skkn PHÂN LOẠI và PHƯƠNG PHÁP GIẢI một số bài tập GIAO THOA SÓNG TRÊN mặt nước

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
Mã số: ................................
(Do HĐTĐSK Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP GIAO THOA
SÓNG TRÊN MẶT NƯỚC

Người thực hiện: Hoàng Thị Thu Thủy
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục



- Phương pháp giáo dục



- Phương pháp dạy học bộ môn: Vật lí



- Lĩnh vực khác: ....................................................... 
(Ghi rõ tên lĩnh vực)

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in sáng kiến
 Mô hình
 Đĩa CD (DVD)
 Phim ảnh  Hiện vật khác
(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)

Năm học: 2016 - 2017


SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
––––––––––––––––––
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: Hoàng Thị Thu Thủy
2. Ngày tháng năm sinh: 05/04/1990
3. Nam, nữ: Nữ
4. Địa chỉ: 338/78/5 khu phố 13 – Hố Nai – Biên Hòa –Đồng Nai
5. Điện thoại: CQ : 0613.834289

; ĐTDĐ: 0932343537

6. E-mail:
7. Chức vụ:
8. Nhiệm vụ được giao (quản lý, đoàn thể, công việc hành chính, công việc
chuyên môn, giảng dạy môn, lớp, chủ nhiệm lớp,…):
+ UV BCH đoàn trường
+ Giảng dạy vật lí lớp 10A2, 10A10, 12A4,12A9
+ Chủ nhiệm lớp 12A4
9. Đơn vị công tác: trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh - Biên Hòa - Đồng Nai
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân
- Năm nhận bằng: 2012
- Chuyên ngành đào tạo: Vật lí
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm:
Số năm có kinh nghiệm: 05 năm

2


I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Vật lí là một môn khoa học tự nhiên có mối liên hệ mật thiết với thực tế cuộc
sống. Nhưng để phát triển rực rỡ như ngày hôm nay, vật lí cũng không thể tách rời
khỏi các môn khoa học tự nhiên khác quan trọng nhất chính là toán học, bởi ngoài
việc giải thích định tính các hiện tượng vật lí thì công việc tính toán định lượng
cũng hết sức quan trọng. Trong giới hạn chương trình vật lí phổ thông và đặc biệt
là lớp 12 số lượng bài tập vật lí rất nhiều và đa dạng. Tuy nhiên, số tiết bài tập vật
lí theo phân phối chương trình lại hơi ít để học sinh có thể nắm bắt cũng như hiểu
thấu đáo để từ đó củng cố những kiến thức liên quan. Việc giải bài tập cũng thường
gây ra sự nhàm chán cho học sinh do không có tính trực quan, sinh động. Chính vì
thế, người giáo viên cần phải tìm ra những phương pháp tốt nhất nhằm tạo cho học
sinh niềm say mê yêu thích môn học này. Do đó, việc phân loại các dạng bài tập và
hướng dẫn cách giải là việc làm rất cần thiết. Nó giúp học sinh khắc sâu những
kiến thức lí thuyết qua một hệ thống bài tập và phương pháp giải chúng, giúp các
em có thể nắm được cách giải và từ đó chủ động vận dụng các cách giải để có thể
nhanh chóng giải các bài toán trắc nghiệm cũng như các bài toán tự luận.
Đối với chương trình Vật lý lớp 12, bài tập về giao thoa sóng, phần giao thoa
sóng trên mặt nước có nhiều dạng bài tập và khó hiểu. Qua những năm đứng lớp
tôi nhận thấy học sinh thường rất lúng túng trong việc tìm cách giải các dạng bài
tập này. Xuất phát từ thực trạng trên, qua kinh nghiệm giảng dạy, tôi đã chọn đề
tài: PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP GIAO
THOA SÓNG TRÊN MẶT NƯỚC.
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Bài toán về giao thoa sóng được đưa ra trong bài 8 sách giáo khoa Vật lý 12
chương trình chuẩn và bài 16 sách giáo khoa Vật lý 12 chương trình nâng cao; sách
Bài tập Vật lý 12 (chương trình chuẩn và nâng cao) và ở một số sách tham khảo.

nhưng số tiết bài tập vận dụng trên lớp thực hiện theo phân phối chương trình hơi ít
nên học sinh không được luyện tập nhiều bài tập dạng này.
Trong yêu cầu về đổi mới đánh giá học sinh bằng phương pháp trắc nghiệm khách
3


quan thì việc học sinh phân dạng và nắm được phương pháp làm bài sẽ giúp các
các em tiết kiệm được rất nhiều thời gian khi làm bài.
Hiện tại cũng có nhiều sách tham khảo có trình bày về vấn đề này ở các góc
độ khác nhau nhưng chưa nêu bật tính hệ thống và bình luận chi tiết. Chuyên đề
này trình bày những dạng bài tập thường gặp với cách phân loại có hệ thống, bình
luận cách giải và hướng dẫn cách giải chi tiết, mong giúp các em nắm sâu sắc ý
nghĩa vật lý các vấn đề liên quan và từ đó có thể phát triển hướng tìm tòi lời giải
mới cho các bài tương tự.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
Chuyên đề đặt ra yêu cầu phân loại các dạng bài tập, đưa ra cách giải cho
từng dạng bài tập đó và đưa ra những nhận xét và những chú ý giúp phát triển
hướng tìm tòi khác.
1. NÔI DUNG CHUYÊN ĐỀ GỒM 2 PHẦN:
* Phần I: Phân loại và cách giải các dạng bài tập giao thoa sóng trên mặt nước.
* Phần II: Các bài tập minh họa vận dụng.
- Bài tập dạng tự luận có hướng dẫn giải
- Bài tập tự luyên tập dạng trắc nghiệm có đáp án.
2. PHẠM VI ÁP DỤNG:
- Chuyên đề áp dụng cho chương trình Vật lý lớp 12 Chương: SÓNG CƠ VÀ
SÓNG ÂM (cả chương trình chuẩn và chương trình nâng cao)
- Chuyên đề áp dụng rất tốt cho cả luyện thi tốt nghiệp THPTQG
3. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
3.1. Sóng cơ: là dao động dao động cơ lan truyền trong một môi trường
nhiều sóng kết hợp trong không gian, trong đó có những

chỗ biên độ sóng được tăng cường (cực đại giao thoa) hoặc

k=0

k= 1

3.2. Hiện tượng giao thoa sóng: là sự tổng hợp của 2 hay

k= -1

k= 2

k= -2

A

B

triệt tiêu (cực tiểu giao thoa). Hiện tượng giao thoa là hiện
tượng đặc trưng của sóng.
3.3. Điều kiện giao thoa: hai nguồn sóng là hai nguồn kết

k= 1

k= 0

k=-1

k=-2

hợp
4


+ Dao động cùng phương, cùng chu kỳ
+ Có hiệu số pha không đổi theo thời gian
3.4. Phương trình: Giao thoa của hai sóng phát ra từ hai nguồn sóng kết hợp
S1, S2 cách nhau một khoảng l:

M

Điểm M cách 2 nguồn một khoảng lần lượt là: d 1, d2
* Nếu tại hai nguồn S1 và S2 cùng phát ra hai sóng
giống hệt nhau có phương trình sóng là:

d1

d2

S1

S2

u1 = acos( ωt + ϕ1 )

;

u2 = acos( ωt + ϕ2 )

và

bỏ qua mất mát năng lượng khi sóng truyền đi thì sóng tại M (với S 1M = d1; S2M =
d2) là tổng hợp hai sóng từ S1 và S2 truyền tới sẽ có phương trình là:

uM = 2acos(π

d2 − d1 ϕ1 − ϕ2
d +d ϕ +ϕ
+
)cos(ωt − π 2 1 + 1 2 )
λ
2
λ
2

=> Biên độ sóng tổng hợp :

aM = 2a cos(π

Độ lệch pha 2 sóng truyền tới M :

∆ϕ = 2π

d2 − d1 ϕ1 − ϕ2
+
)
λ
2

d2 − d1

+ ϕ1 − ϕ2
λ

3.5. Điều kiện và quĩ tích các điểm cực đại, cực tiểu
a. Điều kiện để có cực đại, cực tiểu
+ Trường hợp hai nguồn cùng pha, cùng biên độ :

Cực đại ( aM =2a):

Cực tiểu ( aM =0 ):

∆ϕ = 2π

d2 − d1
λ

∆ϕ = 2π

d2 − d1
= k2π
λ
 d2 – d1 = kλ (k∈Z)

∆ϕ = 2π

d2 − d1
λ
1
= (2k + 1)π
)λ

λ
 d2 – d1 = (2k +1) 2 = (k + 2 (k∈Z)

5


+ Trường hợp hai nguồn ngược pha, cùng biên độ :

Cực đại ( aM =2a):

Cực tiểu ( aM =0 ):

∆ϕ = 2π

d2 − d1
−π
λ

∆ϕ = 2π

d2 − d1
λ
1
− π = k2π
)λ
λ
2
 d2 – d1 = (2k +1) = (k + 2 (k∈Z)

∆ϕ = 2π

d2 − d1
− π = (2k + 1)π
λ
 d2 – d1 = kλ (k∈Z)

+ Trường hợp hai nguồn kết hợp bất kì, cùng biên độ :

Cực đại ( aM =2a): ∆ϕ = k2π 

d2 − d1 = kλ +

∆ϕ = 2π

d2 − d1
+ ϕ1 − ϕ2
λ

ϕ2 − ϕ1
λ
2π
(k∈Z)

ϕ −ϕ
1
d2 − d1 = (k + )λ + 2 1 λ
2
2π
Cực tiểu ( aM =0 ): ∆ϕ = (2k + 1)π 

+ Chú ý : trong trường hợp này đường trung trực không phải là cực đại hoặc cực
tiểu. Cực đại giữa ( k =0) lệch về phía nguồn trễ hơn ( vì ϕ2 > ϕ1 thì d2 > d1 )
b. Quỹ tích các điểm cực đại, cực tiểu
* Trường hợp hai nguồn cùng pha , cùng
+ Cực đại: d2 - d1 = kλ .

k =1

k=0

k =-1
k=-2

k =2

- Với k = 0 thì d 1 = d2, quỹ tích các
đại trong trường hợp này là đường trung
AB.
- Với k = ± 1 ⇒ d2 - d1 = ± λ. Quỹ tích

biên độ :
điểm cực

A

B

k= 2
k= 1 k= 0 k=-1

k=-2

trực của
k=-3

các điểm

cực đại trong trường hợp này là đường cong Hypebol bậc 1, nhận A, B làm các tiểu
điểm.
- Với k = ± 2 ⇒ d2 - d1 = ± 2λ . Quỹ tích các điểm cực đại trong trường hợp này là
6


đường cong Hypebol bậc 2, nhận A, B làm các tiểu điểm… Tương tự với k = 3;4...
+ Cực tiểu: d2- d1 = (k + 0,5)λ .
k = 0

- Với k = −1 → d2 - d1 = ± . Quỹ tích các điểm cực tiểu trong trường hợp này là

đường cong Hypebol nhận A, B làm tiêu điểm, và nằm giữa đường trung trực của
AB với đường cong Hypebol cực đại bậc 1.
k = 1

- Với k = −2 → d2 - d1 = ± . Quỹ tích các điểm cực tiểu Trong trường hợp này là

đường cong Hypebol nhận A, B làm tiêu điểm, và nằm giữa đường Hypebol cực
đại bậc 1 và cực đại bậc 2.
* Trường hợp hai nguồn ngược pha , cùng biên độ : hình ảnh
giao thoa ngược với trường hợp hai nguồn cùng pha, cùng

k= 1

k=0

k= -1

k= 2

k= -2

A

B

biên độ. Các cực đại và cực tiểu ngược lại với trường hợp
của hai nguồn cùng pha.

k= - 2

* Trường hợp hai nguồn kết hợp bất kì, cùng biên độ :

k= -1

k=1

k=0

Trong trường hợp này đường trung trực không phải là cực đại hoặc cực tiểu. Cực
đại giữa ( k =0) lệch về phía nguồn trễ hơn ( vì ϕ2 > ϕ1 thì d2 > d1 )
4. PHÂN LOẠI VÀ CÁCH GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ GIAO THOA

SÓNG TRÊN MẶT NƯỚC ( CÓ BÀI TẬP VÍ DỤ KÈM THEO MỖI DẠNG )
Dạng I: Viết phương trình sóng tổng hợp
Cách giải:
Viết

phương trình sóng tại M do sóng từ nguồn A truyền đến là:


2πd1 
uAM = acos ωt + ϕ1 −
÷
λ 

với d1 = AM

7


Viết

phương trình sóng tại M do sóng từ nguồn A truyền đến là:


2πd2 
uBM = acos ωt + ϕ2 −
÷
λ 

với d2 = BM

Viết phương trình dao động tổng hợp tại M


2πd1 
2πd2 
uM = uAM + uBM = acos ωt + ϕ1 −
÷+ acos ωt + ϕ2 −
÷
λ 
λ 



Hay

uM = 2acos(π

d2 − d1 ϕ1 − ϕ2
d +d ϕ +ϕ
+
)cos(ωt − π 2 1 + 1 2 )
λ
2
λ
2

=> Biên độ sóng tổng hợp :

aM = 2a cos(π

∆ϕ = 2π

Độ lệch pha 2 sóng truyền tới M :

d2 − d1 ϕ1 − ϕ2
+
)
λ
2

d2 − d1
+ ϕ1 − ϕ2
λ

Ví dụ 1 : Tại hai điểm S1, S2 trên mặt nước đăt hai nguồn kêt hợp phat sóng
ngang với cùng phương trình u = 1,5cos(40πt) mm. Tốc độ truyền sóng trong nước
là 1,2m/s. Coi biên độ sóng không đổi khi truyền đi. Viết phương trình sóng tại
điểm M nằm trên mặt nước với S1M = 30 cm và S2M = 36 cm.
Giải : Ta có ω = 40π (rad/ s)  f = 20Hz 

λ=

v 120
=
= 6(cm)
f 40


2π.30 
uAM = 1,5cos 40πt −

÷ = 1,5cos( 40πt − 10π )
6 

Cách 1:
cm

8



2π.36 
uBM = 1,5cos 100πt −
÷ = 1,5cos( 100πt − 12π )
6 

cm



uM = 1,5cos( 40πt − 10π ) + 1,5cos( 40πt − 12π )

= 3cos40πt cm

Hoặc bấm máy : 1,5∠ − 10π + 1,5∠ − 12π = 3∠0
Có thể viết lại: uM = 3cos40πt cm
Cách 2 : Từ lí thuyết ta đã chứng minh được phương trình sóng tổng hợp khi hai

nguồn cùng biên độ có dạng

uM = 2acos(π

d2 − d1 ϕ1 − ϕ2
d +d ϕ +ϕ
+
)cos(ωt − π 2 1 + 1 2 )
λ
2
λ
2

Sử dụng phương trình sóng tổng hợp và lần lượt thay: a = 1,5cm , ϕ1 = ϕ2 = 0 ;
ω = 40π (rad/s) ; λ = 6 cm; d1 = 30 cm; d2 = 36 cm

Ta có :

uM = 2.1,5cos(π

36 − 30
36 + 30
)cos(40πt − π
)
6
6
= 3cos(π)cos(40πt − 11π) cm

= −3cos(40πt − 11π) cm
= 3cos(40πt − 10π) cm
= 3cos40πt cm
Đáp án : uM = 3cos40πt (cm)
Nhận xét :

+ Phương trình sóng tổng hợp sử dụng trong cách 2 chính là hệ quả rút ra từ lí
thuyết thường dùng để giải nhanh các bài trắc nghiệm.
+ Mỗi cách giải có ưu và nhược điểm riêng nên tùy học sinh sẽ lựa chọn cho mình
cách giải phù hợp. Cụ thể:

9


Cách 1: việc viết phương trình sóng tại 1 điểm khi biết phương trình nguồn sóng sẽ
dễ dàng hơn cách nhớ biểu thức phương trình sóng tổng hợp của cách 2 và sử dụng
cho cả 2 nguồn khác biên độ
Nhược điểm : mất nhiều thời gian vì phải viết 2 phương trình rồi dùng máy tính
tổng hợp.
Cách 2
Ưu điểm : sử dụng phương trình nên sẽ nhanh hơn cách 1
Nhược điểm:công thức hơi dài nên khó nhớ, rất khó khăn cho các bạn có trí nhớ
không tốt và chỉ sử dụng cho 2 nguồn cùng biên độ.
Dạng II: Bài tập liên quan đến biên độ sóng tổng hợp
Dạng II.1: Tìm biên độ sóng tổng hợp
Cách giải:
- Viết phương trình sóng tại điểm cần xét do nguồn

1 truyền tới :


2πd1 
uAM = a1 cos ωt + ϕ1 −
÷
λ 


- Viết phương trình sóng tại điểm cần xét do nguồn 2 truyền tới:


2πd2 
uBM = a2 cos ωt + ϕ2 −
÷
λ 


Với aM, a1, a2 lần lượt là biên độ sóng tổng hợp, biên độ dao động của nguồn 1,
biên độ dao động nguồn 2
* Trường hợp 1: khi 2 nguồn khác biên độ
2
2
Áp dụng công thức tính biên độ sóng tổng hợp : aM = a1 + a2 + 2a1a2 cos∆ϕ

10


Với

∆ϕ = 2π

d2 − d1
+ ϕ1 − ϕ2
λ
là độ lệch pha 2 sóng truyền tới điểm cần tính biên độ

tổng hợp

* Trường hợp 2: khi 2 nguồn cùng biên độ a1=a2=a
Áp dụng công thức tính biên độ sóng tổng hợp :

aM = 2a cos(π

d2 − d1 ϕ1 − ϕ2
+
)
λ
2

Ví dụ 1: Trên mặt nước có hai nguồn A, B dao động lần lượt theo phương trình
uA = uB = cos(10πt ) cm. Tốc độ truyền sóng là 3 m/s. Điểm M cách các nguồn A,
B lần lượt 45 cm và 60 cm có biên độ dao động bằng bao nhiêu?
Giải: với a = 1cm ; ϕ1 = ϕ2 = 0 rad ; d1 = 45 cm; d2 = 60 cm
ω = 10π (rad/ s)  f = 5Hz 

Ta có :

aM = 2a cos(π

d2 − d1 ϕ1 − ϕ2
+
)
λ
2

λ=

=

v 3
= = 0,6m = 60cm
f 5

2.2 cos(π

60 − 45
1
) = 4cos π = 2 2
60
4
(cm)

Đáp số : 2 2 cm
Ví dụ 2: Trên mặt nước có hai nguồn A, B dao động lần lượt theo phương trình
uA = 2cos(40πt + ) cm; uB = 2cos(40πt - ) cm. Tốc độ truyền sóng là 40 cm/s.
Điểm M cách các nguồn A, B lần lượt 14 cm và 18 cm có biên độ dao động bằng
bao nhiêu?
Giải: với a = 2cm ;

ϕ1 =

π
π
ϕ2 = −
3 rad ;
3 rad ; d1 = 14 cm; d2 = 18 cm

ω = 40π (rad/ s)  f = 20Hz 

λ=

v 40
=
= 2(cm)
f 20

11


aM = 2a cos(π

Ta có :

d2 − d1 ϕ1 − ϕ2
+
)
λ
2

π π
+
18− 14 3 3
7
2.2 cos(π
+
) = 4cos π = 2
2
2

3

=

(cm)

Đáp số : 2cm
Ví dụ 3: Tại hai điểm A, B trong một môi trường truyền sóng hai nguồn sóng kết
hợp,

dao động cùng phương với phương trình lần lượt uA = acos(ωt) cm;

uB = acos(ωt + π) cm. Biết vận tốc và biên độ sóng do mỗi nguồn tạo ra không đổi

trong quá trình truyền sóng. Trong khoảng giữa A và B có giao thoa sóng do hai
nguồn trên gây ra. Tính biên độ của phần tử vật chất M là trung điểm của đoạn AB.
Giải: Với a1= a2 = a ; ϕ1 = 0 rad ; ϕ2 = π rad ; d1 = d2

Cách 1:

aM = 2a cos(π

∆ϕ = 2π

Cách 2:

d2 − d1 ϕ1 − ϕ2
+
)
λ

2

d2 − d1
+ ϕ1 − ϕ2
λ

Biên độ sóng tổng hợp :

π
2acos = 0
2
=

= π rad

aM = a12 + a22 + 2a1a2 cos∆ϕ

=

a2 + a2 + 2.a2.cos( π ) = a2 + a2 − 2a2 = 0

( cm)

Cách 3: Với a1= a2 = a; ϕ1 = 0 rad; ϕ2 = π rad => hai nguồn cùng biên độ ngược pha
nhau nên trung điểm của AB sẽ là điểm cực tiểu => biên độ tổng hợp aM = 0 cm
Nhận xét : Tìm biên độ tổng hợp ta thường sử dụng công thức tuy nhiên nếu điểm
khảo sát là trung điểm của đoạn thẳng nối hai nguồn, hai nguồn cùng biên độ, cùng
pha hoặc ngược pha thì ta có thể nhận xét giá trị biên độ tổng hợp mà không cần
bấm máy, cụ thể
12

+ hai nguồn cùng pha thì trung điểm là cực đại, biên độ 2a
+ hai nguồn ngược pha thì trung điểm là cực tiểu, biên độ 0
Ví dụ 4: Trên mặt nước có hai nguồn A, B dao động lần lượt theo phương trình
π
u
=
4
3cos(60
π
t
+
)
B
uB = 4cos(60πt) cm;
2 cm. Tìm biên độ sóng tổng hợp tại trung

điểm của AB.
Giải: Với a1= 4cm; a2= 4 3 cm , ϕ1 = 0 rad ;

ω = 60π (rad/ s)  f = 30Hz 

∆ϕ = 2π

d2 − d1
+ ϕ1 − ϕ2
λ

Biên độ sóng tổng hợp :

λ=

ϕ2 =

π
2 rad ; d1 = d2

v 48
=
= 1,6(cm)
f 30

π
= 2

a = a12 + a22 + 2a1a2 cos∆ϕ

=

( )

2
π
42 + 4 3 + 2.4.4 3.cos ÷
 2  = 8 ( cm)

Đáp số : 8cm
Dạng II.2 : Xác định các đại lượng khi biết biên độ sóng tổng hợp
Cách giải:

- Nhận xét biên độ dao động của các nguồn
- Sử dụng các công thức tìm biên độ sóng tổng hợp
* Trường hợp 1: khi 2 nguồn khác biên độ

aM = a12 + a22 + 2a1a2 cos∆ϕ

13


∆ϕ = 2π

d2 − d1
+ ϕ1 − ϕ2
λ
là độ lệch pha 2 sóng truyền tới điểm cần tính biên độ tổng

hợp
* Trường hợp 2: khi 2 nguồn cùng biên độ a1 = a2 = a
Biên độ sóng tổng hợp :

aM = 2a cos(π

d2 − d1 ϕ1 − ϕ2
+
)
λ
2

- Biến đổi toán học tìm ra đại lượng cần xác định
Ví dụ 1: Trên mặt nước có hai nguồn A, B dao động lần lượt theo phương trình u A

= acos(ωt) cm; uB = acos(ωt + π/2) cm với bước sóng λ = 3 cm. Điểm M trong
vùng giao thoa dao động với biên độ cực tiểu. Biết M cách cách nguồn A, B lần
lượt d1 và d2. Tìm mối liên hệ giữa d1 và d2 .
Giải:
Cách 1: Hai nguồn cùng biên độ

aM = 2a cos(π

cos(π

Điểm M có biên độ cực tiểu khi



π

d2 − d1 ϕ1 − ϕ2
+
)
λ
2

2a cos(π

=

d2 − d1 π
− )
3
4

d2 − d1 π
− ) =0
3
4

d2 − d1 π π
− = + kπ
3
4 2
 d2- d1 = 2,25 + 3k

với k = 0; ± 1;….

Cách 2 : Từ lí thuyết ta đã chứng minh được điều kiện để có cực tiểu là

ϕ −ϕ
1
d2 − d1 = (k + )λ + 2 1 λ
2
2π

14


π
π
1
1
d2 − d1 = (k + ).3+ 2 .3 = (k + )3+ 2 .3 = 3k + 2,25

2
2π =
2
2π
=>
với k = 0; ± 1;….

Đáp án : d2- d1 = 2,25 + 3k

với k∈Z

Nhận xét : Công thức sử dụng trong cách 2 chính là công thức hệ quả rút ra khi
làm cách 1 và thường dùng để làm nhanh bài tập trắc nghiệm.
Ví dụ 2: Trong giao thoa sóng cơ, hai nguồn dao động với các phương trình

u 1 = 2 cos(10πt + ϕ1 ) cm


π
u 2 = 2 3 cos(10πt + 3 ) cm
.

Cho v = 30 cm/s, điểm M cách các nguồn lần lượt 8,25 cm và 8,75 cm có biên độ
tổng hợp là 2 7 cm. Tìm giá trị của ϕ1 .
Giải:
Vì hai nguồn khác biên độ nên ta có

aM = a12 + a22 + 2a1a2 cos∆ϕ

Với a1= 2cm; a2= 2 3 cm; aM = 2 7 cm;

ω = 10π (rad/ s)  f = 5Hz 

Ta có :

hay

2π

cos∆ϕ =

λ=

ϕ2 =

π
3 rad; d1 = 8,25 cm; d2 = 8,75cm

v 30
=
= 6(cm
f
5

3
π
∆ϕ = + k2π
2 
6

0,5
π π
π π
+ ϕ1 − = + k2π
ϕ1 − = + k2π
6
3 6
6 6
< =>



ϕ1 =

π
+ k2π
3

15


Đáp án :

ϕ1 =

π
+ k2π
3
với k∈Z

Chú ý : nếu ví dụ trên được cho dưới dạng trắc nghiệm với 4 đáp án thì ta có thể
giải theo cách sau
Vì hai nguồn khác biên độ ta có
aM = a12 + a22 + 2a1a2 cos∆ϕ

=

 d −d ϕ −ϕ 
a12 + a12 + 2.a1.a2.cos 2π 2 1 + 1 2 ÷
λ
2 



π
ϕ1 − ÷

8,75− 8,25
3÷
22 + 2 3 + 2.2.2 3.cos 2π
+
6
2

÷
÷


=

( )

2

Thế các đáp án vào, đáp án nào cho aM = 2 7 cm thì nhận => Đáp án cần chọn
Ví dụ 3 : Tại hai điểm A và B trên mặt nước nằm ngang có hai nguồn sóng cơ kết
hợp, dao động theo phương thẳng đứng, cùng biên độ. Biết vận tốc và biên độ sóng
do mỗi nguồn tạo ra không đổi trong quá trình truyền sóng. Trong khoảng giữa A
và B có giao thoa sóng do hai nguồn trên gây ra. Tính độ lệch pha của hai nguồn
trong các trường hợp sau :
a. các phần tử nước thuộc trung trực của AB dao động với biên độ cực đại.
b. các phần tử nước thuộc trung trực của AB dao động với biên độ cực tiểu.
Giải :
Hai nguồn cùng biên độ, gọi M là điểm thuộc trung trực của AB
Ta có

aM = 2a cos(π

d2 − d1 ϕ1 − ϕ2
+
)
λ
2

16


a. các phần tử nước thuộc trung trực của AB dao động với biên độ cực đại.
cos(

Ta có d1 = d2 ; aM =2a 

ϕ1 − ϕ2
) = ±1
2

ϕ1 − ϕ2
= kπ
 2
 ϕ1 − ϕ2 = k2π (k∈Z)

 hai nguồn sóng dao động cùng pha
b. các phần tử nước thuộc trung trực của AB dao động với biên độ cực tiểu.
cos(

Ta có d1 = d2 ; aM = 0 

ϕ1 − ϕ2
) =0
2

ϕ1 − ϕ2 π
= + kπ
2
 2
 ϕ1 − ϕ2 = (2k + 1)π

(k∈Z)  hai nguồn sóng dao động ngược pha
Nhận xét: ví dụ trên đã chứng minh cho ta thấy vì sao nếu hai nguồn cùng pha thì
trung trực là đường cực đại; còn nếu hai nguồn ngược pha thì trung trực là đường

cực tiểu.
Dạng III : Số điểm dao động với biên độ cực đại, cực tiểu
Dạng III.1 : Số điểm dao động với biên độ cực đại, cực tiểu trên đoạn
thẳng nối 2 nguồn
Cách giải:
- Xác định điều kiện về hiệu đường truyền để có cực đại, cực tiểu
Cực đại :

d2 − d1 = kλ +

ϕ2 − ϕ1
λ
2π
(k∈Z) (1)

ϕ −ϕ
1
d2 − d1 = (k + )λ + 2 1 λ
2
2π
Cực tiểu :
(2)

- Hạn chế điều kiện của d2 - d1 thuộc AB ta được: - AB < d2 - d1 < AB
- Từ đó suy ra số điểm dao động cực đại, cực tiểu trên đường thẳng nối 2 nguồn
A,B là số giá trị k nguyên thỏa mãn biểu thức (1), (2).
* Trường hợp 1: Hai nguồn dao động cùng pha:
+ Điểm cực đại: d2 – d1 = kλ (k∈Z)
Mặt khác : −AB < kλ < AB
17

⇒ Số đường hoặc số điểm cực đại :

−AB
AB
λ
λ

+ Điểm cực tiểu (không dao động): d1– d2 = (2k
⇒ Số điểm (không tính 2 nguồn):

λ
+1) 2 =

(k

1
)λ
+2

(k∈Z)

−AB 1
AB 1
− −
λ
2

λ 2

* Trường hợp 2: Hai nguồn dao động ngược pha: ∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 = (2k + 1)π
+ Điểm cực đại : d2 – d1 =

λ
(2k+1) 2 =

(k

1
)λ
+2

(k∈Z)

⇒ Số điểm (không tính 2 nguồn):

−AB 1
AB 1
− −
λ
2
λ
2

+ Điểm cực tiểu (không dao động):

d1 – d2 = kλ (k∈Z)

⇒ Số đường hoặc số điểm (không tính hai nguồn):

*Trường hợp 3: Hai nguồn dao động vuông pha:

+ Điểm cực đại :

d2 − d1 = (4k − 1)

λ
4

⇒ Số điểm (không tính 2 nguồn):

+ Điểm cực tiểu (không dao động):

−AB
AB
λ
λ

∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 = (2k + 1)

π
2

(k∈Z)
−

AB 1
AB 1
+ < k<
+
λ 4
λ 4

d2 − d1 = (4k + 1)

⇒ Số đường hoặc số điểm (không tính hai nguồn):

λ
4

−

AB 1
AB 1
− < k<
−
λ 4
λ 4

Trong trường hợp này số điểm cực đại và cực tiểu trên đoạn AB là bằng nhau.
* Trường hợp tổng quát
−

+ Số điểm cực đại (không tính 2 nguồn):
+ Số điểm cực tiểu (không tính 2 nguồn):

−

AB ϕ2 − ϕ1
AB ϕ2 − ϕ1
−
< k<
−
λ
2π
λ
2π

AB 1 ϕ2 − ϕ1
AB 1 ϕ2 − ϕ1
− −
< k<
− −
λ 2
2π
λ 2
2π

18


Chú ý : Cách làm nhanh chỉ áp dụng cho 2 nguồn cùng pha hoặc ngược pha:
Ta lấy: S1S2/λ = m,p (m nguyên dương, p phần sau dấu phẩy)
Với hai nguồn cùng pha
S S 
2 1 2  + 1

Số cực đại: Ncđ = 2m +1 hay Ncđ =  λ 
S S 
2 1 2 
Số cực tiểu : + Nếu p <5 thì số cực tiểu Nct = 2m hay Ncđ =  λ 
S S 
2 1 2  + 2
+ Nếu p > 5 thì số cực tiểu Nct = 2m+2 hay Ncđ =  λ 

Nếu hai nguồn dao động ngược pha thì làm ngược lại.

Ví dụ 1: Ở mặt nước nằm ngang có hai nguồn phát sóng kết hợp S 1 và S2 cách
nhau 16 cm. Hai nguồn này dao động theo phương thẳng đứng có phương
trình lần lượt là u1 = u2 = 2cos20πt (cm). Tốc độ truyền sóng trên mặt chất
lỏng là 60 cm/s. Không tính hai nguồn, tìm số điểm dao động với biên độ cực
đại, biên độ cực tiểu trên đoạn thẳng S1S2.
Giải: ω = 20π (rad/ s)  f = 10Hz 

λ=

v 60
=
= 6(cm)
f 10
; S1S2 = 16cm

Vì 2 nguồn cùng pha nên :
Cách 1: Số điểm cực đại :

−S1S2
SS

λ
λ

hay −2,67 < k < 2,67

 k = 0; ±1; ±2  có 5 cực đại
Số điểm cực tiểu :

−S1S2 1
SS 1
− λ
2
λ
2

hay −3,16 < k < 2,16

k = 0; ±1; ±2; −3  có 6 cực tiểu

Đáp án: có 5 cực đại và 6 cực tiểu
19


S1S2 16
=
≈ 2,67
λ
6

Cách 2: Ta có
S S 
 16
2 1 2  + 1 2  + 1
Số cực đại: Ncđ =  λ 
=  6  =2.2 + 1 = 5
S S 
2 1 2 
Vì p > 5 nên số cực tiểu : Ncđ =  λ  +2 = 2.2+2 = 6

Đáp án: có 5 cực đại và 6 cực tiểu
Nhận xét : cách 2 làm nhanh hơn nhưng học sinh khó nhớ công thức và dễ nhầm
lẫn khi tính, trong khi đó cách 1 tuy lâu hơn một chút nhưng dễ nhớ và học sinh ít
nhầm lẫn nên học sinh thường lựa chọn cách 1 để làm.
Ví dụ 2: Ở mặt nước nằm ngang có hai nguồn phát sóng kết hợp S 1 và S2 cách
nhau 20 cm. Hai nguồn này dao động theo phương thẳng đứng có phương
trình lần lượt là u1 = 5cos40πt (mm) và u2 = 5cos(40πt + π) (mm). Tốc độ
truyền sóng trên mặt chất lỏng là 80 cm/s. Không tính hai nguồn, tìm số điểm
dao động với biên độ cực đại, biên độ cực tiểu trên đoạn thẳng S1S2.
Giải: ω = 40π (rad/ s)  f = 20Hz 

λ=

v 80
=
= 4(cm)
f 20
; S1S2 = 20cm

Vì 2 nguồn ngược pha nên :

Cách 1: Số điểm cực đại :

−S1S2 1
SS 1
− λ
2
λ
2

hay −5,5 < k < 4,5

 k = 0; ±1; ±2; ±3; ±4; −5  có 10 cực đại

Số điểm cực tiểu :

−S1S2
SS
λ
λ

hay −5 < k < 5

k = 0; ±1; ±2; ±3; ±4; ±5  có 11 cực tiểu

20


S1S2 20

=
=5
λ
4
Cách 2: Ta có
S S 
2 1 2  + 1
Số điểm cực tiểu Nct =  λ 
=2.5+1=11
S S 
2 1 2 
Vì p < 5 nên số điểm cực đại Ncđ =  λ  =2.5 = 10

Đáp án: có 10 cực đại và 11 cực tiểu
Ví dụ 2: Hai mũi nhọn S1, S2 cách nhau một khoảng d = 8,6 cm, dao động với
phương trình u1 = acos(100πt) cm, u2 = acos(100πt + π/2) cm. Tốc độ truyền sóng
trên mặt nước là v = 40 cm/s. Tìm số các gợn lồi trên đoạn S1, S2.
Giải: ω = 100π (rad/ s)  f = 50Hz 

λ=

v 40
=
= 0,8(cm)
f 50
; S1S2 = 8,6cm

Tìm số gợn lồi chính là tìm số điểm trên đoạn S1S2 dao động với biên độ cực đại.
Vì 2 nguồn vuông pha nên :
Số điểm cực đại = Số điểm cực tiểu :

−S1S2 1
SS 1
− λ
4
λ
4

hay −11< k < 10,5

 k = 0; ±1; ±2; ±3; ±4; ±5; ±6; ±7; ±8; ±9; ±10; −11  có 22 gợn lồi trên đoạn S1S2
Đáp án: có 22 gợn lồi
Dạng III.2 : Số điểm dao động với biên độ cực đại, cực tiểu trên đoạn
thẳng bất kì
Cách giải:
- Xác định điều kiện về hiệu đường truyền để có cực đại, cực tiểu
Cực đại :

d2 − d1 = kλ +

ϕ2 − ϕ1
λ
2π
(k∈Z)

ϕ −ϕ
1
d2 − d1 = (k + )λ + 2 1 λ
2

2π
Cực tiểu :

21


- Số điểm (đường) dao động cực đại, cực tiểu trên đoạn thẳng CD bất kì thỏa mãn :
∆dC ≤ d2 − d1 ≤ ∆dD

Với ∆dC = d2C – d1C ; ∆dD = d2D – d1D , giả sử: ∆dC < ∆dD

+ Nếu tìm số cực đại ta có :

+Nếu tìm số cực tiểu ta có :

∆dC ≤ kλ +

ϕ2 − ϕ1
λ ≤ ∆dD
2π

(3)

ϕ −ϕ
1
∆dC ≤ (k + )λ + 2 1 λ ≤ ∆dD
2
2π
(4)

- Từ đó suy ra số điểm dao động cực đại, cực tiểu trên đoạn thẳng CD bất kì là các
giá trị nguyên của k thỏa mãn biểu thức (3),(4).
Chú ý: các trường hợp đặc biệt
* Hai nguồn dao động cùng pha:
+ Cực đại: ∆dC ≤ kλ    ≤ ∆dD              

vì cực đại d2 − d1 = kλ )


1
d2 − d1 =  k + ÷λ
2

+ Cực tiểu: ∆dC ≤ (k+0,5)λ    ≤ ∆dD               vì cực tiểu
* Hai nguồn dao động ngược pha:

1
d2 − d1 =  k + ÷λ
2

+ Cực đại: ∆dC ≤ (k+0,5)λ    ≤ ∆dD               vì cực tiểu
+ Cực tiểu: ∆dC ≤ kλ    ≤ ∆dD              

vì cực tiểu d2 − d1 = kλ

Số giá trị nguyên của k thoả mãn các biểu thức trên là số đường cần tìm.
* Nếu C hoặc D trùng với nguồn thì không dùng dấu BẰNG (chỉ dùng dấu < ). Vì
nguồn là điểm đặc biệt không phải là điểm cực đại hoặc cực tiểu!
Ví dụ 1 : Ở mặt thoáng của một chất lỏng có hai nguồn kết hợp A và B cách nhau
20(cm) dao động theo phương thẳng đứng với phương trình uA = 2cos40πt và

uB = 2cos(40πt + π) ( u và u tính bằng mm, t tính bằng s ). Biết tốc độ truyền
A
B

22


sóng trên mặt chất lỏng là 30(cm/s). Xét hình vuông ABCD thuộc mặt chất lỏng.
Tính số điểm dao động với biên độ cực đại, cực tiểu trên đoạn BD.
Giải :
+ Hai nguồn ngược pha, tìm số điểm cực đại trên BD nên ta có
∆dB ≤ (k+0,5)λ    ≤ ∆dD   

 d2B − d1B < (k+0,5)λ    ≤ d2D − d1D              

A

 BB − AB < (k + 0,5)λ ≤ BD − AD 
Với BD = AD 2 + AB 2 = 20 2(cm) ω = 40π (rad / s ) ⇒ T =

C

D

B

O

2π
2π

=
= 0, 05( s )
ω 40π

λ = v.T = 30.0, 05 = 1,5cm

Thay số : −20 < (k + 0,5)1,5 ≤ 20 2 − 20  −13,8 < k ≤ 5,02
 k = −13; −12;.....; −1;0;1;2;3;4;5
Vậy có 19 điểm cực đại trên đoạn BD.
+ Hai nguồn ngược pha, tìm số điểm cực tiểu trên BD nên ta có ∆dB ≤ kλ    ≤ ∆dD   
 BB − AB < kλ ≤ BD − AD   −20 < k.1,5 ≤ 20 2 − 20 −13,3 < k ≤ 5,52
 k = −13; −12;.....; −1;0;1;2;3;4;5
Đáp án : có 19 điểm cực tiểu trên đoạn BD.
Ví dụ 2 : Tại mặt nước nằm ngang có hai nguồn kết hợp S 1 và S2 cách nhau 18cm
π
u1 = acos(40πt + )
6
dao động theo phương thẳng đứng với phương trình

và

π
u2 = acos(40πt + )
2 ( u1 và u2 tính bằng mm, t tính bằng s ). Biết tốc độ truyền sóng

23


trên mặt chất lỏng là 120cm/s. Gọi A, B là hai điểm trên mặt nước sao cho ABS 1S2
là hình vuông. Tính số đường dao động với biên độ cực tiểu trên đoạn AB.

Giải :
Theo đề bài ω = 40π (rad/ s)  f = 20Hz 

ϕ1 =

λ=

B

A

S1

S2

v 120
=
= 6(cm
f 20

π
π
π
∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 =
ϕ2 =
3 ( hai nguồn lệch pha nhau góc bất kì )
6 ;
2 rad =>

ϕ −ϕ

1
1
π
1
d2 − d1 = (k + )λ + 2 1 λ
(k + ).6 +
.6 = 6(k + )
2
2π
2
3.2π
3
=

Tìm số đường dao động với biên độ cực tiểu trên đoạn AB nên ta có :
∆dA ≤ d2 − d1 ≤ ∆dB

 d2A − d1A ≤ d2 − d1 ≤ d2B − d1B

 S2A − S1A ≤ d2 − d1 ≤ S2B − S1B
Với

2
2
2
2
S1B = S2A = 18cm S1A = S2B = (S1B) + (S1S2) = 18 + 18 = 18 2cm

;

1
18− 18 2 ≤ 6(k + ) ≤ 18 2 − 18
3
Thay số ta được
 −1,57 ≤ k ≤ 0,9

=> k = −1;0 . Vậy có 2 đường dao động cực tiểu trên đoạn AB
Đáp án : có 2 đường dao động cực tiểu trên đoạn AB
Dạng III.3 : Số điểm dao động với biên độ cực đại, cực tiểu trên đường
tròn
Cách giải:
- Xác định điều kiện về hiệu đường truyền để có cực đại, cực tiểu

24


Cực đại :

d2 − d1 = kλ +

ϕ2 − ϕ1
λ
2π
(k∈Z)

ϕ −ϕ
1
d2 − d1 = (k + )λ + 2 1 λ
2
2π

Cực tiểu :

Gọi C, D là giao điểm của đường tròn với đường thẳng nối 2 nguồn
- Số đường dao động cực đại, cực tiểu trên đường tròn thỏa mãn:
∆dC ≤ d2 − d1 ≤ ∆dD
Với ∆dC = d2C – d1C ; ∆dD = d2D – d1D , giả sử: ∆dC < ∆dD
+ Nếu tìm số cực đại ta có :

+Nếu tìm số cực tiểu ta có :

∆dC ≤ kλ +

ϕ2 − ϕ1
λ ≤ ∆dD
2π

ϕ −ϕ
1
∆dC ≤ (k + )λ + 2 1 λ ≤ ∆dD
2
2π

(3)

(4)

Số giá trị nguyên của k thoả mãn các biểu thức (3),(4) là số đường cần tìm.
Số điểm cực đại hay cực tiểu trên đường tròn là 2k
Nếu giải các biểu thức trên mà dấu bằng xảy ra , thì số điểm cực đại hay cực tiểu
trên đường tròn 2k-2. Ví dụ −2 ≤ k ≤ 2 => k = ±2,±1,0 => có 5 đường cực đại

( hoặc cực tiểu ) cắt đường tròn nhưng chỉ có 8 điểm cực đại trên đường tròn
Chú ý: các trường hợp đặc biệt hay gặp
* Nếu đường tròn có tâm là trung điểm của đoạn thẳng nối hai nguồn thì ta có
Giả sử: ∆dC < ∆dD thì ∆dC = d2C – d1C = -2R; ∆dD = d2D – d1D = 2R
+ Nếu tìm số cực đại ta có :

−2R ≤ kλ +

ϕ2 − ϕ1
λ ≤ 2R
2π

25