TOÁN THỰC tế nón TRỤ cầu

8D. Bài toán vận dụng về khối nón – trụ – cầu

 
 
 
 
 
 

                                                                       

8D. BÀI TOÁN VẬN DỤNG
VỀ KHỐI NÓN – KHỐI TRỤ - KHỐI CẦU

 Dạng 129. Bài toán vận dụng về khối nón
 

Câu 01. Người ta đặt được vào một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là  a  và 
2a  sao cho các khối cầu đều tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón, hai khối cầu 
tiếp xúc với nhau và khối cầu lớn tiếp xúc với đáy của hình nón. Tính bán kính đáy  r  
của hình nón đã cho. 
8a
4a
A.  r 
.  
 
B.  r  2 a .    
C.  r  2 2 a .   
D.  r 
. 
3

3
Câu 02. Một vật  N1  có dạng hình nón có chiều cao bằng  40 cm . Người ta cắt vật  N1  
bằng một mặt cắt song song với mặt đáy của nó để được một hình nón  nhỏ  N 2  có 
1
 thể tích  N1 . Tính chiều cao  h  của hình nón  N 2 . 
8
A.  h  5 cm .                 B.  h  10 cm .   
C.  h  20 cm .  
D.  h  40 cm . 
Câu 03.  Một  bình  đựng  nước  dạng  hình  nón  (không  có  đáy),  đựng  đầy  nước.  Biết 
rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào đó một khối 
16
(dm3 ) . Biết rằng một mặt của khối 
trụ và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là 
9
trụ nằm trên mặt đáy của nón (như hình dưới) và khối trụ có chiều cao bằng đường 
kính đáy của hình nón. Tính diện tích xung quanh  Sxq  của bình nước. 

thể tích bằng 

A.  Sxq 

9 10
(dm3 ) .  
2

 

 

B.  Sxq  4 10(dm3 ) .  

4
(dm 3 ) . 
2
Câu 04. Khi sản xuất hộp mì tôm, các nhà sản xuất luôn để một khoảng trống ở dưới 
đáy hộp để nước chảy xuống dưới và ngấm vào vắt mì, giúp mì chín. Hình vẽ dưới 
mô tả cấu trúc của một hộp mình tôm (hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa). Vắt mì 
tôm có hình một khối trụ, hộp mì tôm có dạng hình nón cụt được cắt ra bởi hình nón 
có chiều cao 9cm và bán kính đáy  6 cm . Nhà sản xuất đang tìm cách để sao cho vắt 

C.  Sxq  4 (dm 3 ) .  

 

 

 

D.  Sxq 

mì tôm có thể tích lớn nhất trong hộp với mục địch thu hút khách hàng. Tìm thể tích 
lớn nhất đó? 

 
A.  V  36 .    
File word liên hệ qua

B.  V  54 .    

C.  V  48 .    

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

D.  V 

81
 . 
2

[ Nguyễn Văn Lực ] | 23


8D. Bài toán vận dụng về khối nón – trụ – cầu

                                                                       

Câu 05. Hoàn có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Hoàn muốn biến hình  tròn đó 
thành một hình cái phễu hình nón. Khi đó Hoàn phải cắt bỏ hình quạt tròn  AOB  rồi 
dán hai bán kính  OA  và  OB  lại với nhau (diện tích chỗ dán nhỏ không đáng kể). Gọi 
x  là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm x để thể tích phễu lớn nhất. 
A.  x 

2 6
 .   
3

B.  x 



3

.  

 

C.  x 


2

.  

 

D.  x 


4

. 

Câu 06. Cho  hình  nón  tròn  xoay  có  đỉnh  S   và  đáy  là  đường  tròn  C  O; R    với 
R  a  a  0  , SO  2a , O  SO   thỏa  mãn  OO  x  0  x  2a  ,   mặt  phẳng     

vuông góc với  SO  tại  O  cắt hình nón tròn xoay theo giao tuyến là đường tròn   C   . 
Tìm x  để thể tích khối nón đỉnh  O  đáy là đường tròn   C    đạt giá trị lớn nhất. 
A.  x 

a

.  
2

B.  x  a .  

 

 

C.  x 

a
.  
3

 

D.  x 

2a
. 
3

Câu 07. Giá trị lớn nhất  Vmax  của thể tích khối nón nội tiếp trong khối cầu có bán kính 
R . 

A.  Vmax 

1
 R3 .  

3

 

 

 

B.  Vmax 

4
 R3 .  
3

4 2
32
 R3 .    
 R3 . 
 
 
D.  Vmax 
9
81
Câu 08. Một đĩa tròn bằng thép trắng có bán kính bằng  R . Người ta phải cắt đĩa theo 
một hình quạt, sau đó gấp lại thành hình nón để làm một cái phễu. Cung tròn    của 
hình quạt bị cắt đi phải bằng bao nhiêu độ để thể tích cái phễu lớn nhất? 
A.    66o .    
B.    294 o .    
C.    12, 56 o .  
D.    2, 8 o . 

 
C.  Vmax 

 

 Dạng 130. Bài toán vận dụng về khối trụ
 
Câu 09. Cần phải thiết kế các thùng dạng hình trụ có nắp đậy để đựng nước sạc có 





dung tích  V cm 3 . Hỏi bán kính  R  của đáy trụ nhận giá trị nào sau đây để tiết kiệm 
vật liệu nhất? 
A.  R  3

V
.    
4

B.  R  3

V



.    

C.  R  3

3V
.   
2

D.  R  3

V
. 
2

Câu 10. Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao 
cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là 
nhỏ nhất. Hỏi muốn thể tích khối trụ đó bằng  2  và diện tích toàn phần phần hình trụ 
nhỏ nhất thì bán kính  R  của đáy gần số nào nhất? 
A.  R  0, 5 .    
B.  R  0, 6 .    
C.  R  0, 8 .    
D.  R  0, 7 . 
Câu 11. Một nhà sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với 
dung tích  10000 cm3 . Biết rằng bán kính của nắp đậy sao cho nhà sản xuất tiết kiệm 
nguyên vật liệu nhất có giá trị là   . Hỏi giá trị    gần với giá trị nào nhất dưới đây? 
A.  a  11.677 . B.  a  11.674 . C.  a  11.676 . D.  a  11.675 . 

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 24

8D. Bài toán vận dụng về khối nón – trụ – cầu

                                                                       

Câu 12. Trong ngày trung thu, bố bạn Nam 
đem về cho bạn Nam một chiếc bánh trung 
thu. Nam rất vui vẻ vì điều đó, tuy nhiên để 
kích  thích  tinh thần toán học của  bạn Nam, 
bố  bạn  Nam  đưa  ra  một  bài  toán  như  sau: 
Giả  sử  chiếc  bánh  có  hình  trụ  đứng,  đày  là  hình  tròn  đường  kính  12 cm ,  chiều  cao 

2 cm . Bạn Nam phải cắt chiếc bánh thành 3 phần bằng nhau, cách cắt phải tuân thủ 
quy tắc. Nam chỉ được cắt đúng hai nhát, mặt phẳng 2 nhát dao phải vuông góc với 
đáy và song song với nhau. Như vậy, theo cách cắt thì sẽ có hai miếng giống nhau và 
một việc khác hình thù, 3 miếng có cùng chung thể tích. Hỏi khoảng cách giữa 2 mặt 
phẳng nhát cắt gần nhất với giá trị bao nhiêu ? 
A.  3, 5 cm .  
 
B.  3 cm .  
 
C.  3, 2 cm .    
D.  3, 44 cm . 
Câu 13. Một hình trụ tròn xoay bán kính  R  1 . Trên 2 đường tròn đáy   O   và   O ’  
lấy  A  và  B  sao cho  AB  2 và góc giữa  AB  và trục  OO ’  bằng  300 . 
Xét hai khẳng định: 

 I  :    Khoảng cách giữa  O ’O  và  AB  bằng 
 II  :  Thể tích của khối  trụ là  V 

3
  
2

3 

Mệnh đề nào sau đây là đúng?  
A. Chỉ   I   đúng.  
 
 

 

B. Chỉ   II   đúng.  

C. Cả   I   và   II   đều sai.  

 

D. Cả   I   và   II   đều đúng. 

 

Câu 14. Một miếng bìa hình chữ nhật có các kính thước  2a  và  4a . Uốn cong tấm bìa 
theo bề rộng (hình vẽ) để được hình trụ không đáy. Ký hiệu  V  là thể tích của khối trụ 
tạo ra. Mệnh đề nào sau đây đúng? 
4a3
a3
3
3

A.  V   4 a .    
B.  V   16 a .  
C.  V 
.    
D.  V 
. 

16
Câu 15. Một người gò một tấm nhôm hình  chử nhật có  chiều dài  4 m và chiều rộng 

2 m thành  một  cái  thùng  hình  trụ  đặt  trên  nền  nhà để  đựng  lúa. Nếu gò  tấm  nhôm 
theo chiều dài (Trục đứng là chiều rộng) thì số lúa đựng được như thế nào so với tấm 
nhôm được gò theo chiều rộng (Trục đứng là chiều dài)? 
 
             
2m

4m

Gò theo chiều rộng
A. Số lúa đựng được bằng nhau.    
C. Số lúa đựng được gấp hai lần.    

File word liên hệ qua

Gò theo chiều dài 
B. Số lúa đựng được bằng một nữa.  
D. Số lúa đựng được gấp bốn lần. 

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 25


8D. Bài toán vận dụng về khối nón – trụ – cầu

                                                                       

Câu 16. Bé  Thảo có  một  tấm  bìa  có  chiều  dài  20 cm ,  chiều rộng  1 cm.  Bé  muốn gấp 
một cái hộp nhỏ xinh để bỏ kẹp tóc vào hộp đó tặng quà cho mẹ ngày  20  tháng  10 . 
Anh Phương đã chỉ cho bé hai cách gấp hộp.  
Cách thứ nhất: là bé cuốn tấm bìa thành một cái hộp hình trụ không có  2  
đáy có thể tích  V1 .  
Cách thứ hai: là bé gập tấm bìa một hình hộp chữ nhật có thể tích  V2  có các 
kích thước như hình vẽ. Hãy tìm tỉ số thể tích của  2  hộp để biết được gấp 
theo cách nào sẽ có thể tích lớn hơn. 

 
A. 

V1 4
 .  
V2 

 

B. 

V1
 4 .    

V2

C. 

V1 1
 .    
V2 4

D. 

V1
 4 . 
V2

Câu 17. Người ta xếp  7  viên bi có cùng bán kính  r  vào một cái lọ hình trụ sao cho tất 
cả  các  viên  bi  đều  tiếp  xúc  với  đáy,  viên  bi  nằm  chính  giữa  tiếp  xúc  với  6   viên  bi 
xung quanh và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình 
trụ. Tính  diện tích đáy của cái lọ hình trụ. 
A.  16 r 2 .  
 
B.  18 r 2 .    
C.  9 r 2 .  
 
D.  36 r 2  
Câu 18. Từ  37, 26 cm 3  thủy tinh. Người ta làm một chiếc cốc hình trụ có đường kính 

8 cm với đáy cốc dày  1, 5 cm , thành xung quanh  cốc dày  0, 2 cm . Tính chiều cao của 
chiếc cốc. 
A. 10 cm.   

 

B.  8 cm.   

 

C.  15 cm.   

 

D.  12 cm.  

Câu 19. Người ta cần đổ một ống bi thoát nước hình trụ với chiều cao  200 cm và độ 
 
dày của thành bi là  10 cm và đường kính của bi là  60 cm . Tính lượng bê tông cần phải 
đổ của bi đó là. 
A. 0,1 m3 .  

 

B.  0,18 m3 .   

C.  0,14 m3 .   

D.  V   m3 . 

Câu 20. Một  đội  xây  dựng  cần  hoàn thiện  một  hệ thống  cột  tròn  của  một  cửa hàng 
kinh doanh gồm 17 chiếc. Trước khi hoàn thiện mỗi chiếc cột là một khối bê tông cốt 
thép hình lặng tự luc giác đều có cạnh 14 cm; sau khi hoàn thiện (bằng cách trát thêm 
vữa tổng hợp vào xung quanh) mỗi cột là một khối trụ có đường kính đáy bằng 30 

cm. Biết chiều cao của mỗi cột trước và sau khi hoàn thiện là 390 cm. Tính lượng vữa 
hỗn  hợp  cần  dùng  (tính  theo  đơn  vị  m3,  làm  tròn  đến  1  chữ  số  thập  phân  sau  dấu 
phẩy). 
A.  1, 3 m3 .  
 
B.  2, 0 m3 .    
C.  1, 2 m3 .    
D.  1, 9 m3 . 
 
 

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 26


8D. Bài toán vận dụng về khối nón – trụ – cầu

                                                                       

 

 Dạng 131. Bài toán vận dụng về khối cầu
 
Câu 21. Khi thiết kế vỏ lon sữa bò hình trụ các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho 
chi phí làm vỏ lon là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng  V  mà diện tích toàn 
phần  của  hình  trụ  nhỏ  nhất  thì  bán  kính  R  của  đường  tròn  đáy  khối  trụ  bằng  bao 
nhiêu? 

A.  3

V
.  
2

 

B.  3

V



.  

 

V
.  
2

C. 

 

D. 

V



. 

Câu 22. Cho hình lăng trụ tam giác đều có chín cạnh đều bằng  a.  Tính thể tích  V  của 
khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ. 
A.  V 

7 a 3 21
.  
54

B.  V 

7 a 3 3
.  
54

C.  V 

7 a 3 7
.  
54

D.  V 

7 a 3 21
. 
18

Câu 23. Cho  hình  chóp  S. ABC   có  SA  a 2 , AB  a , AC  a 3 , SA   vuông  góc  với 
a 7
.  Gọi   S    là  mặt  cầu 
2
ngoại tiếp hình chóp  S. ABC . Tính thể tích  V  của khối cầu tạo bởi mặt cầu   S  . 

đáy  và  đường  trung  tuyến  AM   của  tam  giác  ABC   bằng 

A.  V   6 a3 .   

B.  V   2 2 a 3 .  

C.  V   2 3a3 .  

D.  V   2 6 a3 . 

Câu 24. Gọi  S1  là diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật (tổng diện tích các mặt ), 
S2  là diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đó. Tính giá trị nhỏ nhất của 

tỷ số 

S2
. 
S1

A. 

1
.    
2

File word liên hệ qua

 

B. 

3
.   
2

 

C. 


2

.   

 

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

D. 

3
. 
4

[ Nguyễn Văn Lực ] | 27


8D. Bài toán vận dụng về khối nón – trụ – cầu

                                                                       

……………………………….…………………………………………………………………
… 
……………………………….…………………………………………………………………
… 
 

File word liên hệ qua

Facebook: www.facebook.com/VanLuc168

[ Nguyễn Văn Lực ] | 28