Ứng dụng hình học của tích phân xác định

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH


Bài toán diện tích
D: a ≤ x ≤ b, y nằm giữa 0 và f(x)
a
y = f (x)

D
a

S (D ) =

∫

b

a

b

f ( x ) dx


Bài toán diện tích
D: a ≤ x ≤ b, y nằm giữa f1(x) và f2(x)

y = f2 ( x )
b

a

y = f1 ( x )

S (D ) =

∫

b

a

f2 ( x ) − f1 ( x ) dx


Bài toán diện tích
d
D: c ≤ y ≤ d, nằm giữa 0 và f(y)
x = f (y )

S (D) =

∫

d

c

f ( y ) dy

c


Bài toán diện tích
D: c ≤ y ≤ d, nằm giữa f1(y) và f2(y)

S (D) =

∫

d

c

d

f2 ( y ) − f1 ( y ) dy
x = f1 ( y )

x = f2 ( y )
c


Lưu ý
Có thể vẽ hình các đường cong đơn giản hoặc
tìm hoành độ(tung độ giao điểm) để xác định
cận tích phân.
•Tính hoành độ giao điểm ⇒ tích phân tính
theo biến x(ngược lại là tính theo y)

Lưu ý về tính đối xứng
Nếu miên D đối xứng qua Ox, D1 là phần phía
trên Ox của D

S (D) = 2S (D1 )


Ví dụ
Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi:
y = x ( x − 2), y = 0
Hoành độ giao điểm: 0, 2

S (D) =
=

∫

2

0
2

∫0

x ( x − 2) − 0 dx
16
x (2 − x )dx =
15

Ví dụ
Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi:
2

y = x , y = 0, x + y = 2


Ví dụ
Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi:
2

y = x , y = 0, x + y = 2

S (D) =

∫

1

0

2

x dx +

∫

2

1

(2 − x )dx

Hoặc

S (D ) =

∫

1

0

5
=
6

(2 − y ) − ydy


Ví dụ
Tính diện tích miền D giới hạn bởi các đường:
y2 + 8x = 16, y2 – 24x = 48
Tung độ giao điểm:

S (D) =

=

−

∫

24

−

2

2

16 − y
y − 48
−
dx
24
8
24

24

∫

y = ± 24

 16 − y 2 y 2 − 48 
−
dy


÷
24 
8
24 


Bài toán thể tích
D: a ≤ x ≤ b, y nằm giữa 0 và f(x)

Quay D xung quanh Ox


Vật thể tạo ra có dạng tròn xoay.


Bài toán thể tích
D: a ≤ x ≤ b, y nằm giữa 0 và f(x)
a
y = f (x)

D
a

Vx = π

∫

b

a

b
2

f ( x )dx


Bài toán thể tích
D: a ≤ x ≤ b, y nằm giữa 0 và f(x)
Miền D phải
nằm về 1 phía
của trục Oy

a
y = f (x)

D
a

Vy = 2π

b

∫a

b

xf ( x ) dx

Bài toán thể tích
D: a ≤ x ≤ b, y nằm giữa f1(x) và f2(x)

y = f2 ( x )

Miền D phải
nằm về 1 phía
của trục Ox

y = f1 ( x )

a

Vx = π

∫

b

a

b

2
2
f2 ( x ) − f1 ( x ) dx


Bài toán thể tích
D: a ≤ x ≤ b, y nằm giữa f1(x) và f2(x)

y = f2 ( x )

Miền D phải
nằm về 1 phía
của trục Oy

a

Vy = 2π

∫

b

a

y = f1 ( x )

b

x ( f2 ( x ) − f1 ( x ) ) dx


Bài toán thể tích
d
D: c ≤ y ≤ d, nằm giữa 0 và f(y)
x = f (y )

c

Bài toán thể tích
D: c ≤ y ≤ d, nằm giữa f1(y) và f2(y)
d

x = f1 ( y )
c

x = f2 ( y )


Lưu ý về tính đối xứng
Nếu miên D đối xứng qua Ox, D1 là phần phía
trên Ox của D

Vx (D) = Vx (D1 )

V
(
D
)
=
2
V
(
D
)
y
y

1



Ví dụ
D : x ≥ 0, y ≤ 2 – x2, y ≥ x.
Tính thể tích khi D quay quanh Ox, oy.

∫

1

2 2
2

Vx = π (2 − x ) − x  dx
0

∫

1

2

Vy = 2π x (2 − x ) − x  dx
0


Ví dụ
Tính thể tích khi D quay quanh Ox

D : y = xe − x , y = 0, x = 2

Vx = π

∫0 (
2

xe

)

−x 2

dx


Ví dụ
Tính thể tích khi D quay quanh Ox, Oy
D : y = 1 − x 2 , y = 0 −1 ≤ x ≤ 1
y = 1− x2

Vx = π

= 2π

1

-1

Vy = 2π

∫

∫ (

1

0

2

x 1 − x dx

1

−1

1− x2

)

2

dx

1
−
x
dx
(

)
∫0
1

2


Ví dụ
Tính thể tích khi D quay quanh Ox, Oy

D : x 2 + y 2 ≤ 2y
2

Pt đường tròn giới hạn C:
1

x = ± 2y − y 2
hay

y = 1± 1− x

2


Bài toán diện tích, thể tích với
đường cong tham số
D giới hạn bởi trục hoành, 2 đường thẳng x=a,
x=b và đường cong tham số

x (t1 ) = a, x (t 2 ) = b

Nếu

S (D ) =
Vx = π

x = x (t ), y = y (t ),

∫

t2

t1

2

∫

t2

t1

y (t ) x ′(t )dt

y (t ) x ′(t )dt , Vy = 2π

∫

t2

t1

x (t ).y (t ) x ′(t )dt