BÀI GIẲNG CƠ HỌC ĐẤT

Bi giảng cơ học đất

chơng III: phân bố ứng suất trong đất

Chơng III:

phân bố ứng suất trong đất

Bi 1

Phân bố ứng suất
do trọng lợng bản thân của đất

I. một số vấn đề cơ bản
1. áp lực nớc lỗ rỗng v ứng suất hiệu quả
Khi ứng suất bên ngoi truyền lên khối đất bão ho, áp lực nớc lỗ rỗng sẽ tăng tức
thời. Điều đó lm cho nớc lỗ rỗng có xu hớng chảy thoát khỏi hệ lỗ rỗng, áp lực
nớc lỗ rỗng sẽ giảm đi v ứng suất tác dụng truyền cho kết cấu hạt của đất. Tại
một thời điểm sau khi đặt tải, ứng suất tổng tác dụng sẽ cân bằng bởi hai thnh
phần nội ứng suất.
-

áp lực nớc lỗ rỗng (u): l áp lực gây ra trong chất lỏng (nớc, hoặc hơi nớc
v nớc) chứa đầy lỗ rỗng. Chất lỏng trong lỗ rỗng có thể truyền ứng suất
pháp nhng không truyền đợc ứng suất tiếp, vì thế không tạo đợc sức
chống cắt. Vì vậy đôi khi còn gọi l áp lực trung tính.

-

ứng suất hiệu quả (): l ứng suất truyền cho kết cấu đất qua chỗ tiếp xúc
giữa các hạt. Chính thnh phần ứng suất ny đã điều khiển cả biến dạng thay

đổi thể tích v sức chống cắt của đất vì ứng suất pháp v ứng suất tiếp truyền
qua đợc chỗ tiếp xúc hạt với hạt. Terzaghi (1943) chỉ ra rằng, với đất bão ho,
ứng suất hiệu quả có thể xác định theo sự chênh lệch giữa ứng suất tổng v áp
lực nớc lỗ rỗng:

= - u

(31-1)

Giả sử xác định ứng suất tại một điểm A nh
hình (3-1) v xem nh ứng suất thẳng đứng tại
điểm A nằm ở độ sâu (h1 # h2)
-

ứng suất tổng:

h1,
MNN

= h1. + h2.bh

ở điểm A gồm cả áp lực nớc lỗ rỗng (u) v
ứng suất có hiệu () tại điểm tiếp xúc giữa các
hạt đất.

h2; bh
A

Hình 3-1
Trong điều kiện hiện trờng tự nhiên không có dòng thấm, áp lực nớc lỗ rỗng

thuỷ tĩnh đợc đặc trng bởi mặt nớc ngầm hay mức nớc ngầm. Nếu mặt nớc

Bộ môn Địa Kỹ Thuật

Trang 1


Bi giảng cơ học đất

chơng III: phân bố ứng suất trong đất

ngầm nằm sâu dới mặt đất (dn) thì tại độ sâu (z ) , áp lực nớc lỗ rỗng thuỷ tĩnh
tính theo công thức:

uz = 9.81*(z-dn)

(31-3)

-

Khi z>dn , uz có giá trị dơng;

-

Khi zhút ẩm).

Trong nhiều bi toán, ứng suất hiệu quả tĩnh của lớp phủ cần tính tại một độ sâu đã
cho, theo phơng trình (3-1) :

z = z - u

(31-4)

Ví dụ 1:
Các lớp đất tại một công trờng gồm có:
0-4m cát chứa cuội (bh = 20kN/m3; = 19.2kN/m3)
( = 18.0kN/m3)

4-9m đất sét

Vẽ sơ đồ ứng suất hiệu quả / ứng suất tổng từ 0-9m khi mặt nớc ngầm ở trên đỉnh lớp sét
1m.

Bi giải:
Lớp cát chứa cuội ở dới mực nớc
ngầm l bão ho v có trọng lợng đơn
vị tự nhiên l 20kN/m3, cho nên độ tăng
ứng suất tổng theo độ sâu l:

z = bhxz = 20xz (kN/m2)
Trên mặt nớc ngầm, đất không bão ho
có trọng lợng đơn vị l 19.2kN/m3 v

z = xz = 19.2x.z (kN/m2)
Trong lớp sét, vì có tính thấm nhỏ kết
hợp với độ hút ẩm cao nên luôn tạo ra
sự bão ho ở trên mặt nớ ngầm.
ứng suất hiệu quả tại độ sâu đã cho:

z= z - uz

'z; uz (kN/m3)

0

X

57.6

3
9.8

4

77.6

'z

uz

z

mực nuớc ngầm

z

58.8

9

167.6

Z

Hình 3-3

Các tính toán đợc xếp vo trong bảng
dới đây:

Bộ môn Địa Kỹ Thuật

Trang 2


Bi giảng cơ học đất

chơng III: phân bố ứng suất trong đất

ứng suất (kN/m2)
Độ sâu

ứng suất tổng

ứng suất nớc lỗ rỗng

ứng suất hiệu
quả

uz

z = z - uz

(m)
z

z
03

0

0

0

0

4

19.2x3 = 57.6

57.6

0

57.6

9

20.0x1 = 20.0

77.6

9.81x1 = 9.8

67.8

18.0x5 = 90.0

167.6

9.81x6 = 58.8

108.8

Ví dụ 2:
Tại một công trờng, lớp cát bụi trên mặt dy 5m nằm trên lớp bùn sét dy 4m, phía dới l
đá không thấm. Hãy vẽ sơ đồ ứng suất hiệu quả / ứng suất tổng cho các điều kiện sau đây:
a) mặt nớc ngầm bằng mặt đất.
b) mặt nớc ngầm ở độ sâu 2.5m, lớp cát bụi ở trên mặt nớc ngầm đợc bão ho bằng nớc
mao dẫn.
Trọng lợng đơn vị của cát bụi l 18.5kN/m3; của sét l 17.7kN/m3;

Bi giải:
mực nuớc ngầm

0

'z; uz (kN/m3)

'z; uz (kN/m3)

0

-24.5

X

X

46.3

49.1

5
uz

z

92.5

88.3

9

24.5

5

'z

uz

z

163.3

92.5

'z

63.8

9

Z

mực nuớc ngầm

163.3

Z

Hình 3-4
a) Khi mặt nớc ngầm bằng mặt đất:
Ton bộ đất bị ngập nớc, khi đó trọng lợng đơn vị = bh v áp lực nớc lỗ rỗng = 9.81z
Kết quả tính toán đợc xếp thnh bảng dới đây:

Bộ môn Địa Kỹ Thuật

Trang 3


Bi giảng cơ học đất

chơng III: phân bố ứng suất trong đất

ứng suất (kN/m2)
Độ sâu

ứng suất tổng

ứng suất nớc lỗ
rỗng

ứng suất hiệu
quả

uz

z = z - uz

(m)
z

z
0

0

0

0

0

5

18.5x5 = 92.5

92.5

9.81x5 = 49.1

43.4

9

17.7x4 = 70.8

163.3

9.81x9 = 88.3

75.0

b) Khi mặt nớc ngầm ở độ sâu 2.5m:
Lớp đất nằm trên mực nớc ngầm đã bão ho v áp lực nớc lỗ rỗng sẽ âm. Dới mực
nớc ngầm, áp lực nớc lỗ rỗng sẽ dơng: uz = 9.81(z-2.5)
Các tính toán đợc xếp trong bảng dới đây:

ứng suất (kN/m2)
ứng suất tổng

Độ sâu
(m)

z

z

ứng suất nớc lỗ
rỗng

ứng suất hiệu
quả

uz

z = z - uz

0

0

-9.81x2.5 = -24.5

-24.5

2.5

18.5x2.5 = 46.25

46.25

0

46.25

5

18.5x2.5 = 46.25

92.5

9.81x2.5 = 24.5

68.0

9

17.7x4 = 70.8

163.3

9.81x6.5 = 63.7

99.6

0

3. ảnh hởng của dòng thấm tới ứng suất có hiệu
- Khi không có dòng thấm thì ứng suất có hiệu tại A đợc xác định nh sau:

= - u = (.h1 +bh.h2) - n.h2 = .h1 + (bh - n).h2 = .h1 + .h2
- Khi có dòng thấm, giả sử từ dới lên trên, thì ứng suất tại A xác định nh sau:

= bh.h1 + bh.h2
u = n.(h1 + h2 + h)
Do đó:

= - u

Bộ môn Địa Kỹ Thuật

Trang 4


Bi giảng cơ học đất

chơng III: phân bố ứng suất trong đất

= (bh.h1 + bh.h2) - n.(h1 + h2 + h)


' = (h1 + h2 ). '



h

n = (h1 + h2 )(
. 'i. n )
h1 + h2



h
Nếu Gradient thuỷ lực rất cao thì . '
n = ( 'i. n ) sẽ bằng 0. Điều ny có
h1 + h2

nghĩa l sẽ không có ứng suất tiếp xúc giữa các hạt đất v kết cấu của đất sẽ bị
phá hoại.

Nh vậy, ảnh hởng của dòng thấm tới ứng suất có hiệu l :
-

Nếu dòng thấm có hớng đi lên tác động tới các hạt đất, lúc ny áp lực
thấm J sẽ lm giảm ứng suất giữa các hạt đất dẫn tới lm giảm ứng suất
có hiệu.

= đ (i.n).h
-

(31-6)

Ngợc lại, nếu dòng thấm hớng xuống dới, sẽ lm tăng ứng suất có
hiệu.

= đ + (i.n).h

(31-7)

Bộ môn Địa Kỹ Thuật

Trang 5


Bi giảng cơ học đất

chơng III: phân bố ứng suất trong đất

ứng suất do tải trọng tập trung
Bi 2:
gây ra
Trong thực tế tải trọng công trình bao giờ cũng thông qua đáy móng m truyền
tải trọng xuống đất nền dới dạng tải trọng phân bố trên một diện tích nhất định
chứ không ở dạng tải trọng tập trung. Tuy nhiên, bi toán xác định ứng suất trong
đất dới tác dụng của tải trọng tập trung có một ý nghĩa rất cơ bản về mặt lý thuyết
v l cơ sở để giải quyết các bi toán tính ứng suất khi tải trọng phân bố trên những
diện tích theo những hình dạng khác nhau.
Có ba trờng hợp cơ bản cần xem xét: Lực tập trung thẳng đứng tác dụng trên
mặt đất, lực tập trung nằm ngang tác dụng trên mặt đất v lực tập trung nằm ngang
dới mặt đất. Bây giờ ta đi xét từng bi toán cụ thể:

I. Lực tập trung thẳng đứng tác dụng trên mặt đất (Bi toán
boussineque):
1. Điều kiện bi toán:
- Xét nền đất đồng nhất, đẳng hớng, mặt đất nằm ngang.
- Điểm M có toạ độ (x,y,z) trong nền đất nh hình vẽ chịu tác dụng của tải trọng
tập trung thẳng đứng P (kN) trên mặt đất.

P(kN)
0

x

Mặt đất

z

z

y
M
x

zx
zy

yx yz

xy
x
xz

y

z
Hình 3.2-1: Trạng thái ứng suất tại điểm M.
- Xác định trạng thái ứng suất tại M do tải trọng tập trung P gây ra.

Tại M luôn tồn tại một trạng thái ứng suất với các thnh phần ứng suất pháp x, y,

z v các thnh phần ứng suất tiếp xy=yx, xz=zx, zy=yz. Các thnh phần ứng suất
ny do tải trọng bản thân đất v tải trọng ngoi gây ra. Trong bi 1 chúng ta đã xác
định đợc các thnh phần ứng suất do tải trọng bản thân đất gây ra, trong bi ny

Bộ môn Địa Kỹ Thuật

Trang 6


Bi giảng cơ học đất

chơng III: phân bố ứng suất trong đất

chúng ta sẽ đi xác định các thnh phần ứng suất trên do tải trọng ngoi dới dạng
lực tập trung thẳng đứng tác dụng trên mặt đất gây ra.
2. Các giả thiết tính toán:
Để xác định ứng suất do tải trọng tập trung thẳng đứng tác dụng lên mặt đất
gây lên thì giáo s ngời pháp J. Boussinesq đã giải v đa ra đợc các biểu thức
tính toán dựa trên các giả thiết sau:
-

Nền đất l một môi trờng đồng nhất, đẳng hớng.

-

Nền đất l một bán không gian vô hạn biến dạng tuyến tính.

=> Quan hệ ứng suất v biến dạng l quan hệ đờng thẳng (theo định luật

Hooke).
3. Thnh lập công thức:
- Gọi O l gốc hệ toạ độ cực trùng với điểm đặt lực P. Điểm M đợc xác định bởi
bán kính R (OM) v góc nh hình vẽ 2.2-2.
- Để tìm đợc các thnh phần ứng suất tại điểm M nh trên ta giải bi toán
trong hệ toạ độ cực để tìm ứng suất pháp tổng R tác dụng lên mặt phẳng qua M v
thẳng góc với bán kính R. Sau đó ta chiếu ứng suất pháp tổng trên các mặt phẳng
trong hệ toạ độ OXYZ ta đợc các ứng suất thnh phần.

P(kN)
0

x



R

z

Mặt đất

y
x

M
dR

M1

z
Hình 3.2-2
- Cho R một số gia rất nhỏ dR, ta có điểm M1.
- Theo giả thiết 3, áp dụng định luật Hooke ta có:

R = B . R

(3.2-1)

Trong đó:
B Hệ số tỷ lệ.
R Biến dạng tơng đối của đoạn dR.

Bộ môn Địa Kỹ Thuật

Trang 7


Bi giảng cơ học đất

chơng III: phân bố ứng suất trong đất

- Dới tác dụng của lực P điểm M có một chuyển vị S theo phơng R. Qua thực
nghiệm ta thấy rằng S tỷ lệ nghịch với R (R cng lớn thì S cng nhỏ) v S tỷ lệ
nghịch với hay tỷ lệ thuận với cos (0 900). Từ nhận xét trên ta có thể viết:

S =A

cos

(3.2-2)

R

Trong đó:
A Hệ số tỷ lệ.
- Tơng tự nh vậy ta có chuyển vị của điểm M1 theo phơng R l:

S1 =A

cos
R + dR

(3.2-3)

- Theo lý thuyết đn hồi ta có biến dạng tơng đối R của đoạn dR l:

R =

S S1
dR

A cos
A
A
cos
=
= 2

R + RdR

R R + dR dR

(3.2-4)

Bỏ qua đại lợng RdR vì nó quá nhỏ so với R2, Ta có:

R =

A
cos
R2

(3.2-5)

- Thay R vo 3.2-1 ta đợc:

R =B

A
cos
R2

(3.2-6)

- Để xác định AB ta dựa vo điều kiện cân bằng tĩnh ( Z = 0 ):
/2

P

R cos dF

=0

(3.2-7)

0

Trớc hết ta vẽ một bán cầu có tâm O v bán kính bằng R. ứng suất R tác dụng
trên khắp bán cầu v biến đổi từ O tại mặt phẳng giới hạn đến giá trị cực đại ở trục
Z. Xét một phân tố hình đới cầu có chiều cao dh (hình 3.2-3) trên mặt bán cầu với
giả thiết ứng suất R không đổi trên mặt đai đó.

P(kN)
x
d

0


R

dF
R

R

dh

y

z
Hình 3.2-3

ở đây:

Bộ môn Địa Kỹ Thuật

Trang 8


Bi giảng cơ học đất

chơng III: phân bố ứng suất trong đất

dF Diện tích mặt đới cầu

dF = 2Rdh

(3.2-8)

Với h l chiều cao đới cầu.
dh = R cos R cos( + d )

= R cos R cos cos d + R sin sin d
Rd sin vì d rất nhỏ.

(3.2-9)

=> dF = 2R 2d sin
- Thay R v dF vo 3.2-7 ta đợc:

P AB 2

/2

cos

2

sin d = 0

0

cos 3
P + AB 2
3

(3.2-10)
/2
0

=0

Vậy ta có:
2
3

P = AB
Hay

3P
AB =
2

(3.2-11)

Thay vo 3.2-6 ta đợc:

R =

3P 1
cos
2 R 2

(3.2-12)

- Ta có R l ứng suất pháp của mặt phẳng đi qua M v vuông góc với OM. Để
tìm các ứng suất thnh phần trên mặt phẳng nằm ngang ta chuyển R về mặt phẳng
nằm ngang.
+ Gọi R l ứng suất hớng tâm tác dụng trên mặt phẳng nằm ngang đi
qua điểm M (hình 3.2-4 ).
+ Gọi FR l diện tích mặt cắt phân tố tại M có phơng vuông góc với OM.
+ Gọi FR l diện tích mặt cắt phân tố tại M theo phơng ngang.

Bộ môn Địa Kỹ Thuật

Trang 9


Bi giảng cơ học đất

chơng III: phân bố ứng suất trong đất

P(kN)

P(kN)
0

x

Mặt đất



R

y

Mặt đất

z



0

R
r

R

R' z

y

FR

x

R'
F'R

zy

zx
M

z

z
Hình 3.2-4
Khi đó lực tác dụng lên phân tố theo phơng OM l:

Q = R F R = 'R F 'R

(3.2-13)

Ta lại có FR/FR=cos. Vậy ta có:

' R = R cos

(3.2-14)

Thay giá trị R từ 3.2-12 vo 3.3-14 v cos=z/R

'R =

3 P z2
2 R4

(3.2-15)

Chiếu R xuống 3 trục thẳng góc nhau ta đợc các trị số ứng suất tác dụng trên mặt
phẳng nằm ngang tại M:
3P
2
3P
= ' R cos( ' R ,Y ) =
2
3P
= ' R cos( ' R , X ) =
2

z = ' R cos( ' R , Z ) =
zy
zx

z3
R5
yz 2

R5
xz 2
R5

(3.2-16)

Trong đó:
cos(R ,Z); cos(R ,Y), cos(R ,X) l cos của các góc hợp bởi phơng
của R lần lợt với phơng Z,Y,X.
cos(R ,Z) = z/R; cos(R ,Y) = y/R; cos(R ,X) = x/R
- Lm tơng tự đối với các mặt của phân tố đất ta sẽ có ứng suất của các mặt khác
nh sau:

Bộ môn Địa Kỹ Thuật

Trang 10


Bi giảng cơ học đất

chơng III: phân bố ứng suất trong đất

2
3 P zx 2 1 2 R 2 Rz z 2 x ( 2 R + z )

+



2 R 5

3 R 3 (R + z )
R 3 ( R + z ) 2
2
1 2 R 2 Rz z 2 y 2 ( 2 R + z )
3 P zy
3
=
+



2 R 5
3 R 3 (R + z )
R ( R + z ) 2

x =
y

xy =

(3.2-17)

3 P xyz 1 2 xy ( 2 R + z )



2 R5
3 R 3 (R + z )2

Tổng ứng suất:

= x + y + z =

P
z
(1 + ) 3

R

(3.2-18)

- Các thnh phần chuyển vị theo các phơng:
Phơng OZ: w =

Phơng OX: u =
Phơng OY: v =

P (1 + ) z 2
1
+ 2(1 )

3
2E R
R


P (1 + ) xz
x
3 + 2(1 )

2E R
R (R + z )

(3.2-19)


P (1 + ) yz
y
3 + 2(1 )

2E R
R (R + z )

Trong đó:
Hệ số nở hông.
E Mô đun đn hồi
*) Trong thực tế tính toán ta thờng dùng công thức tra bảng sau để tính ứng

suất z:

z =k
Với k =

P
z2

3
1
2 [1 + ( r ) 2 ] 5 / 2

(3.2-20)

z

Trong đó:
r Khoảng cách từ điểm đang xét tới trục Oz
k Hệ số tra bảng phụ thuộc vo r/z đợc tra theo bảng 3-1 trong
SGK.
**) Nếu tại mặt đất có nhiều lực tập trung cùng tác dụng P1, P2, P3 nh hình vẽ .

Thì ứng suất nén z tại điểm bất kỳ cho các mặt phẳng nằm ngang song song với
mặt phẳng biên có thể tính bằng công thức cộng tác dụng:

Bộ môn Địa Kỹ Thuật

Trang 11


Bi giảng cơ học đất

chơng III: phân bố ứng suất trong đất

z = k1

P1
P
P
+ k 2 22 + k 3 32 + ...
2
z

z
z

Hay z =

1

z2

n

k

i
=1

1

(3.3-19)

Pi

II. Lực tập trung nằm ngang tác dụng trên mặt đất
Khi có tải trọng tập trung Q nằm ngang tác dụng trên măt đất thì ứng suất nén
thẳng đứng tại điểm M bất kỳ l:

z =

3 Q xz 2
2 R5

(3.3-20)

Tổng ứng suất chính:

=
Trong đó:

Q
x
(1 + 0 ) 3

R

(3.3-21)

R2 = x2 + y2 + z2

Bộ môn Địa Kỹ Thuật

Trang 12


Bi giảng cơ học đất

chơng III: phân bố ứng suất trong đất

phân bố ứng suất trong trờng
Bi 3:
hợp bi toán không gian.

1. Tải trọng phân bố đều trên diện tích hình chữ nhật.

a. Xét bi toán:
-

Xét tải trọng phân bố đều trên mặt đất có cờng độ p (kN/m2) trên diện tích
HCN có kích thớc F = lxb.

-

Xác định trạng thái ứng suất tại M dới nền đất do tải trọng phân bố trên
gây ra.

b

p

dP
x

0
R
M

z

b

y

x
l

0

x

y

b. Giải bi toán:
-

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz nh hình vẽ, điểm M có toạ độ l (x0, y0,z0)

-

Trong phạm vi HCN lấy vi phân dF=dxdy, toạ độ (x,y,0)

-

Khi đó tải trọng phân bố trên diện tích dF coi nh tải trọng tập trung:
dP = p dxdy

-

áp dụng kết quả bi toán Boussinesq ta có ứng suất tại M do lực dP tác dụng
l:
d z =

3p z 03

dxdy
2 R 5

(3.4-1)

=> ứng suất tại M do lực phân bố trên cả diện tích HCN l:

z =

3 p 3 b /2 l /2
dxdy
z0
2 5 /2
2
2
2
b / 2 l / 2 [( x 0 x ) + ( y 0 y ) + z 0 ]

Bộ môn Địa Kỹ Thuật

(3.4-2

Trang 13


Bi giảng cơ học đất

chơng III: phân bố ứng suất trong đất

Nh vậy muốn tính đợc z ta phải biết đợc toạ độ của điểm M. Thay giá trị toạ

độ điểm M vo CT 3.4-2 rồi khai triển tích phân ta thu đợc z do tải trọng phân bố
đều trên diện tích HCN.
-

Trong thực tế để tiện tính toán ta sử dụng các công thức tra bảng sau:
+ Các điểm nằm dới tâm diện tích chịu tải hình chữ nhật M(0,0,z):

z0 = k0 p

(3.4-3)

Trong đó:
ko tra bảng 3.3 trang 95 giáo trình Cơ học đất, phụ thuộc vo zo/b, l/b
Nếu các giá trị zo/b v l/b không nằm trong bảng tính phải tiến hnh nội
suy.
+ Các điểm nằm dới góc diện tích chịu tải hình chữ nhật M(b/2, l/2, z):

zg = k g p

(3.4-4)

Trong đó:
kg tra bảng 3.4 trang 96 giáo trình Cơ học đất, phụ thuộc vo zo/b, l/b
+ Tổng ứng suất các điểm nằm dới góc diện tích chịu tải hình chữ nhật
M(b/2, l/2, z):

= . p(1 + )

(3.4-5)

Trong đó:
tra bảng 3.5 trang 97 giáo trình Cơ học đất, phụ thuộc vo zo/b, l/b

c. Phơng pháp điểm góc.
Theo phơng pháp tra bảng ta tìm đợc ứng suất tại các điểm nằm trên trục
thẳng đứng OZ đi qua tâm HCN hay đi qua góc HCN. Đối với các điểm không
thuộc 2 loại trên ta phải áp dụng phơng pháp điểm góc. Ta xác định các HCN ảo
sao cho điểm cần tính ứng suất nằm trên trục Oz v đi qua tâm hoặc góc của các
HCN ny sau đó áp dụng công thức cộng tác dụng để xác định ứng suất.

-

Ta tính z tại điểm M tại độ sâu zo trên đờng thẳng đứng đi qua O nằm
trong phạm vi tác dụng tải trọng abcd, Ta chia abcd thnh 4 hình chữ nhật
mỗi hình chịu tải riêng biệt v coi mỗi hình đó nh một diện tích chịu tải
riêng biệt.

Bộ môn Địa Kỹ Thuật

Trang 14


Bi giảng cơ học đất

chơng III: phân bố ứng suất trong đất
p

p

M

a
h
d

zo

O

zo

O

M
e

b

a

b e

d

c

f

O

c

g

h

g

f
O

Phơng pháp điểm góc
-

Tra hệ số kg v áp dụng công thức 3.4-2 ta đợc:

z = [k g ( aeoh) + k g ( oebf ) + k g ( ofcg ) + k g ( ogdh ) ] p
-

(3.4-6)

Nếu điểm O nằm ngoi phạm vi tác dụng tải trọng, ta giả định các diện tích
chịu tải ảo nh hình trên v tính z theo CT 3.4-2:

z = [k g ( aeoh) k g (beog ) k g ( dfoh ) + k g ( cfog ) ] p

(3.4-7)

2. Tải trọng phân bố tam giác trên diện tích hình chữ nhật.

a. Xét bi toán:

-

Xét tải trọng phân bố tam giác trên mặt đất có cờng độ lớn nhất p (kN/m2)
trên diện tích HCN có kích thớc F = lxb.

-

Xác định trạng thái ứng suất tại M dới nền đất do tải trọng phân bố tam
giác trên gây ra.
b

p

dP

x
0
R
M

z

b

x

y

0

l

x

dF

y

Bộ môn Địa Kỹ Thuật

Trang 15


Bi giảng cơ học đất

chơng III: phân bố ứng suất trong đất

b. Giải bi toán:
-

Chọn hệ trục Oxyz có trục Ox nằm trên mặt đất, hớng theo chiều tăng tải
trọng phân bố, gốc O trùng với góc có p=0 nh hvẽ. Điểm M có toạ độ l
(x0,y0,z0).

-

Trong phạm vi HCN lấy vi phân dF=dxdy, toạ độ (x,y,0)

-

Khi đó tải trọng phân bố trên diện tích dF coi nh tải trọng tập trung:

dP =
-

p
xdxdy
b

ứng suất tại M do lực dP tác dụng l:
d z =

3p z 03
xdxdy
2b R 5

(3.4-1)

=> ứng suất tại M do lực phân bố trên cả diện tích HCN l:
b l
3p
xdxdy
3
z =
z0
2 5 /2
2
2
2b
0 0 [( x 0 x ) + ( y 0 y ) + z 0 ]

(3.4-2

Nh vậy muốn tính đợc z ta phải biết đợc toạ độ của điểm M. Thay giá trị toạ
độ điểm M vo CT 3.4-2 rồi khai triển tích phân ta thu đợc z do tải trọng phân bố
tam giác trên diện tích HCN.
- Trong thực tế để tiện tính toán ta sử dụng các công thức tra bảng sau:
+ Các điểm nằm dới góc móng có p lớn nhất:

z = kT p

(3.4-3)

+ Các điểm nằm dới góc móng có p = 0:

z = k 'T p

(3.4-4)

Trong đó các hệ số kT, k'T phụ thuộc l/b v zo/b đợc tra trong bảng 3.6a v 3.6b
trang 100 v 101 giáo trình Cơ học đất:
+ Các điểm khác ta áp dụng phơng pháp điểm góc.

Bộ môn Địa Kỹ Thuật

Trang 16


Bi giảng cơ học đất

chơng III: phân bố ứng suất trong đất

phân bố ứng suất trong trờng
Bi 4:
hợp bi toán phẳng
1. Tải trọng đờng thẳng (bi toán Flamant).

a. Xét bi toán:
-

Xét tải trọng đờng phân bố đều có cờng độ p (kN/m) trên mặt đất.

-

Xác định trạng thái ứng suất tại M dới nền đất do tải trọng gây ra.
p(kN/m)
dy

x

0

pdy
R

(0,y,0)

M(xo,0,zo)

y

z

b. Giải bi toán:
-

Chon hệ trục toạ độ Oxyz nh hình vẽ. Điểm M có toạ độ (x0,0,z0)

-

Lấy vi phân dy trên trục Oy, toạ độ (0,y,0)

-

Khi đó tải trọng phân bố trên dy coi nh tải trọng tập trung: dP = pdy

-

áp dụng bi toán Boussinesq ta có ứng suất tại M do lực dP tác dụng l:
d z =

3p z 03
dy
2 R 5

(3.5-1)

=> ứng suất tại M do ton bộ tải trọng đờng gây ra l:

dy

3 p 3 +
z =
z0
2
2
2
+ z 0 2 ]5 / 2
[x 0 + y

(3.5-2)

Nh vậy muốn tính đợc z ta phải biết đợc toạ độ của điểm M. Thay giá trị toạ
độ điểm M vo CT 3.4-2 rồi khai triển tích phân ta thu đợc z do tải trọng đờng
phân bố đều trên trục Oy ta có.

z =
-

2. p .z 0 3
.( x 02 + z 02 ) 2

(3.5-3)

Lm tơng tự ta có:

Bộ môn Địa Kỹ Thuật

Trang 17

Bi giảng cơ học đất

chơng III: phân bố ứng suất trong đất

2. p .x 0 2 z 0
2. p x 0 z 0 2
; xz =
x =
( x 02 + z 02 ) 2
.( x 02 + z 02 ) 2

(3.5-4)

c. Nhận xét:
-

Về mặt thực tế bi toán ny không gặp nhiều.

-

Về mặt lý thuyết nó có ý nghĩa quan trọng, kết quả của bi toán ny đợc
dùng lm cơ sở để giải các bi toán phẳng khác.

2. Tải trọng phân bố đều trên diện tích hình băng.

a. Xét bi toán:
-

Xét tải trọng phân bố đều có cờng độ p (kN/m) trên diện tích hình băng
(có bề rộng b).

-

Xác định trạng thái ứng suất tại M dới nền đất do tải trọng gây ra.
b

dx

p

x

0



2

1

zo

R

x-xo

M(xo,0,zo)

Z

b. Giải bi toán:
-

Chon hệ trục toạ độ Oxyz nh hình vẽ. Điểm M có toạ độ (x0,0,z0)

-

Trên bề rộng b của diện tích băng tại toạ độ (x,0,0) lấy phân tố có chiều rộng
dx.

-

Khi đó tải trọng phân bố trên dx coi nh tải trọng đờng:
dP = pdx

-

áp dụng bi toán Flamant ta có ứng suất tại M do lực dP tác dụng l:

d z =

-

2dP

3

3

z0

z0
2p
=
dx
2
2 2
[( x x0 ) + z0 ]
[( x x0 ) 2 + z02 ]2

(3.5-5)

Đặt các góc , 1, 2 nh hình vẽ.
+ Quy ớc về dấu đối với các góc nh sau: lấy dấu "+" khi điểm xét nằm

bên trái đờng trục thẳng đứng qua vị trí của góc . Nh vậy các góc 1, 2 lấy dấu

Bộ môn Địa Kỹ Thuật

Trang 18


Bi giảng cơ học đất

chơng III: phân bố ứng suất trong đất

"+" khi điểm xét nằm ngoi phạm vi mép móng, lấy dấu "-" khi điểm xét nằm trong
phạm vi mép móng.
z0

+ Từ hình vẽ ta có: x-x0 = zo*tg => dx =

cos 2

d

(x-x0)2 + z0 2 = R2
+ Thay vo CT 3.5-6 ta có:
1



z 03 .zd
2 p 1 z 04 d
z =
=
2 R 4 cos 2 2 R 4 cos 2
2p

(3.5-7)

+ Ta có z0/R = cos =>
2p

1

p

1

1

p
z =
cos d = (1 + cos 2 )d =

2
2
2
2

z =
Vậy: z =
-

p
(2 + sin 2 )
2



(1 + cos 2 )d (2 )

(3.5-8)

2
1

2

p

1

1 2 + (sin 2 1 sin 2 2 )

2


(3.5-9)

Lm tơng tự với hai thnh phần x v xz ta đợc:

x =

p
1

1 2 (sin 21 sin 2 2 )
2



(3.5-10)

p
(cos 2 2 cos 2 1 )
2

(3.5-11)

xz =

- Trong thực tế để tiện sử dụng ta dùng các công thức tra bảng sau:

z = k1 . p
x = k2 . p
xz = zx = k 3 . p

(3.5-12)

Trong đó: k1, k2, k3 l các hệ số tra bảng 3.9 trang 108 giáo trình Cơ học đất
phụ thuộc vo z0/b v x/b.
- Tổng ứng suất:

= k4 . p

(3.5-13)

Trong đó: k4 phụ thuộc zo/b v sơ đồ tải trọng tác dụng đợc tra bảng 3-10
trang 109 giáo trình Cơ học đất.
-

Giá trị ứng suất chính, phơng của ứng suất chính v tổng ứng suất

Bộ môn Địa Kỹ Thuật

Trang 19


Bi giảng cơ học đất

chơng III: phân bố ứng suất trong đất

b

p
x

0

1

2
1
2

3

Phân giác góc 2
M(xo,0,zo)

Z

+Ta có giá trị ứng suất chính tại điểm M l:

1 =
3 =

p

p



(2 + sin 2 )

(3.5-13)

(2 sin 2 )

+ V phơng của ứng suất chính 1 l tia phân giác góc 2 nh hình vẽ.
- ứng suất tổng khi đó l:
=> = 1 + 3 =

2p



2

(3.5-14)

Ta thấy rằng ứng suất tổng phụ thuộc vo cờng độ tải trọng p v góc nhìn 2.
Với cùng một cấp tải trọng, xét điểm M trên trục OZ ta có:
+ Điểm M cng gần mặt đất thì góc nhìn 2 cng lớn => ứng suất tổng cng
lớn v đạt cực đại tại mặt đất.
+ Điểm M cng xa mặt đất thì ứng suất tổng cng giảm.

c. Trờng hợp đặc biệt:
b

p
x

0

2

1
3

1

M(xo,0,zo)
Z

- Khi M nằm trên đờng thẳng OZ đi qua tâm tải trọng. Lúc đó ta có 1 = , 2 = .
Bộ môn Địa Kỹ Thuật

Trang 20


Bi giảng cơ học đất

chơng III: phân bố ứng suất trong đất

Nh vậy ứng suất pháp x, z trong trờng hợp ny l ứng suất chính.

z = 1 =
x = 3 =

p



(2 + sin 2 )

p



(3.5-13a)

(2 sin 2 )

V thnh phần ứng suất tiếp l:
=> xz = zx =

p
(cos 2 cos 2 ) = 0
2

(3.5-15)

d. Nhận xét:
-

Trong thực tế rất ít gặp trờng hợp tải trọng phân bố theo trục Oy có chiều
di vô cùng. Nên khi l/b>7 thì móng HCN đợc gọi l móng băng.

-

Trong trờng hợp ny trạng thái ứng suất của các điểm nằm trên các mặt
phẳng vuông góc với chiều di móng sẽ nh nhau. Do đó ta cắt 1m chiều
di móng để tính (bi toán phẳng).

3. Tải trọng phân bố tam giác trên diện tích hình băng.

a. Xét bi toán:
-

Xét tải trọng đờng phân bố hình tam giác trên diện tích hình băng có bề
rộng b cờng độ lớn nhất p (kN/m).

-

Xét điểm M (x0,0,z0) dới nền đất.

-

Xác định trạng thái ứng suất tại M do tải trọng hình tam giác trên diện tích
hình băng gây ra.
x

dx

p

0

2 R

x

1



zo

b

M(xo,0,zo)

Z

b. Giải bi toán:

Bộ môn Địa Kỹ Thuật

Trang 21


Bi giảng cơ học đất

-

chơng III: phân bố ứng suất trong đất

Chọn hệ trục Oxyz có trục Ox nằm trên mặt đất, hớng theo chiều tăng tải

trọng phân bố, gốc O trùng với góc có p=0 nh hvẽ. Điểm M có toạ độ l
(x0,0,z0).

-

Trên bề rộng b của diện tích băng tại điểm có toạ độ (x,0,0) lấy phân tố có
chiều rộng dx.

-

Khi đó tải trọng phân bố trên dx coi nh tải trọng đờng:
dP =

-

p
xdx
b

áp dụng bi toán Flamant ta có ứng suất tại M do lực dP tác dụng l:

d z =

2dP

x.z0

3

3

[(x x0 ) 2 + z02 ]2

=

x.z0
2p
dx
. [(x x0 ) 2 + z02 ]2

(3.5-16)

b

2p 3
x
z =
z0
dx
2 2
2
.b
0 [( x x 0 ) + z 0 ]

-

(3.5-17)

Trong thực tế để tiện sử dụng ta dùng các công thức tra bảng sau:

z = k t1 . p
x = kt 2 . p
xz = zx = k t 3 . p

(3.5-18)

Trong đó: kt1, kt2, kt3 l các hệ số tra bảng 3.11a v 3.11b trang 112 giáo trình
Cơ học đất phụ thuộc vo z0/b v x/b.
p l cờng độ tải trọng phân bố lớn nhất.
IV. do tải trọng phân bố hình thang trên diện tích hình băng.

- Với tải trọng phân bố hình thang gẫy khúc (mặt cắt nền đờng đắp, mặt cắt đê)
ta có thể tính đợc ứng suất tại 1 điểm nằm dới nền đờng theo những phơng
pháp sau:
*) Phơng pháp công ứng suất:

Bộ môn Địa Kỹ Thuật

Trang 22


Bi giảng cơ học đất

chơng III: phân bố ứng suất trong đất

Hình 5.1-4

- Chia tải trọng hình thang thnh 2 loại: Tải trọng tam giác v tải trọng phân bố
đều trên diện tích hình băng.
- Tính ứng suất tại M do từng loại tải trọng trên gây ra theo kết quả của những

bi toán đã nghiên cứu trớc.
- áp dụng phơng pháp cộng tác dụng ta sẽ đợc ứng suất tại M do ton bộ tải
trọng hình thang gây ra.
*) Phơng pháp tra biểu đồ Osterberg:

- Theo Osterberg với tải trọng biến đổi tuyến tính ta có thể tính đợc ứng suất
trong đất theo công thức sau:

z = I .p

(3.5-19)

Trong đó: p - cờng độ của tải trọng phân bố (Hình vẽ)
I = f(a/z;b/z) - Hệ số tra biểu đồ Osterberg phụ thuộc vo a/z v
b/z.
a, b: Chiều di tơng ứng của tải trọng tam giác v hình chữ nhật.
z : Độ sâu điểm xét.
- Trong công thức trên I đợc xác định bằng cách cộng đại số các hệ số tơng ứng
với tải trọng bên trái It v bên phải Ip của đờng thẳng đứng đi qua điểm đang xét

z = (I t + I p ). p

(3.5-20)

- Để rõ hơn vấn đề ny ta lm ví dụ sau: VD SGK.

Bộ môn Địa Kỹ Thuật

Trang 23

Bi giảng cơ học đất

Bi 5:

chơng III: phân bố ứng suất trong đất

Phân bố ứng suất dới đáy móng

1. ứng suất dới đáy móng v các nhân tố ảnh hởng.

a. Khái niêm:
ứng suất đáy móng l thnh phần ứng suất pháp tuyến tại mặt phẳng đáy móng

trong nền đất do tải trọng công trình gây ra.
Biết đợc trạng thái ứng suất tiếp xúc của các điểm tại mặt phẳng đáy móng ta sẽ
vẽ đợc biểu đồ phân bố ứng suất tiếp xúc dới đáy móng.

b Các nhân tố ảnh hởng đến ứng suất đáy móng:
+ Dạng, độ lớn của tải trọng.
+ Hình dạng, kích thớc móng.
+ Độ cứng của móng: Theo độ cứng móng ngời ta chia lm 3 loại sau:
* Móng mềm (hay móng có độ cứng hạn chế): L móng có khả năng biến
dạng cùng cấp với khả năng biến dạng của đất nền. áp lực dới đáy móng phân
bố hon ton giống tải trọng tác dụng trên móng.
* Móng cứng: L móng có biến dạng vô cùng bé so với biến dạng của đất
nền. áp lực dới đáy móng đợc phân bố lại.
+ Nền đất (tên, trạng thái đất).
- Để xác định ứng suất dới đáy móng ta dựa vo hai phơng pháp tính toán sau:
+ Phơng pháp giải tích (phơng pháp chính xác).

+ Phơng pháp gần đúng (tính theo các công thức trong SBVL).
2. Phơng pháp chính xác.

a) Các giả thiết:
-

Nền l bán không gian vô hạn đn hồi, đồng nhất.

-

Móng coi tuyệt đối cứng.

-

Đáy móng luôn tiếp xúc với nền đất. Đất l vật
liệu không chịu kéo.

b) Xét bi toán:
-

Xét móng có diện tích F đặt trên mặt đất.

-

Tìm ứng suất phân bố dới đáy móng.

P
0

F

My
dP

y
z

c) Giải bi toán:

Bộ môn Địa Kỹ Thuật

Trang 24

x


Bi giảng cơ học đất

chơng III: phân bố ứng suất trong đất

-

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz bất kỳ.

-

Lấy phân tố bất kỳ trong phạm vi đáy móng có toạ độ (x,y). Diện tích phân
tố dF=dx.dy.

-

Gọi áp lực phân bố đều trên dF l p(x,y). Do dF rất nhỏ nên ta coi áp lực
phân bố nh một tải trọng tập trung.

-

Theo bi toán Boussinesq chuyển vị thẳng đứng tại một điểm bất kỳ trong
nền:
P(1 + ) z 2 2(1 )
w=
+


2E 0 R 3
R

(3.6-1)

Tại điểm M trên mặt đất ta có z=0
=> w =

P(1 2 )
RE 0

(3.6-2)

P
RC

Đặt C=E0/(1-2) => wM =

=> Chuyển vị tại M(x0,y0) dới đáy móng do phân tố dF gây ra l:

dw =
=> w =

-

1

p ( x , y )dxdy

C

(x 0 x ) 2 + ( y 0 y ) 2

1

C

F

(3.6-3)

p ( x , y )dxdy
(x 0 x ) 2 + ( y 0 y ) 2

(3.6-4)

Theo giả thiết móng tuyệt đối cứng => chuyển vị đáy móng l 1 mặt phẳng

có dạng hm tổng quát: Ax+By+D

-

Do móng luôn tiếp xúc với đất nền nên:
=> w =

-

1

C

F

p ( x , y )dxdy
(x 0 x ) 2 + ( y 0 y ) 2

=Ax+By+D

(3.6-5)

Mặt khác từ điều kiện cân bằng tĩnh học ta có:

F p (x , y )dxdy = P
F xp (x , y )dxdy = M y

(3.6-6)

F yp ( x , y )dxdy = M x

Trong đó: P, Mx, My lần lợt l tải trọng tập trung, mô men quanh trục x, trục y do
tải trọng công trình truyền xuống.
A, B, D các hệ số của phơng trình chuyển vị.

-

Giải hệ phơng trình 3.6-5 v 3.6-6 ta tìm đợc p(x,y) tại bất kỳ điểm no
trên mặt nền trong phạm vi đáy móng. Tuy nhiên hiện nay ngời ta mới rút

Bộ môn Địa Kỹ Thuật

Trang 25