Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng trong hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN NGỌC PHƯƠNG

NGUYÊN LÝ TỰA ĐỘ LỆCH SUY RỘNG
TRONG HIỆU CHỈNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, 5/2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN NGỌC PHƯƠNG

NGUYÊN LÝ TỰA ĐỘ LỆCH SUY RỘNG
TRONG HIỆU CHỈNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

PGS.TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN, 5/2017


iii

Mục lục
Lời cảm ơn

v

Bảng ký hiệu

1

Mở đầu

2

Chương 1. Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu
1.1 Hệ phương trình toán tử trong không gian Banach . . . . . .

5
5

1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.2

1.3

Khái niệm và ví dụ về không gian Banach, không
gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Hệ phương trình toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . 13

Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . 15
1.2.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . 16
Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu . . . . . . . . . 17
1.3.1

Hiệu chỉnh trong trường hợp fi = 0 . . . . . . . . . . 19

1.3.2

Hiệu chỉnh trong trường hợp fi = 0 . . . . . . . . . . 22

Chương 2. Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng chọn tham số hiệu
chỉnh
27
2.1

Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1

2.1.2

Nguyên lý độ lệch suy rộng . . . . . . . . . . . . . . 27
Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng . . . . . . . . . . . . 30


iv

2.2

Tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1 Tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.2

Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Kết luận

40

Tài liệu tham khảo

41


v

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học–Đại học Thái
Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Khoa học–Đại
học Thái Nguyên tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và động
viên của các thầy cô giáo của khoa Toán–Tin và các thầy cô giáo trong
trường. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Trung học phổ
thông Nhã Nam – Huyện Tân Yên – Tỉnh Bắc Giang và các anh chị em
đồng nghiệp đã tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học
Cao học.
Xin cảm ơn các anh chị em học viên lớp cao học K9C và bạn bè đồng
nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập
và làm luận văn tại trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Ngọc Phương


1

Bảng ký hiệu
R
H

tập hợp số thực
không gian Hilbert thực

E

không gian Banach

E∗
Lp [a, b], 1 < p < ∞

không gian đối ngẫu của E
không gian các hàm khả tích bậc p

lp , 1 < p < ∞

trên đoạn [a, b]
không gian các dãy số khả tổng bậc p

∅
∀x

tập rỗng
với mọi x

D(A)
R(A)

miền xác định của toán tử A
miền ảnh của toán tử A

I
xn → x0

toán tử đồng nhất
dãy {xn } hội tụ mạnh về x0

xn

dãy {xn } hội tụ yếu về x0

x0

Js
J

ánh xạ đối ngẫu tổng quát
ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

j

ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị


2

Mở đầu
Nhiều vấn đề của khoa học, công nghệ và kinh tế . . . dẫn đến việc giải
các bài toán mà nghiệm của chúng không ổn định theo dữ kiện ban đầu,
tức là có một thay đổi nhỏ của các dữ liệu đầu vào có thể dẫn đến sự sai
khác rất lớn của nghiệm, thậm chí làm cho bài toán trở lên vô nghiệm
hoặc vô định. Người ta nói những bài toán đó đặt không chỉnh.
Khái niệm bài toán đặt chỉnh và đặt không chỉnh được J. Hadamard
đưa ra vào đầu thế kỷ XX khi nghiên cứu các điều kiện biên lên nghiệm
của các phương trình eliptic cũng như parabolic (xem [6] và tài liệu trích
dẫn).
Lý thuyết bài toán đặt không chỉnh đã được các nhà toán học hàng

đầu thế giới đặt nền móng cho việc nghiên cứu như: V.K. Ivanov, M.M.
Lavrentev, A.N. Tikhonov. . . . Gần đây, do tầm quan trọng trong ứng dụng
mà lớp bài toán này được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan
tâm nghiên cứu như: Ya.I. Alber, A.B. Bakushinsky, P.K. Anh, Đ.Đ. Áng,
Ng. Bường, Đ.N. Hào . . .
Để giải lớp bài toán này ta phải sử dụng các phương pháp giải ổn định,
sao cho khi sai số của các dữ kiện đầu vào càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm
được càng gần với nghiệm đúng của bài toán ban đầu. Các phương pháp
giải bài toán đặt không chỉnh khi biết thêm thông tin định tính về nghiệm
là: phương pháp chọn, phương pháp tựa nghiệm, phương pháp sử dụng
phương trình xấp xỉ. Trong trường hợp tổng quát khi không biết thêm
thông tin về nghiệm, ta có thể sử dụng phương pháp hiệu chỉnh do A.N.


3

Tikhonov đề xuất, dựa trên việc xây dựng toán tử hiệu chỉnh và cách chọn
giá trị của một tham số mới đưa vào.
Năm 1963 A.N. Tikhonov (xem [15]) đã đưa ra phương pháp hiệu chỉnh
cho phương trình toán tử đặt không chỉnh
A(x) = f,

(1)

với A : H → H là toán tử liên tục và đóng yếu trong không gian Hilbert
thực H.
Năm 1966 F. Browder (xem [11]) đã đưa ra một dạng khác của phương
pháp hiệu chỉnh Tikhonov, được gọi là phương pháp hiệu chỉnh Browder–
Tikhonov, với A là toán tử phi tuyến đơn điệu từ không gian Banach E
vào E ∗ , ở đây E ∗ là không gian liên hợp của E. Tư tưởng của phương pháp

là sử dụng toán tử M : E → E ∗ có tính chất hemi-liên tục và đơn điệu
mạnh làm thành phần hiệu chỉnh. J s , ánh xạ đối ngẫu tổng quát của E,
là một toán tử có tính chất như vậy. Ya.I. Alber (xem [5]) sử dụng ánh xạ
này để xây dựng phương trình hiệu chỉnh
Ah (x) + αJ s (x − x∗ ) = f δ ,

(2)

cho bài toán (1), ở đây Ah là xấp xỉ của A, f δ là xấp xỉ của f , x∗ là phần
tử cho trước thuộc E và α là tham số mới đưa vào.
Một trong các mở rộng của bài toán (1) là bài toán tìm nghiệm của hệ
phương trình toán tử đặt không chỉnh
Ai (x) = fi ,

i = 0, 1, . . . , N,

(3)

ở đây, Ai : E → E ∗ là các toán tử đơn điệu, đơn trị và fi ∈ E ∗ . Năm 2006,
Ng. Bường (xem [9]) đã kết hợp các phương trình hiệu chỉnh dạng (2) để
hiệu chỉnh cho hệ phương trình (3) trong trường hợp vế phải fi = 0 trên
cơ sở xây dựng phương trình phụ thuộc tham số
N

αµi Ahi (x) + αJ(x) = 0
i=0

µ0 = 0 < µi < µi+1 < 1,

i = 1, 2, ..., N − 1,

(4)


4

ở đây Ahi là xấp xỉ của Ai , α là tham số hiệu chỉnh, J là ánh xạ đối ngẫu
chuẩn tắc của E, h là sai số cho trước.
Tham số hiệu chỉnh có thể được chọn tiên nghiệm hoặc hậu nghiệm.
Năm 2006, Ng. Bường (xem [9]) đã sử dụng nguyên lý độ lệch suy rộng để
chọn tham số hiệu chỉnh cho phương trình (4). Tham số hiệu chỉnh α phụ
thuộc vào h được xác định từ phương trình:
ρ(α) = hp α−q ,

p, q > 0,

ở đây ρ(α) = α(a0 + xhα ), với mỗi h > 0, a0 là hằng số dương cho trước,
xhα là nghiệm của (4) phụ thuộc liên tục vào α ∈ (0, α0 ], α0 > 0.
Mục đích của luận văn là trình bày phương pháp chọn tham số hiệu
chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch suy rộng cho hiệu chỉnh hệ phương trình
toán tử (3), nghiên cứu sự hội tụ và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm
hiệu chỉnh dựa trên cách chọn tham số hiệu chỉnh này trên cơ sở bài báo
[10] của Nguyễn Bường và các đồng tác giả công bố năm 2015.
Nội dung của luận văn, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham
khảo gồm có 2 chương. Chương 1 giới thiệu hệ phương trình toán tử đặt
không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu
trong không gian Banach. Chương 2 trình bày nguyên lý tựa độ lệch suy
rộng chọn tham số hiệu chỉnh, đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu
chỉnh và giới thiệu ví dụ minh họa cho sự hội tụ của phương pháp hiệu
chỉnh với tham số hiệu chỉnh chọn tiên nghiệm.

5

Chương 1

Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử
đơn điệu
Chương này giới thiệu về hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không
chỉnh trong không gian Banach và phương pháp hiệu chỉnh hệ phương
trình toán tử đơn điệu. Nội dung của chương được trình bày trong 3 mục.
Mục 1.1 giới thiệu về hệ phương trình toán tử đơn điệu. Mục 1.2 trình bày
khái niệm và ví dụ về bài toán đặt không chỉnh. Mục 1.3 trình bày phương
pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh. Các
kiến thức của chương này được tham khảo từ các tài liệu [1]–[4], [6], [7],
[9]–[12] và [16].

1.1

Hệ phương trình toán tử trong không gian Banach

Để chuẩn bị cho việc trình bày phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình
toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach ở mục sau,
mục này giới thiệu định nghĩa, ví dụ và một số tính chất hình học của
không gian Banach, không gian Hilbert; định nghĩa, ví dụ và một số tính
chất của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, toán tử đơn điệu, toán tử đơn điệu
mạnh, toán tử ngược đơn điệu mạnh trong không gian Banach. Phần cuối
giới thiệu về hệ phương trình toán tử đơn điệu.

6

1.1.1

Khái niệm và ví dụ về không gian Banach, không gian
Hilbert

Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn.
Định nghĩa 1.1.1 Dãy {xn } trong không gian tuyến tính định chuẩn E
được gọi là hội tụ mạnh tới x0 ∈ E, viết là xn → x0 hay limn→∞ xn = x0 ,
nếu xn − x0 → 0 khi n → ∞.
Định nghĩa 1.1.2 Dãy {xn } trong không gian tuyến tính định chuẩn E
được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu với mọi ε > 0, tồn tại n0 (ε)
sao cho xm − xn < ε với mọi m > n0 (ε) và n > n0 (ε).
Nhận xét 1.1.3 Mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy nhưng điều ngược lại
không đúng.
Định nghĩa 1.1.4 (i) Không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ, tức là
mọi dãy Cauchy đều hội tụ, là không gian Banach.
(ii) Không gian tích vô hướng đầy đủ là không gian Hilbert.
Ví dụ 1.1.5 Không gian Lp [a, b], 1 ≤ p < ∞ là không gian Banach với
chuẩn

1/p

b
p

| f (t) | dt

f =

,

f ∈ Lp [a, b].

a

Không gian L2 [a, b] là không gian Hilbert.
Định nghĩa 1.1.6 Cho E, F là hai không gian tuyến tính định chuẩn,
A1 , A2 là các toán tử tuyến tính bị chặn từ E vào F , ta định nghĩa
(A1 + A2 )x = A1 x + A2 x với mọi x ∈ E;
(αA1 )x = αA1 x với mọi x ∈ E, α ∈ R.
Kí hiệu B(E, F ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ E vào F .
Khi đó B(E, F ) là không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn được xác


7

định như sau:
A

B

= inf{M : Ax ≤ M x , x ∈ E}
= sup

Ax
: x = 0, x ∈ E
x

= sup{ Ax : x ∈ E, x ≤ 1}
= sup{ Ax : x ∈ E, x = 1}.
Định lý 1.1.7 (xem [3]) Nếu F là không gian Banach thì B(E, F ) là không
gian Banach.
Định nghĩa 1.1.8 Không gian các phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên
không gian tuyến tính định chuẩn E được gọi là không gian liên hợp của
E, kí hiệu là E ∗ .
Nhận xét 1.1.9 E ∗ = B(E, R) với chuẩn của phần tử f ∈ E ∗ được xác
định bởi
f = sup |f (x)| : x ∈ SE ,
ở đây SE ký hiệu là mặt cầu đơn vị của E, nghĩa là SE := {x ∈ E : x =
1}.
Ví dụ 1.1.10
(i) Không gian liên hợp của Rn là Rn ;
(ii) Không gian liên hợp của lp là lq , 1 < p < ∞ và

1 1
+ = 1;
p q

(iii) Không gian liên hợp của Lp [0, 1] là Lq [0, 1], 1 < p < ∞ và

1 1
+ = 1.
p q

Định lý 1.1.11 (xem [4]) Không gian liên hợp E ∗ của không gian tuyến
tính định chuẩn E là không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.12 Không gian Banach E được gọi là phản xạ nếu với
mọi phần tử x∗∗ ∈ E ∗∗ , không gian liên hợp thứ hai của E, đều tồn tại

phần tử x ∈ E sao cho
x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) với mọi x∗ ∈ E ∗ .


8

Ví dụ 1.1.13 Không gian Rn , không gian Hilbert H, không gian lp , Lp [a, b]
với 1 < p < ∞ là các không gian phản xạ.
Định nghĩa 1.1.14 Dãy {xn } trong không gian tuyến tính định chuẩn E
được gọi là hội tụ yếu tới x0 ∈ E, viết là xn
có f (xn ) → f (x0 ) khi n → ∞.

x0 , nếu với mọi f ∈ E ∗ ta

Nhận xét 1.1.15 Một dãy hội tụ mạnh thì hội tụ yếu. Điều ngược lại
không đúng.
Ví dụ, dãy {en }∞
n=1 trong không gian Hilbert l2 với en = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . )
hội tụ yếu đến 0, nhưng không hội tụ mạnh về 0, do en = 1.
Nhận xét 1.1.16 Trong không gian hữu hạn chiều, khái niệm hội tụ mạnh
và hội tụ yếu là tương đương.
Định lý 1.1.17 (xem [3]) Giả sử E là không gian Banach. Khi đó, các
mệnh đề sau là tương đương
(i) E là không gian phản xạ;
(ii) Mọi dãy bị chặn trong E đều có dãy con hội tụ yếu.
Định nghĩa 1.1.18 Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với
mọi x, y ∈ SE sao cho x = y ta có
(1 − λ)x + λy < 1,

λ ∈ (0, 1).

Định nghĩa 1.1.18 còn có thể phát biểu dưới dạng tương đương như sau:
Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ SE thỏa mãn
x+y
=1
2
suy ra x = y; hoặc với mọi x, y ∈ SE , x = y ta có
x+y
< 1.
2


9

Ví dụ 1.1.19 Không gian Rn , n ≥ 2 với chuẩn x
n

x

2

được xác định bởi

1/2

x2i

=

2

,

x = (x1 , x1 , . . . , xn ) ∈ Rn

i=1

là không gian Banach lồi chặt.
Mệnh đề 1.1.20 (xem [4]) Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của
không gian Banach phản xạ và lồi chặt E. Khi đó, với mỗi x ∈ E tồn tại
duy nhất một điểm y ∈ C thỏa mãn
x − y = inf x − z .
z∈C

Chú ý 1.1.21 Điểm y ∈ C thỏa mãn Mệnh đề 1.1.20 còn được gọi là xấp
xỉ tốt nhất của x ∈ E.
Sau đây là một số tính chất hay sử dụng của không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.22 Không gian Banach E được gọi là có tính chất KadecKlee nếu với mọi dãy {xn } ⊂ E hội tụ yếu đến x ∈ E và xn → x thì
dãy {xn } hội tụ mạnh đến x.
Định nghĩa 1.1.23 Không gian Banach phản xạ E được gọi là có tính
chất Ephimov–Stechkin (hay tính chất ES) nếu E lồi chặt và có tính chất
Kadec–Klee.
Ví dụ 1.1.24 Không gian Hilbert là không gian có tính chất ES.
1.1.2

Toán tử đơn điệu

Cho E là không gian Banach phản xạ thực, E ∗ là không gian liên hợp
của E, A : E → E ∗ là toán tử đơn trị với miền xác định là D(A) ≡ E,
miền ảnh R(A) nằm trong E ∗ và ϕ : E → R ∪ {+∞} là một phiếm hàm

lồi chính thường. Ta ký hiệu x∗ , x thay cho x∗ (x) với x ∈ E và x∗ ∈ E ∗ .
Định nghĩa 1.1.25 Hàm ϕ : E → R ∪ {+∞} được gọi là


10

(i) nửa liên tục dưới trên E nếu
lim inf ϕ(y) ≥ ϕ(x) ∀x ∈ E;
y→x

(ii) nửa liên tục dưới yếu trên E nếu với mọi dãy {xn }: xn

x thì

lim inf ϕ(xn ) ≥ ϕ(x) ∀x ∈ E;
n→∞

(iii) khả vi Gâteaux tại điểm x ∈ E nếu tồn tại x∗ ∈ E ∗ sao cho
ϕ(x + λy) − ϕ(x)
= x∗ , y
λ→+0
λ
lim

∀y ∈ E,

và x∗ được gọi là đạo hàm Gâteaux của ϕ tại x, kí hiệu là ϕ (x).
Định nghĩa 1.1.26 Toán tử đơn trị A : E → E ∗ được gọi là
(i) đơn điệu nếu
A(x) − A(y), x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ E;

A được gọi là đơn điệu chặt trên E nếu dấu "=" của bất đẳng thức
trên chỉ xảy ra khi x = y;
(ii) đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm không âm δ(t), không giảm với
t ≥ 0, δ(0) = 0 và thỏa mãn tính chất
A(x) − A(y), x − y ≥ δ x − y

∀x, y ∈ E;

nếu δ(t) = cA t2 , cA là hằng số dương thì A được gọi là đơn điệu mạnh;
(iii) bức nếu
lim

x →+∞

A(x), x
= +∞.
x

Định nghĩa 1.1.27 Một toán tử đơn trị đơn điệu A : E → E ∗ được gọi
là đơn điệu cực đại nếu đồ thị G(A) := {(Ax, x) : x ∈ D(A)} của nó không
bị chứa thực sự trong đồ thị của một toán tử đơn điệu nào khác.
Ví dụ 1.1.28 Toán tử A : R → R xác định bởi A(x) = x3 là toán tử đơn
điệu cực đại trên R.


11

Định nghĩa 1.1.29 Toán tử A : E → E ∗ được gọi là λ-ngược đơn điệu
mạnh nếu tồn tại hằng số dương λ sao cho
A(x) − A(y), x − y ≥ λ A(x) − A(y)

2

∀x, y ∈ E.

Định nghĩa 1.1.30 Toán tử A : E → E ∗ được gọi là
(i) hemi-liên tục tại x0 ∈ E nếu A(x0 + tn x)
A(x0 ) khi tn → 0 với mọi
x thỏa mãn x0 + tn x ∈ E và 0 ≤ tn ≤ t(x0 );
(ii) demi-liên tục trên E nếu từ xn → x suy ra A(xn )

A(x);

(iii) thế năng nếu A(x) là đạo hàm của phiếm hàm lồi ϕ(x).
Nhận xét 1.1.31 Một toán tử đơn điệu và hemi-liên tục trên E thì demiliên tục trên E.
Định nghĩa 1.1.32 Toán tử A : E → E ∗ được gọi là L-liên tục Lipschitz
nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho với mọi x1 , x2 ∈ E ta có
A(x1 ) − A(x2 ) ≤ L x1 − x2 .
Nhận xét 1.1.33 Mọi toán tử λ-ngược đơn điệu mạnh là toán tử đơn
điệu và liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L = 1/λ.
∗
Ký hiệu 2E là tập các tập con của E ∗ .
∗

Định nghĩa 1.1.34 Ánh xạ J s : E → 2E (nói chung là đa trị) được định
nghĩa bởi
J s (x) = x∗ ∈ E ∗ : x∗ , x = x∗

s−1

x = x s , x ∈ E}, s ≥ 2

gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của E.
Khi s = 2 thì J s được viết là J và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn
tắc của E. Trong không gian Hilbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là ánh
xạ đơn vị I.
Mệnh đề sau chỉ ra ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc có tính đơn trị.


12

Mệnh đề 1.1.35 (xem [7]) Giả sử E là không gian Banach thực, J : E →
E ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E. Khi đó,
(i) J(0) = {0};
(ii) J là một ánh xạ lẻ, tức là J(−x) = −J(x) với mọi x ∈ E;
(iii) J là thuần nhất dương, tức là J(λx) = λJ(x) với mọi λ > 0, mọi
x ∈ E;
(vi) Với mỗi x ∈ E, J(x) là tập lồi đóng bị chặn và khác rỗng;
(v) Nếu E ∗ là không gian lồi chặt thì J là ánh xạ đơn trị.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh J là ánh xạ lẻ. Các chứng minh khác
được làm tương tự.
Thật vậy, giả sử x∗ ∈ J(−x). Theo định nghĩa ánh xạ đối ngẫu chuẩn
tắc ta có
x∗ , −x = x∗

− x = − x 2.

Xét
−x∗ , x = (−1)2 x∗ , −x = (−1)2 x∗

− x = (−1)2 − x 2 ,

hay
−x∗ , x = − x∗

x = x 2,

chứng tỏ −x∗ ∈ J(x), hay x∗ ∈ −J(x).
Ngược lại, giả sử x∗ ∈ −J(x), hay −x∗ ∈ J(x). Ta có:
−x∗ , x = − x∗

x = x 2.

Xét
x∗ , −x = (−1)2 −x∗ , x = (−1)2 − x∗

x = (−1)2 x 2 ,

hay
x∗ , −x = x∗
chứng tỏ x∗ ∈ J(−x).

− x = − x 2,


13

Một trong những ví dụ về toán tử đơn điệu, đơn điệu chặt và toán tử
có tính chất bức là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của không gian Banach
E. Đó là nội dung của định lý sau.

Định lý 1.1.36 (xem [7]) Nếu E ∗ là không gian Banach lồi chặt thì ánh
xạ đối ngẫu chuẩn tắc J là toán tử đơn điệu, bức và demi-liên tục. Hơn
nữa, nếu E cũng là không gian Banach lồi chặt thì J là toán tử đơn điệu
chặt.
Định nghĩa 1.1.37 Với toán tử r : E → E ∗ , ta sẽ viết r(x) = o( x ) với
x → 0 nếu r(x)/ x → 0 khi x → 0.
Toán tử A : E → E ∗ được gọi là khả vi Fréchet tại điểm x ∈ E, nếu tồn
tại T ∈ B(E, E ∗ ) sao cho
A(x + h) = A(x) + T h + o( h ),
với mọi h thuộc một lân cận của điểm 0. Nếu tồn tại, thì T được gọi là
đạo hàm Fréchet của A tại điểm x và ta viết A (x) = T .
Đạo hàm Gâteaux của một hàm lồi có tính chất đơn điệu, đó là nội
dung của mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.1.38 (xem [12]) Cho ϕ : E → R ∪ {+∞} là một hàm khả vi
Gâteaux trên E. Khi đó, điều kiện cần và đủ để hàm ϕ lồi trên E là đạo
hàm Gâteaux ϕ của nó là một toán tử đơn điệu từ E vào E ∗ .
1.1.3

Hệ phương trình toán tử đơn điệu

Cho E là không gian Banach phản xạ thực, E ∗ là không gian liên hợp
của E, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là . .
Xét hệ phương trình toán tử
Ai (x) = fi ,

i = 0, 1, . . . , N,

(1.1)

ở đây N là số nguyên dương cố định, Ai : E → E ∗ là các toán tử hemi-liên

tục và có tính chất thế năng, fi ∈ E ∗ . Gọi Si là tập nghiệm của phương


14
N

trình thứ i của hệ (1.1). Ta luôn giả thiết S =

Si khác rỗng. Khi đó, S
i=0

là tập con lồi đóng trong E.
Trong trường hợp Ai là đạo hàm Gâteaux của một phiếm hàm lồi chính
thường nửa liên tục dưới ϕi : E → R ∪ {+∞} và fi = 0 thì tập Si trùng
với tập nghiệm của bài toán cực trị
inf ϕi (x)

x∈E

và là tập lồi đóng trong E, với mỗi i = 0, 1, . . . , N . Kết quả này được suy
ra từ bổ đề Minty và các mệnh đề dưới đây.
Bổ đề 1.1.39 (xem [16]) Cho E là một không gian Banach thực, E ∗ là
không gian liên hợp của E, f ∈ E ∗ và A là một toán tử hemi-liên tục từ
E vào E ∗ . Khi đó, nếu tồn tại x0 ∈ E thỏa mãn bất đẳng thức
A(x) − f, x − x0 ≥ 0 ∀x ∈ E,
thì A(x0 ) = f .
Nếu A là toán tử đơn điệu trên E thì điều kiện trên tương đương với
A(x0 ) − f, x − x0 ≥ 0 ∀x ∈ E.
Bổ đề trên được gọi là bổ đề Minty, tên của nhà toán học Mỹ, người đã
chứng minh kết quả trên trong trường hợp E là không gian Hilbert. Sau

này cũng chính ông và Browder đã chứng minh một cách độc lập trong
không gian Banach.
Mệnh đề 1.1.40 (xem [12]) Giả sử ϕ : E → R ∪ {+∞} là một phiếm
hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới trên E và khả vi Gâteaux với đạo
hàm Gâteaux ϕ được giả thiết là liên tục. Khi đó, các phát biểu sau là
tương đương:
(i) x0 là điểm cực tiểu của ϕ(x) trên E;
(ii) ϕ (x0 ), x − x0 ≥ 0 với mọi x ∈ E;


15

(iii) ϕ (x), x − x0 ≥ 0 với mọi x ∈ E.
Mệnh đề 1.1.41 (xem [12]) Cho ϕ : E → R ∪ {+∞} là một phiếm hàm
lồi. Khi đó tập nghiệm của bài toán
inf ϕ(x)

x∈E

là tập lồi đóng, có thể là tập rỗng.

1.2
1.2.1

Bài toán đặt không chỉnh
Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh

Xét phương trình toán tử
A(x) = f,

(1.2)

trong đó A : E → F là một toán tử từ không gian Banach E vào không
gian Banach F , f là phần tử thuộc F. Sau đây là một định nghĩa của
Hadamard.
Định nghĩa 1.2.1 Bài toán (1.2) được gọi là bài toán đặt chỉnh (wellposed) nếu
(1) phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ F ;
(2) nghiệm này là duy nhất;
(3) và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.
Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thỏa mãn thì bài toán
(1.2) được gọi là bài toán đặt không chỉnh (ill-posed).
Bài toán tìm nghiệm x phụ thuộc vào dữ kiện f, nghĩa là x = R(f ),
được gọi là ổn định trên cặp không gian (E, F ) nếu với mỗi ε > 0 tồn tại
một số δ(ε) > 0 sao cho từ ρF (f1 , f2 ) ≤ δ(ε) cho ta ρE (x1 , x2 ) ≤ ε, ở đây
xi = R(fi ),

xi ∈ E, fi ∈ F, i = 1, 2.


16

Nhận xét 1.2.2 Một bài toán có thể đặt chỉnh trên cặp không gian này
nhưng lại đặt không chỉnh trên cặp không gian khác.
Trong nhiều ứng dụng thì vế phải của (1.2) thường được cho bởi đo đạc,
nghĩa là thay cho giá trị chính xác f, ta chỉ biết xấp xỉ f δ của nó thỏa
mãn f δ − f ≤ δ. Giả sử xδ là nghiệm của bài toán (1.2) với f thay bởi
f δ (giả thiết rằng nghiệm tồn tại). Khi δ → 0 thì f δ → f nhưng với bài
toán đặt không chỉnh thì xδ nói chung không hội tụ đến x.
1.2.2

Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh

Xét phương trình toán tử (1.2) với A là một ma trận vuông cấp M = 4
được xác định bởi



2
2
2
2


2 2, 001

2
2

A=
2
2
2, 001
2 


2
2
2
2, 001
và vế phải

T

f = 8 8, 001 8, 001 8, 001

∈ R4 .

Khi đó phương trình A(x) = f có duy nhất nghiệm (1, 1, 1, 1)T ∈ R4 .
Nếu
A = Ah1


2
2
2

2 2, 001
2
=
2
2
2, 001

2
2
2


2

2


2

2

và vế phải
T

f = fδ1 = 8 8, 001 8, 001 8
thì phương trình A(x) = f có vô số nghiệm.

∈ R4


17

Nếu
A = Ah1


2
2
2

2 2, 001
2
=
2
2
2, 001


2
2
2


2

2

2

2

và vế phải
T

f = fδ2 = 8 8, 001 8, 001 8, 001

∈ R4

thì phương trình A(x) = f vô nghiệm.
Như vậy ta thấy chỉ cần một thay đổi nhỏ trong dữ kiện ban đầu (ma
trận A và vế phải f ) đã dẫn đến thay đổi lớn của nghiệm. Vậy bài toán
đã cho là bài toán đặt không chỉnh.
Vì tính không duy nhất của nghiệm của bài toán đặt không chỉnh nên
người ta thường có tiêu chuẩn cho sự lựa chọn của nghiệm. Ta sẽ sử dụng
nghiệm x0 sao cho x0 − x∗ có chuẩn nhỏ nhất, nghĩa là ta tìm nghiệm
x0 ∈ S thỏa mãn
A(x0 ) = f,

và
x0 − x∗ = min{ x − x∗ : Ax = f },
trong đó S là tập nghiệm của bài toán (1.2), được giả thiết là khác rỗng.
Bằng cách chọn x∗ ta có thể có được nghiệm mà ta muốn xấp xỉ.

1.3

Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu

Xét bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình toán tử được đề cập ở
Mục 1.1: Tìm phần tử x0 ∈ E thỏa mãn:
Ai (x0 ) = fi ,

∀i = 0, 1, . . . , N,

(1.3)

ở đây N là số nguyên dương cố định, Ai : E → E ∗ là các toán tử hemi-liên
tục, có tính chất thế năng và fi ∈ E ∗ .
Khi các toán tử Ai , i = 0, 1, . . . , N không có tính chất đơn điệu đều hoặc
đơn điệu mạnh, thì bài toán tìm nghiệm của mỗi phương trình trong hệ


18

(1.3), nói chung, là một bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa nghiệm không
phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Do đó, bài toán tìm nghiệm của
hệ (1.3), nói chung, cũng là bài toán đặt không chỉnh. Để giải bài toán đặt
không chỉnh ta phải sử dụng những phương pháp ổn định, sao cho khi sai
số của dữ kiện đầu vào càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với

nghiệm đúng của bài toán ban đầu. Một trong những phương pháp được
sử dụng rộng rãi và khá hiệu quả là phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov.
Năm 1966, Browder (xem [11]) nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh
Browder–Tikhonov hiệu chỉnh phương trình toán tử A(x) = f trên cơ sở
sử dụng phương trình hiệu chỉnh
Ah (x) + αM (x) = f δ ,

(1.4)

ở đây Ah là xấp xỉ của toán tử A, f δ là xấp xỉ của f , M : E → E ∗ là toán
tử có tính chất hemi-liên tục, đơn điệu mạnh. Ánh xạ đối ngẫu tổng quát
J s của E là một dạng của toán tử M , do đó trong [6], người ta đề xuất
phương trình hiệu chỉnh dạng:
Ah (x) + αJ s (x − x∗ ) = f δ ,

(1.5)

ở đây x∗ ∈ E là phần tử cho trước, Ah là toán tử đơn điệu, hemi-liên tục
và là xấp xỉ của A thỏa mãn
A(x) − Ah (x) ≤ hg( x ),

h → 0,

(1.6)

g(t) là hàm không âm, bị chặn với t ≥ 0 và f δ là xấp xỉ của f thỏa mãn:
f − f δ ≤ δ,

δ → 0.

(1.7)

Tham số hiệu chỉnh α = α(δ) của phương trình (1.5) được chọn khi
A ≡ Ah được xác định từ phương trình
ρ(α) = Kδ p ,

0 < p < 1, K ≥ 1,

với ρ(α) = α xδα . Phương trình hiệu chỉnh (1.5) cùng với cách chọn
tham số hiệu chỉnh α = α(δ) như trên là thuật toán hiệu chỉnh Browder–
Tikhonov cho mỗi phương trình của hệ (1.3).


19

1.3.1

Hiệu chỉnh trong trường hợp fi = 0

Dựa trên việc sử dụng phương trình hiệu chỉnh (1.5) để hiệu chỉnh mỗi
phương trình trong (1.3), Nguyễn Bường (xem [9]) đã kết hợp các phương
trình dạng này để hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (1.3) trong trường
hợp fi = 0:
Ai (x) = 0,

i = 0, 1, . . . , N,

(1.8)

ở đây Ai : E → E ∗ là các toán tử hemi-liên tục và có tính chất thế năng,

trên cơ sở xây dựng phương trình phụ thuộc tham số
N

αµi Ahi (x) + αJ(x) = 0,

(1.9)

i=0

0 = µ0 < µi < µi+1 < 1, i = 1, 2, . . . , N − 1,
trong đó, J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E, α là tham số hiệu chỉnh
và Ahi là toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và là xấp xỉ của Ai thỏa mãn
Ai (x) − Ahi (x) ≤ hg( x ),

h → 0,

(1.10)

ở đây g(t) là hàm giới nội.
Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình (1.9) được trình bày trong
định lý sau đây:
Bổ đề 1.3.1 (xem [9]) Cho E là không gian Banach thực phản xạ, lồi
chặt, E ∗ , không gian liên hợp của E, là lồi chặt, Ahi : E → E ∗ là toán tử
đơn điệu, hemi-liên tục với D(Ai ) ≡ E, J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
của E. Khi đó, phương trình hiệu chỉnh (1.9) có duy nhất nghiệm với mỗi
α > 0.
N

Chứng minh. Ta thấy, với mỗi α > 0, ánh xạ A(.) =
i=0

αµi Ahi (.) là đơn

điệu, hemi-liên tục và D(A) ≡ E nên A là ánh xạ đơn điệu cực đại (xem
[6]). Hơn nữa, do E ∗ là không gian lồi chặt nên ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
J đơn trị, đơn điệu và hemi-liên tục. Mặt khác, D(J) ≡ E nên A + αJ
là ánh xạ đơn điệu cực đại. Do E là không gian lồi chặt nên J là ánh xạ


20

đơn điệu chặt, do đó A + αJ cũng là ánh xạ đơn điệu chặt. Vì vậy, với mỗi
α > 0 phương trình (1.9) có duy nhất nghiệm, kí hiệu là xhα .
✷
Sự hội tụ mạnh của dãy nghiệm xhα đến nghiệm đúng x0 của hệ (1.3)
được trình bày trong định lý sau.
Định lý 1.3.2 (xem [9]) Giả sử E là không gian Banach thực phản xạ có
tính chất ES; E ∗ , không gian liên hợp của E, là không gian Banach lồi
chặt; Ai : E → E ∗ là các toán tử hemi-liên tục, có tính chất thế năng;
Ahi : E → E ∗ là các toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và là xấp xỉ của Ai
thỏa mãn (1.10) với i = 0, 1, . . . , N ; tập S = N
i=0 Si khác rỗng. Khi đó,
nếu α, h/α → 0 khi h → 0 thì xhα → x0 ∈ S, thỏa mãn x0 = min x .
x∈S

Chứng minh. Từ (1.9) suy ra
N

αµi Ahi (xhα ), xhα − x + α J(xhα ), xhα − x = 0 ∀x ∈ S.
i=0

Từ (1.8), (1.10) và tính chất đơn điệu của Ahi ta có
J(xhα ), xhα − x ≤

h
g( x )(N + 1) xhα − x .
α

(1.11)

Sử dụng tính chất của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J ta suy ra:
xhα

2

− xhα

x +

c(h)
c(h)
≤ 0, c(h) = hg( x )(N + 1).
− x
α
α

Do đó,
c(h)
c(h)
+

x
.
(1.12)
α
α
Suy ra, dãy {xhα } bị chặn. Do E là không gian Banach phản xạ, nên tồn
tại một dãy con của dãy {xhα } hội tụ yếu đến một phần tử trong E. Ta giả
0 ≤ xhα ≤ x +

sử xhβ

x ∈ E. Trước hết, ta chứng minh x ∈ S0 . Thật vậy, từ tính chất