Ôn luyện Toán cho kì Thi THQG BÀI 2 TL DA

ÔN LUYỆN TRƯỚC KỲ THI
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA
Môn: TOÁN

/>BÀI 02+03

Bài 02+03: Cực trị của hàm số bậc 3 ( Tự luận)

Bài tập tự luyện

I
BÀ

Đáp án chi tiết

GI

Bài toán 1: Cho hàm số: y  x 3  3 m  1 x 2  9x  m .
Tìm m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x 1 ; x 2 sao cho: x 1  x 2  2 .

ẢN

Bài giải:

; y '  3x 2  6 m  1 x  9

Tập xác định: D 

G

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1 ; x 2  phương trình y '  0 có 2 nghiệm phân biệt là x 1 ; x 2



20

m  1  3
2
  'y '  0  9 m  1  27  0  m 2  2m  2  0  
1
m  1  3






17

Khi đó, hàm số đã cho có 2 điểm cực trị: A x1; y1  và B x 2 ; y2  ( x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của phương
trình y '  0 )
x .x  3

 1 2

-1

x  x  2 m  1
Theo định lý Vi-et, ta có:  1 2
2

2

99

Khi đó: x 1  x 2  2   x 1  x 2   4x 1 .x 2  4  4 m  1  12  4  m  1  4  3  m  1 2 
2

9

Kết luận: Từ 1 và  2  suy ra giá trị cần tìm là: m  3; 1  3   1  3;1

 






Ô

Bài toán 2: Cho hàm số: y 

2 3
x  m  1 x 2  m 2  4m  3 x , với m là tham số thực.
3





N

Gọi các điểm cực trị là x 1 ; x 2 . Tìm Max của biểu thức: A  x1.x 2  2 x1  x 2 



; y '  2x 2  2 m  1 x  m 2  4m  3

I



Tập xác định: D 

TH

Bài giải:

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1 ; x 2  phương trình y '  0 có 2 nghiệm phân biệt là x 1 ; x 2





2





  'y '  0  m  1  2 m 2  4m  3  0  m 2  6m  5  0  5  m  1

Khi đó, hàm số đã cho có 2 điểm cực trị: A x1; y1  và B x 2 ; y2  ( x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của phương
trình y '  0 )

/>

 

/>Theo định lý Vi-et, ta có:  
m  4m  3
x .x 
x  x   m  1
1
2
2



1

2

2

Ta có:





A  x1.x 2  2 x1  x 2 

I
BÀ

( Do: 5  m  1 
A

m 2  4m  3
1
1
1
 2 m  1  m 2  8m  7 
m  7 m 1   m  7 m 1
2
2
2
2

















1
1
m 7 m 1   m  7 m 1 )
2
2

















2
1

1
9
9  m 2  8m  16   9  m  4  




 2
2
2





GI

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: m  4
9
2

ẢN

Kết luận: Vậy MaxA=  m  4 .

G

Bài toán 3: Tìm m để hàm số: y  m  2  x 3  3x 2  mx  5 , với m là tham số thực.

17

20

Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các
số dương

Bài giải:

Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương
2







 '  m 2  2m  3  0


m  0
m  2  0


3  m  1

 3  m  2
m  0
m  2


9





99



Ô

a  m  2  0

 '  9  3m m  2  0

m
 P 

0
3 m 2


S  3  0

m 2

-1

 Phương trình y '  3 m  2   6x  m  0 có 2 nghiệm dương phân biệt

N

Kết luận: Vậy m   3; 2  để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ
là các số dương.

TH

Bài toán 4: Cho hàm số: y  x 3  3x 2  mx  2 , với m là tham số thực.

I

Xác định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y  x  1

Bài giải:
Tập xác định: D 

; y '  3x 2  6x  m

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1 ; x 2  phương trình y '  0 có 2 nghiệm phân biệt là x 1 ; x 2

/>


/>  'y '  0  9  3m  0  m  3 *

Khi đó, hàm số đã cho có 2 điểm cực trị: A x1; y1  và B x 2 ; y2  ( x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của phương
trình y '  0 )
Thiện hiện phép chia y cho y ' ta được:

1
 2m


 2m


 2m


1
m
m
m
y   x   y ' 
 2  x   2    y1  y x 1   
 2  x 1   2   ; y2   
 2  x2   2  
3
3
3
3
3
 3


 3



 3


 2m


m
 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:  : y   
 2  x2   2  
3
 3



 

I
BÀ

Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y  x  1  xảy ra 1 trong 2 trường hợp sau:

GI

Trường hợp 1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng vơi đường thẳng

ẢN

 2m

3

 2  1  m  
( Thỏa mãn )
y  x 1   
2
 3


Trường hợp 2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng: y  x  1
y1  y 2
2



x1  x 2

 2m


m
1  
 2  x1  x 2  2  2    x1  x 2  2
3
 3





G

 yI  x I  1 

2







20

 2m

2m

 3  .2  6 
m 0
3
 3


17



3
2

Kết luận: Vậy các giá trị cần tìm của m là: m  0;   .



-1

Bài toán 5: Cho hàm số: y  x 3  3x 2  mx  2 , với m là tham số thực.
Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm
cực trị song song với đường thẳng d : y  4x  3

; y '  3x 2  6x  m

9

Tập xác định: D 

99

Bài giải:

Ô

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1 ; x 2  phương trình y '  0 có 2 nghiệm phân biệt là x 1 ; x 2

N

  'y '  0  9  3m  0  m  3

TH

Khi đó, hàm số đã cho có 2 điểm cực trị: A x1; y1  và B x 2 ; y2  ( x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của phương
trình y '  0 )

I

Thiện hiện phép chia y cho y ' ta được:

1
 2m


 2m


 2m


1
m
m
m
y   x   y ' 
 2  x   2    y1  y x 1   
 2  x 1   2   ; y2   
 2  x2   2  
3
3
3
3
3
 3



 3


 3


 2m


m
 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:  : y   
 2  x2   2  
3
 3



 

Đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với d : y  4x  3

/>

  2m



 2   4
 

/>3


 
 m  3 ( Thỏa mãn)
 2  m   3

3

Kết luận: Vậy m  3 để đồ thị hàm số đã cho có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi
qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d : y  4x  3

I
BÀ

Bài toán 6: Cho hàm số: y  x 3  3x 2  mx  2 , với m là tham số thực.
Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo
với đường thẳng d : x  4y  5  0 một góc 45

GI
ẢN

Bài giải:

Tập xác định: D 

; y '  3x 2  6x  m

G

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1 ; x 2  phương trình y '  0 có 2 nghiệm phân biệt là x 1 ; x 2



  'y '  0  9  3m  0  m  3 *

20

Khi đó, hàm số đã cho có 2 điểm cực trị: A x1; y1  và B x 2 ; y2  ( x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của phương
trình y '  0 )

17

Thiện hiện phép chia y cho y ' ta được:

1
 2m


 2m


 2m


1
m
m
m
y   x   y ' 

 2  x   2    y1  y x 1   
 2  x 1   2   ; y2   
 2  x2   2  
3
3
3
3
3
 3


 3


 3


 2m


m
 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:  : y   
 2  x2   2  
3
 3



99

-1

 

 2m


1
 2  . Đường thẳng d : x  4y  5  0 có hệ số góc bằng  .
4
 3


Đặt: k   

9
TH

1
2

N

Kết hợp điều kiện *  , suy ra giá trị cần tìm của m là: m  

Ô





1
1
1
3
39
k   1 k
k 
m



4 
4
4
5 
10

Ta có: tan 45 
1
1
5
1
1



k   1  k
k 
m
1 k


4
4

3

2
4
k

1
để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các
2
điểm cực trị tạo với đường thẳng d : x  4y  5  0 một góc 45

Kết luận: Vậy m  

I

Chú ý: Nếu k1; k2 theo thứ tự là hệ số góc của d1;d2 . Gọi  là góc giữa hai đường thẳng d1;d2 .
Khi đó ta có công thức sau: tan  

k1  k2
1  k1 .k2

( Điều kiện: d1 KHÔNG vuông góc với d 2 )

/>

Bài toán 7: Tìm m để hàm số: y  x  mx  m  m  1 x  1 đạt cực tiểu tại x  1 .

/>3
1

3

2

2

Bài giải:
Tập xác định: D 

; y '  x 2  2mx  m 2  m  1; y ''  2x  2m

   m  3m  2  0  m  1  m  2 ( Vô nghiệm )


m 1
2  2m  0
y '' 1  0





  
y ' 1  0

2

I
BÀ

Hàm số đạt cực tiểu tại x  1 khi: 

Kết luận: Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x  1 .

GI

Bài toán 8: Tìm m để hàm số: y  m  2  x 3  3x 2  mx  5 có cực đại và cực tiểu .

ẢN

Bài giải:

G

Hàm số có cực đại và cực tiểu  y '  x  đổi dấu 2 lần

 



20

 Phương trình y ' x  0 có hai nghiệm phân biệt



 3 m  2 x 2  6x  m  0 có hai nghiệm phân biệt

17

m  2  0


 '  3m 2  6m  9  0


m  2

 2
m  2m  3  0

m  2

3  m  1

-1

Kết luận: Vậy m   3; 1  \ 2 để hàm số tồn tại 2 điểm cực trị

99

Bài toán 9: Cho hàm số: y  x 3  3x 2  mx  m  2 C m  , với m là tham số thực.

9

Xác định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.

N

Xét phương trình hoành độ giao điểm của C m  và trục hoành:

Ô

Bài giải:



I

C  có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành



TH

x  1
x 3  3x 2  mx  m  2  0 1   2
x  2x  m  2  0 2
m





 Phương trình 1 có 3 nghiệm phân biệt  2 có 2 nghiệm phân biệt khác 1
  '  3  m  0


m3
g 1  m  3  0

 

/>

Kết luận: Vậy m  3 để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với
trục hoành.

/>Bài toán 10: Cho hàm số: y  x 3  3x 2  m *
Xác định m để đồ thị hàm số *  có hai điểm cực trị A; B sao cho AOB  120

I
BÀ

Bài giải:
x  2  y  m  4

Tập xác định: D 

; y '  3x 2  6x  y '  0  

GI

x 0y m


Vậy hàm số có hai điểm cực trị: A  0; m  và B  2; m  4 

ẢN







1
2



OA  0; m ;OB  2; m  4 . Để AOB  120 thì c osAOB  



m m4



2
m  4  m  4 


2





2
1
4  m  0
 m 2  4  m  4   2m m  4   2
3m  24m  44  0


2











20





G



17

 4  m  0
12  2 3


(Thỏa mãn).
12  2 3  m 
3
m 

3

12  2 3
để đồ thị hàm số * có hai điểm cực trị A; B sao cho AOB  120 .
3



-1

Kết luận: Vậy m 

99

Bài toán 11: Cho hàm số: y  x 3  3mx 2  3  m2  1 m  m3  m  *  , với m là tham số thực.



9

Tìm m để hàm số * có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc
tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O .

Ô


; y '  3x 2  6mx  3 m 2  1



Hàm số *  có cực trị thì phương trình y '  0 có 2 nghiệm phân biệt

I

 x 2  2mx  m 2  1  0 có 2 nghiệm phân biệt    1  0, m

TH

Tập xác định: D 

N

Bài giải:

Khi đ: Điểm cực đại: A m  1;2  2m  và điểm cực tiểu B m  1; 2  2m 
Ta có: OA  2OB  m2  6m  1  0  m  3  2 2 ( Thỏa mãn )

/>

Kết luận: Vậy m  3  2 2 để hàm số  *  có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của

/>đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng
đến gốc tọa độ O .

2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

Bài toán 12: Cho hàm số: y  x 3  3x 2  3 1  m  x  1  3m C m 

I
BÀ

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa
độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 .

GI

Tập xác định: D 

Bài giải:



; y '  3 x 2  2x  1  m



ẢN

Hàm số *  có cực trị thì phương trình y '  0 có 2 nghiệm phân biệt    0  m  0 *
Khi đó, hàm số đã cho có 2 điểm cực trị: A x1; y1  và B x 2 ; y2  ( x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của phương

G

trình y '  0 )

Thiện hiện phép chia y cho y ' ta được phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:

20

 : y  2mx  2m  2  y1  2mx1  2m  2; y2  2mx 2  2m  2





x

 x1



2



 4m 2 x 2  x1

17

Ta có: AB  x 2  x1;2m x1  x 2   AB 

2



2

 x 2  x1

4m 2  1

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên  AB  , h là khoảng cách từ O đến AB thì:
2m  2

1
1
 S  .AB.h  x 2  x1
2
2
2
4m  1

4m 2  1.

2m  2

4m 2  1

 x 2  x1 m  1

99

Theo giả thiết: 4 

-1

h 

2 m
. m  1  2 m. m  1  4  m m  1
1







2

4

9





m 3  2m2  m  4  0  m  1 m 2  3m  4  0  m  1 ( Thỏa mãn ).

Ô

Kết luận: Vậy m  1 để hàm số có cực đại, cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu
cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 .

N
TH
I
/>