Giải bài tập chương 3 và 4 quản trị rủi ro tài chính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP HỒ CHÍ MINH
KHOA TÀI CHÍNH

---------*---------

Giai bai tâp chương 3 & 4
QUẢN TRỊ RỦI RO TÀI CHÍNH

GVHD: Quach Doanh Nghiêp

Nhóm thực hiện: Nhóm 4

Lớp: VB18BFN01

1. Nguyễn Thanh Hiếu
2. Huỳnh Thị Kim Ngọc
3. Nguyễn Văn Bé Qui
4. Hồ Thị Thanh Thảo
5. Phạm Minh Tuấn
6. Nguyễn Thị Kim Tuyền

TP HỒ CHÍ MINH – 2017


CHƯƠNG 3
CÁC NGUYÊN TẮC ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN
I.Cơ sở lý thuyết:
1) Giá trị nội tại quyền chọn kiểu Mỹ: giá trị nhỏ nhất của quyền chọn còn được gọi

là giá trị nội tại.

- Quyền chọn mua :

giá trị nội tại = Max(0, So - X)

Quyền chọn bán :
giá trị
nộiMỹ:
tại =làMax(0,
X- Sgiữa
o)
2) Giá trị thời gian quyền chọn
kiểu
chênh lệch
giá quyền chọn và và giá
-

trị thời gian hay giá trị đầu cơ.
- Quyền chọn mua :
Giá trị thời gian = Ca(So ,T,X) - Max(0, So - X)
- Quyền chọn bán :
Giá trị thời gian = Pa(So ,T,X) - Max(0, X- So)
3) Giới hạn dưới của quyền chọn kiểu Châu Âu: giới hạn dưới của quyền chọn mua

kiểu Châu Âu sẽ cao hơn giá trị nội tại của một quyền chọn mua kiểu Mỹ.
- Quyền chọn mua :
Giới hạn dưới = Max[ 0, So – X(1+r)-T ]
Quyền chọn bán :
-T
hạnhạn
dưới

= Max[
0, X(1+r)
-sẽSolà:
]
Nếu tài sản cơ sở là tiền tệGiới
thì giới
dưới
của quyền
chọn
+ Quyền chọn mua :
+ Quyền chọn bán :
hạnchọn
dướibán:
= Max[ 0, So(1+ p)-T– X(1+r)-T ]
4) Ngang giá quyền chọn mua –Giới
quyền
 Quyền chọn kiểu Châu Âu: Giới hạn dưới = Max[ 0, X(1+r)-T - So(1+p)-T ]
- Là mối quan hệ giữa giá quyền chọn mua, quyền chọn bán, giá cổ phiếu, giá
-

-

thực hiện, lãi suất phi rủi ro và thời gian đến khi đáo hạn.
Theo luật một giá, giá của một cổ phiếu cộng với quyền chọn bán bằng với giá
quyền chọn mua cộng với trái phiếu phi rủi ro.

-

Pe(So ,T,X) + So = Ce(So ,T,X) + X(1+r)-T
Nếu tài sản cơ sở là tiền tệ thì ngang giá quyền chọn mua – quyền chọn bán sẽ

là
Pe(So ,T,X) + So(1+p)-T = Ce(So ,T,X) + X(1+r)-T
 Quyền chọn kiểu Mỹ:
- Ngang giá quyền chọn mua – quyền chọn bán kiểu Mỹ được diễn giải dưới
dạng bất phương trình:
Ca(So ,T,X) +X ≥ So + Pa(So ,T,X) ≥ Ca(So ,T,X) + X(1+r)-T


5) Mối quan hệ giữa giá thực hiện và giá quyền chọn:
- Đối với 2 quyền chọn mua hoặc bán chỉ khác nhau giá thực hiện, chênh lệch

phí quyền chọn không thể lớn hơn chênh lệch giá thực hiện.
 Quyền chọn kiểu Mỹ:

+ Quyền chọn mua:

( X2 – X1 ) ≥ Ca(So,T, X1) - Ca(So,T, X2)

+ Quyền chọn bán:

( X2 – X1 ) ≥ Pa(So,T, X2) - Pa(So,T, X1)

 Quyền chọn kiểu Châu Âu:

+ Quyền chọn mua:
+ Quyền chọn bán:

( X2 – X1 ) ≥ Ce(So,T, X1) – Ce(So,T, X2)
( X2 – X1 ) ≥ Pe(So,T, X2) – Pe(So,T, X1)

II. Bài tập ứng dụng:
- Các giá trị quyền chọn đối với các cổ phiếu sau đây được ghi nhận vào ngày 6/7. Sử
dụng thông tin này để giải quyết các câu hỏi. Giá cổ phiếu 165 1/8. Ngày đáo hạn là 17/7;
21/8; 16/10. Lãi suất phi rủi ro lần lượt là 0.0516; 0.0550 và 0.0558
Giá thực
hiện
155
160
165
170

Quyền chọn mua
Tháng 7 Tháng 8 Tháng 10
10.50
11.8
14.00
6
8.1
11.10
2.70
5.2
8.1
0.8
3.2
6.00

Quyền chọn bán
Tháng 7 Tháng 8 Tháng 10
0.2

1.25
2.75
0.75
2.75
4.5
2.35
4.70
6.70
5.8
7.5
9.00

Bài 11:
Tính toán giá trị nội tại, giá trị thời gian và giới hạn dưới của các quyền chọn mua sau.
Xác định cơ hội tìm kiếm lợi nhuận có thể tồn tại. Xem các quyền chọn này là kiểu Mỹ
khi xác định giá trị nội tại và giá trị thời gian; và là quyền chọn kiểu Châu Âu khi xác
định giới hạn dưới.
a) Tháng 7 giá thực hiện 160:

X = 160
So = 165 1/8 = 165.125


Ca(So ,T,X) = 6
- Giá trị nội tại của quyền chọn mua kiểu Mỹ
Giá trị nội tại = Max(0, So - X) = Max(0, 165.125 - 160) = 5.125
- Giá trị thời gian của quyền chọn mua kiểu Mỹ:
Giá trị thời gian = Ca(So ,T,X) - Max(0, So - X) = 6 – 5.125 = 0.875
- Giới hạn dưới của quyền chọn mua kiểu Châu Âu( T = 11 ngày ):
Giới hạn dưới

= Max[ 0, So – X(1+r)-T ]
= Max[0, 165.125 – 160(1+0.0516)-11/365]
= Max(0, 5.367) = 5.367
b) Tháng 10 giá thực hiện 155:
X = 155
So = 165 1/8 = 165.125
Ca(So ,T,X) = 14
- Giá trị nội tại của quyền chọn mua kiểu Mỹ
Giá trị nội tại = Max(0, So - X) = Max(0, 165.125 - 155) = 10.125
- Giá trị thời gian của quyền chọn mua kiểu Mỹ:
Giá trị thời gian = Ca(So ,T,X) - Max(0, So - X) = 14 – 10.125 = 3.875
- Giới hạn dưới của quyền chọn mua kiểu Châu Âu ( T = 102 ngày):
Giới hạn dưới
= Max[ 0, So – X(1+r)-T ]
= Max[0, 165.125 – 155(1+0.0588)-102/365]
= Max(0, 11.862) = 12.58
c) Tháng 8 giá thực hiện 170:
X = 170
So = 165 1/8 = 165.125
Ca(So ,T,X) = 3.2
- Giá trị nội tại của quyền chọn mua kiểu Mỹ
Giá trị nội tại = Max(0, So - X) = Max(0, 165.125 - 170) = 0
- Giá trị thời gian của quyền chọn mua kiểu Mỹ:
Giá trị thời gian = Ca(So ,T,X) - Max(0, So - X) = 3.2 – 0 = 3.2
- Giới hạn dưới của quyền chọn mua kiểu Châu Âu( T = 46 ngày):
Giới hạn dưới
= Max[ 0, So – X(1+r)-T ]
= Max[0, 165.125 – 170(1+0.0550)-46/365]
= Max(0,-3.732) = 0
Bài 12: Tính toán giá trị nội tại, giá trị thời gian và giới hạn dưới của các quyền chọn bán

sau. Xác định cơ hội tìm kiếm lợi nhuận có thể tồn tại. Xem các quyền chọn này là kiểu
Mỹ khi xác định giá trị nội tại và giá trị thời gian; và là quyền chọn kiểu Châu Âu khi xác
định giới hạn dưới.
a) Tháng 7 giá thực hiện 165:

X = 165
So = 165 1/8 = 165.125


Pa(So ,T,X) = 2.35
- Giá trị nội tại của quyền chọn bán kiểu Mỹ
Giá trị nội tại = Max(0, X- So) = Max(0, 165 - 165.125) = 0
- Giá trị thời gian của quyền chọn bán kiểu Mỹ:
Giá trị thời gian = Pa(So ,T,X) - Max(0, X- So) = 2.35 – 0 = 2.35
- Giới hạn dưới của quyền chọn bán kiểu Châu Âu(T=11 ngày):
Giới hạn dưới
= Max[ 0, X(1+r)-T - So ]
= Max[0, 165(1+0.0516)-11/365 - 165.125 ]
= Max(0, -0.375) = 0
b) Tháng 8 giá thực hiện 160:
X = 160
So = 165 1/8 = 165.125
Pa(So ,T,X) = 2.75
- Giá trị nội tại của quyền chọn bán kiểu Mỹ
Giá trị nội tại = Max(0, X- So) = Max(0,160-165.125) = 0
- Giá trị thời gian của quyền chọn bán kiểu Mỹ:
Giá trị thời gian = Pa(So ,T,X) - Max(0, X- So) = 2.75 – 0= 2.75
- Giới hạn dưới của quyền chọn bán kiểu Châu Âu( T = 46 ngày):
Giới hạn dưới
= Max[ 0, X(1+r)-T - So]

= Max[0, 160(1+0.055)-46/365 - 165.125]
= Max(0, -6.201) = 0
c) Tháng 10 giá thực hiện 170:
X = 170
So = 165 1/8 = 165.125
Pa(So ,T,X) = 9
- Giá trị nội tại của quyền chọn bán kiểu Mỹ
Giá trị nội tại = Max(0, X- So) = Max(0, 170 - 165.125) = 4.875
- Giá trị thời gian của quyền chọn bán kiểu Mỹ:
Giá trị thời gian = Pa(So ,T,X) - Max(0, X- So) = 9 – 4.875 = 4.125
- Giới hạn dưới của quyền chọn bán kiểu Châu Âu( T = 102 ngày):
Giới hạn dưới
= Max[ 0, X(1+r)-T - So]
= Max[0, 170(1+0.0588)-102/365 - 165.125)
= Max(0,2.97) = 2.182
Bài 13 Kiểm tra các kết hợp giữa quyền chọn bán và quyền chọn mua sau, và xác định
liệu chúng có tuân thủ qui tắc ngang giá quyền chọn mua – quyền chọn bán kiểu Châu Âu
không. Nếu bạn thấy bất kỳ vi phạm nào,hãy đề xuất chiến lược thu lợi nhuận
a) Tháng 7 giá thực hiện 155:
So = 165 1/8 = 165.125
Pe(So ,T,X) = 0.2
Ce(So ,T,X) = 10.5
- Ta có: Pe(So ,T,X) + So = 165.125 + 0.2 = 165.325
- Ce(So ,T,X) + X(1+r)-T = 10.5 + 155(1+0.0516)-11/365 = 165.265


 Vì Pe(So ,T,X) + So > Ce(So ,T,X) + X(1+r)-T  Chúng ta có thể kiếm lời bằng cách mua
quyền chọn mua và trái phiếu và bán khống quyền chọn bán và cổ phiếu.
Thu nhập từ
Bán khống:

-Cổ phiếu
-Qc.bán

Giá trị hiện Thu nhập từ danh mục với giá CP khi đáo hạn
tại
ST ≤ X
ST >X
So
Pe(So ,T,X)
165.325

-ST
-(X- ST)
-X

-ST
0
-ST

Mua:
-Qc.Mua
-Trái phiếu

-Ce(So ,T,X)
0
(ST –X)
-T
-X(1+r)
X
X

-165.265
X
ST
Kết luận : Chúng ta sẽ nhận được 1 khoản tiền lúc ban đầu = 165.325 - 165.265= 0.06 và
không phải trả gì khi đáo hạn.
b) Tháng 8 giá thực hiện 160:

So = 165 1/8 = 165.125
Pe(So ,T,X) = 2.75
Ce(So ,T,X) = 8.1
- Ta có: Pe(So ,T,X) + So = 165.125 + 2.75 = 167.875
- Ce(So ,T,X) + X(1+r)-T = 8.1 + 160(1+0.055)-46/365 = 167.024
 Vì Pe(So ,T,X) + So > Ce(So ,T,X) + X(1+r)-T  Chúng ta có thể kiếm lời bằng cách mua
quyền chọn mua và trái phiếu và bán khống quyền chọn bán và cổ phiếu.
Thu nhập từ
Bán khống:
-Cổ phiếu
-Qc.bán

Giá trị hiện Thu nhập từ danh mục với giá CP khi đáo hạn
tại
ST ≤X
ST >X
So
Pe(So ,T,X)
167.875

Mua:
-Qc.Mua
-Trái phiếu

-ST
-(X- ST)
-X

-ST
0
-ST

-Ce(So ,T,X)
0
(ST –X)
-T
-X(1+r)
X
X
-167.024
X
ST
Kết luận : Chúng ta sẽ nhận được 1 khoản tiền lúc ban đầu = 167.875- 167.024= 0.851
và không phải trả gì khi đáo hạn.
c) Tháng 10 giá thực hiện 170:


So = 165 1/8 = 165.125
Pe(So ,T,X) = 9
Ce(So ,T,X) = 6
- Ta có: Pe(So ,T,X) + So = 165.125 + 9 = 174.125
- Ce(So ,T,X) + X(1+r)-T = 6 + 170(1+0.0588)-102/365 = 173.307
 Vì Pe(So ,T,X) + So > Ce(So ,T,X) + X(1+r)-T  Chúng ta có thể kiếm lời bằng cách mua

quyền chọn mua và trái phiếu và bán khống quyền chọn bán và cổ phiếu.

Thu nhập từ

Giá trị hiện tại

Bán khống:
-Cổ phiếu
-Qc.bán

Thu nhập từ danh mục với giá CP khi đáo hạn
ST ≤ X
ST >X

So
Pe(So ,T,X)
174.125

-ST
-(X- ST)
-X

-ST
0
-ST

Mua:
-Qc.Mua
-Trái phiếu

-Ce(So ,T,X)
0
(ST –X)
-T
-X(1+r)
X
X
-173.307
X
ST
Kết luận: Chúng ta sẽ nhận được 1 khoản tiền lúc ban đầu = 174- 173.307= 0.693 và
không phải trả gì khi đáo hạn.
Bài 14: Lập lại câu 13, sử dụng qui tắc ngang giá quyền chọn mua – quyền chọn bán kiểu
Mỹ, nhưng không đề xuất chiến lược.
-

Qui tắc ngang giá quyền chọn mua và quyền chọn bán kiểu Mỹ
Ca(So ,T,X) +X ≥ So + Pa(So ,T,X) ≥ Ca(So ,T,X) + X(1+r)-T

Giá thực hiện
Ca(So ,T,X) +X
So + Pa(So ,T,X)
Ca(So,T,X) + X(1+r)-T

Tháng 7
X=155

Tháng 8
X=160

Tháng 10
X=170

10.5+155=165.5
0.2+165.125=165.325
10.5+155(1+0.0516)-11/365
= 165.265
Tuân thủ qui tắc

8.1+160=168.1
2.75+165.125=167.875
8.1+160(1+0.055)-46/365
=167.024
Tuân thủ qui tắc

6+170=176
9+165.125=174.125
6+170(1+0.0588)-46/365
=173.307
Tuân thủ qui tắc

Bài 15: Xét các cặp quyền chọn mua sau, chỉ khác nhau về giá thực hiện. Xác định liệu
có sự vi phạm nào về các qui tắc liên quan đến mối quan hiệ giữa các quyền chọn kiểu
Mỹ chỉ khác nhau về giá thực hiện không.


-

Mối quan hệ giữa giá thực hiện và giá quyền chọn mua kiểu Mỹ:
( X2 – X1 ) ≥ Ca(So,T, X1) - Ca(So,T, X2)

X1
X2
Chênh lệch giá

Tháng 8
Giá quyền chọn mua
Giá thực hiện
Ca(So,T, X)
155
11.8
160
8.1
5
3.7
5 ≥ 3.7  Phù hợp

Tháng 10
Giá quyền chọn mua
Giá thực hiện
Ca(So,T, X)
160
11.1
165
8.1
5
3
5 ≥ 3  Phù hợp

Bài 16: Xét các cặp quyền chọn bán sau, chỉ khác nhau về giá thực hiện. Xác định liệu có

sự vi phạm nào về các qui tắc liên quan đến mối quan hiệ giữa các quyền chọn kiểu Mỹ
chỉ khác nhau về giá thực hiện không.
-

Mối quan hệ giữa giá thực hiện và giá quyền chọn bán kiểu Mỹ:
( X2 – X1 ) ≥ Pa(So,T, X2) - Pa(So,T, X1)

X1
X2
Chênh lệch giá

Tháng 8
Giá quyền chọn bán
Giá thực hiện
Pa(So,T, X)
155
1.25
160
2.75
5
1.5
5 ≥ 1.5 Phù hợp

Tháng 10
Giá quyền chọn bán
Giá thực hiện
Pa(So,T, X)
160
4.5
170

9
10
4.5
10 ≥ 4.5 Phù hợp

Bài 17: Vào ngày 9/12 quyền chọn mua đồng Franc Thụy Sỹ tháng 1, giá thực hiện 46 có
giá là 1.63. Quyền chọn bán tháng 1 giá thực hiện 46 là 0.14. Tỷ giá giao ngay là 47.28.
Tất cả các giá này đều tính theo đơn vị cent trên 1 franc Thụy Sĩ. Các quyền chọn đáo
hạn vào ngày 13/1. Lãi suất phi rủi ro của Mỹ là 7.1% và lãi suất phi rủi ro của Thụy Sĩ là
3.6%. Hãy tính:
a)
b)
c)
d)

Giá trị nội tại của quyền chọn mua
Giới hạn dưới của quyền chọn mua
Giá trị thời gian của quyền chọn mua
Giá trị nội tại của quyền chọn bán


e) Giới hạn dưới của quyền chọn bán
f) Giá trị thời gian của quyền chọn bán
g) Xác định ngang giá quyền chọn mua- quyền chọn bán có được tuân thủ

Bài làm
Ta có :

a)
b)

c)
d)

X = 46
C(So,T,X) =1.63
P(So,T,X) = 0.14
So = 47.28
rf( Mỹ) = 0.071
p = 0.036
T= 35 ngày
- Vì tài sản cơ sở là tiền tệ nên thay So = So( 1+p)-T
Giá trị nội tại của quyền chọn mua
Giá trị nội tại = Max( 0, So - X ) = Max( 0, 47.28- 46) = 1.28
Giới hạn dưới của quyền chọn mua
Giới hạn dưới = Max[ 0, So(1+p)-T – X(1+r)-T ]
= Max[ 0, 47.28*(1+0.036)-35/365 – 46(1+0.071)-35/365 ]
= Max[0, 46.841-45.698]= 1.142
Giá trị thời gian của quyền chọn mua:
Giá trị thời gian = C(So,T,X) - Max( 0, So – X) =1.63 – 1.28 = 0.35
Giá trị nội tại của quyền chọn bán:
Giá trị nội tại = Max( 0, X – So) = Max( 0, 46- 47.28) = 0

e) Giới hạn dưới của quyền chọn bán :

Giới hạn dưới = Max[ 0,X – So(1+p)-T]
= Max[0, 46 - 47.28*(1+0.036)-35/365]
= Max [0, 46 – 46.841] = 0
f) Giá trị thời gian của quyền chọn bán:
Giá trị thời gian = P(So,T,X) - Max( 0, X – So) = 0.14 – 0 = 0.14

g) Xác định ngang giá quyền chọn mua- quyền chọn bán có được tuân thủ:
C(So,T,X) + X = 1.63 + 46 = 47.63
(1)
-T
-35/365
P(So,T,X) + So(1+p) = 0.14 + 47.28*(1+0.036)
= 0.14+ 46.841 = 46.981
(2)
-T
-35/365
C(So,T,X) + X(1+r) = 1.63 + 46(1+0.071)
= 1.63 + 45.698 = 47.328 (3)
Khi ngang giá quyền chọn mua – quyền chọn bán kiểu Mỹ được tuân thủ thì:
(1) ≥ (2) ≥ (3) nhưng theo bài thì (1) ≥ (3) ≥ (2) nên ngang giá quyền chọn mua không
được tuân thủ.


CHƯƠNG 4
ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN BẰNG MÔ HÌNH NHỊ PHÂN
I.

Cơ sở lý thuyết:
1) Mô hình nhị phân một thời kỳ (n=1)
- Giả định:
Giá tài sản tăng theo tham số: u = 1 + %↑  Su
Giá tài sản giảm theo tham số:d = 1− %↓  Sd
C , P: Giá quyền chọn mua/ bán
X:
Giá thực hiện
S:

Giá tài sản
r:
Lãi suất phi rủi ro
• Giá quyền chọn đáo hạn:
- Quyền chọn mua:
- Quyền chọn bán
Cu= Max(0,Su-X)
Pu= Max(0, X- Su)
C
•

P

Cd= Max(0,Sd-X)

Giá quyền chọn hiện tại :
Quyền chọn mua:

Pd= Max(0, X- Sd)
- Quyền chọn bán

Với :
•

Xây dựng danh mục phòng ngừa
- Với h cổ phiếu và một vị thế bán quyền chọn MUA.
- Giá trị hiện tại của danh mục là V = hS – C
- Tại ngày đáo hạn : Vu = hSu – Cu
Vd = hSd – Cd
- Vì đây là danh mục phi rủi ro : Vu = Vd

→

(với h là tỷ số phòng ngừa)

2) Mô hình nhị phân hai thời kỳ (n=2)
• Giá quyền chọn đáo hạn
- Quyền chọn mua

- Quyền chọn bán
Pu2= Max(0,X-Su2)

Cu2= Max(0,Su2−X)
Cu

P

Pu


C

•

•

C
Cd

Cud= Max(0,Sud−X)
Cd2= Max(0,Sd2−X)

PPd

Pud= Max(0,X-Sud)
Pd2= Max(0,X-Sd2)

Giá quyền chọn tại thời điểm n=1
- Quyền chọn mua

- Quyền chọn bán

Giá quyền chọn ở hiện tại
- Quyền chọn mua

- Quyền chọn bán

Hoặc
-

Quyền chọn mua

- Quyền chọn bán


II. Bài tập ứng dụng:

Bài 2: Xem xét một cổ phiếu hiện có giá $80. Trong kỳ tiếp theo cổ phiếu có thể tăng
30% hoặc xuống 15%. Giả sử có một quyền chọn mua với giá thực hiện $80 với tỷ suất
phi rủi ro là 6%. Giả sử quyền chọn mua hiện đang giao dịch với giá 12$. Nếu quyền
chọn bị đánh giá sai, tỷ suất sinh lợi phi rủi ro từ việc phòng ngừa phi rủi ro là bao nhiêu?

Giải
Mô hình nhị phân một thời kỳ (One-Period Binomial Model)
Xem xét một cổ phiếu có giá S = $80.
Trong kỳ tiếp theo cổ phiếu có thể
Tăng u= 1.3  Su = 104  Cu= Max(0,Su-X)=Max(0,104-80)=24$.
Giảm d= 0.85  Sd = 68  Cd= Max(0,Sd-X)=Max(0,68-80) = 0.
- Giả sử có một quyền chọn mua với giá thực hiện X=$80. Và lãi suất phi rủi ro là r=6%.
- Quyền chọn mua hiện đang giao dịch với giá 12$.
- Tỷ suất phòng ngừa h là
Vậy phải mua 667 cổ phần và bán 1000 quyền chọn mua với xác suất p trong mô hình nhị
phân là :
- Phí quyền chọn mua được định giá :
Vậy giá trị lý thuyết của quyền chọn mua này là $ nhưng trên thị trường đang giao dịch là
12$.
Danh mục phòng ngừa :
- Giá trị hiện tại của danh mục là
V = hS-C=667($80) – 1000($10.567) = $ 42793
Vu= 667($104) – 1000($24)= $ 45368
Vd= 667($68) – 1000($0) = $ 45356


- TSSL phi rủi ro là :
rh=0,06 = 6%
Do quyền chon bị định giá sai, định giá cao. => arbitrage xảy ra.
Giá trị hiện tại của khoản đầu tư ngày hôm nay là 667($80) – 1000($12) = $ 41360
- Nếu giá cổ phiếu tăng lên 104$ thì tại ngày đáo hạn quyền chọn được định giá là $24 và
danh mục có giá trị là

667($104) – 1000($24)= $ 45368

- Nếu giá cổ phiếu giảm xuống 68$ thì tại ngày đáo hạn quyền chọn không có giá trị 0$
và danh mục có giá trị là

667($68) – 1000($0) = $ 45356

 Tỷ suất sinh lợi phi rủi ro từ việc phòng ngừa phi rủi ro là :
→ rh= 9,69%
Bài 7: Xem xét một cổ phiếu trị giá $25 và có thể tăng hoặc giảm 15% mỗi thời kỳ. Lãi
suất phi rủi ro 10%. Sử dụng mô hình nhị phân để :
a. Xác định hai mức giá khả thi của cổ phiếu trong kỳ tới.
b. Xác định giá trị nội tại tại ngày đáo hạn của một quyền chọn mua kiểu Châu Âu với
một mức giá thực hiện là 25$.
c. Tính giá trị của quyền chọn ngày hôm nay
d. Xây dựng một danh mục phòng ngừa bằng cách kết hợp một vị thế cổ phiếu với một vị
thế quyền chọn mua. Chứng minh tỷ suất sinh lợi của danh mục phòng ngừa sẽ bằng lãi
suất phi rủi ro bất chấp kết quả là bao nhiêu, giả định quyền chọn mua được bán với giá
tính được trong câu c.
e. Xác định tỷ suất sinh lợi của danh mục phi rủi ro nếu quyền chọn mua được bán với
giá $3.50 tại thời điểm danh mục phòng ngừa được thiết lập.
Giải
a.

S= 25$
Hai mức giá khả thi :
Su= 25(1.15) = 28.75
Sd= 25(0.85) = 21.25

b.

Giá trị nội tại tại lúc đáo hạn:

Cu= Max(0, 28.75 – 25) = 3.75


Cd= Max(0, 21.25 – 25) = 0
=(1.10 – 0.85)/(1.15 – 0.85) = 0.8333  1 – p = 0.1667

c.
-

Quyền chọn được định giá hôm nay là

h = (3.75 – 0.0)/(28.75 – 21.25) = 0.50

d.
-

Vậy phải mua 500 cổ phần và bán 1000 quyền chọn mua
V = 500(25) – 1,000(2.84) = 9,660
Vu = 500(28.75) – 1,000(3.75) = 10,625
Vd = 500(21.25) – 1,000(0.0) = 10,625
Rh = (10,625/9,660) – 1 ≈ 0.10 = rf
Giá trị danh mục V sau là :500(25) – 1,000(3.50) = 9,000

e.
-

Tại thời điểm đáo hạn Vu = Vd = 10,625.
→rh = (10,625/9,000) – 1 ≈ 0.18

Bài 17: Xem xét 3 quyền chọn mua giống nhau chỉ khác nhau giá thực hiện lần lượt là

$90, $100 và $110. Cổ phiếu đang được giao dịch với giá $100, lãi suất phi rủi ro ghép lãi
hàng năm là 5%, thời gian đến khi đáo hạn là 1 năm. Hãy sử dụng mô hình nhị phân một
thời kỳ với u = 4/3 và d= 3/4. Tính p và h. Hãy giải thích.
Tóm tắt:
Có 3 quyền chọn mua giống nhau chỉ khác: X1= $90, X2= $100, X3= $110
S = $100
u = 4/3, d = 3/4
r = 5%/năm, đáo hạn 1 năm
Hỏi: p = ? , h= ? và Giải thích
Giải
-

Xác suất trong mô hình nhị phân một thời kỳ là:


Vì xác suất p không phụ thuộc vào giá thực hiện X nên khi X tăng xác suất p
không thay đổi khi các yếu tố khác như nhau.
- Tỉ số phòng ngừa rủi ro là:
+ Với X= 90:
Cu= Max(0,Su-X) =Max(0,100.4/3-90)= $43.33
Cd= Max(0,Su-X) =Max(0,100.3/4-90)= $0
+ Với X= 100:
Cu= Max(0,Su-X) =Max(0,100.4/3-100)= $33.33
Cd= Max(0,Sd-X) =Max(0,100.3/4-100)= $0
+ Với X= 110:
Cu= Max(0,Su-X) =Max(0,100.4/3-110)= $23.33
Cd= Max(0,Su-X) =Max(0,100.3/4-110)= $0
Điều này cho thấy rằng khi giá thực hiện tăng (X tăng) thì tỉ số phòng ngừa sẽ giảm (h
giảm) vì khi giá thực hiện X tăng  Cu giảm  h sẽ giảm (khi các yếu tố khác không đổi).
Bài 8: Xem xét một mô hình nhị phân hai thời kỳ. Gỉa sử giá cổ phiếu hiện tại là 45 và lãi

suất phi rủi ro là 5%. Trong mỗi thời kỳ giá cổ phiếu có thể tăng lên hoặc giảm xuống
10%. Một quyền chọn mua có ngày hiệu lực tại thời điểm cuối thời kỳ thứ hai với giá
thực hiện là 40.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)

Hãy tìm chuỗi giá cổ phiếu.
Xác định các mức giá quyền chọn mua tại ngày đáo hạn.
Tìm các mức giá của quyền chọn mua tại cuối thời kỳ thứ nhất.
Gía trị hiện tại của quyền chọn là bao nhiêu?
Tỷ số phòng ngừa ban đầu bằng bao nhiêu?
Hai giá trị có thể của tỷ số phòng ngừa tại cuối thời kỳ đầu tiên là bao nhiêu?
Cho một ví dụ để chứng minh rằng danh mục phòng ngừa hoạt động, và hãy chắc
rằng ví dụ này minh họa danh mục phòng ngừa sẽ kiếm được một tỷ suất sinh lợi
phi rủi rỏ như thế nào.


h) Nhà đầu tư sẽ làm gì nếu quyền chọn mua được định giá cao và định giá thấp.

Bài giải:
a. Chuỗi giá cổ phiếu

b. Các mức giá quyền chọn mua lúc đáo hạn

c. Các mức giá của quyền chọn mua tại cuối thời kỳ thứ nhất

d. Hiện giá quyền chọn mua, giá trị lý thuyết

e. Tỷ số phòng ngừa ban đầu

f.

Gía cổ phiếu tăng lên
Giá cổ phiếu giảm xuống


g) Xét ví dụ S=$100; u= 1.25; d=0.8; r=0.07

Giá cổ phiếu tại ngày đáo hạn:
Su2 =100(1.25)2=156.25
Sud=100(1.25)(0.8)=100
Sd2=100(0.8)2=64
- Giá trị của quyền chọn mua tại ngày đáo hạn:
Cu2= Max(0,Su2−X) =Max(0, 156.25-100)=56.25
Cud= Max(0,Sud−X) = Max(0, 100 -100) = 0
Cd2= Max(0,Sd2−X) = Max(0, 64-100) = 0

=0.701

Su2=156.25
C u2= 56.25
Su=125
V u2=701(156.25)-701(56.25)-9430(1.07)=60010
Cu=31.54
rh=(60010/56080)-10.07

Vu=701(125)-1000(31.54)=56085
rh= (56085/52410)-1 0.07
hu=1000
mua 299 quyền chọn mua giá $31.54. Vay $9430
Giữ 701 cổ phần giá $125, bán 701 quyền chọn mua giá $31.54, nợ một khoản $9430
Sud =100
S=100
Cud= 0
C=17.69
Vud=701(100)-701(0)-9430(1.07)=60010
h=0.701
rh=(60010/56085)-10.07
giữ 701 cổ phần giá $100, bán 1000 quyền chọn mua giá $17.69
Vud=0(100)-1000(0) +56080(1.07)=60006
V=701(100)-1000(17.69)=52410
rh=(60006/56080)-10.07

80
0
701(80)-1000(0)=56080
(56080/52410)-1 0.07
0
S d2=64
701 cổ phần giá $80 ($56080) Đầu tư $56080 vào trái phiếu. giữ 0 cổ phần giá $80, bán 1000 quyền chọn mua giá $0; giữ $56080 bằng trá
C d2= 0
V d2=0(64)-1000(0)+56080(1.07)=60006
rh=(60006/56080)-10.07


h) Nếu quyền chọn mua được định giá cao:

- Giả sử lấy kết quả câu g ta có giá lý thuyết của quyền chọn mua này là : C=$17.69
- Giả sử giá thị trường của quyền chọn này là $19.
- Vì quyền chọn được định giá cao nên lúc này nhà đầu tư sẽ mua 701cổ phần và bán
1000 quyền chọn mua.
- Giá trị của khoản đầu tư ngày hôm nay là:
V= 701($100) – 1000($19) = 51,100
+ Nếu cổ phiếu tăng $125 thì tại ngày đáo hạn :
Cu=31.54 => Vu = 701($125)-1000(31.54) = 56,085
+ Nếu cổ phiếu giảm $80 thì tại ngày đáo hạn :
Cd= 0 => Vd =701(80) - 1000(0) = 56,080
- Khoản đầu tư ban đầu tăng từ 51,100 lên 56,085, nên tỷ suất sinh lợi phi rủi ro là:
rh= (56,085/51,100)-1≈ 0.098 = 9.8% > rf = 7% => nhà đầu tư có lời.
Kết luận, khi quyền chọn mua được định giá cao nhà đầu tư có thể đi vay 51,100 với lãi
suất phi rủi ro để mua 701 cổ phần và bán 1000 quyền chọn mua để thu được được một
tỷ suất sinh lời cao hơn lãi suất phi rủi ro.
Nếu quyền chọn mua được định giá thấp:
- Giả sử giá thị trường của quyền chọn này là $16.
- Vì quyền chọn được định giá thấp nên lúc này nhà đầu tư sẽ bán khống 701cổ phần
và mua 1000 quyền chọn mua.
Bán CP :

+ 701($100)

Mua quyền chọn mua:

- 1000($16)

Dòng tiền thuần vào là:

+ 54,100


+ Nếu cổ phiếu tăng $125 thì nhà đầu tư mua lại cổ phiếu và thực hiện quyền chọn
mua.
Mua CP :

- 701($125)

Thực hiện quyền chọn mua:

+ 1,000($31.54)

Dòng tiền thuần là:

- 56,085

+ Nếu cổ phiếu giảm $80 thì nhà đầu tư mua lại cổ phiếu và không thực hiện quyền
chọn mua.
Mua CP : - 701($80) = - 56.080
- Nhà đầu tư lúc ban đầu nhận trước + 54,100 và sau đó trả lại - 56,085. Điều này tương
đương với việc nhà đầu tư đi vay với một mức lãi suất :
rh= (56,085/54,100)-1≈ 0.037 = 3.7% < rf = 7% => nhà đầu tư có lời.
Kết luận, khi quyền chọn mua được định giá thấp nhà đầu tư sẽ sẽ bán khống 701cổ phần
và mua 1000 quyền chọn mua để thu được một khoản phi rủi ro.
Bài 9. Xem xét một tình huống định giá quyền chọn mua kiểu Mỹ bằng mô hình nhị phân
sau đây. Quyền chọn mua này còn lại hai thời kỳ trước khi hết hiệu lực. Gía cổ phiếu cơ
sở của nó là 30 và giá thực hiện quyền chọn là 25. Lãi suất phi rủi ro là 0.05. Gía trị của u
là 1.15 và của d là 0.90. Chứng khoán chi trả cổ tức tại cuối thời kỳ đầu tiên với tỷ lệ
0.06. Hãy định giá của quyền chọn này.

Tóm tắt:
S=30, X=25, r = 0.05
u=1.15, d=0.90
δ = 6%
Bài giải:


2
Su = 32.43(1.15)=37.29

Su=30(1.15)=34.5
cổ tức là 34.5*6%= 2.07
giá khi chi trả cổ tức là: 32.43

Sud=32.43(0.9)= 29.19
S=30

Sud=25.38(1.15)=29.19

Sd=30(0.9)=27
cổ tức là 27*6%=1.62
giá khi chi trả cổ tức là 25.38
2
Sd =25.38(0.9)=22.84

Nắm giữ một quyền chọn mua kiểu Mỹ chúng ta có quyền thực hiện nó trước khi cổ
phiếu chia cổ tức, do đó giá thực hiện 25 và nhận được cổ phiếu trị giá 34.5. Chúng ta
được quyền nhận cổ tức và có một giá trị nội tại là 9.5, Cu=9.5

Bài 10: Hãy định giá quyền chọn bán kiểu Mỹ sử dụng mô hình nhị phân với các thông
số sau: S= 62, X= 70, r=8%, u=1.10 và d=0.95. Không có cổ tức. Sử dụng n =2
Giải
Ta có:
Su2 = S.u.u = 75.02 → Pu2= Max(0,X-Su2) = 0
Sud = S.u.d = 64.79 → Pud= Max(0,X-Sud) = 5.21
Sd2 = S.d.d = 55.96 → Pd2= Max(0,X-Sd2) = 14.04
Theo việc định giá quyền chọn bán kiểu Mỹ thì trong suốt đời sống của quyền chọn
chúng ta có thể thực hiện sớm tại bất cứ thời điểm nào nếu đó là cơ hội tốt nhất.
•

Giá trị Pu:

Mà Su = 62. (1.10) = 68.2 → Pu= Max(0,X-Su) = 1.8
Nên Pu= 1.8 (do Mỹ có quyền thực hiện quyền bán sớm)
•

Giá trị Pd:

Mà Sd = 62. (0.95) = 58.9 → Pd= Max(0,X-Sd) = 11.1
Nên Pd= 11.1 (do Mỹ có quyền thực hiện quyền bán sớm)
•

Giá trị hiện tại của quyền chọn là:

Mà giá trị nội tại P = Max(0,X-So) = Max (0, 70 – 62) = 8
Vậy nên, giá quyền chọn bán lúc này là: P = 8