Tài liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia 2017 Môn TOÁN Quyển 1 Minh Hoàng

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017
Mai Nguyễn Minh Hoàng

MÔN TOÁN

Quyển 1
*

" THÀNH CÔNG KHÔNG ĐẾN ĐƯỢC NẾU
BẠN KHÔNG TỰ CỐ GẮNG HOÀN THIỆN MÌNH "
Đà Nẵng, tháng 9 năm 2017


Luyện thi THPT QG Quyển 1

Trang 1

Mai Nguyễn Minh Hoàng

LỜI MỞ ĐẦU
Các em thân mến!
Khi các em cầm quyển tài liệu này trên tay thì ắc hẳn các em đã chuẩn bị bước
vào năm lớp 12 – năm kết thúc của cấp 3 cũng là năm đánh dấu sự trưởng thành
của các em sau 12 năm cắp sách đến trường. Thầy nghĩ rằng ai trong các em trong
năm này đều quyết tâm học hành chăm chỉ để có một chỗ ngồi tốt nhất trong trường
Đại học mà mình mong muốn. Hiểu được sự cố gắng của các em, Thầy đã viết tập
tài liệu này để nhằm giúp cho các em nắm được các kiến thức cơ bản của môn Toán
và các dạng Toán thường gặp trong các kì thi, đặc biệt là kì thi THPT Quốc Gia của
các em sắp tới. Thầy hy vọng các em sẽ cố gắng rèn luyện, đọc thật kĩ tài liệu và làm
các bài tập trong tài liệu một cách kĩ càng và cẩn thận. Việc làm này sẽ giúp các em
tự tin hơn trong các giờ học trên trường, các bài kiểm tra 15 phút, 1 tiết, học kỳ và

hơn thế là bài thi THPT Quốc Gia sắp tới.
Các em à, các em nghĩ rằng một năm lâu lắm phải không? Thầy cũng đồng ý
là một năm lâu thật nhưng theo Thầy các em cứ cố gắng học tập chăm chỉ, vì đó
cũng là cơ hội 1 năm quý báu. Các em cứ thử nghĩ xem rồi sẽ đến tết khi ấy 1 năm
đã còn có nửa năm rồi đến giỗ tổ Hùng Vương, 30/4, 1/5 rồi đến ngày bế giảng các
em à. Sau bế giảng chỉ còn 1 tháng cuối để ôn tập lại và lên đường, đến lúc đó các
em sẽ cảm nhận được 1 tháng giống như 1 tuần thôi, nhanh lắm các em. Đây là cảm
nhận thật mà Thầy rút ra, Thầy xin chia sẻ với các em. Hè năm chuẩn bị lên 12 Thầy
sợ Hình không gian lắm, nên Thầy đã hạ quyết tâm trong 3 tháng hè lên 12 phải cố
học cho xong hình không gian. Nhưng với suy nghĩ : " Thôi để mai học ", cứ như thế
ngày qua ngày Thầy chẳng học được gì cả. Rồi đến ngày khai giảng, Thầy cũng quyết
tâm học cho xong hình trong học kì I nhưng rồi cũng với suy nghĩ: " Thời gian còn
dài mà, học chi cho sớm, thôi để mai học". Thế là học kì I trôi qua mà trong đầu Thầy
chẳng có chữ hình không gian nào cả. Rồi có một người thầy đã nói với tụi Thầy: "
Em nào có suy nghĩ cứ để mai làm thì bỏ đi nhé, nó sẽ giết chết các em đó ". Thế là
sợ qua, sang học kì II Thầy đã cố gắng học hình không gian và bỏ đi suy nghĩ đó,
ngày nào làm việc ngày đó, nhờ vậy Thầy đã chinh phục thành công câu Hình không
gian trong đề thi. Thầy nghĩ rằng nhiều em cũng có suy nghĩ : "Thôi để mai học, để
mai làm". Thầy khuyên các em hãy cố gắng bỏ suy nghĩ ấy đi và quyết tâm làm việc


Luyện thi THPT QG Quyển 1

Trang 2

Mai Nguyễn Minh Hoàng

gì thì hãy làm ngay trong ngày hôm nay, cố gắng học hành chăm chỉ để sau khi mình
làm xong việc gì thì luôn cảm thấy mãn nguyện vì mình đã hoàn thành hết sức mình,
đừng bao giờ hối hận vì việc mình chưa làm mà hãy cố gắng hơn ở tương lai các em

nhé. Thầy khuyên các em khi đọc tài liệu này thì hãy giữ một sự tự tin vào bản thân,
đừng sợ hãi kiến thức và luôn nghĩ rằng Thầy luôn đồng hành cùng với các em trên
mỗi dòng viết. Các em cứ nghĩ rằng các em học không phải là cho ai cả mà là cho
chính mình và làm vui lòng cha mẹ, thầy cô và mọi người, nghĩ như vậy các em sẽ
cảm thấy việc học sẽ nhẹ nhàng hơn nhiều. Chúc các em sẽ thành công và đạt kết
quả tốt nhất trong kì thi THPT Quốc Gia sắp tới.
Hãy luôn vững tin vào sức mạnh của bản thân, các em nhé!
Mọi thắc mắc các em có thể gửi tin nhắn cho Thầy thông qua facebook: Minh

Hoang Mai hay qua SĐT: 01227999669. Thầy hứa sẽ tận tình giải đáp thắc mắc của
các em một cách chu đáo nhất. Xin cảm ơn các em!
Mỗi tháng Thầy sẽ ra 1 Quyển Tài liệu để các em tự học, các em có thể tìm
kiếm trên Internet vào mỗi tháng, Thầy sẽ upload lên trên trang Tailieu.vn và để
thuận tiện hơn, các em có thể inbox trực tiếp cho thầy thông qua facebook: Minh
Hoang Mai hoặc nhắn tin trực tiếp cho thầy thông qua SĐT: 01227999669 để nhận
tài liệu học tập.

Chúc các em học tốt!
Đà Nẵng tháng 9 năm 2017
Tác giả
Mai Nguyễn Minh Hoàng


Luyện thi THPT QG Quyển 1

Trang 3

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Nội dung của quyển 1 - MÔN TOÁN:

Phần I: Khảo sát, vẽ đồ thị và các vấn đề liên quan cơ bản về hàm số
Phần II: Lượng giác
Phần III: Hình học không gian

MỘT SỐ KÍ HIỆU, TỪ VIẾT TẮT TRONG TÀI LIỆU
1) TXĐ: Tập xác định

6) VS.ABC : Thể tích khối chóp S.ABC

2) CĐ: Cực đại; CT: Cực tiểu

7) TCĐ: Tiệm cận đứng; TCN: Tiệm cận

3) //: Song song ; ⊥: Vuông góc

ngang, TCX: Tiệm cận xiên

4) ∠: Góc

8) mp: mặt phẳng

5) d(SA, BC) : Khoảng cách giữa SA và BC

9) đpcm: điều phải chứng minh


Luyện thi THPT QG Quyển 1

Trang 2

Mai Nguyễn Minh Hoàng

∝. LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TỰ LUẬN
Các em thân mến!
Như các em đã biết, kể từ kì thi THPT QG 2017, Bộ Giáo dục đã thực hiện phương
thức thi trắc nghiệm đối với môn Toán, điều này làm cho không ít em nghĩ rằng:
“Làm trắc nghiệm thì cần gì phải biết lý thuyết, cứ nhìn vào bài tập là bấm máy tính
là ra hết, và xem nhẹ các bài tập tự luận” Nhưng điều đó đã làm cho không ít em đã
không đạt điểm cao trong kì thi vừa rồi, và không phải nói là đáng buồn có nhiều
em nghĩ vậy đã không đậu vào trường mình mong muốn. Vậy tại sao làm trắc
nghiệm phải biết lý thuyết và làm bài tập tự luận. Thầy xin trả lời cho các em là: Lý
thuyết sẽ là nền để cho các em giải bài trắc nghiệm, các em có thấy khi xây nhà, thì
trước khi xây những hàng gạch để tạo nên bức tường nhà cao lớn, người ta phải
xây gì không? Đó chính là xây mống để làm nền, 1 ngôi nhà muốn vươn cao, chống
chọi được với thiên nhiên, đứng vững chắc được thì cần phải có nền vững chắc, nền
mống lung lay thì nhà sẽ sớm đổ thôi. Còn đối với bài tập tự luận, khi làm sẽ giúp
cho các em hình thành tư duy toán, giúp cho các em củng cố, nắm vững và mở rộng
lý thuyết các em vừa học để từ đó các em có thể ứng dụng vào giải các bài tập trắc
nghiệm một cách nhanh chóng và chính xác hơn. Do đó, các em cần phải nắm vững
lý thuyết và làm kĩ các bài tập tự luận, có như vậy khi thi các em mới có thể làm tốt
bài tập trắc nghiệm được. Chúc các em thành công!


Luyện thi THPT QG Quyển 1

Trang 3

Mai Nguyễn Minh Hoàng

PHẦN I HÀM SỐ

Các em thân mến!
Hàm số là kiến thức quan trọng trong chương trình phổ thông, các em đã được học
xuyên suốt từ những lớp dưới, và khi đến 12 các em sẽ được học thêm những điều
mới, chẳng hạn các em đã được học đạo hàm ở lớp 11, mà sau khi học các em vẫn
chưa biết sẽ ứng dụng thế nào vào các vấn đề toán học, thì đến bây giờ, các em đã
có câu giải đáp, các em hãy tự mình nghiên cứu để khám phá nhé!


Luyện thi THPT QG Quyển 1
BÀI 0

Trang 4

Mai Nguyễn Minh Hoàng

ÔN TẬP KIẾN THỨC ĐẠO HÀM LỚP 11

1) Kiến thức đạo hàm:
Cho hai hàm số u, v chứa cùng biến số và có đạo hàm u', v' trên cùng một tập
nào đó
a) Đạo hàm của hàm tổng, tích, thương:
(u + v)' = u' + v'
(uv)' = u'v + uv'
u
v

=

u v − uv′
,v ≠ 0

v

Đặc biệt:
(av)' = av' với a là hằng số

=

,

≠ 0 với a là hằng số

b) Đạo hàm của hàm hằng (tức là hàm không đổi): Cho X là số thực không đổi, ta
có: (X)' = 0
c) Đạo hàm của hàm lũy thừa:
(u∝ ) =∝ u . u∝
1
u

với ∝ là số thực không đổi

= (u ) =

√u

=

−u′
u

u′

2 √u

Đặc biệt:
(x ∝ ) = α

với ∝ là số thực không đổi

x' = 1
1
x
√x

= (x ) =
=

−1
x

1
2√x

d) Đạo hàm của hàm lượng giác:
(sinu)' = u'.cosu

(cosu)' = –u'.sinu

(tanu)′ =

(cotu)′ =

= u (1 + tan u)

= −u (1 + cot u)


Luyện thi THPT QG Quyển 1

Trang 5

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Đặc biệt:
(sinx)' = cosx
(tanx) =

(cosx)' = –sinx

1
= 1 + tan x
cos x

(cotx) =

−1
= −(1 + cot x)
sin x

2) Công thức tính nhanh đạo hàm của hàm phân thức thường gặp:
a) y =

b) y

=

c) y

=

→y =

(

)

=

→y =
→y =

(

)

(

)

(

=

)

.

.
(

)


Luyện thi THPT QG Quyển 1
BÀI 1

Trang 6

Mai Nguyễn Minh Hoàng

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐA THỨC BẬC 3
y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ 0

I) Phương pháp giải:
• Bước 1: Tìm TXĐ: Tất cả các bài toán dạng này TXĐ đều thuộc ℝ ( = ℝ) 1
• Bước 2: Sự biến thiên:
a) Giới hạn:
+ Nếu a > 0 thì: lim

= +∞

;

lim

= −∞

+ Nếu a < 0 thì: lim

= −∞

;

lim

= +∞

→
→

→
→

b) Chiều biến thiên:
Tính y': y' = 3ax2 + 2bx + c
Tìm nghiệm của y' = 0 nếu có. Còn nếu y' = 0 không có nghiệm (tức là ∆ < 0) thì ta
thực hiện như sau:
Nếu a > 0 thì y' > 0 ⇒ Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ
Nếu a < 0 thì y' < 0 ⇒ Hàm số đã cho nghịch biến trên ℝ
c) Bảng biến thiên:
x

–∞

+∞

y'

Dấu của y'

y

Chiều biến thiên của y'

• Bước 3: Điểm uốn:
Ta có: y'' = 6ax + 2b
y'' = 0 ⇔ 6ax + 2b = 0 ⇔ x = ..... ⇒ y = ...
Suy ra đồ thị đã cho có điểm uốn là I( ...; ...)
• Bước 4: Tìm điểm đặc biệt:
x=0 ⇒ y = ...

y=0 ⇒ x = d

• Bước 5: Vẽ đồ thị
Vẽ hệ trục
Ghi điểm CĐ, CT ( nếu có ) và điểm uốn

1 ℝ là Tập hợp các Số Thực
Lưu ý: Trong suốt tài liệu này, Hình vẽ của bài minh họa đa số vẽ bằng tay trên giấy học sinh để cho

các em biết cách vẽ trong vở của mình

Luyện thi THPT QG Quyển 1

Trang 7

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Ghi điểm đặc biệt
Vẽ đồ thị theo các điểm trên
* Chú ý: Hình vẽ sẽ đối xứng qua điểm uốn
II) Bài tập minh họa:
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = x3 – 3x2 + 6x
Giải
• TXĐ:

=ℝ

• Sự biến thiên:
+ Giới hạn: lim
→

= +∞

;

lim
→

= −∞

+ Chiều biến thiên:
Ta có: y' = 3x2 – 6x + 6 = 3 (x2 – 2x + 2) = 3(x–1)2 + 3 > 0
⇒ Hàm số đồng biến trên ℝ
+ Bảng biến thiên:2
x

−∞

y'

+∞
+

y

+∞
−∞

• Điểm uốn:
+ Ta có: y'' = 6x – 6
y'' = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y(1) = 4
⇒ Đồ thị có điểm uốn là I(1; 4)
• Điểm đặc biệt:
x=0⇒y=0
x=2⇒y=8
• Đồ thị:3

2

Vẽ Bảng biến thiên với kích thước ngang 7 cm, dọc 4 cm. Bảng gồm 2 cột, 3 dòng: Cột đầu 2 cm, cột sau 5 cm;

Dòng đầu 1 cm, dòng thứ hai 1 cm, và dòng cuối 2 cm. (Có thể thay cm bằng ô vở nếu vở có kẻ sẵn ô)
3
Căn cứ vào phần âm, dương của đồ thị để vẽ trục cân xứng. Đối với đồ thị trên, ta thấy phần dương là chủ yếu
nên ta sẽ vẽ lệch đồ thị về bên tay TRÁI.
Lưu ý: Mỗi đơn vị trên 2 trục có thể khác nhau nhưng CÙNG 1 TRỤC phải GIỐNG nhau.


Luyện thi THPT QG Quyển 1

Trang 8

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Bài 2: (Đề thi THPT QG năm 2015)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = x3 – 3x
Giải

Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = 2x3 – 3x2 + 1

(HD trực tiếp)
Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = –x3 + 2x2 – x

(HD trực tiếp)
III) Bài tập áp dụng:
Bài 1.1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:
a) y = x3 + 3x2 + 3x +1

b) y = (x – 1)3

c) y = –x3 – 3x + 2

d) y = –x3 + 3x2 – 3x – 1

Bài 1.2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:
a) y = x3 +3x2 – 9x + 5

b) y =

c) y = −

d) y = –2x3 + 9x2 – 12x + 4

e) y = (

−2
−3

−3 +1
− 9 − 5)

−2

+3 +1

g) y = –x3 + 3x2 – 4x + 2

* Ghi chú: Từ các đồ thị vừa vẽ, hãy rút ra các dạng đồ thị của hàm số bậc 3.


Luyện thi THPT QG Quyển 1

BÀI 2

Trang 9

Mai Nguyễn Minh Hoàng

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG
y = f(x) = ax4 + bx2 + c, a ≠ 0

I) Phương pháp giải:
• Bước 1: Tìm TXĐ: Tất cả các bài toán dạng này TXĐ đều thuộc ℝ ( = ℝ)
• Bước 2: Sự biến thiên:
a) Giới hạn:
+ Nếu a > 0 thì: lim

= +∞

;

lim

= +∞

+ Nếu a < 0 thì: lim

= −∞

;

lim

= −∞

→
→

→
→

b) Chiều biến thiên:
Tính y': y' = 4ax3 + 2bx
Tìm nghiệm của y' = 0
c) Bảng biến thiên:
x

–∞

+∞

y'

Dấu của y'

y

Chiều biến thiên của y'

• Bước 3: Điểm uốn:
Ta có: y'' = 12ax2 + 2b
y'' = 0 ⇔ 12ax2 + 2b = 0 ⇔ x = ±..... ⇒ y = ...

Suy ra đồ thị đã cho có điểm uốn là I1( – ...; ...) , I2( + ...; ...)
• Bước 4: Tìm điểm đặc biệt:
y=c ⇒ x = ...
• Bước 5: Vẽ đồ thị
Vẽ hệ trục
Ghi điểm CĐ, CT (nếu có) và điểm uốn
Ghi điểm đặc biệt
Vẽ đồ thị theo các điểm trên
* Chú ý: Hình vẽ sẽ đối xứng qua trục tung Oy


Luyện thi THPT QG Quyển 1

Trang 10

Mai Nguyễn Minh Hoàng

II) Bài tập minh họa:
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = x4 + x2 – 2
Giải
• TXĐ:

=ℝ

• Sự biến thiên:
+ Giới hạn: lim
→

= +∞

;

lim
→

= +∞

+ Chiều biến thiên:
Ta có: y' = 4x3 + 2x = 2x(2x2 + 1)
Vì 2x2 + 1 > 0 nên y' = 0 ⇔ 2x = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y(0) = –2
+ Bảng biến thiên:4
x

−∞

y'

0
−

y

0

+∞
+

−∞

+∞

2

Từ bảng biến thiên trên suy ra:
Hàm số nghịch biến trên khoảng (–∞; 0)
đồng biến trên khoảng (0 ; +∞)
đạt cực tiểu tại x = 0 ; yCT = –2
(Và hàm số đã cho không có cực đại)
• Điểm uốn:
+ Ta có: y'' = 12x2 + 2 > 0 , ∀ ∈
⇒ Đồ thị hàm số lõm trên R
• Điểm đặc biệt:
x = ±1 ⇒ y = 0
• Đồ thị:5

4

Vẽ Bảng biến thiên với kích thước ngang 8 cm, dọc 4 cm. Bảng gồm 2 cột, 3 dòng: Cột đầu 2 cm, cột sau 6 cm;
Dòng đầu 1 cm, dòng thứ hai 1 cm, và dòng cuối 2 cm. (Có thể thay cm bằng ô vở nếu vở có kẻ sẵn ô)
5
Đối với đồ thị dạng bậc 4 này, ta thấy nó đối xứng qua trục Oy, nên khi vẽ hình ta vẽ trục Oy chính giữa trang
giấy và căn cứ theo các đơn vị mà chọn kích thước phù hợp.


Luyện thi THPT QG Quyển 1

Trang 11

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Bài 2:(Đề thi ĐH khối A năm 2012)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = x4 – 2x2
Giải

Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = x4 – 2x2 + 2

(HD trực tiếp)
Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = –x4 + 10x2 – 9

(HD trực tiếp)
III) Bài tập áp dụng:
Bài 2.1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:
a) y =

+

+

b) y = −

−

c) y = –x4 – 2x2 + 3

d) y =

e) y = –x4 + 2x2

f) y= (x–1)2(x+1)2

g) y = x4 – 3x2 +2

−

+
−

h) y= –x4 – 2x2 + 1

* Ghi chú: Từ các đồ thị vừa vẽ, hãy rút ra các dạng đồ thị của hàm số bậc 4 trùng
phương.


Luyện thi THPT QG Quyển 1

Trang 12

Mai Nguyễn Minh Hoàng

BÀI 3 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHÂN THỨC BẬC NHẤT
y = f(x) =
I)

, c ≠ 0 và ad – bc ≠ 0

Phương pháp giải:

• Bước 1: Tìm TXĐ:
Vì đây là bài toán có mẫu thức nên mẫu thức cx + d phải khác 0
= ℝ \{− }

Do đó TXĐ:

• Bước 2: Sự biến thiên:
a) Giới hạn và tiệm cận:
+ Ta có:

lim

= −∞(+∞) ;

lim

→

= +∞ (−∞)

→

⇒ Đồ thị có tiệm cận đứng là : x = −
Và lim

=

→±

⇒ Đồ thị có tiệm cận ngang là : y =
b) Chiều biến thiên:
Tính y': y' =

(

)

+ Nếu ad – bc < 0 thì y' < 0, ∀ ∈

+ Nếu ad – bc > 0 thì y' > 0, ∀ ∈

⇒ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng của

⇒ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng của

c) Bảng biến thiên:
+ Nếu y' < 0

+ Nếu y' > 0

x –∞
y'

–d/c

+∞

–

–

x
y'

+∞
y

–∞

• Bước 3: Tìm điểm đặc biệt:
x=0⇒y=

, nếu d ≠ 0

y=0⇒x=−

, nếu a ≠ 0

–∞

–d/c
+

+
+∞

y

+∞

–∞


Luyện thi THPT QG Quyển 1

Trang 13

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Ngoài 2 điểm giao với trục hoành và trục tung ở trên ta nên tìm thêm 2 điểm khác
trên đồ thị có hoành độ đối xứng qua O để thuận lợi trong việc vẽ đồ thị
* Chú ý: Nên kẻ bảng giá trị và lấy 4 cặp giá trị thì việc vẽ sẽ thuận tiện hơn
• Bước 4: Vẽ đồ thị
Vẽ hệ trục
Vẽ các đường tiệm cận
Ghi điểm đặc biệt
Vẽ đồ thị theo các điểm trên
* Chú ý: Hình vẽ sẽ đối xứng qua giao điểm của TCĐ và TCN.
II) Bài tập minh họa:
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y =
Giải
• TXĐ:

= ℝ \{–1}

• Sự biến thiên:
+ Giới hạn và tiệm cận:
Ta có:

lim

→(

= −∞ ;

)

lim

→(

= +∞

)

⇒ Đồ thị có tiệm cân đứng là : x = −1
Và lim
→±

= 1

⇒ Đồ thị có tiệm cận ngang là : y = 1
+ Chiều biến thiên:
Ta có: y' =

(

)

< 0, ∀ ∈

⇒ Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; –1) , (–1; +∞)
+ Bảng biến thiên:6
x

−∞

y'

–1
−

−

1
y

6

+∞

+∞
−∞

1

Vẽ Bảng biến thiên với kích thước ngang 8 cm, dọc 4 cm. Bảng gồm 2 cột, 3 dòng: Cột đầu 2 cm, cột sau 6 cm;
Dòng đầu 1 cm, dòng thứ hai 1 cm, và dòng cuối 2 cm. (Có thể thay cm bằng ô vở nếu vở có kẻ sẵn ô)


Luyện thi THPT QG Quyển 1

Trang 14

Mai Nguyễn Minh Hoàng

• Điểm đặc biệt:7
x

–3

y

0

–2 –1 0

1

–1

2

3

• Đồ thị:8

Bài 2:(Đề thi minh họa THPTQG năm 2015)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y =
Giải

7

Vẽ Bảng biến thiên với kích thước ngang 8 cm, dọc 4 cm. Bảng gồm 2 cột, 2 dòng: Cột đầu 2 cm, cột sau 6 cm;

Dòng đầu 1 cm, dòng thứ hai 1 cm. (Có thể thay cm bằng ô vở nếu vở có kẻ sẵn ô)
8
Để vẽ đồ thị dạng phân thức bậc nhất sao cho đẹp, ta thực hiện như sau: Vì đồ thị đối xứng qua TCN và TCĐ,
nên ta sẽ vẽ TCN và TCĐ vuông góc với nhau trước tại giao điểm ngay chính giữa trang giấy. Từ đó, ta căn chỉnh
theo đơn vị trục để vẽ trục Oxy, sau đó tiến hành vẽ các nhánh cong để hoàn thiện đồ thị.
Lưu ý: Đường cong ta có thể dùng thước có dạng cong để vẽ. Tuy nhiên không phải khi nào ta cũng luôn có thước,
nên ta cố gắng luyện tập vẽ bằng tay, mới đầu tuy chưa đẹp nhưng vẽ nhiều lần sẽ hoàn thiện hơn.


Luyện thi THPT QG Quyển 1

Trang 15

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y =

(HD trực tiếp)
Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y =

(HD trực tiếp)
III) Bài tập áp dụng:
Bài 3.1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:


Luyện thi THPT QG Quyển 1
a) y =

b) y =

c) y =

d) y =

Trang 16

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Bài 3.2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:
a) y =

b) y =

c) y =

d) y =

e) y =

f ) y = −1 +

* Ghi chú: Từ các đồ thị vừa vẽ, hãy rút ra các dạng đồ thị của hàm số phân thức
bậc nhất.


Luyện thi THPT QG Quyển 1
BÀI 4

Trang 17

Mai Nguyễn Minh Hoàng

NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN VỀ HÀM SỐ

* Nhận xét: Bài toán về sự tương giao và tiếp tuyến của đồ thị là hai dạng toán
thường gặp trong các đề thi nên trong tập tài liệu này sẽ đề cập đến các dạng toán
xoay quanh 2 vấn đề này. Hy vọng các em sẽ nghiên cứu, rèn luyện kĩ lưỡng để hoàn
thành tốt các dạng toán liên quan tới hai dạng này. Còn các bài toán khác về hàm số
Thầy sẽ đưa vào các tập tài liệu tiếp theo và các em sẽ nghiên cứu sau khi học phần
này.

A) VẤN ĐỀ 1: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA 2 ĐỒ THỊ:

I) Bài toán tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số :
1) Phương pháp giải:
Cho hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x). Để tìm giao điểm của hai đồ thị này ta
làm như sau:
Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho. Sau đó giải
phương trình để tìm ra giá trị của x (nếu có)
Nếu phương trình vô nghiệm thì 2 đồ thị đã cho không giao nhau
Nếu phương trình có 1 nghiệm, 2 nghiệm, 3 nghiệm, ... thì 2 đồ thị cắt nhau tại 1
điểm, 2 điểm, 3 điểm
Bước 2: Thay các giá trị x vừa tìm được vào 1 trong 2 biểu thức f(x) hoặc g(x). Sau
đó suy ra tọa độ giao điểm của các đồ thị đã cho.
2) Bài tập minh họa:
Bài 1: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị của 2 hàm số sau đây: y =

+2

+3

và y = x
Giải
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị đã cho là:
1
3
⇔

+2
+6

+3 =

+6 =0

9

9
Để giải phương trình bậc 3, nếu không có máy tính ta sẽ sử dụng cách đoán nghiệm, tức là tìm giá trị x thay vào
vế trái để vế trái bằng 0 (= vế phải). Nếu có máy tính, chẳng hạn máy tính FX-570VN PLUS ta sẽ bấm như sau:
Bấm phím MODE, sau đó bấm số 5 để chọn 5:EQN, tiếp theo ta thấy trên màn hình hiện 4 số từ 1 đến 4, trong đó
số 4 có dạng phương trình bậc 3, ta sẽ bấm số 4. Sau đó nhập lần lượt các giá trị của a,b,c,d với a là hệ số của x3,
b là hệ số của x2, c là hệ số của x và d là hệ số tự do. Cụ thể trong bài này là a = 1, b = 6, c = 6, d = 0. Sau đó bấm
phím = liên tiếp ta sẽ được các giá trị của x thỏa mãn phương trình.


Luyện thi THPT QG Quyển 1

Trang 18

=0⇒
= −3 − √3 ⇒
= −3 + √3 ⇒

⇔

Mai Nguyễn Minh Hoàng

=0
= −3 − √3
= −3 + √3

Vậy 2 đồ thị đã cho giao nhau tại các điểm là: A(0; 0), B(–3–√3; –3–√3), C(–3+√3;
–3–√3) 10
Bài 2: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị của 2 hàm số sau đây:
y=

và y = 2x + 1
Giải

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị đã cho là:
= 2x + 1 , x≠1
⇔ x2 + 2x + 1 = (x–1)(2x+1)
⇔ x2 + 2x + 1 = 2x2 – x – 1
⇔ x2 – 3x – 2 = 0

=

√

⇒

= 4 + √17

=

√

⇒

= 4 − √17

⇔

Vậy 2 đồ thị đã cho giao nhau tại các điểm là:
A(

√

; 4 + √17), B(

√

; 4 − √17)

Bài 3: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị của 2 hàm số sau đây: y = x4 + 2x2 và y =
4x2 – 1

(HD trực tiếp)
Bài 4: Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = m – x cắt đồ thị của hàm số y =

tại 2 điểm phân biệt

(HD trực tiếp)
3) Bài tập áp dụng:
Bài 4.1: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị của 2 hàm số sau đây:
y = x3 + 3x2 – 3x – 1 và y = 0
Bài 4.2: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị của 2 hàm số sau đây:

10

Sau khi làm xong 1 bài toán, ta cần phải ghi kết luận, vừa làm rõ ý đề yêu cầu, vừa tránh mất điểm khi thi.


Luyện thi THPT QG Quyển 1

Trang 19

Mai Nguyễn Minh Hoàng

y = 2x3 + 3x2 + 1 và y = 2x2 + 1
Bài 4.3: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x – m luôn cắt
đường cong y =

tại 2 điểm phân biệt.

Bài 4.4: Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = m cắt đường cong y = x4 – 2x2 –
3 tại 4 điểm phân biệt. 11

II) Bài toán biện luận số nghiệm của phương trình f(x,m) = 0 bằng
đồ thị:

1) Phương pháp giải:
Đây là phương trình theo x có chứa tham số m. Để giải bài toán dạng này ta sẽ tìm
cách chuyển x sang cùng 1 vế, chẳng hạn vế trái và chuyển m sang vế phải còn lại
bằng cách cộng trừ nhân chia, nhóm m lại với nhau, ... Sau đó Vế trái chứa x ta sẽ vẽ
đồ thị theo các dạng đã học: bậc 3, bậc 4, phân thức bậc 1 còn Vế phải chứa m sẽ là
đường thẳng song song với Ox ( vuông góc với Oy). Sau đó dựa vào yêu cầu bài toán
và đồ thị vừa vẽ để biện luận số giao điểm của phương trình đã cho, bởi vì phương
trình đã cho cũng chính là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường
thẳng vừa mới vẽ.
* Chú ý: Sau khi biện luận xong nhớ kết luận.
2) Bài tập minh họa:
Bài 1: Dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình sau:
1
3

+2

+3 +

=0

Giải
Ta có phương trình đã cho
⇔

+2

+3 =−

Đặt y = VT(1) =

y = VP(1) = –m

11

+2

(1)

+ 3 (C)

(d) (⊥ Oy)

Để giải bài 4.4, ta sẽ lặp phương trình hoành độ giao điểm, sau đó đặt t = x2 rồi giải phương trình theo t. Sau đó
tìm điều kiện của m sao cho phương trình theo t có 2 nghiệm dương phân biệt, tức là ∆> 0, > 0, > 0


Luyện thi THPT QG Quyển 1

Trang 20

Mai Nguyễn Minh Hoàng

Khi đó phương trình (1) hay phương trình đã cho là phương trình hoành độ giao
điểm của (C) và (d). Suy ra số nghiệm của phương trình đã cho cũng chính là số
giao điểm của (C) và (d)
Vẽ (C) và (d):
Vẽ (C): y = VT(1) =

+2

+ 3 (C)

Ta có: y' = x2 + 4x + 3
y' = 0 ⇔

= −3 ⇒

=0

= −1 ⇒

=

Vẽ (d): Ta có (d) là đường thẳng song song với trục Ox, hay vuông góc trục Oy.
* Sau đây là đồ thị:

* Biện luận:
Từ đồ thị trên suy ra:
+ Khi −

< − v−m > 0⇔

>

vm<0

12

ta có (C) và (d) giao nhau tại

1 điểm. Do đó phương trình đã cho có 1 nghiệm.
+ Khi −

=− v−m =0⇔

=

v m = 0, ta có (C) và (d) giao nhau tại 2

điểm. Do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm.
+ Khi − < −m < 0 ⇔ 0 < m < , ta có (C) và (d) giao nhau tại 3 điểm. Do đó
phương trình đã cho có 3 nghiệm.

12

Kí hiệu v là phép tuyển, chẳng hạn

>

v m < 0 tức là

> hoặc m < 0.


Luyện thi THPT QG Quyển 1

Trang 21

Mai Nguyễn Minh Hoàng

* Kết luận:
+ Khi

>

v m < 0, ta có phương trình đã cho có tiếp)
III) Bài tập áp dụng:
Bài 2.1: (Đề thi Đại học khối A và A1 năm 2013)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ABC = 30O,
SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính


Luyện thi THPT QG Quyển 1

Trang 51

Mai Nguyễn Minh Hoàng

theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mp (SAB).
ĐS: VS.ABC =

(đvtt) ; d(C, (SAB)) =

√

(đvđd)

Bài 2.2: (Đề thi Đại học khối D năm 2013)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA
vuông góc với đáy, BAD = 120O, M là trung điểm cạnh BC và

SMA = 45O. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và
khoảng cách từ điểm D đến mp (SBC).
ĐS: VS.ABCD =

√

(đvtt) ; d(D, (SBC)) =

(đvđd)

Bài 2.3: (Đề thi Đại học khối A và A1 năm 2012)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu
vuông góc của S trên mp (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho
HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mp (ABC) bằng 60O. Tính
thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng SA và BC theo a.
ĐS: VS.ABC =

√

(đvtt) ; d(SA, BC) =

√

(đvđd)

Bài 2.4: (Đề thi Đại học khối D năm 2012)
Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông, tam giác
A'AC vuông cân, A'C = a. Tính thể tích của khối tứ diện ABB'C' và
khoảng cách từ điểm A đến mp (BCD') theo a.

ĐS: VABB'C' =

√

(đvtt) ; d(A, (BCD')) =

a 6
(đvđd)
6

Bài 2.5: (Đề thi Đại học khối A năm 2011)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
AB = BC = 2a; hai mp (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mp
(ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mp qua SM và song song
với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa 2 mp (SBC) và (ABC) bằng
60O. Tính thể tích của khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và
SN theo a.
ĐS: VS.BCNM = a √3 (đvtt) ; d(AB, SN) =

√

(đvđd)