Nghiên cứu điều kiện cần và đủ của giải pháp tối ưu đối với một số vấn đề lập kế hoạch gia công trên mô hình máy đơn (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

HOÀNG THỊ MƠ

NGHIÊN CỨU ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ
CỦA GIẢI PHÁP TỐI ƯU ĐỐI VỚI MỘT SỐ VẤN ĐỀ
LẬP KẾ HOẠCH GIA CÔNG TRÊN MÔ HÌNH MÁY ĐƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

HOÀNG THỊ MƠ

NGHIÊN CỨU ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ
CỦA GIẢI PHÁP TỐI ƯU ĐỐI VỚI MỘT SỐ VẤN ĐỀ
LẬP KẾ HOẠCH GIA CÔNG TRÊN MÔ HÌNH MÁY ĐƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số
: 60 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. PHẠM HỒNG TRƯỜNG

THÁI NGUYÊN - 2017


i

Mục lục
Bảng ký hiệu

iii

Lời nói đầu

1

1 Một số kiến thức cơ bản về vấn đề gia công trên máy đơn 3
1.1 Vấn đề trình tự gia công trên máy đơn . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1
1.1.2
1.2

Lời dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
5

1.1.3 Phân loại các vấn đề trình tự gia công . . . . . . . . 10
Tìm lời giải của vấn đề gia công trên máy đơn . . . . . . . . 13

1.2.1

Trình tự có thể thực hiện (trình tự khả thi) và trình
tự tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2

Trình tự gia công không trì hoãn và trình tự gia công
trì hoãn được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.3

Sơ lược thuật toán và độ phức tạp của vấn đề trình
tự gia công . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Điều kiện cần và đủ của giải pháp tối ưu đối với một số vấn
đề lập kế hoạch gia công trên mô hình máy đơn
19
2.1

Vấn đề tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành gia công các
công việc tương đương nhau trên mô hình máy đơn (1
Cj ) 21
2.1.1 Vấn đề 1
Cj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2

Điều kiện cần và đủ của vấn đề 1

Cj . . . . . . . 22

ii

2.2

Vấn đề tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành gia công
các công việc có trọng số khác nhau trên mô hình máy đơn
(1
wj Cj ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1
2.2.2

2.3

Vấn đề tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa của các công việc
có thời gian đến như nhau trên mô hình máy đơn (1 Lmax ) . 27
2.3.1
2.3.2

2.4

Vấn đề 1
wj Cj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Điều kiện cần và đủ của vấn đề 1
wj Cj . . . . . 25

Vấn đề 1 Lmax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Điều kiện đủ để vấn đề 1 Lmax là tối ưu . . . . . . . 28

2.3.3 Điều kiện cần và đủ của vấn đề 1 Lmax . . . . . . . 29
Vấn đề tối thiểu hóa thời gian gia công tối đa của công việc
trên mô hình máy đơn với thời gian tham gia vào quá trình
gia công bất kì (1 |rj | Cmax ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.1 Vấn đề 1 |rj | Cmax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5

2.4.2 Điều kiện cần và đủ của vấn đề 1 |rj | Cmax . . . . . . 33
Vấn đề tối thiểu hóa tổng các công việc trễ trên mô hình
máy đơn (1
Uj ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.1 Vấn đề 1
Uj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.2

Điều kiện cần và đủ của vấn đề 1

Uj . . . . . . . 37

Kết luận

43

Tài liệu tham khảo

44


iii

Bảng ký hiệu
Trong toàn luận văn, ta dùng những ký hiệu với các ý nghĩa xác định
trong bảng dưới đây:
Jj công vụ thứ j
Pj tập các máy sử lý
Tj là công việc thứ j.
pj là thời gian gia công (thực hiện) của công việc Tj .
rj là thời gian đạt đến hay thời gian chuẩn bị.
dj là kỳ hạn biểu thị thời gian hoàn thành hạn định của nhiệm vụ Tj .
wj là một trọng số biểu thị mức độ ưu tiên quan trọng của nhiệm vụ Tj
Cj là thời gian hoàn thành của công việc Tj .
n
j=1 Cj

là tổng thời gian hoàn thành của các công việc từ T1 đến Tn .


1

Lời nói đầu
Hàng ngàn dạng vấn đề sắp xếp trong lĩnh vực của tổ hợp tối ưu hóa,
trong đó rất nhiều kết quả lý thuyết được phát triển. Cụ thể, chúng được
thúc đẩy bởi các ứng dụng thực tế, việc nghiên cứu các vấn đề sắp xếp
trong khía cạnh thuật toán, bao gồm các phép tính toán phức tạp, các
thuật toán đa thức, các thuật toán sấp xỉ, có nhiều tiến bộ trong những
năm gần đây. Tổ hợp tối ưu hóa có ảnh hưởng đến hầu hết các lĩnh vực
khoa học - công nghệ, kinh tế - xã hội. Tối ưu hóa là quá trình đi đến cái
"tốt nhất". Phương pháp tối ưu hóa là các biện pháp, các thuật toán, các
kỹ xảo, các thao tác,... nhằm đi đến điểm tối ưu. Trong thực tế, việc tìm

giải pháp tối ưu cho một vấn đề nào đó chiếm một vai trò rất quan trọng.
Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu điều kiện cần và đủ của giải
pháp tối ưu đối với một số vấn đề lập kế hoạch gia công trên mô hình máy
đơn.
Lập kế hoạch gia công là một phần ứng dụng của tối ưu hóa. Đó là một
trong những hoạt động cơ bản của quá trình quản lý cấp công ty. Trong
phạm vi một doanh nghiệp, một nhà máy sản xuất lập kế hoạch gia công
là khâu đầu tiên, là chức năng quan trọng của quá trình quản lý và là cơ
sở để thúc đẩy hoạt động kinh doanh có hiệu quả cao, đạt được mục tiêu
đề ra. Lập kế hoạch gia công sẽ làm giảm sự chồng chéo và những hoạt
động làm lãng phí nguồn lực của doanh nghiệp để sử dụng nguồn lực một
cách có hiệu quả, cực tiểu hóa chi phí nhằm đạt được mục tiêu đã được
đề ra.
Chính vì vậy việc nghiên cứu điều kiện cần và đủ của giải pháp tối ưu
đối với một số vấn đề lập kế hoạch gia công trên mô hình máy đơn trong


2

sản xuất ở các nhà máy đóng vai trò rất quan trọng. Việc tìm ra giải pháp
tối ưu đối với một số vấn đề lập kế hoạch gia công trên mô hình máy đơn
sẽ giúp nhà sản xuất đảm bảo các điều kiện: Đáp ứng kì hạn giao hàng,
tối thiểu hóa sự chậm trễ của các công việc tham gia vào quá trình gia
công, tối thiểu hóa thời gian gia công tối đa của các công việc, tối thiểu
hóa tổng thời gian hoàn thành công việc.
Luận văn phân tích, tìm hiểu, nghiên cứu điều kiện cần và đủ của giải
pháp tối ưu đối với một số vấn đề lập kế hoạch gia công trên mô hình máy
đơn. Một số vấn đề đã được tài liệu [1] nói đến, tuy nhiên trong luận văn
này các vấn đề đã được nghiên cứu đầy đủ hơn về cả điều kiện cần và điều
kiện đủ.

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Phạm Hồng Trường, tác
giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy, người đã dành nhiều thời
gian và tâm huyết để hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tác giả trong quá trình
học tập, nghiên cứu và viết bản luận văn này.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn lãnh đạo Trường Đại học Khoa
học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin cùng toàn
thể các thầy cô trong và ngoài trường đã giảng dạy giúp tôi trau dồi thêm
rất nhiều kiến thức phục vụ cho việc học tập và nghiên cứu của bản thân.
Đồng thời tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán
K9C (khóa 2015-2017) đã động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá
trình học tập .
Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn động
viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập,
nghiên cứu và làm luận văn.
Xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên,10 tháng 7 năm 2017
Tác giả

Hoàng Thị Mơ


3

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản về vấn đề
gia công trên máy đơn
1.1

Vấn đề trình tự gia công trên máy đơn

(xem [1])
1.1.1

Lời dẫn

Vấn đề trình tự gia công trên máy đơn là một trong những vấn đề trình
tự gia công đơn giản nhất, đồng thời cũng là một trong những vấn đề sắp
xếp rất quan trọng. Vấn đề trình tự gia công trên máy đơn tương đối dễ
tìm ra phương pháp giải quyết, những phương pháp này có những tác dụng
cụ thể đối với việc nghiên cứu những vấn đề trình tự sắp xếp phức tạp
hơn, có thể giúp cho việc tìm ra những thuật toán xấp xỉ đối với những
vấn đề trình tự gia công trên máy đơn được giới thiệu là những vấn đề tồn
tại trong cuộc sống hiện thực, có bối cảnh thực tế. Vì vậy, vấn đề trình tự
gia công trên máy đơn có phạm vi ứng dụng lớn, nâng cao hiệu suất lao
động, có ý nghĩa cực kỳ to lớn.
Việc nghiên cứu các thuộc tính cấu trúc đối với các vấn đề sắp xếp gia
công cũng là một lĩnh vực phong phú. Vấn đề trình tự gia công ra đời
chủ yếu là trong lĩnh vực chế tạo máy, về sau được phát triển trong lĩnh
vực hệ thống máy tính, lập kế hoạch trong giao thông vận tải, quản lý
sản xuất. . . Từ những sắp xếp kế hoạch trong cuộc sống hàng ngày, lập kế
hoạch của nhân viên, xây dựng thời khóa biểu của nhà trường, từ những


4

tính toán kế hoạch bay cho những chuyến bay cho một sân bay lớn đều
cần dùng đến phương pháp và lý luận của vấn đề trình tự gia công.
Trước khi đưa ra định nghĩa của vấn đề trình tự gia công trên máy đơn,

chúng ta xem xét một vài ví dụ ứng dụng thực tế trong lĩnh vực này.
Ví dụ 1.1.1 Sắp xếp điều hành chuyến bay
Một sân bay, có vài chục cửa ra máy bay, mỗi ngày có vài trăm chuyến
bay cất cánh và hạ cánh. Cửa ra sân bay có kiểu và kích cỡ không giống
nhau, kích cỡ của các máy bay cũng khác nhau (số lượng hành khách có
thể chứa khác nhau) một vài cửa chỉ cho phép sắp xếp máy bay cỡ lớn và
một vài cửa chỉ cho phép sắp xếp với máy bay cỡ nhỏ.
Các máy bay đều có thời gian biểu để hạ cánh và cất cánh. Do ảnh
hưởng của thời tiết và các nhân tố khác của sân bay, thời gian biểu đó có
tính ngẫu nhiên rất lớn. Khi máy bay vào đến cửa ra vào để hành khách
lên xuống, máy bay cần bơm dầu, kiểm tra kỹ thuật, sửa chữa (nếu có),
sắp xếp hành lý. Nếu có máy bay không thể hạ cánh đúng giờ sẽ ảnh hưởng
đến các máy bay khác ở sân bay, ảnh hưởng đến việc chiếm hữu cửa ra
vào, thời gian lên máy bay bị lùi lại và các máy bay khác không thể được
đưa vào sử dụng.
Nhân viên phụ trách điều động của sân bay cần đưa ra phương pháp
sắp xếp các cửa ra vào cho các máy bay hạ cánh và cất cánh sao cho hiệu
suất sử dụng của sân bay là cao nhất, số máy bay bị trễ thời gian cất cánh
là ít nhất. Đây cũng là một vấn đề sắp xếp trình tự có ứng dụng rất lớn.
Ví dụ 1.1.2 Trình tự xử lý trên máy tính khi thực hiện hệ thống thao
tác đa nhiệm, phát sinh thêm một nhiệm vụ. Về tổng quan ta có thể hiểu
là đồng thời tiến hành nhiều tiến trình. Tuy nhiên tại một thời điểm bất
kỳ CPU chỉ có thể tiến hành một tiến trình. Thời gian đạt đến của tiến
trình là không như nhau. Vấn đề đặt ra là sắp đặt như thế nào những tiến
trình đó thì mới có thể làm cho hiệu suất sử dụng của CPU là cao nhất
hoặc thời gian để thay đổi của tiến trình là ngắn nhất? Đây cũng là một
vấn đề sắp xếp. Ngoài ra thời gian đạt đến của mỗi tiến trình và thời gian
thay đổi là không biết trước, nhưng kì vọng toán, phương sai, ... của thời

5

gian đạt đến ngẫu nhiên và thời gian thay đổi đã được biết trước. Lúc này
mục tiêu là tối thiểu hóa kì vọng của thời gian trung chuyển. Như vậy vấn
đề sắp xếp xuất hiện biến lượng ngẫu nhiên và được gọi là vấn đề trình tự
sắp xếp ngẫu nhiên.
1.1.2

Các định nghĩa

Vấn đề trình tự gia công là một vấn đề tổ hợp tối ưu hóa quan trọng,
đó là sử dụng một số máy xử lý, máy móc, nguồn lực để hoàn thành tối
ưu một số lượng nhiệm vụ hoặc công việc đã cho. Khi thực hiện giải quyết
những nhiệm vụ hoặc những công việc này, cần thỏa mãn một số điều kiện
giới hạn như: thời gian đạt đến, thời gian hạn định phải hoàn thành, thứ
tự thực hiện các nhiệm vụ,. . . Mục đích là làm cho hàm mục tiêu đạt giá
trị tối ưu, trong đó hàm mục tiêu thông thường là khoảng thời gian gia
công, cách thức hiệu suất sử dụng của máy xử lý.
Trong vấn đề trình tự gia công, số lượng, chủng loại của máy xử lý, thứ
tự của các công việc (nhiệm vụ), thời gian đạt đến, hạn chế hoàn thành
công việc,. . . là những nhân tố rắc rối phức tạp, rất khó dùng toán học mô
tả chính xác để đưa ra định nghĩa một thứ tự thông thường. Trong luận
văn này, ta dùng cách thức sau đây để mô tả vấn đề trình tự gia công:
Cho tập hợp n nhiệm vụ (task)
Tập hợp m máy xử lý (processors)

T = {T1 , . . . , Tn }
P = {P1 , . . . , Pm }

Tập hợp s loại nguồn lực (resources)

R = {R1 , . . . , Rs }.

Mục đích của vấn đề trình tự gia công đó là sắp xếp những điều kiện
nhất định được đưa ra để hoàn thành các hạng mục nhiệm vụ đưa ra, sắp
xếp các máy xử lý và các nguồn lực (nếu có) phân phối sắp xếp đối với
các nhiệm vụ để làm cho hàm mục tiêu đạt được tối ưu.
∗ Máy xử lý:
Vấn đề máy đơn là vấn đề trình tự gia công chỉ có một máy xử lý. Nếu
số máy xử lý nhiều hơn một, ta gọi là vấn đề trình tự gia công đa máy.
Vấn đề trình tự gia công song song là vấn đề trình tự gia công đa máy,
nếu tất cả các máy xử lý đều có công năng như nhau thì ta gọi đó là vấn
đề trình tự gia công song song .


6

Máy song song phân thành 3 loại dựa vào tốc độ xử lý:
+ Đồng tốc độ: Tất cả các máy xử lý đều có tốc độ như nhau.
+ Hằng tốc độ: Tốc độ các máy không giống nhau, nhưng tốc độ xử lý
của các máy đều là hằng số, không phụ thuộc vào nhiệm vụ gia công.
+ Biến tốc độ: Tốc độ các máy phụ thuộc vào nhiệm vụ gia công.
Một trường hợp khác của đa máy xử lý đó là đa loại hình.
Mục đích của loại vấn đề này là sử dụng các máy có các công năng
khác nhau. Trong trường hợp xử lý đa máy, các nhiệm vụ cần gia công cần
được gia công xử lý trên những máy khác nhau. Trong trường hợp này các
nhiệm vụ được gọi cụ thể là công việc.
Giả sử có tập các công việc J = {J1 , . . . , Jn }. Mỗi công việc Jj có nj
quá trình gia công T1j , T2j , . . . Tnj .
Nếu mỗi công việc đều cần xử lý gia công trên các máy xử lý, tức là

nj = m, j = 1, 2, . . . , n mà quá trình gia công của mỗi công việc đều như
nhau, tức là thứ tự gia công trên mỗi máy giống nhau thì vấn đề này được
gọi là đồng thứ tự tuần tự.
Nếu mỗi công việc đều cần thực hiện gia công trên các máy xử lý, mỗi
công việc có quá trình thực hiện không giống nhau thì được gọi là thứ tự
tuần tự khác nhau.
Nếu mỗi công việc đều cần thực hiện gia công trên các máy xử lý, mỗi
công việc có thể có thứ tự gia công xử lý bất kỳ thì được gọi là thứ tự gia
công mở.
∗ Công việc:
Những điều kiện ràng buộc trong vấn đề trình tự gia công chủ yếu là
những hạn định, yêu cầu trong quá trình gia công và tính chất của công
việc.
(1) Véctơ thời gian gia công
Vectơ thời gian gia công của nhiệm vụ là pj (p1j , p2j , . . . , pnj ) trong đó
pij là thời gian gia công cần thiết của nhiệm vụ Tj trên máy pi . Đối


7

với máy đồng tốc, ta có pij = pj với i = 1, 2, . . . , m. Đối với máy hằng
tốc, ta có pij = pj /bi với i = 1, 2, . . . , m. Trong đó pj là thời gian gia
công tiêu chuẩn (thông thường là thời gian gia công trên máy xử lý có
tốc độ chậm nhất), bi là tốc độ trên máy xử lý pi .
Trong vấn đề trình tự gia công, vectơ thời gian gia công của công việc
Ji là pj = (p1j , p2j , . . . , pnj ). Trong đó pij là thời gian gia công tương
ứng trên máy xử lý của quá trình gia công Tij .
(2) Thời gian đạt đến hay thời gian chuẩn bị rj là thời gian đã chuẩn bị
xong để có thể tham gia vào quá trình gia công của nhiệm vụ Tj . Nếu
tất cả các nhiệm vụ đều có thời gian chuẩn bị đều như nhau, ta quy

ước rj = 0, ∀j = 1, 2, . . . , n.
(3) Kỳ hạn và hạn định kết thúc
Kỳ hạn dj biểu thị thời gian hoàn thành hạn định của nhiệm vụ Tj ,
nếu không hoàn thành đúng kỳ hạn sẽ bị “phạt”. Mốc thời gian tuyệt
đối không được kéo dài quá được gọi là hạn định kết thúc.
(4) Yếu tố ưu tiên
Yếu tố ưu tiên wj là một trọng số biểu thị mức độ ưu tiên quan trọng
của nhiệm vụ Tj , đối với các nhiệm vụ khác để tiện cho trình bày, ta
giả sử các tham số pi , ri , dj và wj là các số trị nguyên. Trên thực tế
chúng có thể là những số hữu tỷ bất kỳ.
Ta dùng vectơ và ma trận để đưa ra các số liệu này
r = (r1 , r2 , . . . , rn )
d = (d1 , d2 , . . . , dn )
w = (w1 , w2 , . . . , wn )
lần lượt là thời gian đạt đến, kỳ hạn và trọng số ưu tiên của n nhiệm
vụ.


8

Ký hiệu


p11

 p21
P =
...

pm1

p12 . . . p1n




p22 . . . p2n 

... ... ...

pm2 . . . pmn

trong đó dòng thứ i, vectơ (pi1 , . . . , pin ) biểu thị thời gian gia công của n
nhiệm vụ trên máy thứ i. Một ràng buộc quan trọng khi nhiệm vụ được
gia công đó là có thể gián đoạn hoặc không được gián đoạn.
Một hạn chế quan trọng khác khi gia công nhiệm vụ đó là ràng buộc
ưu tiên giữa các nhiệm vụ trên tập các nhiệm vụ J, thiết lập một quan hệ
ưu tiên ≺. Nếu viết Ti ≺ Tj thì được hiểu là cần thiết phải gia công xong
Ti rồi mới được bắt đầu gia công Tj . Ta dùng đồ thị ràng buộc ưu tiên để
biểu thị mức độ ưu tiên của những nhiệm vụ, ví dụ:
Trong ràng buộc ưu tiên có 3 trường hợp ràng buộc đặc biệt quan trọng:
• Đồ thị ràng buộc ưu tiên dạng xích: Mỗi nhiệm vụ có nhiều nhất một
nhiệm vụ ngay trước nó và một nhiệm vụ tiếp ngay sau nó.

Hình 1.1: Ví dụ của đồ thị ràng buộc ưu tiên

• Đồ thị ràng buộc ưu tiên dạng cây nhập: mỗi nhiệm vụ có nhiều nhất
một nhiệm vụ tiếp ngay sau nó.
• Đồ thị ràng buộc ưu tiên dạng cây xuất: mỗi nhiệm vụ có nhiều nhất
một nhiệm vụ tiếp ngay trước nó.

9

Hình 1.2: Ví dụ của đồ thị ràng buộc ưu tiên
(a) dạng xích; (b) dạng cây nhập; (c) dạng cây xuất

∗ Hàm mục tiêu:
Kí hiệu C = (C1 , C2 , . . . , Cn ) biểu thị thời gian hoàn thành gia công
nhiệm vụ. Mục tiêu là cực tiểu hóa thời gian hoàn thành các nhiệm vụ.
Hàm mục tiêu có một số loại chủ yếu sau:
(1) Tổng thời gian hoàn thành gia công các công việc có trọng số khác
nhau
n
C=

wj C j
j=1

Đặc biệt khi wj = 1, ∀j = 1, 2, . . . , n thì tổng thời gian hoàn thành
gia công các công việc có trọng số khác nhau trở thành tổng thời gian
hoàn thành gia công các công việc tương đương nhau (total completion
time)
n

C=

Cj
j=1

(2) Độ dài thời gian gia công
Độ dài thời gian gia công được định nghĩa là:
Cmax = max{Cj }
Nghĩa là thời gian hoàn thành gia công của nhiệm vụ cuối cùng. Nếu
độ dài thời gian gia công ngắn thì có nghĩa là máy xử lý có hiệu suất


10

làm việc cao.
(3) Thời gian gia công tối đa với thời gian tham gia vào quá trình gia công
bất kì
Thời gian gia công tối đa với thời gian tham gia vào quá trình gia công
bất kì được định nghĩa là:
1 |rj | Cmax
(4) Thời gian trễ tối đa của các công việc
Thời gian trễ tối đa (maximum lateness) được định nghĩa là:
Lmax = max{Lj }
trong đó, Lj = Cj − dj , là thời gian chậm trễ của nhiệm vụ Tj
(5) Tổng các công việc trễ của các nhiệm vụ có trọng số khác nhau
(weighted number of tardy task)
n

U=

wj Uj
j=1


1, C > d

j
j
trong đó Uj =
là đơn vị phạt của nhiệm vụ trễ
0, C
dj
j
hẹn Tj . Đặc biệt khi wj = 1, ∀j = 1, 2, . . . , n thì tổng các công việc trễ
của các nhiệm vụ có trọng số khác nhau trở thành tổng các công việc
trễ tương đương nhau
n

U=

Uj
j=1

1.1.3

Phân loại các vấn đề trình tự gia công

Trong phân loại vấn đề trình tự gia công, nếu như tất cả những dữ liệu
số liệu đều được biết trước khi tiến hành thực hiện thì được gọi là vấn đề
trình tự gia công xác định. Nếu như có một vài dữ liệu số liệu chưa được


11

biết, những số liệu đó là một vài biến lượng ngẫu nhiên, nhưng sự phân
bố của chúng là đã biết, khi đó vấn đề này được gọi là vấn đề trình tự gia

công ngẫu nhiên. Dù là vấn đề trình tự sắp xếp ngẫu nhiên hay xác định,
ta đều có thể giả sử như sau:
(1) Số nhiệm vụ (hoặc công việc) và số máy xử lý là hữu hạn.
(2) Trong bất kỳ một khoảng thời gian trên bất kỳ 1 máy xử lý nào chỉ
được xử lý duy nhất 1 nhiệm vụ hoặc thứ tự nhiệm vụ nào đó.
Ba yếu tố: máy xử lý, nhiệm vụ (hoặc công việc) và hàm mục tiêu tạo
thành vấn đề trình tự gia công. Số lượng loại hình và điều kiện của các
máy xử lý có gần 10 trường hợp khác nhau, điều kiện ràng buộc của các
nhiệm vụ (công việc) và dữ liệu hiện có cực kỳ phức tạp và rắc rối, thêm
vào đó là yêu cầu cần đặt ra không giống nhau của các hàm mục tiêu đã
tạo ra nhiều loại hình trình tự gia công phong phú đa dạng.
Ta dùng ba thành phần cơ bản trong dạng thức các loại hình của vấn
đề trình tự gia công:
α|β|γ
trong đó, vị trí α biểu thị số lượng loại hình, điều kiện máy xử lý, vị trí đó
có thể là:
+ 1: máy đơn (1 máy xử lý).
+ Pm : m máy đồng tốc.
+ Qm : m máy hằng tốc.
+ Rm : m máy biến tốc.
Vị trí β biểu thị tính chất, hạn chế, yêu cầu, chủng loại dữ liệu. Số lượng
và điều kiện ràng buộc ảnh hưởng của các nhiệm vụ (hoặc công việc). Vị
trí này có thể có cùng lúc nhiều điều kiện theo yêu cầu của vấn đề. Vị trí
đó có thể là:
+ ri : các nhiệm vụ có thời gian đạt đến không giống nhau. Nếu vị trí β
không có mặt ri , điều đó có nghĩa là ri = 0, ∀j = 1, 2, . . . , m.


12

+ pmtn: thời gian gia công có thể gián đoạn.
+ prec, chains, intree, ontree: biểu thị tính tương quan giữa các nhiệm
vụ, lần lượt biểu thị là ràng buộc ưu tiên thông thường, xích, cây nhập,
cây xuất. Nếu vị trí β không có xuất hiện những yêu cầu này, điều đó
có nghĩa là tập nhiệm vụ là không có quan hệ (các nhiệm vụ không
có ràng buộc lẫn nhau).
Vị trí γ biểu thị hàm mục tiêu cần tối ưu hóa, vị trí đó có thể là:
Cmax : độ dài thời gian biểu tối đa;
Cj : tổng thời gian hoàn thành;
wj Cj : tổng thời gian hoàn thành của các công việc có trọng số khác
nhau;
Lmax : thời gian trễ tối đa;
ωj Uj : Tổng các công việc trễ của các nhiệm vụ có trọng số khác nhau;
Uj : Tổng các công việc trễ tương đương nhau.
Ví dụ 1.1.3 Một số vấn đề lập kế hoạch gia công trên mô hình máy đơn
• Vấn đề 1
Cj là vấn đề tổng thời gian hoàn thành gia công các công
việc tương đương nhau, hàm mục tiêu là tối thiểu hóa tổng thời gian
hoàn thành gia công các công việc tương đương nhau.
• Vấn đề 1
wj Cj là vấn đề tổng thời gian hoàn thành gia công các
công việc có trọng số khác nhau, hàm mục tiêu là tối thiểu hóa tổng
thời gian hoàn thành gia công các công việc có trọng số khác nhau.
• Vấn đề 1 Lmax là vấn đề thời gian trễ tối đa, hàm mục tiêu là tối thiểu
hóa thời gian trễ tối đa của các công việc có thời gian đến như nhau.
• Vấn đề 1
Uj là vấn đề tổng các công việc trễ, hàm mục tiêu là tối
thiểu hóa tổng các công việc trễ.
• Vấn đề 1 |rj | Cmax là vấn đề thời gian gia công tối đa, hàm mục tiêu là
tối thiểu hóa thời gian gia công tối đa của các công việc với thời gian

tham gia vào quá trình gia công bất kì.


13

Ví dụ 1.1.4 Vấn đề 1 | rj , pmtn |

wj Cj là vấn đề trình tự gia công

trên máy đơn, có thể gián đoạn, các nhiệm vụ có thời gian chuẩn bị không
giống nhau, hàm mục tiêu cần cực tiểu hóa là tổng thời gian hoàn thành
của các nhiệm vụ có trọng số khác nhau.
Ví dụ 1.1.5 Vấn đề P m

Cmax là vấn đề gia công trên m máy đồng tốc,

các nhiệm vụ không có quan hệ với nhau, không được gián đoạn, hàm mục
tiêu là cực tiểu hóa thời gian hoàn thành của nhiệm vụ có thời gian gia
công lâu nhất (cực tiểu hóa độ dài thời gian biểu dãy sắp xếp).
1.2

Tìm lời giải của vấn đề gia công trên máy đơn

(xem [1])
1.2.1

Trình tự có thể thực hiện (trình tự khả thi) và trình tự
tối ưu

Vấn đề trình tự gia công là một vấn đề của tổ hợp tối ưu hóa. Do các

nhiệm vụ, số lượng các máy cần xử lý trong vấn đề trình tự gia công đều
là hữu hạn, nên lời giải tối ưu của đại bộ phận vấn đề trình tự đều được
tìm ra từ hữu hạn các lời giải khả thi của vấn đề trật tự ban đầu, làm cho
hàm mục tiêu đạt giá trị tối ưu. Trong vấn đề trình tự gia công, ta gọi lời
giải khả thi là trình tự khả thi, lời giải tối ưu được gọi là trình tự tối ưu
(optimal schedule).
Trong vấn đề trình tự gia công, một trình tự khả thi là một dãy thứ tự
mà dựa vào đó có thể sắp xếp tất cả các nhiệm vụ gia công trên máy xử
lý.
Ví dụ 1.2.1 Cho vấn đề trình tự gia công 1
p = (12, 4, 7, 11, 6, 5), ω = (4, 2, 5, 5, 6, 3)

wj Cj trong đó, n = 6,

Một trình tự gia công bất kì của tập các công việc đều là trình tự khả
thi, trong đó [T5 , T3 , T6 , T2 , T4 , T1 ] là trình tự tối ưu.

Ví dụ 1.2.2 Cho vấn đề trình tự gia công
F2 ||Cmax , trong đó n = 5.


14

Hình 1.3: Trình tự tối ưu của ví dụ 1.2.1

P =

4 4 10 6 2
5 1 4 10 3

Một trình tự gia công bất kỳ của tập các công việc đều là trình tự khả
thi, trong đó [J5 , J1 , J4 , J3 , J2 ] là trình tự tối ưu.

Hình 1.4: Sơ đồ Grant Charts

1.2.2

Trình tự gia công không trì hoãn và trình tự gia công trì
hoãn được

Trong quá trình giải quyết các vấn đề trình tự gia công, có một loại
trình tự khả thi rất quan trọng được định nghĩa.
Định nghĩa 1.2.3 Đối với một trình tự khả thi, nếu có các công việc đều
được chuẩn bị trước, máy xử lý không có thời gian nghỉ trong cả quá trình
gia công, loại trình tự gia công này gọi là trình tự gia công không trì hoãn.
Nếu ngược lại, sẽ được gọi là trình tự gia công trì hoãn được.
Trình tự gia công không trì hoãn tương đương với việc không được để
máy xử lý có thời gian nghỉ trong quá trình gia công. Đối với đại đa số
các vấn đề trình tự gia công, bao gồm tất cả các trình tự gia công có thể
gián đoạn, trình tự tối ưu là trình tự không trì hoãn, tuy nhiên cũng có
một vài vấn đề trình tự gia công có thể gián đoạn mà trình tự tối ưu của
nó là trình tự trì hoãn được.


15

Ví dụ 1.2.4 Trình tự gia công 1|rj |

wj Cj , n = 2, p = (10, 5), r = (0, 1),

w = (1, 5).
Vấn đề này có hai trình tự khả thi đó là:

Hình 1.5: Trình tự khả thi của ví dụ 1.2.4

1.2.3

Sơ lược thuật toán và độ phức tạp của vấn đề trình tự gia
công

a) Thuật toán
Khái niệm thuật toán đã được biết đến từ lâu. Thuật ngữ thuật toán
(Algorithm) là biến tướng của tên nhà toán học Arập: Aba Jafa Mohamedibn Musaal Khowarizmi. Hiện nay cùng với sự phát triển của máy tính,
khái niệm thuật toán được định nghĩa một cách hình thức chính xác thông
qua máy Turing. Tuy nhiên trong phạm vi luận văn này thuật toán có thể
hiểu một cách trực quan qua định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.2.5 Một thuật toán để giải một bài toán (P) đã cho là một
thủ tục được chia ra thành các phép toán cơ bản, biến đổi một dãy các dấu
hiệu diễn tả các dữ liệu, không quan trọng ở chỗ thuộc bản chất gì, của bài
toán (P) thành một dãy các dấu hiệu đặc trưng cho các kết quả của (P).
b) Độ phức tạp của vấn đề trình tự gia công
Vấn đề trình tự gia công là một loại hình của tổ hợp tối ưu hóa, ý tưởng
cơ bản để giải quyết vấn đề này đó là: Sử dụng những phương pháp của
các vấn đề tổ hợp tối ưu hóa khác, tích cực sử dụng các tính chất đặc
trưng của bản thân vấn đề trình tự gia công, từ đó xác định trình tự tối
ưu thỏa mãn điều kiện ràng buộc. Có một vài vấn đề trình tự có thể trực


16

tiếp chuyển hóa thành các vấn đề tổ hợp tối ưu hóa khác để giải quyết.
Đối với vấn đề trình tự gia công có thuật toán đa thức, cần cố gắng tìm
ra thuật toán tốt và độ phức tạp và thời gian tính toán thuật toán đó.
Đối với những vấn đề trình tự gia công mà chưa biết thuật toán có phải
là thuật toán đa thức hay không, trước tiên cần dùng lý luận về độ phức
tạp tiến hành phân tích xem xét vấn đề đó có phải là NP-hard hay không
để biết được độ khó của việc giải quyết loại vấn đề đó.
Thông thường có một số trường hợp sau, thuật toán của một loại vấn
đề trình tự gia công có thể dùng để giải quyết một vấn đề trình tự gia công
khác. Ví dụ như vấn đề 1

Uj là một trường hợp đặc biệt của 1

wj Uj ,

do đó thuật toán giải quyết vấn đề 1
wj Uj cũng có thể được dùng để
giải quyết vấn đề 1
Uj . Trong lý luận về độ phức tạp, ta gọi quan hệ
này là tổng quát hóa đa thức thời gian. Ta nói 1
Uj tổng quát hóa đến
1
wj Uj , ký hiệu 1
Uj ∝ 1
wj Uj . Dựa trên định nghĩa cơ bản
này, ta có thể xây dựng được rất nhiều chuỗi tổng quát hóa.
Ví dụ 1.2.6
1

Cj ∝ 1

wj C j ∝ P m

wj Cj ∝ Qm | prec | wj Cj

Tổng quát hóa là 1 loại quan hệ thứ tự. Có rất nhiều vấn đề không thể
tổng quát hóa lẫn nhau, ví dụ như Pm
wj Cj và Jm Cmax .
Hình 1.6, hình 1.7, hình 1.8 chỉ ra quan hệ tổng quát hóa của một số
vấn đề trình tự gia công. Trong đó, hình 1.6 trình tự gia công dựa vào điều
kiện máy xử lý, hình 1.7 trình tự gia công dựa vào ràng buộc gia công,
hình 1.8 trình tự gia công dựa theo hàm mục tiêu. Chú ý rằng quan hệ ∝
được thay thế bằng "−→" để biểu thị ký hiệu 0 trong hình 1.7 biểu thị
không có ràng buộc tương ứng. Nghiên cứu ranh giới giữa những vấn đề
có thể giải được theo thời gian đa thức trong quan hệ tổng quát hóa và
NP-hard là một việc rất quan trọng.
Ví dụ trong chuỗi tổng quát hóa trên, vấn đề P m
điều này nói lên rằng Qm|pree|

wj Cj là NP-hard,

wj Cj cũng là NP-hard.


17

Hình 1.6: Quan hệ tổng quát hóa của một số vấn đề trình tự gia công dựa theo điều kiện của máy xử
lý.

Hình 1.7: Quan hệ tổng quát hóa của một số vấn đề trình tự gia công dựa theo điều kiện ràng buộc

Ta có một số quan hệ tổng quát hóa được phân chia theo ranh giới giữa
vấn đề “dễ giải quyết” và vấn đề NP-hard như sau:

Hình 1.8: Quan hệ tổng quát hóa của một số vấn đề trình tự gia công dựa theo điều kiện hàm mục
tiêu


18

Hình 1.9: Mối quan hệ giữa các vấn đề (1), (2), (3), (4), (5)

Hình 1.10: Mối quan hệ giữa các vấn đề (1), (2), (3), (4), (5)


19

Chương 2

Điều kiện cần và đủ của giải pháp
tối ưu đối với một số vấn đề lập kế
hoạch gia công trên mô hình máy
đơn
Điều kiện cần và đủ của các giải pháp tối ưu là nhiệm vụ cơ bản đối với
vấn đề tối ưu hóa. Một số quy tắc có thể giải quyết vấn đề sắp xếp, dường
như nó làm mọi người hài lòng với các điều kiện đủ đơn giản (như quy tắc
ưu tiên thời gian xử lý ngắn nhất (Shortest processing time first, gọi tắt
là SPT), quy tắc ưu tiên kỳ hạn sớm nhất (Earliest Due Date first, gọi
tắt là EDD)) và ít chú ý tới điều kiện cần. Trong thực tế, để tìm một giải
pháp tối ưu, có thể thực hiện điều kiện đủ là đủ; nhưng để nhận biết, mô

tả một giải pháp tối ưu đó không thể thực hiện được nếu không có điều
kiện cần. Cả hai điều kiện cần và đủ đều có ý nghĩa trong các vấn đề sau:
• Cho một trình tự sắp xếp π cho trước chúng ta có thể đặt câu hỏi liệu
nó có tối ưu hay không.
• Chúng ta có thể tìm nhiều giải pháp tối ưu, để có nhiều sự lựa chọn
hơn nữa.
• Trong cấp độ nhiều mục tiêu sắp xếp, một giải pháp tối ưu cho tiêu


20

chí thứ hai là chọn từ tập hợp tất cả các giải pháp tối ưu của tiêu trí
đầu tiên. Chính vì vậy, chúng ta phải biết được đặc điểm của tất cả
các giải pháp tối ưu đối với tiêu chí đầu tiên.
• Chúng ta thường xuyên phân tích xem một điều kiện đủ là khả thi
nhất hoặc nó chứa một vài mối quan hệ thặng dư. Nó là khả thi nhất
nếu nó cũng cần thiết.
• Nếu đặc điểm của tối ưu đã biết, chúng ta có thể có được các thuật
toán hiệu quả khác. Cho ví dụ, có một thuật toán nổi tiếng Moore đối
với vấn đề tối thiểu hóa số các công việc trễ. Dựa vào đặc điểm đó,
chúng ta tìm được dạng đối ngẫu của nó.
Một số vấn đề trình tự sắp xếp được tổng quát hóa theo thứ tự các công
việc sao cho hàm mục tiêu f (π) đạt giá trị nhỏ nhất. Đối với một số vấn
đề sắp xếp, chỉ có điều kiện đủ của giải pháp tối ưu là được quan tâm đến.
Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu điều kiện cần và đủ với ý nghĩa
của khái niệm đối với thứ tự chủ chốt (các công việc chủ chốt và các mối
quan hệ của chúng). Các kết quả đó có ý nghĩa trong sự xác nhận và đặc
tính của các giải pháp tối ưu đối với các vấn đề sắp xếp.
Vì thế, cần thiết nghiên cứu điều kiện cần và đủ của các giải pháp tối
ưu cho một số vấn đề sắp xếp điển hình. Với mục đích này, chúng tôi giới

thiệu khái niệm công việc chủ chốt, tập hợp chủ chốt, mối quan hệ chủ
chốt. Nói tóm lại, công việc chủ chốt của một trình tự sắp xếp là công việc
mà giá trị mục tiêu của trình tự sắp xếp xác định. Công việc này thường
xuất hiện trong các vấn đề min - max. Tập hợp chủ chốt và mối quan hệ
chủ chốt là thành phần chủ yếu của việc xây dựng các giải pháp tối ưu.
Việc này thường xuất hiện trong các vấn đề min - sum.
Luận văn này được trình bày như sau. Ngoài phần tổng quan, trong
phần hai chúng tôi trình bày các điều kiện cần và đủ của giải pháp tối ưu
đối với một số vấn đề lập kế hoạch gia công trên mô hình máy đơn. Trong
phần hai lại chia thành năm phần nhỏ nói về các vấn đề tối thiểu hóa tổng
thời gian hoàn thành gia công các công việc tương đương nhau, các công
việc có trọng số khác nhau, thời gian trễ tối đa của các công việc có thời