Phương pháp số giải phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến cấp hai (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Đào Xuân Tuấn

PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN CẤP HAI

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Đào Xuân Tuấn

PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN CẤP HAI

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. VŨ VINH QUANG

Thái Nguyên - 2015


i

MỤC LỤC

MỤC LỤC .................................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................ iv
DANH SÁCH CÁC KÍ HIỆU ...................................................................................... v
DANH SÁCH HÌNH VẼ ............................................................................................ vi
DANH SÁCH BẢNG ................................................................................................ vii
MỞ ĐẦU ..................................................................................................................... 1
Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .......... 3
1.1 Phương trình vi phân cấp một ........................................................................... 3
1.1.1 Bài toán Cauchy và định lí tồn tại duy nhất nghiệm ........................................ 3
1.1.2 Một số phương pháp tìm nghiệm giải tích ...................................................... 4
1.2 Phương trình vi phân cấp hai .......................................................................... 12
1.2.1 Định lí tồn tại duy nhất nghiệm ..................................................................... 12
1.2.2 Một số phương pháp tìm nghiệm giải tích ..................................................... 13
1.2.2.1 Phương trình khuyết................................................................................... 13
1.2.2.2 Phương trình tuyến tính cấp hai ................................................................. 14
1.2.2.3 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất ................................................ 14
1.2.2.4 Phương pháp biến thiên hằng số ................................................................. 17
1.3 Phương trình vi phân cấp cao ........................................................................... 19
1.3.1 Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm ................................................................ 19
1.3.2 Các phương trình giải được bằng cầu phương ............................................... 20
1.3.3 Tích phân trung gian – phương trình hạ cấp được ......................................... 23
1.3.3.1 Tích phân trung gian .................................................................................. 23

ii

1.3.3.2 Các trường hợp phương trình hạ cấp được nhờ tích phân trung gian .......... 24
1.3.3.3 Phương trình thuần nhất đối với hàm và đạo hàm ...................................... 24
1.3.3.4 Phương trình mà vế trái là đạo hàm đúng ................................................... 25
Chương 2: MỘT SỐ THUẬT TOÁN GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN
TÍNH VÀ PHI TUYẾN ............................................................................................. 26
2.1 Phương pháp sai phân ...................................................................................... 26
2.1.1 Lưới sai phân ................................................................................................ 26
2.1.2 Hàm lưới....................................................................................................... 27
2.1.3 Đạo hàm lưới ................................................................................................ 27
2.1.4 Quy ước viết vô cùng bé ............................................................................... 27
2.1.5 Công thức Taylor .......................................................................................... 28
2.1.6 Liên hệ giữa đạo hàm và hàm lưới ................................................................ 28
2.2 Một số phương pháp giải số phương trình vi phân cấp một .............................. 30
2.2.1 Thuật toán Euler ........................................................................................... 30
2.2.2 Phương pháp Crank_Nicolson ...................................................................... 33
2.2.3 Thuật toán RK4 ............................................................................................ 34
2.2.4 Phương pháp đa bước Adams ....................................................................... 35
2.2.5 Phương pháp Euler_Cauchy .......................................................................... 37
2.3 Một số phương pháp số giải bài toán vi phân cấp hai ...................................... 37
2.3.1 Thuật toán truy đuổi 3 đường chéo................................................................ 37
2.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ điều kiện biên ...................... 40
2.3.3 Phương trình vi phân phi tuyến cấp hai tổng quát với hệ điều kiện đầu ......... 42
2.3.3.1 Sơ đồ sai phân dạng Runge_Kutta.............................................................. 42
2.3.3.2 Sơ đồ sai phân Nyström ............................................................................. 44

iii

Chương 3: MỘT SỐ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM .................................................... 49
3.1 Các kết quả thực nghiệm đối với phương trình cấp một ................................... 49
3.1.1 Thuật toán Euler 1 ........................................................................................ 49
3.1.2 Thuật toán Euler 2 ........................................................................................ 51
3.1.3 Thuật toán Euler_Cauchy.............................................................................. 52
3.1.4 Thuật toán RK_4 .......................................................................................... 53
3.2 Các kết quả thực nghiệm đối với phương trình cấp hai..................................... 55
3.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ điều kiện biên ...................... 55
3.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ điều kiện đầu ....................... 58
KẾT LUẬN ............................................................................................................... 63
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................................... 64
Phụ lục: MỘT SỐ CHƯƠNG TRÌNH NGUỒN......................................................... 65


iv

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành với sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình
của TS. Vũ Vinh Quang – Trường Đại học công nghệ thông tin và truyền thông – Đại
học Thái Nguyên. Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy.
Tôi xin trân trọng gửi tới các Thầy giáo, Cô giáo thuộc khoa Toán – Tin, phòng
Đào tạo – Trường Đại học khoa học – Đại học Thái Nguyên cũng như các Thầy, Cô
giáo đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2013 – 2015 lời cám ơn sâu sắc nhất.
Tôi xin cám ơn Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Quảng Ninh, Ban giám hiệu, các
đồng nghiệp Trường THPT Đông Triều – Quảng Ninh, gia đình, bạn bè,... đã tạo điều
kiện giúp đỡ, động viên, cổ vũ để tôi hoàn thành nhiệm vụ của mình.
Thái Nguyên, ngày 04 tháng 04 năm 2015
Đào Xuân Tuấn

Học viên cao học lớp: Toán A
Khóa: 06/2013 – 06/2015
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Trường ĐH khoa học – ĐH Thái Nguyên


v

DANH SÁCH CÁC KÍ HIỆU
Trong luận văn này có sử dụng một số kí hiệu sau:

W y1, y2  : Định thức Wronsky của y1, y 2
1(x ) : Là một nguyên hàm của 1(x ) .
2 (x ) : Là một nguyên hàm của 2 (x ) .
h : Là một lưới sai phân trên x 0, X  .


xi : Là một nút của lưới.

 

O h  : Độ chính xác trong sai số tính toán

h : Là bước đi của lưới.
ui  u(x i ), i  0,1,..., n : Hàm lưới.
u * (x ) : Nghiệm đúng.


vi

DANH SÁCH HÌNH VẼ

Hình 3.1: Đồ thị nghiệm xấp xỉ theo thuật toán RK_4
Hình 3.2: Đồ thị nghiệm xấp xỉ theo thuật toán khử lặp
Hình 3.3: Đồ thị nghiệm xấp xỉ theo thuật toán Nyström dạng 1
Hình 3.4: Đồ thị nghiệm xấp xỉ theo thuật toán Nyström dạng 2


vii

DANH SÁCH BẢNG

Bảng 2.1: Nyström bậc 4
Bảng 2.2: Phương pháp cho y ''  f (x , y ) , Nyström bậc 4
Bảng 2.3: Phương pháp cho y ''  f (x , y ) , Nyström bậc 5
Bảng 3.1: Sai số phương pháp ứng với hàm nghiệm đúng
Bảng 3.2: Sai số phương pháp Euler_2 ứng với hàm nghiệm đúng
Bảng 3.3: Sai số phương pháp Euler_Cauchy ứng với hàm nghiệm đúng
Bảng 3.4: Sai số phương pháp RK_4 ứng với hàm nghiệm đúng
Bảng 3.5: Sai số phương pháp khử lặp ứng với hàm nghiệm đúng
Bảng 3.6: Sai số phương pháp Nyström dạng 1 ứng với hàm nghiệm đúng
Bảng 3.7: Sai số phương pháp Nyström dạng 2 ứng với hàm nghiệm đúng


1

MỞ ĐẦU
Phương trình vi phân dạng tuyến tính và phi tuyến tính là một lớp phương trình
cơ bản trong lý thuyết phương trình vi phân có ứng dụng quan trọng đối với các bài
toán thực tế đặc biệt là lý thuyết điều khiển ổn định. Về mặt lý thuyết tổng quát của

lớp phương trình này đã được các nhà toán học nghiên cứu từ rất lâu. Tuy nhiên vấn đề
tìm nghiệm giải tích của các phương trình này chỉ thực hiện được đối với các phương
trình dạng đặc biệt còn chủ yếu là phải xác định nghiệm xấp xỉ qua các phương pháp
gần đúng. Chính vì vậy việc nghiên cứu lý thuyết về các phương pháp gần đúng và xây
dựng các chương trình trên máy tính điện tử tìm nghiệm số của các lớp phương trình
trên và có ý nghĩa về mặt khoa học, mang tính ứng dụng cao.
Mục tiêu nghiên cứu chính của luận văn là tìm hiểu về phương pháp sai phân đưa
các phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến với các hệ điều kiện ban đầu khác
nhau về các hệ phương trình sai phân đồng thời nghiên cứu một số các thuật toán giải
đúng và gần đúng các hệ phương trình sai phân để xác định nghiệm xấp xỉ của các
phương trình vi phân, trên cơ sở đó tiến hành xây dựng hệ thống hàm mẫu mô tả các
thuật toán bằng ngôn ngữ máy tính, thử nghiệm tính chính xác của các chương trình
trên các ví dụ cụ thể.
Cấu trúc của luận văn gồm 3 chương với những nội dung như sau:
Chương 1: Luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về phương trình vi phân,
một số phương pháp tìm nghiệm giải tích đối với lớp các phương trình cấp một và cấp
cao. Đây là các kiến thức cơ bản làm nền tảng để nghiên cứu các nội dung trong các
chương tiếp sau của luận văn.
Chương 2: Trên cơ sở của phương pháp sai phân, luận văn trình bày một số kết
quả nghiên cứu cơ bản về mặt lý thuyết các thuật toán giải số các phương trình vi phân
cấp một với điều kiện ban đầu và phương trình vi phân cấp hai với hệ điều kiện biên.
Trên cơ sở đó nghiên cứu thuật toán giải số các phương trình vi phân cấp hai. Các kết
quả lý thuyết chính là nền tảng để xây dựng các thuật toán giải số các phương trình vi
phân trong chương 3 của luận văn.


2

Chương 3: Xuất phát từ các kết quả lý thuyết phân tích về các thuật toán giải số
các phương trình vi phân cấp một và cấp hai dựa trên cơ sở của phương pháp sai phân,

trong chương 3 luận văn sẽ trình bày các kết quả khi cài đặt các thuật toán giải số trên
máy tính điện tử, đánh giá tính đúng đắn của các thuật toán thông qua việc đánh giá sai
số. Ngôn ngữ sử dụng cài đặt các thuật toán là ngôn ngữ Matlab version 7.0.
Mặc dù đã cố gắng song nội dung bản luận văn không thể tránh được những sai
sót. Em rất mong nhận được sự chỉ bảo của các Thầy giáo, Cô giáo, đóng góp ý kiến
của các bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hoàn thiện.
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015
Học viên

Đào Xuân Tuấn


3

Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Nội dung chương 1 của luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về phương
trình vi phân, một số dạng phương trình vi phân thường gặp và phương pháp giải. Đây
là các kiến thức nền tảng, là cơ sở cho việc trình bày các nội dung trong chương 2 và
chương 3 của luận văn. Các kiến thức trên được tham khảo trong các tài liệu [1], [2],
[3].
1.1 Phương trình vi phân cấp một
1.1.1 Bài toán Cauchy và định lí tồn tại duy nhất nghiệm
 Bài toán Cauchy
Xét phương trình:

dy
 f (x , y )
dx

(1.1)

Khi đó bài toán tìm nghiệm y  y (x ) của (1.1) sao cho khi x  x 0 thì y  y 0
được gọi là bài toán Cauchy, ở đây (x 0 , y 0 ) là các giá trị tuỳ ý cho trước được gọi là
giá trị ban đầu (điều kiện đầu).
 Định lí tồn tại duy nhất nghiệm
Định nghĩa 1.1 Ta nói hàm f (x , y ) thoả mãn trong miền G   2 điều kiện
Lipschitz đối với y nếu N  0 sao cho với bất kỳ x , y, y mà (x , y )  G ,(x , y )  G
thì:

f (x , y )  f (x , y )  N y  y

(1.2)

Chú ý: Bất đẳng thức (1.2) sẽ thoả mãn nếu hàm f (x , y ),  fy' (x , y ) giới nội
trong G , tức là: fy' (x , y )  N , (x , y )  G .


4

Vì theo Lagrange:

f (x , y )  f (x , y )  fy' (x , y  t (y  y ) y  y  N y  y
Nhưng điều ngược lại không đúng vì có thể (1.2) thoả mãn nhưng fy' (x , y ) không
tồn tại.
Định lí 1.1 Xét phương trình (1.1) với giá trị ban đầu (x 0 , y 0 ) . Giả sử:
a. Hàm số f (x , y ) là hàm liên tục hai biến trong miền kín giới nội G

x  a  x  x  a

0
 0
; a, b  0

y 0  b  y  y 0  b

vì f liên tục trong G kín, giới nội nên  M để

f (x , y )  M , (x , y )  G .

b. Hàm số f (x , y ) thoả mãn trong G điều kiện Lipshitz đối với y .
Khi đó tồn tại duy nhất một nghiệm y  (x ) của phương trình (1.1) xác định
và liên tục đối với các giá trị của x thuộc đoạn x 0  h  x  x 0  h trong đó

 b 
h  min a,  sao cho khi x  x 0 thì (x 0 )  y 0 .
 M 
1.1.2 Một số phương pháp tìm nghiệm giải tích
 Phương trình tách biến

M (x )dx  N (y )dy  0

(1.3)

Giả sử M (x ), N (y ) liên tục trong miền nào đó của 2 , khi đó tích phân tổng
quát của (1.3) có dạng

 M (x )dx   N (y)dy C .

Tổng quát hơn ta xét phương trình:

M (x )N (y )dx  P (x )Q (y )dy  0

(1.4)


5

Trong đó M , N , P,Q là các hàm liên tục theo đối số của chúng trong miền đang
xét.
Giả sử N (y )P (x )  0 . Khi đó từ (1.3) 

phân tổng quát có dạng:



M (x )
Q(y )
dx 
dy  0 , do đó tích
P (x )
N (y )

M (x )
Q(y )
dx  
dy  C .
P (x )
N (y )

Trong trường hợp N (y )P (x )  0 , những trường hợp y  y 0 làm cho

N (y )  0 cũng là nghiệm của phương trình (1.4), những giá trị x  x 0 làm cho
P (x )  0 cũng là nghiệm của phương trình.
Chú ý: Dạng phương trình

dy
 f (ax  by  c) . Có thể đưa về tách biến bằng
dx

dz
a
dy
dz
dx

phép đổi biến z  ax  by  c 
hay
 a  bf (z ) . Đây là
dx
b
dx
phương trình tách biến.
 Phương trình thuần nhất
Định nghĩa 1.2 Hàm số f (x , y ) gọi là hàm thuần nhất bậc n, nếu:

f (tx , ty )  t n f (x , y ) .
Xét phương trình :

dy

 f (x , y )
dx

(1.5)

với f (x , y ) liên tục và là hàm thuần nhất bậc không.
Đặt t 

Ta có:

1
 f (x , y ) 
x

 y
y 
f 1,     .
 x 
 x 
y 
dy
    .
 x 
dx

(1.6)


6

Đặt z 

y
dy
dz

 z x
thế vào phương trình (1.6).
x
dx
dx

Ta có: z  x

dz
dz
 (z ) hay (z )  z  x
.
dx
dx

Đây là phương trình tách biến

dz
dx

với giả thiết (z )  z  0 .
(z )  z
x

Chú ý: Xét phương trình dạng:

+ Giả sử  

a1

b1

a2

b2

 a x  b y  c 
dy
1
1
 f  1
.
a2x  b2y  c2 
dx

 0.

x    h
Dùng phép đổi biến 

y    k

dạng:

(h, k  const ) , khi đó phương trình có

 a   b   a h  b k  c 
d
1
1
1
1 
 f  1
.
a2  b2  a2h  b2k  c2 
d
a h  b k  c  0
1
1
1
thì ta được phương trình thuần
a2h  b2k  c2  0


Nếu chọn h, k thoả mãn 


nhất:

 a   b  
d
1 
 f  1
.

a2  b2 
d
+) Nếu  

a1

b1

a2

b2

0 

a1
b
 1   , do đó:
a2
b2

 a x  b y  c 
dy
1
1
 f  1


dx
a 2x  b2y  c2 

  (a x  b y )  c 

2
2
1
f 
.
 a2x  b2y  c2 


7

Đặt z  a 2x  b2y và lập phương trình theo z ta có

dz
 (z ) đây là phương
dx

trình tách biến.
 Phương trình tuyến tính

dy
 P (x )y  Q(x )
dx

Dạng tổng quát:

Xét phương trình

(1.7)

dy
 P (x )y  0 , phương trình này được gọi là phương trình
dx

tuyến tính thuần nhất ứng với phương trình đã cho.
+ Phương pháp biến thiên hằng số
Bước 1: Xét phương trình:

dy
 P (x )y  0
dx

Giả sử y  0 khi đó phương trình (1.8) đưa về dạng:

 P(x )dx  ln C

Do đó ln y  

1

(1.8)

dy
 P (x )dx .
y

(C 1  0)

 P (x )dx

 P (x )dx
hay y  Ce 
 y  C1 e 

(1.9)

 P (x )dx
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1.8) là y  Ce 
trong đó C là

hằng số tuỳ ý.
Bước 2: Ta thử tìm nghiệm của (1.8) dưới dạng (1.9) trong đó coi C  C (x ) khi
đó

 P (x )dx
dy dC  P (x )dx

e
 p(x )Ce 
thay hệ thức này vào phương trình (1.7) ta
dx
dx

có:
 P (x )dx
 P (x )dx
dC   P (x )dx
e
 P (x )Ce 
 P (x )Ce 

 Q(x ).
dx


8

Do đó

P (x )dx
dC
 Q(x )e 
hay C  C (x ) 
dx


 Q(x )e

P (x )dx

 C 1 . Trong đó

C 1 là hằng số tuỳ ý.
Vậy y  Ce



 P (x )dx  e P (x )dx Q(x )e  P (x )dx


(1.10)

+ Phương trình Becnuli
Dạng phương trình:

dy
 P (x )y  Q(x )y  ;   R
dx

(1.11)

Nếu   0 ta được phương trình tuyến tính.
Nếu   1 ta được phương trình tuyến tính thuần nhất.
Giả thiết   0,   1 .
Chia hai vế của phương trình cho y  (y  0) ta được:

1 dy
1

P
(
x
)
 Q(x )
y  dx
y 1
Đổi biến z  y 1 ta có (1  )y 

(1.12)

dy

dz

và do đó:
dx
dx

1 dz
 P (x )z  Q(x )
1   dx
Hay

dz
 (1  )P(x )z  (1  )Q(x ) đây là phương trình tuyến tính không
dx

thuần nhất.
 Phương trình hoàn chỉnh – thừa số tích phân
Xét phương trình: M (x , y )dx  N (x , y )dy  0

(1.13)

Nếu vế trái của (1.13) là vi phân toàn phần của một hàm u(x , y ) nào đó.
Tức là:

M (x , y )dx  N (x , y )dy  du (x , y )

(1.14)


9

Thì ta nói (1.13) là phương trình vi phân hoàn chỉnh, khi đó tích phân tổng quát
của phương trình là u(x , y )  C .
Ví dụ: xdx  ydy  0

1 2
x  y2
2


Ta có xdx  ydy  d 




 vì vậy tích phân tổng quát là x 2  y 2  C .





Định lí 1.2 Điều kiện cần và đủ để biểu thức vi phân

M (x , y )dx  N (x , y )dy

(1.15)

Trong đó M , N xác định, liên tục và không đồng thời triệt tiêu tại bất cứ điểm
nào trong một miền đơn liên G   2 và có trong miền ấy các đạo hàm liên tục

và

M
y

N
, là một vi phân toàn phần của hàm u(x , y ) là đẳng thức:
x

M
N

phải thoả mãn (x , y )  G
y
x
Ví dụ: (7x  3y )dx  (3x  5y )dy  0 .
Ta có:

M
3
y
N
N  3x  5y 
3
x
M  7x  3y 

 Đây là phương trình vi phân hoàn chỉnh.
Ta xác định hàm u . Ta có:

u
 7x  3y
x
u
 3x  5y
y

(*)
(**)

(1.16)


10

Từ (*)  u(x , y ) 



 (7x  3y)dx  (y)

u
5
 3x   '(y )  3x  5y vậy (y )   y 2  C .
2
y

Cuối cùng u(x , y ) 

7 2

5
x  3xy  y 2  C .
2
2

Phương trình có tích phân tổng quát là: 7x 2  6xy  5y 2  C .
 Các phương trình dạng phi tuyến

+ Phương trình: F (x , y ' )  0

(1.17)

Trường hợp 1: Phương trình đang xét xác định y ' như là hàm ẩn của x và có thể
giải ra được

y

y '  f (x ) . Khi đó nghiệm nghiệm tìm được bằng một lần cầu phương

 f (x )dx  C .
Trường hợp 2: Từ (1.17) ta giải ra được x theo y ' : x  (y ' ) . Khi đó đặt

y '  p xem p là tham số ta được x  (p ) , vì

dy
 p  dy  pdx . Do
dx

x  (p )  dx   ' (p)dp .Vậy: dy  p ' (p)dp  y 

 p (p)dp  C .
'

x  (p)

Nghiệm thu được dưới dạng tham số: 
y   p' (p)dp  C

Trường hợp 3: Từ (1.17) x , y ' đều biểu diễn bằng một hàm đơn trị theo tham số

x  (t )

 '
y  (t )

Khi đó y 

 y dx  C   (t ) (t )dt  C .
'

'


11

x  (t )

Nghiệm tìm được dưới dạng 
y   (t )' (t )dt  C .


+ Phương trình F (y, y ' )  0

(1.18)

Trường hợp 1: Giải được y ' theo y : y '  f (y ) .
Khi đó

dy  f (y )dx 



dy
 x  C . Ngoài ra giá trị y  y 0 mà
f (y )

f (y )  0 cũng là nghiệm của phương trình.
Trường hợp 2: Giải được y theo y ' : y  (y ') . Giả sử  là hàm khả vi liên tục.
Đặt y '  p ta có y  (p ) .
Từ

dy
1
1
 p  dx  dy   ' (p)dp  x 
dx
p
p



1 '
 (p)dp  C .
p


x  1  ' (p )dp  C
p
Vậy nghiệm tổng quát có dạng 

y  (p)
y  (t )
Trường hợp 3: 
 '
y  (t )

Giả thiết  là hàm khả vi liên tục và (t )  0 ta tìm x theo t .

dy
1 '
Từ
 y '  (t )  dx 
 (t )dt  x 
dx
(t )



 ' (t )
dt  C .
(t )

y  (t )

Vậy nghiệm tổng quát có dạng 

 ' (t )
x  
dt  C

(t )
+ Phương trình F (x , y, y ' )  0

(1.19)


12

Giả sử phương trình có thể biểu diễn dưới dạng tham số:

x  (u, v ); y  (u, v ); y '   (u, v )

(1.20)

Nhờ cách biểu diễn tham số này ta có thể đưa việc giải phương trình (1.19) về
việc giải phương trình đã giải ra đối với đạo hàm.
Ta có: dx 






du 
dv ; dy 
du 
dv ; y '   (u, v ) .
u
v
u
v

Từ dy  y 'dx 

 


 
du 
dv   (u, v )  du 
dv hay nếu coi u
 u

u
v

v



là biến và v là hàm thì:

 

dv

u
u  f (u, v )

du



v
v


(1.21)

(1.21) chính là phương trình đã giải ra đối với đạo hàm, giả sử nghiệm tổng quát
là v  (u,C ) . Khi đó nghiệm tổng quát của (1.19) dưới dạng tham số là:

x   u, (u,C ) ; y   u, (u,C ) .
1.2 Phương trình vi phân cấp hai
Định nghĩa 1.3 Phương trình vi phân cấp hai có dạng:

F (x , y, y ' , y '' )  0

(1.22)

Nếu giải được phương trình ấy đối với y '' , nó có dạng:

y ''  f (x , y, y ' )
1.2.1 Định lí tồn tại duy nhất nghiệm
Cho phương trình (1.23): y ''  f (x , y, y ' ) .

(1.23)


13

'

Nếu f (x , y, y ),

f
f
(x, y, y ' ) và
(x , y, y ' ) liên tục trong một miền D nào đó
'
y
y
'

3
trong  và nếu (x 0, y0, y0 ) là một điểm thuộc D thì trong một lân cận nào đó của

điểm x  x 0 tồn tại một nghiệm duy nhất y  f (x ) của phương trình (1.23) thỏa
mãn các điều kiện:

y

x x 0

 y0 , y '

x x 0

 y0' .

(1.24)

Ta thừa nhận định lí này.
Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.23) thỏa mãn các điều kiện (1.24) được
gọi là bài toán Cauchy của phương trình (1.23).
'
Về mặt hình học, định lí khẳng định rằng nếu (x 0, y0, y 0 )  D thì trong một lân

cận nào đó của điểm (x 0 , y 0 ) có một đường tích phân duy nhất của phương trình (1.23)
'
đi qua điểm ấy, hệ số góc của tiếp tuyến của nó tại điểm ấy bằng y 0

1.2.2 Một số phương pháp tìm nghiệm giải tích
1.2.2.1 Phương trình khuyết
a. Phương trình khuyết y, y ' : F (x , y '' )  0 .
Đặt y '  p , ta được F (x , p ' )  0 , đó là một phương trình cấp một đối với p .
Nếu nghiệm tổng quát của phương trình ấy là p  f (x ,C 1 ) , thì y  g (x ,C 1 )  C 2
trong đó g(x ,C 1 ) là một nguyên hàm nào đó của f (x ,C 1 ) .
b. Phương trình khuyết y : F (x , y ', y '' )  0
Đặt p  y ' , ta được F (x , p, p ' )  0 , đó là phương trình cấp một đối với p .
c. Phương trình khuyết x : F (y, y ', y '' )  0 .

14

''

Đặt y '  p , ta được y 

dp dp dy
dp

.
 p , do đó ta xem p là hàm số
dx
dy dx
dy



chưa biết của y . Phương trình trở thành F y, p, p

dp 
  0 . Đó cũng là phương trình
dy 

cấp một đối với p .
1.2.2.2 Phương trình tuyến tính cấp hai
Đó là phương trình vi phân có dạng:

y ''  p(x )y '  q(x )y  f (x )

(1.25)

Trong đó p(x ), q (x ), f (x ) là các hàm số liên tục.
Nếu f (x )  0 : Phương trình (1.25) là phương trình tuyến tính thuần nhất.
Nếu f (x )  0 : Phương trình (1.25) là phương trình tuyến tính không thuần nhất.
1.2.2.3 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

y ''  p(x )y '  q(x )y  0

(1.26)

Định lí 1.3 Nếu y1(x ) và y2 (x ) là hai nghiệm của phương trình (1.26) thì

C 1y1(x )  C 2y2 (x ) , trong đó C 1 và C 2 là hai hằng số, cũng là nghiệm của phương
trình đó.
Thật vậy, vì y1(x ) và y2 (x ) là nghiệm của phương trình (1.26) nên:

y1''  p(x )y1'  q (x )y1  0
y2''  p(x )y2'  q(x )y 2  0
Nhân phương trình thứ nhất với C 1 , phương trình thứ hai với C 2 rồi cộng lại, ta



được: C 1y1  C 2y2



''

 p(x ) C 1y1  C 2y2   q(x ) C 1y1  C 2y 2   0 .

'

Vậy C 1y1  C 2y2 là nghiệm của phương trình (1.26).


15

Định nghĩa 1.4 Hai hàm số y1(x ) và y2 (x ) được gọi là độc lập tuyến tính trên

y (x )
đoạn a, b  nếu tỉ số 2
 hằng số trên đoạn đó. Trong trường hợp trái lại, hai
 
y1(x )

hàm số ấy được gọi là phụ thuộc tuyến tính.
Định nghĩa 1.5 Cho hàm số y1(x ) và y2 (x ) . Định thức:

y1

y2

'
1

'
2

y

y



 y1y2'  y 2y1'



được gọi là định thức Wronsky của y1, y 2 và được kí hiệu là W y1, y2 hay vắn tắt là
W nếu không sợ nhầm lẫn.
Định lí 1.4 Nếu hai hàm số y1(x ) và y2 (x ) phụ thuộc tuyến tính trên đoạn a, b 
 





thì W y1, y2  0 trên đoạn đó.
'
'
Thật vậy, vì y2  ky1 với k là hằng số nên y2  ky1 , do đó:

W(y1, y2 ) 

y1

y2

y1'

y2'



y1

ky1

y1'

ky1'

k



Định lí 1.5 Nếu định thức Wronsky W y1, y2

y1

y1

y1'

y1'



 0.

của hai nghiệm y1, y 2 của

phương trình tuyến tính thuần nhất (1.26) khác không tại một giá trị x  x 0 nào đó
của đoạn a, b  , trên đó các hệ số p(x ), q (x ) liên tục, thì nó khác không với mọi x trên
 
đoạn đó.
Định lí 1.6 Nếu các nghiệm y1, y 2 của phương trình (1.26) là nghiệm độc lập





tuyến tính trên đoạn a, b  thì định thức Wronsky W y1, y2 khác không tại mọi điểm
 
của đoạn ấy.
Thật vậy, giả sử W  0 tại một điểm nào đó thuộc đoạn a, b  . Theo định lí 1.5,
 

W  0 trên đoạn ấy, tức là y1y2'  y2y1'  0, x  a,b  . Tại những điểm của đoạn
a,b  ở đó y  0 , ta có:
1
 


16

y1y 2'  y2y1'
y12
Vậy tại những điểm ấy

rằng

'

y 
  2   0 .
 y1 

y2
 k , k là hằng số. Người ta cũng chứng minh được
y1

y2
là hằng số cả tại những điểm ở đó y1  0 . Điều này mâu thuẫn với giả thiết
y1

y1, y 2 độc lập tuyến tính.
Vậy W  0, x  a, b  .
 
Định lí 1.7 Nếu y1(x ), y2 (x ) là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình
(1.26) thì nghiệm tổng quát của (1.26) là:

y  C 1y1(x )  C 2y2 (x )

(1.27)

trong đó C 1,C 2 là những hằng số tùy ý.
Ví dụ: Phương trình y ''  y  0 có hai nghiệm riêng là y1  cos x , y2  sin x ,
hai nghiệm ấy độc lập tuyến tính, vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:

y  C 1 cos x  C 2 sin x , (C 1 và C 2 là hai hằng số tùy ý).
Định lí 1.8 Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (1.25) bằng
tổng của nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (1.26) với một
nghiệm riêng nào đó của phương trình không thuần nhất (1.25).
Thật vậy, gọi y là nghiệm tổng quát của phương trình (1.26), Y là một nghiệm
riêng nào đó của phương trình (1.25). Đặt y  y Y .
Ta có: y '  y ' Y ', y ''  y '' Y '' . Thế vào phương trình (1.25), ta được: