Ôn thi THPT quốc gia môn toán phần giải tích

HƯỚNG DẪN ƠN THI TỐT NGHIỆP
MƠN GIẢI TÍCH
A/ CẤU

TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP MƠN TỐN CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN

Câu I (3 điểm):
- Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.
- Các bài tốn liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số, cực trị, tiếp tuyến,
tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số. Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị
(một trong hai đồ thị là đường thẳng)…
Câu II (3 điểm):
- Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lơgarit.
- Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Tìm ngun hàm, tính tích phân.
- Bài tốn tổng hợp.
Câu III (1 điểm):
Hình học khơng gian (tổng hợp): tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng
trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
Câu IV.(2 điểm):
Nội dung kiến thức:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Mặt cầu.
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu V.(1 điểm):
Nội dung kiến thức:
- Số phức: mơđun của số phức, các phép tốn trên số phức. Căn bậc hai của số thực âm. Phương trình bậc hai hệ số thực có
biệt thức ∆ âm.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.

B/ MỘT SỐ CHỦ ĐỀ TỰ BỒI DƯỠNG

Chủ đề I:
DẠNG TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ:
I/ Khảo sát hàm đa thức:
1/ Sơ đồ khảo sát hàm đa thức:
B1: Tập xác đònh: D= ¡ .
=
B2: Tìm limy
x→±∞
B3: Tính đạo hàm y’, tìm nghiệm của phương trình y’= 0, tính giá trò của
hàm số tại các nghiệm vừa tìm được.
B4: Lập bảng biến thiên
x
f’(x)
f(x)

Ghi tập xác đònh và nghiệm của phương trình y/=0
Xét dấu y/
Ghi khoảng tăng, giảm , cực trò của hàm số

B5: Tính đạo hàm cấp 2, tìm nghiệm của y”= 0 ⇒ điểm uốn.
B6: Tìm điểm đặc biệt thường tìm một điểm có hoành độ nhỏ hơn cực
trò bên trái và một điểm có hoành độ lớn hơn cực trò bên phải.
B7:Vẽ đồ thò
Các dạng đồ thò hàm bậc 3:
y
y
y
y
0
0

x
 y' = 0 có2 nghiệm phân biệt

a> 0

x

0

x

 y ' ≥ 0 ∀x

a > 0

0

 y' = 0 có2 nghiệm phân biệt

a< 0
1

x
 y ' ≤ 0 ∀x

a < 0


Chú ý: Đồ thò hàm bậc 3 luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

Các dạng đồ thò hàm trùng phương:

 y' = 0 có3 nghiệm phân biệt  y' = 0 có1 nghiệm đơn  y' = 0 có3 nghiệm phân biệt  y' = 0 có1 nghiệm đơn




 a> 0
 a> 0
 a< 0
a< 0
Chú ý: Đồ thò hàm trùng phương luôn nhận trục oy làm trục đối
xứng.
2/ Ví dụ 1: Khảo sát các hàm số y = x3+3x2– 4
Giải:
Tập xác đònh: D = R

limy = ±∞
x→±∞

 x = 0 ⇒ y = −4
y′ = 3x2+6x = 3x(x+2), cho y′ = 0 ⇔ 
 x = −2 ⇒ y = 0
Lập bảng biến thiên.
−∞
x
-2
0
+∞
/

y
+
0
0
+
y
0
CT
+∞
-∞
CĐ
-4
y′′ = 6x + 6 cho y′′ = 0 ⇔ x= –1 ⇒ y= -2, y’’ đổi dấu qua x=-1 ⇒ I(-1 ;-2) là điểm uốn
2

4

Điểm đặc biệt: A(1;0) B(-3;-4)
Vẽ đồ thò hàm số:

-2

y

1

x

-2

Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y = 2x2– x4
Giải
MXĐ : D= R

-4

limy = −∞
x→±∞

 x =0 ⇒ y=0
cho y′ = 0 ⇔ 4x(1–x2)=0 ⇔ 
 x =± 1⇒ y=1
Lập bảng biến thiên:
−∞
x
-1
0
1
∞
+
y/
+
0
0
+
0
y
1
CT
1

-∞
CĐ
0
CĐ
-∞
y′ = 4x–4x3 = 4x(1–x2)

2


5
y′′ = 4–12x2 cho y′′ = 0 ⇔ x = ± 3 ⇒ y=
9
3
y′′ đổi dấu qua x = ± 3 ⇒ Đồ thị hàm số có 2 điêm uốn là
3
Điểm đặc biệt: A

(

) (

)

2

y


3 5

; ÷
 ±
3
9÷



1

2;0 B − 2;0

x

-2
Đồ thò:
3/ Bài tập đề nghò:
Bài 1: Khảo sát các hàm số sau:
a/ y=x3 – 3x2
b/ y= - x3 + 3x – 2
c/ y= x3 + 3x2 + 4x -8
1
9
d/ y = x4 – 6x2 + 5
e/ y = - x4 + 2x2 +
f/ y = x4 + 2x2
4
4
Bài 2:
a/Cho hàm số y= x3 – 3m x2 + 4m3 . Khảo sát vẽ đồ thò (C) của hàm số
khi m=1.

b/Cho hàm số y= x4 – m x2 + 4m -11 . Khảo sát vẽ đồ thò (C) của hàm
số khi m=4.

II/ Khảo sát hàm nhất biến:
1/ Sơ đồ khảo sát hàm y =
 −d 
B1: TXĐ D = R\  
 c
B2: Tiệm cận ngang là: y =
B3: Tính đạo hàm y’=

ad
. − bc
.

( cx + d)

2

ax + b
:
cx + d

−d
a
. Tiệm cận đứng là x =
.
c
c
⇒ tính đơn điệu của hàm số

B4: Lập bảng biến thiên.
x
Ghi miền xác đònh của hàm số
f’(x)
Xét dấu y/
f(x)
Ghi khoảng tăng giảm của hàm số
B5:Tìm giao điểm của đồ thò với các trục toạ độ , có thể lấy thêm
một số điểm khác để dễ vẽ.
B6:Vẽ đồ thò
Dạng đồ thò hàm b1/b1
y’< 0 ∀x ∈ D

y’> 0 ∀x ∈ D

2/ Ví dụ: Khảo sát hàm số : y =

2x − 2
.
x+ 1

MXĐ: D= R\ { −1}
4
y′ =
> 0 ∀x∈ D ⇒ hàm số luôn đồng biến trên từng khỏang xác
( x+ 1) 2
đònh của nó.
3

TCĐ: x=–1 ; TCN: y = 2
Lập bảng biến thiên.
x
-∞
/
y
+
y
2

+∞

-1
+∞

+
2

-∞

Điểm đặc biệt: A(0;-2), B(1; 0), C(-2;6), D(-3;4)

y
8
6

Đồ thò:

4

2

-8 -6 -4 -2
Bài tập đề nghò:
-2
-4
Bài 1: khảo sát các hàm số sau:
-6
−x+ 2
x−1
4
-8
a/ y =
b/ y =
.
c/y =
2x + 1
x+ 1
x− 4
Bài 2:
mx − m+ 1
Cho hàm số y=
khảo sát hàm số khi m = 2.
x− m

x
2

4

6

8

Chủ đề II: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI KHẢO SÁT
HÀM SỐ
I/Bài toán1: Tìm giao điểm của hai đường:
 Cho hai hàm số : y= f(x) có đồ thò (C), y= g(x) có đồ thò (C’). Tìm giao
điểm của (C) và (C’).
 Phương pháp giải:
B1: phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f(x) = g(x) (1)
B2: Giải (1) giả sử nghiệm của phương trình là x 0,x1,x2 . . . thì các giao
điểm của (C) và (C’) là :M0(x0;f(x0) ); M1(x1;f(x1) ); M2(x2;f(x2)) . . .
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C)
và (C’).
Ví dụ 1:
Cho đường cong (C): y= x3 -3x +1 và đường thẳng d đi qua điểm A(0;1) có
hệ số góc k. biện luận số giao điểm của (C) và d.
Giải
Phương trình đường thẳng d có dạng: y= kx + 1.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là : x3 -3x +1 = kx + 1 (1) ⇔
x3-(3+k)x = 0
x = 0
⇔ x(x2-3-k) = 0 ⇔ 
2
 g(x) = x − 3− k = 0 (2)
ta có ∆ / (2)= 3+k
Nếu 3+k < 0 ⇔ k<-3 Phương trình (2) vô nghiệm ⇒ (1) có 1 nghiệm ⇒ (C)
và d có 1 giao điểm.
Nếu 3+k = 0 ⇔ k= -3 Phương trình (2) có nghiệm kép x=0 ⇒ (1) có 1

nghiệm bội ⇒ (C) và d có 1 giao điểm.
Nếu 3+k > 0 ⇔ k> -3 . Mặt khác g(0) = 0 ⇔ -3-k = 0 ⇔ k = -3 vậy phương
trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác không ⇒ (1) có 3 nghiệm phân
biệt ⇒ (C) và d có 3 giao điểm.

4


3 − 2x
x −1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

Ví dụ 2: Cho hàm số y =

2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của hàm số đã cho
tại hai điểm phân biệt.
Giài:
2/ Đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt
3 − 2x
= mx + 2 có hai nghiệm phân biệt
⇔ Phương trình (ẩn x)
x− 1
⇔ Phương trình (ẩn x) mx2 – (m – 4)x – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt, khác 1
m ≠ 0

⇔ ∆ = (m − 4) 2 + 20m > 0
m.12 − (m − 4).1 − 5 ≠ 0


m ≠ 0

⇔  2
m +12m +16 > 0

m < −6 − 2 5

⇔ −6 + 2 5 < m < 0
m > 0



Bài tập đề nghò:
x2 + x − 2
và đường thẳng d qua gốc toạ
x+ 1
độ có hệ số góc k. biện luận theo k số giao điểm của d và (C).
4
Bài 2: Cho đường cong (C): y=
. Dựa vào đồ thò (C) biện luận theo
x− 2
k số giao điểm của (C) và đường thẳng y=k.
II/ Bài toán2: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ
thò
 Dùng đồ thò biện luận số nghiệm của phương trình f(x)= ϕ (m) .
 Phương pháp giải:
B1: Vẽ đồ thò (C) của hàm f(x) (Thường đã có trong bài toán khảo
sát hàm số )
B2: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thò (C) và
đường thẳng y= ϕ (m) . Tùy theo m dựa vào số giao điểm để kết luận số
nghiệm.
Ví dụ:

Cho hàm số y=x3 – 6x2 + 9x (C). Dùng đồ thò (C) biện luận số nghiệm
của phương trình x3 – 6x2 + 9x – m = 0
y
Giải:
6
3
2
Phương trình x – 6x + 9x – m = 0
⇔ x3 – 6x2 + 9x = m
4
Số nghiệm của phương trình là số
giao
điểm của đồ thò (C) và đường thẳng d:
y=m.
dựa vào đồ thò ta có:
2
Nếu m > 4 phương trình có 1 nghiệm.
Nếu m = 4 phương trình có 2 nghiệm.
Nếu 0< m <4 phương trình có 3
nghiệm.
5
x
Nếu m=0 phương trình có 2
nghiệm.
Nếu m < 0 phương trình có 1 nghiệm.
-2
Bài tập đề nghò:
Bài 1: a/ Khảo sát hàm số y= x4 – 4 x2 + 5.
b/ Dùng đồ thò (C) của hàm số vừa khảo sát biện luận theo m
số nghiệm của phương trình:

x4 – 4 x2 + 5=m.
5
Bài 1: Cho đường cong (C): y=


Bài 2: Cho hàm số y= x3 - 3x – 2 có đồ thò (C)
a/ Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số.
b/ Dùng đồ thò (C), đònh m để phương trình: x 3 - 3x – 2=m có 3 nghiệm
phân biệt.
III/ Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến.
Cho hàm số y=f(x) có đồ thò (C).Ta cần viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò
(C) trong các trường hợp sau:
1/ Tại điểm có toạ độ (x0;f(x0)) :
B1: Tìm f ’(x) ⇒ f ’(x0)
/
B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x 0;f(x0)) là: y = f (x0 ) (x–x0) + f(x0)
2/ Tại điểm trên đồ thò (C) có hoành độ x0 :
B1: Tìm f ’(x) ⇒ f ’(x0), f(x0)
/
B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 là:y = f (x0 ) (x–x0) +
f(x0)
3/ Tại điểm trên đồ thò (C) có tung độä y0 :
B1: Tìm f ’(x) .
B2:Do tung độ là y0 ⇔ f(x0)=y0. giải phương trình này tìm được x0 ⇒ f /(x0)
/
B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y 0 là:y = f (x0 ) (x–x0) + y0
4/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k:
B1: Gọi M0(x0;y0) là tiếp điểm .
B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên :
f ′( x 0 ) =k

(*)
B3: Giải phương trình (*) tìm x0 ⇒ f(x0) ⇒ phương trình tiếp tuyến.
Chú ý:
 Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f /(x0)=a.
 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f /(x0).a=-1.
5/ Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x1;y1) :
B1:Phương trình đường thẳng d đi qua A(x 1;y1) có hệ số góc k là: y = k(x–x 1) + y1
(1)
B2: d là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm :

 f ( x) = k ( x − x1 ) + y1

 f ′( x) = k
B3:Giải hệ này ta tìm được k chính là hệ số góc của tiếp tuyến thế vào (1)
⇒ phương trình tiếp tuyến.
Ví dụ 1 :
Cho đường cong (C) y = x3.Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong :
a.Tại điểm A(-1 ; -1)
b.Tại điểm có hoành độ bằng –2
c.Tại điểm có tung độä bằng –8
d. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến
bằng 3.
e.Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm B(2;8)
Giải:
Ta có y’= 3.x2
a/ Tiếp tuyến tại

A(-1;-1) ∈ (C ) có

 x0 = −1

⇒ f’(x0)= 3.(-1)2 = 3 ⇒ phương trình

 f(x0 ) = −1

tiếp tuyến là: y=f’(x0)(x-x0)+f(x0) = 3.(x+1) + (-1)

 f(x0 ) = −8
⇒ Ph.trình tiếp tuyến là y= 12(x+2) – 8 =12x + 16
 f '(x0 ) = 12

b/ Ta có x0= -2 ⇒ 

c/ Ta có tung độä bằng y0= –8 ⇔ f(x0)= -8 ⇔
trình tiếp tuyến là: y= 12(x+2) – 8 = 12x + 16

6

x03 =-8 ⇒ x0=-2 ⇒ f’(x0)=12 ⇒ Phương


2
d/ Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 ⇔ f’(x0)=3 ⇔ 3. x0 =3 ⇔ x0= ± 1

với x0=1 ⇒ f(x0)=1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x-1) + 1= 3x-2 .
với x0=-1 ⇒ f(x0)= -1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x+1) - 1= 3x+2.
e/Phương trình đường thẳng d đi qua B(2;8) có hệ số góc k là: y = k(x–2) + 8
d là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm :

 x3 = k(x-2) +8(1)
x = 2

⇔ x3 = 3x2(x-2) + 8 ⇔ 2x3- 6x2 + 8 = 0 ⇔ 
 2
(2)
3x = k
 x = −1
Với x=2 ⇒ k=12 ⇒ phương trình tiếp tuyến là y=12(x-2)+8 = 12x -16.
Với x=-1 ⇒ k=3 ⇒ phương trình tiếp tuyến là y= 3(x-2)+8 = 6x - 4

Bài tập đề nghò:
Bài 1: Cho hàm số y= x3 - 3x2 có đồ thò (C). Viết phương trình tiếp tuyến với
(C)
a/ Tại các giao điểm với trục hoành.
b/ Tại điểm có hoành độ = 4.
c/ Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= -3.
d/ Biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng y= 9x + 2005.
e/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=
tuyến đi qua A(1;-2).

− x2 + x
x+ 1

Bài 2: Cho hàm số y=

1
x + 2006.
3

f/Biết tiếp

có đồ thò (C). Viết phương trình tiếp tuyến với

(C)
a/ Tại các giao điểm với trục hoành.

b/ Tại điểm có hoành độ = 2.

3
c/ Tại điểm có tung độ y=- . d/Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= - 1.
2

e/Biết

tiếp tuyến đi qua A(2;0).
IV/ Bài toán 4: xét tính đơn điệu
Phương pháp xác đònh khoảng tăng, giảm hàm số :
+ MXĐ D= ?
+ Tính : y/ = , tìm nghiệm của ptr y/ = 0
+ BXD (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
Chú ý: y/ > 0 thì hàm số tăng
; y/ < 0 thì hàm số giảm
+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghòch biến trên khoảng ...
Đònh lý 2 (dùng để tìm gía trị m):
a) f/(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a;b) ( chỉ bằng không tại hữu hạn điểm∈ (a;b) ) thi f(x)
tăng trong khoảng (a;b).
b) f/(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a;b) ( chỉ bằng không tại hữu hạn điểm∈ (a;b) ) thi f(x)
giảm trong khoảng (a;b).
V/ Bài toán 5: Cực trị của hàm số
• Dấu hiệu cần: Hàm f(x) đạt cực trò tại x0 và có đạo hàm tại x9 thì f/(x0)=0
• Tìm cực trò = dấu hiệu I :

+ MXĐ D=?
+ Tính : y/ = , tìm nghiệm của ptr y/ = 0 . Tính yCĐ ; yCT
+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
+ Kết luận cực trị ?
Chú ý:
1) Nếu hàm số ln tăng ( giảm) trên (a;b) thì khơng có cực trị trên (a;b).
2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y / = 0.



/

3) x0 là cực trị của hàm số  y / ( x 0 )

= 0

( x ) dấu qua x
yđổi
0

• Tìm cực trò = dấu hiệu II:
+ MXĐ
+ Đạo hàm : y/ = ? .. y// = ? ..

7


cho y/ = 0 => các nghiệm x1 , x2 ….. .( nếu có )
+ Tính y//(x1); y//(x2)…….
Nếu y//(x0) > 0 thì hàm số đạt CT tại x0 , yCT= ?

Nếu y//(x0) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x 0 , yCĐ= ?
Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y / khó xét dấu
*Cực trò của hàm hữu tỉ : Nếu h/s đạt cực trò tại x0 thì y/(x0)= 0 và giá trò
cực trò y(x0) =

u′(x 0 )
v′(x 0 )

* Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trò (có cực đại,cực tiểu): y’= 0 có

a ≠ 0
∆ > 0

hai nghiệm phân biệt ⇔ 

*Điều kiện để hàm hữu tỉ b2/b1 có cực trò (có cực đại,cực tiểu): y’=
0 có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của mẫu
* Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trò : y/ = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Một số ví dụ:
1/Xác

đònh m để hàm số: y =

x2 + mx + 1
đạt cực đại tại x=2.
x+ m
Giải:

2

Ta có y' =

2

x + 2mx + m - 1

( x+ m)

2

; y'' =

2x + 2m

( x+ m)

4

ém=- 1
êm=- 3
ë

2
Đ/k cần để å hàm số đạt cực đại tại x=2 là: f '( 2) = 0 Û m + 4m+ 3= 0 ⇔ ê

Đ/k đủ: Với m= -1 thì f//(2)=2>0 ⇒ m= -1 không là giá trò cần tìm.
Với m= -3 thì f//(2)= -2< 0 ⇒ m= -3 là giá trò cần tìm.
2/ Chứng minh rằng hàm số y=
cực tiểu.

x2 + 2x + m
luôn luôn có một cực đại và một
x2 + 2
Giải:

Ta có y' =

- x2 + 2( 2- m) x + 4

(x

2

+1)

2

2
Cho y' = 0 Û - x + 2( 2- m) x + 4 = 0 ta có D ' = ( 2- m) + 4> 0 " m ⇒ y/=0 luôn luôn có
2

2 nghiệm phân biệt. Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.

(

)

3
2
2

3/Đònh m để hàm số y= x − 3mx + 3 m − m x + 1 có cực đại, cực tiểu.

Giải
Txđ D=R y/= 3x2 -6mx +3(m2-m)
Để hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y/=0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ 3x2 -6mx
+3(m2-m)=0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ / > 0 ⇔ 9m2 -9m2 +9m >0 ⇔ m>0 vậy
m>0 là giá trò cần tìm.
Bài tập đề nghò:

(

) (

)

Bài 1: Đònh m để y= x 3 − 3mx 2 + 3 m 2 − 1 x − m 2 − 1
4

Bài 2: Cho hàm số y=
x=1

đạt cực đại tại x=1.

ĐS:m=2

x
− ax 2 + b . Đònh a,b để hàm số đạt cực trò bằng –2 tại
2

8

Bài 3 : Cho hàm số y=

x2 − x + m
Đònh m để hàm số có cực trò và 2 giá trò
x +1

cực trò cùng dấu.
Bài 4: Cho hàm số y= x 3 + ( m − 1) x 2 − ( m + 3) x − 1 .CMR đồ thò hàm số lu6n có cực
đại và cực tiểu.Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trò của hàm
số .

Chủ đề III:TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NH NHẤT CA HM SỐ .
Phương pháp giải:
*Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số trên
miền xác đònh hay một khoảng :
-Tìm tập xác đònh .
-Tính y’, tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng khơng hoặc khơng xác định nhưng tại đó hàm số
liên tục , tính giá trò của hàm số tại các điểm đó.
-Lập bảng biến thiên căn cứ bảng biến thiên ⇒ GTLN, GTNN.
*Giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số trên một
đoạn [a;b]:
-Tính y’, tìm các điểm thuộc [a;b] tại đó đạo hàm bằng khơng hoặc khơng xác định
nhưng tại đó hàm số liên tục. Giả sử các điểm đó là x1, x2,…, xn
- Tính các giá trò f(a), f(x 1), f(x2),…., f(xn) , f(b) GTLN là số lớn nhất trong
các giá trò vừa tìm được, GTNN là giá trò nhỏ nhất trong các số vừa
tìm được.
Ví dụ
a)Tìm giá trò lớn nhất & giá trò nhỏ nhất của hàm số y= 2x − x2 .

b)Tìm giá trò lớn nhất & giá trò nhỏ nhất của hàm số b/ y =
1
trên [ ;2 ]
2

Giải :
a)Txđ : D =[0;2]
1− x
y/ =
cho y/=0 ⇔ 1-x=0 ⇔ x=1 ⇒ y=1
2
2x − x
Bảng biến thiên
x
0
1
2
y/

+

0

y

1
CĐ

0
0

max f (x) = f (1) = 1, min f (x) = f(0) = (2) = 0


1 
x = 1 ∈  ;2

2 
x2 − 1
b) y/= 2 cho y/=0 ⇔ x2-1=0 ⇔ 

x
1 
 x = −1 ∉  ;2
2 

9

x2 + x +1
x


1
7
7
Ta có y( ) =
; y(1)=3 ; y(2)=
2
2
2
1

7 max f (x) = f (1) = 3
min f (x)
1
= f( ) =f(2)= ;  1;2
[ ;2]
2
2
2  2 
Bài tập đề nghò:
Bài 1: Tìm giá trò lớn nhất,giá trò nhỏ nhất của các hàm số :
2
a) y= x2 + (x > 0)
b) y = x3 − 3x + 2 trên [ −10,10]
x
c) y = 5− 4x trên đoạn [ −1,1]
d) y= x4- 4x2 + 2 trên đoạn [-2;2]
Chủ đề IV: Phương trình, bất phương trình mũ loga
1/ Phương pháp giải phương trình mũ và logarit :
• Dạng cơ bản:
f (x) = g(x) ⇔ f(x) = g(x)
a
a
v(x) =

1 ⇔ ( u −1 ).v(x) = 0 ( trong đó u có chứa biến )

f (x) =

b ( với b > 0 ) ⇔ f(x) = log a b

u
a

f (x)hoặc
>0

g(x) > 0

log a f(x) = log a g(x) ⇔ 

f (x) = g(x)

log a f (x) = b

dạng: 

0 < a ≠ 1

log u(x) v(x)

⇔ f(x) = a b


v(x) > 0 ; u(x) > 0 ; u(x) ≠ 1

⇔ 

=b



v(x) = [ u(x)]

• Đặt ẩn phụ :
α. a 2f (x) +β. a f (x) + γ = 0

;

b

Đặt : t = a f (x) Đk t > 0

α. f (x) +β. b f (x) + γ = 0 ; ( với a.b=1)
a

α. a 2f (x) +β. ( a.b )

f (x)

1
Đặt : t = a f (x) (Đk t > 0) ⇒ = b f (x)
t

f (x)

a
+ γ . b 2f (x) = 0 ; Đặt t =  ÷

b

• Logarit hoá hai vế :

2/ Phương pháp giải bất phương trình mũ và logarit
• Dạng cơ bản :

f (x) > g(x) khi a > 1
10 a f (x) > a g(x) ⇔ 
f (x) < g(x) khi 0 < a < 1
20 a f (x) > b ⇔

Nếu b ≤ 0
có nghiệm ∀x
Nếu b > 0
f(x) > log a b nếu a > 1
f(x) < log a b nếu 0 < a < 1
0
f
(x)
3 a
< b ⇔ Nếu b ≤ 0 thì pt vô nghiệm
Nếu b > 0 ; f(x) < log a b nếu a > 1
f(x) > log a b nếu 0 < a < 1
•log a f(x) > log a g(x) ⇔ Đk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a ≠ 1
(a−1)[ f(x) − g(x) ] > 0
•log a f(x) > b
⇔ * Nếu a > 1 :
bpt là f(x) > ab
•log a f(x) < b

* Nếu 0 < a < 1 bpt là 0 < f(x) < ab
⇔
* Nếu a > 1 :

bpt là 0 < f(x) < ab

10


f(x) > ab

* Nếu 0 < a < 1 bpt là
• ( u(x) )

v(x)

> 1 ⇔ u(x) > 0 và [ u(x) −1 ].v(x) > 0

• ( u(x)) v(x) < 1 ⇔ u(x) > 0 và [ u(x) −1 ].v(x) < 0
Lưu ý:
*) trong trường hợp có ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng cơng thức sau để bài tốn trở nên dễ dang hơn.
10 a f (x) > a g(x)  (a−1)(f(x) − g(x)) > 0.
20 log a f(x) > log a g(x)  (a−1)(f(x) − g(x)) > 0.
*) Khi giải bài tốn bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm thật vững tính chất đơn điệu của hai hàm số
trên.
*) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số.

Bài tập đề nghò:

Phương trình mũ:
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Bài 17 : Giải các phương trình sau
a) 2 x− 4 = 3 4
d) 2 x

2

− x +8

b) 2 x

2

−6 x −

5
2

g)

(

− 53−

x

5+2 6

) +(
x

(

5−2 6

)

x

x +17

5
2

x

2
5

x+1

d)  ÷ − 2  ÷

f) 4 − 15

= 20

1
4

x)

b) 92x +4 - 4.32x + 5 + 27 = 0

c) 52x + 4 – 110.5x + 1 – 75 = 0
x

x +5

g) (1,25) 1 – x = (0, 64) 2(1+

f) 2x + 2x -1 + 2x – 2 = 3x – 3x – 1 + 3x - 2
Dạng 2. đặt ẩn phụ
Bài 18 : Giải các phương trình
a) 22x + 5 + 22x + 3 = 12

e) 5

+ 3 x −5

f) 32 x −7 = 128 x −3

e) 52x + 1 – 3. 52x -1 = 110

= 41−3 x

2

c) 32 x −3 = 9 x

= 16 2

) +( 4+
x

15

)

x

+

8
=0
5

=2

= 10 h)32 x +1 − 9.3x + 6 = 0

i) 7 x + 2.71− x − 9 = 0 (TN – 2007) j) 22 x + 2 − 9.2 x + 2 = 0
Dạng 3. Logarit hóạ
Bài 19 Giải các phương trình
2
a) 2x - 2 = 3
b) 3x + 1 = 5x – 2
c) 3x – 3 = 5 x − 7 x +12
2

x −1

d) 2 x − 2 = 5 x −5 x + 6
e) 5 x.8 x = 500 f) 52x + 1- 7x + 1 = 52x + 7x

Dạng 4. sử dụng tính đơn điệu
Bài 20: giải các phương trình
a) 3x + 4 x = 5x
b) 3x – 12x = 4x
c) 1 + 3x/2 = 2x
Phương trình logarit
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Bài 21: giải các phương trình
a) log4(x + 2) – log4(x -2) = 2 log46
b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3)
c) log4x + log2x + 2log16x = 5
d) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = 0
e) log3x = log9(4x + 5) + ½
f) log4x.log3x = log2x + log3x – 2
x–2
x–2
g) log2(9 +7) – 2 = log2( 3
+ 1) h) log 3 ( x + 2 ) + log 3 ( x − 2 ) = log3 5
Dạng 2. đặt ẩn phụ
Bài 22: giải phương trình
a)

1
2
+
=1
4 − ln x 2 + ln x

c) logx + 17 + log9x7 = 0

b) logx2 + log2x = 5/2
d) log2x +

11

10 log 2 x + 6 = 9


e) log1/3x + 5/2 = logx3
2
g) log

2

f) 3logx16 – 4 log16x = 2log2x

x + 3log 2 x + log 1 x = 2

h) lg x2 16 + l o g 2 x 64 = 3

2

Dạng 3 mũ hóa
Bài 23: giải các phương trình
a) 2 – x + 3log52 = log5(3x – 52 - x)

b) log3(3x – 8) = 2 – x

Bất phương trình mũ
Bài 24: Giải các bất phương trình

2 x+ 5

a) 16

x–4

≥8

1
b)  ÷
 3

>1

1
e) 2  ÷
2

6

<9

c) 9 x ≤ 3 x+ 2

4 x 2 −15 x + 4

d) 4 x

2

− x +6

< 23 x −4 f) 52x + 2 > 3. 5x

Bài 25: Giải các bất phương trình
a) 22x

+6

+ 2x + 7 > 17

1

1

c) 4 x −1 > 2 x − 2 + 3
≤ 15

b) 52x – 3 – 2.5x -2 ≤ 3

d) 5.4x +2.25x ≤ 7.10x
e) 2. 16x – 24x – 42x – 2
x +1
x
f) 4
-16 ≥ 2log48
g) 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x
Bài 26: Giải các bất phương trình
a) 3x +1 > 5 b) (1/2) 2x - 3≤ 3
c) 5x – 3x+1 > 2(5x -1 - 3 x – 2)

Bất phương trình logarit
Bài 27: Giải các bất phương trình
a) log4(x + 7) > log4(1 – x)
b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – 4
c) log2( x2 – 4x – 5) < 4
d) log1/2(log3x) ≥ 0
e) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2/3 f) log2x(x2 -5x + 6) < 1
g) log 1
3

3x − 1
>1
x+2

Bài 28: Giải các bất phương trình
a) log22 + log2x ≤ 0
b) log1/3x > logx3 – 5/2
c) log2 x + log2x 8 ≤ 4
e) log x 2.log x 16 2 >

1
log 2 x − 6

d)

1
1
+
>1
1 − log x log x

f) log 4 (3x − 1).log 1 (
4

3x − 1 3
)≤
16
4

Bài 29. Giải các bất phương trình
a) log3(x + 2) ≥ 2 – x
b) log5(2x + 1) < 5 – 2x
c) log2( 5 – x) > x + 1
d) log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ 2

Chủ đề IV: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
I/TÌM NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ:
1/Các kiến thức cần nắm vững :
Các đònh nghóa nguyên hàm và họ nguyên hàm, các tính chất của
nguyên hàm.
Bảng nguyên hàm thường dùng.
2/Một số dạng toán thường gặp:
Dạng 1: Tìm nguyên hàm của một hàm số bằng đònh nghóa và
tính chất.
Phương pháp giải:
Thường đưa nguyên hàm đã cho về nguyên hàm của tổng và hiệu sau
đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng ⇒ kết quả.
Ví dụ: Tìm nguyên hàm các hàm số sau:
a) f(x) = x3 – 3x +

1
x

b) f(x) = 2 x + 3 x

c) f(x) = (5x + 3)5

12

d) f(x) = sin4x cosx


Giải
a/

∫

1
1
x4 3 2
3
f (x)dx = ∫ (x - 3x + )dx = ∫ x dx − 3∫ xdx + ∫ dx = − x + ln x + c
x
x
4 2
3

2x
3x
b/ f (x)dx = (2 +3 ) dx = 2 dx + 3 dx =

+
+c
∫
∫
∫
∫
ln2 ln3
d(5x + 3) (5x + 3)6
c/ f (x)dx = (5x+3)5dx = (5x+3)5
=
+c
∫
∫
∫
5
30
sin5 x
d/ f (x)dx = sin4x cosxdx = sin4x d(sin x) =
+c
∫
∫
∫
5
x

x

x

x

Dạng 2: Tìm nguyên hàm của một hàm số thoả điều kiện cho
trước.
Phương pháp giải:
B1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số đã cho
B2: Thay điều kiện đã cho vào họ nguyên hàm tìm được C thay vào họ
nguyên hàm ⇒ nguyên hàm cần tìm.
Ví dụ: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=1+ sin3x biết F(
Giải

π
)= 0.
6

1
π
π 1
π
π
cos3x + C. Do F( ) = 0 ⇔
cos
+C=0 ⇔ C=- .
3
6
6 3
2
6
1
π
Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x –

cos3x 3
6
Ta có F(x)= x –

Bài tập đề nghò:
1. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=sin 2x.cosx, biết giá trò của
nguyên hàm bằng

π
− 3
khi x=
3
8

1
2
3
2
1
2x + 3x + 3x − 1
3. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) =
, biết F( 1) =
2
3
x + 2x + 1
2. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = e 1-2x , biết F( ) = 0

II/ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN :
1/Các kiến thức cần nắm vững :
Bảng nguyên hàm thường dùng.

Đònh nghóa tích phân, các tính chất của tích phân.
Các phương pháp tính tích phân..
2/Một số dạng toán thường gặp:
Dạng 1: Tính tích phân bằng đònh nghóa và tính chất.
Phương pháp giải:
Thường đưa tích phân đã cho về tích phân của tổng và hiệu sau đó
vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng ⇒ kết quả.
Ví dụ: Tìm tích phân các hàm số sau:
3

a/

∫ (x

3

+ 1)dx

−1

π
4

2

4
− 3sin x)dx
b/ ∫ (
cos2 x
−π

c/

∫

x − 1 dx

−2

4

Giải
3

a/

∫ (x

3

−1

+ 1)dx =

3

3

4

x

∫ x dx + ∫ 1dx = ( 4 + x)
3

−1

−1

3

=(
−1

13

81
1
+ 3) − ( − 1) = 24
4
4


π
4

π

π

π
4
4
4
1
4 =
−
3sin
x
)
dx
=
4
dx
−
3
sin
xdx
=
(4
tgx
+
3cos
x
)
b/ ∫ (
2
2
π
∫

∫
−
cos
x
cos
x
−π
−π
−π
4
4

4

4

= (4tgπ + 3cosπ )−[4tg(− π )+ 3cos(− π )] =8
4
4
4
4
2

c/

∫

1

2

1

2

−2

1

−2

1

x − 1 dx = ∫ x − 1 dx + ∫ x − 1 dx = ∫ (1− x)dx + ∫ (x − 1)dx =(x-

−2

x2 1
x2
2
) −2 + ( − x) 1 =5
2
2

Bài tập đề nghò:
Tính các tích phân sau:
π
2

1

1

x
2/J= ∫ (e + 2)dx

∫

1/I= (3+ cos2x).dx

∫

2
3/K= (6x + 4x)dx

0

0

0

Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng 1:
Phương pháp giải:
′ dt
b1: Đặt x = u(t) (điều kiện cho t để x chạy từ a đến b) ⇒ dx = u(t).
b2: Đổi cận:
x = a ⇒ u(t) = a ⇒ t = α
x = b ⇒ u(t) = b ⇒ t = β ( chọn α , β thoả đk đặt ở trên)
b

b3: Viết

∫ f(x)dx về tích phân mới theo biến mới, cận mới rồi tính tích
a

phân .
1

Ví dụ: Tính :

∫

1− x2 dx

0

π
2

Đặt x = sint ⇒ dx = cost.dt. Vì x ∈ [0;1] nên ta chọn t ∈ [0; ]
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0
1

Vậy :

∫

1− x2 dx =

0

π
2

;

2
∫ cos t.dt =
0

x= 1 ⇒ t =

π
2

π
2

1
1
sin2t π2 = π
(1
+
cos2t).dt=
(
t
+
)
4
2 ∫0

2
2 0

Chú ý: Khi gặp tích phân mà biểu thức dưới dấu tích phân có dạng :




π π
; ]
2 2
π π
a2 + x2 thì đặt x= a tgt t ∈ (− ; )
2 2
a
π π
t ∈ [− ; ] \ { 0}
x2 − a2 thì đặt x=
2 2
sint
a2 − x2 thì đặt x= a sint

t ∈ [−

b

Dạng 2: Tính tích phân

∫ f[ϕ (x)]ϕ '(x)dx bằng phương pháp đổi biến.
a

Phương pháp giải:
b1: Đặt t = ϕ (x) ⇒ dt = ϕ '(x). dx
b2: Đổi cận:
x = a ⇒ t = ϕ (a) ; x = b ⇒ t = ϕ (b)
b3: Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân tìm
được .
Ví dụ : Tính tích phân sau :

14


1

2x + 1
dx
a/ I = ∫
2
x + x+ 1
0

b/ J =

1

∫

x2 + 3.x.dx

0

Giải:

a/ Đặt t = x2 + x +1 ⇒ dt = (2x+1) dx

3

3

Đổi cận:

dt
x = 0 ⇒ t =1 ; x = 1 ⇒ t = 3 Vậy I= ∫ = ln t = ln3
t
1
1

b/ Đặt t= x2 + 3 ⇒ t2= x2+ 3 ⇒ tdt = x dx
2

Đổi cận:

t3
x = 0 ⇒ t = 3 ; x = 1 ⇒ t = 2 Vậy J = ∫ t dt =
3
3

2

2

3

1
= (8− 3 3)
3

Bài tập đề nghò:
Tính các tích phân sau:
π
2

∫

1

1/ e

sin x

ex
dx
2/ ∫ x
e +1
0

.cos x.dx

0

e

3/

∫

1

1+ ln x
dx
x

1

∫

2
5
4/ x(x + 3) dx
0

Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp tùng phần:
b

Công thức từng phần :

b

. = uv
. − ∫ vdu

.
∫ udv
b
a

a

a

Phương pháp giải:
B1: Đặt một biểu thức nào đó dưới dấu tích phân bằng u tính du. phần
còn lại là dv tìm v.
B2: Khai triển tích phân đã cho theo công thức từng phần.
b

B3: Tích phân

∫ vdu

suy ra kết quả.

a

Chú ý:
b

a/Khi tính tính tích phân từng phần đặt u, v sao cho

∫ vdu
a

b

dễ tính hơn

∫ udv

nếu

a

khó hơn phải tìm cách đặt khác.
b

b/Khi gặp tích phân dạng :

∫ P(x).Q(x).dx
a

- Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là một trong các hàm số e ax+b, cos(ax+b) ,
sin(ax+b) thì ta đặt u = P(x) ; dv= Q(x).dx
Nếu bậc của P(x) là 2,3,4 thì ta tính tích phân từng phần 2,3,4 lần theo cách
đặt trên.
- Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là hàm số ln(ax+b) thì ta đặt u = Q(x) ; dv =
P(x).dx
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
π
2

∫

a/ I= x.cos x.dx
0

e

∫

b/J= x.ln x.dx
1

Giải

u = x
du = dx
⇒
(chú ý: v là một nguyên hàm của cosx )
dv = cos x.dx v = sin x

a/ Đặt : 

15


vậy I=x cosx

π
2
0

-

π
2

π
2
0

∫ sin x.dx = cosx

= -1

0

du = 1 .dx

u = ln x
x
⇒
b/ Đặt : 
dv = x.dx v = x2

2
e
e
x2 1
e2 1
e2 1 2 e e2 + 1
x2 e

.
dx
=
−
xdx
=
− x =
Vậy J= lnx.
- ∫
2 2 ∫1
2 4 1
4
2 1 1 2 x
Bài tập đề nghò:
Tính các tích phân sau:
1

∫

3x

1/ x.e dx

2/

0

π
4

e

x

∫ cos

2

0

x

dx 3/

π
2

5

∫ ln x.dx

∫

4/ 2x.ln(x − 1).dx 5/ ex .cos x.dx

1

∫

2

0

Dạng 4: Tính tích phân của một số hàm hữu tỉ thường gặp:
a/Dạng bậc của tử lớn hơn hay bằng bậc của mẫu:
Phương pháp giải:
Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng của một phần nguyên và một
phần phân số rồi tính.
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
2

2

2x
1
1
1
dx =ò (1+
)dx = [x + ln 2x- 1]12 = 1+ ln3
a/ ò
2x- 1
2x- 1
2
2
1
1
0

=

1
ln3 .
2

0

x3 + 3x +1
5
x3 x2
23
dx =ò (x2 + x + 4+
)dx = [ + + 4x + ln x- 1]-0 1 = - ln2
b/ ò
x- 1
x- 1
3
2
6
- 1
- 1
Bài tập đề nghò:
Tính các tích phân sau:
2

x3 + 2x2 − 3x
dx
1/I= ∫
x2
1

4

2x2 + 5x + 3
dx
2/J= ∫
x+1
3

b/Dạng bậc1 trên bậc 2:
Phương pháp giải:
Tách thành tổng các tích phân rồi tính.
Trường hợp mẫu số có 2 nghiệm phân biệt:
2
5( x- 1) dx
Ví dụ: Tính các tích phân :
2

òx 1

x- 6

Giải

5x- 5
A
B
A(x- 3) + B(x+ 2)
5( x- 1)
=
+

=
Đặt 2
=
(x + 2)(x- 3)
x - x- 6 (x + 2)(x- 3) x + 2 x- 3
⇒ A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2 ⇒ A=3. cho x=3 ⇒ B=2. vậy ta có:
2
2
5( x- 1) dx
3
2
16
2
ò x2 - x- 6 = ò( x+ 2 + x- 3)dx = (3ln x+ 2 + 2ln x- 3 ) 1 = ln 27
1
1
Trường hợp mẫu số có nghiệm kép:
1

Ví dụ:

Tính các tích phân :

(2x +1)dx
2
4x + 4

òx 0

Giải

16


1

1

1

1

(2x +1)dx
2x- 4
5
d(x2 - 4x + 4)
1
= ò( 2
+ 2
)dx = ò 2
+ 5ò
dx
CI: ò 2
x - 4x + 4 0 x - 4x + 4 x - 4x + 4
x - 4x + 4
(x- 2)2
0
0
0
5

5
1
2
) 0 = − ln4
=(ln x − 4x + 4 −
x− 2
2
2x +1
2x +1
A
B
A(x- 2) + B
=
=
+
=
Û A(x- 2) + B = 2x+1
CII: Đặt 2
2
2
x - 4x + 4 (x- 2)
x- 2 (x- 2)
(x- 2)2
A = 2
A = 2
⇔ Ax -2A+B= 0 ⇔ 
⇔
 −2A + B = 1  B = 5
1

1

1

2x +1dx
2
5
5
5
ò x2 - 4x+ 4 = ò[ x- 2 + (x- 2)2 ]dx = (2ln x-2 - x-2 ) = 2 − ln4
0
0
0

Vậy

Trường hợp mẫu số vô nghiệm:
0

Ví dụ:

Tính các tích phân :I=

(2x- 3)dx
2
+ 2x + 4

òx
- 1

Giải:
0

0

1

5
d(x2 + 2x + 4)
dx
=
ò (x+1)2 + 3 ò x2 + 2x+ 4 - 5J
- 1
0

2x + 2
dx2
x
+
2
x
+
4
- 1

I =ò

1

Ta có

0
d(x2 + 2x + 4)
4
2
ò x2 + 2x+ 4 = ln/x +2x+4/ −1 = ln4− ln3 = ln 3
0
0

Tính J=

5

ò (x+1)

2

- 1

dx
+3
 −π π 

;  ) ⇒ dx= 3(1+ tg2t)dt .
Đặt x+1= 3tgt (t ∈ 
 2 2
π

π

6
π
3(1+ tg2t)
36
3 π
Khi x= -1 thì t = 0 ; khi x=0 thì t=
vậy J=
dt
=
1dt =
−
∫0 (3+ 3tg2t)
∫
6
3 0
3 6

Vậy I= ln

4
3 π
− 5(
− )
3
3 6

Bài tập đề nghò: Tính các tích phân sau:
1

1

dx
1/I= ∫ 2
x
−
5
x
+
6
0

5

4

1− 2x
3x − 1
dx 3/ I= ∫ 2
dx
2/I= ∫ 2
x
−
6
x
+
9
x
−
4
x
+

8
4
2

Dạng 5: Tính tích phân hàm vô tỉ:
b

∫

n
 Dạng1: R(x, ax + b)dx

Đặt t= n ax + b

a
b

∫

 Dạng 2: R(x, n
a

ax + b
)dx
cx + d

Đặt t= n
1

Ví dụ: Tính tích phân I =

∫

3

ax + b
cx + d

1− xdx

0

Giải
Đặt t = 3 1− x ⇔ t3= 1-x ⇔ x= 1-t3 ⇒ dx= -3t2dt.
Đổi cận:

17


0

t4
3
Vậy I= ∫ t.(−3t )dt = 3∫ t dt = 3
=
40 4
1
0

x=0 ⇒ t=1; x=1 ⇒ t=0.

Bài tập đề nghò:
1

1

∫

3
1/ x. 1− xdx

2/

∫

−2

0

1

1

2

3

Tính các tích phân sau:

x
dx

2− x

Dạng 6: Tính tích phân của một số hàm lượng giác thường gặp
β

∫

 Dạng: sinax.cosbxdx,
α

β

β

α

α

∫ sinax.sinbxdx, ∫ cosax.cosbxdx

Phương pháp giải:
Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hoặc hiệu
các tích phân rồi giải.
 Dạng:

β

β

α

α

n
n
∫ sin xdx; ∫ cos xdx

Phương pháp giải: Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc, n lẻ
dùng công thức đổi biến.
Ví dụ :
β

β

β

2n+1
2n
2
n
∫ sin xdx = ∫ sin xsin xdx = ∫ (1− cos x) sin xdx Đặtt =cosx

α

α

β

α

β

β

n

 1+ cos2x 
∫α cos xdx = α∫ (cos x) dx = α∫  2  dx
2n

2

n

β

 Dạng:

∫ R(sin x).cos xdx

β

∫ sin

2n

Đặc biệt:

α

x.cos2k+1 xdx

α

Phương pháp giải: Đặt t =sinx
β

 Dạng:

∫ R(cosx).sin xdx

β

Đặc biệt:

α

∫ sin
α

2n+1

x.cos2k xdx

Phương pháp giải: Đặt t =cosx
 Các trường hợp còn lại đặt x=tgt
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a/

π

4

π
2

π
2

∫ sin3x.cosx.dx

∫

∫

b/ sin2 xdx

0

c/ cos3 xdx

0

0

π
2

∫

d/ cos3 xsin2 xdx

0

Giải
a/

π
4

π
4

π
= 1 (sin4x + sin2x)dx = − 1 ( cos4x + cos2x ) 2 = 1
sin3
x
.cos
x
.
dx
∫0 2
∫0
0
2
4
2
2

π
2

π
2

π
b/ sin2 xdx = 1− cos2x dx = 1 (x − sin2x ) 2 = π
0

∫

∫

0

2

0

2

2

π
2

π
2

π
2

0

0

0

∫

∫

4

∫

c/I= cos3 xdx = cos2 x.cos x.dx = (1− sin2 x).cos x.dx
đặt u=sinx ⇒ du = cosx dx.
1
u3 1 2
π
2
⇒ u=1 vậy: I= ∫ (1− u ).du = (u − ) 0 =
x=0 ⇒ u=0 ; x=
3
3
2
0

18

π
2

π
2

π
2

0

0

0

∫

∫

∫

d/J= cos3 xsin2 xdx = cos2 xsin2 x.cos x.dx = (1− sin2 x)sin2 x.cos x.dx
đặt u=sinx ⇒ du = cosx dx.

π
⇒ u=1
2

x=0 ⇒ u=0 ; x=

Bài tập đề nghò:
π

1/

∫ cos

4

x.dx

0

1

1

∫

∫

2
2
2
4
J= (1− u )u .du = (u − u ).du = (
0

0

u3 u5 1 2
− ) =
3 5 0 15

Tính các tích phân sau:

π
2

π
2

2/ sin3 x.cos3 x.dx
∫

3/ sin4 x.cos4 x.dx
∫
0

0

π
2

4/ ∫
π

1
dx
sin x

6

III/ Diện tích hình phẳng:
1/ Dạng toán1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và 3
đường thẳng.
Công thức:
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đường cong (C) :y=f(x) và các đường thẳng x= a; x=b; y= 0 là :
b

S = ∫ f ( x ) dx
a

2/ Dạng toán2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong và 2
đường thẳng.
Công thức:
Cho hàm số y=f(x) có đồ thò (C) và y=g(x) có đồ thò (C’) liên tục trên đoạn
[a;b] khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C), (C’) và các
b

đường thẳng x= a; x=b là : S =∫ f ( x ) −g ( x ) dx
a

Phương pháp giải toán:
B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và (C’)
B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm:
TH1:
Nếu phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm trong (a;b). Khi đó diện tích
b

hình phẳng cần tìm là: S =∫[ f ( x ) −g ( x )]dx
a

TH2:
Nếu phương trình hoành độ giao điểm có 1 nghiệm là x 1 ∈ (a;b). Khi đó diện tích
hình phẳng cần tìm là:
b

x1

b

a

a

x1

S =∫ f ( x ) −g ( x ) dx = ∫[ f ( x ) −g ( x )]dx + ∫[ f ( x ) −g ( x )]dx

TH3:
Nếu phương trình hoành độ giao điểm có các nghiệm là x 1; x2 ∈ (a;b). Khi đó
diện tích hình phẳng cần tìm là:
x1

x1

x2

a

x2

b

S = ∫[ f ( x ) −g ( x ) ] dx + ∫[ f ( x ) −g ( x ) ] dx + ∫[ f ( x ) −g ( x ) ] dx

Chú ý: * Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều hơn 2 nghiệm làm
tương tự trường hợp 3.
* Dạng toán 1 là trường hợp đặc biệt của dạng toán 2 khi đường cong
g(x)=0
Ví dụ 1ï:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò của hàm số y = sinx trên đoạn
[0;2 π ] và trục hoành .
Giải :

19


Ta có :sinx = 0 có 1 nghiệm x= π ∈ ( 0;2π ) vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:
2π

S=

∫
0

π

sin x dx = ∫ sin xdx +
0

2π

∫ sin xdx
π

π

2π

= cos x 0 + cos x π

=4

Ví dụ 2:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P 1): y = x2 –2 x , và (P2) y= x2 + 1 và các
đường thẳng x = -1 ; x =2 .
Giải
phhđgđ : x2 –2 x = x2 + 1 Û 2x +1= 0 Û x = -1/2 . Do đó :
2

S=

- 1/ 2

ò (x 2

2

2x) - (x +1) dx =

- 1

ò [(x -

2

2x) - (x +1)]dx +

- 1

- 1/ 2

=

2
2

2

ò ( 2x+1) dx +
- 1

ò [(x 2

2x) - (x2 +1)]dx

- 1/ 2

2
1 25 13
ò ( 2x+1) dx = ( x2 + x) - 12 + ( x2 + x) - 12 = 4 + 4 = 2
- 1/ 2
1

Ví dụ 3:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y 2 = 4 x , và đường thẳng (d): 2x+y-4
= 0.
Giải: Ta có (P): y2 = 4 x ⇔ x =

4− y
y2
và (d): 2x+y-4 = 0 ⇔ x=
.
2
4

Phương trình tung độ giao điểm của (P) và đường thẳng (d) là:

y = 2
 y = −4


y2 4 − y
⇔
=
2
4

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: S=
2

∫(

−4

2

4 − y y2
y y2
y2 y3 2
− )dy = ∫ (2 − − )dy = (2y −
−
) =9
2
4
2 4
4 12 −4
−4

Bài tập đề nghò:
1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (P): y= x 2 - 2x và trục
hoành.
2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (H): y =

x+ 1
và các
x

đường thẳng có phương trình x=1, x=2 và y=0
3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (C): y= x 4 - 4x2+5 và
đường thẳng (d): y=5.
4/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y = x 3 –3 x , và y = x .
2/ Dạng toán 3: Thể tích của một vật thể tròn xoay
Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi đường
cong (C) có phương trình y= f(x) và các đường thẳng x= a, x=b , y= 0 quay một
b

V =Π∫ f 2 ( x ) dx

vòng xung quanh trục ox là:

a

Ví dụ 1: Tính thể tích khối cầu sinh ra do quay hình tròn có tâm O bán kính R
quay xung quanh trục ox tạo ra.
Giải: Đường tròn tâm O bán kính R có phương trình :x 2 + y2 = R2 ⇒ y2= R2-x2
Thể tích khối cầu là : V=

π

R

x3
∫ ( R2 − x2 ) dx = π  R2x − 


−R

R

3  −R

=

2R3  4 3
π  2R3 −
= πR
3  3


(đvtt)
Ví dụ 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới
hạn bởi các đường sau khi nó quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = 2 ; y = 0 ; y =
x2–2x

20


Giải: Thể tích của vật thể tròn xoay cần tìm là :
2

2

−1
5

−1

S = π ∫ (x2 − 2x)2 dx = π ∫ (x4 − 4x3 + 4x2 )dx
=π (

18π
x
4
2
(đvtt)
− x4 + x3 ) −1 =
5
5
3

Bài tập đề nghò:
Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi
các đường sau khi nó quay xung quanh trục Ox:
a/ y = cosx ; y = 0 ; x = 0 ; x =
0;x=1

π
4

b/ y = sin2x ; y = 0 ; x = 0 ; x =

Chủ đề VI: SỐ PHỨC
Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,…
Cho hai số phức a+bi và c+di.
1) a+bi = c+di  a = c; b = d.
2) mơđun số phức z = a + bi = a 2 + b2

3) số phức liên hiệp z = a+bi là z = a − bi.
* z+ z = 2a; z. z = z 2 = a 2 + b2
4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i
5) (a+bi ) −( c+di) = (a−c)+(b−d)i.
6) ) (a+bi )( c+di) = (ac − bd)+(ad+bc)i
c + di

1

7) z = a + bi = 2 2 [(ac+bd)+(ad-bc)i]
a +b
Bài tốn 2: Giải phương trình bậc 2.
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0. với ∆ = b2 − 4ac.
Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệp kép x1 = x 2 = −

b
2a

(nghiệm thực)

Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực: x =

−b ± ∆
2a

Nếu ∆ < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức x =

−b ± i ∆
2a

Bài tập: Sè phøc
D¹ng 1: C¸c phÐp to¸n vỊ sè phøc
C©u 1: Thùc hiƯn c¸c phÐp to¸n sau:

1

2 5 
b. ( 2 − 3i ) −  − i ÷
 − 2i ÷
3

3 4 
4 
 1   3
 1
3 1   5 3  
 3 − i ÷+  − + 2i ÷− i d.  + i ÷−  − + i ÷+  −3 − i ÷
5 
 3   2
 2
4 5   4 5  

a. (2 - i) +
c.

C©u 2: Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh sau:
a. (2 - 3i)(3 + i)

b. (3 + 4i)

2

3

b.

C©u 3: Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh sau:
a.

1+ i
2−i

b.

2 − 3i
4 + 5i

c.

3
5−i

d.

1

 − 3i ÷
2


2 + 3i

( 4 + i ) ( 2 − 2i )

C©u 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau (víi Èn lµ z) trªn tËp sè phøc

21

π

c/ y =

x
2

xe

;y=0;x=


(

)

a. 4 5i z = 2 + i

(

b. 3 2i

) 2 ( z + i ) = 3i




c. z 3

Câu 5: Cho hai số phức z, w. chứng minh: z.w = 0

1
1
i ữ= 3 + i
2
2

d.

3 + 5i
z

= 2 4i

z = 0
w = 0


Câu 6: Chứng minh rằng mọi số phức có môđun bằng 1 đều có thể viết dới dạng
với x là số thực mà ta phải xác định
Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trớc
Câu 1: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn:

a. z + 3 = 1

x+i
x i

b. z + i = z 2 3i

Câu 2: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn:
a. z + 2i là số thực b. z - 2 + i là số thuần ảo

c. z.z = 9

d.

thực
căn bậc hai của Số phức. phơng trình bậc hai
Dạng 1: tính căn bậc hai của số

Vớ d :
Tỡm cn bc hai ca s phc z = 4i
Gi x + iy l cn bc hai ca s phc z = 4i , ta cú :
2 2
x = y
x = y
(x + iy)2 = 4i x y = 0
hoc
2xy = 4
2xy = 4
2xy = 4
x = y

2
(loi) hoc
2x = 4

x = y
x = y x = 2;y = 2



2
2
2x = 4 x = 2 x = 2;y = 2

Vy s phc cú hai cn bc hai : z1 = 2 i 2 , z2 = 2 + i 2
Câu 1: Tính căn bậc hai của các số phức sau:
a. -5

b. 2i

d.

c. -18i

Dạng 2: Giải phơng trình bậc hai

4

5
i
3 2

Ví dụ: Gii phng trỡnh x2 4x + 7 = 0 trờn tp s phc

Gii: ' = 3 = 3i2 nờn

' = i 3

Phng trỡnh cú hai nghim : x1 = 2 i 3 , x2 = 2 + i 3

Câu 1: Giải các phơng trình sau trên tập số phức
a. x2 + 7 = 0 b. x2 - 3x + 3 = 0 c. x2 + 2(1 + i)x + 4 + 2i = 0
d. x2 - 2(2 - i)x + 18 + 4i = 0
e. ix2 + 4x + 4 - i = 0
2
g. x + (2 - 3i)x = 0
Câu 2: Giải các phơng trình sau trên tập số phức

(

a. z + 3i
c.
Câu 3:
a.
Câu 4:

) ( z 2 2z + 5) = 0

(

2

b. z + 9

) ( z2 z + 1) = 0

3
2
2z 3z + 5z + 3i 3 = 0

Tìm hai số phức biết tổng và tích của chúng lần lợt là:
2 + 3i và -1 + 3i
b. 2i và -4 + 4i
Tìm phơng trình bậc hai với hệ số thực nhận làm nghiệm:

22

z 3i
z+i

= 1 là số


a. = 3 + 4i

b. =

7 i 3

Câu 5: Tìm tham số m để mỗi phơng trình sau đây có hai nghiệm z1, z2 thỏa mãn
điều kiện đã chỉ ra:

a. z2 - mz + m + 1 = 0

điều kiện: z12 + z 2
2 = z1z 2 + 1

b. z2 - 3mz + 5i = 0

điều kiện: z13 + z3
2 = 18

Bài tập:
Câu 1: Tính căn bậc hai của các số phức sau:
a. 7 - 24i

b. -40 + 42i c. 11 + 4 3 id.

1
4

+

2
2

i

Câu 2: Chứng minh rằng:
a. Nếu x + iy là căn bậc hai của hai số phức a + bi thì x - yi là căn bậc hai của số
phức a - bi

b. Nếu x + iy là căn bậc hai của số phức a + bi thì

x
k

+

y
k

i là căn bậc hia của số phức

a
b
+
i
2
2 (k 0)
k
k
Câu 3: Giải phơng trình sau trên tập số phức:
a. z2 + 5 = 0 b. z2 + 2z + 2 = 0 c. z2 + 4z + 10 = 0
d. z2 - 5z + 9 = 0
+ 3z - 1 = 0
Câu 4: Giải phơng trình sau trên tập số phức:
a. (z + i)(z2 - 2z + 2) = 0
b. (z2 + 2z) - 6(z2 + 2z) - 16 = 0
2
c. (z + 5i)(z - 3)(z + z + 3) = 0
d. z3 - (1 + i)z2 + (3 + i)z - 3i = 0

Câu 5: Giải phơng trình sau trên tập số phức:

e. -2z2

2

2

a. (z + 2i) + 2(z + 2i) - 3 = 0

b.

4z + i
4z + i
+6=0

ữ 5
zi
zi

Câu 6: Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận làm nghiệm biết:
a) = 2 - 5i

b. = -2 - i 3
c. = 3 i 2
2
Câu 7: Chứng minh rằng nếu phơng trình az + bz + c = 0 (a, b, c R) có nghiệm phức
R thì cũng là nghiệm của phơng trình đó.
Câu 8: Cho phơng trình: (z + i)(z2 - 2mz + m2 - 2m) = 0
Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phơng trình

a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức
b/ Chỉ có đúng 1 nghiệm thực
C/Có ba
nghiệm phức
Câu 9: Giải phơng trình sau trên tập số phức:
a. z2 + z + 2 = 0 b. z2 = z + 2
c. (z + z )(z - z ) = 0
d. 2z + 3 z = 2 + 3i
Câu 10: Giải phơng trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo
a. z3 - iz2 - 2iz - 2 = 0
b. z3 + (i - 3)z2 + (4 - 4i)z - 4 + 4i = 0

23