Phương pháp tính ngược từ cuối trong việc giải một số dạng toán bậc Tiểu học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC
======

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO

PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC
TỪ CUỐI TRONG VIỆC GIẢI
MỘT SỐ DẠNG TỐN BẬC TIỂU HỌC

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giáo dục Tiểu học

HÀ NỘI - 2017


LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn các giảng viên và các bạn sinh viên khoa Giáo dục
Tiểu học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã động viên, giúp đỡ để em có
được điều kiện tốt nhất trong q trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp. Đặc
biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào đã định
hướng chọn đề tài và tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hồn thành tốt khóa luận
này.
Lần đầu tiên thực hiện cơng tác nghiên cứu khoa học, nên khóa luận khơng
tránh khỏi những hạn chế và cịn những thiếu sót nhất định. Em xin chân
thành cảm ơn đã nhận được những ý kiến đóng góp của các giảng viên và các
bạn sinh viên khoa Giáo dục Tiểu học để hồn thành khóa luận như hiện tại.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Phương Thảo


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, khóa luận tốt
nghiệp “Phương pháp tính ngược từ cuối trong việc giải một số dạng tốn
bậc Tiểu học” được hồn thành theo sự nhận thức vấn đề của riêng tác giả,
khơng trùng với bất kì khóa luận nào khác.
Trong q trình làm khóa luận, tơi đã kế thừa những thành tựu của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Phương Thảo


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1 Lý do chọn đề tài ............................................................................................ 1
2 Mục đích nghiên cứu ...................................................................................... 2
3 Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................... 2
4 Khách thể nghiên cứu..................................................................................... 2
5 Đối tượng nghiên cứu..................................................................................... 2
6 Phương pháp nghiên cứu................................................................................ 2
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI ................................................... 3
1.1 Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học về môn Tốn ........................... 3
1.2 Vai trị và vị trí của việc giải toán trong dạy và học toán ........................... 5
1.2.1 Một số phương pháp giải toán thường dùng ở Tiểu học.......................... 5

1.2.2 Tầm quan trọng của việc lựa chọn phương pháp giải toán trong dạy học
toán .................................................................................................................... 6
1.2.3 Ưu điểm của việc ứng dụng phương pháp tính ngược từ cuối trong giải
toán bậc Tiểu học .............................................................................................. 7
1.2.4 Nhược điểm của việc ứng dụng phương pháp tính ngược từ cuối trong
giải tốn bậc Tiểu học ....................................................................................... 7
Kết luận chương 1 ............................................................................................. 9
Chương 2. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI TRONG VIỆC GIẢI
MỘT SỐ DẠNG TỐN BẬC TIỂU HỌC .................................................... 10
2.1 Quy trình chung thực hiện việc giải bài toán ............................................ 10
2.2 Về dạng các bài tốn tính ngược từ cuối................................................... 11
2.2.1 Khái niệm phương pháp tính ngược từ cuối .......................................... 11
2.2.2 Việc sử dụng phương pháp tính ngược từ cuối ở Tiểu học ................... 12
2.3 Phương pháp tính ngược từ cuối trong việc giải một số dạng toán bậc Tiểu
học ................................................................................................................... 15


2.3.1 Ứng dụng phương pháp tính ngược từ cuối để giải các bài toán số học 15
2.3.2 Ứng dụng phương pháp tính ngược từ cuối để giải bài tốn có lời văn 19
2.3.3 Ứng dụng phương pháp tính ngược từ cuối để giải bài tốn tính ngược
từ cuối gộp. ...................................................................................................... 26
2.3.4 Ứng dụng phương pháp tính ngược từ cuối để giải bài toán vui và toán
cổ. .................................................................................................................... 35
2.4 Một số đề xuất trong việc giải bài tốn tính ngược từ cuối ...................... 42
2.4.1 Những đề xuất liên quan đến phương pháp dạy học tính ngược từ cuối
......................................................................................................................... 43
2.4.2 Những đề xuất giúp giáo viên và học sinh khắc phục những khó khăn và
sai lầm thường gặp trong q trình giải tốn bằng phương pháp tính ngược từ
cuối .................................................................................................................. 43
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 46

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 47


MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài. Bậc Tiểu học là một bậc học quan trọng, nó được coi là
một bậc học nền tảng trong hệ thống giáo dục quốc dân, với mục tiêu nhằm
giúp cho học sinh hình thành những cơ sở ban đầu cho sự phát triển đúng đắn,
lâu dài về trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ, kỹ năng cơ bản để các em tiếp tục học
Trung học cơ sở. Để thực hiện được mục tiêu đó của nền giáo dục, bậc Tiểu
học đã có sự đổi mới như nội dung ngày càng hiện đại, tính hệ thống ngày
càng cao, vấn đề đưa ra ngày càng sâu rộng còn phương pháp dạy học ngày
càng phong phú, đa dạng theo hướng tích cực hóa hoạt động của học sinh.
Các kiến thức của mơn Tốn có nhiều ứng dụng trong đời sống và rất cần
thiết cho người lao động. Môn Tốn đóng vai trị quan trọng trong việc hình
thành và phát triển trí tuệ, tư duy lơgic, sáng tạo, bồi dưỡng trí thơng minh
cho học sinh. Đồng thời, nó góp phần hình thành các phẩm chất cần thiết của
người lao động: cần cù, kiên trì, có ý chí vượt khó.
Ở Tiểu học, mức độ khó của bài tốn được nâng cao dần cho phù hợp với
trình độ của các em, giúp cho các em làm quen được với nhiều dạng bài khác
nhau từ dễ đến khó. Có rất nhiều phương pháp giải tốn và có những bài tốn
được giải bằng nhiều phương pháp khác nhau, nhưng cũng có bài phải dùng
phương pháp đặc trưng thì mới giải được.
Phương pháp tính ngược từ cuối là một trong những phương pháp điển hình,
một cơng cụ có hiệu quả để giải những bài tốn có lời văn ở lớp 4,5. Khi giải
bằng phương pháp này địi hỏi người học phải có trí tưởng tượng phong phú
và phải biết vận dụng một cách linh hoạt.
Cùng với việc nâng cao chất lượng giáo dục thì việc bồi dưỡng học sinh giỏi
ở Tiểu học rất quan trọng. Để trình độ tư duy, óc sáng tạo, trí lực học tập, trí
thơng minh của học sinh đặc biệt là học sinh lớp 4, 5, các thầy cô giáo phải
tìm cho mình các phương pháp bồi dưỡng học sinh hợp lý, trong đó khơng thể

1


khơng kể đến phương pháp tính ngược từ cuối. Tuy nhiên, phương pháp này
hiện nay chưa được quan tâm, tìm hiểu và vận dụng một cách linh hoạt trong
dạy học. Theo tôi, phương pháp này giúp học sinh phát huy cao độ trí tưởng
tượng và tư duy lơgic. Hơn nữa, là một giáo viên trong tương lai, tôi thấy việc
nghiên cứu các phương pháp giải toán, đặc biệt là phương pháp tính ngược từ
cuối và những dạng tốn có thể giải bằng phương pháp tính ngược từ cuối rất
có ý nghĩa, vì nó giúp tơi hiểu rõ phương pháp này có thể giúp cho học sinh
của mình vận dụng linh hoạt trong việc giải tốn. Do vậy, tơi quyết định chọn
đề tài “Phương pháp tính ngược từ cuối trong việc giải một số dạng tốn
bậc Tiểu học”.
2 Mục đích nghiên cứu. Mục đích nghiên cứu của đề tài là làm rõ cơ sở lý
luận của việc ứng dụng phương pháp tính ngược từ cuối để giải một số dạng
tốn trong nhà trường Tiểu học. Qua đó, góp phần nâng cao hiệu quả của việc
dạy và học giải toán ở bậc Tiểu học.
3 Nhiệm vụ nghiên cứu. Nghiên cứu cơ sở lý luận của việc ứng dụng phương
pháp tính ngược từ cuối để giải một số dạng toán bậc Tiểu học.
Nghiên cứu các dạng bài tập có thể áp dụng phương pháp tính ngược từ cuối.
Đề xuất một số phương hướng nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và
học trong q trình giải tốn bằng phương pháp tính ngược từ cuối.
4 Khách thể nghiên cứu. Một số phương pháp giải toán ở bậc Tiểu học
5 Đối tượng nghiên cứu. Một số dạng tốn giải bằng phương pháp tính
ngược từ cuối bậc Tiểu học
6 Phương pháp nghiên cứu. Phương pháp quan sát
Phương pháp tổng hợp
Phương pháp phân tích
Phương pháp nghiên cứu tài liệu

Phương pháp xử lý thông tin.

2


Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
1.1 Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học về mơn Tốn. Đời sống tâm
lí của học sinh tiểu học có những biến đổi và làm nên “chất tiểu học” trong
mỗi học sinh. Trong ba mặt của đời sống tâm lí con người gồm nhận thức,
tình cảm, hành động thì nhận thức là tiền đề của hai mặt kia và chúng có mối
quan hệ biện chứng với nhau cũng như các hiện tượng tâm lí khác. Hoạt động
nhận thức là hoạt động mà kết quả là con người có được các tri thức, hiểu biết
về thế giới xung quanh, về bản thân mình để tỏ thái độ và tiến hành các hoạt
động khác một cách có hiệu quả.
Nhận thức của học sinh tiểu học được chia thành hai giai đoạn lớn là nhận
thức cảm tính và nhận thức lí tính. Nhìn chung ở học sinh Tiểu học, hệ thống
tín hiệu thứ nhất còn chiếm ưu thế, các em rất nhạy cảm với các tác động bên
ngoài. Tuy nhiên ở giai đoạn cuối bậc tiều học thì hệ thống tín hiệu thứ hai đã
phát triển nhưng còn ở mức độ thấp.
Tri giác của học sinh tiểu học mang tính khơng chủ định, tính xúc cảm và tính
chất đại thể. Khả năng tri giác của học sinh tiểu học phụ thuộc vào chính đối
tượng, cái trực quan,cái sinh động được tri giác rõ ràng hơn những hình ảnh
tượng trưng sơ lược. Sự phân tích một cách có mục đích, có tổ chức sâu sắc ở
các em còn non yếu. Ở các lớp đầu tiểu học, tri giác của các em thường gắn
với hành động và hoạt động thực tiễn. Tri giác không gian và thời gian của
các em còn hạn chế. Tuy nhiên, tri giác của các em phát triển trong suốt quá
trình học tập, sự phát triển này diễn ra theo hướng ngày càng chính xác hơn,
đầy đủ hơn, mang tính mục đích và có phương hướng rõ ràng bởi được hướng
dẫn bằng các hoạt động nhận thức khác.

Đặc điểm nổi bật trong tư duy của học sinh tiểu học là chuyển từ trực quan cụ
thể sang trừu tượng khái quát. Đó là kết quả của quá trình học sinh tiếp xúc

3


với thực tế, trao đổi với xã hội và học tập mà đặc biệt là hoạt động học tập
trong trường. Các thao tác phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái
qt hóa của học sinh được hình thành và phát triển.
Tưởng tượng của học sinh tiểu học được hình thành và phát triển trong hoạt
động học tập và các hoạt động khác của các em. Khuynh hướng tưởng tưởng
ở học sinh là tiến dần đến phản ánh một cách đúng đắn và đầy đủ hiện thực
khách quan trên cơ sở những tri thức tương ứng. Hình ảnh tưởng tượng trở
nên trọn vẹn hơn, phân biệt hơn bởi số lượng chi tiết nhiều hơn và sự sắp xếp
chúng càng chặt chẽ hơn, có lí hơn.
Chú ý khơng chủ định được phát triển mạnh và chiếm ưu thế ở học sinh tiểu
học. Chú ý của học sinh tiểu học chưa bền vững, nhất là học sinh lớp đầu tiểu
học. Do thiếu khả năng tổng hợp nên sự chú ý của học sinh cịn phân tán, lại
thiếu khả năng phân tích nên dễ bị lơi cuốn vào hình ảnh trực quan gợi cảm.
Sự chú ý của học sinh thường hướng ra hoạt động bên ngồi chứ khơng có
khả năng hướng vào bên trong, vào tư duy và hoạt động trí óc. Chú ý có chủ
định được phát triển cùng với sự phát triển của động cơ học tập mang tính
chất xã hội cao và sự phát triển của ý thức với kết quả học tập.
Như vậy khả năng nhận thức của học sinh tiểu học ln hình thành, biến đổi
và phát triển qua từng lớp của cấp học. Vì vậy trong dạy học nói chung và dạy
học tốn nói riêng, để đạt được kết quả giáo dục tối ưu nhất ta cần căn cứ vào
đặc điểm nhận thức của học sinh đã nêu và con đường chân lí mà Lê-nin đã
nêu: “Từ trực quan sinh động tới tư duy trừu tượng, từ tư duy trừu tượng quay
trở lại thực tiễn”. Quá trình hướng dẫn học sinh gải tốn cần sử dụng phương
pháp trực quan hợp lí để thu hút sự chú ý của học sinh, giúp học sinh tiểu

được bản chất của bài toán, biết giải bài toán một cách khoa học, logic và phát
triển khả năng tư duy của học sinh.

4


1.2 Vai trị và vị trí của việc giải tốn trong dạy và học toán. Trong dạy
học toán bậc Tiểu học, giải tốn có một vị trí quan trọng. Khi giải tốn học
sinh phải tư duy một cách tích cực và linh hoạt huy động thích hợp các kiến
thức đã có vào các bài tập khác nhau, giúp cho học sinh suy nghĩ năng động
sáng tạo trong các trường hợp cần phát hiện ra dữ kiện chưa được nêu ra một
cách tường minh. Do đó việc giải tốn là trung tâm của việc dạy và học tốn.
Vai trị của việc giải toán trong dạy và học toán
i ) Dạy học giải toán ở tiểu học giúp học sinh luyện tập, củng cố, vận dụng

những kiến thức và thao tác thực hành đã học, rèn luyện kĩ năng tính tốn, tập
dượt vận dụng kiến thức và rèn luyện kĩ năng thực hành vào thực tiễn.
ii) Quan việc học giải toán, giáo viên giúp học sinh từng bước phát triển

năng lực tư duy, rèn luyện phương pháp và kĩ năng suy luận, tập dượt khả
năng phỏng đốn, quan sát, tìm tịi
iii ) Qua giải tốn, học sinh rèn luyện những đức tính và phong cách làm việc

của người lao động mới như thói quen xét đốn có căn cứ, phân tích tư duy
logic, tính cẩn thận, kiên trì và khả năng suy nghĩ độc lập, linh hoạt, xây dựng
lịng ham thích, sáng tạo ở nhiều mức độ khác nhau.
1.2.1 Một số phương pháp giải toán thường dùng ở Tiểu học. Trong hoạt
động giải tốn, học sinh Tiểu học cần có các kĩ năng cơ bản là nhận dạng bài
toán và lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Các bài toán khác nhau ở bậc
Tiểu học thì được lựa chọn và sử dụng các phương pháp giải khác nhau.

Thông thường, phương pháp được lựa chọn sẽ là phương pháp tối ưu nhất
trong hệ thống phương pháp giải toán ở Tiểu học.
Một số phương pháp giải các bài tốn có lời văn đối với diện học sinh đại trà
cũng như nâng cao ở Tiểu học như: phương pháp sơ đồ đoạn thẳng, phương
pháp rút về đơn vị, phương pháp chia tỉ lệ, phương pháp thử chọn, phương
pháp khử, phương pháp giải thiết tạm, phương pháp thay thế, phương pháp

5


tính ngược từ cuối, phương pháp diện tích, phương pháp suy luận đơn giản,
phương pháp ứng dụng nguyên lí Dirichlet, phương pháp dùng chữ thay số,
phương pháp lập bảng, phương pháp biểu đồ Ven, phương pháp lựa chọn tình
huống.
Mỗi phương pháp trên đều có những đặc điểm riêng, phạm vi áp dụng và ưu
điểm, nhược điểm riêng. Cho nên trong quá trình dạy học, giáo viên cần giới
thiệu đầy đủ cho học sinh về các phương pháp này để các em có thể vận dụng
vào giải tốn một cách linh hoạt, hợp lí và có hiệu quả hơn. Đồng thời, những
phương pháp này được coi là những công cụ để giải tốn rất hữu hiệu, đặc
biệt là phương pháp tính ngược từ cuối.
1.2.2 Tầm quan trọng của việc lựa chọn phương pháp giải toán trong dạy
học toán. Dạy giải toán ở Tiểu học nhằm giúp học sinh biết cách vận dụng
những kiến thức về toán, được rèn luyện khả năng thực hành với những yêu
cầu được thể hiện một cách đa dạng, phong phú. Nhờ việc dạy học toán mà
học sinh có điều kiện rèn luyện phương pháp suy luận và những phẩm chất
cần thiết của người lao động mới.
Vấn đề chủ yếu của việc dạy học giải toán là giúp học sinh tự mình tìm hiểu
được mối quan hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm trong điều kiện của bài tốn
mà thiết lập được các phép tính số học tương ứng phù hợp. Chính vì thế việc
lựa chọn phương pháp giải tốn trong dạy học tốn nói chung và giải tốn ở

tiểu học nói riêng là rất quan trọng.
Trong việc dạy học giải toán, giáo viên phải giải quyết hai vấn đề sau
i ) Làm cho học sinh nắm được các bước cần thiết của quá trình giải toán và

rèn luyện khả năng thực hiện các bước đó một cách thành thạo.
ii) Làm cho học sinh nắm được và có khả năng vận dụng các phương pháp

chung cũng như thủ thuật thích hợp với từng loại bài toán thường gặp để đạt
được kết quả mong muốn.

6


Như vậy việc lựa chọn phương pháp giải toán trong dạy học toán tức là đã
giải quyết vấn đề thứ hai trên đây. Chính là khi đứng trước một bài tốn học
sinh phải nhận dạng được bài tốn. Từ đó mới có thể lựa chọn được phương
pháp giải thích hợp và tối ưu nhất. Đây cũng chính là điều mà nhà sư phạm
mong muốn đạt tới khi dạy toán cho học sinh.
1.2.3 Ưu điểm của việc ứng dụng phương pháp tính ngược từ cuối trong
giải tốn bậc Tiểu học
(i) Giáo viên được cung cấp đầy đủ đồ dùng dạy học như sách giáo khoa,

sách hướng dẫn, các tài liệu tham khảo khác,…Đó là hành trang cần thiết cho
mỗi giáo viên đứng lớp. Học sinh có đủ tài liệu học tập như sách giáo khoa,
vở bài tập và đồ dùng học tập.
(ii ) Giáo viên các trường tiểu học đã biết giới thiệu và hướng dẫn cho học

sinh phương pháp tính ngược từ cuối, đồng thời học sinh cũng đã biết tiếp thu
và vận dụng phương pháp này trong giải toán.
(iii) Giáo viên đã biết kết hợp phương pháp tính ngược từ cuối với một số

phương pháp khác như: phương pháp giảng giải, trực quan, vấn đáp,… trong
dạy học giải toán.
1.2.4 Nhược điểm của việc ứng dụng phương pháp tính ngược từ cuối
trong giải toán bậc Tiểu học. Một số sai lầm thường mắc phải của giáo viên
khi sử dụng phương pháp tính ngược từ cuối trong dạy học tốn
(i) Giáo viên còn chưa thực sự thấy được ưu điểm của phương pháp tính

ngược từ cuối, chưa tìm hiểu kĩ, chưa sáng tạo trong sử dụng phương pháp
tính ngược từ cuối để hướng dẫn học sinh vận dụng.
(ii ) Giáo viên mới chỉ yêu cầu học sinh tới mức giải từng bài toán cụ thể,

chưa liên hệ bài toán đang giải với bài toán đã giải chưa phát triển các đề tốn
tương tự với các bài tốn đó qua việc học sinh tự đặt đề toán tương tự và giải

7


theo đề tốn mới.
(iii) Khi dạy giáo viên ít chú ý cung cấp ngơn ngữ tốn cho học sinh dẫn đến

các em thường gặp khó khăn khi xác định dữ kiện của bài tốn. Đặc biệt các
em khơng tự mình đặt được các đề toán phù hợp với thực tế cuộc sống.
(iv ) Giáo viên còn sử dụng phương pháp tính ngược từ cuối một cách máy

móc, khn mẫu trong dạy học tốn. Chưa có sự trao đổi, thống nhất giữa các
giáo viên khi sử dụng phương pháp tính ngược từ cuối, dẫn đến sử dụng sai
phương pháp tính ngược từ cuối.
*Một số sai sót thường mắc phải của học sinh khi sử dụng phương pháp tính
ngược từ cuối trong giải tốn.

(i) Khi giải tốn học sinh cịn thụ động, thực hiện máy móc theo yêu cầu của

giáo viên. Học sinh chỉ hoạt động giải các bài toán cụ thể chứ không biết cách
so sánh liên hệ với các bài tốn khác. Vì vậy học sinh gặp khó khăn trong việc
nhận thức cái chung trong các bài tốn có nội dung bề ngoài khác nhau nhưng
lại cùng thuộc một dạng toán.
(ii ) Khi vẽ sơ đồ biểu diễn bài toán học sinh chứ biết cách biểu diễn cho trực

quan dễ hiểu.
(iii) Do khả năng phân tích đề kém nên học sinh lúng túng khi gặp bài tốn

có dữ liệu ở dạng gián tiếp. Sau khi giải xong một bài toán, học sinh chưa
kiểm tra lại kết quả của bài toán.

8


Kết luận chương 1
Trong chương 1, khóa luận đã trình bày được vai trị và vị trí của giải tốn
trong dạy và học tốn. Đồng thời đã hệ thống hóa được các phương pháp giải
toán thường dùng ở tiểu học và nêu được tầm quan trọng của việc lựa chọn
phương pháp giải tốn trong dạy học tốn.
Ngồi ra, khóa luận đã trình bày được những ưu điểm và nhược điểm trong
việc giải tốn bằng phương pháp tính ngược từ cuối ở tiểu học. Bên cạnh
những ưu điểm, tích cực cần phát huy thì vẫn tồn tại những hạn chế cần khắc
phục nhằm nâng cao hiệu quả dạy học giải toán ở trường Tiểu học.

9

Chương 2
PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI TRONG VIỆC GIẢI MỘT
SỐ DẠNG TỐN BẬC TIỂU HỌC
2.1 Quy trình chung thực hiện việc giải bài toán. Muốn cho học sinh giải
một bài tốn có lời văn giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm được các bước
hoạt động giải toán sau
Bước thứ nhất (Phân tích u cầu bài tốn). Ở bước này, giáo viên hướng
dẫn học sinh tìm hiểu bài tốn và yêu cầu các em trình bày về hai vấn đề như
sau
(i) Bài tốn cho biết những điều gì.

(ii ) Bài tốn địi hỏi phải giải quyết việc gì.

Bước thứ hai (Phân tích đề bài để tìm ra cách giải). Yêu cầu các em học sinh
suy nghĩ từ những gì bài tốn đã cho và cần giải quyết điều gì ở bước trên
(cần thiết giáo viên có thể đưa ra sự gợi ý tùy theo từng bài toán cụ thể hoặc
phân tích theo mỗi ý tưởng khác nhau của học sinh) để hướng các em tìm ra
lời giải.
Trên sự thống nhất các ý kiến của học sinh, giáo viên tổng hợp và hướng dẫn
học sinh lập quy trình về ý tưởng giải quyết bài tốn.
Bước thứ ba (Hướng dẫn tình bày giải bài toán). Trên cơ sở đã hướng dẫn ở
bước hai giáo viên có thể chọn một số học sinh (sự lựa chọn này phụ thuộc sự
nhận thức của từng đối tượng và mục đích của bài giảng để đáp ứng với hầu
hết đối tượng trong lớp).
Bước thứ tư. Đánh giá kết quả và phân tích sự hiệu dụng trong mỗi lời giải
(nếu có nhiều học sinh giải theo các cách khác nhau). Tiếp theo giáo viên đưa
ra những cách giải khác tốt hơn nếu có thể.

10

2.2 Về dạng các bài tốn tính ngược từ cuối
2.2.1 Khái niệm phương pháp tính ngược từ cuối. Mơ hình chung của việc
giải một bài tốn tính ngược tính ngược từ cuối ở bậc tiểu học được chúng tôi
giới thiệu ở đây, thực hiện theo sơ đồ như sau

Từ các bước trung
gian ngược, đến
đây đi đến giả
thiết của bài toán

Ngược lại từ u
cầu đó, ta cần phải
có điều gì? Bước
này có thể phải
thực hiện một số
giai đoạn trung
gian tùy theo từng
bài toán

Từ yêu cầu của
bài toán
…..

Khái niệm về phương pháp tính ngược từ cuối là phương pháp thực hiện liên
tiếp các phép tính ngược với các phép tính đã cho trong đề bài. Kết quả tìm
được trong bước trước chính là thành phần đã biết của phép tính liền sau đó.
Sau khi thực hiện hết dãy các phép tính ngược với các phép tính đã cho trong
đề bài, ta nhận được kết quả cần tìm.
Kĩ năng giải tốn bằng phương pháp tính ngược từ cuối cho học sinh tiểu học.

Phương pháp tính ngược từ cuối là một trong số các phương pháp dùng để
giải một số bài tốn có văn ở tiểu học. Đây là phương pháp mà khi ta giải ta
phải đi ngược từ các dữ liệu ở cuối của đề bài tốn để tìm ra đại lượng ban
đầu. Cơ sở của phương pháp này chính là việc đi tìm các thành phần chưa biết
trong một phép tính (Chẳng hạn: Tìm một số biết rằng nếu lấy số đó trừ đi 5
ta sẽ được kết quả là 10 . Ở đây số phải tìm chính là số bị trừ chưa biết trong
phép trừ x

5

10 ). Những bài toán dạng này rất đa dạng và phong phú, ta

11


có thể áp dụng dạy cho học sinh từ lớp một đến lớp năm ở bậc Tiểu học. Các
bài toán được sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp phù hợp với quá trình nhận
thức của các em và được chia ra làm nhiều dạng nhỏ với những cách giải khác
nhau như: dạng biến đổi các phép tính đơn giản dưới dạng tìm x , những bài
tốn liên quan đến phân số, dạng những bài thêm bớt, dạng bài biến đổi liên
tiếp phức tạp,…. Việc hướng dẫn học sinh nắm được phương pháp giải các
bài toán dạng này là một việc làm hết sức cần thiết đối với mỗi giáo viên Tiểu
học, đặc biệt là quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi.
Những bài tốn giải được bằng phương pháp tính ngược từ cuối thường cũng
giải được bằng phương pháp đại số hoặc phương pháp ứng dụng đồ thị. Tuy
nhiên, có bài tốn giải bằng phương pháp tính ngược từ cuối sẽ ngắn gọn hơn,
dễ hiểu hơn (bài toán vui và tốn cổ, bài tốn tính ngược từ cuối gộp,…)
* Để giải dạng tốn tính ngược từ cuối có rất nhiều phương pháp khác nhau
như
Phương pháp giải bằng “tìm x ” (lập phương trình)

Phương pháp giải bằng dùng lược đồ
Phương pháp giải bằng dùng sơ đồ đoạn thẳng
Phương pháp giải bằng cách lập bảng biến đổi
Do đó giáo viên cần lựa chọn phương pháp giải phù hợp với trình độ nhận
thức của học sinh .
2.2.2 Việc sử dụng phương pháp tính ngược từ cuối ở Tiểu học. Mơn Tốn
ở bậc Tiểu học là một môn học thống nhất không chia thành các phân môn.
Gồm 4 mạch kiến thức: số học, đại lượng và đo lường, yếu tố hình học và
giải tốn có lời văn. Trong đó giải tốn có lời văn là một trong những nội
dung quan trọng chiếm tỷ lệ khá nhiều trong nội dung mơn Tốn ở Tiểu học.
Nó góp phần củng cố, luyện tập các kiến thức như số học, đại lượng và hình
học. Giải tốn có lời văn được xây dựng xuyên suốt từ lớp một đến lớp năm

12


nhưng được giới thiệu ở các mức độ khác nhau. Thơng qua việc giải tốn có
lời văn, giáo viên giới thiệu học sinh các phương pháp giải tốn.
Phương pháp tính ngược từ cuối là một trong những phương pháp giải tốn
hữu hiệu, một cơng cụ, một thuật tốn để giải các bài tốn điển hình, bài tốn
nâng cao. Để biết rõ việc sử dụng phương pháp này ở các lớp Tiểu học ta đi
tìm hiểu cụ thể từng lớp.
(i) Việc sử dụng phương pháp tính ngược từ cuối ở lớp 1,2,3

Lớp 1. Đây là lớp đầu Tiểu học cũng là lớp đầu của giai đoạn thứ nhất của
các lớp 1, 2, 3. Các em mới được làm quen với các kiến thức cơ bản nền tảng
của mơn Tốn ở Tiểu học. Nội dung dạy học giải Tốn có lời văn được đưa
vào trong Tốn 1 và nó chia thành hai giai đoạn
Giai đoạn 1 “Chuẩn bị” ( học giải toán có lời văn). Học sinh được làm quen
với các tình huống qua tranh vẽ. Từ đó nêu thành “bài tốn có lời văn” (nêu

miệng đề tốn) bước đầu có hướng giải bài tốn (ở mức độ nêu phép tính giải
thích hợp).
Giai đoạn 2 “Chính thức” (học bài tốn có lời văn). Học sinh được biết thế
nào là giải tốn có lời văn, biết cách giải và trình bày bài giải tốn có lời
văn(ở mức độ tương đối hồn chỉnh gồm câu lời giải, phép tính và đáp số).
Ví dụ. Tìm một số tự nhiên biết rằng nếu lấy số đó trừ đi 10 được bao nhiêu
đem cộng với 1 ta sẽ được kết quả là 91 .
Nhận xét. Như vậy, để giải quyết bài toán trên, ta cần đi từ kết quả cuối cùng
là 91 để tìm được số đó sau khi trừ đi 10 91 – 1
số đó 90

10

100

Ta có thể hướng dẫn học sinh giải bài tốn như sau
(i) Cho học sinh đọc kĩ đề toán và đặt câu hỏi gợi ý

Số nào đem cộng với 1 sẽ được kết quả là 91 ? (Số 90 )

13

90 và từ đó tìm được


Số phải tìm sau khi trừ đi 10 sẽ là bao nhiêu? 90
(ii ) Ghi lời giải thứ nhất của bài tốn, gọi học sinh nêu phép tính

Số phải tìm sau khi trừ đi 10 là: 91 – 1

90

Số nào trừ đi 10 sẽ được 90 ? (Số 100 )
Vậy số phải tìm sẽ là bao nhiêu? 100
(iii) Ghi lời giải thứ hai của bài toán, gọi học sinh nêu phép tính

Số phải tìm là: 90

10

100 . Vậy số phải tìm là 100

Như vậy ở lớp 1 học sinh chủ yếu làm quen với bài tốn có lời văn, biết giải
các bài tốn đơn giản một phép tính bằng phép tính cộng, trừ. Học sinh chưa
gặp phải các bài tốn phức tạp để phải sử dụng đến các phương pháp giải mà
chỉ hướng dẫn học sinh qua bốn bước giải thông thường.
Lớp 2, Lớp 3 Học sinh tiếp tục được học giải tốn có lời văn, tiếp tục ơn tập
các bài tốn đã được học ở lớp 1 và có những bài toán phức tạp hơn nội dung
phong phú hơn thêm phần bài tốn có nội dung hình học. Do các em đã học
phép nhân, chia nên ta có thể đi từ một sơ bài tốn mà trong dãy tính của lời
giải có 2 phép nhân hoặc phép chia, từ đó đi đến bài tốn sau đây
Ví dụ. Tìm một số tự nhiên, biết rằng nếu lấy số đó chia cho 3 , được bao
nhiêu đem cộng với 5 ta sẽ được kết quả là 15 .
Phân tích. Trong bài này ta đã thực hiện liên tiếp đối với dãy số cần tìm dãy
các phép tính dưới đây: : 3 ,

5 cho kết quả cuối cùng bằng 15 .

Ta có thể xác định được số trước khi cộng với 5 được kết quả là 15 (Tìm số
hạng chưa biết khi biết số hạng kia và tổng số).

Dựa vào kết quả tìm được ở bước 1, ta tìm được số trước khi chia cho 3 ,
chính là số cần tìm (Tìm số bị chia khi biết số chia và thương số). Từ phân
tích trên ta đi đến lời giải như sau
Số trước khi cộng với 5 là

14


15 – 5

10

10 3

30

Số trước khi chia cho 3 là
Vậy số cần tìm là 30 .
(ii ) Việc sử dụng phương pháp tính ngược từ cuối ở lớp 4,5. Đây là giai đoạn

thứ hai. Nếu giai đoạn lớp 1, 2, 3 là giai đoạn học tập cơ bản và đơn giản thì
giai đoạn này là giai đoạn học tập sâu các kiến thức, kỹ năng bắt đầu trừu
tượng hơn. Tư duy trừu tượng cũng bắt đầu phát triển. Trình độ nhận thức của
học sinh cũng bắt đầu được nâng cao.
Tuy nhiên, phương pháp tính ngược từ cuối là phương pháp khó, địi hỏi phải
có óc sáng tạo, trí tưởng tượng phong phú. Do vậy trong thực tế giảng dạy,
việc áp dụng phương pháp này vào giải tốn có lời văn ở Tiểu học là rất hạn
chế, chủ yếu giới thiệu cho học sinh khá giỏi.
2.3 Phương pháp tính ngược từ cuối trong việc giải một số dạng toán bậc
Tiểu học

2.3.1 Ứng dụng phương pháp tính ngược từ cuối để giải các bài toán số
học
Bài toán 1 ([3] - trang 49 , ví dụ 1 ). Tìm một số biết rằng khi bớt số đó đi 2 ,
sau đó chia cho 6 , được bao nhiêu cộng với 2 , cuối cùng nhân với 4 được
kết quả bằng 20 .
Phân tích đề tốn. Bước thứ nhất. Từ đề tốn ta có thể xác định được số
trước khi nhân với 4 được kết quả là 20 .
Bước thứ hai. Dựa vào số tìm được ở bước thứ nhất, ta sẽ tìm được số trước
khi cộng với 2 .
Bước thứ ba. Dựa vào số tìm được ở bước thứ hai, ta sẽ tìm được số trước khi
chia cho 6 .
Bước thứ tư. Dựa vào số tìm được ở bước thứ ba, ta sẽ xác định được số cần

15


tìm (là số trước khi trừ đi 2 ).
Lời giải. Số trước khi nhân với 4 là

20 : 4

5

5

2

3

3 6

18

Số trước khi cộng với 2 là
Số trước khi chia cho 6 là
Số cần tìm là
18

2

20

Vậy số phải tìm là 20.
Bài tốn 2 ([3] - trang 50 , ví dụ 2 ). Tìm một số biết rằng tăng số đó gấp hai
lần, sau đó cộng với 2, 5 rồi trừ đi 5 , cuối cùng đem chia cho 4 được kết quả
là 1,25 .
Phân tích đề tốn. Bước thứ nhất. Từ đề tốn ta có thể xác định được số trước
khi chia cho được kết quả là 1,25 .
Bước thứ hai. Dựa vào số tìm được ở bước thứ nhất, ta sẽ tìm được số trước
khi trừ đi 5 .
Bước thứ ba. Dựa vào số tìm được ở bước thứ hai, ta sẽ tìm được số trước khi
cộng với 2, 5 .
Bước thứ tư. Dựa vào số tìm được ở bước thứ ba, ta sẽ xác định được số cần
tìm (là số trước khi nhân với 2 ).
Lời giải. Số trước khi chia cho 4 là

1,25 4

5

Số trước khi trừ đi 5 là
5

5

Số trước khi cộng với 2,5 là

16

10


10

2,5

7,5

Số cần tìm là

7,5 : 2

3,75

Vậy số phải tìm là 3,75 .
Bài tập 3 ([4] - trang 126 , ví dụ 7.1 ). Tìm một số, biết rằng khi nhân số đó
với 5 , rồi bớt đi 3 sau đó cộng với 4,5 cuối cùng chia cho 3 ta được kết quả
bằng 6 .
Phân tích. Theo đề bài ta đã thực hiện liên tiếp các phép tính sau đây với số
cần tìm:

5,

3,

4,5 , : 3 cho kết quả cuối cùng bằng 6 .

Bước thứ nhất: Ta có thể xác định được số trước khi chia cho 3 được kết quả
là 6 .
Bước thứ hai: Dựa vào số tìm được ở bước thứ nhất, ta tìm được số trước khi
cộng với 4,5 .
Bước thứ ba: Dựa vào số tìm được ở bước thứ hai, ta tìm được số trước khi
bớt đi 3 .
Bước thứ tư: Dựa vào kết quả ở bước thứ ba, ta xác định được số cần tìm.
Từ phân tích trên, ta đi đến lời giải của bài tốn như sau
Số trước khi chia cho 3 là

6 3

18

Số trước khi cộng với 4,5 là

18

4,5

13,5

3

16,5

Số trước khi trừ đi 3 là

13,5
Số cần tìm là

16,5 : 5
Vậy số cần tìm là 3, 3 .

17

3, 3


Bài tập 4. Tìm một số biết rằng số đó nhân với 5 rồi cộng với 45 , được bao
nhiêu nhân với 4 rồi chia cho 2 và cuối cùng trừ đi 17 thì được kết quả là
2073 .

Lời giải. Số trước khi trừ đi 17 là
2073

17

2090

Số trước khi chia cho 2 là

2090 2

4180

4180 : 4

1045

Số trước khi nhân với 4 là
Số trước khi cộng với 45 là

1045

45

1000

Số phải tìm là

1000 : 5

200
Đáp số: 200 .

Bài tập tham khảo
Bài 1. Hồng nghĩ ra một số. Nếu nhân số đó với 3 , rồi cộng với 22 , sau đó
chia cho 5 được kết quả bằng 8 . Hỏi Hồng đã nghĩ ra số nào?
Đáp số: Số 6
Bài 2. Hùng nói với Minh “Bạn hãy nghĩ ra một số. Sau đó bạn lấy số vừa
nghĩ ra cộng với 5 rồi trừ đi 5 . Tiếp đó lấy kết quả vừa tìm được nhân với 5
rồi lại đem chia cho 5 ”. Minh cho biết kết quả bằng 10 . Hùng nói luôn: “Số

bạn nghĩ ra lúc đầu là 10 ”. Minh đồng ý là đúng. Bạn hãy giải thích tại sao?
Bài 3. Tìm một số, biết rằng nhân số đó với 4 rồi cộng vớiv 5 sau đó bớt đi

25 và cuối cùng chia cho 8 thì được một số nhỏ nhất có hai chữ số giống
nhau.
Đáp số: Số 27
Bài 4. Tìm một số, biết rằng giảm số đó đi 3 lần, sau đó cộng với 5 rồi nhân

18


với 2 và cuối cùng chia cho 8 được kết quả bằng 2,5 .
Đáp số: Số 15
Bài 5. Tìm một số biết số đó gấp lên 2 lần rồi cộng với 10 được bao nhiêu
chia cho 4 thì được kết quả là 20 .
Đáp số: 35
Bài 6. Tìm một số, biết rằng khi nhân số đó với 5 , rồi bớt đi 3 sau đó cộng
với 4,5 , cuối cùng chia cho 3 ta được kêt quả bằng 6 .
Đáp số: 3,3
Bài 7. Tìm một số biết rằng lấy số đó cộng với
vừa tìm được trừ đi
cùng là

6
3
rồi chia cho lấy thương
7
5

1

8
được bao nhiêu nhân với
thì được kết quả cuối
2
10

3
.
2

Đáp số:

159
280

Bài 8. Tìm một số, biết rằng giảm số đó đi 3 lần, sau đó cộng với 5 , rồi nhân
với 2 và cuối cùng chia cho 8 được kết quả bằng 4 .
Đáp số: 33 .
2.3.2 Ứng dụng phương pháp tính ngược từ cuối để giải bài tốn có lời
văn
Bài tốn 1 ( [3] - trang 54 , ví dụ 5 ). Nhà Vân nuôi được một đàn gà. Tuần
đầu, mẹ bán

1
1
đàn gà. Tuần thứ hai bán
số gà còn lại và tuần thứ ba bán
3
3

1
số gà còn lại sau hai lần bán trước. Cuối cùng nhà Vân còn 4 đơi gà. Hỏi
3

đàn gà nhà Vân lúc đầu có bao nhiêu con?
Phân tích. Ta có thể biểu diễn số gà còn lại sau lần bán thứ hai bằng sơ đồ
19


như sau

? con

8 con
Từ sơ đồ trên ta có thể tính được số gà cịn lại sau lần bán thứ hai.
Ta có thể biểu diễn số gà cịn lại sau lần bán thứ nhất
? con
còn sau lần 2
Từ sơ đồ trên ta tính được số gà cịn lại sau lần bán thứ nhất
Số gà ban đầu có thể biểu diễn bằng sơ đồ sau
? con
còn sau lần 1
Từ đây ta tính được số gà của cả đàn gà.
Lời giải. 4 đôi gà = 8 con gà
? con

8 con

bán lần 3

Số gà còn lại sau lần bán thứ hai là

8:2 3

12

Số gà còn lại sau lần bán thứ nhất
? con
bán lần 2

12 con

Số gà còn lại sau lần bán thứ nhất là

12 : 2 3
Số gà ban đầu

20

18 (con)