- Trang chủ >>
- THPT Quốc Gia >>
- Toán
PTLG co ban va don gian 11 t sy co loi giai
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (591.08 KB, 74 trang )
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
Tháng 8 năm 2012
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN
I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
Bài 1. Giải các phương trình sau :
2
x
x
a. sin + cos ÷ + 3cosx=2
2
2
3
c. s inx+cosxsin2x+ 3cos3x=2 ( cos4x+sin x )
b.
( 1 − 2sin x ) cosx
( 1 + 2sin x ) ( 1 − s inx )
= 3
d. 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0
Giải
x
x
2
1
3
1
a. sin + cos ÷ + 3cosx=2 ⇔ 1+sinx+ 3cosx=2 ⇔ sinx+ cosx=
2
2
2
2
2
π
π π
x + = + k 2π
x = − + k 2π
π
π
3 6
6
⇔ sin x + ÷ = sin ⇔
⇔
( k ∈Z)
3
6
x + π = 5π + k 2π
x = π + k 2π
3
6
2
π
x
≠
−
+ k 2π
6
1
( 1 − 2sin x ) cosx = 3
7π
s inx ≠
+ k 2π
2 ⇔ x ≠
b.
. Điều kiện :
6
( 1 + 2sin x ) ( 1 − s inx )
s inx ≠ 1
π
x ≠ 2 + k 2π
( 1 − 2sin x ) cosx = 3 ⇔ cosx-sin2x=1-sinx+2sinx-2sin 2 x
Khi đó :
( 1 + 2sin x ) ( 1 − s inx )
π
π
⇔ cosx-sinx=sin2x+cos2x ⇔ 2cos 2x- ÷ = 2cos x + ÷
4
4
π
π
π
x = 2 + k 2π
2 x − 4 = x + 4 + k 2π
2π
⇔
⇔
⇒x=k
( k ∈Z)
3
x = k 2π
2 x − π = − x − π + k 2π
3
4
4
c.
s inx+cosxsin2x+ 3cos3x=2 ( cos4x+sin 3 x ) ⇔ s inx+
sin3x+sinx
3sinx-sin3x
+ 3cos3x=2cos4x+
2
2
⇔ 3s inx + sin 3 x + 2 3cos3x=4cos4x+3sinx-sin3x
1
3
sin 3 x +
cos3x=cos4x
2
2
π
π
4 x = 3 x + + k 2π
x = + k 2π
π
6
6
⇔ cos4x=cos 3x+ ÷ ⇔
⇔
( k ∈Z)
6
4 x = −3 x − π + k 2π
x = − π + k 2π
6
42
7
d. 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0 ⇔ 3cos5x- ( sin5x+sinx ) − s inx=0
⇔ 2sin 3x + 2 3cos3x=4cos4x ⇔
⇔ 3cos5x-sin5x=2sinx ⇔
3
1
cos5x- sin 5 x = s inx
2
2
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 1
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
Tháng 8 năm 2012
π kπ
π π
5
x
+
= − x + k 2π
x = 18 + 3
π
π
6 2
⇔ cos 5x+ ÷ = s inx=cos − x ÷ ⇔
⇒
( k ∈Z)
6
2
5 x + π = x − π + k 2π
x = − π + kπ
6
2
6 2
Bài 2. Giải các phương trình sau :
4
4
a. 4 ( sin x + cos x ) + 3 sin 4 x = 2
b. 2 2 ( s inx+cosx ) cosx=3+cos2x
c. cos 2 x = 3 sin 2 x + 2 ( s inx+cosx )
d. sin 4 x − cos 4 x = 2 3 s inxcosx+1
Giải
1
2
2
⇔ 3 + ( 1 − 2sin 2 x ) + 3 sin 4 x = 2 ⇔ cos4x+ 3 sin 4 x = −1
4
4
2
a. 4 ( sin x + cos x ) + 3 sin 4 x = 2 ⇔ 4 1 − sin 2 x ÷+ 3 sin 4 x = 2
1
3
1
π
1
2π
cos4x+
sin 4 x = − ⇔ cos 4x- ÷ = − = cos
2
2
2
3
2
3
π 2π
π kπ
4 x − 3 = 3 + k 2π
x = 4 + 2
⇔
⇔
( k ∈Z)
4 x − π = − 2π + k 2π
x = − π + kπ
3
3
12 2
b. 2 2 ( s inx+cosx ) cosx=3+cos2x ⇔ 2 sin 2 x + 2 2cos 2 x = 3 + cos2x
⇔
⇔ 2 sin 2 x + 2 ( 1 + cos2x ) = 3 + cos2x ⇔ 2 sin 2 x
Ta có : a 2 + b 2 = 2 +
(
)
(
2
(
2 − 1 = 5 − 2 2, c 2 = 3 − 2
( 11 − 6 2 ) − ( 5 − 2 2 ) = 6 − 4
)
2 − 1 cos2x=3- 2
)
2
= 11 − 6 2 . Do đó :
2 = 36 − 32 > 0 ⇒ c 2 > a 2 + b 2 . Phương trình vô nghiệm .
c. cos 2 x = 3 sin 2 x + 2 ( s inx+cosx ) ⇔ cos2x- 3 sin 2 x = 2sin x +
π
÷
4
1
3
π
π
π
cos2xsin 2 x = sin x + ÷ ⇔ sin 2 x − ÷ = sin x + ÷
2
2
4
6
4
π
π
5π
2 x − 6 = x + 4 + k 2π
x = 12 + k 2π
⇔
⇔
( k ∈Z)
2 x − π = 3π − x + k 2π
x = 11π + k 2π
36
3
6
4
4
4
d. sin x − cos x = 2 3 s inxcosx+1 ⇔ cos2x+ 3 sin 2 x = −1
⇔
⇔
1
3
π
π
2π
cos2x+
sin 2 x = −1 ⇔ cos 2x- ÷ = cosπ ⇔ 2 x − = π + k 2π ⇒ x =
+ kπ
2
2
3
3
3
Bài 3. Giải các phương trình sau :
2π
4π
π
π
a. 4sin x sin + x ÷sin − x ÷+ 4 3cosx cos x + ÷cos x + ÷ = 2
3
3
3
3
b. 2sin 4 x + 16sin 3 x.cosx + 3cos 2 x = 5
Giải
2π
π
π
+ x ÷sin − x ÷+ 4 3cosx.cos x +
3
3
3
a. 4sin x sin
Trang 2
3
8
6
6
c. 1 + sin 4 x = cos x + sin x
4π
÷cos x +
3
÷= 2
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
2π
Tháng 8 năm 2012
2π
⇔ 2sin x cos2x-cos
÷+ 2 3cosx cos ( 2 x + 2π ) + cos
÷ = 2
3
3
1
1
⇔ 2sin xcos2x+2sinx. + 2 3cosx.cos2x-2 3cosx. = 2
2
2
⇔ sin 3 x − s inx+sinx + 3 ( cos3x+cosx ) - 3cosx = 2
1
3
2
π
π
⇔ sin 3 x + 3cos3x= 2 ⇔ sin 3 x +
cos3x=
⇔ cos 3x- ÷ = cos
2
2
2
6
4
π k 2π
x
=
+
36
3
⇒
( k ∈Z)
π
x = − + k 2π
36
3
b. 2sin 4 x + 16sin 3 x.cosx + 3cos 2 x = 5
3
Ta có : 16sin xcosx = 4 cos x ( 3sin x − sin 3x ) = 6sin 2 x − 2.2sin 3 x.cosx
=6sin2x-2 ( sin4x+sin2x ) = 4sin 2 x − 2sin 4 x
Cho nên (1) : 2sin 4 x + 4sin 2 x − 2sin 4 x+3cos2x=5 ⇔ 4sin2x.+3cos2x=5
4
3
α
⇔ sin 2 x + cos2x=1 ⇔ cos ( 2x-α ) = 1 ⇔ 2 x − α = k 2π ⇒ x = + kπ ( k ∈ Z )
5
5
2
3
4
Và : cosα = ;sin α =
5
5
3
6
6
c. 1 + sin 4 x = cos x + sin x
8
3 2
3 1 − cos4x 5 3
6
6
Do : sin x + cos x = 1 − sin 2 x = 1 −
÷ = + cos4x
4
4
2
8 8
3
5 3
π
Cho nên (c) trở thành : 1 + sin 4 x = + cos4x ⇔ cos4x-sin4x=1 ⇔ 2cos 4x+ ÷ = 1
8
8 8
4
kπ
π π
x=
4x+ = + k 2π
π
2
π
2
4 4
⇔ cos 4x+ ÷ =
= cos ⇔
⇔
( k ∈Z)
4 2
4
x = − π + kπ
4x+ π = − π + k 2π
8 2
4
4
Bài 4. Giải các phương trình sau :
a. sin 8 x − cos6x= 3 ( sin 6 x + cos8x )
c. 3sin 3 x − 3cos9x=1+4sin 3 3 x
b. cos7x-sin5x= 3 ( cos5x-sin7x )
d. 3cos5x+sin5x-2cos2x=0
Giải
a. sin 8 x − cos6x= 3 ( sin 6 x + cos8x ) ⇔ sin 8 x − 3cos8x= 3 sin 6 x + cos6x
Chia hai vế ơhw[ng trình cho 2 ta có :
1
3
3
1
π
π
⇔
sin 6 x + cos6x ⇔ sin 8x- ÷ = sin 6 x + ÷
2
3
6
π
π
π
π
8 x − 3 = 6 x + 6 + k 2π
2 x = 2 + k 2π
x = 4 + kπ
⇔
⇔
⇔
( k ∈Z)
8 x − π = −6 x + 5π + k 2π
14 x = 7π + k 2π
x = π + kπ
6
12 7
3
6
b. cos7x-sin5x= 3 ( cos5x-sin7x ) ⇔ cos7x+ 3 sin 7 x = 3cos5x+sin5x
2
sin 8 x −
2
cos8x=
2
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 3
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
Chia hai vế phương trình cho 2 ta có kết quả :
Tháng 8 năm 2012
1
3
3
1
π
π
cos7x+
sin 7 x =
cos5x+ sin5x ⇔ cos 7x+ ÷ = cos 5x- ÷
2
2
2
2
3
6
π
π
π
π
7 x + 3 = 5 x − 6 + k 2π
2 x = − 2 + k 2π
x = − 4 + kπ
⇔
⇔
⇔
( k ∈Z)
7 x + π = −5 x + π + k 2π
12 x = − π + k 2π
x = − π + kπ
6
72 6
3
6
c. 3sin 3 x − 3cos9x=1+4sin 3 3 x ⇔
Từ công thức nhân ba : sin 9 x = 3sin 3 x − 4sin 3 3 x cho nên phương trình (c) viết lại :
1
3
1
3sin 3 x − 4sin 3 3 x + 3cos9x=1 ⇔ sin 9 x + 3cos9x=1 ⇔ sin 9 x +
cos9x=
2
2
2
π k 2π
π π
9x- = k 2π
x= +
π 1
π
6 3
18
9
⇔ cos 9x- ÷= = cos ⇔
⇔
( k ∈Z)
6 2
3
9x- π = − π + k 2π
x = − π + k 2π
6
3
27
9
⇔
3
1
π
cos5x+ sin5x=cos2x ⇔ cos 5x- ÷ = cos2x
2
2
6
π
π k 2π
= − + k 2π
x=− +
3
30
5
⇔
( k ∈Z)
π
π k 2π
= + k 2π
x= +
3
10
5
d. 3cos5x+sin5x-2cos2x=0 ⇔
π
5 x − 6
⇔
5 x − π
6
II. PHƯƠNG TRÌNH : BẬC NHẤT - BẬC HAI
ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Bài 1. Giải các phương trình sau :
cos3x+sin3x
a. 5 s inx+
b. cos 2 3x.cos2x-cos 2 x = 0
÷ = 3 + cos2x
1 + 2sin 2 x
π 3
π
4
4
c. cos x + sin x + cos x- ÷.sin 3 x − ÷− = 0 d. 4.s inxcosx+3sin 2 x = 6sin x
4
4 2
Giải
cos3x+sin3x
1
a. 5 s inx+
÷ = 3 + cos2x . Điều kiện : sin 2 x ≠ − (*)
1 + 2sin 2 x
2
Phương trình (a) trở thành :
s inx+2sinx.sin2x+cos3x+sin3x
s inx+cosx-cos3x+cos3x+sin3x
⇔ 5
÷ = 3 + cos2x ⇔ 5
÷ = 3 + cos2x
1 + 2sin 2 x
1 + 2sin 2 x
s inx+cosx+sin3x ( s inx+sin3x ) + cosx 2sin 2 x.cosx+cosx cosx ( 1+2sin2x )
⇔
=
=
=
= cosx
1 + 2sin 2 x
1 + 2sin 2 x
1 + 2sin 2 x
1 + 2sin 2 x
1
cosx=
2
2
2
Cho nên (a) ⇔ 5cos x = 2 + 2 cos x ⇔ 2 cos x − 5cos x + 2 = 0 ⇔
cosx=2>1
Trang 4
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
π
x
=
+ k 2π
1
3
Vậy : cos x = ⇒
. Kiểm tra điều kiện :
2
x = − π + k 2π
Tháng 8 năm 2012
2
1
π
2π
- 2sin + 4kπ ÷+ 1 = 2. + 1 = 2 ≠ 0 . Cho nên nghiệm phương trình là x = + k 2π
2
3
3
2π
1
- 2sin − + 4kπ ÷+ 1 = 2. − ÷+ 1 = 0 Vi phạm điều kiện , cho nên loại .
3
2
π
Tóm lại phương trình có một họ nghiệm : x = + k 2π
3
1+cos2x
=0
b. cos 2 3x.cos2x-cos 2 x = 0 ⇔ cos 2 3 x.cos2x2
⇔ 2 cos 2 3 x.cos2x- ( 1+cos2x ) = 0 ⇔ cos2x ( 1+cos6x ) − 1 − cos2x=0 ⇔ cos6x.cos2x=1
cos4x=1
⇔ cos8x+cos4x=2 ⇔ 2 cos 4 x + cos4x-3=0 ⇔
cos4x=- 3 < −1
2
kπ
( k ∈Z)
Do đó : cos 4 x = 1 ⇔ 4 x = k 2π ⇒ x =
2
2
c.
π 3
1
1
π
3
π
cos 4 x + sin 4 x + cos x- ÷.sin 3 x − ÷− = 0 ⇔ 1 − sin 2 2 x + sin 4 x − ÷+ sin 2 x − = 0
4 2
2
2
2
4
2
1
1
3
⇔ 1 − sin 2 2 x + [ −cos4x + sin 2 x ] − = 0 ⇔ 2 − sin 2 2 x + − ( 1 − 2sin 2 2 x ) + sin 2 x − 3 = 0
2
2
2
sin2x=1
π
π
⇔ sin 2 2 x + sin 2x-2=0 ⇔
⇒ sin 2 x = 1 ⇔ 2 x = + k 2π ⇒ x = + kπ ( k ∈ Z )
2
4
sin2x=-2<-1
s inx=0
4cosx+3sinx=6
2
d. 4.s inxcosx+3sin x = 6sin x ⇔ s inx ( 4cosx+3sinx-6 ) = 0 ⇔
- Với sinx =0 ⇒ x = kπ ( k ∈ Z )
- Do : 42 + 32 = 25 < 62 = 36 . Cho nên phương trình 4cosx+3sinx=6 vô nghiệm .
Bài 2. Giải các phương trình sau
π 2
2 x
2 x
a. sin 2 3x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x
b. sin − ÷tan x − cos = 0
2
π
π
c. tan − x ÷+ 2 tan 2 x + ÷ = 2
2
2
4
2
2
d. 5.s inx-2=3 ( 1-sinx ) .tan x
Giải
a. sin 3x − cos 4 x = sin 5 x − cos 6 x
2
2
2
2
1 −cos6x 1 +cos8x
1 −cos10x 1 +cos12x
⇔
−
=
−
⇔( cos8x+cos6x ) =( cos10x+cos12x )
2
2
2
2
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 5
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
Tháng 8 năm 2012
π
x = + kπ
π
x = 2 + kπ
cosx=0
⇔ 2cos7xcosx = 2cos11xcosx ⇔
⇔ 11x = 7 x + k 2π ⇔ x =
cos11x=cos7x
11x = −7 x + k 2π
x =
π 2
2 x
2 x
b. sin − ÷tan x − cos = 0 . Điều kiện : cosx khác không .
2
2 4
2
kπ
2
kπ
9
( k ∈Z)
Khi đó phương trình trở thành :
π
1 − cos x- ÷ 2
2
1 − s inx ) ( 1 − cos x ) 1 + cosx
(
2 sin x 1 + cosx
⇔
−
=0⇔
−
=0
2
cos 2 x
2
2
2
( 1 − sin 2 x )
⇔
( 1 − cosx ) ( 1 + cosx ) − 1 + cosx = 0 ⇔ 1 + cosx ( 1 − cosx ) − 1 = 0
2
2
2
( 1 + sin x )
( 1 + s inx )
x = π + k 2π
cosx=-1
cosx=-1
1 + cosx ( −cosx-sinx )
⇔
⇔
⇔
( k∈Z)
π
=0⇔
sinx+cosx=
t
anx
=
−
1
2
1
+
s
inx
x
=
−
+
k
π
(
)
4
s inx ≠ 0
s inx ≠ 0
π
π
π
⇔
⇒ x ≠ k ( k ∈Z)
c. tan − x ÷+ 2 tan 2 x + ÷ = 2 . Điều kiện :
2
2
2
sin 2 x ≠ 0
cosx ≠ 0
2
cosx 2cos2x
2 cos x − cos2x
−
=2⇔
=2
Phương trình (c) ⇔ cot x − 2 cot 2 x = 2 ⇔
sinx sin 2 x
s inx.cosx
π
⇔ 2 cos 2 x − cos2x = sin 2 x ⇒ ( 1 + cos2x ) − cos2x=sin2x ⇔ sin2x=1 ⇔ x= + kπ ( k ∈ Z )
4
Nghiệm này thỏa mãn điều kiện .
π
+ kπ ( k ∈ Z )
2
2
sin 2 x 3 ( 1 − s inx ) sin x 3sin 2 x
3sin 2 x
d ⇔ 5.s inx-2=3 ( 1-sinx ) . 2 =
=
⇒
5.s
inx-2=
cos x
1 − sin 2 x
1 + s inx
1 + s inx
1
s inx=2
2
⇔ ( 5.s inx-2 ) ( 1 + s inx ) =3sin x ⇔ 2sin x + 3sin x − 2 = 0 ⇔
2
s inx=2>1
π
x = − 6 + k 2π
1
( k ∈ Z ) ( Thỏa mãn diều kiện )
Vậy phương trình có nghiệm : sin x = − ⇔
2
x = 7π + k 2π
6
Bài 3. Giải các phương trình sau :
1
1
cosx 2sinx+3 2 − 2 cos 2 x − 1
= 2 cos 3 x +
a. 2sin 3 x −
b.
=1
s inx
cosx
1 + sin 2 x
x
x
x
3x 1
c. cos x.cos .cos − s inx.sin .sin = d. 4 cos3 x + 3 2 sin 2 x = 8cos x
2
2
2
2 2
Giải
2
d. 5.s inx-2=3 ( 1-sinx ) .tan x . Điều kiện : cos x ≠ 0 ⇔ x ≠
(
Trang 6
)
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
Tháng 8 năm 2012
s inx ≠ 0
π
1
1
⇒ x ≠ k ( k∈Z)
= 2 cos 3 x +
. Điều kiện :
2
s inx
cosx
cosx ≠ 0
1
1
2sin 3 x.s inx-1 2 cos 3 x.cosx + 1
= 2 cos 3 x +
⇔
=
Khi đó : 2sin 3 x −
s inx
cosx
s inx
cosx
2
cos2x-cos4x-1 cos4x+cos2x + 1
cos2x-2cos 2 x cos2x+2cos 2 2 x
⇔
=
⇔
=
s inx
cosx
s inx
cosx
cosx-sinx-2cos2x
( cosx-sinx ) = 0
1-2cos2 x 1+2cos2 x
⇔ cos2x
−
=
0
⇔
c
os2x
cosx
sinx.cosx
s inx
π kπ
x = 4 + 2
π kπ
cos2x=0
x= +
π
1-2cos2x
4 2
⇔ cos2x ( cosx-sinx )
( k∈Z)
÷ = 0 ⇔ tanx=1 ⇔ x = + kπ ⇒
π
4
sinx.cosx
x = ± + kπ
1
π
6
cos2x=
x = ± + kπ
2
6
a. 2sin 3 x −
Các họ nghiệm này thỏa mãn điều kiện .
b.
(
)
cosx 2sinx+3 2 − 2 cos 2 x − 1
1 + sin 2 x
Khi đó :
(
)
π
= 1 . Điều kiện : sin 2 x ≠ 1 ⇔ x ≠ 4 + kπ ( k ∈ Z ) (*)
cosx 2sinx+3 2 − 2 cos 2 x − 1
1 + sin 2 x
= 1 ⇔ sin 2 x +3 2cosx − 2 cos 2 x − 1 = 1 + sin 2 x
2
2
π
cosx=
⇔ 2 cos x − 3 2cosx + 2 = 0 ⇔
⇒ cosx=
⇔ x = ± + k 2π
2
2
4
cosx= 2 > 1
π
Nhưng do điều kiện (*) Ta chỉ có nghiệm : x = − + k 2π , thỏa mãn .Đó cũng là nghiệm
4
x
3x
x
3x 1
c. cos x.cos .cos − s inx.sin .sin = ⇔ cosx ( cos2x+cosx ) − s inx ( cosx-cos2x ) = 1
2
2
2
2 2
⇔ cos2x ( cosx+sinx ) + cos 2 x − sin xcosx = 1 ⇔ cos2x ( cosx+sinx ) − s inxcosx-sin 2 x = 0
2
⇔ cos2x ( cosx+sinx ) − s inx ( cosx+sinx ) = 0 ⇔ ( cosx+sinx ) ( cos2x-sinx ) = 0
π
x = − 4 + kπ
t anx=-1
( cosx+sinx ) = 0
π k 2π
⇔
⇔
⇔ x = +
( k ∈Z)
π
cos2x=sinx=cos − x ÷
6
3
( cos2x-sinx ) = 0
2
x = − π + k 2π
2
(
)
3
2
d. 4 cos x + 3 2 sin 2 x = 8cos x ⇔ 2 cos x 2 cos x + 3 2 s inx-4 = 0 .
cosx=0
2 cos x = 0
cosx=0
2
⇔
⇔
⇔ sinx=
2
2
2
2 ( 1 − sin x ) + 3 2 s inx-4=0
2sin x − 3 2 s inx+2=0
s inx= 2 > 1
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 7
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
Tháng 8 năm 2012
π
x = 2 + kπ
cosx=0
π
Do đó Phương trình có nghiệm :
2 ⇔ x = 4 + k 2π ( k ∈ Z )
sinx=
2
x = 3π + k 2π
4
Bài 4. Giải các phương trình sau :
π
π
a. cos 2 x + ÷+ cos 2x- ÷+ 4sin x = 2 + 2 ( 1 − s inx )
4
(
4
)
2
2
b. 3cot x + 2 2 sin x = 2 + 3 2 cosx
1
3
4sin 2 2 x + 6sin 2 x − 9 − 3cos 2 x
=0
c.
cosx
2
5
d. Cho : f ( x) = s inx+ sin 3x + sin 5 x . Hãy giải phương trình : f'(x)=0.
Giải
π
π
⇒ cos 2 x + ÷+ cos 2x- ÷+ 4sin x = 2 + 2 ( 1 − s inx )
4
4
a.
π
⇔ 2 cos 2 x.cos + 4sin x = 2 + 2 ( 1 − s inx )
2
x = α + k 2π
2+ 2
⇔ sin x 4 + 2 = 2 + 2 ⇔ s inx=
= sin α ⇔
( k∈Z)
4+ 2
x = π − α + k 2π
(
)
(
)
2
2
b. 3cot x + 2 2 sin x = 2 + 3 2 cosx . Điều kiện : sin x ≠ 0 ⇒ x ≠ kπ
Chia hai vế phương trình cho : sin 2 x ≠ 0 . Khi đó phương trình có dạng :
(
)
2
(
)
cosx
cosx
⇒ 3cot x + 2 2 sin x = 2 + 3 2 cosx ⇔ 3 2 ÷ + 2 2 = 2 + 3 2 2 ÷
sin x
sin x
t = 2
cosx
2
Đặt : t = 2 ⇒ 3t − 2 + 3 2 t + 2 2 = 0 ⇔ 2
sin x
t=
3
cosx=- 2 < −1
2
2
2
cosx= 2 sin x
2
c
osx=
cosx=
2
c
os
x
+
c
osx2
=
0
2
2
⇔
⇔
⇔
⇔
2
cosx= 2 sin 2 x
1
2 cos x + 3cos x − 2 = 0
cosx= 1
cosx=
3
2
2
cosx=-2<-1
2
2
(
)
π
2
x = ± + k 2π
cosx=
4
2 ⇔
( k ∈Z)
Do đó phương trình có nghiệm : ⇔
π
1
x = ± + k 2π
cosx= 2
3
2
2
π
4sin 2 x + 6sin x − 9 − 3cos 2 x
= 0 . Điều kiện : cosx ≠ 0 ⇒ x ≠ + kπ ( k ∈ Z )
c.
2
cosx
2
2
4sin 2 x + 6sin x − 9 − 3cos 2 x
= 0 ⇔ 4 ( 1 − cos 2 2 x ) + 3 ( 1 − cos2x ) − 9 − 3cos 2 x = 0
Khi đó :
cosx
Trang 8
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
Tháng 8 năm 2012
t = cos2x; t ≤ 1
t = −1
t = cos2x; t ≤ 1 t = −1
2
⇔ 4cos 2 x + 6 cos 2 x + 2 = 0 ⇔ 2
⇔
⇔
t = − 1
2t + 3t + 1 = 0
1
2
t = − 2
π
cos2x = −1
x = 2 + kπ
π
⇔
⇔
x = + kπ vi phạm điều kiện .
.
Nhưng
nghiệm
:
1
cos2x = −
2
x = ± π + kπ
2
3
π
Vậy phương trình có nghiệm : x = ± + k 2π ( k ∈ Z )
3
1
2
d. Cho : f ( x) = s inx+ sin 3x + sin 5 x . Hãy giải phương trình : f'(x)=0.
3
5
Ta có : f ' ( x ) = cosx+cos3x+2cos5x=0 ⇔ ( cos5x+cosx ) + ( coss5x+cos3x ) = 0
t = cosx; t ≤ 1
⇔ 2 cos 3 xcos2x + 2 cos 4 x cos x = 0 ⇔ 3
2
2
2
( 4t − 3t ) ( 2t − 1) + t 2 ( 2t − 1) − 1 = 0
t = 0
cosx = 0
t = cosx; t ≤ 1
t = cosx; t ≤ 1
⇔ 5
⇔
⇔ 2 9 ± 17 ⇔
4
2
3
t =
2 cos 2 x = 9 ± 17
2t ( 8t − 9t + 2 ) = 0
16t − 18t + 4t = 0
16
8
cosx = 0
cosx = 0
⇔
⇔
cos2x = 9 ± 17 − 1 cos2x = 9 ± 17 − 1 = 1 ± 17
8
8
8
π
- Trường hợp : cosx=0 ⇒ x = + kπ
2
1- 17
α
= cosα
x= ± +kπ
cos2x=
2x=
±
α
+k2
π
8
2
⇔
⇔
( k ∈Z)
- Trường hợp : ⇔
β
1+ 17
2x= ± β + k 2π
x= ± + kπ
= cosβ
cos2x=
2
2
Bài 5. Giải các phương trình sau :
5x
x
= 5cos 2 x.sin
2
2
6x
x
c. 2 cos 2 + 1 = 3cos
5
5
2
b. sin 2 x ( cot x + tan 2 x ) = 4 cos x
a. sin
π
3
d. tan x − ÷ = t anx-1
4
Giải
5x
x
= 5cos 2 x.sin
2
2
x
Đặt : t = ⇒ x = 2t . Khi đó phương trình trở thành : sin 5t = 5cos 2 2t sin t (2)
2
a. sin
Nhan hai vế với 2cost ta được :
⇔ 2sin 5t.cost=5cos 2 2t.2cost.sint ⇔ sin6t+sin4t=5cos 2 2t.sin 2t
5
5
⇔ sin6t+sin4t= cos2t.2 cos 2t sin 2t = sin 4t.cos2t
2
2
3
⇔ 3sin 2t − 4sin 2t + 2sin 2t.cos2t- 5cos 2 2t.sin2t=0
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 9
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
Tháng 8 năm 2012
(
)
⇔ sin 2t ( 3 − 4sin 2 2t + 2.cos2t- 5cos 2 2t ) =0 ⇔ sin 2t 3 − 4 ( 1 − cos 2 2t ) + 2.cos2t- 5cos 2 2t =0
sin2t=0
2t = k 2π
⇔ sin 2t ( 1 − 2.cos2t+cos 2 2t ) =0 ⇔
⇔
⇒ x = 2 kπ
cos2t=1 2t = k 2π
2
b. sin 2 x ( cot x + tan 2 x ) = 4 cos x
sin t ≠ 0
. Khi đó phương trình trở thành :
cos2t ≠ 0
Điều kiện :
cosx sin 2 x
cos xcos2x+sin2x.sinx
2
2
⇔ sin 2 x
+
÷ = 4 cos x ⇔ sin 2 x
÷ = 4 cos x
sinxcos2x
sinx cos2x
1
cosx
2
2
⇔ 2sin x.cosx
− 2 ÷= 0
÷ = 4 cos x ⇔ 2cos x
sinxcos2x
cos2x
π
2cos 2 x=0
x
=
+ kπ
2
⇔
⇔
( k ∈ Z ) Các nghiệm thỏa mãn điều kiện .
cos2x= 1
π
x = ± + kπ
2
6
6x
x
x
c. 2 cos 2 + 1 = 3cos . Đặt : t = ⇒ x = 5t . Khi đó phương trình có dạng :
5
5
5
2
⇔ 2 cos 6t + 1 = 3cos t ⇔ 2 + cos12t=3cost ⇔ 3cost-cos12t=2
t = k 2π
cost=1
t = k 2π
⇔
⇔ lπ . Nếu phương trình có nghiệm thì tồn
Chỉ xảy ra khi :
cos12t=1 12t = l 2π
t = 6
lπ
tại k,l thuộc Z sao cho hệ có nghiệm chung . Có nghĩa là : k 2π = ( k , l ∈ Z ) ⇔
6
lπ
12kπ
k 2π = ( k , l ∈ Z ) ⇔ 12k = l ⇒ x =
= 2k π
6
6
π
3
d. tan x − ÷ = t anx-1
4
π
cos x- ÷ ≠ 0
Điều kiện : 4 ( *) . Khi đó phương trình trở thành :
cosx ≠ 0
π
tan x − tan
4 = t anx-1 ⇔ tanx-1 − ( t anx-1) = 0 ⇔ ( tanx-1) 1 − 1 = 0 ⇔ t anx=1
⇔
÷
tanx=0
π
tanx+1
tanx+1
1 + t anx.tan
4
π
x = + kπ
⇔ 4
Nghiệm này thỏa mãn điều kiện (*)
x=kπ
Bài 6. Giải các phương trình sau :
sin 4 2 x + cos 4 2 x
= cos 4 4 x
a.
π
π
tan − x ÷tan + x ÷
4
4
b. 48 −
1
2
− 2 ( 1 + cot 2 x.cot x ) = 0
4
cos x sin x
5
4
c. sin 8 x + cos8 x = 2 ( sin10 x + cos10 x ) + cos2x
Trang 10
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
d. cot x − 1 =
Tháng 8 năm 2012
cos2x
1
+ sin 2 x − sin 2 x
1+tanx
2
Giải
sin 2 x + cos 2 x
= cos 4 4 x
a.
.
π
π
tan − x ÷tan + x ÷
4
4
π
π
π
π
Do : tan − x ÷tan + x ÷ = tan + x ÷cot + x ÷ = 1 . Cho nên mẫu số khác không .
4
4
4
4
1 2
4
4
4
4
Phương trình trở thành : sin 2 x + cos 2 x = cos 4 x ⇔ 1 − sin 4 x = cos 4 x
2
t
=
1
t = cos 2 4 x.0 ≤ t ≤ 1
2
4
⇔ 2 − ( 1 − cos 4 x ) = 2cos 4 x ⇔ 2
⇔
1
2t − t − 1 = 0
t = − 2 < 0
kπ
Vậy : t = 1 ⇔ cos 2 4 x = 1 ⇔ sin 4 x = 0 ⇒ x =
.
4
π
π
Đối chiếu với điều kiện để tan − x ÷va tan + x ÷ có nghĩa thì ta phải bỏ đi các nghiệm
4
4
π
π
k = 2n + 1 ⇒ x = 4 + nπ ↔ cos 4 + x ÷ = 0
ứng với k là lẻ :
. Do đó phương trình chỉ có
π
π
k = 2n − 1 ⇒ x = − + nπ ⇔ cos − x ÷ = 0
4
4
nπ
nghiệm ứng với k là chẵn : x= ( n ∈ Z )
2
cosx ≠ 0
π
1
2
⇔ x ≠ k (*)
b. 48 − 4 − 2 ( 1 + cot 2 x.cot x ) = 0 . Điều kiện :
2
cos x sin x
sinx ≠ 0
1
2 cos2 x cos x
.
Phương trình ⇔ 48 − 4 − 2 1 +
÷= 0
cos x sin x sin2x s inx
1
2 sin 2 x s inx + cos2 x cos x
1
2
cosx
⇔ 48 −
− 2
.
− 2
=0
÷ = 0 ⇔ 48 −
4
4
cos x sin x
sin2x
s inx
cos x sin x 2sin 2 x.cosx
1
1
⇔ 48 −
− 4 = 0 ⇔ 48sin 4 x cos 4 x − sin 4 x − cos 4 x = 0
4
cos x sin x
2
t =− <0
2
t
=
sin
2
x
;0
≤
t
≤
1
1
3
⇔ 3sin 4 2 x − 1 − sin 2 2 x ÷ = 0 ⇔ 2
⇔
2
t = 1
6t + t − 2 = 0
2
1
π kπ
Do đó : sin 2 2 x = ⇔ 1 − 2sin 2 2 x = 0 ⇔ cos4x=0 ⇒ x= +
. Thỏa mãn điều kiện (*)
2
8 4
5
⇔ sin 8 x + cos8 x = 2 ( sin10 x + cos10 x ) + cos2x
4
c.
5
⇔ ( sin 8 x − 2sin10 x ) + ( cos8 x − 2 cos10 x ) − cos2x=0
4
5
⇔ sin 8 x ( 1 − 2sin 2 x ) + cos8 x ( 1 − 2 cos 2 x ) − cos2x=0
4
4
4
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 11
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
Tháng 8 năm 2012
5
5
⇔ sin 8 xcos2x-cos8 xcos2x − cos2x=0 ⇔ cos2x sin 8 x − cos8 x − ÷ = 0
4
4
π kπ
- Trường hợp : cos 2 x = 0 ⇒ x = +
4 2
5
- Trường hợp : sin 8 x − cos8 x − ⇔ 4 ( sin 4 x − cos 4 x ) ( sin 4 x + cos 4 x ) − 5 = 0
4
1
1
⇔ 4 ( sin 2 x − cos 2 x ) 1 − sin 2 2 x ÷− 5 = 0 ⇔ −4cos2x 1 − sin 2 2 x ÷− 5 = 0
2
2
2
⇔ −4cos2x+2cos2x ( 1 − cos 2 x ) − 5 = 0 ⇔ 2cos3 2x+2cos2x+5 = 0
3
2
Đặt : t = cos2x ⇒ t ∈ [ -1;1] ⇒ VT = f (t ) = 2t + 2t + 5 → f '(t ) = 6t + 2 > 0 ∨ t ∈ [ 1;1]
Chứng tỏ f(t) đồng biến . Khi đó tại f(-1)=1 và f(1)=9 cho nên với mọi t ∈ [ 1;1] ⇒ f (t ) > 0
Vậy phương trình vô nghiệm .
cosx ≠ 0
( *)
tanx ≠ -1
cos x
cos 2 x − sin 2 x
⇔
−1 =
+ sin x ( s inx − cosx )
Phương trình trở thành :
sinx
s inx
1+
cosx
tan = −1
t anx=1
1
⇔ ( cosx − sin x )
− cosx + sin x ÷ = 0 ⇔ 2
⇔
s inx
cos x − s inx.cosx=0
cosx ( cosx-sinx ) = 0
π
Do cosx ≠ 0 ⇒ Phương trình chỉ có nghiệm : t anx=-1 ⇔ x=- + kπ ( k ∈ Z )
4
d. cot x − 1 =
cos2x
1
+ sin 2 x − sin 2 x . Điều kiện :
1+tanx
2
Bài 7. Giải các phương trình sau :
a. sin 2 x + 2 tan x = 3
b. cot x − t anx+4sin2x=
c. ( 1 − t anx ) ( 1 + sin 2 x ) = 1 + t anx
d. sin 4 x = t anx
Giải
a. sin 2 x + 2 tan x = 3 . Điều kiện : cosx ≠ 0 . Khi đó phương trình viết lại :
t = t anx
2 tan x
+ 2 tan x = 3 ⇔ 3
⇔ ( t − 1) ( 2t 2 − t + 3) = 0 ↔ t = 1
2
2
1 + tan x
2t − 3t + 4t − 3 = 0
π
Vậy phương trình có nghiệm là : t = 1 ⇔ t anx=1 ⇒ x= + kπ ( k ∈ Z )
4
s inx ≠ 0
2
⇒ x ≠ mπ ( m ∈ Z ) ( *)
b. cot x − t anx+4sin2x=
. Điều kiện :
sin2x
cosx ≠ 0
cos x sinx
2
2 cos 2 x
2
−
+4sin2x=
⇔
+ 4sin 2 x =
Phương trình ⇔
s inx cosx
sin2x
sin 2 x
sin 2 x
2
2
2
⇔ cos2x + 2sin 2 x = 2 ⇔ cos2x=2 ( 1-sin 2 x ) ⇔ 2 cos 2 x − cos2x=0
⇔
π
π kπ
π
cos2x=0
2 x = 2 + kπ → sin 2 x = sin 2 + kπ ÷ = ±1 ≠ 0 x = +
4 2
⇔
⇔
⇒
.
1
cos2x=
π
π
x = ± + kπ
2
2 x = ± 3 + 2kπ
6
Thỏa mãn (*)
Trang 12
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
2
sin2x
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
c. ( 1 − t anx ) ( 1 + sin 2 x ) = 1 + t anx . Điều kiện : cosx ≠ 0
Khi đó phương trình trở thành : ⇔ ( 1 − t anx ) 1 +
( 1 + t anx )
Tháng 8 năm 2012
2 t anx
÷ = 1 + t anx
1+tan 2 x
2
1 − tan 2 x
−2 tan 2 x
⇔ ( 1 − t anx )
= 1 + t anx ⇔ ( 1 + t anx )
− 1÷ = 0 ⇔ ( 1 + t anx )
=0
2
1+tan 2 x
1 + tan 2 x
1 + tan x
π
t anx=1 x = + kπ
⇔
⇔
( k ∈ Z ) . Thỏa mãn điều kiện (*).
4
tanx=0
x = kπ
d. sin 4 x = t anx . Điều kiện : cosx ≠ 0 (*)
Có 2 phương pháp giải :
sinx
⇔ 2sin 4 x.cosx=2sinx ⇔ sin5x+sin3x=2sinx
cosx
⇔ ( sin5x-sinx ) + ( sin3x-sinx ) = 0 ⇔ 2 cos 3 x sin 2 x + 2 cos 2 x sin x = 0
Cách 1. sin 4 x = t anx ⇔ sin 4 x =
⇔ 2sin x ( cos4x+cos2x+cos2x ) = 0 ⇔ 2sin x ( 2 cos 2 2x+2cos2x-1) = 0
s inx=0
s inx=0
x = kπ
s inx=0
-1- 3
⇔
⇔ cos2x=
< −1 ⇒
( k∈Z)
α
3 −1 ⇔
2
2
x
=
±
+
k
π
2cos
x
+
2
cos
2
x
−
1
=
0
cos2x=
2
2
cos2x= 3 − 1
2
s inx=0
sinx
⇔ s inx ( 4cos2x.cos 2 x − 1) = 0 ⇔
Cách 2. ⇔ 2sin 2 xcos2x =
cosx
2cos2x(1+cos2x)-1=0
s inx=0
s inx=0
⇔
⇔
2
cos2x= 3 − 1 . ( Như kết quả trên )
2cos
2x+2cos2x-1=0
2
Bài 8. Giải các phương trình sau :
π
π 9
4
4
4
a. sin x + sin x + ÷+ sin x − ÷ =
4
4
8
b.
d. cos
c. 4 cos 4 x + 3 2 sin 2 x = 8cos x
(
)
s inx 3 2 − 2 cos x − 2sin 2 x − 1
1 − sin 2 x
=1
4x
= cos 2 x
3
Giải
a.
2
2
π
π
1 − cos 2x+ ÷÷ 1 − cos 2x- ÷÷
π
π 9
2 ÷
2 ÷
4
4
4
4
sin x + sin x + ÷+ sin x − ÷ = ⇔ 8sin x + 8
+
=9
4
4 8
2
2
÷
÷
÷
÷
( 1 − cos2x )
⇔8
4
2
1 + cos2 x 2 1 − sin 2 x 2
1 4
+ 8
÷ +
÷ = 9 ⇔ sin 2 x + 2 [ 3 + 2 cos 2 x − 2sin 2 x ] = 9
2
2
2
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 13
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
Tháng 8 năm 2012
-2- 6
< −1
sin2x=
2
2
2
⇔ 2 cos 2 x − 4sin 2 x − 1 = 0 ⇔ 2sin 2 x + 4sin 2 x − 1 = 0 ⇔
−2 + 6
sin 2 x =
2
α
x = + kπ
6 −2
2
= sin α ⇔
( k ∈Z)
Vậy phương trình có nghiệm : sin 2 x =
2
x = π − α + kπ
2 2
b.
(
)
s inx 3 2 − 2 cos x − 2sin 2 x − 1
1 − sin 2 x
= 1 . Điều kiện : sin2x khác 1 (*)
Phương trình trở thành :
(
)
⇔ s inx 3 2 − 2 cos x − 2sin 2 x − 1 = 1 − sin 2 x ⇔ 3 2 s inx − sin 2 x − 2sin 2 x − 1 = 1 − sin 2 x
π
2
x = + k 2π
2
s inx=
4
⇔ 2sin 2 x − 3 2 s inx + 2 = 0 ⇔
⇒ s inx=
⇔
( k∈Z)
2
3π
2
x=
+ k 2π
s inx= 2 > 1
4
π
π
Đối chiếu với điều kiện (*) thì với x = + kπ ⇒ sin 2 x = sin + k 2π ÷ = 1 vi phậm điều
4
2
3π
+ k 2π
kiện . Cho nên phương trình chỉ còn nghiệm : x =
4
4
2
c. 4 cos x + 3 2 sin 2 x = 8cos x ⇔ 2 cos x 2 cos x + 3 2 s inx-4 = 0
(
)
cosx=0
⇔ 2 cos x 2 ( 1 − sin 2 x ) + 3 2 s inx-4 = 0 ⇔
2
2sin x − 3 2 s inx+2=0
cosx=0
π
x = + kπ
2
2
⇔ sinx=
⇔
( k ∈Z)
2
x = π + k 2π ∨ x = 3π + k 2π
4
4
s inx= 2 > 1
2x
1 + cos3 ÷ 2 x
3
t=
→x= t
4
x
2x
3
2
d. cos = cos x ⇔ cos2 ÷ =
⇔
3
2 . Do đó :
3
2
3
2 cos 2t = 1 + cos3t
u = cost
⇒ 2 ( 2 cos 2 t − 1) = 1 + 4 cos 3 t − 3cos t ⇔ 3
⇒ ( u − 1) ( 4u 2 + 4u − 3) = 0
4u − 4u − 3u + 3 = 0
u = 1
t = k 2π
x = 3kπ
cost=1
( u − 1) = 0
3
⇔ 2
⇔ u = − < −1 ⇔
⇔
⇔
( k∈Z)
t = ± π + k 2π
x = ± π + 3kπ
cost= 1
2
( 4u + 4u − 3) = 0
3
6
2
1
u =
2
Bài 9. Giải các phương trình sau :
Trang 14
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
π
a. sin 2 x + 2 sin x − ÷ = 0
Tháng 8 năm 2012
3x
4x
+ 1 = 3cos
5
5
2
d. 3tan2x-4tan3x= tan 3 x.tan 2 x
b. 2 cos 2
4
c. 3cos 4 x − 2 cos 3 x = 1
2
Giải
π
a. sin 2 x + 2 sin x − ÷ = 0 ⇔ sin 2 x + s inx-cosx=0 .
4
π 1− 5
t=sinx-cosx; t ≤ 2 → sin 2 x = 1 − t 2
2 sin x + ÷ =
4
2
⇔
⇔
1
−
5
1
+
5
π 1+ 5
∨t =
1 − t 2 + t = 0 ↔ t 2 − t − 1 = 0 ↔ t =
2 sin x + ÷ =
2
2
4
2
π 1− 5
π
3π
= sin α
x = α − + k 2π ∨ x =
− α + k 2π
sin x + ÷ =
4 2 2
3
4
⇔
⇔
( k ∈Z)
π 1+ 5
x = β − π + k 2π ∨ x = 3π − β + k 2π
sin x + ÷ =
= sin β
3
4
4 2 2
4x
6x
4x
2x
2x
2 3x
+ 1 = 3cos
⇔ 1 + cos + 1 = 3cos
⇔ cos3 ÷+ 2 = 3cos 2 ÷
b. 2 cos
5
5
5
5
5
3
3
2x
⇒x= t
t =
u = cost
⇔
⇒ 4 cos3 t − 3cos t − 3 ( 2 cos 2 t − 1) + 2 = 0 ⇔
3
2
2
cos3t + 2 = 3cos 2t
( u-1) ( 4u − 2u − 5 ) = 0
x = 5kπ
u = 1
cost=1
t
=
k
2
π
1- 21
⇔
⇔
⇔
⇒
5
1
−
21
1
+
21
121
u =
x = ± arxcos
÷
∨u =
> 1 cost=
t = ±α + k 2π
÷+ 5kπ
2
4
4
4
4
2
c. 3cos 4 x − 2 cos 3 x = 1 ⇔ 3cos 2.2 x − ( 1 + cos6x ) − 1 = 0
t = cos2x
⇔ 3 ( 2 cos 2 2 x − 1) − ( 4 cos 3 2 x − 3cos 2 x ) − 2 = 0 ⇔⇔ 3
⇔ ( t − 1) ( 4t 2 − 2t − 5 ) = 0
2
4t − 6t − 3 − 5 = 0
x = kπ
t = 1
t = 1
cos2x=1
1- 21
⇔ 1 − 21
⇒ 1 − 21 ⇔
⇔
1
+
21
121
t =
cos2x=
x = ± arccos
÷
∨t =
> 1 t =
÷+ kπ
4
4
4
4
4
2
d. 3tan2x-4tan3x= tan 3 x.tan 2 x
cos2x ≠ 0
( *) Phương trình trở thành :
Điều kiện :
cos3x ≠ 0
⇔ 3 tan 2 x − 4 tan 3 x = tan 2 3 x.tan 2 x ⇔ 3 ( tan 2 x − tan 3 x ) = tan 3 x ( tan 3 x.tan 2 x + 1)
( tan 2 x − tan 3x )
1
= tan 3 x ⇔ −3 tan x = tan 3 x ⇔ 2 tan x + ( tan 3 x + t anx ) = 0
( tan 3x.tan 2 x + 1) 3
sin x
sin 4 x
sin x 4sin x cos x cos 2 x
⇔2
+
=0⇔2
+
=0
cosx cos3x.cosx
cosx
cos3x.cosx
2 cos 2 x
1
cos3x+2cos2x.cosx
⇔ 2s inx
+
÷ = 0 ⇔ 2s inx
÷= 0
cosx.cos3x
cosx cos3x
⇔
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 15
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
x = kπ
s inx=0
Tháng 8 năm 2012
x = kπ
⇔
⇔
⇔
3
3
cos3x+cos3x+cosx=0
2 ( 4 cos x − 3cos x ) + cosx=0
8cos x − 5cos x = 0
x = kπ
x = kπ
π
⇔ cosx=0
⇔ x= + kπ
Đối chiếu với điều kiện ta thấy nghiệm
2
5
5
cosx= = cosα
x= ± arccos + k 2π
8
8
π
π
x = + kπ ⇔ cos3x=cos 3 + 3kπ ÷ = 0 . Vi phạm điều kiện , nên bị loại .
2
2
x = kπ
( k ∈Z)
Vậy phương trình còn có nghiệm là : ⇔
5
x= ± arccos + k 2π
8
Bài 10. Giải các phương trình sau :
3π x 1 π 3 x
b sin − ÷ = sin + ÷
10 2 2 10 2
13
cos 2 2 x
8
6
6
cos x + sin x 1
= tan 2 x
c.
cos 2 x − sin 2 x 4
6
6
a. cos x + sin x =
d. cos 2 x + cos 2 2 x + cos 2 3x + cos 2 4 x = 2
Giải
13
3
13
3 ( 1 − cos4x ) 13 ( 1 + cos4x )
cos 2 2 x ⇔ 1 − sin 2 2 x = cos 2 2 x ⇔ 1 −
=
8
4
8
4
2
8
2
3
1
3 kπ
⇔ 16 − 6 ( 1 − cos4x ) = 13 ( 1 + cos4x ) ⇔ 7 cos 4 x = −3 ⇔ cos4x=- ⇒ x = ± arccos − ÷+
7
4
7 2
3π x 1 π 3 x
3π x
π 3x
b. sin − ÷ = sin + ÷ ⇔ 2sin − ÷ = sin + ÷
10 2 2 10 2
10 2
10 2
3x π
3π
π
+ = 3
− y ÷+ = π − 3 y
3π x
x 3π
2 10
10
10
− ⇒ =
−y⇒
Đặt : y =
10 2
2 10
3π
x = 5 − 2 y ( *)
3
Do đó phương trình đã cho trở thành : 2sin y = sin ( π − 3 y ) = sin 3 y = 3sin y − 4sin y
a. cos6 x + sin 6 x =
sin y = 0
sin y = 0
sin y = 0
⇔ 4sin y − sin y = 0 ⇔
⇔
⇔
2
cos 2 y = 1
2
1
−
c
os2y
−
1
=
0
)
4sin y − 1 = 0
(
2
3π
x=
− 2 kπ
3π
5
y = kπ
y = kπ
x = 5 − 2 kπ
π
⇔
⇔
⇒
⇔ x = − + 4 kπ
π
π
2 y = ± + k 2π
y = ± + kπ
15
x = 3π ± 2π + 4kπ
3
6
5
3
x = 19π + 4kπ
15
6
6
π kπ
cos x + sin x 1
( k ∈Z) .
= tan 2 x . Điều kiện : cos2x ≠ 0 ⇒ x ≠ +
c.
2
2
4 2
cos x − sin x 4
3
Trang 16
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
Tháng 8 năm 2012
3
1 − sin 2 2 x
t = sin 2 x
1 sin 2 x
4
Khi đó PTd/ trở thành :
=
⇔ 4 − 3sin 2 2 x = sin 2 x ⇔ 2
cos2x
4 cos2x
3t + t − 4 = 0
t = 1
sin 2 x = 1
⇔
⇒ t =1⇔
⇒ x ∈ ∅ . Phương trình vô nghiệm .
4
t = − < −1
cos2x=0
3
1 + cos2x 1 + cos4x 1 + cos6x 1 + cos8x
+
+
+
=2
d. cos 2 x + cos 2 2 x + cos 2 3x + cos 2 4 x = 2 ⇔
2
2
2
2
⇔ ( cos8x+cos2x ) + ( cos6x+cos4x ) = 0 ⇔ 2 cos 5 x.cos3x+2cos5xcosx=0
π kπ
x = 10 + 5
cos5x=0
π kπ
⇔ 2 cos 5 x ( cos3x+cosx ) = 0 ⇔
⇔ x = +
( k ∈Z)
4 2
cos3x=-cosx=cos ( π -x )
x = − π + kπ
2
III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX
Bài 1. Giải các phương trình sau :
3
2
d. 3 ( cot x − cosx ) − 5 ( t anx-sinx ) = 2
b. sin 3 x + cos3 x − 1 = sin 2 x
a. s inx+sin 2 x + cos3 x = 0
c.
2 ( s inx+cosx ) = t anx+cotx
Giải
a. s inx+sin x + cos x = 0 .
2
3
⇔ s inx+sin 2 x + cos 3 x = 0 ⇔ s inx ( 1 + s inx ) + cosx ( 1 − sin 2 x ) = 0
⇔ ( 1 + s inx ) ( s inx+cosx ( 1-sinx ) )
π
x = + k 2π
s inx=1
=0⇔
⇔
2
2
sinx+cosx-sinxcosx=0
t + 2t − 1 = 0
t = −1 − 2 < − 2 ( l )
π
π
2 −1
⇔
⇔ 2 sin x + ÷ = 2 − 1 ⇔ sin x + ÷ =
= sin α
4
4
2
t = 2 − 1
π
x = α − 4 + k 2π
( k ∈Z)
Do đó :
x = 3π − α + k 2π
4
3
3
3
b. sin x + cos x − 1 = sin 2 x ⇔ ( s inx+cosx ) ( 1 − s inxcosx ) − 1 = 3sin xcosx (1)
2
2
t 2 −1
t 2 −1
3 − t 2 2 + 3 ( t − 1)
Đặt : t = s inx+cosx; t ≤ 2 ⇒ ( 1) ⇔ t 1 −
÷= 1 + 3
÷⇔ t
÷=
2
2
2
2
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 17
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
Tháng 8 năm 2012
t = −1
⇔ t + 3t − 3t − 1 = 0 ⇔ ( t + 1) ( t + 4t + 1) = 0 ⇔ t = −2 − 3 < − 2 ( l ) . Do đó phương trình :
t = −2 + 3
π 1
π
π
x = k 2π ∨ x = + k 2π
sin x + 4 ÷ =
2 sin x + 4 ÷ = 1
2
2
⇔
⇔
⇔
π
π
3−2
x = α − π + k 2π ∨ x = 3π − α + k 2π
= sin α
sin x + ÷ =
2 sin x + ÷ = 3 − 2
4
4
4
4
2
s inx ≠ 0
π
⇒ x ≠ k ( *) . Khi đó phương trình
c. 2 ( s inx+cosx ) = t anx+cotx . Điều kiện :
2
cosx ≠ 0
sinx cosx
1
+
=
⇔ 2 ( s inx+cosx ) s inxcosx=1
(c) trở thành : ⇔ 2 ( s inx+cosx ) =
cosx sinx s inx.cosx
t = s inx+cosx ↔ t ≤ 2
Đặt :
. Thay vào phương trình ta được :
t2 −1
s inxcosx=
2
2
t −1
3
3
2
⇔ 2t
÷ = 1 ⇔ 2t − 2t − 2 = 0 ⇔ t − t − 2 = 0 ⇔ t − 2 t + 2t + 1 = 0
2
3
2
2
(
)(
)
π
π
π
⇒ t = 2 ⇔ 2 sin x + ÷ = 2 ⇔ sin x + ÷ = 1 ⇒ x = + k 2π ( k ∈ Z )
4
4
4
Thỏa mãn điều kiện .
s inx ≠ 0
π
⇒ x ≠ k ( *) .
2
cosx ≠ 0
d. 3 ( cot x − cosx ) − 5 ( t anx-sinx ) = 2 . Điều kiện :
cos x sin x
1
−
+ s inx-cosx ÷ = 2 + 2sin x
− 1÷
s inx cosx
cosx
cosx+ s inx
1 − cosx
s inx+cosx-sinxcosx
⇔ 3 ( cosx-sinx )
− 1÷ = 2 s inx
÷+ 1 = 2
÷
cosx
s inxcosx
cosx
cosx+ s inx-sinxcosx s inx+cosx-sinxcosx
⇔ 3 ( cosx-sinx )
÷− 2
÷= 0
s inxcosx
cosx
( cosx+sinx-sinxcosx ) 3 ( cosx-sinx ) − 2 = 0 ⇔ cosx+sinx-sinxcosx=0
⇔
÷
cosx
sinx
3 ( cosx-sinx ) = 0
π
Trường hợp : cosx-sinx=0 ⇔ tanx=1 ⇒ x= + kπ ( k ∈ Z )
4
Khi đó : ⇒ 3
Trường hợp : sinx+cosx-sinx cosx=0 .
t = s inx+cosx ↔ t ≤ 2
Đặt :
Cho nên phương trình :
t2 −1
s inxcosx=
2
t = −1 − 2 < − 2 ( l )
t 2 −1
π
⇔t+
= 0 ⇔ t 2 + 2t − 1 = 0 ⇔
⇔ 2 sin x + ÷ = 2 − 1
2
4
t = 2 − 1
Trang 18
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
π
x
=
α
−
+ k 2π
π
2 −1
4
⇔ sin x + ÷ =
= sin α ⇒
( k ∈Z)
4
2
x = 3π − α + k 2π
Tháng 8 năm 2012
4
Bài 2. Giải các phương trình sau :
3 ( 1+sinx )
π x
= 8cos 2 − ÷
2
cos x
4 2
3
3
b. 2sin x − s inx=2cos x − cosx+cos2x
c. sin x + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x = cosx+cos 2 x + cos3 x + cos 4 x
3
a. 3 tan x − t anx+
Giải
3 ( 1+sinx )
π x
= 8cos 2 − ÷. Điều kiện : cosx khác 0 . Khi đó phương
2
cos x
4 2
3 ( 1+sinx )
sin 2 x
π
= 4 1 + cos − x ÷ = 4 ( 1 + s inx )
trình trở thành : ⇔ t anx 3 2 − 1÷+
2
cos x ( 1 − s inx ) ( 1 + cosx )
a. 3 tan 3 x − t anx+
2
3 − 4 cos 2 x
3 − 4 cos 2 x 3-4 ( 1-sin x )
3
⇔ t anx
− 4 ( 1 + s inx ) = 0 ⇔ t anx
=0
÷+
÷+
2
2
cos x ( 1 − s inx )
cos x ( 1 − s inx )
3 − 2 ( 1 + cos2x ) = 0
1
t anx
⇔ ( 3 − 4 cos 2 x )
+
=
0
⇔
÷
2
2
3
cos x 1 − s inx
s inx-sin x + cos x = 0
1
cos2x=- 2
⇔ ( 1 − s inx ) = 0
Vì sinx=1 làm cho cosx=0 vi phậm điều kiện . Do đó
( sinx+cosx-sinxcosx ) = 0
π
1
x = ± + kπ
cos2x=
3
⇔
2
⇔
( sinx+cosx-sinxcosx ) = 0
( sinx+cosx-sinxcosx ) = 0
Trường hợp : sinx+cosx-sinx cosx=0 .
t = s inx+cosx ↔ t ≤ 2
Đặt :
Cho nên phương trình :
t2 −1
s
inxcosx=
2
t = −1 − 2 < − 2 ( l )
t 2 −1
π
⇔t+
= 0 ⇔ t 2 + 2t − 1 = 0 ⇔
⇔ 2 sin x + ÷ = 2 − 1
2
4
t = 2 − 1
π
x = α − + k 2π
π
2 −1
4
⇔ sin x + ÷ =
= sin α ⇒
( k ∈Z)
4
2
x = 3π − α + k 2π
4
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 19
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
Tháng 8 năm 2012
π
x = α − 4 + k 2π
3π
− α + k 2π
Vậy nghiệm của phương trình là : x =
4
x = ± π + kπ
3
( k ∈Z)
3
3
3
3
2
2
b. 2sin x − s inx=2cos x − cosx+cos2x ⇔ 2 ( sin x − cos x ) − ( s inx-cosx ) − ( cos x − sin x ) = 0
s inx=cosx
⇔ ( s inx-cosx ) ( 1 + s inxcosx ) + ( cosx + sin x ) = 0 ⇔
sinx+cosx+sinxcosx+1=0
π
Trường hợp : sin x = cosx ⇔ tanx=1 ⇒ x= + kπ ( k ∈ Z )
4
t2 −1
t
=
s
inx+cosx;
t
≤
2
→
s
inxcosx=
2
⇔
Trường hợp : sinx+cosx+sinxcosx+1=0
2
t + t − 1 + 1 = 0 ↔ t 2 + 2t + 1 = ( t + 1) 2 = 0
2
π
x = + k 2π
π
π 1
= cos ⇔
( k ∈Z)
2
Do đó phương trình có nghiệm : t = 1 ⇔ cos x- ÷ =
4
2
4
x = k 2π
c. sin x + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x = cosx+cos 2 x + cos3 x + cos 4 x
⇔ ( cosx-sinx ) + ( cos 2 x − sin 2 x ) + ( cos 3 x − sin 3 x ) + ( cos 4 x − sin 4 x ) = 0
⇔ ( cosx-sinx ) 1 + ( cosx+sinx ) + ( 1 + s inxcosx ) + cosx+sinx = 0
t anx=1
cosx-sinx=0
t anx=1
2
⇔
⇔
⇔ 2
t
−
1
2t+
+2=0
t + 4t + 3 = 0
2 ( sinx+cosx ) + s inxcosx+2=0
2
π
π
x = 4 + kπ
x
=
+
k
π
4
⇔
⇔ x = π + k 2π
( k ∈ Z ) . ( Đã bỏ nghiệm t=-3 <- 2 )
cos x- π = − 1 = cos 3π
π
÷
4 ÷
x = − + k 2π
2
4
2
Bài 3 . Giải các phương trình sau :
2
3
3
a. tan x ( 1 − sin x ) + cos x − 1 = 0
b. 2sin x + cot x = 2 sin 2 x + 1
c. Cho phương trình : m ( s inx+cosx+1) = 1 + sin 2 x .
π
Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0;
2
Giải
a. tan x ( 1 − sin x ) + cos x − 1 = 0 . Điều kiện : cosx ≠ 0 . Khi đó phương trình trở thành :
2
↔
⇔
3
3
sin 2 x
1 − sin 3 x ) + cos3 x − 1 = 0
2 (
cos x
( 1 − cosx ) ( 1 + cosx ) ( 1 − s inx ) ( 1 + s inx+sin 2 x )
Trang 20
( 1 − s inx ) ( 1 + s inx )
+ ( cosx-1) ( 1 + cosx+cos 2 x ) = 0
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
( 1 + cosx ) ( 1 + s inx+sin 2 x )
⇔ ( 1 − cosx )
− ( 1 + cosx+cos 2 x ) = 0
( 1 + s inx )
( sin 2 x − cos 2 x ) + s inxcosx ( cosx-sinx )
=0
⇔ ( 1 − cosx )
1+sinx
Tháng 8 năm 2012
x = k 2π
cosx=1
s inx+cosx-sinxcosx
⇔ ( 1 − cosx ) ( s inx-cosx )
=0⇔
⇔
( k∈Z)
x = π + kπ
sinx=cosx
1 + s inx
4
t2 −1
t=sinx+cosx;
t
≤
2,s
inxcosx=
2
Còn trường hợp : sin x + cosx-sinxcosx=0 ⇔ 2
t − t + 1 = 0 ↔ t 2 − 2t + 1 = ( t − 1) 2 = 0
2
π
x = + k 2π
π
π
π 1
= cos ↔
( k ∈Z )
2
Do đó : t = 1 ⇔ 2cos x- ÷ = 1 ⇔ cos x- ÷ =
4
2
4
4
x = k 2π
b. 2sin x + cot x = 2sin 2 x + 1 . Điều kiện : sinx khác 0 . Khi đó phương trình trở thành :
cosx ( 1-4sin 2 x )
cos x
⇔ 2sin x − 1 +
− 4sin xcosx = 0 ⇔ ( 2sin x − 1) +
=0
s inx
s inx
π
1
x = + k 2π
cosx ( 2sinx+1)
6
s inx= 2
⇔ ( 2sin x − 1) 1 −
⇔
( k∈Z)
=0⇔
5π
s inx
x=
+ k 2π
s inx-cosx-sin2x=0
6
* Trường hợp : sinx-cosx-sin2x=0
1− 5
t=sinx-cosx; t ≤ 2 → sin 2 x = t 2 − 1 t =
1− 5
2
⇔
⇔
→t =
2
2
2
1+ 5
t − ( t − 1) = 0 ↔ t − t − 1 = 0
> 1(l )
t =
2
π
x = + α + k 2π
1− 5
π 1− 5
4
⇔ sin x − ÷ =
= sin α ⇒
( k∈Z)
Với : t =
2
4 2 2
x = 5π − α + k 2π
4
c. Cho phương trình : m ( s inx+cosx+1) = 1 + sin 2 x ⇔ m ( s inx+cosx ) = ( s inx+cosx ) .
π
Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0;
2
2
Giải . Đặt : t = s inx+cosx → t ≤ 2 ↔ sin 2 x = t − 1 . Thay vào phương trình ta được :
s inx+cosx=0
⇔ mt = 1 + t 2 − 1 = t 2 ⇔
sinx+cosx=m
2
π π 3π
π
π
Nếu : x ∈ 0; → s inx,cosx ∈ [ 0;1] ; x + ∈ ; ⇔ sin x + ÷∈ 0; 2
4 4 4
4
2
π
π
Hay : s inx+cosx= 2 sin x + ÷∈ [ 0; 2 ] . Để phương trình có nghiệm ∈ 0; thì m ∈ [ ; 2]
4
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
2
Trang 21
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
Bài 4. Cho phương trình : cos3 x + sin 3 x = m sin x cos x
a. Giải phương trình khi m= 2
b. Tìm m để phương trình có nghiệm .
Giải
a. Giải phương trình khi m= 2 :
Tháng 8 năm 2012
⇔ cos3 x + sin 3 x = 2 sin x cos x ⇔ ( s inx+cosx ) ( 1 − s inxcosx ) = 2 s inxcosx
t2 −1
t = 2
t
=
s
inx+cosx;
t
≤
2
→
s
inxcosx=
2
⇔
⇔
t = − 2 − 1 < − 2(l )
2
2
t 1 − t − 1 − 2 t − 1 = 0 ↔ t − 2 t 2 + 2 2t + 1 = 0
÷
÷
t = − 2 + 1
2
2
π
π
x
=
+ k 2π
cos x- 4 ÷ = 1
1− 2
4
⇔
;k ∈ Z ÷
Do đó : ⇒
cosα =
÷
π 1− 2
2
x = π ± α + k 2π
cos x- ÷ =
4
4
2
t2 −1
t
=
s
inx+cosx;
t
≤
2
→
s
inxcosx=
2
⇔
b/
2
2
3
t 1 − t − 1 − m t − 1 = 0 ↔ −t + 3t = m(*)t ∈ − 2; 2
÷
÷
2
t 2 −1
2
(
)(
)
Xét hàm số :
f (t ) =
2
2
−t 3 + 3t
2t
2
t − 1 − t ÷ = −1 −
=
−
t
+
⇒
f
'(
t
)
=
−
1
+
2
< 0∀t ∈ − 2; 2
2
2
2
2
2
( t 2 − 1) ÷
t −1
t −1
( t − 1)
(
)
Do vậy để phương trình có nghiệm thì : f − 2 ≤ m ≤ f
( 2) ⇔
− 2 ≤ m ≤ 2 ⇔ m ∈ − 2; 2
1
1
1
+
Bài 5. Cho phương trình : m ( s inx+cosx ) + 1 + t anx+cotx+
÷= 0 .
2
sinx cosx
a. Giải phương trình với m=1/2
π
b. Tìm m để phương trình có nghiệm trên khoảng 0; ÷
2
Giải
a. Giải phương trình với m=1/2. Khi đó phương trình trở thành :
1 s inx cosx
1
1
⇔ m ( s inx+cosx ) + 1 +
+
+
+
÷= 0
2 cosx sinx sinx cosx
1
1
sinx+cosx
⇔ m ( s inx+cosx ) + 1 +
+
÷= 0
2 cosxsinx sinxcosx
⇔ m sin 2 x ( s inx+cosx ) + sin 2 x + 1 + s inx+cosx = 0
⇔ ( s inx+cosx ) [ m sin 2 x + 1] + [ sin 2 x + 1] = 0 ⇔ ( s inx+cosx ) [ m sin 2 x + 1] + [ s inx+cosx ] = 0 ( *)
2
t = s inx+cosx; t ≤ 2 → sin 2 x = t 2 − 1
t = 0
1
2
⇔
t
t
+
1
=
0
⇒
(
)
Khi m= ⇒ 1 2
t = −1
2 t ( t − 1) + 1÷+ 1 + ( t 2 − 1) = 0
2
Trang 22
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
Tháng 8 năm 2012
π
x = − + kπ
π
π
4
2 sin x + 4 ÷ = 0
sin x + 4 ÷ = 0
π
⇒
⇔
⇔ x = − + k 2π ( k ∈ Z )
2
π
π
1
x = π + k 2π
2 sin x + ÷ = −1 sin x + ÷ = −
4
4
2
π π 3π
π
π
b/ Từ (*) Nếu : x ∈ 0; ÷ → x + ∈ ; ÷ ⇔ sin x + ÷∈ 2;1 ↔ s inx+cosx ∈
4 4 4
4
2
(
)
(
Do đó để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì ta tìm m dể phương trình (*) có nghiệm ∈
⇔ t m ( t 2 − 1) + 1 + t 2 = 0 ⇔ t m ( t − 1) ( t + 1) + 1 + t = 0 ⇔ t ( t + 1) m ( t − 1) + 1 = 0
2; 2
(
)
2; 2
)
- Với t=0 và t=-1 ta đã có nghiệm như câu a .
- Còn phương trình : m(t-1)=-1 , t=1 không là nghiệm ( vì : 0=-1 vô lý ) . Cho nên ta xét
1
hàm số f (t ) = − t − 1 = m ⇒ f '(t ) =
1
( t − 1)
2
> 0 . F(t) đồng biến , cho nên phương trình có
nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán thì :
f
( 2 ) < m < f ( 2) ⇔ 1 −1 2 < m < −1 ⇔ m ∈ 1 −1 2 ; −1÷
Bài 6. Cho f(x)= cos 2 2 x + 2 ( sinx+cosx ) − 3sin 2 x + m .
a. Giải phương trình f(x)=0 khi m=-3
2
b. Tìm GTLN và GTNN của f(x) theo m . Tìm m để [ f ( x) ] ≤ 36∀x ∈ R
3
Giải
a. Giải phương trình f(x)=0 khi m=-3
Phương trình :
⇔ cos 2 2 x + 2 ( sinx+cosx ) − 3sin 2 x + m = 0 ⇔ − sin 2 2 x + 2 ( s inx+cosx ) − 3 ( 1 + sin 2 x ) + m + 3 = 0 ( 1)
3
3
t = s inx+cosx; t ≤ 2 → sin 2 x = t 2 − 1
t = 0
2
⇔ t ( t + 1) = 0 ⇒
Khi m=-3. Đặt : ⇒
t = −1
= 0
2
2
Chú ý : cos 2 2 x = ( cosx-sinx ) ( cosx+sinx )
3
2
2
2
Cho nên : cos 2 x + 2 ( s inx+cosx ) = ( cosx+sinx ) ( cosx-sinx ) + 2 ( sinx+cosx ) =
( cosx+sinx )
2
1 − sin 2 x + 2 ( sinx+cosx )
Vậy : f(x)=
cos 2 2 x + 2 ( sinx+cosx ) − 3sin 2 x + m = cos 2 2 x + 2 ( sinx+cosx ) − 3 ( 1 + sin 2 x ) + m + 3 .
3
3
⇔ f ( x) = ( cosx+sinx ) 1 − sin 2 x + 2 ( s inx+cosx ) − 3 + m + 3
{
}
⇔ f ( x) = ( cosx+sinx ) − ( 1 + sin 2 x ) − 2 ( s inx+cosx ) + 1 + m + 3 =
.Do : 1 + sin 2 x = ( sinx+cosx ) . Cho nên f(x) viết lại thành :
2
⇔ f ( x) = − ( s inx+cosx )
2
( s inx+cosx-1)
2
+m+3
s inx+cosx=0
sinx+cosx=1
- Khi m=-3 thì f ( x) = 0 ⇔ − ( s inx+cosx ) ( s inx+cosx-1) = 0 ⇔
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 23
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
Tháng 8 năm 2012
π
x
=
−
+ kπ
t anx=-1
t anx=-1
4
⇔
⇔ π
⇔ x = k 2π
π
2
π
2 sin x + ÷ = 1
sin x+ ÷ =
= sin
π
4
4 2
4
x = + k 2π
2
( k ∈Z)
t = 0
t = s inx+cosx; t ≤ 2,sin 2 x = t 2 − 1
2
⇒ g '(t ) = −2t ( 2t − 3t + 1) = 0 ⇔
- Đặt :
2
2
t = 1 ∨ t = 1
f ( x) = g (t ) = −t ( t − 1) + m + 3
2
Ta có bảng biến thiên :
t
- 2
1
2
0
g'(t)
+
0
-
1
0
+
0
m+3
g(t)
2
(
m+3-
)
2 +1
2
-
m+3
m+3-
1
16
Từ bảng biến thiên ta có maxf(x)=m+3 và min f(x)=m+3- 2
−6 ≤ m + 3 − 2
Do đó : f ( x) ≤ 36 ⇔ −6 ≤ f ( x) ≤ 6∀x ⇒
m + 3 ≤ 6
2
2
(
(
)
2 −1
)
2 −1
m+3-2
(
)
2 −1
2
2
2
⇔ −9 + 2
(
)
2
2 +1 ≤ m ≤ 3
Bài 7. Giải các phương trình :
a. cos 2 x + 5 = 2 ( 2 − cosx ) ( s inx-cosx )
b. cos3 x + sin 3 x = cos2x
c. 3 tan 2 x + 4 tan x + 4 cot x + 3cot 2 x + 2 = 0
d. tan x + cot x + tan 2 x + cot 2 x + tan 3 x + cot 3 x = 6
Giải
2
2
a. cos 2 x + 5 = 2 ( 2 − cosx ) ( s inx-cosx ) ⇔ 2 ( 2 − cosx ) ( s inx-cosx ) + ( sin x − cos x ) − 5 = 0
⇔ ( s inx-cosx ) 4 − 2 cos x + ( sin x + cosx ) − 5 = 0 ⇔ ( s inx-cosx ) 4 + ( sin x − cosx ) − 5 = 0
s inx-cosx=1
2
⇔ ( s inx-cosx ) + 4 ( sin x − cosx ) − 5 = 0 ⇔
sinx-cosx=-5<- 2 ( l )
π
x = + k 2π
π
π
2
π
= sin ⇒
( k ∈Z)
2
Vậy : sin x − cosx=1 ⇔ 2 sin x − ÷ = 1 ⇔ sin x − ÷ =
4
4 2
4
x = π + k 2π
3
3
b. cos x + sin x = cos2x ⇔ ( cosx+sinx ) 1 − s inxcosx- ( cosx-sinx ) = 0
π
t anx=-1
x = − + kπ
cosx+sinx=0
4
⇔
⇔ 1-t 2
⇔
cosx-sinx+sinxcosx-1=0
2
t+
−
1
=
0
t
=
c
osx-sinx
(
)
( t + 1) = 0
2
Do vậy :
x = k 2π
π
π
2
π
t = −1 ⇔ 2 sin x − ÷ = −1 ⇔ sin x − ÷ = −
= sin − ÷ ⇔
( k∈Z)
x = 3π + k 2π
4
4
2
4
4
Trang 24
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
Tháng 8 năm 2012
s inx ≠ 0
⇒ x ≠ kπ ( k ∈ Z )
cosx ≠ 0
c. 3 tan 2 x + 4 tan x + 4 cot x + 3cot 2 x + 2 = 0 . Điều kiện :
2
2
Phương trình viết lại : 3 ( tan x + cot x ) + 4 ( t anx+cotx ) + 2 = 0
( 1)
2
⇒ t ≥ 2 ( *) ⇒ tan 2 x + cot 2 x = t 2 − 2 . Thay vào (1)
sin2x
2
1
= −1
t = −1
sin
2
x
=
−
sin
2
x
2
2
⇒ 3 ( t − 2 ) + 4t + 2 = 0 ⇔ 3t + 4t − 4 = 0 ⇔ 2 ⇔
⇒
2
t =
2
2
sin
2
x
=
3
>
1(l )
=
3
sin 2 x 3
π
π
2 x = − + k 2π
x = − + kπ
π
6
12
⇔
( k ∈Z)
Vậy : sin 2 x = sin − ÷ ⇔
6
2 x = 5π + k 2π
x = 5π + kπ
6
12
s inx ≠ 0
⇒ x ≠ kπ ( k ∈ Z )
d. tan x + cot x + tan 2 x + cot 2 x + tan 3 x + cot 3 x = 6 . Điều kiện :
cosx ≠ 0
Đặt : t = t anx+cotx=
2
2
3
3
Phương trình viết lại : ( t anx+cotx ) + ( tan x + cot x ) + ( tan x + cot x ) − 6 = 0
( 1)
Vì : ( t anx+cotx ) = tan 3 x + cot 3 x + 3 tan x cot x ( t anx+cotx ) ⇔ t 3 = tan 3 x + cot 3 x + 3.1.t
3
2
3
⇒ tan 3 x + cot 3 x = t 3 − 3t . Cho nên phương trình trở thành : ⇔ t + ( t − 2 ) + ( t − 3t ) − 6 = 0
2
π
π
⇔ ( t − 2 ) ( t 2 + 3t + 4 ) = 0 ⇒ t = 2 ⇔
= 2 ⇒ sin 2 x = 1 ⇔ 2 x = + k 2π ⇒ x = + kπ ( k ∈ Z )
sin 2 x
2
4
3
3
Bài 8. Cho phương trình : cos x − sin x = m
a. Giải phương trình với m=1
π π
b. Tìm m sao cho phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn − ;
4 4
Giải
a. Giải phương trình với m=1
1-t 2
t
=
c
osx-sinx;
t
≤
2
→
s
inxcosx=
2
Đặt :
2
cos3 x − sin 3 x = ( cosx-sinx ) ( 1 + s inxcosx ) = t 1 + 1 − t = m
÷
2
1 − t 2 −t 3 + 3t
3
⇒ f '(t ) = − ( t 2 − 1) = 0 → t = ±1
Xét : f (t ) = t 1 +
÷=
2
2
2
t = 1
−t 3 + 3t
= 1 ⇔ t 3 − 3t + 2 = 0 ⇔ ( t − 1) ( t 2 + t − 2 ) = 0 ⇔
2
t = −2
π
x = + k 2π
π
2
π
= sin ⇔
( k ∈Z)
2
Với t=-2 (loại ) do đó t=1 ⇔ sin x − ÷ =
4 2
4
x = π + k 2π
a/ Nếu m=1. Phương trình là :
π π
b/ Nếu phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc − ; , ta tìm điều kiện cho t :
4 4
- Từ : −
π
π
π
π
π
≤ x ≤ ⇒ − ≤ x − ≤ 0 ⇔ −1 ≤ sin x − ÷ ≤ 0 ⇔ − 2 ≤ t ≤ 0
4
4
2
4
4
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218
Trang 25
