/>ÔN LUYỆN TRƯỚC KỲ THI
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA
Môn: TOÁN
BÀI 05
I
BÀ
Bài 05: Tương giao của hàm phân thức bậc nhất
Bài tập tự luyện
x1
C
2x 1
Tìm tham số m để đồ thị hàm số (C) cắt đường thẳng : y 2m x tại hai điểm phân biệt A, B
Bài toán 1: Cho hàm số: y
GI
sao cho độ dài đoạn thẳng AB 2.
ẢN
Bài giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của C và :
x 1
1
2m x x 2x 2 4mx 2m 1 0 *
2x 1
2
G
17
20
' 0
1
Để C A; B * có 2 nghiệm phân biệt khác 1 2
1
2
2. 4m. 2m 1 0
2
2
-1
4m 2 4m 2 0
1 3 1 3
3
m ;
;
2 2
0
2
Khi đó, C A; B A x1;2m x1 ; B x 2 ;2m x 2
x
2
x1
x
2
2 2 x1 x 2 2 x1 x 2 1
Ta có:
x1 x 2 1 x1 x 2
2
3
1 x1 x 2
1
2
2
4x 1 .x 2 1 2m
2
2m 1
4.
1 4m 2 4m 3 0
2
3
m
2
m 1
2
TH
2
N
2m 1
2
Ô
x1.x 2
x2
9
x1 x 2 2m
Theo định lý Vi-et, ta có:
1
99
Yêu cầu bài toán: AB 2
Kết luận: Vậy m ; để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt A, B sao
I
2
cho độ dài đoạn thẳng AB 2.
/>
/>2x 2
C
x1
Tìm tham số m để đồ thị hàm số (C) cắt đường thẳng d : y 2x m tại hai điểm phân biệt A, B
Bài toán 2: Cho hàm số: y
sao cho độ dài đoạn thẳng AB 5.
I
BÀ
Đáp án: m 10; m 2
2x
C
x1
Tìm tham số m để đường thẳng d : y mx m 2 cắt đồ thị hàm số (C) tại 2 điểm phân biệt
GI
Bài toán 3: Cho hàm số: y
ẢN
A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB ngắn nhất.
Bài giải:
G
Xét phương trình hoành độ giao điểm của C và d :
2x
mx m 2 x 1 mx 2 2mx m 2 0 *
x 1
20
m 0
2m 0 m 0
2 0
-1
m 0
' 0
m.12 2m.1 m 2 0
17
Để d C A; B * có 2 nghiệm phân biệt khác 1
Khi đó, d C A; B A x1; mx1 m 2 ; B x 2 ; mx 2 m 2
2
m 2 1 x 1 x 2
2
4x 1 .x 2
m
8.2m
16 4
m
N
Kết luận: Vậy ABMIN 4 m 1 .
8 m2 1
Ô
m 2 1 x1 x 2
9
Ta có: AB
99
x 1 x 2 2
Theo định lý Vi-et, ta có:
m 2
x 1 .x 2
m
2x 1
C
x1
Tìm m để đường thẳng d : y m 3x cắt (C) tại A, B, sao cho trọng tâm tam giác OAB nằm
TH
Bài toán 4: Cho hàm số: y
I
trên đường thẳng : x y 2 0.
Bài giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của C và d :
2x 1
m 3x x 1 3x 2 m 1 x m 1 0 *
x 1
/>
/>
Để d C A; B * có 2 nghiệm phân biệt khác 1
0
2
3.1 m 1 .1 m 1 0
2
m 1 12 m 1 0
m 2 10m 11 0
3
0
I
BÀ
Khi đó, d C A; B A x1; m 3x1 ; B x 2 ; m 3x 2
m 11
m 1
x1 x 2
xA xB 0
xG
xG
3
3
Gọi G là trọng tâm tam giác OAB . Khi đó, ta có:
2
m
3 x1 x 2
y
y
0
B
y A
y
G
G
3
3
GI
G
G
ẢN
m 1
x 1 x 2
3 G m 1 ; m 1
Theo định lí Vi-et, ta có:
3
9
x .x m 1
1 2
3
20
m 1 m 1
2 0 m 7 ( Thỏa mãn điều kiện )
9
3
Kết luận: Vậy m 7 để d C A; B thỏa mãn trọng tâm tam giác OAB nằm trên đường
17
thẳng : x y 2 0.
7
2
hoành độ x1 , x2 sao cho x1 x2 4.( x1 x2 )
Bài giải:
9
Xét phương trình hoành độ giao điểm của C và d :
99
-1
2x 1
C
1 x
Tìm tham số m để đường thẳng d : y m 2x cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm phân biệt có
Bài toán 5: Cho hàm số: y
2x 1
m 2x x 1 2x 2 m 4 x m 1 0 *
1x
m4
1 0
2
8 m 1 0
7
2
Kết luận: Vậy m
I
m4
x 1 x 2
2
Theo định lí Vi-et, ta có: x .x m 1
1 2
2
Ta có: x1 x2 4.( x1 x2 )
m 2 8 0 m
TH
0
2
2.1 m 4 .1 m 1 0
N
Để d C A; B * có 2 nghiệm phân biệt khác 1
Ô
m1
7
22
2 m 4 m
2
2
3
7
22
để d C A; B có hoành độ x1 , x2 sao cho x1 x2 4.( x1 x2 )
2
3
/>
/>x3
C
x1
Tìm m để đường thẳng d : y x 2m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương.
Bài toán 6: Cho hàm số: y
I
BÀ
Bài giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của C và d :
x 3
x 2m x 1 x 2 2mx 2m 3 0 *
x 1
GI
Để d cắt C tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương thì phương trình * phải có 2 nghiệm
ẢN
m 1
' 0
m 2m 3 0
m 3
3
m 0 m 1;
phân biệt dương x 1 x 2 0 2m 0
2
x .x 0
2m 3 0
3
1 2
m
2
2
G
3
2
20
Kết luận: Vậy m 1; để d cắt C tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương.
17
x2
C
x1
1
Tìm m để đường thẳng : y x m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía so
2
Bài toán 7: Cho hàm số: y
-1
với trục tung.
Bài giải:
99
Xét phương trình hoành độ giao điểm của C và :
x 2
1
x m x 1 x 2 3 2m x 2m 4 0 *
x 1
2
9
có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
TH
4m 2 4m 7 0
m 2;
m 2
3 2m 2 4 2m 4 0
2 0
2m 4 0
N
0
2
1 3 2m 1 2m 4 0
x .x 0
1 2
Ô
Để cắt C tại 2 điểm phân biệt nằm về hai phía so với trục tung thì phương trình * phải
I
Kết luận: Vậy m 2; để cắt C tại 2 điểm phân biệt nằm về hai phía so với trục tung.
2x 1
C
x1
Tìm m để đường thẳng : y 2x m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt nằm về hai nhánh
Bài toán 8: Cho hàm số: y
khác nhau của đồ thị (C ).
/>Bài giải:
/>Xét phương trình hoành độ giao điểm của C và :
2x 1
2x m x 1 2x 2 m 4 x m 1 0 *
x 1
I
BÀ
Để cắt C tại 2 điểm phân biệt nằm về hai nhánh khác nhau của đồ thị C thì phương trình
* phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1 và thỏa mãn: x
Nghĩa là: x 1x 1 0 x .x x x 1 0
1
2
1
2
1
1
1 x2
2
GI
0
2
Vậy ta có hệ điều kiện sau: 2. 1 m 4 .1 m 1 0
x .x x x 1 0
1
2
1 2
2
0
m 4 8 m 1 0
2
2. 1 m 4 .1 m 1 0 3 0
x .x x x 1 0
m 1 m 4
1
2
1 0
1 2
2
2
ẢN
G
m 2 24 0
( Luôn Đúng )
3
0
2
20
Kết luận: Vậy với mọi tham số m thì cắt C tại hai điểm phân biệt nằm về hai nhánh khác
nhau của đồ thị (C ).
17
Bài toán 9: Tìm tham số m để đường thẳng d : y x m cắt đồ thị hàm số (C ) : y
2x 1
tại 2
x1
điểm phân biệt A, B sao cho OAB vuông tại O với O là gốc tọa độ.
-1
Bài giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của C và d :
99
2x 1
x m x 1 x 2 m 1 x m 1 0 *
x 1
Khi đó, d C A; B A x1; x1 m ; B x 2 ; x 2 m
m 5
m 1
N
2
m 6m 5 0
1 0
Ô
m 1 2 4 m 1 0
2
1 m 1 .1 m 1 0
9
Để d C A; B * có 2 nghiệm phân biệt khác 1
TH
x1 x 2 1 m
Theo định lí Vi-et, ta có: x1.x 2 m 1
I
Yêu cầu bài toán: OAB vuông tại O OA OB OAOB
.
0
Ta có: OA x1; x1 m ;OB x 2 ; x 2 m
OAOB
.
0 x1.x 2 x1 m x 2 m 0 2x1x 2 m x1 x 2 m 2 0
2 m 1 m 1 m m2 0 m
2
3
/>
/>Kết luận: Vậy m
2
để d cắt C
3
tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho OAB vuông tại O với O
là gốc tọa độ.
I
BÀ
Bài toán 10: Cho hàm số: y
2x 1
C
x1
Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d : y mx 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B
sao cho diện tích tam giác ABC bằng
GI
3
, biết C(1; 1).
2
Bài giải:
ẢN
Xét phương trình hoành độ giao điểm của C và d :
2x 1
mx 1 x 1 mx 2 m 3 x 0 *
x 1
G
Để d C A; B * có 2 nghiệm phân biệt khác 1
m 0
m3
2
0
20
m 0
0
m
\ 0; 3
17
x 0
m 3
;m 2
m 3 A 0; 1 ; B
x
m
m
Nhận xét: mx 2 m 3 x 0
.AC 23 m 3 3 m 6 TM
1
.d B; AC
2
-1
S ABC
m 0 L
99
Kết luận: Vậy m 6 để d cắt C tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác
bằng
3
, biết C(1; 1).
2
9
ABC
Ô
N
TH
I
/>