Các dạng bài tập toán lớp 9 học kì i
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (504.32 KB, 75 trang )
NGUYỄN NGỌC DŨNG - VƯƠNG PHÚ QUÝ - TIÊU KHÁNH
VĂN - BÙI TIẾN LỘC - NGUYỄN CAO ĐẲNG - NGUYỄN ANH
KHOA - NGUYỄN NGỌC THIỆN - NGUYỄN THÀNH ĐIỆP
9
TOÁN
BÀI TẬP
TẬP MỘT
C
δ
D
E
F
γ
γ
A
α
β
H
■ Tóm tắt giáo khoa
■ Các dạng toán thường gặp
■ Phương pháp giải toán
B
■ Bài tập cơ bản
■ Bài tập nâng cao
■ Bài tập tổng ôn
(Tài liệu lưu hành nội bộ)
ỄN
UY
NG
C
Ọ
NG
DŨ
NG
Mục lục
ĐẠI SỐ
5
DŨ
NG
Phần I
ỄN
NG
Ọ
C
Chương 1 CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
§1.
CÁC PHÉP TOÁN CĂN BẢN VỀ CĂN BẬC HAI . . . . . .
1
Tìm tập xác định của một biểu thức chứa căn bậc hai .
2
So sánh các biểu thức của căn bậc
√ hai . . . . . . . . . .
3
Các bài toán về hằng đẳng thức A2 = |A| . . . . . . .
§2.
LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI
1
Tính giá trị các biểu thức căn bậc hai (không chứa ẩn) .
2
Rút gọn các biểu thức căn bậc hai (có chứa ẩn) . . . . .
3
Chứng minh đẳng thức chứa căn bậc hai . . . . . . . . .
4
Giải phương trình chứa căn bậc hai . . . . . . . . . . .
5
Giải bất phương trình chứa căn bậc hai . . . . . . . . . .
§3.
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Bài tập cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
bài tập nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§4.
ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . .
1
ĐỀ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
ĐỀ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
ĐÁP ÁN ĐỀ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
ĐÁP ÁN ĐỀ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NG
UY
Chương 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT
§1.
NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ
§2.
HÀM SỐ BẬC NHẤT . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG .
§4.
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . .
§5.
ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG . . . . . . . . . . .
1
ĐỀ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
ĐỀ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
ĐÁP ÁN ĐỀ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
ĐÁP ÁN ĐỀ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phần II
Chương
§1.
§2.
§3.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
PHƯƠNG
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
7
7
8
8
9
9
12
13
15
18
22
22
24
28
28
28
29
30
.
.
.
.
.
.
.
.
.
33
33
34
35
37
37
37
38
38
39
HÌNH HỌC
41
1 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG. GIẢI
TAM GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
43
43
46
47
❀ Bài tập Toán 9 - HKI ❀ Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG . . .
ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG
1
ĐỀ 1 . . . . . . . . . . . .
2
ĐỀ 2 . . . . . . . . . . . . .
3
ĐÁP ÁN ĐỀ 1 . . . . . . .
4
ĐÁP ÁN ĐỀ 2 . . . . . . .
Chương
§1.
§2.
§3.
§4.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 ĐƯỜNG TRÒN
SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN. TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN
ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN . . . . . . . . . . . . . . . . . .
LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY . . . . . . . .
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN. DẤU HIỆU
NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN . . . . . . . . . . . . . . . .
TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU . . . . . . . . . . . . . . . .
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN . . . . . . . . . . . . . . . . .
ÔN TẬP CHƯƠNG II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
54
54
55
55
56
57
57
58
61
63
66
69
70
NG
UY
ỄN
NG
Ọ
C
§5.
§6.
§7.
.
.
.
.
.
.
DŨ
NG
§4.
§5.
Tel: 0976 071 956
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7
Trang 4/75
ỄN
UY
NG
C
Ọ
NG
ĐẠI SỐ
5
DŨ
NG
Phần I
ỄN
UY
NG
C
Ọ
NG
DŨ
NG
Chương 1
§1.
1
DŨ
NG
CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
CÁC PHÉP TOÁN CĂN BẢN VỀ CĂN BẬC HAI
Tìm tập xác định của một biểu thức chứa căn bậc hai
Bài 1: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
−3x + 2
d) √
−4
−2x + 3
b)
2
x+4−1
c)
√
x+2+
√
3−x
C
√
Ọ
a)
Bài 2: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
b)
x(x + 2)
d) √
1
x2
√
−5x2 + 20
NG
a)
+ 4x + 4
c)
√
−5x2 − 3x + 8
a)
√
x2 + 1
1
b) √
−3
c)
x2 − x + 1
√
−5x2 − 3x + 8
x2 + 4x + 4
UY
d) √
ỄN
Bài 3: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
Bài 4: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
|x| + 1
NG
a)
d) √
b)
√
3x − 1
c)
4x2 + |x| + 6
2x + 4
| − 5x2 − 3x + 8|
|x|
x2 + 4x + 4
Bài 5: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
a)
√
x+2 x−1
b)
√
4x + 4 − 6 4x − 5
3
√
√
x2 − 4 x − 2. x + 2
c)
Bài 6: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
a)
1
1
√ +√
x− x
x−1
√
:
x+1
√
x−2 x+1
b)
7
√
x−3 x
−1
x−9
:
√
√
√
x+2
x−2
2 x
√
−√
−
x−2
x+2 x−4
❀ Bài tập Toán 9 - HKI ❀ Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG
Tel: 0976 071 956
Bài 7: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
d)
√
1
3x − 2
b) 2 − 1 − 4x
√
x2 − x + 1
e)
√
g) 3 + −x2
√
c)
−x2 + 2x − 5
a)
√
x2 − 5
b) √
d)
−3
√
1 − x2 − 3
e)
1
x2
c)
+ 2x − 3
1
x−1
f)
So sánh các biểu thức của căn bậc hai
b) 7 và
√
48
Bài 2: So sánh
√
√
√
NG
√
b) 3 12 và 2 26
Bài 3: So sánh
√
3− 7
a)
và 0
2
ỄN
√
15 − 107
b)
và 0
−22
√
x+ x+1
√
Bài 4: Cho biểu thức P =
x
√
a) Tìm x để P có nghĩa
b) So sánh P và P
UY
2
3 − 2x
1
√
x − 0, 5
2
√
1− x
c) 10 và
37
a) 3 3 − 2 2 và 2
x−
C
√
2x2 + 1 +
Ọ
d) 6 và
3
− 6x + 8
−5
x−2
h)
Bài 1: So √
sánh
a) 2 và 7
√
f)
Bài 8: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
2
x2
DŨ
NG
a) √
√
101
√
√
c) 4 − 2 2 và 3 − 3
c) So sánh P và |P |
Bài 5: So sánh
a)
b)
√
24 +
√
99 + 3 và 18
Các bài toán về hằng đẳng thức
NG
3
√
√
√
10 + 17 + 1 và 61
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
√
a) (2 − 5)2
c)
√
√
33 −
√
17 và 6 −
√
15
A2 = |A|
b)
(a − 2)2 với a < 2
c)
d)
√ √
6 − 2 5( 3 − 2)
√
6+2 5
1 √ 2
. a + b2 − 2ab với a > b
a−b
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
d)
√
6+2 5
√
7−2 6
b)
e)
√
9−6 2
√
7+4 3
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7
c)
f)
√
12 + 6 3
√
13 − 4 3
Trang 8/75
❀ Bài tập Toán 9 - HKI ❀ Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG
Tel: 0976 071 956
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
√
12 − 8 2 +
1
2
√
√
16 − 12 2 − 4 2
√
√
√
6+2 2+2 6+2 3
b)
√
√
√
11 + 2 10 − 4 2 − 4 5
c)
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
√
√
b) 9 + x + 4 − 4x + x2 với x < 2
DŨ
NG
4x2 + 4x + 1
−1
với x >
2
4x − 1
2
√
√
c) 9x2 − 6x + 1 − 9x2 + 6x + 1 với x > 0
a)
Bài 5: Chứng minh các biểu thức sau:
a)
√
4+2 3+
√
√
4−2 3=2 3
c)
4
√
−
(2 − 5)2
(2 +
4
√
5)2
√
6+2 5−
b)
=8
Bài 6: Giải các phương trình sau
x2 = 1
√
x+2 x−1=5
√
4x2 − 4x + 1 = 3
√
x2 − 3x + 6 + 4 x2 − 3x + 2 = 1
d)
NG
c)
§2.
LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP
KHAI PHƯƠNG
Tính giá trị các biểu thức căn bậc hai (không chứa ẩn)
ỄN
1
b)
C
√
Ọ
a)
√
6−2 5=2
Bài tập cơ bản
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
√
√
√
1√
48 − 2 75 + 108 −
147
7
UY
a)
√
√
√
5
3 − 4 0, 5 + 2 2 − 64 0, 125
9
√
√
1
3−3
+ √
e) 27 − 6
3
3
√
1 √
7+ 7
√
g) 42
− 112 +
7
1+ 7
NG
c) 12
i)
√
√
44 +
√
11
√
√
√
d)
3−
√
2
2
1√
1√
√ −
63 +
20
4
7− 5 3
2−
6
√
√
10
+
√
2+
6
√
10
√
√
f) 2 3 − 3 27 + 4 48 − 2 75
√
√
√
√
√
h) 2 28 + 2 63 − 3 175 + 112 − 20
j)
11
k) 3 27 − 98 − 7
b) √
l)
√
24 − 6
√
1 3 2
− √
6
3
4
8
15
√ −
√ +√
3+ 5 1+ 5
5
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7
Trang 9/75
❀ Bài tập Toán 9 - HKI ❀ Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG
Tel: 0976 071 956
√
√
√
√
3 2−2 3
10
3+ 3
3− 3
√ −
√
m) √
n) 2 + √
. 2− √
3− 2
1+ 6
3+1
3−1
√
√
1
1
6+3 3
1
3
√ −
√
√ −
√
o)
p) √
+
3+ 8 3−2 2
3+2
1− 3 1+ 3
√
√
√ 2
√
−3
5
1
6
5− 7
3 5−5 3
√ −
√ +√
√
q)
+
r) √ − 10 − √
2
5+2 7 3+ 7
7−2
15
3− 5
√
u)
√
w)
y)
√
3+1
3−2
√
3−
2
2
2
2
−
1−
+
1+
+
√
√
√
√
√
3 3−2 2
√ +3
t) √
3− 2
2
3
2
3
v)
4−
√
15
2
x)
√
3−2 2
2
z)
24
√
√
8+3 7−
√
10 − 4 6
.
√
6−2
k)
√
11 − 2 10
√
+
10 − 1
√
3
√ −
7−4 3
2+
o)
√
7+
35 + 5
2
√ +
s)
3− 5
1
√
6−
2−
35
2
√
7+3 5
2
d)
3+
√
2
2
h)
j)
√
√
3−
2
96 − 6
√
√
:
√
3
2
−
8
5
n)
√
2+5
√
√
14 − 6 5
+
√
6−4 2
√
5−
2
2
20 + 6
3
2
√ −
+
3 3+ 6
√
2− 3
2
√
√
10 − 4 6
5+2
2
−
√
7
+2 3
2
√
5+2 6+
√
√
8 − 2 15
. 7 − 2 10
√
7 − 2 10
√ √
√
√
5.( 10 + 2)(3 − 5)
p)
3+
r)
√
13 − 4 3 −
√
t)
−
+
√
9−4 5
.
√
5−2
l)
√
11 + 2 10
√
10 + 1
3−
C
√
5
24 − 1
3
√
7+4 3
√
2−
f)
√
6+2
NG
1
m)
5
2
√
11 − 4 7
1
−
√
7 − 24 + 1
i)
q)
√
2−5 3
ỄN
√
2
√
UY
g)
√
11 − 4 7
√
5−2 6−
e)
b)
NG
√
c) 2 + 7
√
11 + 6 2
Ọ
√
11 − 6 2 −
a)
√
15
+
√
4
7+3 5− √
5−1
2
Bài 2. Tính giá trị các biểu thức sau:
2
4
√
+
3 2− 6
DŨ
NG
√
√
27 − 3 2
12
6
√ +
√ +√
s) √
3− 2
3+ 3
3
2
3−
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7
√ +
5
2
√
2+ 3
√
3− 5
2
Trang 10/75
❀ Bài tập Toán 9 - HKI ❀ Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG
Tel: 0976 071 956
√
√
2
2
1
2+ 3
2− 3
√ −5
u) √
+
v) √
√ +√
√
5
5+1
3− 5
2+ 2+ 3
2− 2− 3
√
√
√
√
√
3+ 5
3− 5
x)
2
−
1
+
2
+
1
−
2
2+2
w) √
+
√
√
√
2+ 3+ 5
2− 3− 5
√
√
√
√
√
14
3 − 5.(3 + 5)
12 + 30
√
√
√
y)
z) √ + √
. 5 − 21
10 + 2
14
2+ 5
a)
4+
√
15 +
6+
5−
√
√
35
√
21
√
DŨ
NG
Bài 3. Tính giá trị các biểu thức sau:
√
47 + 21 5
√
−
5+2
√
16 + 4 15 −
b)
+1
√
√
c) (2− 3) 26 + 15 3−(2+ 3) 26 − 15 3 d)
g)
√
√
√
3
√
√ .(3 2 + 14)
8 3 + 3 21
i)
√
5+2
√
+
5 5 + 11
f)
√
√
2 3−3
√
.(2 + 3)
2 3+3
h)
√
√
3 5−1 √
√
.( 2 + 10)
2 5+3
C
√
1+ 2
√
2−1
√
3+ 2
e) √
−
2 2−1
√
3 3−4
√
−
2 3+1
Ọ
√
5−2
√
5+1
√
47 − 21 5
√
5−2
√
8−4 3−
√
5
√
3+4
√
5−2 3
NG
j)
3−
Bài tập nâng cao
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
b)
√
√
2−1+
2+1− 2 2+2
√
√
√
√
7− 3−
7+ 3
√
7−2
√
√
√
11 + 5 + 11 − 5
−
3
−
2
2
√
11 + 2 29
UY
c)
√
ỄN
a)
2+
NG
d)
e)
a)
2+
√
√
3.
2+
2+
√
2.
3+
7+
√
√
3.
2+
2+
2+
√
3.
2−
2+
2+
2.
3+
6+
7+
√
2.
3−
6+
7+
√
√
3
2
Hướng dẫn:
√
√
2+1− 2
2−1+
c) Đặt A =
Tính A2 .
√
7−
√
3−
√
2+1
√
√
7 + 3.
b) Đặt A =
Tính A2 .
√
√
7− 3−
√
7+
√
3.
d) Thực hiện phép nhân từ phải sang trái.
e) Thực hiện phép nhân từ phải sang trái.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7
Trang 11/75
❀ Bài tập Toán 9 - HKI ❀ Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG
2
Tel: 0976 071 956
Rút gọn các biểu thức căn bậc hai (có chứa ẩn)
Bài tập cơ bản
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
√
√
x−1
x+2
√
−√
x−2
x+1
√
e)
x
2
1
√ +√
+
x−4 2− x
x+2
:
√
10 − x
x−2+ √
x+2
:
√
12 − x
x−3+ √
x+3
√
f)
2
3
x
√
+√
+
x−9
x+3 3− x
g)
√
√
x x−1 x x+1
√ −
√
x− x
x+ x
x−1
√
2 (x − 2 x + 1)
√
x2 − 8 x
√
+1
x+2 x+4
√
√
x− x−1
√
−
2 x
j)
√
1−x x √
√ + x .
1− x
k)
√
6x + 4
3x
√
√
−
3 3x3 3x + 2 3x + 4
ỄN
i)
UY
√
1− x
1−x
với x
với x > 0 và x = 1.
với x
0 và x = 4; x = 9.
2
.
0 và x = 1.
√
1 + 3 3x3 √
√
− 3x
3x + 1
2
l)
3
với x
4
0 và x = .
3
1
1
2017
+
.
với x 0.
√
√
2
2 x + 1
2 x+1
2 x−1
√
√
1+
1+
3
3
√
√
√
√
b
a
√ −√
. a b − b a với a > 0, b > 0, a = b.
a − ab
ab − b
NG
n)
0 và x = 9.
2
m)
với x
với x > 0 và x = 1.
√
√
√
x+3
x+2
x+2
√
√
+
−√
x−2 x−5 x+6
x−3
x
1− √
x+1
:
với x > 0 và x = 4.
NG
1
h) √
.
2 ( x − 1)
.
với x > 0 và x = 4.
C
:
Ọ
d)
1
1
√
−√
x−2
x
DŨ
NG
√
√
√
x−1
x+2
5 x+4
√
a)
+√
−√
với x 0 và x = 1.
x+ x−2
x+2
x−1
√
√
15 x − 11
3 x−2
3
√
√ −√
b)
+
với x 0 và x = 1.
x+2 x−3
1− x
x+3
√
√
x x
1
x−1
√
√
c)
+
với x 0.
:
x+1
x x+x+ x+1 x+1
√
√
√
√
a a+b b b a−a b
√ + √
√
√
a+ b
a− b
√
a + b + ab
√
√
a a−b b
2
với a
0, b
0 và a = b.
Bài tập nâng cao
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7
Trang 12/75
❀ Bài tập Toán 9 - HKI ❀ Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG
√
√
2x + 1
x
1 + x3 √
√
√ − x
Bài 1. Cho biểu thức A = √
−
1+ x
x3 − 1 x + x + 1
Tel: 0976 071 956
a) Tìm điều kiện có nghĩa của A.
b) Rút gọn A.
c) Tìm x để A = 3.
√
Bài 2. Cho biểu thức A =
x
2
3
√
+√
+
x−9
x+3 3− x
:
√
12 − x
x−3+ √
x+3
a) Tìm điều kiện xác định của A và rút gọn A.
b) Tìm x ∈ Z để A có giá trị nguyên.
√
√
x+2
8 x + 19
1
√
√ .
+
+
Bài 3. Cho biểu thức M = √
x+3 x+ x−6 2− x
C
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức có nghĩa.
DŨ
NG
d) Tìm x để A có giá trị nhỏ nhất.
b) Rút gọn biểu thức M .
Ọ
c) Tìm x để M > 3.
NG
√
x x−1 √
√
Bài 4. Cho biểu thức sau: A =
+ x với x > 1
x−1
9
Với giá trị nào của x thì biểu thức B = A + có giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó.
A
√
2x − 3 x − 2
√
Bài 5. Cho biểu thức A =
với x 0 và x = 4.
x−2
ỄN
a) Tìm các giá trị của x để giá trị của A
3
UY
b) Tìm các giá trị của x để
5.
2
nhận giá trị nguyên.
A
Chứng minh đẳng thức chứa căn bậc hai
Bài tập cơ bản
NG
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau
√
a) 9 + 4 5 =
√
√
5+2
√
c) 11 + 6 2 = 3 + 2
2
b)
2
√
√
√
3 2+ 6
54
2
√
e)
−
. √ = −1
3
12 + 2
6
√
√
√
2+ 3
2− 3
g) √
√ +√
√ = 2
2+ 2+ 3
2− 2+ 3
d)
f)
h)
√
√
23 + 8 7 − 7 = 4
√
√
√
√
3+2 3 2+2 2
√
+ √
:
2+ 3 =1
3+2
2+1
√
√
2
2
√
5+2 6
5−2 6
√
√
√
− √
=4 6
3+ 2
3− 2
√
√
√
6
2
2+ 3=
+
2
2
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7
Trang 13/75
❀ Bài tập Toán 9 - HKI ❀ Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG
Tel: 0976 071 956
Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau
√
√
√
a2 − b
a − a2 − b
+
= a+ b
2
2
√
√
√
a + a2 − b
a − a2 − b
−
= a− b
2
2
√
√
a− a
a+ a
√
2+ √
. 2−
= 4 − a với a > 0, a = 1
a−1
1+ a
√
√
x x−y y √
√
√ 2
√
x + y = 1 với (x > 0, y > 0, x = y)
√ + xy :
x− y
a)
b)
c)
d)
√
√
a2 − x 2
a4
a2
√
−
1
=
với |a| > |x|
−
x4
x2
a2 + x 2 − a2 − x 2
√
a + b − 2 ab
1
√
√
f)
:√
= a − b với a > 0, b > 0 và a = b
√
a− b
a+ b=
g)
√
n+1−
√
2
n
(2n + 1)2 −
=
(2n + 1)2 − 1 với n ∈ N
C
e) √
a2 + x 2 +
DŨ
NG
a+
NG
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau
x2 − y 2 + x −
a) |x + y| + |x − y| = x +
HD: Bình phương hai vế.
√
3
2+
√
√
3
20 − 3 25 = 3
x2 − y 2 với |x| ≥ |y|
√
√
3
5− 34
ỄN
b)
Ọ
Bài tập nâng cao
HD: Nhận xét 2 vế không âm sau đó bình phương.
3−
c)
√
5−
3+
√
√
5=− 2
HD: Đánh giá âm dương, bình phương hai vế hoặc nhân hai vế với
2.
UY
√
4−2 3
d) √
=
3−1
√
√
6 3 − 10
3
HD: Rút gọn vế trái sau đó lập phương hai vế.
3
√
NG
e)
2+
5+
3
2−
3
HD: Đặt x =
trình.
f)
3
√
9+4 5+
3
√
5=1
√
2 + 5+
3
2−
√
5. Đưa về phương trình bậc 3 theo x rồi giải phương
√
9−4 5=3
HD: Tương tự câu trên.
g)
3
√
3
2−1=
3
1
−
9
3
2
+
9
3
4
9
HD: Lập phương hai vế. Rút nhân tử chung cho vế phải rồi nhân liên hiệp.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7
Trang 14/75
❀ Bài tập Toán 9 - HKI ❀ Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG
4
Tel: 0976 071 956
Giải phương trình chứa căn bậc hai
Bài tập cơ bản
Bài 1. Giải phương trình:
√
x2 + 9 = 5
x2 − x − 2 =
b)
√
x−2
d)
√
x−1+1=x
√
g) x + 3 + 2 − x = 5
√
√
i) x + 1 = 8 − 3x + 1
√
√
k) 3x + 7 − x + 1 = 2
√
m) x2 + 6x + 9 = |2x − 1|
√
√
√
o) x + x − 5 = 5
√
√
q) 17 + x − 17 − x = 2
√
√
√
s) x + 10 − 3 − 4x = 2 x + 2
√
u) x2 − 6x + 6 = 2x − 1
e)
f)
√
h)
j)
l)
n)
p)
r)
4x2 − 20x + 25 = 1
√
√
x2 − 9 = 3 − x
√
25x2 − 30x + 9 = x + 7
√
√
2x + 5 + 8 − 2x = 5
√
3x2 − 9x + 1 = x − 2
√
√
x2 − 2x − 4 = 2 − x
√
x2 + x + 1 = 3 − x
√
x2 + 10x − 5 = 2 (x − 1)
√
√
√
5x − 1 − 3x − 2 − x − 1 = 0
√
√
x2 − 2x − 8 = 3 (x − 4)
Ọ
t)
√
DŨ
NG
c)
√
C
a)
Bài 1. Giải phương trình:
√
√
e)
9x − 18
16
ỄN
x2 + x − 2 = 0
√
√
x−2+1
c) 25x − 50 +
=8
2
a)
x2 − x +
NG
Bài tập nâng cao
√
x+6−6 x−3=1
√
√
x+2 x−1+ x−2 x−1=2
√
√
i) 3 + x + 2 x − 1 = 2 x + 4 x − 4
√
k) x2 + 2x = −2x2 − 4x + 3
UY
g)
m) −x2 + 2x + 4
NG
(3 − x) (x + 1) = 9
√
√
o) x2 − 3x + 3 + x2 − 3x + 6 = 3
√
q) x2 + x2 + 11 = 31
√
√
√
s) 3 − x + x − 1 − 4 4x − x2 − 3 = −2
√
x2 + 4x + 4 = 3
b)
(x − 1)2 +
d)
√
x−1+2 x−2=2
1
1
√
√
+
= −2
x + 1 + x2 x − 1 + x2
√
√
√
h) 2x + 4x − 1 + 2x − 4x − 1 = 6
√
j) x2 + 3x + 12 = x2 + 3x
f)
l)
n)
p)
r)
t)
(x + 1) (x + 2) = x2 + 3x − 4
√
(x + 5) (2 − x) = 3 x2 + 3x
√
√
3 − x + x 2 − 2 + x − x2 = 1
√
√
x + 1 + 3 − x − (x + 1) (3 − x) = 2
√
√
x + 1 + 8 − x + (x + 1) (8 − x) = 3
√
√
√
√
√
2√
x − x2 = x + 1 − x
v) x − 2 + x + 2 = 2 x2 − 4 + 2x + 2
3
√
√
√
√
w) x + 1 + 4 − x − (x + 1) (4 − x) = 5 x) x + 4 − x2 = 2 + 3x 4 − x2
√
√
√
√
√
√
y) 3x − 2+ x − 1 = 4x−9+2 3x2 − 5x + 2 z) 2x + 3+ x + 1 = 3x+2 2x2 + 5x + 3−
16
u) 1 +
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7
Trang 15/75
❀ Bài tập Toán 9 - HKI ❀ Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG
Tel: 0976 071 956
Hướng dẫn:
√
√
x2 − x + x2 + x − 2 = 0
√
2
√x − x = 0
⇔
x2 + x − 2 = 0
b)
√
x−2+1
9x − 18
=8
16
√ 2
√
√
x−2+1
⇔5 x−2+
=6 x−2
2
√
Đặt t = x − 2 ≥ 0
√
c) 25x − 50 +
e)
√
x+6−6 x−3=1
d)
f)
Tương tự câu trên.
g)
√
x+2 x−1+
√
x − 2 x − 1 = 2 (∗)
√
i) 3 + x + 2 x − 1 = 2
ĐKXĐ: x ≥ 4
2x +
√
4x − 1 +
2x −
√
√
4x − 1 = 6
Ọ
C
Tương tự bài g). Đáp số: x = 1
√
x + 4 x − 4 (∗)
j)
ỄN
√
√
(∗) ⇔ 3 + x − 1 + 1 = 2 x − 4 + 2
√
√
⇔ x−1=2 x−4
√
x2 + 2x = −2x2 − 4x + 3
√
Đặt t = x2 + 2x
l)
√
x2 + 3x + 12 = x2 + 3x
√
Đặt t = x2 + 3x + 12
(x + 1) (x + 2) = x2 + 3x − 4
√
Đặt t = (x + 1) (x + 2) = x2 + 3x + 2
UY
k)
1
1
√
√
+
= −2 (∗)
x + 1 + x 2 x − 1 + x2
ĐKXĐ: x ∈√R.
√
(∗) ⇔ −x + 1 + x2 − x − 1 + x2 = −2
NG
.
Đáp số: S = [1; 2]
(x − 2)2 = 2−x
√
x−1+2 x−2=2
√
2
⇔
x−2+1 =2
√
⇔ x−2+1 =2
h)
ĐKXĐ: x ≥ 1
Bình phương hai vế ta ta được phương
trình:
x2 − 4(x − 1) = 2−x ⇔
√
(x − 1)2 + x2 + 4x + 4 = 3
⇔ (x − 1)2 + (x + 2)2 = 3
⇔ |x − 1| + |x + 2| = 3
DŨ
NG
a)
√
(3 − x) (x + 1) = 9
n) (x + 5) (2 − x) = 3 x2 + 3x
√
√
Đặt t = x2 + 3x
(3 − x) (x + 1) = −x2 + 2x + 3
m) −x2 + 2x + 4
Đặt t =
√
√
√
√
x2 − 3x + 3 + x2 − 3x + 6 = 3
p) 3 − x + x2 − 2 + x − x2 = 1
√
√
√
√
Đặt t = x2 − 3x + 3 hoặc t = x2 − 3x + 6 Đặt t = 3 − x + x2 hoặc t = 2 + x − x2
NG
o)
√
q) x2 + x2 + 11 = 31
√
r)
Đặt t = x2 + 11 hoặc bình phương hai
vế đưa về phương trình trùng phương.
s)
√
√
√
3 − x + x − 1 − 4 4x − x2 − 3 = −2
√
√
Đặt t = 3 − x + x − 1
√
⇔ t2 = 2 + 2 4x − x2 − 3
√
√
x + 1 + 3 − x − (x + 1) (3 − x) = 2
√
√
Đặt t = x + 1 + 3 − x
⇔ t2 = 4 + 2
t)
(x + 1) (3 − x)
√
√
x + 1 + 8 − x + (x + 1) (8 − x) = 3
√
√
Đặt t = x + 1 + 8 − x
⇔ t2 = 9 + 2
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7
(x + 1) (8 − x)
Trang 16/75
DŨ
NG
❀ Bài tập Toán 9 - HKI ❀ Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG
Tel: 0976 071 956
√
√
√
√
√
2√
x − x2 = x + 1 − x
u) 1 +
v) x − 2 + x + 2 = 2 x2 − 4 + 2x + 2
3
√
√
√
√
Đặt t = x − 2 + x + 2
Đặt t = x + 1 − x
√
√
⇔ t2 = 2 x2 − 4 + 2x
⇔ t 2 = 1 + 2 x − x2
√
√
√
√
w) x + 1 + 4 − x − (x + 1) (4 − x) = 5 x) x + 4 − x2 = 2 + 3x 4 − x2
√
√
√
Đặt t = x + 4 − x2
Đặt t = x + 1 + 4 − x
√
⇔ t2 = 4 + 2x 4 − x2
⇔ t2 = 5 + 2 (x + 1) (4 − x)
√
√
√
√
√
√
y) 3x − 2+ x − 1 = 4x−9+2 3x2 − 5x + 2 z) 2x + 3+ x + 1 = 3x+2 2x2 + 5x + 3−
√
√
16
Đặt t = 3x − 2 + x − 1
√
√
√
Đặt
t = 2x + 3 + x + 1
2
√
⇔ t = 4x − 3 + 2 3x2 − 5x + 2
⇔ t2 = 3x + 4 + 2 2x2 + 5x + 3
Bài 2. Giải phương trình:
√
√
a) 2 (1 − x) x2 + 2x − 1 = x2 − 2x − 1
b) x2 + 3x + 1 = (x + 3) x2 + 1
√
√
c) 5x2 − 6x + 1 = (x + 1) x2 + 3x − 1
2x − 1 +
x−
x+
g)
√
x − 1 + 2 x − 2−
√
√
2x − 1 = 2
√
x−1−2 x−2=
h)
√
x+2 x−1−
Ọ
1
√
x+2 x−1+
f)
C
√
e)
d) 2x2 + 8x − 4 = (x + 7) x2 + 2x
√
x+3
x−2 x−1=
2
√
x−2 x−1=2
Hướng dẫn:
NG
√
a) 2 (1 − x) x2 + 2x − 1 = x2 − 2x − 1
Đặt t =
trình:
√
√
b) x2 + 3x + 1 = (x + 3) x2 + 1
x2 + 2x − 1, ta được phương
√
Đặt t =
x2 + 1, ta được phương trình:
t2 − (x + 3)t + 3x = 0 (∗)
t2 − 2 (1 − x) t − 4x = 0 (∗)
ỄN
có ∆ = (x − 3)2 ≥ 0 nên (∗) có hai nghiệm:
có ∆ = (x + 1)2 ≥ 0 nên (∗) có hai
nghiệm:
√
2
√x + 2x − 1 = 2
x2 + 2x − 1 = −2x
√
c) 5x2 − 6x + 1 = (x + 1) x2 + 3x − 1
√
Đặt t = x2 + 3x − 1, ta được phương
t=3
⇒
t=x
√
2
√x + 1 = 3
x2 + 1 = x
UY
t=2
⇒
t = −2x
√
d) 2x2 + 8x − 4 = (x + 7) x2 + 2x
Đặt t =
trình:
NG
trình:
e)
t2 + (x + 1) t − 6x2 + 3x = 0
x+
√
2x − 1 +
x−
√
√
2x − 1 = 2
Bình phương hai vế và rút gọn ta được
phương trình: |x − 1| = 1 − x
√
x − 1 + 2 x − 2−
g)
1
⇔
√
x−1−2 x−2=
√
√
x−2+1 − x−2−1 =1
√
x2 + 3x − 1, ta được phương
2t2 − (x + 7) t + 4x − 4 = 0
√
x+3
x−2 x−1=
2
√
√
x+3
⇔ x−1+1 + x−1−1 =
2
√
√
h) x + 2 x − 1 − x − 2 x − 1 = 2
√
√
⇔ x−1+1 − x−1−1 =2
f)
√
x+2 x−1+
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7
Trang 17/75
❀ Bài tập Toán 9 - HKI ❀ Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG
Tel: 0976 071 956
Bài 3. Giải phương trình:
a)
√
x+2+2 x+1+
√
x+5
x+2−2 x+1=
2
√
7+x+6 x−2=6
DŨ
NG
√
x−1+2 x−2+
√
√
c) 3x2 − 18x + 28 + 4x2 − 24x + 45 = −5 − x2 + 6x
√
√
d) 4x2 + 4x + 5 + 8x2 + 8x + 11 = 4 − 4x2 − 4x
b)
Hướng dẫn:
√
x+2+2 x+1+
C
√
x+5
x+2−2 x+1=
2
√
√
x+5
⇔ x+1+1 + x+1−1 =
2
√
√
b) x − 1 + 2 x − 2 + 7 + x + 6 x − 2 = 6
√
√
⇔ x−2+1 + x−2+3 =6
√
√
c) 3x2 − 18x + 28 + 4x2 − 24x + 45 = −5 − x2 + 6x
√
√
⇔ 3x2 − 18x + 28 − 1 + 4x2 − 24x + 45 − 3 + x2 − 6x + 9 = 0
a)
4 (x − 3)2
+√
+ (x − 3)2 = 0
3x2 − 18x + 28 + 1
4x2 − 24x + 45 + 3
4
3
+√
+1 =0
⇔ (x − 3)2 √
3x2 − 18x + 28 + 1
4x2 − 24x + 45 + 3
√
√
d) 4x2 + 4x + 5 + 8x2 + 8x + 11 = 4 − 4x2 − 4x (∗)
Tương tự câu trên:
√
4x2 + 4x + 5 − 2 +
5
1
2
UY
Đáp số: x = −
√
8x2 + 8x + 11 − 3 + 4x2 + 4x + 1 = 0
ỄN
(∗) ⇔
NG
Ọ
3 (x − 3)2
⇔√
Giải bất phương trình chứa căn bậc hai
Bài tập cơ bản
NG
Bài 1: Giải bất phương trình:
√
√
3x + 1 > 2x − 3
√
c) x2 − x − 1 < 1 − x
a)
e)
4−
√
1−x>
√
2−x
√
x2 − x − 12 < 7 − x
√
i) x2 − 3x − 10 ≥ x − 2
√
k) 1 − x + 2x2 − 3x − 5 < 0
g)
b)
d)
f)
h)
√
√
√
√
x2 − 4x + 3 <
√
2x2 − 10x + 11
x2 + x − 6 < x − 1
2x − 1 > 2x − 3
21 − 4x − x2 < x + 3
√
3x2 + 13x + 4 + 2 − x ≥ 0
√
√
l) 2x + 3 + x + 2 ≤ 1
j)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7
Trang 18/75
❀ Bài tập Toán 9 - HKI ❀ Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG
Tel: 0976 071 956
√
√
√
√
m) 3 −x2 + x + 6 + 2 (2x − 1) > 0
n) x + 3 − 7 − x > 2x − 8
q)
s)
2x +
√
√
x2 + 1 > x + 1
p)
√
x−1>2
r)
11 − x −
1 1
− >
x 2
√
2−x>
1
1 1
3
− < −
2
x
4
x 2
4
3
−
2
x
4
Bài 2: Giải bất phương trình:
e)
g)
i)
√
√
√
√
3−x−
√
1
x+1>
2
b)
x2 − 4x − 12 ≤ x − 4
x+3<1−x
√
x2 − 5x − 14 ≥ 2x − 1
x2 − 3x − 10 < x − 2
√
f) x − 3 x + 1 + 3 > 0
√
h) x2 − 4x − 12 > 2x + 3
−x2 + 6x − 5 > 8 − 2x
j)
d)
x2 − 16 ≥ 2x − 7
√
2
(x2 − x) > x − 2
√
x−2> x−3
√
√
√
n) x + 3 ≥ 2x − 8 + 7 − x
√
√
√
p) x + 2 − 3 − x ≥ 5 − 2x
l)
√
x−1−
√
NG
x2 − 3x + 2 > 2x − 5
√
√
√
m) 3x + 4 + x − 3 ≤ 4x + 9
√
√
√
o) 5x − 1 − 3x − 2 − x − 1 > 0
k)
√
C
c)
√
Ọ
a)
√
√
7 − x − −2x − 3
DŨ
NG
o)
Bài tập nâng cao
Bài 3: Giải bất phương trình:
ỄN
√
a) x 1 − x2 ≤ 0
√
b) √
x2 − 16 √
5
√
+ x−3> √
d)
x−3
x−3
√
e) (x − 3) x2 − 4 > x2 − 9
f)
√
√
√
g) x2 + 3x + 2 + x2 + 6x + 5 ≥ 2x2 + 9x + 7
√
√
√
h) x2 − 3x + 2 + x2 − 4x + 3 ≥ 2 x2 − 5x + 4
√
2 − x + 4x − 4
i)
≥2
j)
x
√
2x − 4
k) √
>1
l)
2
x − 3x − 10
√
8 − 2x − x2
m)
>1
n)
x+2
NG
UY
c)
o) √
1
2x2 + 3x − 5
>
1
2x − 1
p)
4
√
<2
2−x− 2+x
|1 − 4x| ≥ 2x + 1
√
√
√
x2 − 4x + 3− 2x2 − 7x + 5 ≥ − x − 1
√
x+5
<1
1−x
√
51 − 2x − x2
<1
1−x
√
1 − 1 − 4x2
<3
x
√
x+
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7
√
√
√
x+9≥ x+1+ x+4
Trang 19/75
❀ Bài tập Toán 9 - HKI ❀ Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG
Tel: 0976 071 956
Hướng dẫn:
√
a) x 1 − x2 ≤ 0 (∗)
4
√
< 2 (∗)
2−x− 2+x
b) √
ĐKXĐ: −1 ≤ x ≤ 1 (∗) ⇔
x
ò 0
1 − x2 ≥ 0
ĐKXĐ: −2 ≤ x ≤ 2 và x = 0
(∗) ⇔
√
2−x>
√
2+x+2
√
f)
√
√
√
x2 − 4x + 3− 2x2 − 7x + 5 ≥ − x − 1(∗)
ĐKXĐ: x ≥ 3
A<0
B<0
(∗) ⇔ (x − 1) (x − 3)− (x − 1) (2x − 5) ≥
− (x − 1)
√
√
⇔ x − 3 − 2x − 5 ≥ −1
√
(Do x − 1 > 0, ∀x ≥ 3)
√
√
√
x2 + 3x + 2 + x2 + 6x + 5 ≥ 2x2 + 9x + 7
ĐKXĐ: x ≥ −1 hoặc x ≤ −5
(x + 1) (x + 2) +
(x + 1) (x + 5) ≥
(x + 1) (2x + 7)
NG
⇔
Ọ
g)
A>0
hoặc
B>0
|A| ≥ B ⇔ A ≥ B hoặc A ≤ −B
DŨ
NG
AB > 0 ⇔
|1 − 4x| ≥ 2x + 1
d)
C
x2 − 16 √
5
√
+ x−3> √
x−3
x−3
ĐKXĐ: x ≥ 4
√
Nhân hai
√ vế cho x − 3 ta được phương
trình: x2 − 16 > 8 − x
√
e) (x − 3) x2 − 4 > x2 − 9
c)
Trường hợp 1: x = −1 là nghiệm của bất phương trình.
Trường hợp 2: x > −1
(∗) ⇔
√
x+2+
√
√
x + 5 ≥ 2x + 7
Trường hợp 3: x ≤ −5
ỄN
√
√
√
(∗) ⇔ −x − 2 + −x − 5 ≥ −2x − 7
√
√
√
h) x2 − 3x + 2 + x2 − 4x + 3 ≥ 2 x2 − 5x + 4
√
UY
Tương tự câu trên.
2 − x + 4x − 4
i)
≥ 2 (∗)
x
ĐKXĐ: x ≤ 2 và x = 0
√
x+5
j)
<1
1−x
Tương tự câu trên.
NG
Trường hợp 1: 0 < x ≤ 2
(∗) ⇔
√
2 − x + 4x − 4 ≥ 2x
Trường hợp 2: x < 0
√
(∗) ⇔ 2 − x + 4x − 4 ≤ 2x
√
2x − 4
k) √
> 1 (∗)
x2 − 3x − 10
ĐKXĐ: x > 5
√
√
(∗) ⇔ 2x − 4 > x2 − 3x − 10
√
51 − 2x − x2
l)
<1
1−x
√
√
ĐKXĐ: 1 − 2 13 < x < 1 + 2 13 và
x=1
√
Xét hai trường √
hợp: 1 − 2 13 < x < 1
và 1 < x < 1 + 2 13
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7
Trang 20/75
❀ Bài tập Toán 9 - HKI ❀ Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG
√
√
8 − 2x − x2
1 − 1 − 4x2
m)
>1
n)
<3
x+2
x
Tương tự câu trên.
Tương tự câu trên.
1
2x2 + 3x − 5
>
1
2x − 1
p)
√
√
√
√
x+9≥ x+1+ x+4
x+
ĐKXĐ: x > 0
Bình phương hai vế hai lần ta được bất
phương trình:
5
ĐKXĐ: x > 1 hoặc x < −
2
Trường hợp 1: x > 1 ⇒ 2x − 1 > 0
5
Trường hợp 2: x < − ⇒ 2x − 1 < 0
2
x (x + 9) ≥ 0 (luôn đúng ∀x ≥ 0)
4x +
Bài 4: Giải bất phương trình:
a)
√
6x + 1 −
√
2x + 3 <
√
8x −
√
4x + 2
√
2x2 − 3x − 2 ≥ 0
√
i) 3x2 − 2x − 25 − x2 ≤
√
3x2 + 5x + 7 −
√
3x2 + 5x + 2 > 1
√
2
√
4x + 1 −
x2 − 4 ≤ 0
2
√
3x − 2 ≤
√
j) x + x2 + 16 ≥ √
l) √
40
x2 + 16
2x
> 2x + 2
2x + 1 − 1
2x2
√
3 − 9 + 2x
n)
x+3
5
2
≥ x + 21
√
p) 9 (x + 1)2 ≤ (3x + 7) 1 − 3x + 4
>x−4
UY
x2
√
1+ 1+x
h)
x2
√
5 + 25 − x2
m) 4 (x + 1)2 ≤ (2x + 10) 1 − 3 + 2x
o)
√
C
x2
√
2 − 4 − x2
ỄN
k)
≥ 3x + 2
√
x2
− 3x − 2 ≥ 1 − x
3x − 2
Ọ
√
g) x2 − x − 4 + 4 − x2 ≥
f) √
NG
√
5x2 − 1
d) x2 − 4x + 3
c) (2x − 5) 2x2 − 5x + 2 ≥ 0
e) x2 − 3x
9x2 − 4
b) √
DŨ
NG
o) √
Tel: 0976 071 956
2
√
NG
q) x2 + 4x ≥ (x + 4) x2 − 2x + 4
a)
Hướng dẫn:
√
√
√
6x + 1 − 2x + 3 < 8x − 4x + 2
√
√
√
√
⇔ 6x + 1 + 4x + 2 < 8x + 2x + 3
√
⇔2
(6x + 1) (4x + 2) < 2
√
c) (2x − 5) 2x2 − 5x + 2 ≥ 0
2
⇔
2x − 5x + 2 = 0
2x2 − 5x + 2 > 0
2x − 5 ≥ 0
9x2 − 4
b) √
5x2 − 1
≥ 3x + 2
⇔ (3x + 2) 3x − 2 −
√
5x2 − 4 ≥ 0
8x (2x + 3)
d) x2 − 4x + 3
2
⇔
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7
√
x2 − 4 ≤ 0
x −4=0
x2 − 4 > 0
x2 − 4x + 3 ≤ 0
Trang 21/75
❀ Bài tập Toán 9 - HKI ❀ Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG
f) √
2x − 3x − 2 = 0
2x2 − 3x − 2 > 0
x2 − 3x ≥ 0
√
x2
√
2 − 4 − x2
√
√
⇔ x2 − x − 4 + 4 − x2 ≥ 2 + 4 − x2
g) x2 − x − 4 + 4 − x2 ≥
h)
⇔ x2 − x − 6 ≥ 0
√
i) 3x2 − 2x − 25 − x2 ≤
√
j) x + x2 + 16 ≥ √
+ 16
16
40
⇔√
≥√
x2 + 16 − x
x2 + 16
√
√
⇔ 5x ≥ 3 x2 + 16 (Do x2 + 16 − x ≥ 0
suy ra từ V T ≥ V T > 0)
√
25 − x2 = 0 thì sẽ sót nghiệm.
√
√
3x2 + 5x + 7 − 3x2 + 5x + 2 > 1
√
Đặt t = 3x2 + 5x + 7
√
hoặc t = 3x2 + 5x + 2
√
2
2
2x2
n)
≥ x + 21
√
2
3 − 9 + 2x
√
2
⇔ 3 + 9 + 2x ≥ 2x + 42
NG
m) 4 (x + 1) ≤ (2x + 10) 1 − 3 + 2x
2x
> 2x + 2
2x + 1 − 1
√
⇔ 2x + 1 + 1 > 2x + 2
l) √
Ọ
k)
(x + 1)2
√
1 + 3 + 2x
⇔ 4 (x + 1)2 ≤ 8 (x + 5)
2
(Nhân lượng liên hợp).
Xét hai trường hợp: x+1 = 0 và x+1 = 0
ỄN
x2
>x−4
√
2
1+ 1+x
√
1− 1+x=0
√
⇔
2
1− 1+x >x−4
√
p) 9 (x + 1)2 ≤ (3x + 7) 1 − 3x + 4
UY
o)
40
x2
Nếu không xét riêng trường hợp :
5−
√
x+3
3x − 2 ≤
5
x+3
x+3
√
⇔√
≤
5
4x + 1 + 3x − 2
4x + 1 −
√
x2
√
5 + 25 − x2
5 − 25 − x√2 = 0
√
3x2 − 2x − 25 − x2 ≤ 5 − 25 − x2
⇔
√
DŨ
NG
⇔
√
x2
− 3x − 2 ≥ 1 − x
3x − 2
√
⇔ (x − 1) x − 2 + 3x − 2 ≥ 0
2x2 − 3x − 2 ≥ 0
C
√
e) x2 − 3x
2
Tel: 0976 071 956
2
9 (x + 1)2
⇔ 9 (x + 1) ≤ (3x + 7)
√
1 + 3x + 4
2
2
Xét hai trường hợp: x+1 = 0 và x+1 = 0
√
q) x2 + 4x ≥ (x + 4) x2 − 2x + 4
√
x2 − 2x + 4 ≥ 0
NG
⇔ (x + 4) x −
§3.
1
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG
Bài tập cơ bản
√
x
x+2
Bài 1: Cho biểu thức P = √
a) Tìm điều kiện xác định của P .
b) Tìm các giá trị của nguyên của x để P đạt giá trị nguyên.
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7
Trang 22/75
❀ Bài tập Toán 9 - HKI ❀ Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG
√
x+2 x+1
√
Bài 2: Cho biểu thức P =
x
Tel: 0976 071 956
a) Chứng minh rằng P > 0 với ∀x > 0, x = 1
b) Tính giá trị của P biết x =
2
√
2+ 3
√
Bài 3: Cho biểu thức P = a − a
a) Biết a > 1, hãy so sánh P và Q = |P |
b) Tìm a để P = 2
DŨ
NG
√
x+1
Bài 4: Cho biểu thức P = √
x−1
a) Tìm các giá trị nguyên của x để P đạt giá trị nguyên.
√
x
√
1− x+x
√
Bài 5: Cho biểu thức P =
x
b) Tìm các giá trị x để P =
√
b) Tính giá trị của P biết x = 7 − 4 3
C
a) Tìm điều kiện xác định của P .
c) Tìm các giá trị của x để P > x
NG
Ọ
√
√
√
2 x−9
x+3 2 x+1
√
√
Bài 6: Cho biểu thức A =
−√
−
x−5 x+6
x−2
3− x
a) Tìm điều kiện xác định của A.
b) Rút gọn A
2
√
d) Tìm x để A < 1
3− 5
√
√
2a + a
a2 + a
√
− √
+1
Bài 7: Cho biểu thức M =
a− a+1
a
ỄN
c) Tính giá trị của A khi x =
a) Tìm điều kiện xác định của M .
c) Biết a > 1. Hãy so sánh M và
√
M
b) Rút gọn M .
d) Tìm a để P = 2
UY
√
√
x
3
6 x−4
Bài 8: Cho biểu thức P = √
+√
−
x−1
x−1
x+1
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P <
NG
√
√
x
2 x−1
√
Bài 9: Cho biểu thức P = √
−
x−1
x− x
a) Thu gọn P .
1
2
b) Giải phương trình P = 2
c) So sánh M và 1
√
Bài 10: Cho biểu thức P =
x
2
1
√ +√
+
x−4 2− x
x+2
a) Tìm điều kiện xác định của P .
:
√
10 − x
x−2+ √
x+2
b) Rút gọn P .
c) Tìm các giá trị của x để P > 0
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7
Trang 23/75
❀ Bài tập Toán 9 - HKI ❀ Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG
√
√
√
y − xy
x xy + y xy
√
Bài 11: Cho biểu thức P =
x+ √
: √
√
xy(y − x)
x− y
Tel: 0976 071 956
a) Tìm điều kiện xác định của P .
b) Rút gọn P .
√
√
√
√
√
x+3 2 x+1
2 x−9
√
√
−√
−
Bài 12: Cho biểu thức M =
x−5 x+6
x−2
3− x
a) Tìm điều kiện xác định của P .
b) Rút gọn M .
c) Tìm x ∈ Z để M ∈ Z
Bài 13: Cho biểu thức P =
√
√
2 x
x
3x + 3
√
+√
+
9−x
x+3
x−3
.
√
x−7
√
+1
x+1
b) Tìm x để P ≥ −
a) Rút gọn P .
b) Rút gọn A.
Ọ
a) Tìm điều kiện xác định của A.
√
1
x
2
√
+√
+
x−4
x+2 2− x
NG
Bài 15: Cho biểu thức M =
a) Tìm điều kiện xác định của M .
:
√
6−x
x+ √
−2
x+2
b) Rút gọn M .
ỄN
c) Tìm x ∈ Z để M ∈ Z
1
2
C
√
2
3
4−4 x
√
+√
−√
Bài 14: Cho biểu thức A =
x − 2 x − 35
x−7
x+5
2
DŨ
NG
c) Tính giá trị của P khi x = 4 + 2 3, y = 4 − 2 3
bài tập nâng cao
HD:
UY
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau:
3+
D=
5 − 13 +
√
√
6+ 2
√
48
.
√
√
√
1
3
3 1
Ta có: 13 + 48 = 12 + 2 12 + 1 và 2 + 3 = + 2 √ √ + .
2 √ 2 2√ 2
√
x−3 x
x−3
x−2
9−x
√ +
√ −
√
Bài 2: Cho biểu thức: D = 1 −
:
x−9
2− x 3+ x x+ x−6
với x ≥ 0, x = 9, x = 4.
a) Rút gọn biểu thức D.
NG
√
b) Tìm giá trị của x để D = 1.
HD:
a) Sử dụng hằng đẳng thức A2 − B 2 , chú ý đến đa thức bậc hai với biến là
√
√
√
nữa x + x − 6 = ( x − 2)( x + 3).
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7
√
x và thêm
Trang 24/75
❀ Bài tập Toán 9 - HKI ❀ Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG
Tel: 0976 071 956
b) Dùng kết quả rút gọn ở câu a).
1
1
√ +√
x
x+1
Bài 3: Cho biểu thức D =
:
√
x
√ , với x > 0.
x+ x
a) Rút gọn biểu thức D.
b) Tìm tất cả giá trị nguyên của x để biểu thức D có giá trị nguyên.
HD:
√
Bài 4: Cho a = 7 − 4 3. Tính giá trị biểu thức D =
DŨ
NG
b) Để D nhận giá trị nguyên thì mẫu phải là ước của tử.
8−a
2
√ −√
a+4 a
a+4
√
4 a−1
.
.√
a−2
HD:
√
√
Rút gọn D và lưu ý: 7 − 4 3 = 4 − 2.2 3 + 3.
√
√
√
√
3)
2
+
3
+
(2
+
3)
2
−
3.√
Bài 5: Rút gọn biểu thức D
=
(2
−
√
√
√
√
1
3+2 3+1
3
3 1
4+2 3
+ 2 √ √ + hoặc 2 + 3 =
=
.
2
2
2
2√ 2 2
√
√
x
−x + x x + 6
x+1
√
Bài 6: Cho biểu thức D = √
+
−√
, với x ≥ 0, x = 1.
x+2
x+ x−2
x−1
HD: Lưu ý 2 + 3 =
C
a) Rút gọn biểu thức D.
(x + 27)D
√
, với x ≥, x = 1, x = 4. Chứng minh T ≥ 6.
( x + 3)( x − 2)
Ọ
b) Cho biểu thức T = √
NG
HD:
a) Khi rút gọn ta sử dụng sơ đồ Hoocner để phân tích đa thức bậc 3 thành các đơn
√
thức, chú ý với biến là x.
b) Biến đổi tương đương để đưa T ≥ 6 về hằng đẳng thức.
ỄN
√
√
2 x−1 2 x+1
− √
, với x ≥ 0, x = 1.
Bài 7: Cho biểu thức D = √
x−1
x+1
a) Rút gọn biểu thức D.
3
4
UY
b) Tìm các giá trị của x để D = .
√
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = ( x − 4)(x − 1)D.
HD:
c) Thêm bớt để đưa biểu thức T về hằng đẳng thức và kết luận giá trị nhỏ nhất.
NG
√
√
√
2x − 3 x − 2
x3 − x + 2x − 2
√
√
Bài 8: Cho biểu thức D =
và T =
với x ≥ 0; x = 4.
x−2
x+2
a) Rút gọn các biểu thức D và T .
b) Tìm tất cả giá trị của x để D = T .
HD:
a) Đối với T , ta có thể nhẩm hoặc sử dụng máy tính tìm nghiệm của pt bậc 3 theo biến
√
x và sử dụng Hoocner phân tích thành bậc 2 và 1.
Bài 9: Cho biểu thức D =
2a2 + 4
1
1
√ −
√ , với a ≥ 0; a = 1.
−
3
1−a
1+ a 1− a
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7
Trang 25/75
