Ứng dụng kí hiệu của christoffel trong vật lí

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ THU LÝ

ỨNG DỤNG CỦA KÍ HIỆU CHRISTOFFEL TRONG VẬT LÝ
Chuyên ngành: Vật lý lí thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Hà Thanh Hùng

HÀ NỘI, 2017


LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo:
TS. Hà Thanh Hùng người đã tận tình hướng dẫn em để hoàn thành
khóa luận này.
Em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến những thầy cô giáo đã giảng
dạy em trong bốn năm qua, đặc biệt là các thầy cô trong Khoa Vật lý Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã giảng dạy và trang bị cho em những kiến thức
cơ bản trong học tập, nghiên cứu khóa luận cũng như trong công việc sau này.
Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen
với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những
thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được sự đóng góp của các quý thầy cô và
các bạn để đề tài này được hoàn hiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Lý


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp “ Ứng dụng của kí hiệu Christoffel trong vật
lý” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy: TS Hà Thanh
Hùng.
Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của tôi và không
trùng với bất kì kết quả nghiên cứu của tác giả nào khác.
Hà Nội, tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Lý


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ........................................................................................... 1
2. Lý do chọn đề tài ........................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu: .................................................................... 2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: ................................................ 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu: ................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu: .............................................................. 2
6. Cấu trúc của khóa luận: ................................................................. 3
NỘI DUNG........................................................................................ 4
CHƯƠNG I: KÍ HIỆU CHRISTOFFEL ........................................... 4
1.1. Kí hiệu Christoffel ...................................................................... 4
1.1.1. Một số khái niệm cơ bản: ........................................................ 4
1.1.2. Kí hiệu Christoffel ................................................................... 6
1.2. Kí hiệu Christoffel trong các hệ tọa độ ...................................... 7

1.2.1. Kí hiệu Christoffel trong các hệ tọa độ tổng quát. .................. 7
1.2.2. Kí hiệu Christoffel trong các hệ tọa độ trụ.............................. 8
1.3. Các tính chất của kí hiệu Christoffel. ......................................... 9
1.3.1. Liên hệ giữa kí hiệu Christoffel loại 1 và kí hiệu Christoffel
loại 2 .................................................................................................. 9
k

1.3.2. Kí hiệu Christoffel  ij đối xứng với các chỉ số i, j .................. 9


k

1.3.3. Sự biến đổi của kí hiệu Christoffel  ij trong hệ tọa độ tổng
quát. ................................................................................................. 10
1.3.4. Kí hiệu Christoffer không phải là tenxơ bậc ba. ................... 10
1.4. Đạo hàm hiệp biến và kí hiệu Christoffel. ............................... 11
1.5 Biểu diễn các toán tử véctơ dưới dạng Tenxo........................... 21
CHƯƠNG II. ỨNG DỤNG CỦA KÍ HIỆU CHRISTOFFEL
TRONG VẬT LÍ ............................................................................. 26
2.1. Đạo hàm hiệp biến và kí hiệu Christoffel ................................ 26
2.2. Phương trình trắc địa: ............................................................... 31
KẾT LUẬN CHUNG ...................................................................... 36
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................... 37


MỞ ĐẦU
2. Lý do chọn đề tài
Toán học là một ngành khoa học không những nó phục vụ chính nó,
mà nó đặc biệt trở thành một công cụ hữu ích cho việc phát triển các ngành
khoa học khác, trong đó có vật lý. Tính chất cơ bản của vật lý là tính thực

nghiệm. Nhưng muốn trình bày những định luật định lượng của vật lý một
cách chính xác ta thường phải sử dụng phương pháp toán học.
Những quy luật đơn giản của vật lý đã được cơ học cổ điển giải
quyết gần như trọn vẹn. Nhưng những quy luật vi mô, vĩ mô dưới tác dụng
của nhiều trường khác nhau thì nó lại hoàn toàn bất lực. Cùng với điều đó là
sự phát triển mạnh mẽ của toán học cả về bề rộng và bề sâu. Dẫn đến một
ngành vật lý mới: Vật lý lí thuyết.
Từ lâu con người đã biết sử dụng toán học để giải những khúc mắc
của vật lý. Những phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại thì
rất phong phú và đa dạng. Nó gồm một khối lượng kiến thức lớn thuộc các
ngành như: hàm thực, hàm phức, các phương trình vi phân, các phép tính tích
phân, đại số tuyến tính,...Các kiến thức này không chỉ cung cấp cho các bạn
học sinh, sinh viên để giải các bài tập mà còn dùng để nghiên cứu, thực hành
đối với các môn học khác trong khi học tại trường, là công cụ toán hữu ích
cho công việc của ta người học sau khi ra trường. Phương pháp toán học rất
cần thiết cho tất cả lĩnh vực trong cuộc sống đặc biệt khi nghiên cứu trong vật
lý, nó dùng để giải quyết hầu hết những khó khăn của vật lý.
Tenxơ là một khái niệm trong toán học phục vụ cho việc thiết lập và
giải quyết các vấn đề vật lý trong nhiều lĩnh vực như cơ học môi trường liên
tục, lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tương đối rộng,..Để giải quyết những vấn đề
này người ta sử dụng nhiều phương pháp khác nhau trong đó có sử dụng kí
hiệu Christoffel. Do đó để tìm hiểu rõ hơn về kí hiệu này cũng như ứng dụng

1


của nó trong vật lý, tôi chọn đề tài “ Ứng dụng của kí hiệu Christoffel trong
vật lý”. Đây cũng là một trong số các công cụ, phương pháp toán học để
nghiên cứu sâu hơn những đặc điểm của trường Tenxơ. Nó giúp chúng ta tìm
hiểu và giải quyết những bài tập vật lý một cách đơn giản hơn, từ đó có thể

tổng hợp các phương pháp toán học dùng trong vật lí nói chung cũng như vật
lý lí thuyết nói riêng.
2. Mục đích nghiên cứu:
- Nâng cao kiến thức toán học và sử dụng chúng một cách linh hoạt
trong việc nghiên cứu vật lý.
- Tìm hiểu kí hiệu Christoffel.
- Tìm hiểu ứng dụng của kí hiệu Christoffel trong Vật lý.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
- Kí hiệu Christoffel và ứng dụng trong vật lý.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu các phương pháp toán học cho vật lý.
- Nghiên cứu kí hiệu Christoffel.
- Nghiên cứu ứng dụng của kí hiệu Christoffel trong vật lý.
5. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp toán học.
- Vật lý lí thuyết.
- Đọc, tham khảo và tra cứu tài liệu có liên quan.

2


6. Cấu trúc của khóa luận:
Chương 1: Kí hiệu Christoffel
1.1.

Kí hiệu Christoffel

1.2.

Kí hiệu Christoffel trong các hệ tọa độ

1.3.

Các tính chất của kí hiệu Christoffel

1.4.

Đạo hàm hiệp biến và kí hiệu Christoffel

1.5.

Biểu diễn các toán tử véctơ dưới dạng Tenxơ.
Chương 2: Ứng dụng của kí hiệu Christoffel trong Vật lý

2.1. Đạo hàm hiệp biến và kí hiệu Christoffel
2.2. Phương trình trắc địa.

3


NỘI DUNG
CHƯƠNG I: KÍ HIỆU CHRISTOFFEL
1.1. Kí hiệu Christoffel
1.1.1. Một số khái niệm cơ bản:
Định nghĩa
Tenxơ là trường hợp riêng của hệ thống phần tử, các thành phần của hệ
là hằng số hoặc là hàm số xác định trong hệ cơ sở đã cho, với phép biến đổi
tuyến tính của hệ cơ sở các thành phần thay đổi theo một quy luật xác định.
Hệ thống kí hiệu
Các kí hiệu trong hệ thống đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số trên và

dưới.
Ví dụ như: 𝑒𝑖, 𝑒 𝑖 , 𝑒𝑖𝑗 , 𝑒 𝑖𝑗
Theo quy ước: các chỉ số bằng chữ la tinh lấy các giá trị 1,2,3. Ví dụ, nếu
kí hiệu 𝑒 𝑖 nghĩa là biểu thị 1 trong 3 phần tử 𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 . 𝑒 𝑖𝑗 biểu thị 1 trong 9
phần tử 𝑒 11 , 𝑒 12 , 𝑒 13 , 𝑒 21 , 𝑒 22 , 𝑒 23 , 𝑒 31 , 𝑒 32 , 𝑒 33 .
Hạng của tenxơ
Hạng của tenxơ xác định bằng số lượng chỉ số trong kí hiệu tenxơ. Như
𝑒𝑖 phụ thuộc vào một chỉ số nên 𝑒𝑖 là hệ thống hạng 1 bao gồm 3 hạng tử.
𝑒𝑖𝑗 phụ thuộc vào 2 chỉ số (i,j) nên 𝑒𝑖𝑗 là hệ thống hạng 2 bao gồm 32 =9
phần tử.
Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n chỉ số là hệ thống hạng n gồm 3𝑛 phần tử.
Quy ước về chỉ số
Chỉ số trong hệ thống tenxơ tuân theo quy ước: “ Trong một biểu thức,
nếu chỉ số lặp lại 2 lần , nó biểu thị tổng đó từ 1 đến 3”. Chỉ số như vậy là chỉ
số câm nên nó có thể thay bằng chữ khác.
Ví dụ: 𝑎𝑖 𝑏𝑖 = 𝑎𝑗 𝑏𝑗 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3
Tensor đối xứng

4


Xét hệ thống hạng hai 𝑒𝑖𝑗
Nếu đổi chỗ của 2 chỉ số cho nhau, các thành phần của tensor không thay đổi
dấu giá trị thì tensor 𝑒𝑖𝑗 gọi là đối xứng.
𝑒𝑖𝑗 = 𝑒𝑗𝑖
Nếu thay đổi vị trí của 2 chỉ số cho nhau, thành phần của tensor chỉ thay đổi
dấu mà không thay đổi giá trị tuyệt đối thì hệ thống 𝑒𝑖𝑗 là phản đối xứng.
𝑒𝑖𝑗 = −𝑒𝑗𝑖
Ví dụ ký hiệu Kronecker:
𝛿𝑖𝑗 = {

1,
0,

nếu 𝑖 = 𝑗

là tensor đối xứng

nếu 𝑖 ≠ 𝑗

Mở rộng cho hệ có nhiều hệ số
Tensor đối xứng với hai chỉ số nào đấy, nếu thành phần của nó không thay đổi
khi đổi chỗ hai chỉ số đó cho nhau.
Ví dụ: Nếu tensor 𝑎𝑖𝑗𝑘 đối xứng theo 2 chỉ số ( i,j ) thì
𝑎𝑖𝑗𝑘 = 𝑎𝑖𝑗𝑘 .

Tensor Levi-Civita là một tensor phản đối xứng hạng 3
𝑒𝑖𝑗𝑘
Cụ thể:

0,
= { 1,
−1,

khi 2 chỉ số bất kỳ bằng nhau
khi 𝑖, 𝑗, 𝑘 là hoán vị chẵn của các số 1, 2, 3.
khi 𝑖, 𝑗, 𝑘 là hoán vị lẻ của các số 1, 2, 3

𝑒123 = 𝑒231 = 𝑒312 = 1
𝑒132 = 𝑒213 = 𝑒321 = −1

Các thành phần còn lại của 𝑒𝑖𝑗𝑘 = 0.

5


1.1.2. Kí hiệu Christoffel
Trong tọa độ Đề Các, các véctơ cơ sở ei là hằng số và do đó đạo hàm
tương ứng của nó trong hệ tọa độ này triệt tiêu. Trong hệ tọa độ tổng quát, các
véctơ cơ sở ei và ei lại là hàm của các tọa độ trong hệ cơ sở này. Việc tính đạo
hàm của các tenxơ trong hệ tọa độ tổng quát có thể thực hiện bằng cách khảo
sát đạo hàm của các véctơ cơ sở.
Trước tiên ta khảo sát đạo hàm của véctơ cơ sở ei của hệ tọa độ Đề Các trong
hệ tọa độ tổng quát có các véctơ cơ sở ui.
Đạo hàm này được biểu diễn dưới dạng

𝜕𝒆𝑖
𝜕𝒖𝑗

, đó là một tổ hợp tuyến tính của

véctơ cơ sở ek , k = 1,2,3 và biến đổi như một véctơ.
𝑘

Nếu ta dùng  𝑖𝑗 để kí hiệu cho hệ số trong trường hợp này
Ta có:
𝜕𝑒𝑖
𝜕𝑢𝑗

=  𝑘𝑖𝑗 𝑒𝑘

(1.1)

𝜕𝑒

𝑘

𝑖
Hệ số  𝑖𝑗 là thành phần thứ k của véctơ
.
𝜕𝑢𝑗

Ta sử dụng hệ thức của các véctơ cơ sở:

ei.ej = 𝛿𝑗𝑖 , nhân hai vế của (1.1) với ek ta đưa ra dạng của  𝑘𝑖𝑗 là:
𝑘

 𝑖𝑗

= ek.

𝜕𝑒𝑖

(1.2)

𝜕𝑢𝑗

Sử dụng hệ thức e .ej = 𝛿𝑗𝑖 và biểu thức (1.2), chúng ta có thể đưa ra dạng
i

𝑘

của  𝑖𝑗 với đạo hàm của véctơ cơ sở phản biến, thật vậy:
Ta có:

6


𝑒 𝑖 𝑒𝑖 = 3 (*)
Lấy đạo hàm hai vế của phương trình (*) theo véctơ cơ sở của hệ tọa độ tổng
quát:
𝜕𝑒
𝑒 𝑖 𝑖𝑗
𝜕𝑢

+ 𝑒𝑖

𝜕𝑒 𝑖
𝜕𝑢𝑗

=0

Sử dụng công thức (1.1), ta có:

𝑒𝑖

𝜕𝑒 𝑖
𝜕𝑢𝑗

𝑘

= −𝑒 𝑖  𝑖𝑗 𝑒𝑘 (**)

Mặt khác, 𝑒 𝑖 𝑒𝑘 = 𝛿𝑘𝑖 , nên nhân hai vế của (**) với 𝑒 𝑖 ta có dạng đạo hàm
của véctơ phản biến.
𝜕𝑒 𝑖
𝜕𝑢𝑗

= −  𝑖𝑘𝑗 𝑒 𝑘

(1.3)

𝑘

Kí hiệu  𝑖𝑗 gọi là kí hiệu Christoffel và như đã chứng minh ở trên trước kí
hiệu Christoffel mang dấu ngược nhau khi tính đạo hàm cho véctơ hiệp biến
và véctơ phản biến.
𝑘

Rõ ràng từ (1.2) thấy trong hệ tọa độ Đề Các kí hiệu Christoffel  𝑖𝑗 = 0
với mọi giá trị của các chỉ số i, j và k.
1.2. Kí hiệu Christoffel trong các hệ tọa độ
1.2.1. Kí hiệu Christoffel trong các hệ tọa độ tổng quát.
𝑘

Để có biểu thức cho  𝑖𝑗 ta sử dụng 𝑔𝑖𝑗 = 𝑒𝑖 . 𝑒𝑗 và lấy đạo hàm:
𝜕𝑔𝑖𝑗
𝜕𝑢𝑘

=

𝜕𝑒𝑖

𝜕𝑒𝑗

𝜕𝑢

𝜕𝑢𝑘

𝑘 𝑒𝑗 + 𝑒𝑖

=  𝑙𝑖𝑘 𝑒𝑙 . 𝑒𝑗 + 𝑒𝑖  𝑙𝑗𝑘 𝑒𝑙
𝑙

𝑙

=  𝑖𝑘 𝑔𝑙𝑗 +  𝑗𝑘 𝑔𝑖𝑙

7

(1.4)


Ta sử dụng định nghĩa (1.1) rồi bằng cách hoán vị chỉ số dưới 𝑖, 𝑗, 𝑘 trong
(1.4) ta được:
𝜕𝑔𝑗𝑘

=  𝑙𝑗𝑖 𝑔𝑙𝑘 +  𝑙𝑘𝑖 𝑔𝑗𝑙

𝜕𝑢𝑖

(1.5)
𝜕𝑔𝑘𝑖

Và

=  𝑙𝑘𝑗 𝑔𝑙𝑖 +  𝑙𝑖𝑗 𝑔𝑘𝑙

𝜕𝑢𝑗

(1.6)

Nếu ta cộng (1.5) và (1.6) rồi trừ cho (1.4) ta được:
𝜕𝑔𝑗𝑘
𝜕𝑢𝑖

+

𝜕𝑔𝑘𝑖
𝜕𝑢𝑗

−

𝜕𝑔𝑖𝑗
𝜕𝑢𝑘

𝑙
=  𝑗𝑖
𝑔𝑙𝑘 +  𝑙𝑘𝑖 𝑔𝑗𝑙 +  𝑙𝑘𝑗 𝑔𝑙𝑖 +  𝑙𝑖𝑗 𝑔𝑘𝑙 −  𝑙𝑖𝑘 𝑔𝑙𝑗 −

𝑙

 𝑗𝑘 𝑔𝑖𝑙
𝑙

Ở đây ta sử dụng tính chất đối xứng của  𝑖𝑗 và 𝑔𝑖𝑗 . Kết hợp với 𝑔𝑚𝑘 ta được
tính chất của kí hiệu Christoffel trong số hạng của ten xo metric và đạo hàm:
𝑚

 𝑖𝑗

1

𝜕𝑔𝑗𝑘

2

𝜕𝑢𝑖

= 𝑔𝑚𝑘 (

+

𝜕𝑔𝑘𝑖
𝜕𝑢𝑗

−

𝜕𝑔𝑖𝑗
𝜕𝑢𝑘

)

(1.7)

1.2.2. Kí hiệu Christoffel trong các hệ tọa độ trụ
Hệ tọa độ trụ là hệ tọa độ quen thuộc khi nghiên cứu các hệ vật lý trong
không gian cong tổng quát. Tính cong của không gian thể hiện ở các thành
phần của kí hiệu Christoffel. Sau đây, chúng ta sẽ tìm các thành phần của kí
hiệu Christoffel trong tọa độ trụ
𝑚

Ta sử dụng (1.1) hoặc (1.7) tính  𝑖𝑗 trong hệ tọa độ trụ
Trong tọa độ trụ (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) = (𝜌, 𝛷, 𝑧), với véctơ cơ sở 𝑒𝑖
Ta thấy rẳng đạo hàm của véctơ đối với tọa độ tương ứng là ≠ 0
𝜕𝑒𝜌
𝜕𝛷

1

𝜕𝑒𝛷

𝜌

𝜕𝜌

= 𝑒𝛷 ;

Từ (1.1) có:

2

2

 12 =  21 =

1

𝜕𝑒𝛷

𝜌

𝜕𝛷

= 𝑒𝛷 ;

1

và

𝜌

1

 22 = −𝜌

Hơn nữa từ (1.7) ta thấy rằng:
𝑔11 = 1,

𝑔22 = 𝜌2 ,

8

= −𝜌𝑒𝜌

𝑔33 = 1

(1a)


2

2

Lúc này kí hiệu Christoffel được viết như sau:  12 =  21
1

Và  22 cho bởi:
2

 12

1

𝜕𝑔22

=  221 =
2𝑔

22

𝜕𝑢𝑙

=

1

𝜕

2𝜌2

𝜕𝜌

(𝜌 2 ) =

1
𝜌

Bằng cách làm hoàn toàn tương tự, chúng ta có thể xác định được các thành
phần của kí hiệu Christoffel trong hệ tọa độ cực, hệ tọa độ cầu.

1.3. Các tính chất của kí hiệu Christoffel.
1.3.1. Liên hệ giữa kí hiệu Christoffel loại 1 và kí hiệu Christoffel loại 2


Kí hiệu Christoffel loại 1:
1 𝜕𝑔𝑖𝑘

Γ𝑖𝑗𝑘 = (
2

𝜕𝑥 𝑗

+

𝜕𝑔𝑖𝑗
𝜕𝑥 𝑘

−

𝜕𝑔𝑗𝑘

1

𝜕𝑥

2

𝑖 ) = (𝑔𝑖𝑘,𝑗 + 𝑔𝑖𝑗,𝑘 − 𝑔𝑗𝑘,𝑖 )

Ở đây, kí hiệu dấu phẩy cho phép tính đạo hàm thông thường


Kí hiệu Christoffel loại 2:
1

𝜕𝑔𝑖𝑎

2

𝜕𝑥 𝑗

Γ𝑖𝑗𝑘 = 𝑔𝑘𝑎 (

+

𝜕𝑔𝑗𝑎
𝜕𝑥 𝑖

−

𝜕𝑔𝑖𝑗

1

𝜕𝑥

2

𝑘𝑎
(𝑔𝑖𝑎,𝑗 + 𝑔𝑗𝑎,𝑖 − 𝑔𝑖𝑗,𝑎 )
𝑎) = 𝑔

Mối liên hệ giữa kí hiệu Christofell loại 1 và loại 2 được viết thông qua ten
xơ metric:
𝑘

Γ𝑎𝑖𝑗 = 𝑔𝑎𝑘  𝑖𝑗
𝒌

1.3.2. Kí hiệu Christoffel  𝒊𝒋 đối xứng với các chỉ số i, j
𝑘

𝑘

 𝑖𝑗 =  𝑗𝑖

Trước hết, từ phép biến đổi:
𝜕𝑒𝑖
𝜕𝑢𝑗

Lại có:

𝑘

 𝑖𝑗 . 𝑒𝑘

=

𝜕2 𝑟
𝜕𝑢𝑗 𝜕𝑢𝑖

=

𝜕2 𝑟
𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑢𝑗

=

𝜕𝑒𝑗

𝜕𝑢𝑖

=  𝑘𝑗𝑖 𝑒𝑘 .

Nhân vô hướng với 𝑒 𝑙 sau đó sử dụng mối quan hệ tương hỗ: 𝑒𝑘 . 𝑒 𝑙 = 𝛿𝑘𝑙

9


𝑙

=  𝑙𝑗𝑖

 𝑖𝑗

Ta có:

𝒌

1.3.2. Sự biến đổi của kí hiệu Christoffel  𝒊𝒋 trong hệ tọa độ tổng quát.
Trong một hệ tọa độ mới:
′𝑘
 𝑖𝑗

=

′
′𝑘 𝜕𝑒𝑖
𝑒 . ′𝑗
𝜕𝑢

,

Trong hệ tọa độ cũ (không có dấu phẩy) và hệ tọa độ mới (có dấu phẩy) các
véctơ hiệp biến và phản biến liên hệ với nhau bằng các hệ thức sau:

𝑒

′𝑘

=

𝜕𝑢′𝑘
𝜕𝑢𝑛

𝑒

𝑛

𝑒𝑖′

và

𝜕𝑢𝑙

=

𝜕𝑢′𝑖

𝑒𝑙

′𝑘

Do đó trong hệ tọa độ mới, đại lượng  𝑖𝑗 biến đổi theo qui luật sau:
′𝑘

 𝑖𝑗

=
=
=
=

𝜕𝑢′𝑘

𝑒𝑛.

𝜕𝑢𝑛
𝜕𝑢′𝑘

𝜕
𝜕𝑢′𝑗

𝑒 .(

𝜕𝑢′𝑘

𝜕𝑢𝑙
𝜕𝑢′𝑖

𝜕2 𝑢𝑙

𝑛

𝜕𝑢𝑛

(

𝜕𝑢′𝑗 𝜕𝑢′𝑖 .

𝜕2 𝑢𝑙
𝜕2 𝑢𝑙

𝜕𝑢𝑙

𝜕𝑢′𝑗 𝜕𝑢′𝑖 .

𝑒𝑙 +

𝑛

𝜕𝑢𝑛 𝜕𝑢′𝑗 𝜕𝑢′𝑖 .
𝜕𝑢′𝑘

𝑒𝑙 )

𝑒 . 𝑒𝑙 +

+

𝜕𝑢𝑙

𝜕𝑒𝑙

𝜕𝑢′𝑖 𝜕𝑢′𝑗

)

𝜕𝑢′𝑘

𝜕𝑢𝑙

𝜕𝑢𝑛

𝜕𝑢′𝑖 𝜕𝑢′𝑗

𝜕𝑢′𝑘

𝜕𝑢𝑙 𝜕𝑢𝑚

𝜕𝑢𝑛

𝜕𝑢′𝑖

𝜕𝑢′𝑗

𝜕𝑢𝑚

𝑛

 𝑙𝑚

𝑒𝑛

𝜕𝑒𝑙
𝜕𝑢𝑚

(1.8)

Đây chính là phép biến đổi của kí hiệu Christoffel trong hệ tọa độ tổng quát.
1.3.3. Kí hiệu Christoffer không phải là tenxơ bậc ba.
Phép biến đổi của các loại Tenxơ được đưa ra như sau:
Một Tenxo tổng quát hạng (k,l) là Tenxo gồm k thành phần phản biến và l
thành
phần hiệp biến với quy luật biến đổi tổng quát như sau:
′𝜇1..𝜇

𝜇

𝜇

𝜈

𝜕𝑥 𝜈

𝛼

𝛼

𝛽 …𝛽

𝑇𝑣1 ..𝑣𝑙 𝑘 = 𝛬𝛽11 … 𝛬𝛽𝑘𝑘 𝛬𝑣11 … 𝛬𝑣𝑙𝑙 𝑇𝛼11…𝛼𝑙𝑘
Trong đó:

(Λ𝜇 ) =

𝜕𝑥 ′𝜇

10


So sánh với kết quả từ (1.1) và sự hiện diện của số hạng đầu ở vế phải,
𝑘

ta kết luận ngay rằng  𝑖𝑗 không biến đổi như Tenxo bậc 3.
Trong hệ tọa độ tổng quát, về nguyên tắc chúng ta có thể tính toán
nhanh bằng cách sử dụng (1.2) hơn là sử dụng biểu thức khác. Với kí hiệu
Christoffel trong số hạng của tenxo metric 𝑔𝑖𝑗 và đạo hàm của nó với các tọa
độ tương ứng.
1.4. Đạo hàm hiệp biến và kí hiệu Christoffel.
Từ Tenxơ Đề Các, ta thấy đạo hàm của 1 vô hướng (hiệp biến) là 1 véctơ. Ta
có thể biểu diễn bằng cách xét đạo hàm (vi phân) của 1 vô hướng:

𝑑 =

𝜕𝜑

𝑑𝑢𝑖

𝜕𝑢𝑖

Do 𝑑𝑢𝑖 là thành phần của 1 vectơ phản biến và 𝑑 là 1 vô hướng.
Nên ta thấy rằng đại lượng

𝜕𝜑
𝜕𝑢𝑖

là thành phần của 1 véctơ hiệp biến.

Giả sử thành phần phản biến trong tọa độ Đề Các của 1 vectơ 𝑣 là 𝑣 𝑖 thì
trong tọa độ Đề Các đại lượng

𝜕𝑣 𝑖
𝜕𝑥 𝑖

là thành phần của Tenxơ bậc 2. Tuy nhiên

để đơn giản ta thấy rằng trong tọa độ Đề Các đạo hàm của các thành phần
trong 1 Tenxơ chung khác với vô hướng trong tọa độ không gian so với các
thành phần Tenxơ khác.
Thấy rằng trong tọa độ tổng quát, đại lượng

𝜕𝑣 𝑖
𝜕𝑢𝑗

không được tạo ra từ các

thành phần của 1 Tenxơ.
Lúc này, ta có thể biểu diễn trực tiếp:
′

𝜕𝑣 𝑖
𝜕𝑣 ′𝑖
𝜕𝑢𝑘 . 𝜕𝑣 ′𝑖
=
( 𝑗) =
𝜕𝑢
𝜕𝑢′𝑗
𝜕𝑢′𝑗 . 𝜕𝑢𝑘
𝜕𝑢𝑘 𝜕
𝜕𝑢′𝑖 𝑙
= ′𝑗
𝑣)
(
𝜕𝑢 𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑢𝑙

11


=

𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑢′𝑖 𝜕𝑣 𝑙

𝜕𝑢𝑘

𝜕𝑢′𝑗

𝜕𝑢′𝑗 𝜕𝑢𝑘 .𝜕𝑢𝑙

Từ biểu thức (1.9) ta thấy rằng

𝜕𝑢𝑙 𝜕𝑢
𝜕𝑣 𝑖
𝜕𝑥 𝑖

𝑘 +

𝜕2 𝑢′𝑖

𝑣𝑙

(1.9)

không được tạo ra từ các thành phần của

Tenxơ bậc hai
Các số hạng này là do biến đổi ma trận [

𝜕𝑢′𝑖
𝜕𝑢𝑗

] bằng cách thay đổi vị trí trong

không gian.
Và

𝜕𝑣 𝑖
𝜕𝑥 𝑖

là Tenxơ bậc 2.

Tuy nhiên ta có thể sử dụng kí hiệu Christoffel ở phần trước để xác định đạo
hàm hiệp biến mới của thành phần véctơ mà không làm thay đổi thành phần
của Tenxơ khác.
Trước tiên ta xét đạo hàm của véctơ đối với các tọa độ:
𝑣 = 𝑣 𝑖 𝑒𝑖
𝜕𝑣

Ta thấy:

𝜕𝑢𝑗

=

𝜕𝑣 𝑖
𝜕𝑢𝑗

𝑒𝑖 + 𝑣𝑖

𝜕𝑒𝑖
𝜕𝑢𝑗

(1.10)

Trong số hạng thứ 2 ta thấy vec tơ cơ sở 𝑒𝑖 không thay đổi
Sử dụng (1.1) ta viết lại:
𝜕𝑣
𝜕𝑢𝑗

=

𝜕𝑣 𝑖
𝜕𝑢𝑗

𝑒 𝑖 + 𝑣 𝑖  𝑘𝑖𝑗 𝑒𝑖

Với 𝑖 và 𝑘 là hệ số đánh giá trong số hạng cuối.
Khi đó, ta có thể thay đổi:
𝜕𝑣
𝜕𝑢𝑗

=

𝜕𝑣 𝑖
𝜕𝑢𝑗

= (

𝜕𝑣 𝑖
𝜕𝑢𝑗

𝑒𝑖 + 𝑣𝑖



𝑘
𝑖𝑗 𝑒𝑖

+ 𝑣 𝑘  𝑘𝑖𝑗 ) 𝑒𝑖

(1.11)

Do việc thay đổi chỉ số giả như trong (1.11), ta có hệ số khác: 𝑒𝑖
Đại lượng trong dấu ngoặc người ta gọi là “Đạo hàm hiệp biến”.

12


𝑖
𝑣𝑖𝑗
=

Kí hiệu:

𝜕𝑣 𝑖
𝜕𝑢𝑗

+  𝑖𝑘𝑗 𝑣 𝑘 (1.12) nó biểu thị vi phân hiệp biến.

Tương tự, kí hiệu này cũng được sử dụng vào đạo hàm riêng còn dấu phẩy (,)
được sử dụng thay thế cho dấu chấm phẩy(;).
Ví dụ:

𝜕𝑣 𝑖
𝜕𝑢𝑗

được kí hiệu 𝑣,𝑗𝑖
𝑖

Trong tọa độ Đề Các các  𝑘𝑗 = 0 và đạo hàm hiệp biến không thể phân

tích thành từng phần của đạo hàm

𝜕𝑣 𝑖
𝜕𝑢𝑗

.

Lúc này ta sử dụng dấu chấm phẩy (;) để viết tắt, khi đó đạo hàm của 1 véctơ
có thể viết rút gọn:
𝜕𝑣
𝜕𝑢𝑗

𝑖
= 𝑣;𝑗𝑒𝑖

𝑖
Từ đây dễ thấy 𝑣;𝑗
là tenxo hỗn hợp của các thành phần tenxơ bậc hai. Điều

này có thể chứng minh trực tiếp khi sử dụng những tính chất biến đổi của

𝜕𝑣 𝑖
𝜕𝑢𝑗

𝑖

và  𝑘𝑗 .
Nếu như ta coi 𝑣;𝑗𝑖 như một thành phần hỗn hợp của tenxơ bậc hai thì được
gọi là đạo hàm hiệp biến của 𝑣 và kí hiệu: Dμ 𝑣.
Trong tọa độ Đềcác thành phần của tenxo là:

𝜕𝑣 𝑖
𝜕𝑥 𝑗

Ví dụ: Tính 𝑣;𝑗𝑖 trong tọa độ trụ.
Từ (1.12) ta được:
Từ (1a) ta có:

𝑣;𝑗𝑖
𝑖

 1𝑖

=

𝜕𝑣 𝑖
𝜕𝑢𝑖

+  𝑖𝑘𝑖 𝑣 𝑘

2
3
=  111 =  12
=  13
=

𝑖

1

2

𝑖

1

2

3

 2𝑖 =  21 =  22 =  23 = 0
3

 3𝑖 =  31 =  32 =  33 = 0

13

1
𝜌


Và:

𝑣;𝑗𝑖 =
=

𝜕𝑣 𝜌
𝜕𝜌
1 𝜕
𝜌 𝜕𝜌

+

𝜕𝑣 ∅
𝜕∅

+

𝜕𝑣 𝑧

(𝜌𝑣 𝜌 ) +

𝜕𝑧

1

+ 𝑣𝜌
𝜌

𝜕𝑣 ∅

+

𝜕∅

𝜕𝑣 𝑧
𝜕𝑧

Từ đây, ta có thể xét đạo hàm hiệp biến của thành phần hiệp biến 𝑣 𝑖 . Các kết
quả này ứng với thành phần hiệp biến 𝑣 𝑖 có thể tìm thấy bằng việc đạo hàm

của 𝑣 = 𝑣𝑖 . 𝑒 𝑖 ta được:

𝑣𝑖;𝑗 =

𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑢𝑗

−  𝑘𝑖𝑗 𝑣𝑘

(1.13)

Sử dụng (1.12) và (1.13) ta thấy đạo hàm hiệp biến và các thành phần hiệp
biến của một véctơ tương ứng có một số điểm tương đồng và khác biệt. Nó
giúp ta nhớ đến các chỉ số liên quan đến đạo hàm hiệp biến.
Tương tự ta có biểu thức đạo hàm hiệp biến của Tenxơ bậc hai.
Bằng việc xét đạo hàm của Tenxơ bậc hai ta được:
𝜕𝑇
𝜕𝑢𝑘

=
=

𝜕
𝜕𝑢𝑘

(𝑇 𝑖𝑗 𝑒𝑖  𝑒𝑗 )

𝜕𝑇 𝑖𝑗
𝜕𝑢

𝑖𝑗
𝑘 𝑒𝑖  𝑒𝑗 + 𝑇

𝜕𝑒𝑖

 𝑒𝑗 +𝑇
𝜕𝑢𝑘

𝑖𝑗

𝑒𝑖 

𝜕𝑒𝑖
𝜕𝑢𝑘

Sử dụng (1.1) ta có thể viết đạo hàm của véctơ cơ sở trong kí hiệu Christoffel:
𝜕𝑇
𝜕𝑇 𝑖𝑗
𝑙
𝑙
=
𝑒𝑖  𝑒𝑗 + 𝑇 𝑖𝑗  𝑖𝑘 𝑒𝑖  𝑒𝑗 + 𝑇 𝑖𝑗 𝑒𝑖   𝑗𝑘 𝑒𝑙
𝑘
𝑘
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝑙

𝑙

Thay đổi chỉ số giả i và l trong 𝑇 𝑖𝑗  𝑖𝑘 𝑒𝑖  𝑒𝑗 và j và l trong 𝑇 𝑖𝑗 𝑒𝑖   𝑗𝑘 𝑒𝑙 ta
được:
𝜕𝑇
𝜕𝑇 𝑖𝑗
𝑖
𝑖
𝑙𝑗
𝑖𝑙
=
+
𝑇
+


(
𝑙𝑘
𝑙𝑘 𝑇 ) 𝑒𝑖  𝑒𝑗
𝑘
𝑘
𝜕𝑢
𝜕𝑢
Biểu thức trong dấu ngoặc đơn là đạo hàm hiệp biến:
𝑖𝑗
𝑇;𝑘

=

𝜕𝑇 𝑖𝑗
𝜕𝑢𝑘

+  𝑖𝑙𝑘 𝑇𝑙𝑗 +  𝑖𝑙𝑘 𝑇 𝑖𝑙

14

(1.14)


Hơn nữa, đạo hàm của Tenxơ T có thể viết dưới dạng các thành phần phản
biến bằng cách sử dụng (1.14)
𝜕𝑇
𝑖𝑗
= 𝑇;𝑘 𝑒𝑖  𝑒𝑗
𝑘
𝜕𝑢
Kết quả này tương tự (1.14) thì ta thu được đạo hàm hiệp biến của Tenxơ bậc
hai.
Kết hợp các kết quả ta thu được:
𝑖𝑗

𝑖𝑗

𝑖

𝑗

𝑇;𝑘 = 𝑇,𝑘 +  𝑙𝑘 𝑇𝑙𝑗 +  𝑙𝑘 𝑇 𝑖𝑙
𝑖𝑗

𝑖

𝑙

𝑖
𝑇;𝑘 = 𝑇𝑗,𝑘
+  𝑙𝑘 𝑇𝑗𝑙 −  𝑖𝑘 𝑇𝑙𝑖
𝑙

𝑙

𝑇𝑖𝑗;𝑘 = 𝑇𝑖𝑗,𝑘 −  𝑖𝑘 𝑇𝑙𝑗 −  𝑗𝑘 𝑇𝑖𝑙
Chúng ta sử dụng dấu phẩy cho hàm riêng.
𝑖𝑗

𝑖
Lưu ý: Đại lương 𝑇;𝑘 , 𝑇𝑗;𝑘
và 𝑇𝑖𝑗;𝑘 là thành phần của tenxo bậc ba Dμ 𝑇 𝑖𝑗 với

các hệ véctơ cơ sở khác nhau
𝑖𝑗

𝑖
Dμ 𝑇 𝑖𝑗 = 𝑇;𝑘 𝑒𝑖  𝑒𝑗  𝑒 𝑘 = 𝑇𝑗;𝑘
𝑒𝑖  𝑒 𝑗  𝑒 𝑘 = 𝑇𝑖𝑗;𝑘 𝑒 𝑖  𝑒 𝑗  𝑒 𝑘



Đạo hàm hiệp biến của vectơ cơ sở là:
𝜕𝑒𝑖
= 𝑒𝑖,𝑗 = 𝑇,𝑖𝑗
𝜕𝑥 𝑗

Ta biểu thị 𝑒𝑖,𝑗 qua các véctơ cơ sở như sau :

Vậy :

𝑒𝑖,𝑗 = Γ𝑖𝑗𝑘 𝑒𝑟 = Γ𝑖𝑗𝑠 𝑒 𝑠 = Γ𝑖𝑗𝑠 𝑒 𝑘𝑠 𝑒𝑘

(1.15)

Γ𝑖𝑗𝑘 = Γ𝑖𝑗𝑘 𝑔𝑟𝑘 .

(1.16)

Các đại lượng Γ𝑖𝑗𝑘 , Γ𝑖𝑗𝑠 là hệ số liên quan hay Christoffel loại 1 và loại 2.
Để xác định các thành phần của Christoffel ta dựa trên công thức biến đổi hệ
véctơ cơ sở.
Xét trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc 𝑂𝑦1 𝑦 2 𝑦 3 với hệ véctơ cơ sở (𝑒⃗1 , 𝑒⃗2 , 𝑒⃗3 )
Ta có:

15


𝑒⃗1 =

1
√𝑒

[𝑒⃗2 × 𝑒⃗3 ] = 𝑒⃗1

2

Trong đó √𝑒 = 𝑒⃗1 . [𝑒⃗2 × 𝑒⃗3 ] = 𝑒⃗1 = |𝑒⃗1 | = 1
⃗⃗
⃗⃗ 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑚
𝜕𝑇
𝜕𝑇
𝑒⃗𝑖 = 𝑖 = 𝑚
=
𝑔⃗ .
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑖
𝜕𝑦
𝜕𝑦 𝑖 𝑚
Xét
𝜕𝑥 1
𝜕𝑥 2
𝜕𝑥 3
𝑒⃗1 = 1 𝑔⃗1 + 1 𝑔⃗2 + 1 𝑔⃗3
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑦
= 𝛼𝑔⃗1 + 𝛽𝑔⃗2 + 𝛾𝑔⃗3

(1.17)

Nhân 2 vế của (1.41) với 𝑔⃗1 . Do hệ cong trực giao nên 𝑔⃗1 . 𝑔⃗2 = 𝑔⃗1 . 𝑔⃗3 = 0,
nên
𝑔⃗1 𝑒⃗1 = 𝛼𝑔⃗1 𝑔⃗1 = 𝛼
Suy ra:
𝛼 = 𝑔⃗1 𝑒⃗1 =

𝜕𝑅⃗⃗
𝑒⃗
𝜕𝑥 1 1

𝜕𝑅⃗⃗ 𝜕𝑦1 𝜕𝑅⃗⃗ 𝜕𝑦 2 𝜕𝑅⃗⃗ 𝜕𝑦 3
= ( 1 ∙ 1 + 2 ∙ 1 + 3 ∙ 1 ) 𝑒⃗1
𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝜕𝑦1
𝜕𝑦 2
𝜕𝑦 3
= ( 1 𝑒⃗1 + 1 𝑒⃗2 + 1 𝑒⃗3 ) 𝑒⃗1
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑦1 2 𝜕𝑦1
= 1 𝑒⃗1 = 1 ,
𝜕𝑥
𝜕𝑥
Tiến hành tương tự, ta nhân lần lượt hai vế của (1.41) với 𝑔⃗2 , 𝑔⃗3 sẽ thu được
𝜕𝑦1
𝛽 = 𝑔⃗2 . 𝑒⃗1 = 2 ,
𝜕𝑥
𝜕𝑦1
𝛾 = 𝑔⃗3 . 𝑒⃗1 = 3 .
𝜕𝑥
Suy ra:
𝜕𝑦1 1 𝜕𝑦1 2 𝜕𝑦1 3
𝑒⃗1 = 1 𝑔⃗ + 2 𝑔⃗ + 3 𝑔⃗ ∙

𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥

16


Công thức tổng quát là
𝜕𝑥 𝑟
𝜕𝑦 𝑖 𝑠
𝑒⃗𝑖 =
𝑔⃗ =
𝑔⃗ = 𝑒⃗ 𝑖
𝜕𝑦 𝑖 𝑟 𝜕𝑥 𝑠

(1.18)

Suy ra

𝑔⃗𝑖 =

𝜕𝑦 𝑗
𝜕𝑥 𝑖

𝑗

𝑒⃗𝑗 ,

𝑔⃗ =

𝜕𝑥 𝑗
𝜕𝑦 𝑖

𝑒⃗ 𝑖 .

(1.19)

Đạo hàm 𝑔⃗𝑖 theo biến 𝑥 𝑗
𝑔⃗𝑖,𝑗

𝜕𝑔⃗𝑖
𝜕2𝑦𝑟
= 𝑗 = 𝑖 𝑗 𝑒⃗𝑟
𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑥

Ta thay 𝑒⃗𝑟 =

𝜕𝑦 𝑟
𝜕𝑥 𝑠

𝑔⃗𝑖,𝑗


(1.20)

∙ 𝑔⃗ 𝑠 từ (1.4.11) vào (1.4.13)
𝜕 2 𝑦 𝑟 𝜕𝑦 𝑟 𝑠
= 𝑖 𝑗 ∙ 𝑠 ∙ 𝑔⃗
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥

(1.21)

Ta đi xác định các thành phần của kí hiệu Christoffel thông qua

Tenxơ metric và véctơ cơ sở.
Theo biểu thức (1.15):

𝑔⃗𝑖,𝑗 = Γ𝑖𝑗𝑠 𝑔⃗ 𝑠

Ta đồng nhất (1.21) và (1.15) rút ra được:
Γ𝑖𝑗𝑠

𝜕 2 𝑦 𝑟 𝜕𝑦 𝑟
= 𝑖 𝑗∙ 𝑠 .
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥

(1.22)

a. Xác định biểu thức Γ𝑖𝑗𝑠 quaTenxơ metric 𝑔𝑖𝑗 .
𝜕𝑦 𝑚 𝜕𝑦 𝑚
𝑔𝑖𝑗 =
∙
𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑗

Ta có:

nên

𝜕𝑦 𝑚 𝜕𝑦 𝑚

𝑔𝑖𝑠 =
∙
.
𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑠

Suy ra:
𝑔𝑖𝑠,𝑗 =

𝜕 𝜕𝑦 𝑚 𝜕𝑦 𝑚
𝜕 2 𝑦 𝑚 𝜕𝑦 𝑚
𝜕 2 𝑦 𝑚 𝜕𝑦 𝑚
∙
=
∙
+
∙
(
)
𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑠
𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑠 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑠 𝜕𝑥 𝑖

Tương tự ta tính được :
𝑔𝑖𝑗,𝑠

𝜕 𝜕𝑦 𝑚 𝜕𝑦 𝑚
𝜕 2 𝑦 𝑚 𝜕𝑦 𝑚
𝜕 2 𝑦 𝑚 𝜕𝑦 𝑚
= 𝑠( 𝑖 ∙
+
∙

)= 𝑖 𝑠∙
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝑗
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑠 𝜕𝑥 𝑖

𝑔𝑗𝑠,𝑖

𝜕 𝜕𝑦 𝑚 𝜕𝑦 𝑚
𝜕 2 𝑦 𝑚 𝜕𝑦 𝑚
𝜕 2 𝑦 𝑚 𝜕𝑦 𝑚
= 𝑖( 𝑗 ∙
+
∙
)= 𝑖 𝑗∙
𝜕𝑥 𝑠
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑠 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑠 𝜕𝑥 𝑗

17


Vậy có
𝑔𝑖𝑠,𝑗 + 𝑔𝑗𝑠,𝑖 − 𝑔𝑖𝑗,𝑠

𝜕 2 𝑦 𝑚 𝜕𝑦 𝑚
=2 𝑖 𝑗∙
= 2Γ𝑖𝑗𝑠
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑠

Suy ra:

1
Γ𝑖𝑗𝑠 = (𝑔𝑖𝑠,𝑗 + 𝑔𝑗𝑠,𝑖 − 𝑔𝑖𝑗,𝑠 ) .
2

(1.23)

Đạo hàm véctơ cơ sở phản biến
Để xác định đạo hàm véctơ cở sở phản biến ta xuất phát từ biểu thức:
𝑔⃗𝑖 = 𝑔𝑖𝑚 𝑔⃗𝑚 suy ra
𝑔⃗,𝑗𝑖 = 𝑔,𝑗𝑖𝑚 . 𝑔⃗𝑚 + 𝑔𝑖𝑚 . 𝑔⃗𝑚,𝑗
𝑔⃗𝑚 = 𝑔𝑚𝑠 𝑔⃗ 𝑠 ; 𝑔⃗𝑚,𝑗 = Γ𝑚𝑗𝑠 . 𝑔⃗ 𝑠

Trong đó:

(1.24)
(1.25)

Thay (1.25) vào (1.24), (1.24) trở thành:
𝑔⃗,𝑗𝑖 = 𝑔,𝑗𝑖𝑚 . 𝑔𝑚𝑠 𝑔⃗ 𝑠 + 𝑔𝑖𝑚 . Γ𝑚𝑗𝑠 . 𝑔⃗ 𝑠
= 𝑔⃗ 𝑠 (𝑔,𝑗𝑖𝑚 . 𝑔𝑚𝑠 + 𝑔𝑖𝑚 . Γ𝑚𝑗𝑠 )

(1.26)

𝑔,𝑗𝑖𝑚 . 𝑔𝑚𝑠 + 𝑔𝑖𝑚 . Γ𝑚𝑗𝑠 + Γ𝑗𝑠𝑖 = 𝑔,𝑗𝑖𝑚 . 𝑔𝑚𝑠 + 𝑔𝑖𝑚 . Γ𝑚𝑗𝑠 + 𝑔𝑖𝑚 Γ𝑗𝑠𝑚

Xét tổng

= 𝑔,𝑗𝑖𝑚 . 𝑔𝑚𝑠 + 𝑔𝑖𝑚 (Γ𝑚𝑗𝑠 + Γ𝑗𝑠𝑚 )

(1.27)

Với:
Γ𝑚𝑗𝑠 + Γ𝑗𝑠𝑚

𝜕 2 𝑦 𝑟 𝜕𝑦 𝑟
𝜕 2 𝑦 𝑟 𝜕𝑦 𝑟
= 𝑚 𝑗∙ 𝑠+ 𝑗 𝑠∙ 𝑚
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕 𝜕𝑦 𝑟 𝜕𝑦 𝑟
𝜕 𝜕𝑦 𝑟 𝜕𝑦 𝑟
= 𝑗 ( 𝑚) ∙ 𝑠 + 𝑗 ( 𝑠 ) ∙ 𝑚
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕 𝜕𝑦 𝑟 𝜕𝑦 𝑟
𝜕
= 𝑗 ( 𝑚 ∙ 𝑠 ) = 𝑗 (𝑔𝑚𝑠 ) = 𝑔𝑚𝑠,𝑗 .
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑥

Thay (1.4.21) vào (1.4.20) cho kết quả
𝑔,𝑗𝑖𝑚 . 𝑔𝑚𝑠 + 𝑔𝑖𝑚 . Γ𝑚𝑗𝑠 + Γ𝑗𝑠𝑖 = 𝑔,𝑗𝑖𝑚 . 𝑔𝑚𝑠 + 𝑔𝑖𝑚 . 𝑔𝑚𝑠,𝑗
= (𝑔𝑖𝑚 . 𝑔𝑚𝑠 ),𝑗 = (𝑔𝑠𝑖 ),𝑗 .
Lại có:

18

(1.28)

0
𝑔𝑖𝑚 . 𝑔𝑚𝑠 = 𝛿𝑠𝑖 = {
1

(𝑖 ≠ 𝑠)
(𝑖 = 𝑠)

⇒ (𝑔𝑠𝑖 ),𝑗 = 0.
𝑔,𝑗𝑖𝑚 . 𝑔𝑚𝑠 + 𝑔𝑖𝑚 . Γ𝑚𝑗𝑠 + Γ𝑗𝑠𝑖 = 0

Vậy

−Γ𝑗𝑠𝑖 = 𝑔,𝑗𝑖𝑚 . 𝑔𝑚𝑠 + 𝑔𝑖𝑚 . Γ𝑚𝑗𝑠

Hay:

(1.29)

Thay (1.29) vào (1.26) ta nhận được:
𝑔⃗,𝑗𝑖 = −𝑔⃗ 𝑠 Γ𝑗𝑠𝑖

(1.30)

Biểu thức (1.30) là biểu thức xác định thành phần của đạo hàm véctơ cơ sở
phản biến.
b. Biểu thức liên hệ giữa các thành phần 𝚪 và đạo hàm của véctơ cơ sở
Do ta đã xác định được biểu thức
𝑔⃗𝑖,𝑗

𝜕2𝑦𝑟
= 𝑖 𝑗 ∙ 𝑒⃗𝑟 = 𝑔⃗𝑗,𝑖
𝜕𝑥 𝜕𝑥

;

𝜕𝑦 𝑚
𝑔⃗𝑠 =
∙ 𝑒⃗
𝜕𝑥 𝑠 𝑚

𝜕 2 𝑦 𝑟 𝜕𝑦 𝑚
𝜕 2 𝑦 𝑟 𝜕𝑦 𝑟
⇒ 𝑔⃗𝑖,𝑗 . 𝑔⃗𝑠 = 𝑖 𝑗 ∙
∙ 𝑒⃗ ∙ 𝑒⃗ =
∙
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑠 𝑟 𝑚 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑠
= Γ𝑖𝑗𝑠 = Γ𝑗𝑖𝑠 .
Để xét 𝑔⃗𝑖,𝑗 . 𝑔⃗𝑟 ta thay 𝑔⃗𝑖,𝑗 ở biểu thức (1.21) vào tích 𝑔⃗𝑟 . 𝑔⃗𝑖,𝑗 sẽ có
𝑟

𝑔⃗ . 𝑔⃗𝑖,𝑗

𝜕 2 𝑦 𝑟 𝜕𝑦 𝑟 𝑠
𝜕 2 𝑦 𝑟 𝜕𝑦 𝑟
𝑟
𝑠
= 𝑔⃗
∙

𝑔⃗ = (𝑔⃗ . 𝑔⃗ ) ( 𝑖 𝑗 ∙ 𝑠 )
𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑠
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝑟

= 𝑔𝑟𝑠 . Γ𝑖𝑗𝑠 = Γ𝑖𝑗𝑟 = Γ𝑗𝑖𝑟 .
𝜕 2 𝑦 𝑟 𝜕𝑦 𝑟
𝜕 2 𝑦 𝑟 𝜕𝑦 𝑟
𝜕 𝜕𝑦 𝑟 𝜕𝑦 𝑟
Γ𝑖𝑠𝑗 + Γ𝑗𝑠𝑖 = 𝑖 𝑠 ∙ 𝑗 + 𝑗 𝑠 ∙ 𝑖 = 𝑠 ( 𝑖 ∙ 𝑗 )
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕
= 𝑠 (𝑔𝑖𝑗 ) = 𝑔𝑖𝑗,𝑠 .
𝜕𝑥
Vậy tổng hợp 3 biểu thức trên ta được kết quả như sau:

19


Γ𝑖𝑗𝑠 = Γ𝑗𝑖𝑠 = 𝑔⃗𝑖,𝑗 . 𝑔⃗𝑠 = 𝑔⃗𝑗,𝑖 . 𝑔⃗𝑠 ,
Γ𝑖𝑗𝑟 = Γ𝑗𝑖𝑟 = 𝑔⃗𝑟 . 𝑔⃗𝑖,𝑗 = 𝑔⃗𝑟 . 𝑔⃗𝑗,𝑖 ,

(1.31)

Γ𝑖𝑠𝑗 + Γ𝑗𝑠𝑖 = 𝑔𝑖𝑗,𝑠 .
Trong hệ tọa độ Đề Các vuông góc các véctơ cơ sở 𝑒⃗𝑖 không đổi, 𝑦 𝑖 ≡ 𝑥 𝑖
Suy ra:

Hay

𝜕 2 𝑦 𝑟 𝜕𝑦 𝑟
∙
=0
𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑠
(∀𝑖, 𝑗, 𝑠)
Γ𝑖𝑗𝑠 = 0.

(1.32)

Trong hệ tọa độ cong trực giao, với 𝑖 ≠ 𝑗 ≠ 𝑠 thì 𝑔⃗𝑖 ⊥ 𝑔⃗𝑗 ⊥ 𝑔⃗𝑠
Suy ra 𝑔𝑖𝑗 = 𝑔𝑗𝑠 = 𝑔𝑖𝑠 = 0 (𝑖 ≠ 𝑗 ≠ 𝑠).
Thay vào công thức (1.23) suy ra: Γ𝑖𝑗𝑠 = 0 (𝑖 ≠ 𝑗 ≠ 𝑠 ≠ 𝑖)

(1.33)

Thay Γ𝑖𝑗𝑠 = 0 vào biểu thức (1.16) suy ra Γ𝑖𝑗𝑠 = 0. (𝑖 ≠ 𝑗 ≠ 𝑠 ≠ 𝑖)
Sử dụng biểu thức (1.23) tính được các hạng tử
1
1
Γ𝑖𝑖𝑠 = (𝑔𝑖𝑠,𝑗 + 𝑔𝑗𝑠,𝑖 − 𝑔𝑖𝑗,𝑠 ) = (𝑔𝑖𝑠,𝑗 + 𝑔𝑖𝑠,𝑖 − 𝑔𝑖𝑖,𝑠 )
2
2
1
( 𝑔𝑖𝑠 = 0),
= − 𝑔𝑖𝑖,𝑠
2
1
Γ𝑖𝑖𝑠 = Γ𝑖𝑖𝑟 . 𝑔𝑟𝑠 = Γ𝑖𝑖𝑠 . 𝑔 𝑠𝑠 = − 𝑔𝑖𝑖,𝑠 . 𝑔 𝑠𝑠

2
1
(𝑟 ≠ 𝑖)
=−
𝑔 ,
2𝑔𝑠𝑠 𝑖𝑖,𝑠
1
1
Γ𝑖𝑠𝑖 = (𝑔𝑖𝑖,𝑠 + 𝑔𝑠𝑖,𝑖 − 𝑔𝑖𝑠,𝑖 ) = 𝑔𝑖𝑖,𝑠 ,
2
2
1
1
Γ𝑠𝑖𝑖 = (𝑔𝑠𝑖,𝑖 + 𝑔𝑖𝑖,𝑠 − 𝑔𝑖𝑠,𝑖 ) = 𝑔𝑖𝑖,𝑠 ,
2
2
1
1
1
Γ𝑖𝑠𝑖 = Γ𝑖𝑟𝑠 . 𝑔𝑖𝑠 = Γ𝑖𝑟𝑖 . 𝑔𝑖𝑖 = 𝑔𝑖𝑖,𝑟 ∙
=
∙𝑔 ,
2
𝑔𝑖𝑖 2𝑔𝑖𝑖 𝑖𝑖,𝑟
1
1
1
Γ𝑠𝑖𝑖 = Γ𝑠𝑖𝑟 . 𝑔𝑖𝑟 = Γ𝑠𝑖𝑖 . 𝑔𝑖𝑖 = 𝑔𝑖𝑖,𝑠 ∙
=
∙𝑔 .

2
𝑔𝑖𝑖 2𝑔𝑖𝑖 𝑖𝑖,𝑠

20

(1.34)