Một số mẫu bảng biến thiên thông dụng

Mẫu bảng biến thiên

HÀM BẬC BA
Câu 5. Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 5 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên (−1;3)
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞ ;−1) .
C. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞ ;−1) , (3;+∞)
D. Hàm số chỉ đồng biến trên khoảng (3;+∞) .
Hướng dẫn giải
Tập xác định: D = ¡ .
● y ' = 3x 2 − 6 x − 9
 x = −1
2
● Cho: y ' = 0 ⇔ 3 x − 6 x − 9 = 0 ⇒ 
x = 3
● Bảng biến thiên:
x
−∞
−1
−
+
y'
0
y
10

3
0

+∞

+

−22

● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞ ;−1) , (3;+∞) ; hàm số nghịch biến trên (−1;3) .
⇒ Chọn đáp án C.
Câu 6. Hàm số y = − x 3 + 3 x 2 + 9 x nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. ¡
B. (- ¥ ;- 1);(3; +¥ )
C. (3; +¥ )
D. (- 1;3)
Hướng dẫn giải
Tập xác định: D = ¡ .

 x = −1
x = 3

Ta có y ' = −3 x 2 + 6 x + 9 , y ' = 0 ⇔ 
Bảng biến thiên:
x
y'
y

−∞
+∞

−

−1
0

+

3
0
27

−

−5

+∞

−∞

Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;3) ; Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1) ; (3; +∞) .
⇒ Chọn đáp án B.
x3
− x2 + x đồng biến trên khoảng nào?
3
A.
B. ( −∞;1)
C. ( 1;+∞ )
¡
Hướng dẫn giải
Tập xác định: D = ¡ .
Câu 7. Hàm số y =

Nguyễn Văn Lực

D. ( −∞;1) và ( 1;+∞ )

1


Mẫu bảng biến thiên
Đạo hàm: y' = x2 − 2x + 1= ( x − 1) > 0 ∀x ≠ 1.
Bảng biến thiên:
2

x
y'
y

−∞

1
0

+

+∞

+

+∞

1
3

−∞

Vậy hàm số đồng biến trên toàn bộ ¡ .
⇒ Chọn đáp án A.
Câu 29. Cho hàm số y = x3 + 3x2 − mx − 4(1) . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1)
đồng biến trên khoảng ( −∞ ; 0)?
A. m≤ 1.
B. m≤ −3.
C. m> 3.
D. m≤ 3.
Hướng dẫn giải
2
Ta có y′ = 3x + 6x − m

(

)

Để hàm số đồng biến trên khoảng −∞;0 thì y′ > 0 ∀x < 0

⇒ 3x2 + 6x − m> 0 ∀x < 0 ⇔ 3x2 + 6x > m ∀x < 0

2
Xét hàm số g( x) = 3x + 6x ⇒ g′ ( x) = 6x + 6 = 0 ⇔ x = −1
Bảng biến thiên:

x

g'( x)

−∞

−

−1
0

+

+∞

g( x)

⇒ m≤ −3 ⇒ Chọn đáp án B.

Nguyễn Văn Lực

−3

2


Mẫu bảng biến thiên

HÀM BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG
Câu 31. Hàm số y = x4 − 2x2 + 1 đồng biến trên các khoảng nào?
A. ( −1;0)
B. ( −1;0) và ( 1;+∞ )
C. ( 1;+∞ )

D. ∀x∈ ¡
Hướng dẫn giải

Tập xác định: D = ¡ .

x = 0
3
3
Đạo hàm: y' = 4x − 4x, y' = 0 ⇔ 4x − 4x = 0 ⇔ 
 x = ±1
Bảng biến thiên:
x
y'
y

−∞

−1
0

−

0
0
1

+

+∞

1
0

−

0

+

+∞
+∞

0

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( −1;0) và ( 1;+∞ ) .
⇒ Chọn đáp án B.
Câu 32. Khoảng đồng biến của y = - x4 + 2x2 + 4 là:
A. (-∞; -1)
B. (3;4)
C. (0;1)
D. (-∞; -1) , (0; 1).
Hướng dẫn giải

éx = 0
y = - x4 + 2x2 + 4, y ' = - 4x3 + 4x = 0 Û ê
êx = ±1
ê
ë
Bảng biến thiên:
x

y'
y

+

−1

0
0

0
0

+

1
0
0

−1
Hàm số đồng biến trên (

),

⇒ Chọn đáp án D.

Nguyễn Văn Lực

3

Mẫu bảng biến thiên

HÀM PHÂN THỨC
2
Câu 43. Cho hàm số y = x − . Khoảng nghịch biến của hàm số là:
x
( −∞;0) và ( 0;+∞ )
A.
B. ( 1;0)
C. ¡
Hướng dẫn giải
D
=
¡
\
{0}
Tập xác định:
2
Đạo hàm: y' = 1+ 2 > 0 ∀x∈ D ⇒ hàm số luôn đồng biến.
x
Bảng biến thiên:

−∞

x
y'
y

0

+

D. Không có.

+∞

+

1

⇒ Chọn đáp án D.
1
Câu 45. Cho hàm số y = x + . Khoảng nghịch biến của hàm số là:
x
( −∞;−1) và ( 1;+∞ )
A.
B. ( −1;0) và ( 0;1)
C. ¡
D. Không có
Hướng dẫn giải
Tập xác định: D = ¡ \ {0}
1
1
Đạo hàm: y' = 1− 2 , y' = 0 ⇔ 1− 2 = 0 ⇔ x = ±1.
x
x
Bảng biến thiên:

−∞

x
y'
y

−1
0
-2

+

−∞

−

0

−
+∞

−∞

1
0

+

+∞
+∞

2

Vậy khoảng nghịch biến của hàm số là ( −1;0) và ( 0;1) .
⇒ Chọn đáp án B.
Câu 51. Cho hàm số y =

( −∞;−1)

A.

x
. Khoảng đồng biến của hàm số là:
x +1
B. ( −1;+∞ )
C. ¡
Hướng dẫn giải
2

D. ( −1;1)

Tập xác định: D = ¡ .
1− x2
, y' = 0 ⇔ 1− x = 0 ⇔ x = ±1.
2
Đạo hàm: y' = 2
x +1

(

)

Bảng biến thiên:
x

−∞

Nguyễn Văn Lực

−1

1

+∞
4


Mẫu bảng biến thiên

−

y'
y

+

0

0

−

−

0
1
2

1
2

0

Vậy khoảng đồng biến của hàm số là ( −1;1) .
⇒ Chọn đáp án D.
Câu 53. Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình bên:
A. y =

2x − 3
x −1

B. y =

C. y =

Hướng dẫn giải

−∞

x
y'

y

2x − 3
x +1
−1

+

2x + 3
1− x

D. y =

x+3
x−2

+∞

+

+∞

2
−∞

2
⇒ Chọn đáp án B.

x2 + x − 1
là:

x− 1
A. Đồng biến trên các khoảng ( −∞;0) và ( 2;+∞ ) .

Câu 61. Các khoảng đơn điệu của hàm số y =

Nghịch biến trên các khoảng ( 0;1) và ( 1;2) .

B. Đồng biến trên khoảng ( −∞;1) . Nghịch biến trên khoảng ( 0;2) .

C. Đồng biến trên khoảng ( 2;+∞ ) . Nghịch biến trên khoảng ( 0;2) .

D.Đồng biến trên khoảng ( 2;+∞ ) . Nghịch biến trên khoảng ( 0;1) .
Hướng dẫn giải
Tập xác định: D = ¡ \ {1}
x = 0
1
2
,
y
'
=
0
⇔
x
−
1
=
1
⇔
(

)
Đạo hàm: y' = 1−
x = 2
2

( x − 1)
Bảng biến thiên:
x
y'
y

−∞

+

0
0
1

1

−

−∞

−
+∞

−∞

2
0

+

+∞
+∞

5

Từ bảng biến thiên ta có:
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞;0) và ( 2;+∞ ) .
Nghịch biến trên các khoảng ( 0;1) và ( 1;2) .
⇒ Chọn đáp án A.

Nguyễn Văn Lực

5


Mẫu bảng biến thiên

HÀM BẬC HAI, CĂN, LƯỢNG GIÁC, LOGARIT
Câu 70. Tìm khoảng đồng biến của hàm số y = x2 − 4x + 2
( 2;+∞ )
A.
B. ( −∞;2)
C. ( −∞;2) và ( 2;+∞ )
Hướng dẫn giải
Tập xác định: D = ¡ .

Đạo hàm: y' = 2x − 4 ⇒ y' = 0 ⇔ x = 2 và f ( 2) = 2.
Bảng biến thiên:

−∞

x
y'
y

−

+∞

2
0

D. ¡

+∞

+

+∞

−2
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( 2;+∞ ) .
⇒ Chọn đáp án A.
1 2
3
Câu 71. Tìm khoảng nghịch biến của hàm số y = − x − x +

2
2
( 1;+∞ )
A.
B. ( −∞;−1)
C. ( −1;+∞ )

( −1;+∞ )

D. ( −∞;−1) và

Hướng dẫn giải
Tập xác định: D = ¡ .
Đạo hàm: y' = − x − 1⇒ y' = 0 ⇔ x = −1 và f ( −1) = 2.
Bảng biến thiên:
x
y'
y

−∞

+

−1
0
2

−

−∞

+∞

−∞

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;+∞ ) .
⇒ Chọn đáp án C.
Câu 74. Khoảng đồng biến của hàm số y = 2x − x2 là
( −∞;1)
A.
B. ( 0;1)

C. ( 1;2)

D. ( 1;+∞ )

Hướng dẫn giải
Tập xác định: D =  0;2 .
1− x
, ∀x∈ ( 0;2) ⇒ y' = 0 ⇔ x = 1.
Đạo hàm: y' =
2x − x2
Bảng biến thiên:
Nguyễn Văn Lực

6


Mẫu bảng biến thiên
x

y'
y

0

1
0
2

+

2

−

−∞

−∞

⇒ Chọn đáp án B.
Câu 75. Cho hàm số y = 4 − x2 . Khoảng nghịch biến của hàm số là:
( 0;2)
A.
B. ( −2;0)
C. ( −2;2)

D. ¡

Hướng dẫn giải
Tập xác định: D =  −2;2 .

2x
x
=−
, y' = 0 ⇔ x = 0.
Đạo hàm: y' = −
2 4 − x2
4 − x2
Bảng biến thiên:

−∞

x
y'
y

−2

+

0
0
2

−

0

2

+∞

0

⇒ Chọn đáp án A.
Câu 78. Cho hàm số y =

( 0;1)

A.

x
, f ( x) đồng biến trong các khoảng nào sau đây?
ln x
B. ( 1;e)
C. ( 0;e)
D. ( e;+∞ )
Hướng dẫn giải

( ) (

)

Tập xác định: D = 0;1 ∪ 1; +∞ .
ln x − 1
⇒ y' = 0 ⇔ ln x = 1 ⇔ x = e.
ln2 x
Bảng biến thiên:
Đạo hàm: y' =

x

y'
y

0

−

1

−

e
0

+

+∞

⇒ Chọn đáp án D.

Câu 90. Tìm m để hàm số y =
A. m £

5
4

Nguyễn Văn Lực

æ pö
m - sin x

ç
÷
nghịch
biến
trên
?
ç0; ÷
÷
2
÷
ç
è 6ø
cos x

B. m ³ 1

C. m £ 2

D. m £ 0

7


Mẫu bảng biến thiên
Hướng dẫn giải
2

- cos x + 2m sin x - 2sin2 x - 1+ 2m sin x - sin2 x
Ta có : y ' =
=

cos3 x
cos3 x
æ pö
æ pö
÷
ç
÷
÷
0;
y
'
£
0
,
"
x
Î
Để hàm số nghịch biến trên khoảng ç
thì
(*)
ç ÷
ç0; ÷
÷
÷
÷
ç
ç
è 6ø
è 6ø
æ 1ö

t2 + 1
÷
ç
÷
t
=
sin
x
,
t
Î
0;
Đặt
.Ta có : (*) Û m £
ç
÷
ç
÷
è 2ø
2t
t2 + 1
,t Î
Xét hàm số : f (t) =
2t

æ 1ö
ç
÷
0; ÷
ç

÷
ç
÷
è 2ø

2(t2 - 1)
< 0, t Î
Ta có : f '(t) =
4t 2

æ 1ö
ç
÷
ç0; ÷
÷
÷
ç
è 2ø

Bảng biến thiên :

t
f '( t )
f ( t)

0
+
+∞

Dựa vào bảng biến thiên ,ta có : m £

⇒ Chọn đáp án A.

Nguyễn Văn Lực

1
2

5
4
5
4

8