Nghiệm tối ưu và nghiệm tối ưu xấp xỉ của bài toán tối ưu không lồi có vô hạn ràng buộc (tt)

UBND THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN

NGHIỆM TỐI ƯU VÀ NGHIỆM TỐI ƯU XẤP XỈ
CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG LỒI
CÓ VÔ HẠN RÀNG BUỘC

Mã số: CS2014-38

Xác nhận của Chủ tịch HĐ Nghiệm thu

PGS. TS. Phạm Hoàng Quân

Chủ nhiệm đề tài

TS. Tạ Quang Sơn

TP. HỒ CHÍ MINH - 6/2015

1


THÔNG TIN VỀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Thông tin chung
• Tên đề tài: Nghiệm tối ưu và nghiệm tối ưu xấp xỉ của bài toán
không lồi có vô hạn ràng buộc.
• Mã số: CS2014-38
• Chủ nhiệm: TS. Tạ Quang Sơn
• Thời gian thực hiện: 06/2014 – 06/2015

Mục tiêu của đề tài
• Cải tiến một số điều kiện tối ưu đã công bố trong bài báo số [13]
để nhận được nghiệm xấp xỉ cho một lớp các bài toán không lồi
có vô hạn ràng buộc.
• Dựa vào một lược đồ đối ngẫu hỗn hợp để nghiên cứu mối liến
quan giữa bài toán gốc và bài toán đối ngẫu thông qua các định
lý đối ngẫu dạng xấp xỉ.
• Thiết lập mối quan hệ giữa các giá trị xấp xỉ tối ưu của bài toán
gốc và bài toán đối ngẫu của lớp bài toán nêu trên.

Tính mới của đề tài
• Nới lỏng điều kiện để thu được một số kết quả về điều kiện tối ưu
xấp xỉ đã được công bố trước đây.
1


• Giới thiệu một lược đồ đối ngẫu cho bài toán tối ưu không lồi có
vô hạn ràng buộc để từ đó nhận được các kết quả của các kiểu
đối ngẫu Mond-Weir và Wolfe.

Kết quả nghiên cứu
• Hai định lý về điều kiện tối ưu xấp xỉ
• Sáu định lý liên quan về đối ngẫu dạng xấp xỉ

Sản phẩm
Bài báo khoa học quốc tế:
Ta Quang Sơn, Refinements of ε-Duality Theorems for a Nonconvex Problem with an Infinite Number of Constraints, Journal of Nonlinear Analysis and Optimization, Vol 4, No 2, (2013), 61-70.

2

Mục lục
Thông tin chung

1

Mục tiêu của đề tài

1

Tính mới của đề tài

1

Kết quả nghiên cứu

2

Sản phẩm

2

I

6

Giới thiệu về đề tài nghiên cứu
1.1

Tổng quan về tình hình nghiên cứu . . . . . . . . . . .

1.2

Danh mục một số công trình đã công bố thuộc lĩnh
vực của đề tài

7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3

Mục tiêu của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4

Đối tượng, phạm vi nghiên cứu, cách tiếp cận, phương

1.5

pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Nội dung nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3


II

Nội dung nghiên cứu

13

1 Bài toán tối ưu không lồi có vô hạn ràng buộc

2

3

14

1.1

Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2

Các kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Điều kiện tối ưu xấp xỉ

21

2.1

Điểm lại một số kết quả đã biết . . . . . . . . . . . . .

21

2.2

Một số kết quả về điều kiện tối ưu xấp xỉ có cải tiến

23

.

Các định lý đối ngẫu xấp xỉ
3.1

Các định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

Mối quan hệ xấp xỉ giữa các giá trị tối ưu của bài toán
gốc và bài toán đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

27
27

32


MỘT SỐ KÝ HIỆU
X
X∗
R
T
R(T )
x
|x|
D
TD (x)
ND (x)
f (z; d)
f c (z; d)
∂f c (z)
∅
{zn }
F, A

Không gian Banach
Không gian đối ngẫu của X
Không gian các số thực
Tập các chỉ số, có thể vô hạn

Không gian các dãy suy rộng
Chuẩn của véc-tơ x
Giá trị tuyệt đối của véc-tơ x
Tập đóng trong không gian X
Nón tiếp xúc của D tại x
Nón chuẩn của D tại x
Đạo hàm theo hướng d của hàm f tại z
Đạo hàm Clarke theo hướng d của hàm f tại z
Dưới vi phân Clarke của hàm f tại z
Tập rỗng
Dãy số hoặc dãy véc-tơ
Tập chấp nhận được

5


Phần I

Giới thiệu về đề tài
nghiên cứu

6


1.1

Tổng quan về tình hình nghiên cứu

Tối ưu hóa là một trong những chuyên ngành toán học rất được
quan tâm trong nhiều thập kỷ vừa qua. Các bài toán tối ưu thường

xuất hiện trong các bài toán kinh tế, kỹ thuật, truyền thông, nhận
dạng,. . . bởi các nhu cầu như nhanh nhất, rẻ nhất, nhiều nhất, tốt
nhất, ngắn nhất, ít nhất,. . . là các vấn đề thường đặt ra trong các bài
toán thực tế. Từ việc nghiên cứu về nghiệm chính xác của bài toán tối
ưu, người ta còn quan tâm đến nghiệm xấp xỉ bởi ý nghĩa thực tiễn
của nó trong các thuật toán.
Gần đây, một dạng của bài toán tối ưu nửa vô hạn (semi infinite
optimization problem) được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu đó là
bài toán tối ưu có vô hạn ràng buộc. Nhiều tài liệu đã đề cập đến
những ứng dụng quan trọng của bài toán này kể cả bài toán lồi và
không lồi [2], [3], [4], [5]. Trong đề tài nghiên cứu này, từ việc tìm
hiểu về nghiệm tối ưu chúng tôi quan tâm tìm kiếm một số kết quả
về nghiệm tối ưu xấp xỉ của một lớp bài toán tối ưu không lồi có vô
hạn ràng buộc.
Cần phải nhắc lại rằng, đối với lớp bài toán này, một số vấn đề
như nghiên cứu về điều kiện tối ưu, điều kiện tối ưu xấp xỉ, đặc trưng
tập nghiệm,vv,. . . gần đây đã được một số tác giả nghiên cứu thiết
lập trong bài báo số [14], [13], [6] và nhiều nghiên cứu tiếp sau khác.
Về vấn đề nghiệm tối ưu, trong bài báo [13], điều kiện cần và đủ để
nhận được nghiệm tối ưu đã được giới thiệu. Năm 2011, vấn đề này
được phát triển sâu hơn bằng cách dựa vào điều kiện cần và đủ tối ưu
để đưa một số đặc trưng tập nghiệm cho lớp bài toán không lồi có vô
7


hạn ràng buộc nói trên. Song song với việc quan tâm về nghiệm tối ưu,
các vấn đề về nghiệm tối ưu xấp xỉ của lớp bài toán này cũng được
quan tâm khảo sát. Năm 2008, dựa vào khái niệm hầu tựa nghiệm
xấp xỉ (almost approximate solution) đề xuất bởi Loridan, các tác giả
T.Q. Son, J.J. Strodiot, V.H. Nguyen đã thiết lập các điều kiện cần

và đủ tối ưu về hầu tựa nghiệm xấp xỉ và các định lý về đối ngẫu
xấp xỉ dạng Wolfe cho một dạng bài toán tối ưu không lồi đơn mục
tiêu có vô hạn ràng buộc. Kết quả này được đăng tải trong tạp chí
Journal of Optimization Theory and Applications năm 2009 với bài
báo có tên: “ε-Optimality and ε-Lagrangian Duality for a Nonconvex
Programming Problem with an Infinite Number of Constraints”. Gần
đây, hầu tựa nghiệm xấp xỉ Pareto của bài toán tối ưu không lồi đa
mục tiêu đã được các tác giả T.Q. Sơn và D.S.Kim quan tâm nghiên
cứu. Các điều kiện cần và đủ tối ưu xấp xỉ cho hầu tựa nghiệm Pareto
cũng như các định lý đối ngẫu xấp xỉ cho bài toán đa mục tiêu có vô
hạn ràng buộc đã được giới thiệu trong bài báo “ε-Optimality and εDuality theorems of a Multiobjective Nonconvex Program with infinite
constraints” đăng trong tạp chí Journal of Global Optimzation năm
2013.
Với các nghiên cứu đạt được trong mô tả nêu trên, một loạt các
vấn đề còn có thể tiếp tục nghiên cứu để bổ sung cho bài toán không
lồi có vô hạn ràng buộc nói trên chẳng hạn như: nới lỏng các điều kiện
cài đặt cho bài toán, tìm hiểu về mối liên quan giữa giá trị tối ưu xấp
xỉ của bài toán tối ưu và đối ngẫu, vai trò của hàm Lagrange xấp xỉ,
đặc trưng tập nghiệm thông qua bài toán đối ngẫu. . .

8


1.2

Danh mục một số công trình đã công
bố thuộc lĩnh vực của đề tài

Danh mục các công trình đã công bố thuộc lĩnh vực của đề tài của
chủ nhiệm và những thành viên tham gia nghiên cứu (họ và tên tác

giả, bài báo, ấn phẩm, các yếu tố về xuất bản)
• T.Q. Son and D.S. Kim, ε-Mixed type duality for nonconvex multiobjective programs with an infinite number of constraints, Journal
of Global Optimization (2013), Vol 57, Issue 2, 447-465
• T.Q Son, D.S. Kim and P.N. Nam Duality theorems of a nonconvex program with infinite constraints, Proceedings of the 7th
International Conference on Nonlinear Analysis and Convex Analysis, Yokohama Publishers (2013), 181-196
• T.Q. Son and D.S. Kim, Some new properties of Lagrange function
and its applications, Fixed Point Theory and Applications (2012),
2012:192, DOI: 10.1186/1687-1812-2012-192
• T.V. Thach and T.Q. Son, Almost ε-quasisolutions of a nonconvex programming problem with an infinite number of constraints,
Journal of Science and Technology Development (VNU), 2 (2012),
57-68.
• T.Q. Son, D.S. Kim and N.N. Tam, Weak stability and strong duality of a class of nonconvex programs via augmented Lagrangian,
Journal of Global Optimization, Volume 53, Number 2 (2012),
165-184.
9


• D. S. Kim and T.Q. Son, Characterizations of solution sets of a
class of nonconvex semi-infinite programming problem, Journal of
Nonlinear Analysis and Convex Analysis,12 (2011), 429-440.
• D.S. Kim and T.Q. Son, ε-Optimality conditions for nonconvex
semi-infinite programs involving support functions, Fixed Point
Theory and Applications (2011), 2011:175327, doi:10.1155/2011/175327.
• T.Q. Son, J.J. Strodiot, and V.H. Nguyen, ε-Optimality and εLagrangian duality for a nonconvex programming problem with
an infinite number of constraints, Journal of Optimization Theory
and Applications, 141 (2009) , 389-409.

1.3

Mục tiêu của đề tài

Đề tài hướng đến các mục tiêu sau đây:
• Cải tiến một số điều kiện tối ưu đã công bố trong bài báo số [13]
để nhận được nghiệm xấp xỉ cho một lớp các bài toán không lồi
có vô hạn ràng buộc.
• Từ các kết quả nêu trên áp dụng một lược đồ đối ngẫu hỗn hợp
để thiết lập các định lý dối ngẫu xấp xỉ liên quan bài toán.
• Khảo sát việc xấp xỉ giá trị tối ưu giữa bài toán gốc và các bài
toán đối ngẫu của lớp bài toán nêu trên.

10


1.4

Đối tượng, phạm vi nghiên cứu, cách
tiếp cận, phương pháp nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Tối ưu không lồi
• Phạm vi nghiên cứu: Các điều kiện tối ưu, hàm Lagrange, bài toán
đối ngẫu.
• Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu: Khảo sát lại bài toán
đã được quan tâm trong bài báo số [13]. Trên cơ sở đó phân tích
các kết quả đạt được. Dựa trên nguyên lý xấp xỉ của Eukerland,
tính chất dưới vi phân Clarke, tính chất hàm Lipschitz, tính chất
chính qui xấp xỉ của hàm Lipschitz để cải tiến các kết quả về
nghiệm xấp xỉ của bài toán tối ưu không lồi đơn mục tiêu, kể cả
các kết quả về nghiệm xấp xỉ tìm kiếm từ hướng đối ngẫu. Các
vấn đề này có thể mở rộng kết quả cho tối ưu đa mục tiêu theo
các phương pháp vô hướng hóa.

1.5

Nội dung nghiên cứu

• Chương 1: Các khái niệm cơ bản, giới thiệu bài toán.
• Chương 2: Nghiên cứu về các điều kiện tối ưu dạng xấp xỉ. Cụ thể
cải tiến, mở rộng một số điều kiện tối ưu xấp xỉ cho lớp bài toán
tối ưu không lồi có vô hạn ràng buộc.
• Chương 3: Đề xuất kiểu đối ngẫu dạng hỗn hợp cho lớp bài toán
đang khảo sát. Thiết lập các định lý đối ngẫu xấp xỉ theo một
kiểu hỗn hợp. Từ đó suy ra được các kết quả về đối ngẫu xấp xỉ
11


dạng Mond-Weir và Wolfe. Nghiên cứu đề xuất một kiểu đánh giá
xấp xỉ các giá trị tối ưu của bài toán gốc và bài toán đối ngẫu.

12


Phần II

Nội dung nghiên cứu

13


Chương 1

Bài toán tối ưu không
lồi có vô hạn ràng buộc
1.1

Giới thiệu bài toán

Chúng ta biết rằng một trong những kết quả đầu tiên liên quan
đến nghiệm xấp xỉ của bài toán tối ưu được khảo sát trong bài báo
của P. Loridan [9] năm 1982: “Necessary condition for ε-optimality”.
Sớm hơn một chút có thể kể đến các kết quả trong tài liệu của Laurent
[8] và trong một bài báo của S.S Kutateladze [7].
Kể từ khi các kết quả này được công bố, đã có nhiều công trình
quan tâm đến điều kiện cần và đủ tối ưu xấp xỉ đối với các bài toán
không lồi như [15], [10], [16], [4], [12], [2], [3], [13], [5].
Ngoài khái niệm ε-nghiệm của bài toán tối ưu có tính toán cục
thường thích hợp với bài toán lồi, các khái niệm như ε-nghiệm, hầu
tựa ε-nghiệm lại có tính địa phương và phù hợp với các bài toán không
lồi.
Gần đây, trong bài báo [13], một số kết quả về điều kiện tối ưu xấp
xỉ và các định lý về đối ngẫu xấp xỉ của bài toán tối ưu dạng không

14


lồi có vô hạn ràng buộc đã được thiết lập không có điều kiện chính
qui. Qua khảo sát lại bài báo này, các điều kiện cho các kết quả này
còn có thể nới lỏng.
Trước hết chúng ta nhắc lại bài toán không lồi có vô hạn ràng buộc
sau đây.
(P) Minimize f (x)

s.t
ft (x) ≤ 0, t ∈ T,
x ∈ C,
ở đây f, ft : X → R, t ∈ T là các hàm Lipschitz địa phương trên
không gian Banach X, T là tập các chỉ số có thể vô hạn, C là tập con
lồi đóng trong X.
Bài toán trên với các giả thiết hàm mục tiêu và hàm ràng buộc là
các hàm lồi đã được khảo sát năm 2006 trong bài báo [20] và năm 2007
được nghiên cứu sâu hơn trong bài báo [21]. Năm 2009, bài toán trên
được khảo sát với các hàm lồi suy rộng và quan tâm đến nghiệm tối
ưu xấp xỉ [13]. Năm 2011, bài toán trên với giả thiết hàm mục tiêu và
hàm ràng buộc là các hàm lồi suy rộng lại được quan tâm để xác lập
các điều kiện đặc trưng tập nghiệm [6] và các kết quả về nghiệm chính
xác đã được khảo sát trong bài báo nêu trên. Các kết quả về nghiệm
xấp xỉ được quan tâm khảo sát trong bài báo [13]. Để giới thiệu các
kết quả mới, chúng ta xem lại bài toán được xét trong bài báo [13].
Cần chú ý rằng trong bài báo này, các điều kiện tối ưu xấp xỉ được
thiết lập dựa trên điều kiện Karush-Kuhn-Tucker suy rộng chính xác
đến ε và các tính chất chính qui hay tính ε-nửa lồi được áp dụng cho
các hàm Lipschitz có trong bài toán. Các kết quả về đối ngẫu theo
kiểu Wolfe cũng được giới thiệu.
Trong đề tài này chúng tôi thực hiện các nội dung sau:
15


- Khảo sát lại bài toán và phân tích các kết quả đạt được về nghiệm
xấp xỉ, để từ đó giới thiệu các kết quả mới về điều kiện tối ưu tối ưu
xấp xỉ với các điều kiện nới lỏng.
- Các kết quả về đối ngẫu dạng xấp xỉ cũng được cải tiến thông
qua kiểu đối ngẫu dạng hỗn hợp được giới thiệu trong bài báo [14].

1.2

Các kiến thức chuẩn bị

Để thiết lập các kết quả, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức và
khái niệm cơ bản như sau: Trong toàn bộ đề tài này, X là không gian
Banach, T là không gian topo compact, C là tập lồi đóng trong X,
hàm f : X → R là Lipshitz địa phương trên X. Chúng ta cũng giả sử
rằng ft : X → R, t ∈ T, là các hàm Lipshitz địa phương theo x và đều
với theo t. Tức là với mỗi x ∈ X, luôn tồn tại lân cận U của x và hằng
số K sao cho |ft (z) − ft (z )| ≤ K z − z

∀ z, z ∈ U and ∀ t ∈ T.

Cho g : X → R là hàm Lipschitz địa phương. Đạo hàm theo hướng
của g tại z ∈ X theo hướng d ∈ X được ký hiệu và định nghĩa bởi
g (z; d) := lim+
t→0

g(z + td) − g(z)
t

nếu giới hạn ở vế phải của công thức nêu trên tồn tại.
Đạo hàm Clarke tại z theo hướng d được ký hiệu và định nghĩa
bởi:
g c (z; d) := lim sup
x→z
t→0+

g(x + td) − g(x)
t

Dưới vi phân Clarke tại z được ký hiệu và định nghĩa bởi:
∂ c g(z) := {v ∈ X ∗ | v(d) ≤ g c (z; d), ∀d ∈ X} ,
ở đây X ∗ là đối ngẫu của X.
16


Hàm Lipshitz địa phương g được gọi là tựa khả vi (hay chính qui
theo nghĩa của Clarke) tại z ∈ X nếu đạo hàm g (z; d) tồn tại và
g c (z; d) = g (z; d), ∀d ∈ X.
Với tập con D đóng trong X, nón tiếp xúc của D tại x được ký hiệu
và định nghĩa bởi
TD (x) = {v ∈ X | d◦D (x; v) = 0},
ở đây dD ký hiệu hàm khoảng cách tương ứng với D. Nón chuẩn của
D tại x được định nghĩa bởi
ND (x) = {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , v ≤ 0, ∀v ∈ TD (x)}.
Nêu D là tập lồi thì nón chuẩn của D tại x trùng với nón chuẩn theo
nghĩa giải tích lồi như sau
ND (x) = {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , y − x ≤ 0, ∀y ∈ D}.
Chúng ta nhắc lại một định nghĩa trong [13].
Định nghĩa 1.2.1. [13] Cho C là tập con của X và cho sô thực α ≥ 0.
Hàm Lipschitz địa phương g : X → R được gọi là α-nửa lồi tại z ∈ C
nêu g là chính qui z, đồng thời điều kiện sau đây được thỏa mãn:
g (z; x − z) +

√

α x − z ≥ 0 =⇒ g(x) +

√

α x − z ≥ g(z), ∀x ∈ C.
(1.1)

Hàm g được gọi là α-nửa lồi trên C nếu g là α-nửa lồi tại mỗi z ∈ C.
Với α = 0, chúng ta nhận được khái niệm nửa lồi, được giới thiệu
trong tài liêu [11].
17


Bổ đề 1.2.1. [11] Nếu g : X → R là hàm nửa lồi trên tập lồi C ⊂ X,
z ∈ C, z + d ∈ C thì g(z + d) ≤ g(z) kéo theo g (z; d) ≤ 0.
Định nghĩa 1.2.2. [9] Cho ε ≥ 0. Hàm Lipschitz địa phương g : X →
R được gọi là ε-chính qui tại z ∈ X nếu
0 ≤ g c (z; d) − g (z; d) ≤

√

ε d , ∀d ∈ X.

Trong nghiên cứu này, chúng tôi sử dụng một không gian tuyến
tính các dãy hữu hạn suy rộng sau đây:
R(T ) := {(λt )t∈T | λt = 0 với mọi t ∈ T nhưng nhiều lắm là có hữu hạn λt = 0}.
Với λ = (λt ) ∈ R(T ) , tập tựa tương ứng với λ là tập
T (λ) := {t ∈ T | λt = 0}.
Rõ ràng rằng tập này là một tập con hữu hạn của T . Chúng ta cũng
(T )

định nghĩa R+ là nón không âm của R(T ) , tức là
(T )

R+ := {λ = (λt ) ∈ R(T ) | λt ≥ 0, t ∈ T }.
(T )

Hoàn toàn có thể chứng minh được R+ là nón lồi.
Với mỗi λ ∈ R(T ) , ta định nghĩa
λ

1

|λt | =

:=
t∈T

|λt |.
t∈T (λ)

Với α ∈ R và λ, µ ∈ R(T ) , λ = (λt )t∈T , µ = (µt )t∈T , ta xác định
phép toán
λ + µ := (λt + µt )t∈T ,
α.λ
:= (αλt )t∈T .
18


Với λ ∈ R(T ) và {zt }t∈T ⊂ Z, Z là không gian tuyến tính thực, ta định
nghĩa

λt zt :=
t∈T

t∈T (λ) λt zt

0

T (λ) = ∅,
T (λ) = ∅.

nếu
nếu

Với λ ∈ R(T ) , ft , t ∈ T, and {Yt }t∈T , là một họ các tập hợp khác
rỗng của X, ta xác định
λt ft =
t∈T

t∈T (λ) λt ft

nếu
nếu

T (λ) = ∅,
T (λ) = ∅,

t∈T (λ) λt Yt

nếu
nếu

T (λ) = ∅,
T (λ) = ∅.

0

và
λt Yt =
t∈T

0

Ký hiệu A là tập chấp nhận được của (P):
A := {x ∈ C | ft (x) ≤ 0, ∀t ∈ T }.
Định nghĩa 1.2.3. Điểm z ∈ A được gọi là ε-nghiệm của (P) nếu
f (z) ≤ f (x) + ε, ∀x ∈ A.
Ngoài định nghĩa nghiệm xấp xỉ nói trên, người ta còn quan tâm
thêm một số khái niệm nghiệm xấp xỉ khác bằng cách kết hợp thêm
việc nới rộng tập nhận được như sau:
Đối với bài toán (P) nêu trên, tập ε-chấp nhận được của (P) được
định nghĩa bởi:
Aε := {x ∈ C | ft (x) ≤

√

ε, ∀t ∈ T }.

Định nghĩa 1.2.4. Cho ε ≥ 0. Điểm zε ∈ X được gọi là
19

(i) một hầu ε-nghiệm của (P) nếu
zε ∈ Aε và f (zε ) ≤ f (x) + ε, ∀x ∈ A;
(ii)một hầu tựa ε-nghiệm của (P) nếu
zε ∈ Aε và f (zε ) ≤ f (x) +

√

ε x − zε , ∀x ∈ A;

(iii) một hầu ε-nghiệm chính qui của (P) nếu zε là một hầu εnghiệm và là một hầu tựa ε-nghiệm của (P).
Khi zε ∈ A, ta nhận được định nghĩa ε-nghiệm, tựa ε-nghiệm, và
ε-nghiệm chính qui của (P) tương ứng.
Trong định nghĩa nêu trên, nếu hầu ε-nghiệm của (P) có tính toàn
cục thì hầu tựa ε-nghiệm của (P) lại có tính địa phương. Loại nghiệm
này phù hợp với các bài toán không lồi.

20


Chương 2

Điều kiện tối ưu xấp xỉ
2.1

Điểm lại một số kết quả đã biết

Để đưa ra các nhận định về kết quả trong bài báo [13], chúng ta
nhắc lại một số định lý sau đây. Trước hết, ta lưu ý rằng các điều kiện
sau đây sẽ được sử dụng:

(A)

(a1) X là tách được, hay
(a2) T meetric hóa đươc và dưới vi phân Clarke ∂ c ft (x) là nửa
liên tục trên (w∗ ) in t với mỗi x ∈ X.

(B)

∃d ∈ TC (z), ftc (z; d) < 0, ∀t ∈ I(z), ở đây z ∈ A, I(z) = {t ∈

T | ft (z) = 0}.
Định lý 2.1.1. [13] Cho ε ≥ 0 và z là một tựa ε-nghiệm của (P). Nếu
các điều kiện (A) và (B) được thỏa mãn và bao lồi của {∪∂ c ft (z), t ∈
(T )

I(z)} là đóng yếu∗ thì tồn tại λ ∈ R+ sao cho
√
λt ∂ c ft (z)+NC (z)+ εB ∗ , ft (z) = 0, ∀t ∈ T (λ), (2.1)

0 ∈ ∂ c f (z)+
t∈T

ở đây B ∗ là quả cầu đơn vị đóng trong X ∗ .
Nhận xét: Khi ε = 0, ta thu được một định lý về điều kiện cần
về nghiệm tối ưu cho bài toán nói trên.
21


Khi X là không gian hữu hạn chiều, thì tập {∪∂ c ft (z), t ∈ I(z)}
là tập đóng. Khi đó nếu điều kiện (B) thỏa mãn thì sẽ kéo theo rằng:

(T )

Nếu z là một nghiệm của (P), sẽ tồn tại λ ∈ R+ sao cho
0 ∈ ∂ c f (z) +

λt ∂ c ft (z) + NC (z), ft (z) = 0, ∀t ∈ T (λ).

(2.2)

t∈T

Cặp (z, λ) thỏa điều kiện (2.1) được gọi là cặp Karush-KuhnTucker (KKT) chính xác đến ε. Từ định lý nêu trên, điều kiện KKT
suy rộng chính xác đến ε đã được đề nghị như sau:
(T )

Định nghĩa 2.1.1. [13] Cho ε ≥ 0. Cặp (zε , λ) ∈ Aε × R+ được gọi
là thỏa mãn điều kiện KKT suy rộng chính xác đến ε ứng với bài toán
(P) nếu

0 ∈ ∂ c f (zε ) +

λt ∂ c ft (zε ) + N (C, zε ) +

√

εB ∗

t∈T (λ)

f (z ) ≥ 0, ∀t ∈ T (λ.

t ε
Khi đó ta nói cặp (zε , λ) nói trên được gọi là cặp KKT suy rộng chính
xác đến ε. Cặp nói trên gọi là chặt nếu ft (zε ) > 0 với mọi t ∈ T (λ),
điều này tương đương với sự kiện là λt = 0 nếu ft (zε ) ≤ 0.
Điều kiện đủ để nhận được cặp KKT suy rộng chính xác đến ε đã
được thiết lập như sau:
Định lý 2.1.2. [13] Cho ε > 0 và điều kiện (A) được thảo mãn. Với
mỗi x ∈ Aε , giả thiết thêm bao đóng mạnh của tập co{∪∂ c ft (x), t ∈
I(x)} là đóng yếu∗ . Khi đó tồn tại một hầu ε-nghiệm chính qui z của
(T )

bài toán (P) và λ ∈ R+ sao cho (z, λ) là một cặp KKT suy rộng chặt
chính xác tới ε.
22


Điều kiện về cặp KKT suy rộng như thế đã được dùng trong bài
báo [13] để khảo sát các nghiệm xấp xỉ của (P). Tiếp sau đây, chúng
ta nhắc lại một điều kiện đủ để nhận được hầu tựa ε-nghiệm của (P).
Tiếp sau đây, bằng cách cải tiến giả thiết thiết lập trên các hàm
số có trong bài toán, chúng tôi mở rộng kết quả như sau.

2.2

Một số kết quả về điều kiện tối ưu
xấp xỉ có cải tiến
(T )

Định lý 2.2.1. Với bài toán (P), cho ε ≥ 0 và cho (zε , λ) ∈ Aε × R+

là cặp KKT suy rộng chính xác đến ε. Giả sử rằng hàm f là ε-chính
qui tại zε và các hàm ft , t ∈ T , là nửa lồi trên C. Nếu điều kiện (1.1)
của Định nghĩa 1.2.1 được thỏa mãn cho f tại z = zε với α ≥ 4ε thì
√
f (zε ) ≤ f (x) + 2 ε x − zε
với mọi x ∈ C sao cho
ft (x) ≤ ft (zε ) với mọi t ∈ T (λ).
Đặc biệt zε là một hầu tựa 4ε-nghiệm cho (P).
(T )

Chứng minh. Cho trước ε ≥ 0. Giả sử rằng (zε , λ) ∈ Aε × R+ là cặp
KKT suy rộng chính xác đến ε. Nếu T (λ) = ∅, ta nhận được u ∈
∂ c f (zε ), ut ∈ ∂ c ft (zε ), ∀t ∈ T (λ), w ∈ N (C, zε ), v ∈ B ∗ and ft (zε ) ≥ 0
với mọi t ∈ T (λ) sao cho
√
λt ut (x − zε )+ ε x − zε = −w(x − z) ≥ 0, ∀x ∈ C,

u(x − zε ) +
t∈T (λ)

(2.3)
Chú ý rằng các hàm ft , t ∈ T , là nửa lồi tại zε . Nếu ft (x) ≤ ft (zε ) với
mọi t ∈ T (λ) thì
ut (x − zε ) ≤ ftc (zε ; x − zε ) = ft (zε ; x − zε ) ≤ 0, ∀t ∈ T (λ), ∀x ∈ C.
23


Khi đó, từ (2.3), ta nhận được u(x − zε ) +

√

ε x − zε ≥ 0 với mọi

x ∈ C. Vì u ∈ ∂ c f (zε ) và f là ε-chính qui tại zε , nên f c (zε ; x − zε ) ≤
√
f (zε ; x − zε ) + ε x − zε . Ta nhận được
√
f (zε ; x − zε ) + 4ε x − zε ≥ 0, ∀x ∈ C.
Vì điều kiện (1.1) của Định nghĩa 1.2.1 thỏa cho f tại z = zε với
α ≥ 4ε, từ bất đẳng thức trên, ta suy ra được kết quả. Với T (λ) = ∅,
ta được
u(x − zε ) +

√

ε x − zε = −w(x − z) ≥ 0, ∀x ∈ C.

Kết luận được suy ra dễ dàng.
(T )

Hệ quả 2.2.1. Với bài toán (P), cho ε ≥ 0 và cho (zε , λ) ∈ Aε × R+

là cặp KKT suy rộng chính xác đến ε. Nếu ft , t ∈ T , là các hàm nửa
lồi tại zε và f là ε-nửa lồi tại zε thì
√
f (zε ) ≤ f (x) + ε x − zε
với mọi x ∈ C sao cho
ft (x) ≤ ft (zε ) với mọi t ∈ T (λ).
Đặc biệt, zε là một hầu tựa ε-nghiệm của (P).
Chứng minh. Sử dụng lập luận như chứng minh của định lý trên và

chú ý rằng hàm f là chính qui và với α = , ta có thể dễ dàng suy ra
được kết quả.
Nhận xét: Vì hàm lồi cũng là hàm nửa lồi (xem [9], [13]), chúng
ta có thể thấy rằng Định lý 2.1.2 là một hệ quả của hệ quả nêu trên.

Một kết quả sau đây liên quan đến hàm Lagrange của bài toán
(P). Ta nhắc lại cấu trúc của hàm Lagrange:
(T )

λt ft (y), for all (y, λ) ∈ X × R+ .

L(y, λ) = f (y) +
t∈T

24