Phương pháp giải các dạng vecto hình học

Phơng pháp giải các dạng toán liên quan

Đ1. Vectơ
Dạng toán 1:

Mở đầu về vectơ

Thí dụ 1. Cho OAB vuông cân với OA = OB = a. Hãy dựng các vectơ sau đây
và tính độ dài của chúng:
uuur
OA

+

21 uuur
4 OA



uuur
OB

,

+ 2.5

uuur
OA

uuur
OB

,

uuur
OB

,

14 uuur
4 OA

3

uuur
OA



+4

3 uuur
7 OB

uuur
OB

.

Giải

a. Với C là đỉnh thứ t của hình vuông OACD, ta có ngay:
O
uuur
uuur
uuur
OA
OB
OC
+
=
, theo quy tắc hình bình hành.
Từ đó, suy ra:
uuur
uuur
uuur
OA
OB
OC
a 2
B

+
=
= OC =
.
b. Ta có ngay:
uuur
uuur
uuur
OA

OB
BA

=
, quy tắc hiệu hai vectơ cùngOgốc A
uuur
uuur
uuur
OA
OB
a 2
BA


=
= BA =
.
B
uuur
uuur
OA
OB
c. Để dựng vectơ 3
+4
ta lần lợt thực hiện:
Trên tia OA lấy điểm A1 sao cho OA1 = 3OA.
Trên tia OB lấy điểm B1 sao cho OB1 = 4OB.
B1
Dựng hình chữ nhật OA1C1B1.
Từ đó, ta có:

uuuur
uuuu
r
uuuur
uuur
uuur
OA1
OB1
OC1
OA
OB
3
+4
=
+
=
uuuur
uuur
uuur
OA12 + C1A12
OC1
OA
OB
3
+4
=
= OC1 =
= 5a.
d. Thực hiện tơng tự câu c), ta dựng đợc vectơ
a 541

21 uuur
uuur
OB
4 OA
4

+ 2.5
=
.
e. Thực hiện tơng tự câu c), ta dựng đợc vectơ

21 uuur
4 OA

14 uuur
4 OA

+ 2.5



A

C
A1

C1

uuur
OB

3 uuur
7 OB

và

và

1




14 uuur
4 OA



3 uuur
7 OB

=

a 6073
28

.

Thí dụ 2. Cho ABC đều có cạnh bằng a. Tính độ dài vectơ tổng

uuur
AB

+

uuur
AC

.



Giải
Gọi M là trung điểm BC, lấy điểm A 1 đối xứng với A qua M,
A1
B
ta có ngay ABA1C là hình bình hành, suy ra:
uuuur
uuur
uuur
AA1
AC
AB
M
+
=



uuur

AB

+

uuur
AC

=

uuuur
AA1

= 2AM = 2.

a 3
2

A
=

a 3

C
.


Chú ý: Với các em học sinh cha nắm vững kiến thức về tổng của hai vectơ thì
thờng kết luận ngay rằng:

uuur
AB

+

uuur
AC

=

uuur
AB

+

uuur
AC

= a + a = 2a.

Dạng toán 2:
Chứng minh một đẳng thức vectơ
Phơng pháp áp dụng
Ta lựa chọn một trong các hớng biến đổi sau:
Hớng 1:
Biến đổi một vế thành vế còn lại (VT VP hoặc VP VT). Khi đó:
Nếu xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực hiện việc đơn giản biểu
thức.
Nếu xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực hiện việc phân tích
vectơ.

Hớng 2:
Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là
luôn đúng.
Hớng 3:
Biến đổi một đẳng thức vectơ đã biết là luôn đúng thành đẳng
thức cần chứng minh.
Hớng 4:
Tạo dựng các hình phụ.
Khi thực hiện các phép biến đổi ta sử dụng:
Quy tắc ba điểm:
uuur
AB





uuur
AC

uuu
r
CB

=
+
.
Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD luôn có:
uuur
uuur

uuur
AC
AB
AD
=
+
.
Hiệu hai vectơ cùng gốc
uuur
uuu
r
uuur
CB
AB AC

=
.

2




Tính chất trung điểm: Với điểm M tuỳ ý và I là trung điểm của AB luôn có:
uuu
r
MI

1
uuuu

r
2 MA

uuur
MB

= (
+
).
Tính chất trọng tâm tam giác: Với ABC có trọng tâm G ta có:
uuur
uuur
uuur
r
GA
GB
GC
0
+
+
= .
uuuu
r
uuuu
r
uuuu
r
uuur
MC
MG

MA
MB
+
+
=3
, với M tuỳ ý.
Các tính chất của phép cộng, trừ vectơ và phép nhân một số với một vectơ.
uuur
uuur
uuur
CD
BC
AB
Thí dụ 1.
Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng
+
+

=

uuur
AD

.



Giải
Ta có thể trình bày theo ba cách sau:
Cách 1: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:

uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
BC
CD
AC
CD
AB
AD
VT = (
+
)+
=
+
=
, đpcm.
Cách 2: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
BC
CD
AB
AB

BD
AD
VT =
+(
+
)=
+
=
, đpcm.
Cách 3: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
AC
CD
BC
CD
AD
AB
=
+
=
+
+
, đpcm.
Cách 4: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:
uuur

uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
BC
CD
AD
AB
BD
AB
=
+
=
+
+
, đpcm.


Nhận xét: Việc trình bày thí dụ trên theo bốn cách chỉ mang tính chất minh
hoạ cho những ý tởng sau:
1. Với cách 1 và cách 2, chúng ta gom hai vectơ có "điểm cuối của
vectơ thứ nhất trùng với điểm đầu của vectơ thứ hai" từ đó sử
dụng chiều thuận của quy tắc ba điểm.
2. Với cách 3 và cách 4, chúng ta sử dụng chiều ngợc lại của quy tắc ba
điểm, cụ thể "với một vectơ

uuur
AB

bất kì chúng ta đều có thể xen

thêm vào giữa một điểm tuỳ ý để từ đó phân tích đợc vectơ
thành tổng của hai vectơ".

uuur
AB

3


Thí dụ 2.

Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng

uuu
r
CB

uuur
AB

+

uuur
CD

=

uuur

AD

+
.
Giải
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta có:
uuur
uuur
uuu
r
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
CD
CD
CB
AD
DB
AD
DB
AD
VT = (
+
)+
=
+
+

=
+
= VP.
Cách 2: Ta có:
uuur
uuu
r
uuur
uuur
uuur
uuu
r
uuu
r
uuur
AC
CB
CD
AC
CD
CB
CB
AD
VT = (
+
)+
=
+
+
=

+
= VP.
Cách 3: Biến đổi tơng đơng biểu thức về dạng:
uuur uuur
uuu
r
uuur
uuur
uuur
CB
CD DB = DB
AB
AD

=

, đúng Điều phải chứng minh.
Cách 4: Biến đổi tơng đơng đẳng thức về dạng:
r
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuu
uuur uuur
uuur
uuur
BC
DC
AC

AC
AB CB
AD CD
AB
AD

=


+
=
+

=
, luôn đúng.


Nhận xét: 1.

Để thực hiện chứng minh đẳng thức vectơ đã cho chúng ta lựa
chọn hớng biến đổi VT thành VP và hai cách giải trên đều có
chung một ý tởng, cụ thể bằng việc lựa chọn vectơ xuất phát là
AB

ta có:
Trong cách 1, ta ý thức đợc rằng cần tạo ra sự xuất hiện của
AD

vectơ
do đó ta xen vào điểm D.

Trong cách 2, ta ý thức đợc rằng cần tạo ra sự xuất hiện của
CB

vectơ
do đó ta xen vào điểm C.
2. Từ nhận xét trên hẳn các em học sinh thấy đợc thêm rằng còn có
4 cách khác để giải bài toán, cụ thể:
Hai cách với việc lựa chọn vectơ xuất phát là
Hai cách theo hớng biến đổi VP thành VT.

CD

.

Thí dụ 3. Cho M và N lần lợt là trung điểm các đoạn thẳng AB và CD. Chứng
minh rằng:
2



uuuu
r
MN

=

uuur
AC

+

uuur
BD

=

uuur
AD

Giải
a. Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta có phân tích:
uuur
uuuu
r
uuur
uuuu
r
AC
MN
NC
AM
=
+
+
,
(1)

+

uuur
BC

. A

D

M

N

B

C

4


uuur
BD

=

uuuu
r
BM

+

uuuu

r
MN

+

uuur
ND

.

(2)

uuuu
r
AM

r
0

uuuu
r
BM

uuur
NC

uuur
ND

r

0

Cộng theo vế (1) và (2) với lu ý
+
= và
+
= (vì M và N lần lợt
là trung điểm các đoạn thẳng AB và CD), ta đợc:
uuur
uuuu
r
uuur
AC
MN
BD
+
=2
, đpcm.
(*)
Cách 2: Ta có phân tích:
uuuu
r uuuu
r uuur uuur
MN = MA + AC + CN
,
(3)
uuuu
r uuur uuur uuur
MN = MB + BD + DN
,

(4)
uuuu
r uuur r
uuur uuur r
MA + MB = 0
NC + ND = 0
Cộng theo vế (3) và (4) với lu ý
và
(vì M và N lần lợt là
trung điểm các đoạn thẳng AB và CD), ta đợc:
uuuu
r
uuur
uuur
MN
AC
BD
2
=
+
, đpcm.
b. Ta có:
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur

AC
DC
BC
CD
BC
BD
AD
AD
+
=
+
+
+
=
+
, đpcm.
(**)
Từ (*) và (**) ta đợc đẳng thức cần chứng minh.

Thí dụ 4. Cho O là tâm của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với
điểm M bất kì, ta có:
uuuu
r
MO



Giải
Ta có:
uuuu

r
MA

+

uuur
MB

=

+
uuuu
r
MO

=

uuuu
r
MC

+
uuur
OA

1
uuuu
r
4 MA

(

+

uuur
MB

+

uuuu
r
MC

+

uuuu
r
MD

).

uuuu
r
MD

uuuu
r
MO

uuur

OB

uuuu
r
MO

uuur
OC

uuuu
r
MO

+
+
+
+
+
+
uuuu
r
uuur
uuur
uuur
uuur
uuuu
r
MO
OA
OC

OB
OD
MO
=4
+(
+
)+(
+
)=4


1
uuuu
r
4 MA

(

+

uuur
MB

+

uuuu
r
MC

+

uuuu
r
MD

)=

uuuu
r
MO

+

uuur
OD

, đpcm.


Chú ý: Các em học sinh hãy trình bày thêm cách biến đổi VT thành VP.
Thí dụ 5. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng
minh rằng:
uuuu
r
AM

+

uuur
BN

+

uuu
r
CP

=

r
0

.

5




Giải
Sử dụng quy tắc trung điểm ta biến đổi:

VT =

=

1 uuur uuur
2 (AB + AC)

+

1 uuur uuur
2 (BA + BC)

1 uuur uuu
r
(CA
+
CB)
2

+

1 uuur uuur uuur uuur uuu
r uuu
r
2 (AB + BA + AC + CA + BC + CB)

, đpcm.

Thí dụ 6. Cho A1B1C1 và A2B2C2 lần lợt có trọng tâm là G1, G2. Chứng minh rằng:
uuuuur
A1A 2



+

uuuuu
r

B1B2

+

uuuuu
r
C1C 2

=3

uuuuur
G 1G 2

.

Giải
Với G1, G2 là trong tâm các A1B1C1 và A2B2C2, ta có:
uuuuur
uuuuu
r
uuuuu
r
r
G1A1
G1B1
G1C1
0
+
+
= .

(1)
uuuuuu
r
uuuuur
uuuuur
r
G 2A2
G 2 B2
G 2C2
0
+
+
= .
(2)
Mặt khác, ta có:
uuuuur
uuuuur
uuuuur
uuuuuu
r
A1A 2
A1G1
G1G 2
G 2A2
=
+
+
.
(3)
uuuuu

r
uuuuu
r
uuuuur
uuuuur
B1B2
B1G1
G1G 2
G 2 B2
=
+
+
.
(4)
uuuuu
r
uuuuu
r
uuuuur
uuuuur
C1C 2
C1G1
G 1G 2
G 2 C2
=
+
+
.
(5)
Cộng theo vế (3), (4), (5) và sử dụng các kết quả trong (1) và (2), ta đợc:

uuuuur
uuuuu
r
uuuuu
r
uuuuur
A1A 2
B1B2
C1C 2
G1G 2
+
+
=3
, đpcm.

Thí dụ 7. Cho ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh
AC, sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm của MN.
a. Chứng minh rằng



uuur
AK

=

1
uuur
4 AB

+

1 uuur
6 AC

.

b. Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng

Giải
a. Từ giả thiết ta nhận thấy:
AB = 2AM
uuuu
r
uuur
uuur
uuuu
r
AB AM
AB
AM

=2
;

AC = 3AN
uuur
uuur
AC AN

KD

uuur
AC

=

=3

1
uuur
4 AB

uuur
AN

+

1 uuur
3 AC

.

.

6

Vì K là trung điểm MN nên:
uuur
AK

1
uuuu
r
2 AM

uuur
AN

uuur
AD

1
uuur
2 AB

uuur
AC

1 1
uuur
2 2 AB

= (
+
)= (
b. Vì D là trung điểm BC nên:

= (
từ đó, suy ra:
KD

=

uuur
AD



uuur
AK

+

+

)=

1
uuur
4 AB

+

1 uuur
6 AC

, đpcm.

)

1
uuur
2 AB

=

1 uuur
3 AC

(

+

uuur
AC

)(

1
uuur
4 AB

+

1 uuur
6 AC

)=

1
uuur
4 AB

+

1 uuur
3 AC

, đpcm.

Dạng toán 3:
Xác định điểm M thoả một đẳng thức vectơ cho trớc
Phơng pháp áp dụng
Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho trớc về dạng:
uuuu
r
OM

=

r
v

,

trong đó điểm O cố định và vectơ

r
v

đã biết.

Thí dụ 1. Cho ABC đều nội tiếp đờng tròn tâm O.
uuur uuur uuur r
OA + OB + OC = 0

a. Chứng minh rằng
.
b. Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho:
uuuu
r
uuur uuur uuur
uuur uuur uuu
r
uuur uuur
OM
OA + OB ON
OB + OC OP
OC + OA
=
;
=
;
=
.

Giải

a. Vì ABC đều nên O chính là trọng tâm ABC, do đó ta có ngay:
uuur uuur uuur r
A
OA + OB + OC = 0

M

.

b. Gọi A1, B1, C1 theo thứ tự là trung điểm của BC, AC,C1AB.
O
Dựng hình bình hành AOBM bằng việc lấy điểm
M đối
uuuu
r
uuur uuur B
C
OM
OA + OB
xứng với O qua C1, ta có đợc
=
.
Các điểm N, P đợc xác định tơng tự.

Thí dụ 2. Cho ABC. Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện:
uuuu
r

MA





uuur
MB

+

uuuu
r
MC

=

r
0

.

(*)

Giải
M đổi (*) về dạng:
Biến

A

B

C
7


uuur
BA

Từ




uuuu
r
MC

uuuu
r
MC

r
0

uuur
AB

+
=

=
ABCM là hình bình hành.
đó, để xác định điểm M ta thực hiện:
Kẻ Ax // BC.
Kẻ Cy // AB.
Giao của Ax và Cy chính là điểm M cần tìm.

Thí dụ 3. Cho ABC đều, nội tiếp đờng tròn tâm O.
a. Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho:
uuuu
r
OM

P

=

uuur
OA

+

uuur uuur
OB ON

M b. Chứng minh rằng

,

uuur

OA

=
+

uuur
OB

uuur
OB

+
+

uuur uuu
r
OC OP

uuur
OC

,

=

r
0

=

uuur
OC

+

uuur
OA

.

A

.



Giải
a. Dựa theo quy tắc hình bình hành, ta lần lợt có:
O
Với điểm M thoả mãn:
C
B
uuuu
r
uuur
uuur
N
OM
OA
OB

=
+
M là đỉnh thứ t của hình bình hành AOBM
CM là đờng kính của (O), vì ABC đều.
Với điểm N thoả mãn:
uuur
uuur
uuur
ON
OB
OC
=
+
N là đỉnh thứ t của hình bình hành BOCN
AN là đờng kính của (O), vì ABC đều.
Với điểm P thoả mãn:
uuu
r
uuur
uuur
OP
OC
OA
=
+
P là đỉnh thứ t của hình bình hành AOCP
BP là đờng kính của (O), vì ABC đều.
Vậy, các điểm M, N, P nằm trên đờng tròn (O) sao cho CM, AN, BP là các đờng
kính của đờng tròn (O).
uuur

uuuu
r
OC
MO
b. Dựa vào kết quả câu a) và
=
, ta có ngay:
uuur
uuur
uuur
uuuu
r
uuuu
r
uuuu
r
uuuu
r
r
uuuur
OA
OB
OC
OM
MO
MO
OM
0
MM
+

+
=
+
=
+
=
= .

Thí dụ 4. Cho ABC.
a. Tìm điểm I sao cho
b. Tìm điểm K sao cho

uur
IA

+2

uuur
KA

uur
IB

+2

=

uuur
KB

r
0

.

=

uuu
r
CB

.

8


c. Tìm điểm M sao cho

uuuu
r
MA

+

uuur
MB

+2

uuuu

r
MC

=

r
0

.



Giải
a. Ta biến đổi:
uur uuur
r
uur
uur
uuur
(IA + AB)
0
IA
IA
AB
=
+2
=3
+2
uur
IA

b. Ta biến
r
0
=

2 uuur
AB
3

=
, suy ra điểm I đợc hoàn toàn xác định.
đổi:
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
BC
KC
KA
KB
KB
KA
KB
+
+(

+
)=
+
+

K là trọng tâm ABC.
c. Gọi E, F, N là trung điểm AB, BC, EF, ta có:
uuuu
r
uuuu
r
uuuu
r
r
uuuu
r
uuur
uuur
uuur
0
MC
MC
MN
MA
MB
ME
MF
=(
+
)+(

+
)=2
+2
=4
M N.

Thí dụ 5. Cho trớc hai điểm A, B và hai số thực , thoả mãn + 0.
a. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn
b. Từ đó, suy
ra với
điểm bất kỳ
M, ta luôn có:
uuuu
r
uuur
uuu
r





MA

+

MB

= ( + )

MI

uur
IA

+

uur
IB

=

r
0

.

.

Giải
a. Ta có:
r
r
r
uur
uur
uur
uur
uuur
uur

uuur
0
0
0
IA
IB
IA
IA
AB
IA
AB

+ =
+ (
+
) = ( + )
+
=

uur
uuur
uur
uuur
+ AB
AI
AB AI
( + )
=

=

.

uuur
+ AB
Vì A, B cố định nên vectơ
không đổi, do đó tồn tại duy nhất điểm I
thoả mãn điều kiện đầu bài.
b. Ta có:
uuuu
r
uuur
uuu
r
uur
uuu
r
uur
uuu
r
uur
uur
MA
MB
MI
IA
MI
IB
MI
IA
IB

+
= (
+
) + (
+ ) = ( + )
+ (
+ )
uuu
r
MI
= ( + ) , đpcm.


Nhận xét quan trọng:
1. Nếu = = 1 thì điểm I chính là trung điểm của AB.

9


2. Bài toán trên đợc mở rộng tự nhiên cho ba điểm A, B, C và bộ ba số thực , ,
cho trớc thoả mãn + + 0, tức là:
a. Tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn:
uur
r
uur
uur
IC
0
IA

IB

+
+
= .
b. Từ đó suy ra với điểm bất kỳ M, ta luôn có
uur
uuuu
r
uuur
uuu
r
IC
MA
MB
MI

+
+
= ( + + ) .
và khi = = = 1 thì I là trọng tâm ABC.
n

1, n

3. Việc mở rộng cho n điểm Ai, i =
và bộ n số thực i, i =
dành cho bạn đọc.
4. Kết quả trên đợc sử dụng để giải bài toán:

1, n


thoả mãn

i =1

i

0, xin

n

1, n

Cho n điểm Ai, i =
và bộ n số thực i,
và điểm cố định I sao cho đẳng thức vectơ
n
uuuuu
r
uuu
r
i MAi

1, n


thoả mãn

i =1

i

0. Tìm số thực k

MI

i =1

=k ,
(1)
thoả mãn với mọi điểm M.
Phơng pháp giải
Vì (1) thoả mãn với mọi điểm M, do đó đúng với M I, khi đó:
n
uuur
i IA i
r
ur

0
i =1
II
=k = .
(2)
Xác định đợc điểm I từ (2).
Từ (2), suy ra
n
n

uuuuu
r

MA
i i i uuur
i =1

MI

i =1

=
Từ (1) và (3), suy ra:

.

n

i uuu
r

i =1
MI

(3)
n

=k

uuu

r
MI


k=

i =1

i

.

Thí dụ 6. Cho tứ giác ABCD, M là điểm tuỳ ý. Trong mỗi trờng hợp hãy tìm số k
và điểm cố định I, J, K sao cho các đẳng thức vectơ sau thoả mãn với
mọi điểm M.
a. 2
b.

uuuu
r
MA

uuuu
r
MA

+

+

uuur
MB

uuur
MB

=k

+2

uuu
r
MI

uuuu
r
MC

.
=k

uuu
r
MJ

.

10

c.

uuuu
r
MA

+

uuur
MB

+

uuuu
r
MC

+3

uuuu
r
MD

=k

uuuu
r
MK

.

Giải
a. Vì (1) thoả mãn với mọi điểm M, do đó đúng với M I, khi đó:
r
uur
uur
ur
0
IA
IB
II
2
+
=k = .
Từ (1.1), ta đợc:
uur
IA

uur
IA

uuur
AB

r
0

uur

IA

1
uuur
3 AB

2
+(
+
)=
=
Từ (1.1), ta đợc:
uuuu
r
uuur
uuu
r
uuu
r
MA
MB
MI
MI
2
+
= (2 + 1)
=3 .
Từ (1) và (1.2), suy ra:
uuu
r

MI

(1.1)

xác định đợc điểm I.

(1.2)

uuu
r
MI

3
=k
k = 3.
b. Vì (2) thoả mãn với mọi điểm M, do đó đúng với M J, khi đó:
uur
uur
uur
uu
r
r
JA
JB
JC
JJ
0
+
+2
=k = .

(2.1)
Gọi E là trung điểm AB, từ (2.1), ta đợc:
uur
uur
r
JE
JC
0
2
+2
= J là trung điểm của CE.
Từ (2.1), ta đợc:
uuuu
r
uuu
r
uuu
r
uuuu
r
uuur
MC
MJ
MJ
MA
MB
+
+2
= (1 + 1 + 2)
=4

.
(2.2)
Từ (2) và (2.2), suy ra:
uuu
r
uuu
r
MJ
MJ
4
=k
k = 4.
c. Vì (3) thoả mãn với mọi điểm M, do đó đúng với M K, khi đó:
uuur
r
uuur
uuur
uuur
uuur
KC
0
KA
KB
KD
KK
+
+
+3
=k
= .

(3.1)
Gọi G là trọng tâm ABC, từ (3.1), ta đợc:
uuur
r
uuur
KG
0
KD
3
+3
= K là trung điểm của GD.
Từ (3.1), ta đợc:
uuuu
r
uuuu
r
uuur
uuuu
r
uuuu
r
MC
MA
MB
MD
MK
+
+
+3
=6

.
(3.2)
Từ (3) và (3.2), suy ra:
uuuu
r
uuuu
r
MK
MK
6
=k
k = 6.



11


Chú ý: Bài toán tìm điểm có thể đợc mở rộng thành bài toán tìm tập hợp
điểm (quĩ tích). Với các bài toán quĩ tích ta cần nhớ rằng:
uuuu
r
MA

uuur
MB

1. Nếu |
| = |
|, với A, B cho trớc thì M thuộc đờng trung trực của

đoạn AB.
uuuu
r
uuur
MC
AB
2. |
| = k|
|, với A, B, C cho trớc thì M thuộc đờng tròn tâm C, bán
kính bằng k.AB.
uuur
uuuu
r
BC
MA
3. Nếu
=k
, với A, B, C cho trớc thì
a. Với k

Ă

điểm M thuộc đờng thẳng qua A song song với BC.

Ă

b. Với k

+

điểm M thuộc nửa đờng thẳng qua A song song với BC
uuur
BC
theo hớng
.
Ă
c. Với k
điểm M thuộc nửa đờng thẳng qua A song song với BC
uuur
BC
ngợc hớng
.

Thí dụ 7. Cho ABC, tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
a.

uuuu
r
MA

+k

b. (1 k)

uuur
MB

uuuu
r
MA

k

+

uuuu
r
MC

uuur
MB

=

k

r
0

.

uuuu
r
MC

=

r
0

(1)
.

(2)



Giải
a. Ta biến đổi (1) về dạng:
uuuu
r uuur
uuur
uuuu
r
uuuu
r
MC MB
BC
MA
MA
= k(

)
=k
M thuộc đờng thẳng qua A song song với BC.
b. Ta biến đổi (2) về dạng:
uuuu
r
r
uuuu

r
uuur
uuuu
r
MC
0
MA
MB
MA
+
k(
+
)= .
Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và AC, ta đợc:
r
uuur
uuur
uuur
uuur
0
ME
MF
ME
MF
(3) 2
2k
=
=k
M thuộc đờng trung bình EF của ABC.

(3)

Dạng toán 4:
Biểu diễn một vectơ thành tổ hợp vectơ
Phơng pháp áp dụng
Ta lựa chọn một trong hai hớng:

12


Hớng 1:

Từ giả thiết xác định đợc tính chất hình học, rồi từ đó khai triển
vectơ cần biểu diễn bằng phơng pháp xen điểm hoặc hiệu của hai
vectơ cùng gốc.
Hớng 2:
Từ giả thiết thiết lập đợc mối liên hệ vectơ giữa các đối tợng, rồi từ đó
khai triển biểu thức này bằng phơng pháp xen điểm hoặc hiệu của
hai vectơ cùng gốc.
r
uur
uur
0
IA
IB
Thí dụ 1. Cho đoạn thẳng AB và điểm I sao cho 2
+3 = .
uur
AI

a. Tìm số k sao cho

=k

uuur
AB

.

b. Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có

uuu
r
MI

=

2
uuuu
r
5 MA

+

3
uuur
5 MB

.

Giải
a. Biến đổi giả thiết:
r
0

=2

uur
IA

+3

uur
IB

=5

uur
IA

+ 3(

uur
IB



uur

IA

) = 5

uur
AI

+3

uuur
AB



uur
AI

3
uuur
5 AB

=

.

3
5

Vậy, với k =
thoả mãn điều kiện đầu bài.

b. Biến đổi giả thiết:
r
uur
uur
uuuu
r
uuu
r
uuur
uuu
r
0
IA
IB
MA
MI
MB
MI
=2
+ 3 = 2(

) + 3(

)
5

uuu
r
MI

=2

uuuu
r
MA

+3

uuur
MB



uuu
r
MI

=

2
uuuu
r
5 MA

+

3
uuur
5 MB

, đpcm.

Thí dụ 2. Cho OAB. Gọi M, N lần lợt là trung điểm hai cạnh OA và OB. Hãy tìm
các số m và n thích hợp trong mỗi đẳng thức sau đây:
uuuu
r
OM
uuur
AN



=m
=m

uuur
OA

uuur
OA

+n
+n

uuur
OB

uuur
OB

Giải

a. Ta có ngay

uuuu
r
OM

do đó đẳng thức
b. Ta có:

=

=m

;

uuur
MB

=m
=m

M
A

1 uuur
2 OA

uuuu

r
OM

;

uuuu
r
MN

uuur
OA

+n

uuur
OB

sẽ có m =

1
2

uuur
OA

uuur
OA

O

+n
+n

uuur
OB

uuur
OB

;
;

N
B

và n = 0.

13


uuuu
r
MN

1
uuur
2 AB

1 uuur
2 OB

uuur
OA

1 uuur
2 OA

1 uuur
2 OB

= (

)=
+
1
1
uuuu
r
uuur
uuur
MN
OA
OB
2
2
do đó đẳng thức
=m
+n
sẽ có m = và n = .
c. Ta có:

1 uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
AN
AO
ON
OA
2 OB
=
+
=
+
1
uuur
uuur
uuur
AN
OA
OB
2
do đó đẳng thức
=m
+n
sẽ có m = 1 và n = .
d. Ta có:
1 uuur
uuuu
r

uuur
uuur
uuur
MO
OB
OB
2 OA
MB
=
+
=
+
1
uuur
uuur
uuur
OA
OB
2
MB
do đó đẳng thức
=m
+n
sẽ có m = và n = 1.
r
uuur
r
uuur
a
GA

b
GB
Thí dụ 3. Gọi G là trọng tâm ABC. Đặt
=
và
=
. Hãy biểu thị mỗi
r
r
uuur uuur uuur uuur
a
b
AB GC BC CA
vectơ
,
,
,
qua các vectơ và .
=



Giải
a. Sử dụng quy tắc hiệu của hai vectơ cùng gốc, ta có ngay:
uuur
uuur
r
r
uuur
GB

GA
b
a
AB
=

= .
b. Vì G là trọng tâm ABC nên:
uuur
uuur
uuur
r
uuur
uuur
uuur
r
r
GA
GB
GC
0
GC
GA
GB
a
b
+
+
=
=

= .
c. Sử dụng quy tắc hiệu của hai vectơ cùng gốc và kết quả trong b), ta có:
uuur
uuur
uuur
r
r
r
r
r
BC
GC
GB
a
b
b
a
b
=

= = 2 .
d. Sử dụng quy tắc hiệu của hai vectơ cùng gốc và kết quả trong b), ta có:
uuur
uuur
uuur
r
r
r
r

r
CA
GA
GC
a
a
b
a
b
=

= ( ) = 2 + .

Thí dụ 4. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB. Tính các
vectơ



uuur
AB

,

uuur uuur
BC CA

,

Giải
Ta lần lợt có:

uuur
AB

=

uuuu
r uuur
AM + MB

=

theo các vectơ

uuuu
r uuur uuuu
r
3GM + (GB GM)

=

uuur
BN

và

uuu
r
CP

.

uuuu
r uuur
2GM + GB

14


=2
=
uuur
BC

r
4 uuur 2 uuu
BN CP
3
3

=
uuur
CA

Vectơ

1 uuur uuur uuur
(GB + GC) + GB
2

uuur uuur

GC GB

=

=

uuur uuur
2GB + GC

=

r
2 uuur 2 uuu
2. BN CP
3
3

P

.

r 2 uuur
2 uuu
CP + BN
3
3

.

uuur

AB

uuuu
r
MC

r
0

C

M

.

Thí dụ 5. Cho ABC.
a. Tìm các điểm M và N sao cho:
uuur
MB

G N

B

đợc biểu diễn tơng tự

uuuu
r
MA

A

uuur
NA

uuur
NB

uuur
NC

r
0


+
= , 2
+
+
= .
b. Với các điểm M và N ở câu a), tìm các số p và q sao cho:
uuuu
r
MN



=p

uuur

AB

+q

uuur
AC

.

Giải
a. Ta lần lợt thực hiện:
r
uuuu
r
uuuu
r
uuuu
r
uuuu
r
uuuu
r
uuur
uuur
uuur
uuur
0
MC
MC
MC

MC
MA
MB
BA
AB
AB
=

+
=
+
=
+

=
M là đỉnh thứ t của hình bình hành ABCM.
r
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
0
NA
NB
NC
NA
NE
=2
+

+
=2
+2
, với E là trung điểm BC
uuur
uuur
r
NA
NE
0

+
= N là trung điểm của AE.
b. Ta có biểu diễn:
uuuu
r
MN

=

uuuu
r
MA
uuur
AB

+

uuur
AN

uuur
AC

=

uuu
r
CB

+

1
uuur
4 AB

1
uuur
2 AE

uuur
AC

5
uuur
4 AB

3 uuur
4 AC

=(

)+ (
+
)=

.
Thí dụ 6. Cho ABC trọng tâm G. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI
và J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC.
uuur
uur uur
uuur
AC
AI AJ
AB
A
a. Tính
,
theo
và
.
uuur
uur
uur
AG
AJ
AI
b. Tính
theo
và

G



Giải
a. Ta có:

J

B

I

C

15


2CI = 3BI
uur
uur
IC IB

2(

uuur
AC

2
uur
AI


=
Ta có:
5JB = 2JCI
uur
uur
JB JC
uur
AJ

=3

) = 3(

3
uuur
5 AB

uur
AI

uur
IC

+

5

uuur
AB

2 uuur
5 AC

uur
JB

uur
IB

=2



)5

2
uuuu
r
3 AM

uuur
AB

5
uur

8 AI

3 uur
8 AJ

uuur
AG

35
uur
48 AI

1 uur
16 AJ

=3

uuur
AB

uur
JC

5(
uur
AJ

2 1
uuur
3 2 AB

uuur
AB



uur
AJ

5
uuur
3 AB

uuur
AC



) = 2(
2 uuur
3 AC

1
uuur
3 AB

uuur
AC

=

+
và
=
Thay (4) vào (3) ta nhận đợc:


25
uur
16 AI



9 uur
16 AJ

uuur
AC

.
uuur
AC

=
= . (
+
)= (
+
Mặt khác từ hệ tạo bởi (1) và (2), ta nhận đợc:

=

+2

uuur
AC

(1)

3
=5
2

=
b. Gọi M là trung điểm BC, ta có:
uuur
AG

uur
AI

.

uuur
AC

uuur
AB

uur
AI

.



uur
AJ

)
(2)

).

(3)

(4)

.

Dạng toán 5:
Chứng minh hai điểm trùng nhau
Phơng pháp áp dụng
Muốn chứng minh hai điểm A1 và A2 trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai cách sau:
uuuuur
Cách 1: Chứng minh
Cách 2: Chứng minh

A1A 2

uuuur

OA1

=

.
uuuur
OA 2

với O là điểm tuỳ ý.
uuur
uuur
CD
AB
Thí dụ 1. Chứng minh rằng
=
khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn
thẳng AD và BC trùng nhau.



Giải
Ta có:

Nếu

uuur
AB

=
trùng nhau.

uuur
CD

=

r
0

thì ABCD là hình bình hành. Do đó, AD và BC có trung điểm

16


Nếu AD và BC có trung điểm trùng nhau thì ABCD là hình bình hành. Do
đó:

uuur
AB

=

uuur
CD

Thí dụ 2. Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lợt là trung điểm của các
cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có
cùng trọng tâm.

Giải
Gọi G là trọng tâm của MPR, ta có:
uuuu
r
uuu
r
uuur
r
GM
GP
GR
0
+
+
=
(1)
Lại có:
uuuu
r
uuur
uuur
uuu
r
uuur
uuur
uuur
uuur
uuu
r

GM
GA
GB
GP
GC
GD
GR
GE
GF
2
=
+
,2
=
+
, 2
=
+
uuuu
r
uuu
r
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuu
r

GM
GP
GR
GA
GB
GC
GD
GE
GF
2(
+
+
)=
+
+
+
+
+
Suy ra:
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuu
r
r
GA
GB
GC

GD
GE
GF
0
+
+
+
+
+
= (do(1))
Do đó:
uuur
uuu
r
uuur
uuur
uuur
uuur
r
GA
GF
GB
GC
GD
GE
0
(
+
)+(
+

)+(
+
)=
uuur
uuur
uuu
r
uuur
r
uuu
r
uuur
r
GQ
GQ
GS
GN
0
GS
GN
0
2
+2
+2
=
+
+
=
Vậy, ta đợc G là trọng tâm của SNQ.
Tóm lại, các MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Dạng toán 6:
Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Phơng pháp áp dụng
Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta đi chứng minh:
uuur
AB

uuur
AC

Ă

=k
,k .
(1)
Để nhận đợc (1), ta lựa chọn một trong hai hớng:
Hớng 1:
Sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ đã biết.
uuur
uuur
AC
AB
Hớng 2:
Xác định vectơ
và
thông qua một tổ hợp trung gian.


Chú ý: Ta có kết quả:

Cho ba điểm A, B, C. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là:
uuuu
r
MC

uuuu
r
MA

uuur
MB

=
+ (1 )
,
với điểm tuỳ ý M và số thực bất kỳ .

17


uur
IA

Thí dụ 1. Cho ABC, lấy các điểm I, J thoả mãn
= 2
Chứng minh rằng IJ đi qua trọng tâm G của ABC.



Giải

uur
IB

uur
IB
Viết lại
= 2 dới dạng:
r
uur
uur
0
IA
IB
2
= .
uur
uur
r
JA
JC
0
Biến đổi 3
+2
= về dạng:
uur
ur
uur
ur
r

uur ur
uur
IC IJ
0
IC
IJ
IA IJ
IA
3(
) + 2(
)= 3
+2
=5 .
Trừ theo vế (1) cho (2), ta đợc:
uur
ur
uur
ur
uur
uur
IC
IJ
IG
IJ
IA
IB
2(
+
+
)=5 6

= 5 I, J, G thẳng hàng.

, 3

uur
JA

+ 2

uur
JC

=

r
0

.

uur
IA

(1)

(2)

Thí dụ 2.
Cho ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đờng tròn
H
ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của ABC. Chứng minh rằng:

O

a.

uuur
AH

uuur
OH

=2

uuur
OE

uuur
OA

A

, với E là trung điểm BC.
uuur
OB

uuurA1
OC

b.
=
+

+
.
c. Chứng minh rằng O, G, H thẳng hàng.

B

E



Giải
a. Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua O, ta đợc:
BH // CA1 cù ng vu ông góc vớ i AC

CH // BA1 cù ng vu ông góc vớ i AB
A1BHC là hình bình hành
uuur
uuur
OE
AH
A1, E, H thẳng hàng
=2
, đpcm.
b. Ta có:
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur

uuur
uuur
OH
OA
OA
OE
OA
OB
OC
AH
=
+
=
+2
=
+
+
, đpcm.
c. Ta có:
uuur
OG

=

1 uuur
3 OA

(

+

uuur
OB

+

uuur
OC

)=

1 uuur
3 OH

O, G, H thẳng hàng.

Thí dụ 3. Cho ABC, lấy các điểm M, N, P thoả mãn:
uuuu
r
MA



uuur
MB

r
0

uuur

AN

uuur
AC

+
= ,3
2
=
Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.

r
0

,

uuu
r
PB

=2

uuu
r
PC

.

Giải

18


Ta có:
uuur
uuu
r uuuu
r
MP AP AM
=
,
(1)
uuuu
r uuur uuu
r
MN AN AP
=
.
(2)
uuu
r uuuu
r uuur
uuur
uuur
AP, AM, AN
AC
AB
Ta đi tính
theo
và

, cụ thể từ giả thiết:
uuuu
r
MA

+

uuur
MB

uuur
AN

=

uuur
AC

r
0



uuuu
r 1 uuur
AM = AB
2

uuur
AN

r
0

(3)

2 uuur
AC
3

2
=
=
uuur uuu
r
uuu
r
uuur uuur
uuur uuu
r
uuu
r
(AC AP)
PC
AB + 2AC
AB AP
AP
=2

=2

=
.
Thay (3), (4), (5) vào (1) và (2) ta đợc:
3
uuu
r
PB

uuur
MP

uuuu
r
MN

=

uuur uuur
AB + 2AC
2 uuur
AC
3



1 uuur
AB
2

uuur uuur
AB 2AC

=

=
+
=
Từ (6) và (7) ta nhận thấy:
uuuu
r
MN

=

3 uuur
MP
2

uuur
3 uuur
AB + 2AC
2
uuur 4 uuur
AB AC
3

.

(4)

(5)

(6)

.

(7)

M, N, P thẳng hàng.

Dạng toán 7:
Xác định đặc tính K của đối tợng S khi nó thoả mãn
một đẳng thức vectơ
Phơng pháp áp dụng
Phân tích đợc định tính xuất phát từ các đẳng thức vectơ của giả thiết.
Lu ý tới những hệ thức đã biết về trung điểm của đoạn thảng và trọng tâm của
tam giác.
Thí dụ 1. Cho ABC, có các cạnh bằng a, b, c và trọng tâm G thoả mãn:
uuur
GA



uuur
GB

uuur
GC

r

0

uuur
GB

uuur
GC

a.
+ b.
+ c.
= .
Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.
Giải
Ta có:
uuur
GA

uuur
GB

uuur
GC

r
0

uuur
GA

+
+
=
=

Thay (2) vào (1), ta đợc:
uuur
uuur
uuur
uuur
r
GB GC
GB
GC
0
a.(

) + b.
+ c.
=

.

(1)

(2)

19

uuur
GB

uuur
GC

r
0

(b a).
+ (c a).
= .
(3)
uuur
uuur
GB
GC
Vì
và
là hai vectơ không cùng phơng, do đó (3) tơng đơng với:
b a = 0

c a = 0

a = b = c ABC là tam giác đều.

Thí dụ 2. Cho tứ giác ABCD. Giả sử tồn tại điểm O sao cho:
uuur uuur uuur uuur
| OA |=| OB |=| OC |=| OD |
uuur uuur uuur uuur r

OA + OB + OC + OD = 0

.
Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật.



Giải
Từ phơng trình thứ nhất của hệ , ta suy ra:
O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.
Gọi M, N, P, Q là trung điểm của AB, BC, CD, DA , từ phơng
ta đợc:
r
uuur
uuur
uuur
uuur
uuuu
r
uuu
r
uuuu
r
uuu
r
0
OA
OB
OC
OD

OM
OP
OM
OP
=
+
+
+
=2
+2

+
=
M, P, O thẳng hàng và O là trung điểm MP.
uuur
uuur
r
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
OQ
OQ
0
OA
OB
OC
OD

ON
ON
=
+
+
+
=2
+2

+
=
N, Q, O thẳng hàng và O là trung điểm NQ.
Từ (2), (3), suy ra MNPQ là hình bình hành suy ra
A, C, O thẳng hàng và O là trung điểm AC.
B, D, O thẳng hàng và O là trung điểm BD.
Do đó ABCD là hình bình hành.
Từ (1) và (4) suy ra ABCD là hình chữ nhật.

(1)
trình thứ hai của hệ
r
0

(2)

r
0

(3)

(4)

20