Những dạng toán cơ bản ôn thi THPT quốc gia môn toán

Giáo viên soạn: trần ngọc thắng
;
x + lg(1 + 2 x ) = x lg 5 + lg 6
1
3
2
b) lg( x + 8) = lg( x + 58) + lg( x + 4 x + 4)
2
c) log 3 x + log 4 x = log 5 x ;
a)

CÁC BÀI TOÁN VỀ MŨ VÀ LÔGARÍT:
Bài I:
1) Giải các phương trình sau:

8.3 x + 3.2 x = 24 + 6 x
b)
12.3 x + 3.15 x − 5 x + 1 = 20
a)

;

2(log x) 2 = log x. log ( 2 x + 1 − 1) .
9
3
3

d)

2) Giải các phương trình sau:

;
9.2 2 x = 8 32 x + 1
x+5
x + 17
d)
.
x
−
7
x
−
3
32
= 0,25.128
c)

a)

b)
c)

(2 − 3 ) + (2 + 3 ) = 14
(5 − 21) + 7(5 + 21) = 2
x

x

x

x

b)

x +3

2
2
2 2 x + 1 − 9.2 x + x + 2 2 x + 2 = 0

l)

2
2
(D- 03)
2 x − x − 22 + x − x = 3

(7 + 4 3 )

(

)

)

(

)

x

;

3) Giải các phương trình sau:

;

(

a)

log 7 ( x + 2) = log 5 x

c)

log 2 ( x 2 − 4) + x = log 2 [8( x + 2)]

;
e)

4 x − 2 + 16 = 10.2 x − 2
x

x

;

b)

log 3 x = log 2 1 + x

;

(8 + 3 7 )tgx + (8 − 3 7 )tgx = 16

k)

(

c)

3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0
e) 4 x +1 + 2 x + 4 = 2 x + 2 + 16
g) 25 x + 10 x = 2 2 x +1
i)

log 2 (4 x + 4) = x − log 1 (2 x + 1 − 3)

2
log 2 5 − 1 . log 4 2.5 − 2 = 1
2
d) lg x − lg x. log ( 4 x ) + 2. log x = 0
2
2

;

d)

h)

;

x

2) Giải các phương trình sau:
a)

log 2 2 + log 2 4 x = 3

; d)

2

)

log ( x+1)
3
=x

log x 

log 2  x + 3 6  = log 6 x



Bài IV:

;

1) Giải các bất phương trình sau:

x

a)

−32− 3 +2 = 0

(4x

2

)

− 16 x + 7 . log 3 ( x − 3) > 0

log 2 ( x + 1) 2 − log 3 ( x + 1) 3
>0
x 2 − 3x − 4
c) 2 lg 5 ( x − 1) > lg(5 − x ) + 1
1
log 1 x < log 1 1 + 3 x − 1
d)
2
3
3

;

b)

Bài II:
1) Giải các bất phương trình sau:
a)

2
1 +1
1x
1x
> 12
  + 3 
 3
3

;

b)

4

x +1

x+4

+2

(

x
2 − 1 x−1

≥2

2) Giải các bất phương trình sau:
a)

3

x 2 −2 x

1
≥ 
3

x− x−1
b)

(

)

2 +1

x+1

≥

)

x+2

+ 16

[

1) Giải các phương trình sau:

(

;

)

2) Giải các bất phương trình sau:
a)

log 22 x + log 1 x − 3 > 5 (log 4 x 2 − 3)

;

2

b)

Bài III:

]

log 22 x − 4 log 2 x + 3 ≤ 0

1

Giỏo viờn son: trn ngc thng

log 32 x log 2 (8 x ). log 3 x + log 2 x 3 < 0

c)

; d)

8)

log 22 x 3 log 2 x 2
> 2(log 2 x + 1)
log 2 x 1

dx

x(x + 2)

1

(a

dx

xa

1

2)

( x a)( x b) dx = a b ln x b

12)

3)

x

4)

2

dx



x

=

2

dx

(a

2

chữa)

x

(a

1)

(học sinh tự làm các phần này, giáo viên chấm

7)

dx
4
+ 1)

x( x

6)

1)

1
x
1
ln
+
+C
4 x + 2 2( x + 2)

dx
5
+ 2)

dx

2

=

x

2

x

x3
dx
+ 2x + 1

x

14)

x(x

x

dx
+ 1) 2

15)

10

a. sin x + b cos x

c sin x + d cos x dx
a. sin x + b cos x

c sin x + d cos x dx

=Ax+Bln c. sin x + d . cos x +C

( x + 2) x
1
1
1
dx = [

2 x( x + 2) ( x + 2) 2
2 x ( x + 2) 2



2)

3 sin x 2 cos x

2 sin x 3 cos x dx

1

1 + tgx dx

4)

dx

4 + 3tgx

tính

sin x + cos x
dx .
3 + sin 2 x

Ta có :

sin x + cos x
sin x + cos x
dx =
dx =
4 (sin x cos x) 2
3 + sin 2 x

1 d (sin x cos x)
d (sin x cos x

+
4 2 (sin x cos x) 2 + (sin x cos x)

1 2 + (sin x cos x )
ln
+C.
4 2 (sin x cos x)

=

]dx=

sin x

cos x + 2 sin x dx
3)



x( x

x( x + 2)

13)

x4 1
dx .
5)( x 5 5 x + 1)

B. Một số dạng khác

dx
xdx
1 1
1
1
x2
2
=
=
(

)
d
(
x
)
=
ln
+C
x( x 2 + 1) x 2 ( x 2 + 1) 2 x 2 x 2 + 1
2 x2 +1
5)

1

II .Ap dụng : tính

5 x 2 3x 20
3)

x 2 2 x 3 dx
4)

x2 +1
dx
3x 2 + 1

Ta đợc

VN

x
dx
1

dx
( x + 2)

I . Cách làm : tìm A ; B sao cho : asinx+bcosx=A(c sinx+d cosx)+B (c sinx+d cosx)

0)

tính các tích phân sau

2

4

A. Dạng :

1 1
.
+C
a ax + b

2

Nguyên hàm của các hàm lợng giác

3 xdx
5x + 4

2)

4

x

b)

= ln x + x 2 + a + C

x2 + a

B. Bài tập
1)

x( x

dx

1
xa
=
ln
+C
2
2a x + a
a

(ax + b)

5)

0)
+C

x

1

x

Chú ý học sinh tự chứng minh các kết quả sau

dx

10)

2

1

Nguyên hàm của các hàm Phân thức.

ax + b = a ln ax + b + C

dx

( x + 1)( x + 2)

d (x + )
x2 1
1 x 2 3x + 1
x2
x
dx
=
= ln 2
+C
dx
11) 2
=


2
1
1
1
1
8 x + 5x + 1

( x + 5 x + 1)( x 3x + 1)
( x + 5 + )( x 3 + )
( x + + 5)( x + 3)

a. Lý thuyết

1)

9)

3

2)

sin 3 x

3 sin 4 x sin 6 x 3 sin 2 x dx .

Hd : ms=8cos3xsin3x suy ra đáp số

-

1 sin 3 x 1
ln
+C
48 sin 3x + 1

2

Giỏo viờn son: trn ngc thng
3)

1

dx


sin x. sin( x + )
6

cot gx

1 + sin

4)

9

dx

x

( Đs : 2 ln

VN


sin( x + )
6

cos x

sin x(1 + sin

=

dx
sin 3 x. cos 5 x dx

5)

sin x

(ĐS :

9

x)



2) I= x

).

dx =

đs là I=

9

d (sin x)
1
sin x
= ln
+C
9
sin x(1 + sin x) 9 1 + sin 9 x

3)

2)

4

dx
(sin x + 2 cos x) 2

4)

sin

6

1
e

x
1

dx

(ĐS : I=-

1 ln 2 x

5)

cos x
dx
4
x

sin

6)

C.

Bài tập về nhà



) cot g ( x + )dx
3
6

2

1)

2

sin x
dx
6
x

cos

2

3)

Tính tích phân bằng phơng pháp đổi biến



2)

dx
a 2 + x 2





; ta đặt x=atgt

a 2 x 2 dx ;

[0; ] )


2


)
(Đs:
12

x x2 1

ln x

1+ x

2

2)


4

1

dx

(Đs : 0)

1
2

4)

x4 +1
0 x 6 + 1 dx

(Đs :

4 sin 3 xdx
4
x

1 + cos
0

A.

(ĐS : I=


)
3

(Đs:

2 ln

3+2 2
)
5

3

5)

x

5

1 + x 2 dx (Đs :

0

848
).
105

dx
a2 x2

Lý thuyết
b

b b
udv
=
uv

vdu
a
a a


(t ( ; ) )
2 2
ta đặt x=a.sint

) hoặc x=a.cost

(t

B. Bài tập
Bài 1

tính:

1) I=

tính :

1


1

2dx
x 4x 1
2

1

dx .

3

1

dt = x 2 dx

1

t = 3
Ta đợc : x =
3

x = 1 t = 1



Ta có : I=


1

3

(trong đó u=u(x) ; v=v(x) là các hàm có đạo hàm liên tục trên

[a;b].


(t [ ; ]
2 2

1

B.Bài tập

1) I=

x 2 dx
0 x 6 + 3

Tính tích phân bằng phơng pháp tích phân từng phần

Một số dạng và cách đổi biến: với a dơng



1

4) I=

Tính :

dx

Lý thuyết

1)


)
2

( Học sinh làm bảng và nháp, Gv chấm ,chữa)

3

6

Đợc

3)
54

sin 4 x
dx
x + cos 6 x

tg ( x +


; ])
2 2

2
.

15
3) I=

1 4
3
1
tg x + tg 2 x + 3 ln tgx
+ C) .
4
2
2tg 2 x

dx

(sin x + cos x)

(t [

Hd : đặt x=sint

0

học sinh làm các bài tập sau : tính

1)

1 x 2 dx

3

2dx
x

2

1
4 2
x

1

I =

3

dx

; đặt t=

3

dt
4t

2

=


1

dt
4t

2

3

x2

dx .

0

1
.
x

==

x e

1

Giải: ta có I=


3

2) I=

2

e

sin 2 x

1

1 2 x2
1
1
x e d ( x 2 ) = y.e y dy = = .

20
20
2

. sin x. cos 3 x .dx .

0

3


Giỏo viờn son: trn ngc thng

Giải :

dt = 2 sin x. cos xdx

2
đặt t=sin x x = 0 t = 0


x = t = 1

2
1

Ta đợc I=

1

1

1



e (1 t ) 2 dt = 2 e dt te dt = =
t

0

t

0

t

0

3) xe 2 dx
0

e2
.
2

I=

sin

x dx .


2

xdx
5)
2
sin x

1

dt = 2 x dx dx = 2tdt

x = 0 t = 0
x = 2 t =




3

7)

(ĐS :

x sin x
dx
2
x

cos


3

0

cos(ln x)dx

e

1
(e + 1)

2

; đs:

1)

(ĐS : 2-

2
)
e

x
2
e . sin (x)dx

0

2)

3

sin

3

x dx

(ĐS: 3

6)

(ĐS:


ln 2


)
4 32
2

4) I=

x lg

Nếu f(x) là hàm lẻ, liên tục trên [-a;a] thì

xdx

tính

a

a

a

f ( x)dx = 0

Nếu f(x) là hàm tuần hoàn với chu kì T, liên tục trên [0;T]; [a;a+T] thì

a

2

a

f ( x)dx = 2 f ( x)dx

a

10

4)





5)

T

f ( x)dx = f ( x)dx .
0

Với a>0, f(x) là hàm chẵn, liên tục trên R, Với mọi số thực

1

50
99
(ĐS: 50+
)
ln 10 4 ln 2 10
C. Bài tập về nhà

8)



2

3
ln 3 ln( 2 1))
4

a

(ĐS :



xdx

4
5
2 ln tg )

3
12

0

2

2

(ĐS :

1

2) I=

a +T

x.tg

sin x. ln(tgx)dx


4

Nếu f(x) là hàm chẵn, liên tục trên [-a;a] thì

3)

3) I=

6)

CMR:

.

e 1
)
4

4


3


+ ln 2 )
4

A.Lý thuyết

tính:

1
e

(ĐS :

(ln x)dx

1

( Hd : đặt t=lnx ta đa về tích phân mới )

H/s làm ; Gv chấm , chữa

ln x dx

2

Tích phân của một số hàm đặc biệt

1

1) I=

cos

4)

0

e

Bài 2



e2

(ĐS :

2t sin tdt = = 2 .

4) I=


1)
2

0

4



Ta đợc I=

(ĐS:



0

Giải : đặt t= x

cos x. ln(1 + cos x)dx

2 2
(e + 1) )

5

2

3)

2)


2

8
(ĐS : 4- )
e

x

2



1



1 2
1) sin(ln x) dx (ĐS :
(e + 1))
1
2

e2



ta có :



f ( x) dx 1
=
f ( x)dx .
a x + 1 2
Nếu f(x) liên tục trên [0; ] thì





xf (sin x)dx = 2 f (sin x)dx
0

4


Giỏo viờn son: trn ngc thng
Nếu f(x) liên tục trên [ 0;

6)

a)

b)


2


2

0

0


]
2

x4
I= x
dx .
1 2 + 1

1)

f (sin x)dx = f (cos x)dx .

2


2

0

0

Ta đợc

1

f (cot gx)dx = f

1

1) I=

2)

(e

1

x 3x + 7 x x + 1
dx .
cos 2 x




4

5

3


2

VN

3)



HD

+) CM hàm f(x)=

x 3x + 7 x x
cos 2 x
5


4

+) Ta đợc : I=

3


4

dx

f ( x)dx + cos


4



4)

2

x

=


tgx 4



4

4

2)

sin

xdx

(ĐS : 0)



=2.

1)

I=



3)

1 cos 2 x dx

2 ).

VN

4)

x + cos x
dx
2
x

4 sin


2

Bài 2

(ĐS

1
ln 3)
2


2

5)

(ĐS :

dx


)
4
2)

4

sin x. sin 2 x. cos 5 x

dx
ex +1

(ĐS: 0) 5)




4

sin 6 x + cos 6 x
dx
6x +1

(ĐS :

5
).
32

x.sin x. cos

2

xdx .

dx = dt

Đặt:x= t x = 0 t =
x = t = 0

I=

0







0

0

2
2
2
( t ) sin( t ) cos ( t )(dt ) = ( x).sin x. cos xdx = sin x. cos xdx I

0


2

(ĐS:

Giải
(H/s làm ở lớp phần 2;3)

(ĐS: 4008

1

0

0

2004

1

Bài 3 tính

2

2005




2

là hàm lẻ.

dx
+ 1)( x 2 + 1)

2x +1

2

+) Cm bài toán 2

x

x 2 sin x


2

7

1

1 4
1
x dx = = .
2 1
5
1

7

1

1

Do vậy I=

tính :

4

đặt t=-x

I=

1

Bài tập
Bài 1

Giải :

( t ) 4
t4
2t 4
1
1
( dt ) =
dt = t
t dt = (1 t
)t 4 dt = (1 x ) x 4 dx = x 4 dx I
t
1
+1
2
+

1
2
+
1
2
+1
1
1
1
1
1
+1
2t

2

(tgx)dx .

Giáo viên chứng minh các bài toán trên , yêu cầu h/s biết cách chứng minh và nhớ kết
quả.

B.

dt = dx

x = 1 t = 1
x = 1 t = 1


1

thì

cos x. ln( x +


2

x 2 + 1) dx

(ĐS 0).

Do vậy I=



sin x. cos 2 x.dx = =
2 0
3

.

tính

5


Giỏo viờn son: trn ngc thng

2)

x sin x

1 + cos

2

0

x

dx . (ĐS:

2
)
4

3) x=

y

; x+y-2=0 ;y=0.

4) y=x2 ; y=

x2
8

5) y=x2 ; y=

x2
27
;y =
27
x

VN


3)

x. cos

4

2
(ĐS :
)
35

3

x. sin xdx

0



x sin x

dx .
4)
9
+
4 cos 2 x
0

Bài 4

1)

CMR :


2


2

0

2)

sin n x
0 sin n x + cos n x dx .

b)


2

( sin x cos x )dx
0

c)


2

7 cos x 6 sin x
0 (sin x + cos x) 3 dx .

Diện tích hình phẳng-Thể tích của vật thể tròn xoay.

1)

(ĐS: 27ln3)

Bài 2 : Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi quay miền (D) giới hạn bởi các
đờng:


2

A.

(ĐS: 8ln3)

7) y=ex ; y=e-x ;x=1.

0

Tính:

a)

8
x

Lý thuyết
Miền (D) giới hạn bởi các đờng : y=f(x); y=g(x); x=a;x=b có diên

tích:



f ( x ) g ( x) dx

y=4-x2 ; y=2+x2 quanh Ox.

2)

y=x2 ; x=y2

3)

y=2x-x2 ; y=x2-2x quanh Ox.

4)

y=-x2+4x ; trục Ox :

a)

quanh Ox.

Quanh Ox.

5)

a

(ĐS :

Quanh Ox

(ĐS :

Miền (D) giới hạn bởi các đờng: y=f(x);y=0;x=a;x=b khi quay
quanh trục Ox nó tạo ra vật trể tròn xoay có thể tích : V Ox=

6)

b

f

2

3)

a) Quanh Ox

Miền (D) giới hạn bởi các đờng: x=f(y);x=0;y=a;y=b khi quay
quanh trục

Oy nó tạo ra vật trể tròn xoay có thể tích : V Oy=

b

f

2

( y )dy

16
).
5

512
) Quanh Oy.
15

(ĐS :

128
)
3

256
)
5

Quanh Oy

(ĐS :

128
)
3

y=x2+1 ; Ox ; Oy ; x=2.

( x)dx

a

(ĐS :

y=(x-2)2 ;y=4

a)

2)

(ĐS : 16 )

1)

b

SD =

5
( đvdt))
6

6) y=x2 ; x=y2.

n
sin xdx = cos xdx .
n

;y =

(ĐS:

(ĐS :

206
)
15

b) Quanh Oy

(ĐS : 12 )

Một số bài toán về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
Chữa bài thi khảo sát ở tuần 8 và dạy những phần sau:

a

Bài 1:

B.Bài tập
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng:
1) y=

x 2 4x + 3

2) y=

x 1 ; y = x + 5
2

;y=3

(ĐS: 8(đvdt))

(ĐS:

73
( đvdt))
3

Một trờng tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4
cặp anh em sinh đôi . cần chọn một nhóm 3 học sinh trong số 50 học sinh trên đi dự
Đại hội cháu ngoan Bác Hồ, sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi
nào.Hỏi có bao nhiêu cách chọn? (ĐS: 19480)

Bài 2:
Một tổ sinh viên có 20 em. trong đó có 8 em chỉ biết tiếng Anh , 7 em chỉ biết
tiếng Pháp và 5 em chỉ biết tiếng Đức. Cần lập một nhóm đi thực tế gồm 3 em biết

6


Giỏo viờn son: trn ngc thng
tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp và hai em biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn?

Bài 14 : một hộp đựng 6 bi xanh và 4 bi đỏ có kích thớc khác nhau.Hỏi có bao nhiêu
cách lấy ra 5 bi trong đó có ít nhất 3 bi đỏ? (ĐS: 66)

(ĐS: 19600)

Dùng đạo hàm, tích phân vào khai triển nhị thức NiuTon

Bài 3: Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh đợc chọn ra
để lập một tốp ca.Hỏi có bao nhiêu cáchchon khác nhau nếu:
a)

chọn tuỳ ý?

b)

có ít nhất hai nữ? (ĐS: 5413695)

A Dùng đạo hàm vào khai triển nhị thức NiuTon
Bài1: CMR:

a)

Bài 4:
b)

Một đội văn nghệ có 20 ngời gồm 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chon ra 5
ngời sao cho:
a)

có đúng 2 nam? (ĐS: 5400)

b)

có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ? (ĐS: 12900)

c)

có đúng 2 viên bi đỏ?

b)

số bi xanh bằng số bi đỏ?
Bài 6: trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách
chia 16 học sinh đó thành 2 tổ , mỗi tổ 8 ngời sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi
và mỗi tổ ít nhất hai học sinh khá? (ĐS: 7560).
Bài 7: có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Lập một đoàn
công tác cần có cả nam và nữ, cả nhà toán học và nhà vật lý.Hỏi có bao nhiêu cách?
(ĐS: 90)
Bài 8 : Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ đợc xếp thành một hàng dọc để đi vào
lớp. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để có đúng hai học sinh nam đứng xen kẽ 3 học

sinh nữ?

C n1 2C n2 + 3C n3 + (1) n 1 nC nn = 0 .
100

a)

Tính a97

b)

Tính

i

i

.

(ĐS: -1293600)

100

a
i =0

(ĐS: 1)

i

100

c)

Tính

ia
i =0

(ĐS: -100).

i

Bài 3:tính :
0
1
3
2004
C 2004
+ 2C 2004
+ 3C 2004
+ + 2005C 2004

a)

(ĐS: 22004.1003)

Gv chữa bằng hai cách.
2000

Bài 9:

b)

(k + 1)C
k =0

k +1
2000

(ĐS: 1001.22000)

VN

n N *

Bài 4: CM

n

k

a)

k =1

Bài 11: có bao nhiêu số tự nhiên có bảy chữ số , trong đó chữ số 4 có mặt 2 lần nh ng không đứng cạnh nhau, chữ số 1 có mặt 3 lần , các chữ số khác có mặt không
quá 1 lần?(ĐS: 8120)

2

ta có :

n

k =2

Bài
1
n

C 3

5:
n 1

tìm

+ 2 C .3
2
n

n

k.3

C nk = n(n + 1).2 n 2 .b)

k.(k 1)C

c)

Bài 12: có bao nhiêu cách chia 10 đồ vật hoàn toàn khác nhau cho 2 ngời sao cho mỗi
ngời đợc ít nhất một đồ vật? (ĐS: 210-2)
Bài 13 : một hộp đựng 2n viên bi , trong đó có n bi đỏ giống hệt nhau và n bi xanh
khác nhau đôi một .Hỏi có bao nhiêu cách khác nhau lấy ra n bi từ hộp đó? (ĐS: 2 n)

a x
i =0

VN:

Bài 10: trong một buổi liên hoan có 6 cặp nam nữ, trong đó có 3 cặp là vợ
chồng.Cần chon ra 3 ngời đứng ra tổ chức liên hoan mà trong đó không có cặp vợ
chồng nào.Hỏi có bao nhiêu cách?

( làm bằng hai cách)

2 n 1 C n1 + 2 n 1 C n2 + 3.2 n 3 C n3 + + nC nn = n.3 n 1

(ĐS: 21600)

Trong một môn học,thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 cau hỏi khó ,10 câu hỏi
trung bình,15 câu hỏi dễ .Từ 30 câu hỏi đó có thể lập đợc bao nhiêu đề kiểm
tra,mõi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ3
loại câu hỏi (khó,trung bình dễ) và ít nhất có hai câu dễ.

ta có :

C n1 + 2C n2 + 3C n3 + + nC nn = n.2 n 1

Bài 2: đặt (x-2)100=

Bài 5: có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thớc đôi một khác
nhau.hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi sao cho:
a)

n N *

n 2

k
n

số

+ 3.C .3
3
n

k =1

C nk = n.4 n 1

= n.( n 1)2 n 2
nguyên

n 3

n k

dơng

n

sao

cho:

+ + n.C = 48
n
n

7


Giỏo viờn son: trn ngc thng
B. Dùng tích phân vào khai triển nhị thức NiuTon
Bài 1: CMR:

n N *

Bài 1:
Tính khoảng cách giữa đờng chéo của một hình lập phơng và đờng chéo của một
mặt bên nếu chúng không cắt nhau, biết cạnh của hình lập phơng bằng a.

ta có :

1
1

1
2 n +1 1 .
C n0 + C n1 + C n2 + +
C nn =
2
3
n +1
n +1

a)

b)

Bài 2:
Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OAC,OBC vuông tại O.Gọi

1
1
( 1) n n
1 .
C n0 C n1 + C n2 +
Cn =
2
3
n +1
n +1

a)

1

1
1
3 1
.
C n0 + C n1 .2 + C n2 .2 2 + +
C nn. 2 n =
2
3
n +1
2(n + 1)

Cho hình lập phơng ABCDABCD có cạnh bằng a

5

4

2 0 2 1 2 2
1
C 6 + C 6 + C 6 + + C 66
1
2
3
7

3 2
)
7
7

(ĐS:

7

1 2
1 4
1
2002
+ C 2003
+ C 2003
++
C 2003
3
5
2003

(ĐS:

1 0 1 1 1 2
1
1
C19 C19 + C19 + C1918 C1919
2
3
4
20
21

(ĐS:

0

b) S= C 2003

b)

2003

2
)
2004

Bài 4:

n

+

Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABD) và (CBD) .

d)

Tìm cosin của góc giữa hai mặt phẳng: (DAC) và (ABBA).

Cho hình lập phơng ABCDABCD cạnh a.Các điểm M thuộc AD và N thuộc DB sao
cho AM=DN=k( 0
1 1
1 2
1

2 2004 2006 .
2002
C 2003 + C 2003
++
C 2003
=
2
3
2003
2004

S= C 0

CMR: Giao điểm của đờng chéo AC với mặt phẳng ( ABD) là trọng tâm tam
giác ABD.

c)

1
)
420

2)

a)

Tìm k để đoạn thẳng MN ngắn nhất.

b)

CMR: MN luôn song song với mặt phẳng (ADBC).

c)

Khi đoạn MN ngắn nhất , cmr: MN là đờng vuông góc chung của AD và DB ;
MN song song với AC.
Bài 5:

n N * , tính
a)

( AB' D' ) .

Bài 4:

VN
Bài 3: CM:

CMR: AC

a)

a) S=

c) S=

cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1.

Bài 3 :

Bài 2: tính :
6

là góc lần l-

Tam giác ABC có ba góc nhọn .
b)

n +1

c)

, ,

ợt hợp bởi các mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) với mặt phẳng (ABC).CMR:

Cho hình lập phơng ABCDABCD có cạnh bằng a.
n +1

2 1 1 2 1 2
2 1 n
Cn +
Cn + +
Cn
2
3
n +1
2

3

3 n +1 2 n +1
)
n +1

(ĐS:

a) Tính khoảng cách giữa AB và BD.

(ĐS:

a
6

)

b) Gọi M,N,P lần lợt là trung điểm của BB, CD, AD.Tính góc giữa hai đờng thẳng
MP và CN. (ĐS: 900)

k2 k
b) S=
Cn
k =1 k + 1

Bài 6 :

n

.

Tuần 13-14
Giải toán bằng phơng pháp toạ độ.

Bằng phơng pháp toạ độ, hãy giải các bài tập sau:

Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau và OA=OB=OC =a.Kí
hiệu K,M,N lần lợt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CA. Gọi E là điểm đối xứng của
O qua K và I là giao điểm của CE với mặt phẳng (OMN) .
a) CMR: CE

(OMN )

b) Tính diện tích tứ giác OMIN theo a. (ĐS:

a2 3 .
)
6

8


Giỏo viờn son: trn ngc thng
Bài 7:

a)

Cho hình lập phơng ABCDA1B1C1D1 có cạnh bằng a , các điểm M,N nằm trên cạnh CC 1
sao cho : CM=MN=NC1.Xét mặt cầu (K) đi qua 4 điểm A,B1,M và N .
a) CM các đỉnh A1 và B thuộc mặt cầu (K)

(

Thiết diện thu đợc khi cắt hình hộp bởi mặt phẳng (BCK) là hình
gì? Tính diện tích thiết diện đó theo a. ( ĐS:

ĐS: mặt cầu (K) có tâm I(
b)

a a 7a
; ; ))
2 2 18

CMR: đờng thẳng BM tiếp xúc với mặt cầu đờng kính AA.
Bài 11:

b) Tính độ dài bán kính của mặt cầu (K).

(ĐS:

Cho hình lập phơng ABCDABCD có cạnh bằng a. Gả sử M,N lần lợt là trung điểm
của BC và DD.

a 211 .
)
18

Bài 8:
Cho tứ diện SABC có SC=CA=AB=a

2 ; SC ( ABC ) ;tam giác ABC vuông tại A. M

thuộc cạnh SA, N thuộc cạnh BC sao cho : AM=CN=t (0
1)

CMR: MN song song với (ABD).

2)

Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng BD và MN. (ĐS:

Tính độ dài đoạn MN. (ĐS: MN=

b)

Tìm giá trị của t để đoạn MN ngắn nhất. (ĐS : t=

c)

Khi đoạn MN ngắn nhất ,cmr MN là đờng vuông góc chung của BC và SA.

3t 4at + a ) .
2

2

Bài 12:

cách từ A đến (BCD). (ĐS:

2a
)
3

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
đáy;SA=a
Tính khoảng cách giữa :

Cho hình lập phơng ABCDABCD cạnh a. Các điểm M.N theo thứ tự đó chuyển
động trên hai đoạn thẳng BD, AB sao cho BM=BN =t ( 0

t a 2 ) .Gọi ,

là

1) AB và SC

(ĐS:

các góc giữa đờng thẳng MN và các đờng thẳng BD,AB theo thứ tự đó.
2) AC và SD (ĐS:

1
cos + cos = .
2
2

CMR :

2

a 2
)
2

Cho hình hộp chữ nhật ABCDA 1B1C1D1 có AB=a;AD=b;AA1=c. M,N lần lợt là trung
điểm của các cạnh A1B1 và BC.

1
abc)
6

2) Gọi I là điểm bất kỳ thuộc AA 1 .Tính tỉ số thể tích hình chóp ICDD 1C1 và

Cho hình hộp chữ nhật ABCDABCD có AB=a, AD=2a, AA=a

2 ; M là một điểm

thuộc đoạn AD , K là trung điểm của BM.
Đặt AM=m (

0 m < 2a ) .Tính thể tích khối tứ diện AKID theo avà m , trong

đó I là tâm hình hộp . Tìm vị trí của M để thể tích đó đạt giá trị lớn nhất.

2)

a 3
)
3

1) Tính thể tích hình chóp A1AND (ĐS:

Bài 10:

( ĐS: V=

a 2
)
2

Bài 14:

Tính độ dài MN theo a,t.Từ đó tìm t sao cho đoạn MN có độ dài ngắn nhất.
(ĐS: t=

1)

6 34
)
17

Bài 13

Bài 9

b)

a 3
)

6

Cho tứ diện DABC có DA vuông góc với (ABC) ;AC=4;AB=3;BC=5;BD=5. Tính khoảng

a)

a)

3a 2 2 .
)
2

2a 2
( 2a m )
24

; M

A)

hình lăng trụ ACDA 1C1D1. (ĐS:

3
)
2

Đờng thẳng trong mặt phẳng toạ độ
A.Lý thuyết :trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy
1) Công thức tính tạo độ của véc tơ tổng, hiệu , độ dài đoạn thẳng , góc giữa hai
véc tở.

2) Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k.

Khi M là trung điểm của AD :

9


Giỏo viờn son: trn ngc thng
3) Đờng thẳng (d) đi qua điểm M(x0;y0) và có véc tơ pháp tuyến

Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết A(1;3) và hai đờng trung
tuyến có phơng trình: x-2y+1=0 và y-1=0.(ĐS: x+2y-7=0; x-4y-1=0; x-y+2=0).



n (a; b) có phơng

trình: a(x-x0)+b(y-y0) =0.
4) Đờng thẳng (d) đi qua điểm M(x0;y0) và có véc tơ chỉ phơng
trình:

Bài 10:
Tam giác ABC có diện tích là 3/2, trọng tâm tam giác thuộc đờng thẳng 3xy-8=0 ; A(2;-3); B(3;-2). Tìm toạ độ đỉnh C. (ĐS: C(-2;-10) hoặc C(-1;-1))



u (a; b) có phơng

x=x 0+at

Bài 11:

y=y0+bt

Tam giác cân ABC có cạnh đáy BC có phơng trình: x-3y-1=0; cạnh (BA) : x-

5)Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đờng thẳng.

y-5=0; AC đi qua M(-4;1).Tìm toạ độ đỉnh C. (ĐS: C(

6) Công thức tính góc giữa hai đờng thẳng.

8 1
; ) ).
5 5

7) Đờng phân giác của góc tạo bởi hai đờng thẳng cắt nhau.

Bài 12:

B.Bài tập: trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy:

Cho tam giác ABC có A(2;-1) các phân giác trong xuất phát từ B và C lần lợt có
phơng trình: x-2y+1=0; x+y+3=0.Lập phơng trình cạnh BC.(ĐS: 4x-y+3=0).

Bài 1:
Q(5;4).

Bài 13

Lập phơng trình đờng thẳng đi qua M(2;5) và cách đều hai điểm P(-1;2) ;

Cho tam giác ABC có phơng trình hai cạnh là 5x-2y+6=0; 4x+7y-21=0. Viết
phơng trình cạnh còn lại biết trực tâm của tam giác trùng với gốc toạ độ.(ĐS: y-7=0)

Bài 2:

Bài 14:

Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A(0;1) và tạo với đờng thẳng :
x+2y+3=0 một góc 450. (ĐS: 3x+y-1=0 ; x-3y+3=0)

Lập phơng trình các cạnh tam giác ABC biết B(2;-1), đờng cao và đờng
phân giác trong đi qua hai đỉnh A và C lần lợt là : 3x-4y+27=0 ; x+2y-5=0.

Bài 3:

Bài 15: cho tam giác ABC có các đỉnh A(-1;0) ; B(4;0); C(0;m) với m 0. Tìmtoạ độ
trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G.

Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A(1;2) và tạo với đờng thẳng :
x=t

một góc 450.

Bài 16:

y=1+t

Tam giác ABC có ba đỉnh thuộc đồ thị hàm số y=

Bài 4 Cho P(3;0) và hai đờng thẳng (d1): 2x-y-2=0 ; (d2) : x+y+3=0. Lập phơng
trình đờng thẳng (d) đi qua P cắt (d 1) và (d2) lần lợt tại A và B sao cho PA=PB. (ĐS:
8x-y-24=0).

1
. CM trực tâm H của
x

tam giác cũng thuộc đồ thị hàm số này.
Bài 17:

Bài 5:

Cho hai đờng thẳng (d1) và (d2) lần lợt có phơng trình: (a-b)x+y=1.

Cho P(1;1) và hai đờng thẳng (d1): x+y=0 ; (d2) : x-y+1=0. Lập phơng trình
đờng thẳng (d) đi qua P cắt (d1) và (d2) lần lợt tại A và B sao cho 2PA=PB.

(a2-b2)x+ay=b. Biết b2=4a2+1.

Bài 6:
Cho tam giác ABC có trung điểm các cạnh lần lợt là: M(2;1) ; N(5;3) ; P(3;-4) .
a)

Lập phơng trình các cạnh tam giác.

b)

Lập phơng trình các trung trực tam giác.
Bài 7:

Lập phơng trình các cạnh hình bình hành ABCD biết giao điểm hai đờng
chéo là M(1;6); AB, BC, CD và DA lần lợt đi qua P( 3;0); Q(6;6); R(5;9); S(-5;4).

a)

Xác định giao điểm I của (d1) và (d2).

b)

Tìm tập hợp các giao điểm của (d1) và (d2) khi a , b thay đổi.
Bài 18:cho hai đờng thẳng (d1) và (d2) lần lợt có phơng trình : kx-y+k=0;
(1-k2)x+2ky-(1+k2)=0.

a)
b)

Tìm điểm cố định của (d1). (ĐS : (-1 ;0))
Tìm quĩ tích giao điểm của (d 1) và (d2) khi k thay đổi. ( ĐS : là đờng
tròn : x2+y2=1)
Bài 19 :cho họ đờng thẳng phụ thuộc tham số : (x-1)cos

Bài 8:
Lập phơng trình các cạnh hình vuông ABCD biết AB, CD, BC, AD lần l ợt di
qua P(2;1) ; Q(3;5); R(0;1); S(-3;-1).

a)

Bài 9

b)

+ ( y 1) sin 4 = 0

Tìm tập hợp các điểm của mặt phẳng không thuộc bất cứ đờng
thẳng nào của họ (ĐS: miền trong đờng tròn (x-1)2+(y-1)2<16)
CMR mọi đờng thẳng của họ đều tiếp xúc với một đờng tròn cố định.

10


Giáo viên soạn: trần ngọc thắng
(§S: ®êng trßn t©m I(1;1), b¸n kÝnh
ÔN TẬP MÔN TOÁN LỚP 12 THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG (CƠ BẢN).

1.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
 x = 2 + 4t

(d ) :  y = 3 + 2t và mặt phẳng (P) : − x + y + 2 z + 5 = 0
 z = −3 + t

a. Chứng minh rằng (d) nằm trên mặt phẳng (P) .
b. Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) nằm trong (P), song song với (d) và cách (d)
một khoảng là 14 .
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1;0;5) và hai mặt phẳng
(P) : 2 x − y + 3z + 1 = 0 và (Q) : x + y − z + 5 = 0 .
a. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q) .
b. Viết phương trình mặt phẳng ( R ) đi qua giao tuyến (d) của (P) và (Q) đồng thời
vuông góc với mặt phẳng (T) : 3 x − y + 1 = 0 .
x + 3 y +1 z − 3
=

=
3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) :
2
1
1
và
mặt phẳng (P) : x + 2 y − z + 5 = 0 .
a. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) .
b. Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) .
c. Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) là hình chiếu của đường thẳng (d) lên mặt
phẳng (P).
4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 4 điểm A( − 2;1; − 1) ,B(0;2; − 1)
,C(0;3;0) D(1;0;1) .
a. Viết phương trình đường thẳng BC .
b. Chứng minh rằng 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng .
5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1; − 1;1) , hai đường thẳng
x = 2 − t

x −1 y z
(
∆
)
:
(∆1 ) :
= = , 2  y = 4 + 2t và mặt phẳng (P) : y + 2 z = 0
−1
1 4
z = 1

a. Tìm điểm N là hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng ( ∆ 2 ) .

b. Viết phương trình đường thẳng cắt cả hai đường thẳng (∆1 ) , (∆ 2 ) và nằm trong
mặt phẳng (P) .
6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
x −1 y − 2 z
(∆1 ) :
=
=
,
2
−2
−1
 x = − 2t

(∆ 2 ) :  y = −5 + 3t
z = 4


b. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng (∆1 ) và song song với
đường thẳng (∆ 2 ) .
7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng (P ) :
x + y + 2 z + 1 = 0 và mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z + 8 = 0 .
a. Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P) .
b. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) .
 x = 2 − 2t

8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng (d1 ) :  y = 3
và
z =
t


x − 2 y −1 z
=
= .
1
−1
2
a. Chứng minh rằng hai đường thẳng (d1 ), (d 2 ) vuông góc nhau nhưng không cắt
nhau .
b. Viết phương trình đường vuông góc chung của (d1 ), (d 2 ) .
9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( α ) : 2 x − y + 2 z − 3 = 0 và
x+3 y+5 z −7
x − 4 y −1 z
=
=
hai đường thẳng ( d1 ) :
=
=
, ( d2 ) :
.
2
3
−2
2
2
−1
a. Chứng tỏ đường thẳng ( d1 ) song song mặt phẳng ( α ) và ( d 2 ) cắt mặt phẳng (
α ).
b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng ( d1 ) và ( d 2 ).
c. Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) song song với mặt phẳng ( α ) , cắt đường
thẳng ( d1 ) và ( d 2 ) lần lượt tại M và N sao cho MN = 3 .

10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với các đỉnh là A(0; −2
;1) ,
B( −3 ;1;2) , C(1; −1 ;4) .
a. Viết phương trình chính tắc của đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác .
b. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm C và vuông góc với mặt
phẳng (OAB) với O là gốc tọa độ .
11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( −1; 4; 2) và hai mặt phẳng
( P1 ) : 2 x − y + z − 6 = 0 , ( P2 ) : x + 2 y − 2 z + 2 = 0 .
a. Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng ( P1 ) và ( P2 ) cắt nhau . Viết phương trình tham số của
giao tuyến ∆ của hai mặt phằng đó .
(d 2 ) :

b. Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên giao tuyến ∆ .
12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng (P) qua O ,
vuông góc với mặt phẳng (Q) : x + y + z = 0 và cách điểm M(1;2; −1 ) một khoảng
bằng 2 .

a. Chứng minh rằng đường thẳng (∆1 ) và đường thẳng (∆ 2 ) chéo nhau .

11


Giáo viên soạn: trần ngọc thắng

13. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng

 x = 1 + 2t

(d ) :  y = 2t
và mặt

 z = −1


phẳng (P) : 2 x + y − 2 z − 1 = 0 .
a. Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên (d) , bán kính bằng 3 và tiếp xúc (P) .
b. Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua M(0;1;0) , nằm trong (P) và vng góc với
đường thẳng (d) .
14. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có các đỉnh A,B,C lần
lượt nằm trên các trục Ox,Oy,Oz và có trọng tâm G(1;2; −1 ) Hãy tính diện tích tam
giác ABC
15. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ .
Biết A’(0;0;0) , B’(a;0;0),D’(0;a;0) , A(0;0;a) với a>0 . Gọi M,N lần lượt là trung điểm
các cạnh AB và B’C’ .
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và song song với hai đường thẳng AN và
BD’ .
b. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và BD’ .
16. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
x −1 y − 2 z
(∆1 ) :
=
=
,
2
−2
−1
 x = − 2t

(∆ 2 ) :  y = −5 + 3t
z = 4


a. Chứng minh rằng đường thẳng (∆1 ) và đường thẳng (∆ 2 ) chéo nhau .
b. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng (∆1 ) và song song với
đường thẳng (∆ 2 ) .
17. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng
(P ) : x + y + 2 z + 1 = 0 và mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z + 8 = 0 .
a. Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P) .
b. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) .
18. Cho D(-3;1;2) và mặt phẳng ( α ) qua ba điểm A(1;0;11), B(0;1;10), C(1;1;8).
1.Viết phương trình tham số của đường thẳng AC
2.Viết phương trình tổng qt của mặt phẳng ( α )
3. Viết phương trình mặt cầu tâm D bán kính R= 5.Chứng minh mặt cầu này cắt ( α )
19.Cho A(1,1,1) ,B(1,2,1);C(1,1,2);D(2,2,1)
a.Viết phương trình đường thẳng vng góc chung của AB và CB
b.Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.
20. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm :A(1;0;-1); B(1;2;1); C(0;2;0).
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
1.Viết phương trình đường thẳng OG
2.Viết phương trình mặt cầu ( S) đi qua bốn điểm O,A,B,C.
3.Viết phương trình các mặt phẳng vng góc với đường thẳng OG và tiếp xúc với mặt
cầu ( S).

21.Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho bốn điểm A, B, C, D với A(1;2;2),
−−−− >

−>

−>

−>

−−−−>

−>

−>

−>

B(-1;2;-1), OC = i + 6 j − k ; OD = − i + 6 j + 2 k .
1.Chứng minh rằng ABCD là hình tứ diện và có các cặp cạnh đối bằng nhau.
2.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.
3.Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp hình tứ diện ABCD.
22.Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( S) : x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z
x + 2 y − 2 = 0
x −1 y
z
; ( ∆2 ) :
= =
– 3 = 0 và hai đường thẳng ( ∆1 ) : 
x
−
2
z
=
0
−
1
1
−

1

1.Chứng minh ( ∆1 ) và ( ∆ 2 ) chéo nhau
2.Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu ( S) biết tiếp diện đó song song với hai
đường thẳng ( ∆1 ) và ( ∆ 2 )
23. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P)
( P) : x + y + z − 3 = 0 và đường thẳng (d)
có phương trình là giao tuyến của hai mặt phẳng: x + z − 3 = 0 và 2y-3z=0
1.Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M (1;0;-2) và qua (d).
2.Viết phương trình chính tắc đường thẳng (d’) là hình chiếu vng góc của (d) lên
mặt phẳng (P).
24. Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;2;3) và đường thẳng d có phương
trình

x −1 y + 1 z − 1
=
=
.
2
1
2

α qua A và vng góc d.
2. Tìm tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng α .
1. Viết phương trình mặt phẳng

25. Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4)
1) Viết phương trình mặt phẳng α qua ba điểm A, B, C. Chứng tỏ OABC là tứ diện.
2) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC.
26. Trong Kg Oxyz cho điểm A(2;0;1), mặt phẳng (P): 2 x − y + z + 1 = 0

x = 1+ t

và đường thẳng (d):  y = 2t
.
z = 2 + t

1.Lập phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P).
2. Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, vuông góc và cắt đường
thẳng (d).
x y z −1
27. Trong Kg Oxyz cho điểm A(3;4;2), đường thẳng (d): = =
và mặt
1 2
3
phẳng (P): 4 x + 2 y + z − 1 = 0 .
1.Lập phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) và cho biết
toạ độ tiếp điểm.

12


Giáo viên soạn: trần ngọc thắng

2. Viết phương trình đường thẳng qua A, vuông góc (d) và song song với mặt
phẳng (P).
28. Trong khơng gian Oxyz cho ba điểm A( 2; -1 ;1), B( 0;2 ;- 3) C( -1 ; 2 ;0).
1.Chứng minh A,B,C khơng thẳng hàng .Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
2.Viết phương trình tham số của đường thẳng BC.
29. Trong khơng gian cho hai điểm A(1;0;-2) , B( -1 ; -1 ;3) và mặt phẳng
(P) : 2x – y +2z + 1 = 0

1. Viết phương trình mặt phẳng ( Q) qua hai điểm A,B và vng góc với mặt phẳng (P)
2. Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
x = 1+ t

30. Trong khơng gian (Oxyz) cho đường thẳng (d):  y = 3 − t
z = 2 + t

và mặt phẳng (P): 2x+y+2z =0
1.
Chứng tỏ (d) cắt (P).Tìm giao điểm đó
2.
Tìm điểm M thuộc (P) sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 2.Từ đó lập
phương trình mặt cầu có tâm M và tiếp xúc với (P)
31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (S) : x 2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z –
3 = 0 và
x + 2 y − 2 = 0
x −1 y
z
hai đường thẳng (∆1) : 
, (∆2) :
= =
−1
1 −1
 x − 2z = 0
1) Chứng minh (∆1) và (∆2) chéo nhau.
2) Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song
với hai đường thẳng (∆1) và (∆2).
32. Trong khơng gian Oxyz cho 2 điểm A(5;-6;1) và B(1;0;-5)
r
1. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng ( ∆ ) qua B có véctơ chỉ phương u

(3;1;2). Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và ( ∆ )
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và chứa ( ∆ )
33. Trong khơng gian Oxyz cho 4 điểm A(3;-2;-2), B(3;-2;0), C(0;2;1), D(-;1;2)
1)Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Từ đó suy ra ABCD là một tứ diện
2)Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD)
34. Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các điểm A(1,0,0); B(0,2,0);
C(0,0,3)
1. Viết phương trình tổng qt của mặt phẳng qua ba điểm:A, B, C
2. Lập phương trình đường thẳng (d) qua C và vng góc mặt phẳng (ABC)
35. Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các điểm A(1,0,0); B(0,2,0);
C(0,0,3)
1. Viết phương trình tổng qt của mặt phẳng qua ba điểm:A, B, C
2. Gọi (d) là đường thẳng qua C và vng góc mặt phẳng (ABC).

3.Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (Oxy).
36. Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB biết rằng A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7).
1. Tìm toạ độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).
2. Lập phương trình của mặt cầu (S).
37 Trong khơng gian Oxyz, cho các điểm A(-1; 2; 0), B(-3; 0; 2), C(1; 2; 3),
D(0; 3; -2).
1.Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
2. Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa AD và song song với BC.
x +1 y + 3 z + 2
38. Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng d :
=
=
và
1
2
2

điểm A(3;2;0)
1.Tìm tọa độ hình chiếu vng góc H của A lên d
2. Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua đường thẳng d.
39.
Trong
khơng
gian
Oxyz
cho
x = 1+ t
x − 2 y + z − 4 = 0

d1 : 
d2 :  y = 2 + t
x + 2 y − 2z + 4 = 0
 z = 1 + 2t


2

đường

thẳng

1) Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và song song với d2
2) Cho điểm M(2;1;4). Tìm tọa độ điểm H trên d2 sao cho độ dài MH nhỏ nhất
x − 3 y +1 z − 2
40. Cho đường thẳng d :
=
=

và mặt phẳng
2
−1
2
( α ) : 4x + y + z − 4 = 0 .

1. Tìm tọa độ giao điểm A của d và ( α ) . Viết phương trình mặt cầu ( S ) tâm A và
tiếp xúc mặt phẳng (Oyz).
2. Tính góc ϕ giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( α ) .
41. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ( ∆ ) :
và mặt phẳng ( P ) : x + y − z + 5 = 0 .

x − 2 y +1 z + 3
=
=
1
−2
2

1.Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng ( ∆ ) và mặt phẳng (P).
2. Viết phương trình hình chiếu vng góc của đường thẳng ( ∆ ) trên mặt phẳng (P).
42. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 1; −2; 2 ) và đường thẳng
x = 2 + t
( d ) :  y = 1 − t .
 z = 2t

1.Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa điểm A và đường thẳng (d).

13

Giáo viên soạn: trần ngọc thắng

2.Tìm tọa độ của điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng (d).
43. Trong khơng gian Oxyz
cho điểm M (1,1,1)
và mặt phẳng
(α ) : − 2 x + 3 y − z + 5 = 0 . Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vng
góc với mặt phẳng (α ) .
44. Trong khơng gian Oxyz cho hai đường thẳng
 x = 2 + 2t

∆1 :  y = −1 + t
z =1


2.Tính khoảng cách giữa đường thẳng ( ∆ 2 ) và mặt phẳng (α ) .
45.
1.Viết phương trình đường thẳng đi qua M(1,2,-3) và vng góc với mặt phẳng (P): x 2y + 4z - 35=0
2.Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(2,-1,3), B(4,0,1), C(-10,5,3)
46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(0 ; 1; –3), N(2 ; 3 ; 1).
1) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua N và vuông góc
với MN.
47. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3)
1. Viết phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua M và song song với mặt phẳng
x − 2 y + 3z − 4 = 0 .
2. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1) và tiếp xúc với mặt phẳng
( α ).
48. Viết PT mp đi qua A(3,1,-1), B(2,-1,4) và vng góc với mặt phẳng ( β ) : 2x – y +
3z + 4 =0

49. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
 x = − 2t

x −1 y − 2 z
(∆ 2 ) :  y = −5 + 3t
(∆1 ) :
=
=
,
2
−2
−1
z = 4

1. Chứng minh rằng đường thẳng (∆1 ) và đường thẳng (∆ 2 ) chéo nhau .
2. Viết PTMP ( P ) chứa đường thẳng (∆1 ) và song song với đường thẳng (∆ 2 ) .
50.Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng (P ) :
x + y + 2 z + 1 = 0 và mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z + 8 = 0 .
1. Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P) .
2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) .
A.

CÁC BÀI TỐN VỀ HÀM SỐ VÀ CÁC DẠNG TỐN LIÊN QUAN:

Bài I: Cho hàm số

2)
3)
4)

6)

Biện luận theo m số giao điểm của (Cm) và trục hồnh.
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = -3.
Viết phương trình tiếp tun với (C) tại điểm M(x0;y0) thuộc (C) , biết f”(x0)=0. Chứng minh
tiếp tuyến với (C) tại M có hệ số góc nhỏ nhất.
Đường thẳng ( ∆ ) có hệ số góc k đi qua điểm M ở câu 4), giả sử ( ∆ ) cắt thêm đồ thị (C) tại
hai điểm A và B. Chứng minh M là trung điểm của AB và các tiếp tuyến với (C) tại A và B
song song với nhau.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) và trục hồnh.

1)

Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số :

Bài II:

1.Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa ( ∆1 ) và song song ( ∆ 2 ) .

y = x 3 + m( x + 1) + 1 có đồ thị là (C ).
m

1
x.
2

Tìm m để (Cm) có tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d) :

5)

x = 1

∆2 :  y = 1+ t
 z = 3−t


y = 1−

1)

2)
a)
b)
3)
4)
5)

y=

2x − 1
.
− x +1

Đường thẳng (d) đi qua I(1; -2) có hệ số góc k.
Biện luận theo k số giao điểm của (d) và (C).
Trong trường hợp (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Chứng minh các tiếp tuyến với
(C) tại A và B song song với nhau.
Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó vng góc với đường thẳng
x+y+2009=0.
Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận số nghiệm của phương trình mx+x-m=0.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi: (C), trục hồnh và đường thẳng x = -1.

Bài III:
1) Cho hàm số

y = − x 4 + (m + 1) x 2 + m − 1 . (1)

a)

Định giá trị tham số m để hàm số có 3 điểm cực trị.

b)

Khi m = 0, hãy tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

 1 
− 2 ;1 .

2) Khảo sát và vẽ đồ thi (C) của hàm số (1) khi m = 1.
3) Dựa vào đồ thị (C), hãy biện luận số nghiệm của phương trình :

x 4 − 2 x 2 + 2m − 1 = 0

4) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M(x0 ; y0) ∈ (C), biết f ”(x0) = 0.
5) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) và trục hồnh.
Bài IV:
1)
2)
3)
4)

y = − x 3 + 3x − 2 .
Dựa vào đồ thị (C), hãy biện luận số nghiệm của phương trình : x 3 − 3 x + m − 1 = 0 .
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số :

Viết phương trình tiếp tun với (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 9x + y + 5 = 0.
Đường thẳng (d) đi qua điểm M(0;-2) và có hệ số góc k.
a) Định giá trị tham số k để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
b) Khi k = -1, hãy tính diện tích hình phẳng giỡi hạn bỡi (C) và (d).
5) Chứng minh tiếp tuyến với (C) tại điểm M(0;-2) có hệ số góc lớn nhất.

Bài V: Cho hàm số

y=

x+2
x +1

có đồ thị (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) : y = mx + 1 cắt đồ thị của hàm số đã
cho tại hai điểm phân biệt .
3) Tính thể tích của vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bỡi các đường : đồ thị
(C); tiệm cận ngang của (C) ; trục tung và đường thẳng x = 2 khi cho hình phẳng quay xung

14


Giáo viên soạn: trần ngọc thắng

quanh trục Ox.
4) Viết phương trình tiếp tun với (C) trong mỗi trường hợp sau:
a) Tại giao điểm của (C) với trục tung.
b) Tiếp tuyến song song với đường phân giác thứ hai.
c) Tiếp tuyến vng góc với dường thẳng (D): 4x-y+2009=0.
d) Tiếp tuyến đi qua điể M(-1; 3).
5) Tìm tên trục tung những điểm kẽ đúng một tiếp tuyến với (C)
6) Tính tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị (C) đến hai đường tiệm cân của (C) .
7) Tiếp tuyến với (C) tại một điểm A bất kỳ trên (C) cắt hai tiệm cận của nó tại hai điểm P,Q.
Chứng minh diện tích tgiác IPQ khơng đổi (với I là giao điểm hai tiệm cận).
7) Tìm những điểm trên (C) để tổng các khoảng cách từ nó đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
Bài VI: Cho hàm số

y = x − 2x
4

2

có đồ thị (C).

x 4 − 2 x 2 + 2m 2 − m = 0 có 4

nghiệm phân
biệt.
4) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bỡi (C), trục hồnh, trục
tung và đường thẳng x = 1 quay xung quanh trục Ox.
B.

1)
2)

3)
4)

y = 2 x 3 − 3 x 2 − 12 x + 2

1

y = − x 4 + 2 x 2 + 1 trên đoạn − 2;  .
2

− 2x + 1
trên (1;3] .
y=
x −1
y = x −1 + 3 − x

6)

y=
y=

y = x 4 − 2mx 2 + m − 1 , hãy tìm các giá trị của tham số m để hàm số có

3 cực trị.

x + mx + 1
y=
x+m

2)

Định giá trị tham số m để hàm số

3)

Tìm m để hàm số

4)
5)
6)

đạt cực tiểu tại điểm x = 2.

1
π
cos 2 x − m cos x đạt cực tiểu tại x = .
2
6
1
π
Tìm m để hàm số y = sin 3 x + m sin x đạt cực đại tại x =
.
3
3
3
2
Tìm a, b để hàm số : y = 2 x + ax + bx + 2 có một cực đại bằng 3 khi x = -1.
1 3
2

2
2
Tìm m để hàm số y = − x − ( m − m + 2) x − (3m + 1) x − m đạt cực trị
3
y=

tại x = -2
Bài II:
1)

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số :

x − x −1 .
y=
x +1
2

2)

Tìm giá trị của tham số m để hàm số

y = mx 3 − 3(m − 1) x 2 + 9(m − 2) x có các

điểm cực đại, cực tiểu x1, x2 thỏa điều kiện x1+2x2 = 1.
C.

CÁC BÀI TỐN VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT:

]

x 2 + ax + b
x2 +1

đạt GTLN bằng 5 và GTNN bằng (-1).

Bài III: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
1)

2

[

ln 2 x
, ∀x ∈ 1 ; e 3
x

Bài II: Tìm a và b để cho hàm số :

Bài I:
Cho hàm số

[ − 2;2] .

π6

16


, ∀x ∈  ∫ sin 3 xdx ; 4
5) y = x +

x
0




CÁC BÀI TỐN VỀ CỰC TRỊ:

1)

trên đoạn

2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ (C).
2) Viết phương trình tieps tuyến với (C) đi qua gốc tọa độ.
3) Dựa vào đồ thị (C), hãy xác định m để phương trình

Bài I: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

3)

1+ x4
(1 + x 2 ) 2
sin x + 1
y=
2
sin x + sin x + 1

y=

; 2)

y=

4)

y = sin x + 4 − sin 2 x

6)

y = cos x(1 + sin x ) ,với x ∈ [ 0;2π ]

7) f(x)= 2 sin 2

; 5)

y = x + 4 − x2

sin x
2 + cos x

, với x ∈

;

[ 0; π ]

;

x + 4 sin x cos x + 5 .

Câu I ( 3,0 điểm )
Cho hàm số : y = – x3 + 3mx – m có đồ thị là ( Cm ) .
1.Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = – 1.
2.Khảo sát hàm số ( C1 ) ứng với m = – 1 .
3.Viết phương trình tiếp tuyến với ( C1 ) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng có pt

y=

x
+2
6

.

Câu 2
Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m – 2 . m là tham số
1.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
2.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
Câu 3:
Cho hàm số số y = - x3 + 3x2 – 2, gọi đồ thị hàm số là ( C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C) tại điểm có hồnh độ là nghiệm của phương trình y// = 0.

15


Giáo viên soạn: trần ngọc thắng
Câu 4

1.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
a. f (x)

Câu 5:

= −x + 1 −
Cho hàm số

4
x+2

trên

[ −1; 2]

b. f(x) = 2sinx + sin2x trên

 3π 
0; 2 

y = x 4 − 2x 2 − 1 có đồ thị (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b) Dùng đồ thị (C ) , hãy biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x 4 − 2x 2 − m = 0
c)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
Câu 6
Cho hàm số

y=

x −3
x−2

(*)

.

2x3 + 3x2 − 12x + 2 trên [−1;2] .

có đồ thị (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) : y = mx + 1 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai
điểm phân biệt .
E. CÁC BÀI TOÁN VỀ NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG:
Bài I:
1) Tìm một nguyên hàm của y = f(x) =
M(2 ; -2ln2).

x 2 + x + 1 , biết đồ thị của nguyên hàm đó đi qua
x2 + x − 2

2) Tìm nguyên hàm F(x)của hàm số f(x) =

x 3 − 3x 2 + 3x − 5
( x − 1) 2

3) Cho P(x) = a.sin2x – b.cos2x. Tìm a, b biết:

π 

P '   = −2 ;
2

biết rằng :F(0) = -

1
.
2

2b

∫ adx = 1 .
b

Bài II:
1) Tính các tích phân sau:
a)

1
dx
I= ∫
2
0 x + 3x + 2

; b)

1 x
K=∫
dx
0 ( x + 1) 3

; c)

1
2x
J=∫
dx
01 + 1 + x
2) Tính các tích phân sau:
a)

π /4
I = ∫ sin x.sin 3xdx
0

;

b)

π /4
J = ∫ sin x.sin 3x.cos 5xdx ,
0

16


Giáo viên soạn: trần ngọc thắng

c)

π
4
K = ∫ cos5 xdx
0

;

π
2
H = ∫ sin 4 xdx .
0
π
4 1
e)
I= ∫
dx
0 cosx
π
4
g)
I = ∫ tan2 xdx ;
0
π
3
1
I= ∫
dx .
2
π sin x.cos2 x
4

; f)

d)

π
3
2
I = ∫ ( tanx + cotx) dx .
π
4
h)

ln x( 1 + ln x + x 2 )
dx
∫1
x

;

b) K =

a)

2

∫(

−2

x − 2 x + 1 − x − 1 )dx
2

1 x +1
J=∫5
dx ,
0 2x + 1
2 x + 1 ).
1
1
dx
d) I = ∫
0 ( x + 1) ( x + 2 )

c)

c)

t= 5

1 1
⇒ dt = 
+
2  x +1
2
⇒ dt =
t

f) N =

(HD: tách ra

làm hai tích phân , một TP dùng PP đổi biến, một TP dùng PPTPTP)
5) Tính các tích phân sau:

3 x2 +1
I= ∫
dx
0 x +1

4

d)

e3

3) Tính các tích phân sau:
a)

π
3 2
4
2
a)
; b) J = ∫ x .ln ( x + 1) dx
I = ∫ x.sin xdx
0
0
π cosx
+ x).sin xdx ;

c) K = ∫ (e
0
3
L = ∫ x 3 x 2 + 1dx
0
π
2 x
dx
e) M = ∫
;
π sin 2 x
6

(HD: Đặt t = 2x+1 hoặc

HD: Đặt

t = x + 1+ x + 2


1  x + 1 + x + 2 
dx = 
dx
2  ( x + 1)( x + 2) 
x+2
1

1
( x + 1)( x + 2)

dx

π2
P = ∫ sin xdx
0
1
2
R = ∫ x 3.e x dx
0

e2

;

g) V =

∫ (2 x − 1)( e

−x

∫
1

;

e
S = ∫ (1 − x 2 ).ln xdx
1
2
e) T = ∫ (2x − 1) ln xdx

1
π
2
U = ∫ (x − 1) cos 3xdx .
0
1

b) Q =

ln x
x

dx

d)

;

)

+ sin 2 x dx

0

f)

π
2
h) W =

∫
π

x(1 + cos x)
dx
sin 2 x

6

HD: Câu g) tách ra làm 2 tích phân từng phần.

4) Tính các tích phân sau:

17


Giáo viên soạn: trần ngọc thắng
π
2

Câu h) W =

π

2
x
cos x
dx
+
∫π sin 2 x π∫ x. sin 2 x dx

6

4) Cho z = −

sau đó tính mỗi tích phân bằng PP tích

6

d)

F.

}

= x, x =y quay quanh trục 0y

b) 2 +4=0
z -2+3i)=0 ;
z
( z 2 + 9)( z 4 − 3 z 2 − 4) = 0

1) Xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:
a)

z 2 là số ảo

;

b)

z+i
z−i

là một số thực dương ,

z≠i.

G. CÁC BÀI TỐN VỀ MẶT TRỊN XOAY VÀ KHỐI TRỊN XOAY:
Bài I: Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao R

1) Chứng minh với mọi số phứcz, z’ ta có:
a)

z

=2 và z là số ảo.

b)

z

=5 và phần thực của z bằng 2 lần phần ảo của nó.

3) Thực hiện các phép tính:

;

;

b)

g)

(1 + i)3 + 3i

3 − 2i 3 − 4i
i
4−i

3 . Hai điểm A, B nằm trên đường tròn này sao

cho

z + z ' = z + z ', zz ' = z.z ' .

góc tạo bỡi AB và trục của hình trụ là 300.
1/ Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ.
2/ Tính thể tích của khối trụ tương ứng.

2) Tìm số phức z thỏa mãn trong trường hợp:

1
(1 + i)(4 − 3i)
−5 + 6i 7 − 2i
d)
+
4 + 3i 8 − 6i

z = z − 3 + 4i

2) Xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:

.

Bài I:

(1 − i)2 - (2 + 3i) 2

c) z4-2z2-3 = 0

Bài III:

CÁC BÀI TỐN VỀ SỐ PHỨC:

a)

;

 z + z + z = 4 + 2i
 1 2 3
3) Giải hệ pt:  2z + z − z = 2 + 5i
1 2 3

z + 2z 2 + 3z3 = 9 + 2i
 1
4) Tìm số phức z để cho: z.z + 3(z − z) = 4 − 3i .

1



a) ( H ) : x = 0, x = 1, y = 0, y =
quay quanh trục 0x .
2
x −4



( H) :{ y

z2 + x + 2

2) Giải phương trình với hai ẩn x, y:
a) x+y+(x-y)i+1=0
;
b) x-1+yi=-x+1+xi+i

2/ Tính thể tích của các vật thể tròn xoay do hình (H):

b)

3

a) (iz-1)(z+3i)(

( H ) : { y = x 2 − 2x, vàhai tiếp tuyến tại O vàA(4;8) } .

2

(z)

1) Giải pt ẩn là số phức z:

( H ) : { x = 0, y = 3x / 2 + 1, y = 2 x }
x
c) ( H ) : { y = 3 , y = 4x + 1} ; d)
( H ) : { y2 = 4x, vàhai tiếp tuyến kẽtừM(-2;1) của(P)}

2

; b) N =

Bài II:

2

π
sin x 

a) ( H ) :  x = 0, x =
, y = 0, y =
 ; b)
4
sin
x
+
cos
x



e)

1
+ z + z2
z

a) M =

phân từng phần
Bài III:
1) Tính diện tích của các hình phẳng (H):

1
3 , Hãy tính :
+
i
2 2

Bài II: Một thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vng cân có cạnh góc vng bằng a.
1/ Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón.
2/ Tính thể tích của khối nón tương ứng.
;

c)

Bài III: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc ASB bằng α .
Tính diện tích xung quanh của hình chóp và chứng minh đường cao của hình chóp bằng

a
α

cot 2 − 1
2
2
Bài IV: Cho tứ diện đều có cạnh bằng a.
1/ Xác định tân và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
2/ Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng.

18


Giáo viên soạn: trần ngọc thắng
H. CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN:
Bài I:Trong không gian với hệ tọa độ oxyz, cho mặt phẳng

( α ) :x+z+2 = 0

và đường thẳng d:

x −1 y − 3 z +1
=
=
1
−2
2

(α) .

(α)

x −1 y − 2 z − 3

=
=
2
1
3

(α)

.

2/ Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và vuông góc

và tìm giao điểm A của d với

( ∆ ) là hình chiếu vuông góc của d
(α)

2

Bài II:
1/ Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng đường cao
và bằng a.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB.
b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của SA trên mặt
phẳng (BCD).
2/ Trong không gian với hệ toạ độ Đề Các Oxyz, cho đường thẳng ( ∆ )
có phương trình :

x −1 y − 2 z
=

= và mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(1;1;1) và có véc
2
−1
3
tơ ptuyến n = ( 2;−1;−2).
Tìm toạ độ các điểm thuộc ( ∆ ) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm
đó đến mp(Q) bằng 1.

Bài III: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:

(α) .

với

3/ Điểm M trên (d) có hoành độ bằng 3, hãy tính khoảng cách từ M

3/ Tìm những điểm trên d sao cho khoảng cách từ nó đến
bằng 3

( α ) :3x+y+2z+2=0 .

1/ Xác đònh toạ độ giao điểm A của (d) và

2/ Viết phương trình đường thẳng
trên

và mp

.

1/ Tính góc nhọn tạo bởi d và

(α)

Bài IV: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d) :

 x = 1 + 2t

y = 2 − t
z = 3t


và mp (P) :

2x-y-2z+1 = 0 .
1/ Tìm các điểm thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ điểm
đó đến mp (P) bằng 1
2/ Gọi K là điểm đối xứng của I(2;-1;3) qua đường thẳng d . Xác đònh
toạ độ K.
3/ Viết phương trình mặt cầu tâm A(-2;0;2) và tiếp xúc với mp(P).

đến

(α) .

Bài V: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1;1;1) , B(1;2;1) ,
C(1;1;2) , D(2;2;1) .
1/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tính chiều cao vẽ từ đỉnh D
của tứ diện ABCD.
2/ Tính chiều cao của tam giác ABC vẽ từ đỉnh A.

3/ Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Cho biết
tâm và bán kính của nó?
4/
Bài VI: Trong hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm: A(1;0;0) ; B(0;-2;0) và

OC = i − 2 j ; OD = 3 j + 2k .
1/ Tính góc ABC và góc tạo bỡi hai đường thẳng AD và BC.
2/ Lập phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác đònh
tâm và bán kính của mặt cầu.
3/ Viết phương trình tiếp diện của (S) tại tiếp điểm D.
Bài VII: Trong mặt phẳng toạ độ Oxyz cho bốn điểm: A(1;0;0) ; B(0;-2;0) ;
C(1;-2;0) ; D(0;3;2).
1/ Ch/ minh ABCD là một tứ diện và tính chiều cao của tứ diện vẽ
từ đỉnh A.
2/ Tìm điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (BCD)
3/ Tính chiều cao tam giác ABC vẽ từ đỉnh C.Viết phương trình đường
cao qua C của tam
giác ABC. Xác đònh trực tâm H của tam giác ABC.
CÁC BÀI TỐN VIẾT SÁT VỚI BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG III SGK
Bài I: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1;1;1) , B(1;2;1) , C(1;1;2)
, D(2;2;1) .
1/ Viết phương trình mp(BCD). Tính chiều cao của tứ diện tứ diện ABCD
vẽ từ đỉnh A.
2/ Tính khoảng cách và giữa hai đường thẳng AD và BC.
3/ Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD .
4/ Viết phương trình mặt cầu tâm A nhận đường thẳng CD làm tiếp tuyến.
Bài II: Trong hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(2;-1;-1), véc tơ

a =(3;5;−1) và đường thẳng d có phương

trình

 x = 8 + 4t

 y = 6 + 3t .
 z = ty


19


Giáo viên soạn: trần ngọc thắng
1/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và vng góc với giá của véc tơ

a.

2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa điểm A và đường thẳng d.
3/ Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
4/ Viết phương trình đường thẳng

∆

qua điểm A vng góc với giá của véc tơ

a

và cắt đường

thẳng d.
5/ Viết phương trình mặt cầu tâm A’ và tiếp xúc với đường thẳng d.†Với A’ là điểm đối xứng với A

qua đường thẳng d.
Bài III: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình 5x – y + 11z + 2 = 0 và hai đường thẳng

d:

x = 2 + t

 y = −2 + t
z = 1 − t


;

d’ :

 x = 3 + 2t '

 y = −4 − t ' .
 z = 9 + 5t '


x + y + z − 6 x + 2 y − 8 z + 10 = 0
2

2

và

x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 y − 6 z − 11 = 0

và

mặt phẳng (P) có
phương trình x + 2y – 2z – 3 = 0.
1/ Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S). Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của (P) và (S). Xác
định tọa độ tâm và tính bán kính của (C).
2/ Cho điểm A(2;3;0) nằm trên mặt cầu (S). Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu
(S)
tại điểm A.

3/ Chứng minh đường thẳng d :

 x = −3 + 5t

 y = 1 − 2t
 z = 3t


cắt mặt cầu (S). Xác định tọa độ các giao điểm

của
chúng.

BÀI TẬP THỂ TÍCH
Bài 1. (TN06)
Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SB = a 3 .
Tính VS . ABCD
(Đ.S:
1 3

a 2)
3

1 3
a )
6

1 3
a 2)
3

song song với hai đường thẳng d, d’.
4/ Viết phương trình đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d, d’.
Bài IX: Trong khơng gian Oxyz cho mặt cầu (S) :

(Đ.S:

Bài 3. (TN07 lần 2)
Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = AC .
Tính VS . ABCD
(Đ.S:

1/ Chứng minh d với d’ chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng.
2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm M(2;1;1) và song song với hai đường thẳng d, d’.
3/ Viết phương trình mặt phẳng (R) tiếp xúc với mặt cầu (S) :
2

Bài 2. (TN07 lần 1)
Cho chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác

vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Biết
SA = AB = BC = a . Tính VS . ABC

Bài 4. (TN09)
Cho chóp S.ABC có đáy SBC là tam giác
·
đều cạnh a, SA vuông góc với đáy. BAC
= 1200 .
Tính VS . ABC
(Đ.S:
1 3
a 2)
36

Bài 5.
Cho chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác
vuông cân tại A, AB = AC = a . Mặt bên qua cạnh
huyền BC vuông góc với đáy, hai mặt bên
còn lại đều hợp với mặt đáy các góc 600 .
Tính VS . ABC
(Đ.S:

1 3
a 3)
12

Bài 6.
Cho chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một
vuông góc. Gọi M là trung điểm AB. Tính Tính
VS . BCM . Biết rằng AB = AC = 3, CB = 4

(Đ.S:
Bài 7.

2
)
3

20


Giáo viên soạn: trần ngọc thắng

Cho chóp S.ABCD có tất cả các cạnh
bằng nhau. Biết V =

9 2 3
a . Tính độ dài cạnh
2

của hình chóp.
(Đ.S:3a)
Bài 8.
Cho chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác
vuông tại B, SA vuông góc với đáy,
·ACB = 600 , BC = a, SA = a 3 . Gọi M là trung điểm SB.
a. Chứng minh ( SAB ) ⊥ ( SBC ) .
b. Tính VM . ABC
(Đ.S:

a

)
4

A(2;1;3) mét kho¶ng b»ng 2
2. Qua 1 ®iĨm vµ chøa 1 ®êng.
§i qua N(-2;3;1) vµ chøa ®êng th¼ng d:
x − 3 y +1 z + 2
=
=
2
−2
1

3. Qua 2 ®iĨm vµ song song víi 1 ®êng
Qua A(-1;2;3) , B(1;3;-1) vµ song song víi ®êng d:

x − 3 y +1 z + 2
=
=
3
−2
1

a. Cho d:

khoảng cách từ G đến (SCD) bằng

x y −1 z + 3
=
=

vµ c¸ch ®iĨm
2
−1
2

4. Chøa ®êng nµy vµ song song víi ®êng kia

3

Bài 9.
Cho chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy
bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC,
a 3
. Tính
6

d ( O, ( SCD ) ) , với O là tâm của đáy và tính thể

tích của khối chóp S.ABCD.
(Đ.S:

h×nh 12 n¨m
häc 2009 - 2010

c. Vu«ng gãc víi d :

A. MỈt ph¼ng:
Nguyªn t¾c “ BiÕt ®iĨm ®i qua ,
biÕt VTPT th× cã PTTQ ”
1. Qua 1 ®iĨm vµ vu«ng gãc víi 1 ®êng.

a . §i qua M (2;1;3) vµ vu«ng gãc víi AB víi A = (1;2;2), B = (0;- 4;4)
b. MỈt ph¼ng trung trùc cđa ®o¹n AB víi A = (2;1;3) vµ B = (0;3;-1)

x −1 y + 3 z +1
x −8 y + 2 z + 7
=
=
=
=
vµ d’:
. ViÕt
1
5
2
1
−1
1

PT mp(P) chøa d, mp (Q) chøa d’vµ P// Q
b. Cho A(- 2;- 3;- 2), B(- 8;- 5;- 7) ,C(3;- 4;- 1) vµ
D(0;- 6;- 3) . ViÕt PT mp(P) chøa AB vµ // víi CD.
5. Chøa 2 ®êng .
d’:

x −1 y + 3 z +1
=
=
1
5
2

Chøa d:

x −1 y + 3 z +1
=
=
vµ
2
4
3

6. ViÕt PT mỈt ph¼ng qua 3 ®iĨm
a. A(1;2;3), B(-2;1;1) vµ C(-1;-3;-4) ;
b. Qua K, M, N víi K, M, N lµ h×nh chiÕu cđa P(3;2;4) trªn c¸c trơc Ox, Oy, Oz.
c. §iĨm A, B, C lÇn lỵt n»m trªn 3 trơc .Tam gi¸c
ABC cã träng t©m G(1;- 1;2) . ViÕt PT mp(ABC).
d. §iĨm I(1;-2;-1) cã h×nh chiÕu trªn 3 mỈt :
Oxy, Oyz, Ozx lµ A,B, C . ViÕt PT mp(ABC).
7. Chøa 2 ®iĨm vµ vu«ng gãc víi 1 mỈt
Chøa A(10;8;-3) , B(15;-1;-13) vµ vu«ng gãc víi
mỈt (P) : 7x + y - 6z -10 = 0
8. Chøa 1 ®êng vµ vu«ng gãc víi 1 mỈt

21


Giáo viên soạn: trần ngọc thắng

Chøa ®êng d :

x −8 y + 2 z + 7
=
=
vµ vu«ng gãc víi
12
−11
−16

mỈt (P) : 7x + y - 6z -10 = 0
9. §i qua 1 ®iĨm vµ song song víi 2 ®êng
§i qua M(10;8;-3) vµ song song víi 2 ®êng d:
x −1 y + 3 z +1
x − 15 y + 1 z + 13
=
=
=
=
vµ d’ :
1
5
2
2
4
3

10. C¸ch ®Ịu 2 mỈt ph¼ng kh¸c :
LËp PT mỈt ph¼ng c¸ch ®Ịu 2 mỈt: (P) : x +
2y +3z - 14 = 0 vµ (Q) : x + 2y +3z + 4 = 0
11. C¸ch ®Ịu 2 ®êng chÐo nhau:
d:

x − 8 y + 3 z +1
=
=
6
2
5

x − 4 y +1 z − 3
=
=
vµ d’:
3
2
2

12. TiÕp xóc víi mỈt cÇu t¹i 1 ®iĨm
ViÕt PT mỈt ph¼ng tiÕp xóc víi mỈt cÇu : (x - 2) 2
+ y2 + (z - 3)2 = 9 . T¹i ®iĨm A(3;2; 1)
13. §i qua 1 ®iĨm vµ giao tun 2 mỈt
ph¼ng
§iĨm E(6;-11;10) vµ giao tun 2 mỈt : (P) : 2x 10y + 7z -39 = 0, (Q) :3x - 2y + 2z - 20 = 0
14. Chøa giao tun 2 mỈt vu«ng gãc víi mỈt
thø 3
Chøa giao cđa (P) : 19x + 13y - 28z + 21 = 0 vµ
(Q) : 129x - 33y - 84z - 297 = 0 ®ång thêi vu«ng gãc
víi mỈt (R) : 2x - y - 2z - 3 = 0 .
15. Chøa giao tun 2 mỈt vµ // víi ®êng
th¼ng ¿
Cho mp(P) : 11x - 28y - 2z - 66 = 0 ; mp (Q) : 7x +
19y - 16z +39 = 0 vµ ®êng th¼ng d :

x − 3 y + 4 z +1
=
=
3
2
2

ViÕt PT mp chøa giao tun cđa (P) vµ (Q) ®ång
thêi //

C¸c bµi to¸n c¬ b¶n vỊ Ph¬ng tr×nh ®êng
th¼ng
D¹ng 1 : ViÕt PT ®ường
thẳng (d) qua
r
M(xo ;yo ;zo) có vtcp u = (a; b; c).
Ph¬ng ph¸p: PT tham sè cđa ®êng th¼ng
d lµ:
x = xo + at

(d) : y = yo + bt ; t∈¡
z = z + ct
o


cã PT chÝnh t¾c lµ:

Chó ý: NÕu abc ≠ 0 th× (d)

x − xo y − yo z- z0

=
=
a
b
c

Chó ý: §©y lµ bµi to¸n c¬ b¶n. VỊ nguyªn t¾c
mn viÕt PT ®êng th¼ng d cÇn biÕt to¹ ®é 1
®iĨm thc d vµ to¹ ®é vÐc t¬ chØ ph¬ng cđa
d.
D¹ng 2: Đườnguu
thẳng
(d) đi qua 2 ®iĨm A, B.
ur
Bíc 1: T×m AB
Bíc 2: ViÕt
PT ®êng th¼ng d ®i qua ®iĨm A
uuur
vµ nhËn AB lµm vÐc t¬ chØ ph¬ng.
D¹ng 3: ViÕt PT ®ường thẳng (d) qua A và
song song víi ®êng th¼ng ∆.
r
B1: Tìm VTCP u cđa ∆ .
r
B2: ViÕt PT ®êng th¼ng d ®i qua A vµ nhËn u
lµm VTCP.
D¹ng 4: ViÕt PT ®ường thẳng (d) qua ®iĨm
A và vuông góc mp(α)
r
B1: Tìm VTPT của (α) là n .

B2: ViÕt
PT ®êng th¼ng d ®i qua ®iĨm A vµ
r
nhËn n lµm VTCP.
D¹ng 5: ViÕt PT ®ường thẳng (d) ®i qua
®iĨm A và vuông góc víi c¶ 2 ®êng th¼ng
(d1),(d2)
ur uu
r
B1: Tìmc¸c VTCP u1 , u2 cđa d1; d2.
22


Giỏo viờn son: trn ngc thng

B2: Đờng thẳng d coự VTCP là:

ur uu
r
r

u
,
u
u =
1
2


B3:

Viết PT đờng thẳng d đi qua điểm A và
r
nhận u làm VTCP.
Dạng 6: Viết PT của đờng thẳng d là giao
tuyến của hai mp:
(P): Ax+By+Cz+D=0
(Q): Ax+By+Cz+D=0
Cách 1:
Ax + By + Cz + D = 0
tìm một
A ' x + B' y + C ' z + D ' = 0

B1: Giải hệ

nghiệm (x 0 ; y 0 ; z 0 ) ta đợc 1 điểm M (x 0 ; y 0 ; z 0 ) d. (Cho 1
trong 3 ẩn 1 giá trị xác định rồi giải hệ với 2 ẩn còn
lại tìm 2 ẩn còn lại)
B2: Đờng thẳng d có VTCP là:
r b c c a a b
u =
;
;
ữ
b ' c' c' a' a' b'

B3: Viết PT đờng thẳng d đi qua điểm M
r
(x 0 ; y 0 ; z 0 ) và nhận u làm VTCP.
Cách 2:
B1: Tìm toạ độ 2 điểm A, B d . (Tìm 2

nghiệm của hệ 2PT trên)
B2: Viết PT đờng thẳng AB.
Cách 3: Đặt 1 trong 3 ẩn bằng t (chẳng hạn x=t),
giải hệ 2 PT với 2 ẩn còn lại theo t rồi suy ra PT tham
số của d.
Dạng 7: Viết PT hình chiếu của đờng thẳng d
trên mp(P).
B1: Viết PTmp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P).
B2: Hình chiếu cần tìm d= (P) (Q)
(Chú ý: Nếu d (P) thì hình chiếu của d là
điểm H= d (P)
Dng 8 : Viết PT ng thng d đi qua im A v ct hai
ng thng d1 , d2

Cách 1:
B1: Viết PT mt phng ( ) đi qua im A v cha
ng thng d1 .
B2: Tỡm giao im B= () d 2
B3: Đờng thẳng cần tìm là đt đi qua 2 điểm A,
B.
Cách 2:
B1: Viết PT mt phng ( ) đi qua im A v cha
ng thng d1
B2: Viết PT mt phng ( ) đi qua im A v cha
ng thng d2.
B3: Đờng thẳng cần tìm d = () ()
Dạng 9: Viết PT đờng thẳng d song song với d1 và cắt cả hai
đờng thẳng d2 và d3.
B1: Viết PT mp(P) song song với d1 và chứa d2.
B2: Viết PT mp(Q) song song với d1 và chứa d3.

B3: Đờng thẳng cần tìm d= (P) (Q)
Dạng 10: Viết PT ng thng d đi qua im A, vuụng gúc ng thng

d1 v ct ng thng d2
Cách 1:
B1: Viết PT mt phng ( ) qua im A v vuụng gúc
ng thng d1 .
B2: Tỡm giao im B = () d 2
B3 : Đờng thẳng cần tìm là đờng thẳng đi qua 2 điểm
A, B.
Cách 2:
B1: Viết PT mp ( ) đi qua điểm A và vuông góc với d1.
B2: Viết PT mp () đi qua điểm A và chứa d2.
B3: Đờng thẳng cần tìm d = () ()
Dng 11 : Lp ng thng d đi qua im A , song song mt
phng ( ) v ct ng thng d
Cách 1:
B1: Viết PT mp(P) đi qua điểm A và song song với mp(
).
B2: Viết PT mp(Q) đi qua điểm A và chứa đờng thẳng
d.
23


Giỏo viờn son: trn ngc thng

B3: Đờng thẳng cần tìm d = (P) (Q)
Cách 2:
B1: Viết PT mt phng (P) qua im A v song song mt
phng ( )

B2: Tỡm giao im B = (P) d '
B3: ng thng cần tìm d đi qua hai im A v B.
Dạng 12: Viết PT ng thng d nm trong mp( P ) v ct
hai ng thng d1, d2 cho trc .
B1: Tỡm giao im A = d1 (P) ; B = d 2 (P)
B2: d l ng thng qua hai im A v B .
Dạng 13: Viết PT ng thng d nm trong mp( P ) v vuụng
gúc ng thng d cho trc ti giao im I ca d v mp( P ).
B1: Tỡm giao im I = d ( P ).
r
r r
r
r


v
=
u,
B2: Tìm VTCP u của d và VTPT n của (P) và
n

(Chú ý : Cách 2 cho ta tìm đợc ngay độ dài đoạn vuông góc
chung của hai đờng thẳng chéo nhau)
Dạng 15: Viết PT đờng thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt cả
hai đờng thẳng d1 và d2.
B1: Viết PT mp(P) chứa d1 và vuông góc với (P).
B2: Viết PT mp(Q) chứa d2 và vuông góc với (P).
B3: Đờng thẳng cần tìm d = (P) (Q)
Dạng 16: Lp ng thng d đi qua im A , cắt và vuụng gúc
với ng thng d.

PP giải: Đây là trờng hợp đặc biệt của dạng 10.

r

B3: Viết PT đng thng d qua im I v cú VTCP v
Dạng 14: Viết PT đờng vuông góc chung d của hai đờng
thẳng chéo nhau d1, d2.
Cách 1:
uu
r uur
B1: Tìm các VTCP u1 , u 2 của d1 và d2 . Khi đó đờng
r

uu
r uur

thẳng d có VTCP là u = u1 , u 2

uu
r

r uu
r

uur

r uur

B2: Viết PT mp(P) chứa d1 và có VTPT n1 = u, u1

B3: Viết PT mp(Q) chứa d2 và có VTPT n 2 = u, u 2
B4: Đờng thẳng cần tìm d = (P) (Q) . (Lúc này ta chỉ
cần tìm thêm 1 điểm M thuộc d).
Cách 2:
B1: Gọi M(x0+at; y0+bt; z0+ct) d1 ; N(x0+at; y0+bt;
z0+ct) d 2 là chân các đờng vuông góc chung của d1 và d2.
uuuu
r uu
r
MN.u1 = 0
MN d1
uuuu
t, t '
r uur
B2: Ta có
MN.u
=
0
MN d 2

2

B3: Thay t và t tìm đợc vào toạ độ M, N tìm đợc M, N.
Đờng thẳng cần tìm d là đờng thẳng đi qua 2 điểm M, N
24