01 đại số 09 chương i căn bậc hai, căn bậc ba

Đại số 9

www.vmathlish.com

----- oOo -----

CHƯƠNG I. CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA

I. CĂN BẬC HAI – CĂN THỨC BẬC HAI
1. Căn bậc hai số học

 Căn bậc hai của một số không âm a là số x sao cho x 2  a .
 Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là

a , số âm kí

hiệu

là

 a.

 Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết
 Với số dương a, số

0  0.

a đgl căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng đgl căn bậc hai số học của 0
a  b.

 Với hai số không âm a, b, ta có: a < b 

2. Căn thức bậc hai

 Với A là một biểu thức đại số, ta gọi

A là căn thức bậc hai của A.

A xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm.
A
neáu A  0
A2  A  
neáu A  0
 A



Dạng 1: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ



A CÓ NGHĨA

A có nghĩa  A  0



1
có nghĩa  A > 0
A

Câu 1. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

 3x

b)

d)

3x  1

e)

d)

1
3  2x

e)

a)

4  2x

c)

3 x  2

9x  2
f) 6 x  1
2
1
2

1
ĐS: a) x  0 b) x  2
c) x 
d) x  
e) x 
f) x 
3
3
9
6
Câu 2. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
x
x
x
 x2
a)
b)
c)
 x 2
 x 2
x2
x2
x2  4

4
2x  3

f)

2

x 1

1
www.vmathlish.com


Đại số 9

www.vmathlish.com

3
3
e) x  
2
2
Câu 3. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

ĐS: a) x  2 b) x  2

a)

c) x  2

x2  1

b)

f) x  1

d) x 

4x2  3

9x2  6x  1

c)

d)  x 2  2 x  1
e)  x  5
f) 2 x 2  1
ĐS: a) x  R b) x  R
c) x  R
d) x  1
e) x  5
f) không có
Câu 4. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a)

4  x2

b)

x 2  16

c)

x2  3

d)

x2  2x  3

e)

x ( x  2)

f)

x 2  5x  6

ĐS: a) x  2 b) x  4
c) x  3
d) x  1 hoặc x  3 e) x  2 hoặc x  0
f) x  2 hoặc x  3
Câu 5. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a)

x 1

b)

d)

x  2 x 1

e)

x 1  3
1

4 x
1

c)

9  12 x  4 x

f)

2

ĐS: a) x  1 b) x  2 hoặc x  4 c) x  4

x  2 x 1
3
e) x 
2

d) x  1

f) x  1

Dạng 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
A
A2  A  
 A

Áp dụng:

neáu A  0

neáu A  0

Câu 6. Thực hiện các phép tính sau:
a) 0,8 (0,125)2
d)

2

2  3

ĐS: a) 0,1

b)

(2)6

e)

 1 1
 

 2 2

2

c) 2  3

b) 8

c)



f)

 0,1 

2

d) 3  2 2

3  2

1

e)

2



2

0,1

1
2



2

f)

0,1  0,1

Câu 7. Thực hiện các phép tính sau:
2

a)

3  2 2 

c)

 2  3 2  1  3 2

e)





2

5  2 

3  2 2 



2

5  2

52 6  52 6

 5  2 6 2   5  2 6 2

d)

3 

f)



2

ĐS: a) 6
b) 4 6
c) 1
Câu 8. Thực hiện các phép tính sau:
a)

b)

b)

2

2 
2

2  1 

d) 4

7  2 10  7  2 10

1 



2

2  5

2

2

e) 2 5
c)

f) 2 2  4

42 3  42 3

2

www.vmathlish.com


Đại số 9

www.vmathlish.com

24  8 5  9  4 5

d)

ĐS: a) 2 2

b) 2 2

e) 17  12 2  9  4 2

f)

6  4 2  22  12 2

c) 2 3 d) 3 5  4

Câu 9. Thực hiện các phép tính sau:
5  3  29  12 5

a)
c)



b) 13  30 2  9  4 2

3  2 5 2 6

d)

5  13  4 3  3  13  4 3

e) 1  3  13  4 3  1  3  13  4 3
ĐS:
Dạng 3: RÚT GỌN BIỂU THỨC
A
neáu A  0
A2  A  
neáu A  0
 A
Chú ý: Xét các trường hợp A ≥ 0, A < 0 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Áp dụng:

Câu 10. Rút gọn các biểu thức sau:
a) x  3  x 2  6 x  9 ( x  3)

b)

x2  2x  1
( x  1)
x 1
ĐS: a) 6

b) 2
c) 1
Câu 11. * Rút gọn các biểu thức sau:
c)

a) 1  4a  4a2  2a
d) 2 x  1 

x 2  10 x  25
x 5

x 2  4 x  4  x 2 (2  x  0)

d) x  2 
d) 1  x

x2  4x  4
( x  2)
x 2

b) x  2 y  x 2  4 xy  4 y 2 c) x 2  x 4  8x 2  16
e)

x4  4x2  4

f)

2

x 2

( x  4)2 

x4
x 2  8x  16

ĐS:
Câu 12. Cho biểu thức A  x 2  2 x 2  1  x 2  2 x 2  1 .
a) Với giá trị nào của x thì A có nghĩa?
b) Tính A nếu x  2 .
ĐS: a) x  1 hoặc x  1
b) A  2
Câu 13. Cho 3 số dương x, y, z thoả điều kiện: xy  yz  zx  1 . Tính:
Ax

(1  y 2 )(1  z2 )
1  x2

y

(1  z2 )(1  x 2 )
1  y2

z

(1  x 2 )(1  y 2 )
1  z2

ĐS: A  2 . Chú ý: 1  y2  ( xy  yz  zx )  y2  ( x  y)( y  z) ,

1  z2  ( y  z)(z  x) , 1  x 2  (z  x )( x  y)

3
www.vmathlish.com


Đại số 9

www.vmathlish.com

Dạng 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

A2  A ;

Áp dụng:



A2  B2  A   B ;
B  0
 A B
2
A  B

 A  0 (hay B  0)
A  B 
A  B




 A  B   A  0 hay  A  0
A  B

 A  B  B  0


 A  B hay A  B

 A  B  0  A  0
B  0

 A  B

 A  B  A  B hay A  B


A  0
A B 0
B  0

Câu 14. Giải các phương trình sau:
a)

( x  3)2  3  x

b)

4 x 2  20 x  25  2 x  5

c) 1  12 x  36 x 2  5

d)

x  2 x 1  2

e)

x  2 x 1  x 1 1

f)

5
2
c) x  1; x  
2
3
Câu 15. Giải các phương trình sau:

ĐS: a) x  3 b) x 

2x  5  1  x

a)

b)

d) x  2

x2  x  3  x

1
1 1
x2  x 
 x
2
16 4
1
e) x  2
f) x 
4
c)

2x2  3  4x  3

2x  1  x  1
e) x 2  x  6  x  3
f) x 2  x  3x  5
4
ĐS: a) x  
b) x   3 c) x  2
d) vô nghiệm e) x  3
f) vô nghiệm
3
Câu 16. Giải các phương trình sau:

d)

a)

x2  x  x

b) 1  x 2  x  1

d)

x2  1  x2  1  0

e)

c)

x2  4  x  2  0

f) 1  2 x 2  x  1

ĐS: a) x  0 b) x  1
c) vô nghiệm d) x  1; x   2
Câu 17. Giải các phương trình sau:
a)

x2  2x  1  x2  1

d)

x2  x 

ĐS:

1
x

4
a) x  1; x  2

x2  4x  3  x  2

e) x  2

f) vô nghiệm

b)

4x2  4x  1  x  1

c)

x4  2x2  1  x  1

e)

x 4  8x 2  16  2  x

f)

9 x 2  6 x  1  11  6 2

c) x  1

b) vô nghiệm

f) x 

e) x  2; x  3; x  1

d) vô nghiệm

2 2
2 4
;x 
3
3

Câu 18. Giải các phương trình sau:
a) 3 x  1  x  1
c)

9 x 2  12 x  4  x 2

b) x 2  3  x  3
d)

x 2  4 x  4  4 x 2  12 x  9

4
www.vmathlish.com


Đại số 9

www.vmathlish.com

1
b) x  3; x   3  1; x   3  1
2
Câu 19. Giải các phương trình sau:

ĐS: a) x  0; x  

a) x 2  1  x  1  0

b)

c) x  1; x 

x 2  8x  16  x  2  0

d) x 2  4  x 2  4 x  4  0
ĐS: a) x  1 b) vô nghiệm c) x  1

1
5
d) x  1; x 
2
3

c) 1  x 2  x  1  0

d) x  2

II. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP KHAI PHƯƠNG – PHÉP
NHÂN – PHÉP CHIA

 Khai phương một tích:

A.B  A . B ( A  0, B  0)

Nhân các căn bậc hai:

A . B  A.B ( A  0, B  0)
A
A

( A  0, B  0)
B
B

 Khai phương một thương:

A

Chia hai căn bậc hai:

B



A
( A  0, B  0)
B

Dạng 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH
Câu 20. Thực hiện các phép tính sau:

2

a) 12  2 27  3 75  9 48

b) 2 3( 27  2 48  75) c)  2 2  3 

d) 1 

e) 

3

2 1 

3

2

ĐS: a) 13 3 b) 36
c) 11  4 6
Câu 21. Thực hiện các phép tính sau:
a)
c)

2 3  2 3



6  2  3  2 

e) 13  160  53  4 90
ĐS: Chú ý:

2 3 

d) 2  2 3

c)

8 3  2 25 12  4

192

f) 

21  12 3  3

f)

62

11  7 

11 

7

2

f) 2 7  4

e) 10

b)



2  12  18  128

2

3  1
3 1

2
2

a) 2
b) 3  3
c) 2
Câu 22. Thực hiện các phép tính sau:
a) 2 5  125  80  605

2

d)  4  15  10  6  4  15

32

42 3


2

3 5  3

5

d) 2

e) 4 5

f)

3 1

b) 15  216  33  12 6
d)

2 3  6  2

5
www.vmathlish.com


Đại số 9
e)

www.vmathlish.com

3 5  3 5



f)

ĐS: a) 4 5 b) 6
c) 0
Câu 23. Thực hiện các phép tính sau:
a)

10  2 10
8

5  2 1 5

d)

3  5.  3  5 
10  2

b)

2  1   2  1
3

e) 10 f) 14

d) 2

2 8  12

5  27

18  48
30  162
1

e)

2  2 3

6
c) 4
2
Câu 24. Thực hiện các phép tính sau:

b) 

ĐS: a) –2

3



2 3
2 3

2 3
2 3

c)

1

f)

2  2 3



5  2  8 5
2 5 4
2

d) 1

a) A  12  3 7  12  3 7
b) B  4  10  2 5  4  10  2 5
c) C  3  5  3  5
ĐS: Chứng tỏ A  0, B  0, C  0 . Tính A2 , B2 , C 2  A   6 ; B  5  1 , C  10
Dạng 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Câu 25. Rút gọn các biểu thức:
a)
d)

15  6

b)

35  14
2  3  6  8  16

e)

2 3 4
3

ĐS: a)

10  15
8  12
x  xy

d) 1  2 . Tách 16  4  4

e)

2 15  2 10  6  3
2 5  2 10  3  6
a a b  b b a
ab  1

f)

y  xy
b)

7

c)

5
2

c)

x

3 2
1 2
a b

f)

y

ab  1

Câu 26. Rút gọn các biểu thức sau:
a)

c)

x x y y
x y

y  2

x 1

x y



y 1

xy

b)

x 1

x 1
Câu 27. Rút gọn và tính:

a)

a 1
b 1

:

b 1
a 1

2



b)

x  2 x 1
x  2 x 1

( x  0)

2

( x  1)4

y 1

ĐS: a)





( x  1, y  1, y  0)

c)

1
1
nếu 0  y  1 và
nếu y  1
1 x
x 1

với a  7,25; b  3,25

b) 15a2  8a 15  16 với a 

3
5

5
3

6
www.vmathlish.com


Đại số 9

www.vmathlish.com

2
5

5
2

c) 10a2  4a 10  4 với a 
ĐS: a)

a 1 5
;
b 1 3

d) a2  2 a2  1  a2  2 a2  1 với a  5

b) 4

c) 5

d) 2

Dạng 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Câu 28. Giải các phương trình sau:
a)
d)

2x  3
2
x 1
9x  7
7x  5

ĐS: a) x 

b)

 7x  5

e)

2x  3
x 1

2

4 x  20  3

1
3
7
b) vô nghiệm c) x   ; x 
2
2
2

4x2  9  2 2x  3

c)

x 5 1

9 x  45  4
9
3

d) x  6

e) x  9

Dạng 4: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Câu 29. So sánh các số:
a) 7  2 và 1
b) 8  5 và 7  6
ĐS:

Câu 30. Cho các số không âm a, b, c. Chứng minh:
ab
a)
b) a  b  a  b
 ab
2
d) a  b  c  ab  bc  ca

e)

2005  2007 và

c)

c) a  b 

2006

1
 a b
2

ab
a b

2
2

ĐS:
Câu 31. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a) A  x  2  4  x
ĐS: a) A  2  x  3

b) B  6  x  x  2
c) C  x  2  x
b) B  4  x  2
c) C  2  x  1

III. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN
THỨC BẬC HAI
 Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì

A2B  A B

 Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì A B  A2B
A
AB
 Với A.B ≥ 0 và B  0 thì

B
B

+ Với A < 0 và B ≥ 0 thì

A2B   A B

+ Với A < 0 và B ≥ 0 thì A B   A2B
+ Với B > 0 thì

A

B



A B
B

7
www.vmathlish.com


Đại số 9

www.vmathlish.com

 Với A ≥ 0 và A  B2 thì

C
AB

 Với A ≥ 0, B ≥ 0 và A  B thì

C( A



B)

AB

C
A B



2

C( A
B)
AB

Dạng 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH
Câu 32. Thực hiện các phép tính sau:
125  4 45  3 20  80

a)

27
48 2


4
9 5
 5  5  5 
e)  1 


 1  5  1 
c) 2

b)

d) 3


 1
5


f)

5

7 3
6
Câu 33. Thực hiện các phép tính sau:

c)

e)

d) 

c)

3 2 5

1
3



ĐS: a)

1
3 2



3 2 5

5
1

3 12
6

b)

17 6
6

3 2

1



3 2

f) 2 3

e) 4
2
6 2



2
6 2



5
6

 6 2 5 
1
d) 

 :
5 5 2
 1 3

1

32 7  20
9

1

b)

1



9
49
25


8
2
18

5 2
12

7 5 62 7
6
5



2
4
7 2 4 7
1

99  18  11  11  3 22

75
16

ĐS: a) 5 5 b) 22

a)



f)
c)

30
6

2 3  3  13  48
6 2

d) 3

3
2

e)

f) 1

Dạng 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC

Câu 34. Rút gọn và tính giá trị biểu thức:
x  11

a) A 
c) C 

e) E 
ĐS:

x 2 3

, x  23  12 3

a 4  4a2  3
4

2

a  12a  27

, a 3 2

2x  2 x2  4
x2  4  x  2

, x  2( 3  1)

a) A  x  2  3  2 3

b) B 

d) D 

1
2(1  a )



1
2(1  a )

1
h  2 h 1





a2  2
1  a3

1
h  2 h 1

, a 2

, h3

 3
  3


3
f) F  
 1 a  : 
 1 , a 

2 3
 1 a
  1  a2

b) B 

1
1  a  a2



2 3
7

c) C 

a2  1
a2  9

 52 6

8
www.vmathlish.com

Đại số 9
d) D 

www.vmathlish.com

2 h 1
2 2
h2

e) E 

1
x2



3 1
2

f) F  1  a  3  1

Dạng 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Câu 35. Giải các phương trình sau:
a)
c)

x  1  4 x  4  25x  25  2  0

9 x 2  18  2 x 2  2  25 x 2  50  3  0

b)

1
3
x 1
x 1 
9 x  9  24
 17
2
2
64

d) 2 x  x 2  6 x 2  12 x  7  0

e) ( x  1)( x  4)  3 x 2  5x  2  6
ĐS: a) x  2 b) 290

c) vô nghiệm d) x  1  2 2 e) x  2; x  7

Dạng 4: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
Câu 36. Cho biểu thức:

Sn  ( 2  1)n  ( 2  1)n (với n nguyên dương).

a) Tính S2 ; S3 .
b) Chứng minh rằng: Với mọi m, n nguyên dương và m  n , ta có: Sm  n  Sm .Sn  Sm  n
c) Tính S4 .
ĐS: a) S2  6; S3  10 2
Câu 37. Cho biểu thức:
a) Chứng minh rằng:

b) Chứng minh Sm  n  Sm  n  Sm Sn c) S4  34

Sn  ( 3  2)n  ( 3  2)n (với n nguyên dương).
S2n  Sn2  2

b) Tính S2 , S4 .

HD: a) Sử dụng hằng đẳng thức a2  b2  (a  b)2  2ab b) S1  2 3; S2  10; S4  98
Câu 38. Cho biểu thức:
a) Chứng minh rằng:

Sn  (2  3)n  (2  3)n
S3n  3Sn  Sn3

(với n nguyên dương).

b) Tính S3 , S9 .

HD: a) Sử dụng hằng đẳng thức a3  b3  (a  b)3  3ab(a  b) . Chứng minh S3n  Sn3  3Sn .
b) S1  4; S3  61; S9  226798 .

IV. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần biết vận dụng thích hợp các phép biến đổi đơn
giản như: đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, khử căn ở mẫu và trục căn thức ở
mẫu để làm xuất hiện các căn thức bậc hai có cùng một biểu thức dưới dấu căn.

9
www.vmathlish.com

Đại số 9

www.vmathlish.com

Câu 39. Cho biểu thức:

A

x 1

x 2
a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa.



2 x



25 x
.
4 x

x 2
b) Rút gọn biểu thức A.

c) Tìm x để A  2 .

3 x

c) x  16
x 2
 x 2
x  2  (1  x )2
Câu 40. Cho biểu thức:
.
A  

 .
2
 x 1 x  2 x 1
a) Rút gọn A nếu x  0, x  1 .
b) Tìm x để A dương
c) Tìm giá trị lớn nhất của A.
1
1
ĐS: a) A  x  x
b) 0  x  1 c) max A  khi x  .
4
4
2 x 9
x  3 2 x 1
Câu 41. Cho biểu thức:
.
A


x 5 x 6
x 2 3 x

a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A  1 .
ĐS: a) x  0, x  4

ĐS: a) A 

x 1
x 3

b) A 

b) 0  x  9; x  4 .
a a 1 a a 1 
1   a 1
a  1

 a

.

a a
a a 
a   a  1
a  1 
b) Tìm a để A  7
c) Tìm a để A  6 .

Câu 42. Cho biểu thức:
a) Rút gọn A.
ĐS: a) A 

2a  2 a  2
a

Câu 43. Cho biểu thức:
a) Rút gọn A.
ĐS: a) A 

25 x
x 3

A

b) a  4; a 

A

1
4

c) a  0, a  1 .

15 x  11

x 2 x 3
1
b) Tìm x để A  .
2
1
b) x 

.
121



3 x 2
1 x



2 x 3
3 x

.


x   x 3
x 2
x 2 
A  1 


:
.
 1  x   x  2 3  x x  5 x  6 
b) Tìm x để A  0 .

Câu 44. Cho biểu thức:
a) Rút gọn A.
ĐS: a) A 

x 2

b) 0  x  4 .

1 x

Câu 45. Cho biểu thức:
a) Rút gọn A.

A

a2  a

a  a 1
b) Tìm a để A  2 .

ĐS: a) A  a  a
Câu 46. Cho biểu thức:

b) a  4

2a  a

1 .
a
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
1
1
c) min A   khi a  .

4
4


 a
1 
A


 2 2 a



2

 a 1
a 1


.
 a 1
a  1 


10
www.vmathlish.com


Đại số 9
a) Rút gọn A.

1 a
ĐS: a) A 
a

www.vmathlish.com

c) a  3  2 2 .

b) a  1

Câu 47. Cho biểu thức:
a) Rút gọn A.

c) Tìm a để A  2 .

b) Tìm a để A  0 .

 2a  a  1 2a a  a  a  a  a
A  1 

.
.
 1 a
 2 a 1
1 a a



b) Tìm a để A 

6
1 6

.

c) Chứng minh rằng A 

2
.
3

ĐS:
 x 5 x
 
25  x
x 3
A
 1 : 


 x  25
  x  2 x  15
x 5

 
b) Tìm x để A  1 .

x 5
.
x  3 

Câu 48. Cho biểu thức:
a) Rút gọn A.
5
ĐS: a) A 
3 x

b) x  4; x  9; x  25 .
 1
1   a 1
a 2
A

:


.

a   a  2
a  1 
 a 1
1
b) Tìm a để A  .
6

Câu 49. Cho biểu thức:
a) Rút gọn A.
ĐS: a) A 

a 2

3 a

b) a  16 .

Câu 50. Cho biểu thức:

 x  1 x  1  2
x
1 
A

:



.
 x  1 x  1  x 2  1 x  1 x  1

b) Tính giá trị của A khi x  3  8 .
1
; x 5.
b) x  2
c) x 
5

y  xy  
x
B x

Câu 51. Cho biểu thức:

:
x  y   xy  y

a) Rút gọn A.
4x
ĐS: a)
1 x2

a) Rút gọn B.

y
xy  x



x  y
.
xy 

b) Tính giá trị của B khi x  3, y  4  2 3 .
b) B  1 .

ĐS: a) B  y  x
Câu 52. Cho biểu thức:
a) Rút gọn B.
x
ĐS: a) B 
y

c) Tìm x để A  5 .

B

x3
xy  2 y



2x

.

1 x

x  x  2 xy  2 y 1  x

.

b) Tìm tất cả các số nguyên dương x để y  625 và B  0,2 .
b) x  2;3;4 .

 1
1 
2
1 1  x 3  y x  x y  y3
B  

  :
Câu 53. Cho biểu thức:
.

.
y  x  y x y 
 x
x 3 y  xy 3
a) Rút gọn B.
b) Cho x .y  16 . Xác định x, y để B có giá trị nhỏ nhất.

ĐS:

11
www.vmathlish.com


Đại số 9

www.vmathlish.com


1
3 ab  
1
3 ab 
ab 
B



 . 
:
 a  b a a  b b   a  b a a  b b  a  ab  b 


 


b) Tính B khi a  16, b  4 .

Câu 54. Cho biểu thức:
a) Rút gọn B.
ĐS:





2

 xy
x  y  xy
x 3  y3 
B

:
Câu 55. Cho biểu thức:
.
 x y
yx 
x y


a) Rút gọn B.

b) Chứng minh B  0 .
ĐS:
 a 1
  a 1

ab  a
ab  a
B

 1 : 

 1 .
Câu 56. Cho biểu thức:
 ab  1
  ab  1

ab  1
ab  1

 


b) Tính giá trị của B nếu a  2  3 và b 

a) Rút gọn B.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của B nếu
ĐS:

3 1

1 3

.

a  b  4.

V. CĂN BẬC BA
 Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x 3  a .
 Mọi số a đều có duy nhất một căn bậc ba.
 AB 3 A 3B



3

A.B  3 A .3 B

 Với B  0 ta có:

3

A 3A

B 3B

Dạng 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH
Áp dụng:

3

a3  a ;

 3 a 3  a và các hằng đẳng thức:

(a  b)3  a3  3a2b  3ab2  b3 ,

(a  b)3  a3  3a2b  3ab2  b3

a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2 ) ,

a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2 )

Câu 57. Thực hiện các phép tính sau:
a)
d)

3

( 2  1)(3  2 2)

b)

 3 4  13   3 4  13

e)

ĐS: a) 2  1 b) 3  1
c) 3
Câu 58. Thực hiện các phép tính sau:

3

(4  2 3)( 3  1)

c)

3

64  3 125  3 216

 3 9  3 6  3 4  3 3  3 2 
d) 12 3 2  2

e) 5.

12
www.vmathlish.com


Đại số 9

www.vmathlish.com

a) A  3 2  5  3 2  5

b) B  3 9  4 5  3 9  4 5

c) C  (2  3).3 26  15 3

d) D  3 3  9 

1 5 
ĐS: a) A  1 . Chú ý: 2  5  

 2 

3

125 3
125
 3  9 
27
27

3 5 
b) B  3 . Chú ý: 9  4 5  

 2 

3

c) C  1 . Chú ý: 26  15 3  (2  3)3
d) D  1 . Đặt a  3 3  9 

5
125
125
, b  3 3  9 
 a3  b3  6, ab  . Tính D 3 .
3

27
27

Dạng 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
1 1 1
  1
x y z

Câu 59. Chứng minh rằng, nếu: ax3  by3  cz3 và
thì

3

ax 2  by 2  cz2  3 a  3 b  3 c .

HD: Đặt ax3  by3  cz3  t  a 

t
x

3

,b 

t
y

3

,c 

t
3

z

. Chứng tỏ VT  VP  3 t .

Câu 60. Chứng minh đẳng thức:

1 3
x  3 y  3 z  3 x  3 y
2
HD: Khai triển vế phải và rút gọn ta được vế trái.
Dạng 3: SO SÁNH HAI SỐ
x  y  z  33 xyz 

Áp dụng:





2
2
2
   3 y  3 z    3 z  3 x  

AB 3 A 3B

Câu 61. So sánh:
a) A  2 3 3 và B  3 23
ĐS: a) A  B
b) A  B
Câu 62. So sánh:

b) A  33 và B  3 3 133
c) A  B

c) A  5 3 6 và B  6 3 5

a) A  3 20  14 2  3 20  14 2 và B  2 5
3

ĐS: a) A  B . Chú ý: 20  14 2   2  2  .
Dạng 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Áp dụng:

3

A  B  A  B3

Câu 63. Giải các phương trình sau:

13
www.vmathlish.com


Đại số 9
a)

d)

www.vmathlish.com

3

2x  1  3

b)

3

x3  9 x2  x  3

e)

3

2  3 x  2

3

5 x  x  5

10
c) x  0; x  1; x  2
3
Câu 64. Giải các phương trình sau:

ĐS: a) x  13 b) x 

c)

3

d) x  1

x 1 1  x

e) x  5; x  4; x  6

a) 3 x  2  x  1  3
b) 3 13  x  3 22  x  5
c) 3 x  1  x  3
ĐS: Sử dụng phương pháp đặt 2 ẩn phụ, đưa về hệ phương trình.
a) x  3
b) x  14; x  5
c) x  7

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG I
Câu 65. Rút gọn các biểu thức sau:
20  45  3 18  72

a)
c)



b) ( 28  2 3  7) 7  84

1 1 3
 1
4
d) 

2
200  :
5
2 2 2
 8

2

6  5   120

ĐS: a) 15 2  5
b) 21
Câu 66. Rút gọn các biểu thức sau:
a)

1
5 3



1

b)

5 3

d) 54 2

c) 11
42 3

c)

6 2

1
2 3



2
6



2
3 3

2
3
c) 1 
3
2
Câu 67. Chứng minh các đẳng thức sau:

a)  3

ĐS:

b)

2

a) 2 2  3  2   1  2 2   2 6  9
c)

4

2  5 

2



4

2  5 

2

b)

2 3  2 3  6

d) 11  6 2  11  6 2  6

8

ĐS: Biến đổi VT thành VP.
Câu 68. So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi):
a)

2  3 và 10

ĐS: a)

2  3  10

Câu 69. Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức A.
3x
ĐS: a) A 
x 3
Câu 70. Cho biểu thức:
www.vmathlish.com

b)

2003  2005 và 2 2004

c)

5 3 và

3 5

b) 2003  2005  2 2004
c) 5 3  3 5
2x
x  1 3  11x
với x  3 .
A


x  3 3  x x2  9
b) Tìm x để A < 2. c) Tìm x nguyên để A nguyên.
b) 6  x  3; x  3

c) x  {6; 0; 2; 4; 6; 12} .

 x  1 x  1 x 2  4 x  1  x  2003
A


.
.
2
 x 1 x 1

x
x

1



14


Đại số 9
a) Tìm điều kiện để biểu thức A có nghĩa.
b) Rút gọn A.
c) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên.
x  2003
ĐS: a) x  0; x  1 b) A 
c) x  {2003;2003} .
x
Câu 71. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1
A
x  x 1
4
1
ĐS: max A  khi x  .
3
4
Câu 72. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

www.vmathlish.com

A  1  6 x  9 x 2  9 x 2  12 x  4

ĐS: Sử dụng tính chất a  b  a  b , dấu "=" xảy ra  ab  0 . min A  1 khi

1

2
x .
3
3

Câu 73. Tìm x nguyên để biểu thức sau nhận giá trị nguyên:

x 1

A

x 3

ĐS: x  {49;25;1;16; 4} . Chú ý: A  1 

4
x 3

. Để A  Z thì

x  Z và

x  3 là ước của 4.


x 2
x  2  x 1
Q

.

.
 x  2 x 1

x

1
x


b) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.

Câu 74. Cho biểu thức:
a) Rút gọn Q.
2
ĐS: a) Q 
x 1

b) x  {2;3} .
 1
1 
a 1
M 

với a  0, a  1 .
:
a 1 a  2 a 1
a a
b) So sánh giá trị của M với 1.

Câu 75. Cho biểu thức

a) Rút gọn biểu thức M.
ĐS: a) M 

a 1
a

 1

Câu 76. Cho biểu thức

1
a

b) M  1 .

2

 
x 1  2  2  x
b) Rút gọn biểu thức P.


1
P

 x  x 1

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.

x 3

x 2
.
2 x  x 

c) Tính giá trị của P với x  3  2 2 .
ĐS: a) x  1; x  2; x  3

b) P 

2 x
x

c) P  2  1 .

a) Rút gọn B.


 2x  1
  1  x3
x
 .
B

 x  với x  0 và x  1 .
 3


 x 1 x  x 1  1 x


b) Tìm x để B = 3.

ĐS: a) B  x  1

b) x  16 .

Câu 77. Cho biểu thức:

15
www.vmathlish.com


Đại số 9

www.vmathlish.com

Câu 78. Cho biểu thức:

 1
1 
2
1 1  x 3  y x  x y  y3
A  

  :
.
y  x  y x y 
 x
x 3 y  xy 3

với x  0, y  0 .
a) Rút gọn A.
b) Biết xy  16 . Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.
ĐS: a)

x y

b) min A  1  x  y  4 .

xy

Câu 79. Cho biểu thức:
a) Rút gọn P.
ĐS: a) P 

x 1
1 x

P

1
x 1



x
x x

.

b) Tính giá trị của biểu thức P khi x 

1
2

.

b) P  3  2 2 .

www.vmathlish.com
VanLucNN

www.facebook.com/VanLuc168

Nguồn bài tập: Thầy Trần Sĩ Tùng

16
www.vmathlish.com