Thần tốc luyện đề thi THPT quốc gia 2016 toán học t2

Thần Tốc Luyện Đề THPTQuốc Gia Môn Tbán học

+ Với fl = 2Ỉ7<=>x-l =

+ X+ 1 ) o 4x^ + 3a: + 5 = 0 (v n ).

Hệ phương trình có nghiệm: ịx;ỵ^ = ị4 + ^/6;23-l-8^/6j,ị4-^/6^23-8^/6j.
N hận xét: Bàj toán sử dụng phương pháp hàm đặc trưng kết hợp phương pháp hệ số bất định.

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-H àm số f { x ) đổng biến(nghịch biến) trên D = > /(« ) = /( ư ) OM = 17- Hàm số f { x ) đổng biến (nghịch biến) trên D => / ( x ) = 0 có nhiều nhất 1 nghiệm.
-H àm số /( x ) đổng biến trên D , g(x) nghịch biến trên D o / ( x ) = g(x) có nghiệm duy nhất.
Ý tưởng: Từ phương trình thứ nhất tách hoặc bình phương sẽ ra phương trình khó bậc cao,
khó tìm mối quan hệ giữa x , ỵ .
- N hận thấy phương trình thứ 2 của hệ có sự tương đồng Ị3^'-^y^^x^-2y + 3Ịvới (3^-y,2-y)
:ùng dạng ((3'",m).
3 '".mì.
có cùng
, Im= x -2y-i-3
- Phương trình thứ hai của hệ biến đổi thành: 3" + M- 3'’ -I- u trong đó
u=2-y
- Xét hàm số / ( f ) = 3 ' + í đổng biến trên R =>/ ( m) = / ( u) => m= u . Thay lại phương trình thứ
n h ấ t, sử dụng hai ẩn phụ

(fl, b > 0) thu được phương trình đẳng cấp bậc 2.
b - 4 x ^ + X - 1- I

Lần lượt giải 2 phương trình vô tỉ cơ bản ứng với 2 trường hợp kiểm tra điểu kiện ta thu được
nghiệm của hệ.

Lưu ý: Từ phương trình 2^x^ + X+ lỊ + 3(x - 1 ) =

+X + 1j , ta có thể chia 2 vế cho

(x^ + X+ 1 ) giải phương trình ẩn z = ,/
— .
''
’
V x^+x + 1

+ Với giả thiết ta có x^ [y + z)> x^.2yfỹz = 2 x ^ ^ = 2xVx .
+ Chứng m inh tương tự, ta cũng có

(z + x) > 2yyjỹ và

ĩ^u-A'
2xVx
2yựỹ
+ K hiđó A > — p - ! — ^ - 1-—
yyjy + 2zylz zVz + 2xvx
a = X \ í x + 2yyịỹ

2z^/z

Xylx+2y^y

4c + a-2b
xVx =-

+ Đặt \ b = yyỊỹ + 2z\ỉz <=> -i y^/ỹ =
C ^ z4 ~ z + 2xyfx

(x + y) > 2zVz .

z^fz =

4a + b-2c
4b + c- 2a
9

4c - h f l - 2 7 4a + 7 - 2
4 7+
- 2ữ
+ Bất đẳng thức trở thành A> — -----------------+
------------------+ -----------------9
ỉ

=

ỉ

2 ' c a b' ' _a + _
b + _c'
4 - +- +- +
- 6 > -(4 .3 + 3 - 6 ) = 2
9 ^b c a ) ^b c

—

Vậy Min A = 2 khi và chỉ khi x = y - z = ĩ.

c

ỉ

c


lD M G 9 9 b O O k Dẫn Đ ầ i Xu Hướng Sách Luyện Tìứ
N hận xét: Đâỵlà dạng toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức nhiểu biến chứa căn có

tính đối xứng, do đó chúng ta sẽ định hướng thành các bước như sau:
- Các phẩn tử cơ bản trong A là Xyfx,yyjỹ,zy[z:
- Cần biến đổi các biểu thức (y + z),y^ (z + x),z^ (x + y) theo các phần tử cơ bản trên dựa
trên giả thiết x,y,z dương và xyz = 1. Ta có:

x^(y + z)>x^.2^/ỹz =2x^J^ = 2x\/x ■
- Khi đó, bằng việc sử dụng ẩn phụ
chúng ta sẽ nhân đươc bất đẳng thức mới A >

cho các mẫu số và tính x^/x,y^/ỹ,z^/z theo

.
a
b
c
Công việc còn lại chỉ là m ột thủ thuật khá đơn giản khi áp dụng bất đẳng thức Côsi đó là tách
chúng thành các phân số đơn.


Thần Tốc Luyện Đề 1UFTQuốc Gia Môn Tbán học

\z jf

Ghi nhớ hành trình luyện thí Thành Công

Hành trình luyện thi Thành Công sẽ giúp các em dễ dàng ôn tập, phát hiện lỗ hổng kiến
thức, ghi nhớ những từ khóa quan trọng. Giúp em ôn tập nhanh nhất trong thời gian nước rút.
Các em hãy lưu lại để dễ dàng ôn tập nhé.

Ngày............................................................
Thi lẩn........................................................
Số điểm đạt được........................ ./10

STT

Những câu sai

Rút kinh nghiệm gì từ những câu sai

Thuộc chủ đề nào


111 l\/te9^ book

Dỗn Đầu Xu Huớng Sách Luyện Thi

Bài học và kiến thức rút ra từ đề thi này.

Đỉữig chỉ trích những nffM đã cố thử và thất bại
Hđ^ chỉ trích những người đã khủng dám Um thử

,^0 , .

-K hvyđ danh


Thần Tốc Luyện Đề THPTQuốc CÚI Môn Tbán học

ĐỂ THỬ sức

»(1,0 điểm). Khảo sát và vẽ đổ thị hàm số ]/ -

Ix
x +2 •

»(1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số >”= 2 sin X+ sin 2x trên đoạn « ; f
r%' SÔ:
" min y = -2o; max y = ——
3 V3
Đáp

►{1,0 điểm).
a) Tìm số phức z thỏa m ãn

= 18 + 2 6 í.

Đáp số; z - 3 + i
b) Giải phương trình ln(x +1) + ln(x + 3) = ln(x + 7)

Đáp số: X = 1
^

, , , , , ,
»(1,0điểm ).^
Tính tích phân Ir = I
1

+V l + lnx
I~

dx,

xVl + lnx

Đáp SỐ.: 7 - 2 4 Ĩ

» (1,0 điểm). Trong không gian 0x1/2, cho điểm

M (2;1;0)

và đường thẳng

(d
— Viết
Viết phương
phương trình
trình đường
đường thăng
thẳng .A đi qua điểm M cắt và vuông góc
(d]):: ------= -----==—
với {df. Tìm tọa độ điểm M ' đối xứng với M qua ( d ) .
- * x-2 y-1

Đáp số: A :------ =
^
1 - 4 - 2

2

8._5._4
3' 3' 3

»(1,0 điểm).
a) Giải phương trình lượng giác: 4 Ịsin X

+

Vs cos X j = ta n X

-

3 cot X

^_ A'
7T ,
47t , 27T
Đáp số: X =
+ k n - , x - ^ + k—
3
9
3
b) Trong mặt phẳng Oxy >à góc phần tư thứ nhất ta lấy 2 điểm phân biệt, cứ thế ở các góc
phần tư thứ h a i, b a , bốn lấy 3,3,5 điểm phân biệt(các điểm không nằm trên các trục tọa độ). Tính

xác suất để đường thẳng nối 2 điểm đó cắt hai trục tạo độ.
23
Đáp SỐ: —
^
91
» (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCâấỴ là tam giác ABC vuông tại c , AB = 5,BC = 4.
Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa cạnh bên SCvới đáy (ABC) bằng 60° • Gọi D
là trung điểm của 2\.B. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng

SD,BC.


ỈD IW l699bO O k Dấn Đ ầ iK u Hướng Sách Luyện Thi
Đápsố: Vs^g^=6S;d(BC}SD) = S

(1,0 điểm). Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có hình chiếu vuông góc của c
lên đường thẳng AB là điểm H
. Phân giác trong góc A có phương trình x - y + 2 = 0,
đường cao kẻ từ p là 4x + 3y - 1 = 0.
10 3
'3'4
2
1 _ ^
wm..
_
x^ - —= y - —
^
(1,0 điểm). Giải hệ phương trình •
^

Đáp SỐ:

c

--=y—y

yl5y-l-Xyfỹ = 1

Đáp số: (x;y) = (l;l),(V 2 ;2 ),(^-V 7 ^V 4 T ;7 -V 4 ĩj
ho các số
[E|^(1,0điểm). Cho

+ yy ++ 33 -- xx yy
xx ,, y
y>
> ll :: xx +

.

,,, „ \ l x ^ - l V y^-1
1
Tìm giá trị lớn nhất
■ ------+ -------- + ——
lãt của p = —
^
y
x +y

Đáp số: MaxP-

l + S^IĨ

o x = y =3


Thần TỐC Luyện Đề THPTQuốc Gia Môn h á n học

coi đè thủ sức như một tăn thi thật, các em hăy vừt M giải thật cẩn thận
nhé. Có thể số ừcmg gi/fy hhimg đủ, em hãy làm và kẹp vào sách để dẽ dừng ỡn
tập nhé, Hỡy bấm thời gian và tự thưởng cho mình nếu dật dián cao nhé.
Chúc em th ỉ tốt!


ÌDMegabook

Dẫn Đầu Xu Hướng Sách Luyện Thi


Thần Tốc Luyện Đề THPTQuốc Gia Môn Tbán học

'


m MG9^ book

Dẫn Đầu Xu Hướng Sách Luyện Thi


ĐỂSỐ15

Bộ ĐỂ THI THPT QUỐC GIA CHUẨN CẤU TRÚC BỘ GIÁO DỤC

Đề thi gồm 1 trang
★ ★ ★ ★ ★

Môn: Toán học
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (1,5 điểm). Cho hàm số y = ^ * ~

+

2 (C).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (c ) khi m = 1.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số ^ đ ể đ ồ thị ( c ) có ba điểm cực trị tạo thành m ột tam
giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm D —

•

Câu 2 (0,5 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

= yl-x^ + 4 x + 21 - yj-x^ + 3 a: + 10

Câu 3 (1,0 điểm).
( l - 2 í)z + (l + 2 í')z = 6
a) Tìm số phức z thoả m ãn hệ phương trình
z +2ii Ị z - z j + 3 = 0
b) Giải phương trình; l + log 2 ( x - l ) = log^_, 4

Câu4(1,0điểm). Tính tích phân: I = f

■Ị x (l + lnx)

dx

Câu 5 (1,0 điểm).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình thoi ABCD với A (-1 ;2 ;1 ),B (2 ;3 ;2 ). Tìm
tọa độ các đỉnh c , D biết tâm I của hình thoi thuộc đường thẳng d ■
-1

=X =
-1

.
1

Câu 6 (1,0 điểm).
a) Giải phương trình : 3 sin^ X+ 2 cos^ 3x + 4 cos^ X= 3 cos^ X+ 2 cos X+1
b) Trong m ột hộp kín đựng 2 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 7 viên bi vàng (các viên bi chỉ khác
nhau vê' màu sắc). Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi, tìm xác suất để 4 viên bi lấy ra không có đủ cả ba màu.

Câu 7(1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , BA = a. Tam giác SAC
cân tại s và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M , N lần lượt là
trung điểm của SA,BC; biết góc giữa MN với mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Tính theo a thể
tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau A C , M N .
Câu 8 (1,0 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại -4 và B . Đường chéo
AC nằm trên đường thẳng d :4x + 7 y -2 8 = 0. Đỉnh B thuộc đường thẳng A : x - y - 5 = 0, đỉnh
*A có tọa độ nguyên. Tìm tọa độ A,B,C biết D (2;5) và BC = 2AD.

Câu 9 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình •

y ^ -x

/ ± 2

\

X

= 2x - 2

J y ^ + l+ - ^ 2 x - l = l

Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực x,y,z thỏa mãn

0


Chứng m inh (x - x^ )(y - y^ )(z - z ' ) > (x - yz)(y - zx)(z - xy).


LỜI GIẢI CHI TIẾT VÀ ÔN TẬP
ĐỂ SỐ
La Khi m = 1 , hàm số trở thành y = x‘^ - 2x^ + 2 .
* lạ p xác định: D = R.

* Sự biến thiên:

+ Giới hạn: lim y = +oo; lim y = +oũ.
X -* -< C

X -¥ + a o

+ Chiểu biến thiên: y' =

- 4 x ; y ' = 0 <=>

x=0
X = ± 1 ‘

y'>0,V xe(-l;0)U (l;-H »), suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (“ hO) và (l;+<»).
y' < 0 , Vx e (-oo;-l) u ( 0; l ) , suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng
+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại X = 0,

=

2. Hàm số đạt cực tiểu tại

v à ( 0 ;l).
X =

±l,yCT = 1 .

+ Bảng biến thiên
X

y'
y

0

-1

-00

0

-

+

0

1
-

2

+00

^

1

* Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (O; 2).
+ Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.
+ Đổ thị hàm số đi qua điểm ( - 2 ; 1 0 ) ,( - l;l) ,( l;l) ,( 2 ; 1 0 ),

- Vẽ đồ thị:

0

-1-00

+
+00

1 ^


Thần Tốc Luyện Đề THPTQuốc Gia Mởn Tóán học

l.b
+ Ta có y' =

- ếmx =

- m) => y' = 0 o

x-0
X =m

+ Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt, tức là khi m > 0.
X j= 0 =>y, = 2
+ Với m>0 thì y' = 0 o

x^ = -^/m =>}/2= 2 - .
x^ = 4rn =>y^=2-m^

+ Giả sử tọa độ 3 điểm cực trị đó là: A{0;2ỴBị-yfm;2-m^^,cị4m-,2-m^Y

+ Gọi ỉ là tâm đường tròn đi qua 4 điểm A, B,C,D; trong đó đi qua 3 điểm cực trị nên ỉ nằm
trên O y , do đó l[0;b).

b =ì
m =l

+ Theo bài ra, ta có

os

IA = l B o ( 2 - b f =m + (2 -m ^ - b f

- I + n/ s
2
-I-V s
(l)

+ Kết luận: m = l;m =

-I + V s

N hận xét: Thứ tự giải bài toán: Tìm điểu kiện để hàm trùng phương có 3 cực trị, biện luận

với

yếu tố đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

+ Đường tròn ngoại tiếp đa giác cách đều các đỉnh của đa giác.
+ Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm
M (X j; y i ) , N

; y^) =>MN =

- ^2)V (yi - yj ) \

Á p dụng cho bài toán:
+ Tính chất cực trị hàm trùng phương: Hai cực tiểu đối xứng qua trục O y .
+ Tìm m để hàm số có 3 cực trị: y' = 4x^ - A m x . Hàm số có 3 cực trị o y' = 0 có 3 nghiệm
phân biệt.
+ Tính theo m tọa độ các cực trị.
+ Tìm ^ âể 3 cực trị cùng lập D cùng nằm trên m ôt đường tròn: Gọi ỉ là tâm đường tròn đi
qua 4 điểm A,B,C,D=> I eOy .Tham số z( 0 ;b ) ,ta c ó
+ Giải hệ phương trình cơ bản 2 ẩn m,b tìm được

kiểm tra điểu kiện ta được đáp án.

>
+ T X Đ = [ - 2 ; 5 ].T a c ó
,_

X- 2

2x - 3

yỊ—x^ + 4x + 21
y' = 0 o

x-2

2yỊ—x^ + 3x + 10
2x-3

yl-x^ +4x + 2 \ " 2yl-x^ +3x + \0 ^

x ^ -4 x + 4 _

4 x ^-1 2 x + 9

- x^ + 4 x + 2 1 ~ 4 ( - x'+ 3 x + 10)


m M699 book

Dẫn Đ ấ i Ku Hướng Sách Luyện Thi

c:> 4^-x^ +3x + 10)(x^ - 4 jc+ 4^ =

+ 4 x + 2l)(4jc^ -1 2 x + 9)

1
29
<=> 5 - 1 0 4 x 4 - 2 9 = 0 <» x = ^ h o ặ c x = ^ .
3
17
4 Thử lại, ta thấy chỉ có X = - là nghiệm của y '.
y ( - 2 ) = 3 .^ ( 5 ) = 4 , > - í ỉ l = V2
v3y

=> min y = V 2, đạt được o

x =- ‘
3

*3.a
4 G iảsử số p h ứ c 2 có dạng z - a + bi (a,Ỉ7eR), suyra z ^ a - b i .
4

Từ phương trình (l ~ 2 1 ) 2 4 ( 1 4 2i)z = 6 , ta có

(1

- 2í)(fl 4 Ỉ7í)4 ( 1 4 2í')(fl - =

6 o 2fl4 4b = 6 <=> fl 4 2b = 3 (!)•

4 Từ phương trình |zp 4 2 z Ị z - z j4 3 = 0 ,ta c ó
4

4b^ 42í.2bí43 = 0<=>a^ 4Ỉ7^ - 4 b 4 3 = 0 (2).

Từ (1) và (2) ta có ( 3 - 2 b f 4ỈZ ^-4b43 = 0 « 5 Ỉ7 ^ -1 6 Ỉ7 4 l2 = 0 o
3 6
Vậy có hai số phức cần tìm là Z j = - 1 4 2Í; Z 2 = ^ 4

4

b = 2=>a = l
I.

3'
b = —=>a- —
5
5

ỉ',

Nhận xét: Yêu cầu bài toán tìm số phức z thỏa mân điều kiện cho trước. Ta đặt dạng tổng quát số
phức z, thay vào các điều kiện đã cho tìm được z.

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
Đặt z - a + bi (a,beR^=>z = a - b i ,

4

4 Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực , phần ảo tương ứng bằng nhau.

❖

4

Lần lượt thay z = a + bi vào 2 phương trình của hệ ta có mối quan hệ giữa a,b .

4

Giải hệ cơ bản tìm được a,b suy ra số phức z th ỏ a mãn yêu cầu giả thiết.

3.b
l-flo g 2 ( x - l ) = log^_,4 (1)
4

rkí'", 1
Íx -1 > 0
Đ
Điếu
iê 'ukiện:
k iệ nị:r
o
[x -1^1

íx > l
[x ;^2

^

+ Phương trình (1) o 1+ lơg 2 ( x -1 ) = -

Cí> 1+ lơg 2 ( x -1 ) =

lơ g 2 (x -l)

Cí> [log 2 (x - 1 )]^ + lơg 2 (x - 1 ) - 2 = 0 (2 )
+ £)ặt t = lo g 2( x - l )

4

Lúc đó: phương trình (2) <»

-f í - 2 = 0 <=>

t =l
t = -2

<=>

4

lo g 2( x - l ) = l
lo g 2( x - l ) = - 2

x -1 = 2

X= 3

x -1 = —

X = ■

5

Vây phương trình có nghiêm X = 3, X = —
4

thỏa (’^)

lơg 2( x - l )


Thần TỐC Luyện Đề ĩUPT Quốc Gia Môn Tóán học

',Aí(l + lnA :)- 2 1 n x

%

}

'

■;

' x ( l + lnA:j

x (l + lna:)

Ina:

,

- Tính /j = Ịdx = e - 1 .
1

- Tính /, = í ,
—Ạ x .
' ■Ịx(l + l nx)
„
.
, dx
, í x = l= > í = l
+ Đăt í = 1 + In X=> dt = — . Khi i
^

[x = e = > í = 2
+ Suy ra J = h ~ ị ~ T ~ ‘^^~ịị^~'T íỉí = (f-ln |f|) = l - l n 2 .
1 *
1V u
Vậy Z= e - l - 2 ( l - l n 2 ) = e - 3 + 21n2.
Nhận xét: Đ ể tính tích phân ta sử dụng phương pháp đổi biến số. Trước h ế t , tách biểu thức dưới

dấu nguyên hàm cơ bản.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
+ Ta có : ĩ I Ấ ĩ l Ẩ ĩ ì l l l í ĩ l d x = [ f ( x ) i x + f ^ ^ d x với í
+ Biểu thức dưới dấu tích phân được viết lại

+
x (l + lnx)

dễ tìm.
J_

2\nx
x (l + lnx)

+ Tách tích phân / = e - l - 2f
—rdx.
•Ịx(l + lnx)
+ Sử dụng phương pháp đổi biến số t = x + lnx để tính tích phân /.
+ Các công thức ịx"dx ^ - — + C; f — = ln|x| + c.
^
n+1
J X
''

+ Gọi lị^—^ —t‘, —t',2 + t^&d,Tacó IA = ị^t',2 + t',—\ —t^,IB —ị3 + t',3 + t',—t^.

+ Do ABCD là hình thoi nên lA.IB = 0 o 3 í ^ + 9 í + 6 = 0<=>í = -1, t - - 2 .
+ Do

c đối xứng với A qua 7 và D đối xứng với B qua I nên:

. Với f = - l= > / ( 0 ; l ; l ) ^ C ( l ; 0 ; l ) ,D ( - 2 ; - l ; 0 ) .
. Với f = -2 = > /(l;2 ;0 )= > C (3 ;2 ;-l),D (0 ;l;-2 ).
.Nhận xét: Bài toán hình học tọa độ cơ bản, để giải được bài toán sử dụng phương pháp tham số hóa

điểm và vận dụng các tính chất của hình thoi.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
+ Cho điểm M € (d );

a

=> M biểu diễn tham số dưới dạng

M(fl + aí;Ỉ7 + pf;c + ôí)-

+ Công thức tinh tọa độ trung điểm £ của M N : E

^ Xf ^+ Xfj . Ị/m Vn

.


ID MG99 book

Dẫn Đầu Xu Hướng Sách Luyện Thi

Áp dụng cho bài toán:
+ ABCD là hình thoi nên AC,BD vuông góc với nhau tại tâm ỉ.
_

ịỊ

+ Tham số điểm Ie(d)=>\
=>lA.IB- 0 .
[iB

=

+ Tìm được tọa độ ỉ sử dụng công thức tạo độ trung điểm .

2
Va + V

c

C,D

z +Zc

♦ ố,a
+ Phương trình tương đương sỊsin^ - cos^ Xj + ^2cos^ 3x - 1 j + (cos3x + cosx) = 0
<=>-3 cos I x + cos 6 ;c + 2 cos 2x cos a: = 0 <=>4 cos^ l x - 6 cos 2x + 2 cos 2x cos x = 0
<=> c o s

2xị2 cos^ 2x + c o s X ■

\

n ,n
cos 2 x = 0 <=>x = —+ k—
Oo
4
2 .
2cos^ 2X + COSX- 3 = 0 («)

íl-c o s ^ 2 x = 0
(’*■) <=>(l-cosa:) + 2 Ị l- c o s ^ 22x)
a:j = U
0 <=>-^
'
0
1-COSX = 0

cos^ X
cosx =

<=> cosx = 1 <=> k2n-

+ Phương trình có nghiệm: x = —+— -,x = k2n; k€Z.
Nhận xét: Phương trình sử dụng phân tích của hằng đẳng thức và công thức góc lượng giác cơ bản.

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
2 c o s ^ a -l = 2 cos 2 fl
+ Các công thức ■

g Ị,
a-bcosfl + cosb = 2 cos----- cos------

I

2

2

+ Thay công thức góc nhân 3 : cos 6 x = 3 cos 2 x - 4 cos^ 2 x .

+ Giải phương trình lượng giác cơ bản với cosx = COSÍỈ o x = ±a + k2nị^k e z ) , ta có nghiệm
phương trình đã cho.
❖

6.b
Số cách lấy 4 viên bất kì là Cj^ = 1 0 0 1 cách.
Ta đếm số cách lấy 4 viên có đủ cả 3 màu:
+ Trường hợp 1: IĐ, IT, 2V có C2.C5.C7 cách.
+ Trường hợp 2: IĐ, 2T, IV có C2.C5.C7 cách.
+ Trường hợp 3: 2Đ, IT, IV có C2.C5.C7 cách.
Vậy số cách lấy 4 viên có đủ ba màu là C2 .C5.C7 + C2 .C5 .C7 + C2 .C5 .C7 = 385 cách.
Xác suât láy 4 viên không đủ ba màu là

p =--- —---- =
1001

1001

=—.

13

Nhận xét:

Nhắc lại kiến thức và phương pháp;
+ Sử dụng luật bù trừ C = A + B ^ A - C - B .
+ Áp dụng cho bài to á n : c -số cách chọn 4 viên bất kì, B -số cách chọn đủ 4 viên bi đủ 3 màu
và A - số cách chọn 4 viên bi không đủ 3 màu.


Thần Tốc Luyện Đề THPTQuốc Gia Môn Tbán học

b (D )| _ _
+ Áp dụng công thức tính xác suất P{ d ) - -— — - ( Q ( d ) là số trường hợp thuận lợi, ũ. là tất
Q
C
cả các trường hợp của biến cố D ), ta có
= -B

+ Gọi I là trung điểm A C , do ASAC cân tại

s nên

S /1 (A B C ). Gọi H là trung điểm AI

suy ra M H / /SI => MH 1 ( ABC), do đó góc ( m IV,(ABC)) = MNH = 60°.
^2

+ Tacó

(đvdt).

+ Xét AHCN có

NC = - ; H C =
2

Viy

4

; N H ' ^ H ơ + N ơ - 2HC.NC. cos 45° - ^

8

;NH =
■

4

=|s'-s„,cWvtt).

+ Goi J là trung điểm AB, K là hình chiếu vuông góc của H lên M/ tức là H K ± M J (1).
^
, ị J N 1 BI, ma BI / /HJ ^ JN ±HJ{2)
+ ia có J
.
[SI / /MH, mà S I ± J N ^ J N ± MH{3)

R

T ừ [ 2 ) , ( 3 ) ^ ] N l(M H ])z aH K =>HK1JN(4).
( i ),(4 )= > H K 1 (M N /)Do đó

d{AC,MN) = d(H e AC,MN)^d(H,(M]N)) = HK
MH.HỊ

_

fl^ /^ ayỈ2
4 • 4

ĩVãÕ '
16

+ H f ~ Ịsoa^ 2a^
V 16 ^ 16
Nhận xét: Bài toán hình học không gian tổng hợp sử dụng tính chất vuông góc với mặt phẳng, góc
giữa hai mặt phẳng.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
+ Công thức tính thể tích khối chóp: V = —B.h.
+ Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d) và (d') ta dựng mặt phẳng ( a ) 3 (d '),

( a )/ /( d)^ d( d-, d') = d(d-,a).
+ Trong tam giác vuông có đường cao

(ứng với cạnh huyền), hai cạnh kề góc vuông

hl Ý c'
+ Tính thể tích S.ABC: I là trung điểm của AC ^ S I

A I ^ M H / /SI

i

[ABC^ H là trung điểm

(ẤĨN;( ABC)) = - MNH - 60°. Thể tích khối chóp =>

= -ShS^BC •

+ Tính khoảng cách hai đường thẳng A C , M N : / l à trung điểm của A B , X là hình chiếu
vuông góc của H iên M /.T a c ó HK

d[AC,MN^ = HK

ID i


m M6 9 9

book

Dẫn Đầu Ku Huớng Sách Luyện Thi

+ Do B e A .s u y ra B{b;b-5).

, d(B}AC)
d{D;AC)
o

|4b + 7 (b -5 )-2 8 |
V 4 '+ 7 '

BE _ B C
DE AD

.

|4.2 + 7.5-28|
11^-63 = 30
■^2'» llb - 6 3 = 3 0 »
»
llb - 6 3 = -30
V4^+7"

+ B và D ở khác phía đối với đường thẳng

b=

93

11
b =3

nên

(4Xj + 7yg - 28)(4Xo + 7y^ - 28) < 0 o 30(llb - 63) < 0.
Do đó ta được b = 3, suy ra B(3;-2) .
7
2 8 -4 «

-4 « -7
=>DA^ fl-2 ;+ Tacó A e { D ) ^ A a;-

và BA = fl-3 ;

-4«+ 42

V

« = 0 =:> A(0;4)
+ Do đó DABA = 0 » ( a - 2 ) ( a - 3 ) + t ^ ^ - ^ t ^ ^ ^ ^ = 0 » 6 5 a '‘-385ữ = 0 »
- - 13''
( 1 )’

rr. . ~
—
a:^-3 = 2 ( 2 - 0 )
,
+ T acó B C = 2 A D » ^
'» C Í 7 ; 0 ) .
[ y ,+ 2 = 2 ( 5 - 4 )
^ ’

■

Vậy A (4;0),B (3;-2) và c(7;0) là điểm cần tìm.
Nhận xét: Đ ể giải bài toán ta sử dụng kiến thức tham số hóa điểm thuộc đường thẳng cho trước, sử
dụng khoảng cách-tỉlệ khoảng cách tìm tọa độ các đỉnh A, B,

c.

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
+ Phương pháp tham số hóa điểm theo đường thẳng cho trước:
/
..r
r. n
tnx + p
Điểm
Pe(d)
:mx + ny
ny++ p = 0=> ppị a ; ---iểm p
e(d):mx
^
n )
+ Khoảng cách từ điểm M
) tới phương trình đường thẳng (A):mx + ny + p = 0 được
' \mx..+ny..+p\
xác định theo công thức ư(M; a ) = J
^ — -.
+n^
+ Tính chất vecto: M (x;y),ỹ(z;í) với “ =

[y - kt

Áp dụng cho bài toán:
+ Tham số hóa toa đô điểm B e A .D o

d{D-,AC)

=

DE

AD

=2 ( £ = v4 C n B D ),ta c ó đ iể m B .

+ Để loại nghiệm sử dụng tính chất: (4Xg + 7yg - 28)(4Xjj + 7y^ - 28) < 0
+ Tương tự Ae[d)=> DA, B A . Mặt khác , DA.BA = 0 » A .
+ Tính tọa độ điểm c : BC = 2AD =>c .

+ Điều kiện X > 0 .
+ Phương trình thứ nhất tương đương với y

_
X

ịy
\

-2 =0
X

.


Thần Tốc Luyện Đề TUPTQuốc Gia Môn Tóán học

+1

y^+2

= - 1 (Vô nghiệm)

= 0<^
= 2 o

+ Thế

1 /^ + 1 = 4 ; c - l

+ l = 4 x - l vào phương trình thứ hai, ta được V 4x-1 + ^ 2 x - l = 1 .

+ Đ ặ tị^ ~ yl 4 x - l -,a> 0
\b = ^ 2 x - l

phương trình trở thành

ịa + b = l
\a = l - b
ịa -1
\a^ -2b^ = l ^ \ 2 b ^ -b^ +2b = 0 ^ \ b = 0
=l
.
[V 4 x -l= l _ Í4 x -l = l
1
.
+ V ơii, „ ,t a đ ư ơ c ( V——
<=>(
<=>x = —=>y = 0 .

[b^o
■
=0
[2 x - l = 0
2
Hệ phương trình có nhiệm :(x-y)
:(x-y)== —-0 •
v2 y
N hận xét: Hướng giải: Sử dụng phương pháp phân tích nhân tủ và đặt ẩn phụ.

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
+ Từ phương trình thứ 2 của hệ khó tìm được mối quan hệ giữa X, y . Ta xét phương trình thứ
nhất cùng sự phân tích cơ bản.
+ Phương trình thứ nhất của hệ coi ẩn t =

phương trình ẩn í ta có => y^ + 1 = 4x - 1

+ Thay y^ + 1 = 4x - 1 vào phương trình thứ 2 ta được V4 x - 1 + ^ 2 x - l = 1 • Với phương trình
vô tỉ cơ bản, chọn phương pháp sử dụng 2 ẩn phụ a = V4 x - ĩ - b - ^ 2 x - l • Ta tìm được nghiệm
của hệ phương trình.

Lưu ý; Ta có thể sử dụng phương pháp nhận lượng liên hợp hoặc hàm số để giải phương trình
V 4 x -l+ ^ 2 x -l= l-

+ Do các số x ,y ,z e (0 ;l) nên x -x ^ > 0 ;y -y ^ > 0 ;z -z ^ > 0 = > ( x - y z ) ( y - z x ) ( z - x y ) > 0 (’^).
+ Khi đó xảy ra các trường hợp:
• Hai trong ba số x - y z ;y - z x ;z - x y là số dương, số còn lại âm khi đó bất đẳng thức (*)
mang dẫu âm, nên bất đẳng thức luôn đúng.
• Một trong ba số là số dương, hai số còn lại âm; giả sử x - y z < 0 ; y - z x < 0 . Khi đó

X+ y - (x + y)z < 0 o (x + y )(l - z) < 0 <=> z > 1 (vô lý).
• Ba số X- yz; y - zx; z - x y là số âm, khi đó bất đẳng thức c*^) âm, không thỏa m ãn nên loại.
Vậy ba số X- yz; y - zx; z - xy đểu là số dương.
-T a chứng m inh yịxỹ[l - z ) > Ậ x - yz)(y - zx) ( 1 ).

-I- Thật vậy, (1) o xy(l - 2z + z^ Ị > xy - (x^ + y^ jz + xyz^ o (x - y)^ z > 0 đúng, đẳng thức xảy
ra khi X= y .

II


mMe9^book

Dãn Đầu Ku Hướng Sách Luyện Thi

+ Tương tự ta cũng có, - Ị ỹ z { l - x ) > ^ - zx ) ( z - x y ) (2 );

w k 4 ^ z ( l - y ) > Ặ x - y z ) ( z - x y ) (3).
+ Nhân từng vế của (1), (2), (3) ta được { x - x ^ ^ [ y - y ^ ^ [ z - z ^ ^ > { x - y z ) [ y - z x ) ị z - x y ) , đẳng
thức xảy ra khi và chỉ khi x - y - z (điều phải chứng minh).
Nhận xét: Bài toán chứng minh bất đẳng thức dựa trên cơ sở xét các trưởng hợp xảy ra với các biến

số. Dự đoán điểm rơi xảy ra với các biến đối xứng x = y = z .
Nhắc Ịại kiến thức và phương pháp:
Thứ tự thực hiện chứng m inh bất đẳng thức.
+ Do các số x ,y ,z e [ 0 - ,ĩ) = > x - x ^ , y - y ^ , z - z ^ > 0 = > (x - x ^ ỊỊy - y ^ jỊ 2 - z ^ Ị > 0 .
+ Ta xét các trường hợp nhỏ theo các biến: x - y z - , y - z x ; z - xy

+ Nếu vế phải có một sô âm thì bất đẳng thức được chứng minh.
+ Nếu hai trong 3 số dương => z > 1 (V ô lí).

- Chứng m inh ^ / ^ ( l - z ) > .J ( x - y z ) ( y - z x ) bằng phép biến đổi tương đương. Hoàn toàn
tương tự nhân các vế 3 bất đẳng thức
7 ^ (1

- z ) Ậ x - y z )(y - zx); 7 ỹ z ( l - x) > Ậ y - zx)(z - xy);Vx 2 > Ậ x - yz)( 2 - xy) •


Thần TỐC Luyện Đề THPTQuốc Gia Môn Tbán học

\ z ^

Ghi nhớ hành trình luyện thi Thành Công

Hành trình luyện thi Thành Công sẽ giúp các em dễ dàng ôn tập, phát hiện lỗ hổng kiến
thức, ghi nhớ những từ khóa quan trọng. Giúp em ôn tập nhanh nhất trong thời gian nước rút.

Các em hây lưu lại để dễ dàng ôn tập nhé.
Ngày............................................................
Thi lẩn........................................................
Số điểm đạt được........................ ./ w

STT

Những câu sai

Rút kinh nghiệm gì từ những câu sai

Thuộc chủ đề nào

m MGQS book

Dẩn Đ ầ i Ku Hướng Sách Luyện Thi

Bài học và kiến thức rút ra từ đề thi này.

Trong tất cả những tặng vật mà Tạo Hóa ban tặng cho con người thì
nụ cưĩÂ được xỂp ở vị trí đâu từn.
-Mơrman Cữusừis
Bạn hcty cười k n - C ả th ếgịầ sẽ rtàm cứời v ấ bạn.
- Matteu) Green

Bạn biết ai đây chứ?

m

ì


Thần Tốc Luyện Đề THPTQụấc Gia M ôn Tbán học

’ Đ Ể TH Ử

sức

(1điểm). Cho hàm số y - x ^ - Imx^ + 2.
a) Khảo sát và vẽ đổ thị hàm số khi m = 1.
b) Tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp gấp
đôi bán kính đường tròn nội tiếp.

Đáp số: m-yÍ3

(1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sổ y =f{x) =yỊ^x-x trên đoạn

2 ^^

Đáp số: max / (x) - 2 ; min / (x) = ^

♦ (1,0 điểm),
a) Tìm số phức 2: thỏa mãn Ịl + 1 \/3 jz + |z| = 3.
-^3
Đáp số: z = —- ỉ ^
r
2
2
b) Giải phương trình log 3( 3 '' - 8 ) = 2 - X

Đáp số: x = 2

7Ĩ

(1,0 điểm). Tính tích phân I =

Ị’oVlsina:.cosx
dx
+ 3sinx

Đáp
i' số: I = —
27

♦(1,0 điểm). Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD có B (3;0;8),D (-5;-4;0)
và điểm A thuộc mặt phẳng (O xy). Tìm tọa độ điểm c .
Đáp số: C (-3;-6;8),C

♦(1,0 điểm).
a) Giải phương trình lượng giác: sin^ X + cos^ X = cos4x

Đáp SÔ:

x =—

b) Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất có 6 quả trắng ,4 quả đen. Hộp thứ 2 có 4 quả
trắ n g , 6 quả đen. Từ mỗi hộp lấy ra 1 quả. Tính xác suất để hai quả lấy ra khác màu.

Đáp số: 13
25

♦ (1,0 điểm). Cho hình chóp
BCD có AB = AC = AD = a, BAC -120°, BAD - 60° và tam
giác BCD là tam giác vuông tại D . Tính thể tích khối chóp A.BCD và khoảng cách giữa hai
đường thẳng AD ,BC .
Đảp số:

BCD

12

11

IU M eQ a b o o k Dẫn Đầu Xu Hướng Sách Luyện Thi

2 ^ (1/0điểm). Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A , trực tầm H (-3;2 ) . Gọi
^ lần lượt là chân đường cao kẻ từ B,c. Biết điểm A thuộc đường thẳng [ d y . x - 3 y - 3 = 0
, điểm F(-2;3) thuộc đường thẳng DE và HD = 2 . Tìm tọa độ đỉnh A .
Đáp số: A(3;0)
^ (1/0điểm). Giải hệ phương trình

^ +l{x + y ^ - x
\x^ +y^ + ị x y - 2 1

y +2

Đáp số: (x;y) = (l;3 );(-3 ;-l)

>(1,0 điểm). Cho các số thực x , y , z e ( 0 ; l ):xy + yz + z x ^ \ .
X

Chứng m inh rằng: —^^
1-

+

y
z
^ >
^ + ——
2
\ - y ^ 1 - z2

Thần Tốc Luyện Đề ThíPTQuốc Gia Môn 'bán học

Hciy coi đè thử sức như một làn thi thật, các em hãy vừĩ lời giải, thật cẩn thận
nhé. Có thể số ta n g g i^ khỡng dủ, em hãy ìầm và kẹp vào sách dể dễ dàng ỡn
tập nhé. Hãy hổm thừi gian và tự thưởng cho mình nái dặt điềm cao nhé.

Chúc em thi tốt!