định nghĩa đơn giản là một vị trí nút mạng tinh thể bị bỏ
trống (Hình 1.2).

10

V

Hình 1.2: Khuyết tật nút khuyết trong tinh thể Si.
Xen kẽ được hiểu là một nguyên tử cư trú ở một lỗ hổng (kẽ hở) bên
trong mạng tinh thể Si. Có hai loại xen kẽ là xen kẽ do các nguyên tử Si-tự
xen kẽ (self-interstitial) (Hình 1.3) và xen kẽ do nguyên tử tạp chất (dopantinterstitial) (Hình 1.4).

Si

Hình 1.3: Khuyết tật tự xen kẽ (self-interstitial) trong tinh thể Si.

11


TẠP

Hình 1.4: Khuyết tật tạp xen kẽ (dopant-interstitial) trong tinh thể Si.

12


CHƯƠNG 2 : XÁC ĐỊNH HẰNG SỐ MẠNG

TINH THỂ SILIC
2.1. Cách xác định hằng số mạng của tinh thể bằng phương pháp thống
kê mô men.
Như chúng tôi đã trình bày trong chương 1. Mạng tinh thể Si được cấu
tạo từ hai phần mạng lập phương tâm mặt lồng vào nhau, phân mạng này dịch
đi so với phần mạng kia một khoảng bằng

𝑎 √3
4

theo đường chéo của hình lập

phương. Mạng tinh thể Si thì được cấu tạo từ một loại nguyên tử là Si.

B

C

A
a

Hình 1.5: Ô cơ sở lập phương của tinh thể Si

13


Trong mạng tinh thể Si ta giả sử tách ra một ô cơ sở lập phương có cạnh là
hằng số mạng a .Gọi 𝑟𝑜 là khoảng lân cận gần nhất giữa hai nguyên tử thì ta
có :
𝑟1 = 𝐴𝐶 =
=>𝑟1 =

𝐴𝐵
4

𝑎 √3

4

mà AB =a√3
4𝑟1

hay a=

(2.1)

√3

Như vậy, muốn xác định hằng số mạng a ta phải xác định được khoảng lân
cận gần nhất giữa hai hạt ở nhiệt độ T theo công thức sau:
𝑟1 = 𝑟10 + 𝑦0 ,

(2.2)

trong đó, r10 là khoảng lần cận gần nhất giữa hai hạt ở nhiệt độ 0K, y0 là độ
dịch chuyển của hạt khỏi vị trí cân bằng ở nhiệt độ T. Sau đây chúng tôi sẽ
trình bày cách xác định hai đại lượng này.
2.2. Xác định độ dịch chuyển y0 của hạt khỏi vị trí cân bằng.
Trong công trình [1] về “nghiên cứu các tính chất nhiệt động và mô
đun đàn hồi của tinh thể và hợp chất bán dẫn bằng phương pháp thống kê
momen”, tác giả đã xây dựng được biếu thức xác định độ dịch chuyển y0
của hạt khỏi vị trí cân bằng trong tinh thể bán dẫn ở nhiệt độ T. Ở phép
gần đúng đến bậc một, biểu thức y0 có dạng:
𝑦0 = 𝑦0′ −

𝛽
3𝛾

1

2𝛾2 𝜃2

𝐾

𝐾4

+ [1 +

𝑋

1

2𝛾𝜃

2𝛾2

(1 + 𝑋) (1 + )] [ −
(𝑋 − 1) −
]
2
3
3𝛾𝑘
27𝛾𝑘

𝛽𝑘
𝛾

(2.3)
trong đó:

𝑋 = 𝑥𝑐𝑜𝑡ℎ𝑥, 𝑥 =
𝑘=(

𝜕2 𝜑𝑖
2
𝜕𝑢𝑗𝑥

ℏ𝜔
2𝜃

,

(2.4)

≡ 𝑚𝜔2 ,

)

(2.5)

𝑒𝑞

14


𝛽=(

𝜕3 𝜑𝑖
𝜕𝑢𝑗𝑥 𝜕𝑢𝑗𝑦 𝜕𝑢𝑗𝑧

1

𝜕4 𝜑𝑖

6

4
𝜕𝑢𝑗𝑥

𝛾 = [(

𝐾=𝑘−

𝛽2

)

)

,

(2.6)

𝑒𝑞

+ 6(
𝑒𝑞

𝜕4 𝜑𝑖
2 𝜕𝑢2
𝜕𝑢𝑗𝑥
𝑗𝑦

) ],

(2.7)

𝑒𝑞

, 𝜃 = 𝑘𝐵 𝑇 ,

3𝛾

(2.8)

ở đây, ujx, ujy, ujz là độ dời của hạt thứ j khỏi vị trí cân bằng theo các
phương x, y, z; 𝜑i là thế năng tương tác của hạt thứ i trong tinh thể. Khi sử
dụng phương pháp quả cầu phối vị, 𝜑i có dạng:
1

1

2

6

𝜑𝑖 = 𝜑𝑖 (|𝑎

⃗⃗⃗𝑗 |) = ∑𝑗 Φ𝑖𝑗 (|𝑎
⃗⃗⃗𝑗 |) + ∑𝑖𝑗 𝑊𝑖𝑗𝑘 (𝑎
⃗⃗⃗𝑗 ) ,

(2.9)

trong đó, Φij là thế năng tương tác giữa hạt thứ i (hạt chọn làm gốc)
và hạt thứ j, Wijk là thế năng tương tác giữa hạt i, j và k; a j là vị trí cân
bằng của hạt thứ j.
Trong các công thức từ (2.5) đến (2.7) dạng của số hạng (

(

𝜕4 𝜑𝑖
4
𝜕𝑢𝑗𝑥

(
(

)

,(
𝑒𝑞

𝜕2 𝜑𝑖
2
𝜕𝑢𝑗𝑥

𝜕4 𝜑𝑖

4
𝜕𝑢𝑗𝑥

𝜕3 𝜑𝑖
𝜕𝑢𝑗𝑥 𝜕𝑢𝑗𝑦 𝜕𝑢𝑗𝑧

)

và (
𝑒𝑞

𝜕4 𝜑𝑖
2 𝜕𝑢2
𝜕𝑢𝑗𝑥
𝑗𝑦

𝜕2 𝜑𝑖
2
𝜕𝑢𝑗𝑥

) ,
𝑒𝑞

được xác định như sau:

)
𝑒𝑞

2
= (Θ2 𝜑𝑖 )𝑎𝑗𝑥

+ (Θ𝜑𝑖 )

)
𝑒𝑞

4
2
= (Θ4 𝜑𝑖 )𝑎𝑗𝑥
+ 6(Θ3 𝜑𝑖 )𝑎𝑗𝑥
+ 3(Θ2 𝜑𝑖 )

)
𝑒𝑞

(2.10)
(
(

𝜕3 𝜑𝑖
𝜕𝑢𝑗𝑥 𝜕𝑢𝑗𝑦 𝜕𝑢𝑗𝑧
𝜕4 𝜑𝑖

2 𝜕𝑢2
𝜕𝑢𝑗𝑥
𝑗𝑦

= (Θ3 𝜑𝑖 )𝑎𝑗𝑥 𝑎𝑗𝑦 𝑎𝑗𝑧

)
𝑒𝑞

2 2
2
2
= (Θ4 𝜑𝑖 )𝑎𝑗𝑥
𝑎𝑗𝑦 + (Θ3 𝜑𝑖 )(𝑎𝑗𝑥
+ 𝑎𝑗𝑦
) + (Θ2 𝜑𝑖 )

)
𝑒𝑞

15


trong đó,

Θ𝜑𝑖 =

1

(1)

𝑎𝑗

Θ2 𝜑𝑖 =

(1)

[Φ𝑖𝑗 (𝑎𝑗 ) + ∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘 (𝑎𝑗 )]

1

(2)

𝑎𝑗2

1

(2)

[Φ𝑖𝑗 (𝑎𝑗 ) + ∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘 (𝑎𝑗 )] −

𝑎𝑗3

(1)

[Φ𝑖𝑗 (𝑎𝑗 ) +

(1)
∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘
(𝑎𝑗 )]

Θ3 𝜑𝑖 =

1

(3)

𝑎𝑗3

3

(2)
∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘
(𝑎𝑗 )] +

Θ4 𝜑𝑖 =

1

(1)

𝑎𝑗5

(4)

15
𝑎𝑗6

(2)

[Φ𝑖𝑗 (𝑎𝑗 ) +

(1)

[Φ𝑖𝑗 (𝑎𝑗 ) + ∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘 (𝑎𝑗 )] −

(3)
∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘

(𝑎𝑗 )] +

𝑎𝑗4

[Φ𝑖𝑗 (𝑎𝑗 ) + ∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘 (𝑎𝑗 )]

(4)

𝑎𝑗4

3

(3)

[Φ𝑖𝑗 (𝑎𝑗 ) + ∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘 (𝑎𝑗 )] −

(2)

6
𝑎𝑗5

(3)

[Φ𝑖𝑗 (𝑎𝑗 ) +

(2)

[Φ𝑖𝑗 (𝑎𝑗 ) + ∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘 (𝑎𝑗 )] −

15

𝑎𝑗7

(1)

[Φ𝑖𝑗 (𝑎𝑗 ) +

(1)
∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘
(𝑎𝑗 )]

(2.11)

Các kí hiệu (1), (2), (3) và (4) trên đầu các hàm Φij(aj), Wijk(aj) là đạo hàm các
cấp tương ứng theo aj.
Trong công thức (2.3), y’0 lại được xác định như sau:

𝑦0′ ≈ √

2𝛾𝜃 2
3𝐾3

𝐴,

(2.12)

với

𝐴 = 𝑎1 +

𝛾 2 𝜃2

𝐾4

𝑎2 +

𝛾3 𝜃3
𝐾6

𝑎3 +

𝛾4 𝜃4
𝐾8

𝑎4 +

𝑋

𝑎1 = 1 + ,
2

16

𝛾5 𝜃5
𝐾10

𝑎5 +

𝛾6 𝜃6
𝐾12

𝑎6 ,

(2.13)


𝑎2 =

13
3

47

+

6

25

𝑎3 = − (
𝑎4 =

43
3

3

+

93

+

𝑋+

2

𝑎6 = 65 +

6

𝑋+

103

𝑎5 = − (

121

3

+

561
2

23
6

1

𝑋2 + 𝑋3 ,

2

𝑋+
169
3

749
6

𝑋+

50
3

𝑋2 +

𝑋2 +

𝑋+

1489
3

83

363
2

3

16
3

1

𝑋2 + 𝑋4) ,
2

𝑋2 +

𝑋2 +

𝑋2 +

927
2

22
3

391
3

1

𝑋4 + 𝑋5 ,
2

148

𝑋3 +

𝑋3 +

733
3

3

53

𝑋4 +

𝑋4 +

145
2

6

1

𝑋 5 + 𝑋 6 ),
2

𝑋5 +

31
3

1

𝑋6 + 𝑋7 .
2

Như vậy để xác định được độ dời y0 của hạt ở nhiệt độ T, ta phải xác
được các thông số k, 𝛽, 𝛾 ở nhiệt độ T=0K. Vì tương tác giữa hạt là tương tác
ngắn, nên khi áp dụng tính số cho các công thức nêu trên ta chỉ kể đến sự
tương tác của các hạt trên quả cầu phối vị thứ nhất và thứ 2 có tâm là hạt gốc
i, có bán kính là r1, r2. Khi đó thay (2.11) vào (2.10), các thông số k, 𝛽, 𝛾 sẽ
có dạng như sau:
2

4

3

3𝑟1

(2)
2
(𝑟1 ) + ∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘
(𝑟1 )] +
𝑘 = [Φ𝑖𝑗

(2)
2
(𝑟2 ) + ∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘
(𝑟2 )] +
2 [Φ𝑖𝑗

(1)
(1)
[Φ𝑖𝑗 (𝑟1 ) + ∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘 (𝑟1 )] +
4
𝑟2

(1)
(1)
[Φ𝑖𝑗 (𝑟2 ) + ∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘 (𝑟2 )]

(2.14)

𝛽=

2
3√3

(3)
(3)
[Φ𝑖𝑗 (𝑟1 ) + ∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘 (𝑟1 )] −

(2)
∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘
(𝑟1 )] +

2
√3𝑟12

2

√3𝑟1

(2)
[Φ𝑖𝑗 (𝑟1 ) +

(1)
(1)
[Φ𝑖𝑗 (𝑟1 ) + ∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘 (𝑟1 )]

(2.15)

𝛾 = 4(𝛾1 + 𝛾2 ) ,

17

(2.16)


𝛾1 =

1
108

(4)
(4)
[Φ𝑖𝑗 (𝑟1 ) + ∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘 (𝑟1 )] +

(3)
∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘
(𝑟1 )] −

(1)
∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘
(𝑟1 )] +
(3)
∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘
(𝑟2 )] −

1

1

(3)
[Φ𝑖𝑗 (𝑟1 ) +

9𝑟1

(2)
(2)
2 [Φ𝑖𝑗 (𝑟1 ) + ∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘 (𝑟1 )] +

1

9𝑟1

9𝑟13

1

1

24
1

(4)
(4)
[Φ𝑖𝑗 (𝑟2 ) + ∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘 (𝑟2 )] +

4𝑟2

(2)
(2)
2 [Φ𝑖𝑗 (𝑟2 ) + ∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘 (𝑟2 )] +

8𝑟1

(1)
[Φ𝑖𝑗 (𝑟1 ) +

(3)
[Φ𝑖𝑗 (𝑟2 ) +

1
8𝑟23

(1)
[Φ𝑖𝑗 (𝑟2 ) +

(1)
∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘
(𝑟2 )] ,

(2.17)
1

𝛾2 =

18

1
3𝑟12
1
8

(4)
(4)
(3)
(3)
[Φ𝑖𝑗 (𝑟1 ) + ∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘 (𝑟1 )] + 0 [Φ𝑖𝑗 (𝑟1 ) + ∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘 (𝑟1 )] +

(2)
(2)
[Φ𝑖𝑗 (𝑟1 ) + ∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘 (𝑟1 )] −
(4)
(4)
[Φ𝑖𝑗 (𝑟2 ) + ∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘 (𝑟2 )] +

3
8𝑟12

1

3𝑟13
1
4𝑟2

(2)
(2)
[Φ𝑖𝑗 (𝑟2 ) + ∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘 (𝑟2 )] −

(1)
(1)
[Φ𝑖𝑗 (𝑟1 ) + ∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘 (𝑟1 )] −
(3)
(3)
[Φ𝑖𝑗 (𝑟2 ) + ∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘 (𝑟2 )] +

3
8𝑟23

(1)
(1)
[Φ𝑖𝑗 (𝑟2 ) + ∑𝑘 𝑊𝑖𝑗𝑘 (𝑟2 )] ,

(2.18)
2.3. Xác định khoảng lân cận gần nhất r10
Khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt ở 0K (bán kính quả cầu phối vị
thứ nhất) có thể xác định từ điều kiện cực tiểu của thế năng tương tác u0, hoặc
từ việc giải phương trình trạng thái. Trong luận văn này chúng tôi xác định r10
từ phương trình trạng thái có dạng [1] sau:

𝑝𝑣 = −𝑟1 [

1 𝜕𝑢0
3 𝜕𝑟1

+

ℏ𝜔 𝜕𝑘
4𝑘 𝜕𝑟1

],

(2.19)

trong đó, p là áp suất thủy tĩnh, v là thể tích nguyên tử của Si được xác
định theo công thức 𝑣

𝑉

= 𝑁, r1 là khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt, k là

18


hằng số dao động được xác định theo (2.14); u0 là thế năng tương tác trung
bình của một hạt trong tinh thể được xác định theo (2.9) :
1
1
𝑈0 = ∑ 𝜑𝑖 (|𝑟𝑗 |) = ∑ Φ𝑖𝑗 (|𝑟𝑗 |) + ∑ 𝑊𝑖𝑗𝑘 (|𝑟𝑗 |)
2
6

𝑖

𝑗

(2.20)

𝑗,𝑘

với rj là bán kính quả cầu phối vị thứ j, tổng theo j là tổng số hạt trên quả
cầu phối vị thứ j.
Khi p=0, giải phương trình trạng thái (2.19) ta sẽ tìm được r10.
2.4. Áp dụng tính số và thảo luận kết quả
Như chúng tôi đã nêu ở trên, đối với những vật liệu có liên kết cộng
hóa trị mạnh như bán dẫn, thì việc chỉ sử dụng thế cặp ij là không đủ để mô
tả lực liên kết và mạng tinh thể là không bền nếu không có các tương tác ba
hạt Wijk . Vì vậy, trong luận văn này, chúng tôi sử dụng thế tương tác ba hạt
được trình bày cho bán dẫn Si có dạng [5]:
𝜑 = ∑ Φ𝑖𝑗 + ∑ 𝑊𝑖𝑗𝑘 ,
𝑖<𝑗

𝑖<𝑗<𝑘

(2.21)
𝑟

12

Φ𝑖𝑗 = 𝜀 [(𝑟0 )
𝑖𝑗

𝑊𝑖𝑗𝑘 = 𝑍

𝑟

6

− 2 (𝑟 0 ) ],

(2.22)

𝑖𝑗

(1+3𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑗 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑘 )
3

(𝑟𝑖𝑗 𝑟𝑗𝑘 𝑟𝑘𝑖 )

,

(2.23)

trong đó, rij , rjk , rki tương ứng là khoảng cách giữa các cặp hạt i và j,
j và k, k và i; i , j ,k là ba góc trong của tam giác được tạo thành từ ba hạt i,
j, k;
, r0 , Z là các thông số thế được xác định từ thực nghiệm. Giá trị của các

thông số này được trình bày cho Si trong Bảng 2.1.
Bảng 2.1: Giá trị thực nghiệm các thông số thế của Si.

19