Bài test đầu khóa 11

LỚP HỌC THẦY SƠN - 0986 035 246
Tầng 3 số 403 Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Facebook : />Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn

BÀI KIỂM TRA ĐẦU KHÓA 2K MÔN TOÁN
Thời gian : 90 phút
Baøi 1. Chứng minh các đẳng thức sau:

(sin x + cos x)2 = 1+ 2sin x.cos x
a)

b)

sin4 x + cos4 x = 1− 2sin2 x.cos2 x

Bài 2.Tình giá trị của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:
 2
 x − 1 khi x < 0

f (x) =  x + 1 khi 0 ≤ x ≤ 2
 x2 − 1 khi x > 2
. Tính f(–2), f(0), f(1), f(2) f(3).
Bài 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
y = 2x − 3

y=

a)

2x − 3

b)
y = x − 1+

c)

1
x− 3

y=

1
(x + 2) x − 1

d)

y=

2x + 1
x2 − 6x + a − 2

Bài 4. Tìm a để hàm số xác định trên tập K đã chỉ ra:
;
∆: x +2y −3 = 0
Bài 5.Trong hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng
và hai điểm A(1; 0), B(3; - 4).
uuur uuur
MA + 3MB
∆

Hãy tìm trên đường thẳng

một điểm M sao cho

nhỏ nhất

Bài 6. Giải bất phương trình

( 5x

2

− 5 x + 10 ) x + 7 + ( 2 x + 6 ) x + 2 ≥ x3 + 13 x 2 − 6 x + 32
.

y + z = x ( y2 + z2 )

x, y , z
Bài 7. Cho

là các số thực dương thỏa mãn

1

.


LỚP HỌC THẦY SƠN - 0986 035 246
Tầng 3 số 403 Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Facebook : />Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn

P=

1

( 1+ x)

2

+

1

( 1+ y)

2

+

1

( 1+ z)

2

+

4
( 1+ x) ( 1+ y) ( 1 + z )

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT MỘT SỐ CÂU ĐIỂN HÌNH.
Bài 4: K = R.

ĐS: a > 11

Bài 5 : Gọi I là trung điểm của AB, J là trung điểm của IB. Khi đó I(1 ; -2), J(
Ta có :

5
; −3
2

)

uuur uuur uuur uuur
uuur
uuu
r uuur
uuur
MA + 3MB = ( MA + MB ) + 2MB = 2 MI + 2 MB = 4 MJ

uuur uuur
MA + 3MB

Vì vậy

nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của J trên đường thẳng

Đường thẳng JM qua J và vuông góc với

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ

Câu 6 Điều kiện

(5 x 2 − 5 x + 10)

(

x ≥ −2

∆

∆

có phương trình: 2x – y – 8 = 0.

−2

x=

x + 2 y − 3 = 0

5
⇔

2 x − y − 8 = 0
 y = 19

5

. Vậy M(

19 −2
;
5 5

)

. Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình

)

x + 7 − 3 + (2 x + 6)

(

)

x + 2 − 2 + 3(5 x 2 − 5 x + 10) + 2(2 x + 6) ≥ x 3 + 13 x 2 − 6 x + 32

2

0,25


LỚP HỌC THẦY SƠN - 0986 035 246
Tầng 3 số 403 Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Facebook : />Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn

⇔ (5 x 2 − 5 x + 10)

(

)

x + 7 − 3 + (2 x + 6)

 5 x 2 − 5 x + 10
⇔ ( x − 2) 
+
 x+7 +3

1
1
≤
x+2+2 2

Do

Do

)

x + 2 − 2 − x 3 + 2 x 2 − 5 x + 10 ≥ 0


2x + 6
− x 2 − 5 ÷≥ 0
x+2 +2



x ≥ −2 ⇒ x + 2 + 2 ≥ 2 ⇒

x+7 +3≥ 5 +3> 5⇒

x ≥ −2 ⇒

(

và vì

0,25

(*)
2x + 6 > 0

1
1
<
x+7 +3 5

⇒

2x + 6
2x + 6
≤
= x+3
2
x+2 +2

5 x 2 − 5 x + 10 > 0 ∀x ∈ ¡
và vì

5 x 2 − 5 x + 10 5 x 2 − 5 x + 10
5 x 2 − 5 x + 10 2
2
⇒
<
= x −x+2⇒
− x − 5 < −x − 3
5
x+7 +3
x+7 +3

Từ (1) và (2)

5 x 2 − 5 x + 10
⇒
+
x+7 +3

Kết hợp điều kiện

( y + z)
Câu 8 Ta có

2

Theo BĐT Côsi

1

≥

. Do đó (*)

0,25

(2)

⇔ x−2≤0⇔ x≤2
0,25

.

0,5

2
2
2
≤ 2 ( y2 + z2 ) ⇒ x ( y + z ) ≤ 2x ( y2 + z2 ) ⇔ x ( y + z ) ≤ 2 ( y + z ) ⇒ y + z ≤ x

( 1+ y ) (1+ z ) ≤

⇔

2x + 6
− x2 − 5 < 0
x+2 +2

x ≥ −2 ⇒ −2 ≤ x ≤ 2

(1)

x2

1
1
2
2
( 2 + y + z ) ⇔ ( 1 + y ) ( 1 + z ) ≤  2 + ÷ ⇔ ( 1 + y ) ( 1 + z ) ≤ ( 1 + 2x )
4
4
x
x

⇔

( 1+ y ) ( 1+ z ) ( 1+ x) 2

2

4
4 x2
≥
(1 + x ) ( 1 + y ) ( 1 + z ) ( 1 + x ) 2

(1)

(2)

3

2


LỚP HỌC THẦY SƠN - 0986 035 246
Tầng 3 số 403 Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Facebook : />Youtube: Thầy giáo Nguyễn Văn Sơn

1

(1+ y)

+

2

1

(1+ z)

2

1

≥2

1

(1+ y) (1+ z)
2

2

Lại có theo BĐT Côsi

⇔

1

(1+ y)

2

+

1

(1+ z)

2

≥

2

⇒

(1+ y) (1+ z)

1

(1+ y)

2

+

1

(1+ z)

2

≥

2x2

( 1+ x)

(3) . Từ (1) và (2)
⇒P≥

1

( 1+ x)

2

+

2x2

(1+ x)

2

+

4x2

( 1+ x)

3

⇔P≥

2

(4)

2 x3 + 6 x 2 + x + 1

( 1+ x)

3

0,25

Từ (2) và (4)
f ( x) =

2 x3 + 6 x 2 + x + 1

( 1+ x)

Xét hàm số

Lập BBT

 1  91
P ≥ f ( x) ≥ f  ÷ =
 5  108

f ′( x) =

( 0; +∞ )

3

trên

10 x − 2

( 1+ x)

4

=0⇒ x=

. Ta có

P=
. Vậy GTNN của .

4

1
5

0,25

91
1
⇔ x= ;y = z =5
108
5

.