Đề toán quốc tế IMC 2010 và lời giải chi tiết

Editor:
ELEMENTARY MATHEMATICS INTERNATIONAL CONTEST
Time limit: 90 minutes

27th July 2010 Incheon, Korea

QUESTION
1. A computer billboard is displaying the three “words” : IMC 2010 INCHEON. A
malfunction causes the initial “letter” of each of the three words to be shifted to
the end of that word every minute. Thus after 1 minute, the billboard reads MCI
0102 NCHEONI, and after 2 minutes, it reads CIM 1020 CHEONIN. After how
many minutes will the original three words reappear for the first time?
Một bảng quảng cáo trên máy tính hiển thị ba cụm từ: IMC 2010 INCHEON. Một
trục trặc xảy ra, cứ một phút thì chữ cái đầu tiên của mỗi cụm từ sẽ chuyển tới vị
trí cuối của cụm đó. Như vậy, sau 1 phút, bảng quảng cáo sẽ hiển thị : MCI 0102
NCHEONI và sau 2 phút, bảng quảng cáo sẽ hiển thị: CIM 1020 CHEONIN. Vậy
sau bao nhiêu phút thì ba cụm từ ban đầu xuất hiện lại lần đầu tiên?
2. What is the sum of the digits of the number
Tổng các chữ số của

?

là bao nhiêu?

3. By the notation dn , we mean an n-digit number consisting of n times of the
digit d. Thus 53=555 and 43 95 81 36 =444999998333333. If 2 w 3 x 5 y + 3 y 5 w 2 x =
53 72 8z 51 7 3 for some integers w, x, y and z, what is the value of w + x + y + z?
Chúng ta định nghĩa một số có n chữ số d bởi dn . Như vậy 53=555 và 43 95 81 36
=444999998333333. Nếu 2 w 3 x 5 y + 3 y 5 w 2 x = 53 72 8z 5173 với x,y,w và z là các
số nguyên. Giá trị của w + x + y + z là bao nhiêu?
4. A man weighs 60 kg plus one-quarter of his weight. His wife weighs 64 kg plus

one-fifth of her weight. What is the absolute difference between the weights of
the man and his wife in kg?
Một người đàn ông nặng 60 kg cộng với một phần tư trọng lượng của mình. Vợ
ông nặng 64 kg cộng một phần năm trọng lượng của cô ấy. Tìm hiệu khối lượng
của 2 người?
IMC 2010 tại Hàn Quốc

Page | 1


Editor:
5. In quadrilateral ABCD, AB=6 cm, AD=4 cm, BC=7 cm and CD=15 cm. If the
length of AC is an integer number of cm, what is this number?
Trong tứ giác ABCD, AB=6 cm, AD=4 cm, BC=7 cm và CD=15 cm. Nếu chiều
dài của AC là một số nguyên đo bằng cm. Tìm độ dài của cạnh AC.
A

B

D
C
6. The speed of the current in the river is 1 km per hour. A man rows a boat at
constant speed. He rows upstreams for 3 hours, and rows downstreams for 2
hours to return to his starting point. What is the distance, in km, between the
starting point of the boat and the point at which the boat turns around?
Tốc độ dòng chảy trong dòng sông là 1 km/giờ. Một người đàn ông đi thuyền với
tốc độ không đổi. Anh ta đi ngược dòng sông lên thượng lưu trong 3 giờ, và đi xuôi
dòng sông trong 2 giờ để về lại điểm xuất phát. Tính khoảng cách giữa điểm bắt
đầu và điểm mà thuyền quay đầu lại?
7. In the quadrilateral ABCD, AB is parallel to DC and AD = BC. If eight copies of

this quadrilateral can be used to form a hollow regular octagon as shown in the
diagram below, what is the measure of ∠BAD, in degree ?
Trong tứ giác ABCD, AB song song với DC và AD = BC. Nếu 8 bản sao của tứ
giác này có thể được sử dụng để tạo nên một hình tám góc rỗng ở trong được thể
hiện trong hình vẽ dưới thì góc BAD bằng bao nhiêu?

IMC 2010 tại Hàn Quốc

Page | 2


Editor:
8. Let

,

be two different 3-digit numbers. If the difference

is divisible by 2010, what is the largest possible sum of these
two 3-digit numbers?
Lấy
và
là hai số có 3 chữ số khác nhau. Nếu hiệu
chia hết cho 2010 thì giá trị lớn nhất có thể của tổng 2 số có 3 chữ số ban đầu là
bao nhiêu?
9. What is the average of all different 9-digits numbers where each consists of the
digit 5 five times and the digit 4 four times?
Tìm trung bình cộng của tất cả các số có chín chữ số khác nhau mà mỗi số bao
gồm năm chứ số 5 và bốn chứ số 4
10. ABCD is a rectangle with AB=4 cm and BC=6 cm. E, F, G and H are points on

the sides AB, BC, CD and DA respectively, such that AE=CG=3 cm and
BF=DH=4 cm. If P is a point inside ABCD such that the area of the quadrilateral
AEPH is 5
, what is the area the quadrilateral PFCG, in
?
ABCD là một hình chữ nhật với AB = 4 cm và BC = 6 cm. E, F, G và H lần lượt là
các điểm trên cạnh AB, BC, CD và DA. Biết rằng AE = CG = 3 cm và BF = DH =
4 cm. Nếu P là một điểm nằm bên trong ABCD sao cho diện tích của tứ giác AEPH
bằng 5
. Tìm diện tích của tứ giác PFCG

IMC 2010 tại Hàn Quốc

Page | 3


Editor:
11. Narrow vegetable spring-rolls of length 8 cm are supposed to be made by
rolling 8-cm bean sprouts inside 6 cm × 8 cm rice papers into cylinders. Instead,
the workers are provided with 6 cm bean sprouts. So they roll the rice paper the
other way and get wide cylinders of length 6 cm. For either kind of spring rolls,
there is an overlap of 1 cm in order for the rice paper to stick. What is the ratio
of the volume of the 8 cm spring roll to the volume of the 6 cm spring roll?
Một cuộn chả giò dài 8 cm được làm bằng cách cuộn một tấm bánh tráng có kích
thước 6 cm × 8 cm với những cọng giá đỗ dài 8 cm bên trong. Thay vào đó, những
người làm chả giò được cung cấp những cọng giá dài 6 cm. Vì thế họ phải cuộn
bánh tráng bằng cách khác và tạo ra một đoạn chả giò dài 6 cm ( kích thước bánh
tráng không đổi). Đối với bất kỳ kiểu làm nào thì cũng có một đoạn bánh tráng dài
1 cm trùng nhau để cuộn chả dính lại. Tính tỉ số thể tích của đoạn chả giò dài 8 cm
với đoạn chả giò dài 6 cm.

12. The largest of 23 consecutive odd numbers is 5 times the smallest. What is the
average of these 23 numbers?
Số lớn nhất của 23 số lẻ liên tiếp bằng 5 lần số nhỏ nhất. Tính trung bình của 23
số đó.
13. The digits 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, and 9 are to be written in the squares so that
every row and every column with three numbers has a total of 13. Two numbers
have already been entered. What is the number in the square marked ＊?
Các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và 9 được viết vào các ô vuông sao cho mội hàng
và cột gồm 3 chữ số có tổng bằng 13. Có hai chứ số đã được điền. Tìm chữ số
trong ô vuông được đánh dấu bởi ＊

IMC 2010 tại Hàn Quốc

Page | 4


Editor:
14. In a test given in four subjects, each of five students obtained a score of w, x, y
or z in each individual subject, as shown in the table below. The total score of
each student had been computed, as well as the class total for each subject
except for one. What was the class total for Biology?
Trong một đợt kiểm tra cho bốn môn học, mỗi bạn trong năm học sinh đạt được số
điểm w, x, y và z trong mỗi môn học đã được chỉ ra trong bảng dưới đây. Tổng số
điểm của mỗi học sinh đã được tính cũng như tổng số điểm của từng môn học.
Tính tổng số điểm mà năm học sinh đạt được ở môn sinh học.

15. What is the largest positive integer n which does not contain the digit 0, such
that the sum of its digits is 15 and the sum of the digits of 2n is less than 20?
Số dương lớn nhất n không chứa chữ số 0 mà tổng các chữ số của nó là 15 và tổng
các chữ số của 2n nhỏ hơn 20?

IMC 2010 tại Hàn Quốc

Page | 5


Editor:
SOLUTION
1. Ta thấy
Trong cụm từ đầu tiên IMC, cứ 3 phút thì sẽ quay lại vị trí ban đầu.
Trong cụm từ thứ hai 2010, cứ 4 phút thì sẽ quay lại vị trí ban đầu.
Trong cụm từ thứ ba INCHEON, cứ 7 phút thì sẽ quay về vị trí ban đầu.
Ta có BCNN(3,4,7) = 84
Vậy sau 84 phút thì ba cụm từ ban đầu sẽ xuất hiện lại lần đầu tiên.
2. Ta có:
2010 chữ số 0 2006 chữ số 9

2006 chữ số 9
Vậy tổng các chữ số của

là

3. Ta có: A = 2 w 3 x 5 y + 3 y 5 w 2 x = 53 72 8z 51 7 3.
→ min (x, y) = 3.
Nếu x = 3 thì tổng A sẽ có dạng ...0m73 (loại).
Do đó y = 3.
Ta viết lại: 2 w 3 x + 3 y 5 w 2 x-3 = 53 72 8z 51.
→ x – 3 = 1 → x = 4.
Viết lại: 2 w 3 3 + 3 y 5 w = 53 72 8z .
→ w > 3 suy ra z = 3.

Viết lại: 2 w + 3 y 5 w-3 = 53 72 .
→ w – 3 = 2 suy ra w = 5.
Vậy w + x + y + z = 15
4. 60kg = ¾ khối lượng của người chồng
Suy ra người chồng nặng 80 kg.
64kg= 4/5 khối lượng người vợ.
Suy ra người vợ nặng 80 kg.
Hiệu khối lượng của 2 người bằng 0.
IMC 2010 tại Hàn Quốc

Page | 6


Editor:
5.
A

B

D

C

Xét tam giác ABC, theo định lý về 3 cạnh của tam giác, ta có:
AC < AB + BC = 6 + 7 = 13

(1)

Xét tam giác ADC, ta có:
AC > DC – AD = 15 – 4 = 11

(2)

Từ (1) và (2) suy ra AC = 12 cm
6. Gọi khoảng cách cần tìm là A.
Vận tốc chèo thuyền là v.
Ta có
và
Do đó
Suy ra:
Vậy khoảng cách cần tìm là 12 km
7. Ta đã biết:
Tổng các góc trong một tam giác bằng
Tổng các góc trong một tứ giác bằng
Dễ dàng cmđ tổng các góc trong một bát giác bằng :
Bát giác đề cho là một bát giác đều nên 8 góc trong bằng nhau.
Suy ra góc trong bằng
Suy ra góc DCB bằng
Suy ra góc BAD bằng

IMC 2010 tại Hàn Quốc

Page | 7


Editor:

8. Giả sử
Theo đề ta có:
Suy ra:

Vì 333 và 670 nguyên tố cùng nhau nên
Mà (

)

Suy ra:

hoặc

(loại vì

)

Vậy
Tổng

lớn nhất khi

lớn nhất.

Suy ra
Vậy tổng
9.

lớn nhất bằng

là số có 9 chữ số bao gồm 5 chữ số 5 và 4 chữ số 4.
Như vậy tỷ lệ số lần xuất hiện của chữ số 5 và 4 tại vị trí là 5 : 4.
Tương tự vậy:
Tỷ lệ số lần xuất hiện của chữ số 5 và 4 tại vị trí

là 5 : 4.
fg
....
Tỷ lệ số lần xuất hiện của chữ số 5 và 4 tại vị trí là 5 : 4.
Trung bình cộng cần tìm:

IMC 2010 tại Hàn Quốc

Page | 8


Editor:

10.

2 cm

4 cm
1 cm

b
3 cm M

a

d

N
3 cm

c

1 cm
4 cm

2 cm

Ta dễ dàng tính được độ dài của các cạnh như ở hình trên.
Gọi diện tích của AEP, AHP, CFP và CGP lần lượt là a, b, c và d.
Ta có

Tương tự:
Suy ra
Ta có
Suy ra
Hay diện tích tứ giác FCGP bằng 8

.

11. Cuộn chả giò kiểu thứ nhất có chiều dài 8 cm và chu vi đáy 5 cm.
Cuộn chả giò kiểu thứ hai có chiều dài 6 cm và chu vi đáy 7 cm.
Tỷ lệ thể tích =

IMC 2010 tại Hàn Quốc

Page | 9


Editor:

12. Gọi n là số lẻ nhỏ nhất trong chuỗi 23 số lẻ liên tiếp.
Thì dãy đó là: n, n+2, n+4,..., n+44.
Ta có n + 44 = 5n
Suy ra: n = 11
Dãy đó là: 11, 13, 15, ..., 55
11+ 13 + 15 + ... + 55 = (

)(

)

Trung bình cộng:
13.
Cột 1
a1

Hàng 1

a2 a3
Cột 2

a4
a5

Hàng 2
a6

Xét cột 1: 2 chữ số còn thiếu phải có tổng bằng 4
Nên 2 số đó sẽ là 1 và 3.
Xét hàng 2: 2 chữ số còn thiếu có tổng là 8 và phải khác 9,5,3,1

Nên 2 số đó sẽ là 6 và 2.
Ta có 1 + 2 + ...+ 9 = 45
Tổng cột 1 + tổng hàng 1 + tổng cột 2 + tổng hàng 2 =
a2 + + a5 =52 – 45 = 7
Do đó bộ số a2, và a5 chỉ có thể là những số 1, 4 và 2
Vậy
14. Ta nhận thấy:
Tổng số điểm của 5 bạn = tổng số điểm của 4 môn học. Có nghĩa là:
349 + 330 + 349 + 326 + 315 = 416 + ? + 428 + 401
Suy ra: ? = tổng số điểm môn sinh = 424.

IMC 2010 tại Hàn Quốc

Page | 10


Editor:

15. Nhận thấy nếu n bao gồm các chữ số bé hơn 5 thì tổng chữ số của 2n sẽ gấp
đôi tổng các chữ số của n và bằng 30.
Do đó trong n phải có ít nhất một chữ số lớn hơn hoặc bằng 5.
Vì ta cần tìm số lớn nhất nên ta sẽ xét trường hợp n có nhiều chữ số nhất:
Xét trường hợp n chứa 1 chữ số
và các chữ số còn lại đều bằng 1:
n có dạng:
(15-a) chữ số
Ta có thể thử1từng trường hợp a = 5,6,7,8 hoặc 9 thì tổng các chữ số của 2n đều
bằng 21 ( loại)
Xét trường hợp n chứa 2 chữ số lớn hơn hoặc bằng 5 và các chữ số còn lại đều
bằng 1:

Ta chọn n là số lớn nhất trong trường hợp này
n= 5511111
Khi đó 2n = 11022222 có tổng các chữ số bằng 12, thõa đề bài.
Vậy n = 5511111

Chú ý: Có vấn đề gì chưa hiểu hay cần hỏi, các em có thể liên hệ qua mail:
. Thầy sẽ giải đáp mọi thắc mắc.

Best regards

IMC 2010 tại Hàn Quốc

Page | 11