Ôn luyện Toán cho kì Thi THQG Bài 4 TL DA

/>ÔN LUYỆN TRƯỚC KỲ THI
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA
Môn: TOÁN

BÀI 04

I
BÀ

Bài 04: Cực trị bậc 4

Bài tập tự luyện

GI

Bài toán 1: Tìm tham số m để đồ thị thàm số y  x4  2m2 x2  1 có ba điểm cực trị, đồng thời ba
điểm cực trị này tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân.

ẢN

Bài giải:

Tập xác định: D 

x  0

; y '  4x 3  4m 2x ; y '  0  


Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình *  có 2 nghiệm phân biệt khác 0
2

2
x  m *

G

 m2  0  m  0

20

Khi đó, đồ thị hàm số luôn có 3 điểm cực trị là: A  0;1 ; B m;1  m 4  ;C  m;1  m 4 

Nhận xét: Do A  0;1  Oy , B m;1  m 4  và C  m;1  m 4  luôn đối xứng với nhau qua Oy nên

17

ABC là tam giác cân tại A .

Ta có: AM 

 0  0  1  m
2



1

4

2

-1

Vậy nếu ba điểm cực trị này tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân, điều này tương
đương với ABC vuông tại A .
Gọi M  0;1  m 4  là trung điểm của BC . Tam giác ABC vuông tại A  BC  2AM
 m 4 ; BC 

m   m   1  m  1  m 
2

4

4

2

2m

99

BC  2AM  2 m  2m 4  m  1 ( Do: m  0 )  m  1 ( Thỏa mãn )

Kết luận: Vậy m  1 để đồ thị thàm số có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị này tạo
thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân.

9

Bài toán 2: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  (3m  1)x2  3 có ba điểm cực trị tạo thành
2
lần độ dài cạnh bên.

3

Ô

một tam giác cân sao cho độ dài cạnh đáy bằng

N

Bài giải:
; y '  4x 3  2  3m  1 x ; y '  0  


x2  


3m  1
*
2



TH

x  0

Tập xác định: D 



I

Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình *  có 2 nghiệm phân biệt khác 0
3m  1
1
0m 
2
3

Khi đó, đồ thị hàm số luôn có 3 điểm cực trị là:






3m  1
3m  1
A 0; 3 ; B  
;

2
4







2





 
3m  1
3m  1
 3  ;C   
;
 
2
4
 
 

2


 3




/>

/>







2



3m  1
3m  1
3m  1
3m  1


Nhận xét: Do A 0; 3  Oy , B  
;
 3 và C   
;


2
4
2
4







đối xứng với nhau qua Oy nên ABC là tam giác cân tại A .





I
BÀ

Mà yêu cầu bài toán: độ dài cạnh đáy bằng

GI

3m  1
Ta có: BC  2 
; AB 
2

 3m  1

ẢN





 3  luôn




2
2
lần độ dài cạnh bên nên: BC  AB
3
3









 8 3m  1
16

 3m  1

2
3m  1 2

BC  AB  2 
2
3
3

4

2



G

4

3m  1 1  3m  1  8 3m  1


2
9 
16


 




4

 8 3m  1

3m  1 1
 

2
3

 3m  1

16

5
TM
m 
3

m   1 L

3

4





 8 3m  1
16

 
 

5
để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân sao cho
3
2

độ dài cạnh đáy bằng lần độ dài cạnh bên.
3

Kết luận: Vậy m 

17

20

Bài toán 3: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2(m  2)x2  m2  5m  5 có cực đại, cực tiểu
tạo thành một tam giác đều.

-1

Bài giải:

x  0

; y '  4x 3  4 m  2  x ; y '  0  



x2  2  m *


99

Tập xác định: D 

Để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình *  có 2 nghiệm phân biệt khác 0

Khi đó, đồ thị hàm số luôn có 3 điểm cực trị là:



2  m ;1  m









và C  2  m ;1  m luôn đối xứng với

nhau qua Oy nên ABC là tam giác cân tại A .

N

Nhận xét: Do A  0;m2  5m  5   Oy , B

 

2  m ;1  m ;C  2  m ;1  m

Ô

 



A 0;m2  5m  5 ; B

9

 2 m  0  m  2

Ta có: AB  m 4  8m 3  24m 2  33m  18 ; BC  2 2  m

TH

Yêu cầu bài toán: ABC là tam giác đều  AB  BC ( Do: ABC cân tại A )











 m  2 m 3  6m 2  12m  5  0  m  2  m  2




3

 3   0


I

AB  BC  m 4  8m 3  24m 2  33m  18  2 2  m  m 4  8m 3  24m 2  29m  10  0

 


m  2 L

 m  2   3 3  m  2  3 3 ( Thỏa mãn )
3
 m  2  3




Kết luận: Vậy m  2  3 3 để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác đều.

/>

/>Bài toán 4: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2mx2  m2  m có ba điểm cực trị và ba điểm
cực trị đó tạo thành tam giác có 1 góc bằng 120o.

I
BÀ

Bài giải:

Tập xác định: D 

x  0

; y '  4x 3  4mx ; y '  0  


Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình *  có 2 nghiệm phân biệt khác 0
2
x  m *

GI

 m  0  m  0

Khi đó, đồ thị hàm số luôn có 3 điểm cực trị là: A  0;m2  m  ; B

ẢN

Nhận xét: Do A  0;m2  m   Oy , B











 

m ; m ;C  m ; m



m ; m và C  m ; m luôn đối xứng với nhau qua Oy nên

ABC là tam giác cân tại A .

G

Yêu cầu bài toán: Tam giác có 1 góc bằng 120  BAC  120 ( Do ABC cân tại A )
 cosBAC  cos120  







m ; m 2 ; AC   m ; m 2

m4  m





1
m 1 1
 3
 m  0  m   3 3 ( Thỏa mãn điều kiện )
2
m 1 2
3





17

m m
4

Vậy nên:

20

Ta có: AB 

1
AB.AC
1



2
2
AB . AC

-1

Kết luận: Vậy: m   3 3 để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị và ba điểm cực trị đó tạo thành tam
giác có 1 góc bằng 120o.

Tập xác định: D 

x  0

; y '  4x 3  4mx ; y '  0  

9

Bài giải:

99

Bài toán 5: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2mx2  2m  m4 có cực đại, cực tiểu mà các
cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.

Ô


Để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình *  có 2 nghiệm phân biệt khác 0
2
x  m *

N

m 0

Khi đó, đồ thị hàm số luôn có 3 điểm cực trị là:
Nhận xét: Do A  0;m4  2m   Oy , B

 

 2m  và C   m ;m  m  2m  luôn đối xứng

m ; m4  m 2  2m ;C  m ; m4  m 2  2m



m ; m4  m 2

4

2

Gọi M  0;m4  m 2  2m  là trung điểm của cạnh BC

I

với nhau qua Oy nên ABC là tam giác cân tại A .

TH

 



A 0; m4  2m ; B

1
2

Do ABC cân tại A nên SABC  AM .BC  1
1
2

2
5
2
Mà: AM  m ; BC  2 m  .m .2 m  1  m  1  m  1 ( Thỏa mãn ).

m 1

có cực đại, cực tiểu mà các cực đại, cực tiểu tạo thành

Kết luận: Vậy
để đồ thị hàm số
/>một tam giác có diện tích bằng 1.


/>Bài toán 6: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  2x4  m2 x2  m2  1 có ba điểm cực trị A, B, C sao
cho bốn điểm O, A, B, C là bốn đỉnh của một hình thoi.

I
BÀ

Bài giải:
x  0

Tập xác định: D 

; y '  8x 3  2m 2x ; y '  0  

m2
x2 
*

4

GI


Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình *  có 2 nghiệm phân biệt khác 0

ẢN



m2
0m 0
4

Khi đó, đồ thị hàm số luôn có 3 điểm cực trị là:

 m m4
  m m 4

A 0; m2  1 ; B  ; 
 m 2  1  ;C 
;
 m 2  1 
8
8
2
  2

4
4




m m
m m
Nhận xét: Do A 0;m2  1  Oy , B  ; 
 m 2  1  và C 
;
 m 2  1  luôn đối xứng với
8
8
2

 2


nhau qua Oy nên ABC là tam giác cân tại A .



m4





20





G



17

Gọi M   0; 
 m 2  1  là trung điểm của cạnh BC
8


O, A, B,C là bốn đỉnh của 1 hình thoi  M là trung điểm của đoạn thẳng OA

-1


x A  xO
x M 
m4
m2  1
2


 m2  1 
 m 4  4m 2  4  0  m 2  2  m   2
y

y
8
2
O
y  A
 M
2

1
4

9

99

Kết luận: Vậy m   2 để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A, B, C sao cho bốn điểm O, A, B, C
là bốn đỉnh của một hình thoi.

Bài toán 7: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x 4  ( m  1)x 2  2 m  1 có điểm cực đại là A, hai

Ô



5





N

điểm cực tiểu là B và C sao cho tứ giác ABIC là hình thoi với I  0;   .
2

Đáp án: m 

TH

1
2

I

Bài toán 8: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2m2 x2  m4  1 có ba điểm cực trị A, B, C sao
cho bốn điểm A, B, C, O cùng nằm trên một đường tròn.
Đáp án: m  1

/>

/>Bài toán 9: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2mx2  m có ba điểm cực trị A, B, C, sao
cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính bằng 1.

I
BÀ

Đáp án: m  1; m 

5 1
2

GI

Bài toán 10: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2(m  1)x2  m có ba điểm cực trị A, B, C
sao cho độ dài OA  BC với A là cực trị thuộc trục tung.
Đáp án: m  2  2 2

G

ẢN
17

20
9

99

-1

Ô
N
TH
I
/>