a new holographic in university

A
 New
 Holographic
 Model
 
 
of
 Spacelike
 Singulari7es
 
Gary
 Horowitz
 
UC
 Santa
 Barbara
 


Gauge/gravity
 duality
 is
 a
 powerful
 tool
 to
 try
 to
 
understand
 physics

 near
 spacelike
 singulari7es.
 

 
It
 maps
 the
 problem
 into
 a
 problem
 in
 ordinary
 QFT.
 

 
We
 will
 focus
 on
 cosmological
 singulari7es.
 

 
We
 need

 to
 construct
 asympto7cally
 AdS
 solu7ons
 
which
 evolve
 into
 (or
 from)
 a
 singularity
 that
 
extends
 all
 the
 way
 out
 to
 infinity.
 


Outline
 
Discuss
 two
 examples

 of
 cosmological
 singulari7es
 
in
 AdS
 and
 what
 is
 know
 about
 the
 dual
 CFT
 
descrip7on:
 

 
1)  Review
 older
 work
 with
 Hertog
 (2005)
 
2)  Work
 in
 progress
 with

 Hertog
 and
 Engelhardt
 


First
 holographic
 model
 of
 a
 
cosmological
 singularity
 
Hertog
 and
 GH,
 hep-­‐th/0406134,
 hep-­‐th/0503071
 

Consider
 gravity
 in
 AdS4
 coupled
 to
 a
 scalar

 with
 
poten7al
 V(φ)
 having
 m2
 =
 -­‐2.
 One
 example
 
coming
 from
 a
 trunca7on
 of
 N
 =
 8
 SUGRA
 is:
 
p

 
V ( ) = 2 cosh 2

 
Solu7ons
 must

 approach
 
2
dr
ds2 = (r2 + 1)dt2 + 2
+ r2 d⌦
r +1


In
 all
 asympto7cally
 AdS
 solu7ons,
 the
 scalar
 field
 
falls
 off
 like
 

If
 α=0
 or
 β=0,
 AdS
 is
 stable.

 Consider
 a
 new
 
boundary
 condi7on
 β=kα2
 
 (Hertog
 and
 Maeda).
 This
 is
 
also
 invariant
 under
 all
 asympto7c
 AdS
 symmetries.
 
Claim:
 For
 all
 nonzero
 k,
 there
 are
 solu7ons

 that
 
evolve
 to
 a
 big
 crunch.
 


Start
 by
 solving
 the
 Euclidean
 field
 equa7ons
 with
 
SO(4)
 symmetry
 

Get
 ODE’s.
 Pick
 φ
 at
 the
 origin

 and
 integrate
 out.
 
Asympto7cally
 find
 


Define
 k
 by
 β=
 kα2.
 
 φ
 decays
 monotonically:
 

 

φ


 

 

ρ

 

Restric7ng
 to
 the
 equator
 of
 the
 three-­‐sphere,
 we
 
get
 ini7al
 data
 for
 a
 Lorentzian
 solu7on.
 The
 
evolu7on
 of
 this
 ini7al
 data
 can
 be
 obtained
 by
 

analy7c
 con7nua7on.
 
 
(Coleman
 and
 De
 Luccia,
 1980)
 


The
 Euclidean
 origin
 becomes
 a
 Lorentzian
 
lightcone.
 Outside
 the
 lightcone
 everything
 is
 
smooth
 and
 bounded.
 Inside

 the
 lightcone
 the
 
solu7on
 evolves
 like
 an
 open
 FRW
 universe:
 

The
 field
 equa7ons
 imply
 that
 the
 scale
 factor
 
vanishes
 in
 finite
 7me,
 producing
 a
 big
 crunch.

 


Big
 crunch
 
Time
 symmetric
 
ini7al
 data
 
Asympto7c
 AdS
 
Big
 bang
 
This
 looks
 like
 Schwarzschild
 AdS,
 but:
 
(1) Infinity
 is
 not
 complete.
 

 
(2) “Horizon”
 is
 just
 the
 lightcone
 of
 the
 origin.
 


CFT
 Descrip7on
 
This
 is
 the
 2+1
 theory
 on
 a
 stack
 of
 M
 2-­‐branes
 
(Aharony,
 Bergman,
 Jafferis,

 and
 Maldacena,
 2008).
 The
 
theory
 contains
 eight
 scalars.
 With
 β=0
 boundary
 
condi7ons,
 the
 bulk
 scalar
 φ
 is
 dual
 to
 the
 dimension
 
one
 operator
 

Our
 new

 boundary
 condi7on
 corresponds
 to
 adding
 
to
 the
 field
 theory
 ac7on
 the
 term
 (Wiken;
 Sever
 and
 
Shomer):
 


CFT
 is
 like
 a
 3D
 field
 theory
 with
 poten7al

 

start
 here
 

V
 

ϕ
 

This
 field
 theory
 is
 sick:
 ϕ
 rolls
 down
 the
 poten7al
 
and
 reaches
 infinity
 in
 finite
 7me.
 This

 is
 the
 analog
 
of
 evolving
 to
 the
 singularity
 in
 the
 bulk.
 


Update
 
Maldacena
 (1012.0274)
 pointed
 out
 that
 if
 we
 use
 
dS3
 slices
 near
 infinity,

 then
 φ
 is
 constant
 on
 each
 
slice.
 
 So
 if
 we
 view
 the
 dual
 theory
 as
 living
 on
 de
 
Siker
 space,
 then
 our
 solu7ons
 exist
 with
 
boundary

 condi7on
 β
 =
 const.
 

 

This
 corresponds
 to
 adding
 a
 single
 trace
 operator
 
O
 to
 the
 CFT
 on
 de
 Siker.
 This
 is
 like
 a
 mass
 term.

 

 

Field
 theory
 remains
 well
 defined!
 
 


Any
 renormalizable
 but
 not
 conformal
 deforma7on
 
of
 the
 QFT
 on
 dS3
 will
 be
 dual
 to
 a

 crunch
 
 
 
 
 
 
 
(Harlow
 and
 Susskind,
 1012.5302).
 
 


 
Problem
 now
 is
 how
 to
 describe
 the
 region
 near
 
the
 singularity
 in

 the
 dual
 theory.
 

 
If
 you
 rescale
 back
 to
 sta7c
 cylinder,
 the
 mass
 
deforma7on
 becomes
 7me
 dependent
 and
 blows
 
up
 when
 the
 singularity
 hits
 the
 boundary

 
(Barbon
 and
 Rabinovici,
 1102.3015).
 

 


A
 new
 holographic
 model
 of
 
cosmological
 singulari7es
 

 
(Engelhardt,
 Hertog,
 GH,
 to
 appear)
 
The
 new
 model

 has
 the
 advantage
 that
 

 

1)  The
 dual
 CFT
 is
 well
 defined
 
2)  One
 can
 access
 the
 region
 near
 the
 
singularity
 by
 boundary
 operators.
 

The
 bulk
 solu7on
 
Now
 work
 with
 a
 5D
 bulk
 and
 no
 scalar.
 Solu7ons
 to
 
Einstein’s
 equa7on
 can
 be
 obtained
 by
 star7ng
 with
 
AdS5
 

 

 

 

1
ds = 2 (⌘µ⌫ dxµ dx⌫ + dz 2 )
z
2

and
 replacing
 ημν
 with
 any
 Ricci
 flat
 metric.
 We
 will
 
use
 the
 Kasner
 metric:
 
ds2 =

dt2 + t2p1 dx21 + t2p2 dx22 + t2p3 dx23
X
X

pi = 1 =
p2i
i

i


2

t
ds = 2
z
2

✓

2

dt + t

2p1

dx21

+t

2p2

dx22
t2

+t

2p3

dx23

+ dz

Lesng
 t
 =
 eτ
 ,
 the
 boundary
 metric
 becomes
 an
 
anisotropic
 version
 of
 de
 Siker
 in
 flat
 slicing
 
X

 
2
2
2(1 pi )⌧
2
ds
=
d⌧
+
e
dx
i

 
i

 
Our
 bulk
 solu7on
 has
 a
 dila7on
 symmetry
 

 
z ! z, t ! t, xi ! (1 pi ) xi

 
which
 acts
 on
 each
 surface
 of
 constant
 t/z.
 

2

◆


t/z
 large
 
t/z
 =
 1
 

t/z
 small
 

t
 =

 0
 singularity
 

z
 =
 0
 
boundary
 
at
 infinity
 


Calcula7ng
 two-­‐point
 func7on
 
The
 two
 point
 func7on
 of
 an
 operator
 in
 the
 CFT
 

with
 large
 dimension
 Δ
 can
 be
 calculated
 using
 
spacelike
 geodesics
 in
 the
 bulk
 with
 endpoints
 on
 
the
 boundary
 (see
 also
 Hubeny’s
 talk):
 

 
0
Lreg (x,x0 )
h | O (x) O (x ) | i = e

 
where
 Lreg
 is
 the
 regulated
 length
 of
 the
 geodesic.
 
x2
 =
 x3
 =
 0
 

 
 
 
 
 t
 =
 1
 

O

O


 
 
 -­‐x0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 x0
 

x1
 


Bulk
 geodesics
 effec7vely
 travel
 in
 3D
 space7me
 

 
1
2

 
ds = 2 ( dt2 + t2p1 dx2 + dz 2 )

z

 

 
Using
 x
 as
 a
 parameter
 along
 the
 geodesic,
 t(x)
 
sa7sfies
 

 
00
0
2
2p1
t(x)t
(x)
=
p
[2t
(x)
t(x)

]
1

 

 
By
 symmetry,
 
 t
 
 0
 (0)

 
 
 
 
 
 
 =

 
 
 
 
 0
 
 
 ,

 so
 
 
for
 p1
 <
 0,
 geodesics
 bend
 toward
 the
 singularity
 
and
 for
 p1
 >
 0
 they
 bend
 away.
 
 


p1
 >
 0
 

p1
 <
 0
 
t
 =
 0
 singularity
 

boundary
 
at
 infinity
 


Length
 of
 geodesics
 
Using
 t
 as
 the
 parameter,
 the
 geodesic
 is
 given

 by
 X(t),
 
Z(t).
 Its
 length
 is
 
Z
i1/2

 
1 h
2p1 ˙ 2
2
˙
L
=
1
+
t
X
+
Z
dt

 
Z

 

t2p1 X˙
δ
 L/δ
 X
 =
 0
 implies
  Z[· · · ]1/2 = const

 
Z 2p1 ˙

 
t X
So
 
 
  L /
dt
2
Z


Simple
 example
 1:
 Pure
 AdS
 
In

 pure
 AdS,
 the
 geodesics
 stay
 on
 a
 constant
 7me
 
surface.
 With
 UV
 cut-­‐off
 z
 =
 ε,
 their
 length
 is
 
✓
◆

 
2x0
L = 2 ln
= 2 ln(Lbdy ) 2 ln ✏,

 

✏

 
We
 regulate
 this
 by
 dropping
 the
 last
 term.
 So
 

 
2
hO(x0 )O( x0 )i = Lbdy

 

 
as
 expected
 for
 a
 CFT.
 


2:

 Isotropic
 de
 Siker
 
Bulk
 is
 again
 pure
 AdS
 wriken
 in
 the
 form
 
✓
◆

 
2 2
2
i
2
H t
dt + dxi dx + dz
2

 
ds =
z2
H 2 t2

 
With
 Hτ
 =
 ln(Ht),
 the
 boundary
 metric
 is
 

 
ds2 = d⌧ 2 + e 2H⌧ dxi dxi

 
Geodesics
 are
 the
 same,
 but
 cut-­‐off
 is
 now
 δ
 =
 ε/H
 
and
 Lbdy

 =
 2x0/H,
 so
 effect
 of
 H
 cancels
 out.
 
L = 2 ln

✓

2x0 H
H ✏

◆

= 2 ln Lbdy

2 ln


So
 in
 de
 Siker
 space:
 

 
2
hO(x0 )O( x0 )i = Lbdy

 
just
 like
 flat
 space.
 
 It
 is
 
 
independent
 of
 the
 Hubble
 constant.
 


The
 case
 p1
 =
 -­‐1/4
 
1
ds = 2 ( dt2 + t

z

1/2
Recall:
 
dx2 + dz 2 )

 
Geodesic
 equa7on
 can
 be
 solved
 analy7cally
 using
 
w
 =
 t1/2
 as
 the
 parameter:
 
4p

 
X(w) =
c + w(8c2 4cw + 3w2 )
15

 

 Z(w) = 4 ⇥c(1 w)[(3c 1)(w + 1) w2 )]⇤1/2
3

 
c
 fixes
 the
 boundary
 separa7on:
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 Z(1)
 =
 0,
 so
 Lbdy
 =
 2
 X(1)
 

 
2