BAI GIANG CO KY THUAT

CHƯƠNG I : TĨNH HỌC
 Mục tiêu:
 Trình bày đầy đủ các tiên đề, khái niệm, cách biễu diễn lực, các loại liên kết cơ
bản, hệ lực, hợp lực đồng quy.
 Biểu diễn, phân tích và tính toán chính xác lực tác dụng và các phản lực liên kết,
các khái niệm về mômen của lực đối với một điểm, ngẫu lực.
 Tính lực bằng phương pháp đa giác, phương pháp chiếu để giải các bài toán về hệ
lực bất kỳ
 Lập được phương trình mô men tính toán hệ lực tác dụng, các bài toán hệ lực
phẳng song song.

BÀI 1 . CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC ĐỊNH LUẬT TĨNH
HỌC
1.1. Các khái niệm cơ bản
1.1.1 Vật rắn tuyệt đối
Là vật mà dưới tác dụng của ngoại lực thì khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ sẽ không thay đổi.
Trạng thái cân bằng của vật rắn : là trạng thái mà vật rắn đang đứng yên ( v = 0) hoặc đang
chuyển động thẳng đều (a = 0).
1.1.2 Trạng thái cân bằng
Vật ở hệ thống đứng yên so với một hệ trục nào đó hay vật rắn được gọi là cân bằng khi vị trí của
nó không thay đổi so với vị trí của một vật nào đó được chọn làm chuẩn (gọi là hệ qui chiếu).
Trong tĩnh học hệ qui chiếu đó gọi là hệ qui chiếu quán tính.
1.1.3 Lực
Là đại lượng đặc trưng cho tác dụng tương hỗ giữa các vật. Nó là đại lượng vectơ gọi là vectơ
lực, được đặc trưng bởi:
+ Phương chiều
+ Độ lớn
+ Điểm đặt
Ký hiệu : F , P . . .
Đơn vị : Niutơn, ký hiệu N. (1N = 1kgm/s2).
+ Lực tập trung: là lực tác dụng lên 1 đvdt rất bé của vật thể.

+ Lực phân bố : là lực tác dụng lên cả chiều dài và bề mặt của vật thể.

R = q.l : đặt tại trọng tâm phân bố

R=

q.l : Đặt tại trọng tâm phân bố

1.1.4 Các định nghĩa khác
1.1.4.1 Hệ lực
Tr 1

1


Là tập hợp nhiều lực cùng tác dụng lên vật rắn :
 Hợp lực của hệ lực:
Là một lực có tác dụng tương đương với tác dụng của cả hệ:
 Hệ lực cân bằng:
Là hệ lực tương đương với không: ( P, Q, R) ~ 0
1.1.4.2 Momen của lực đối với điểm
a. Momen của lực đối với điểm
M0(F) = r ^ F(Hình 1.1)
F quay quanh O và ngược chiều kim đồng hồ
Hình 1.1
{M0(F)} = {r}.{ F }. Sin(r ^ F).
{M0(F) } = F.d
Trong đó : d là cánh tay đòn
Chú ý : Cách xác định cánh tay đòn d : Từ điểm lấy momen ta kẻ đường thẳng vuông góc với
lực thì đường thẳng đó là cánh tay đòn .

b. Momen của lực đối với trục ( biễu diễn trên hình 1.2)

F1

F

m (F)
o
r

A (x,y,z)

F
O
A (x,y,0)

Hình 1.2

-

Chú ý :
Khi lấy momen của lực đối với trục thì bắt buộc phương của “Lực – trục – cánh tay đòn” phải
nằm trên ba phương vuông góc với nhau .
Momen của lực đối với trục bằng không khi phương của lực song song với trục hoặc cắt trục
Momen của lực đối với trục là dương khi lực quay quanh trục theo chiều ngược kim đồng hồ
Bài toán phẳng : lấy momen đối với điểm
Bài toán không gian lấy momen đối với trục
Ví dụ : (hình 1.3)

Tr 2

2


mx

=0

my

= - F1.C

mz

=0

mz

=0

mx

= - F2y.C = -

my

F2x.C =

Hình 1.3
.F2.C

.F2.C

1.1.4.3 Ngẫu lực
-

Hai lực đối nhau ,song song cùng cường độ sẽ tạo thành một
ngẫu lực.(hình 1.4)
Phương vuông góc với mặt phẳng chứa ngẫu lực.
Chiều ngược chiều kim đồng hồ.
M = f1.d

Hình 1.4

Chú ý :
- Hai ngẫu lực tương với nhau khi chúng có cùng chiều quay và cùng tri số momen .
- Ngẫu lực không phụ thuộc vào điểm đặt.
- Ngẫu lực có tác dụng làm cho vật quay.

1.2. Các tiền đề tĩnh học:(định luật tĩnh học)
1.2.1. Tiên đề 1 : (hai lực cân bằng )(hình 1.5)
Điều kiện cần và đủ để hai lực cân bằng là chúng phải cùng
đường tác dụng : cùng phương, ngươc chiều, cùng trị số, cùng tác
dụng lên một vật thể.
1.2.2 Tiên đề 2 : (thêm bớt hai lực cân bằng)(hình 1.6)
Ta có thể thêm vào hoặc bớt ra những cặp lực cân bằng và tác dụng
của hệ lực vẫn không thay đổi.
( F1, F2, F3) ~ (F1, F2, F3, P1, P2), Nếu ( P1, P2) ~ 0

Hình 1.5

Hệ quả : (hình 1.7)
Tác dụng củc lực không thay đổi khi chúng ta trượt lực trên đường
tác dụng của nó.
Hình 1.6

Hình 1.7
Tr 3

3


1.2.3. Tiên đề 3 : ( tiên đề hình bình hành lực, hợp lực hai lực đồng quy)
Nếu ta có hai lực đồng quy thì hợp lực nằm trên đường chéo chính của hình bình hành.
( F1, F2) ~ R(hình 1.8)

Hình 1.8
1.2.4. Tiên đề 4 : (về tương tác)
Lực mà do hai vật thể tác dụng với nhau thì sẽ có cùng phương, ngược chiều, cùng trị số.
FAB = - FBA (hình 1.9)
Hình 1.9

1.2.5. Tiên đề 5 : (hóa rắn)
Vật rắn biến dạng mà cân bằng thì khi hóa rắn lại thì nó cũng cân bằng.
1.2.6. Tiên đề 6 : (giải phóng liên kết)
- Vật không tự do cân bằng có thể được xem là vật tự do cân bằng bằng cách giải phóng tất cả
các liên kết và thay thế tác dụng liên kết được giải phóng bằng các phản lực liên kết thích
hợp.
- Một số quy tắc xác định các đặc trưng của phản lực liên kết đối với một số trường hợp
thường gặp:

a. Liên kết tựa.
-

Vật tựa lên một mặt hay giá tựa. . . (hình 1.10)

-

Phản lực vuông góc với bề mặt tiếp xúc.

Hình 1.10
b. Liên kết dây mềm ( liên kết treo) (hình 1.11)
-

Phản lực ( sức căng dây) luôn hướng dọc theo dây về phía điểm treo

Tr 4

4


Hình 1.11
c. Liên kết bản lề.
* Liên kết bản lề di động : (thực chất là liên kết tựa)(hình 1.12)

Hình 1.12

* Liên kết bản lề cố định :
Là liên kết bản lề trụ có phương nằm bất kỳ trong mặt phẳng quay.(hình 1.13)

Hình 1.13

d. Liên kết bản lề cầu.
đi qua tâm có phương bất kỳ.
Hình 1.14

Hình 1.14

e. Liên kết ngàm.(hình 1.15)
Liên kết ngàm ngăn cản sự chuyển động theo mọi phía của
vật khảo sát cũng như chuyển động quay của nó.
Hình 1.15
f. Liên kết thanh cứng.(hình 1.16)
* Điều kiện thanh cứng :
- Thanh không có trọng lượng.
- Nối bằng hai bản lề trụ.
- Không có lực tác dụng trực tiếp lên thanh.
* Phản lực liên kết đi qua hai đầu bản lề
g. Liên kết ổ đỡ chặn.(hình 1.17)

Tr 5

5


Phản lực liên kết có ba thành phần:
Hình 1.16

Hình 1.17

Nguyên lý giải phóng liên kết: Vật rắn không tự do có thể xem như vật rắn tự do nếu ta vứt bỏ

mọi liên kết và thay thế chúng bằng các phản lực liên kết.(hình 1.18)

Hình 1.18

1.3. Các hệ quả:

F1

1.3.1: Hợp các lực đồng quy:
Công thức xác định trị số, phương, chiều của vectơ hợp lực như sau:

F2
R

Tr 6

6


R’ : vecto chính của hệ lực
R’z
Định lý: Hợp lực của hệ lực đồng quy được biễu diễn bằng vecto chính của hệ lực đặt tại điểm đồng quy.(hình 1.19)

R’

R

R’x
R’x
Hình 1.19

1.3.2. Các định lý biến đỗi tương đương ngẫu lực:
1.3.2.1 : Định lý 1:
Hai ngẫu lực cùng nằm trên một mặt phẳng có cùng chiều quay và cùng trị số momen thì
tương đương nhau.
a. Hệ quả 1:
Tác dụng ngẫu lực không thay đỡi khi dời tùy ý nó trong mặt phẳng ngẫu lực
b. Hệ quả 2:
Có thể thay đỗi tay đòn của ngẫu lực mà tác dụng của nó không thay đỗi nếu giữ nguyên
chiều quay và trị số momen(tức F.d=F’.d’)
1.3.2.2: Định lý 2:
Tác dụng của ngẫu lực không thay đỗi khi chúng được dời đến các mặt phẳng song song

Tr 7

7


BÀI 2 : HỆ LỰC PHẲNG
2.1. Vectơ chính và momen chính của hệ lực phẳng.(hình 2.1)
Giả sử ta có hệ lực (

) với k = 1, 2, ...,n . Áp dụng định lý dời lực, ta dời được tất cả các lực

thuộc hệ về điểm O. Ap dụng tiên đề hình bình hành lực cho hệ các lực có cùng điểm đặt tại O
này, ta có :
hay

được gọi là vectơ chính của hệ
Ngoài ra theo định lý dời lực, mổi khi dời một lực

về O ta phải thêm vào một hệ ngẫu lực kết hợp
có momen bằng:
là bán kính vectơ có góc là O và mút là điểm đặt của

Tổng của tất cả các ngẫu lực kết

hợp này bằng

: được gọi là momen chính của hệ lực khi thu về điểm O ( hay còn gọi là tâm thu gọn ).
Chú ý: Khi thay tâm O bằng một điểm khác, tâm I chẳng hạn, dĩ nhiên :

Như vậy, khi thay đổi tâm thu gọn thì vectơ chính

không đổi. Còn momen chính

thay

đổi theo định lý sau

2.2. Đinh lý dời lực song song và định lý ba lực cân bằng.
2.2.1. Định lý dời lực song song.
Tác dụng lên vật sẽ không thay đổi nếu dời lực đó song song với chính nó tới một điểm bất kỳ
thuộc vật, đồng thời ta thêm vào một ngẫu lực có momen bằng momen của lực sẽ di chuyển
lấy đối với điểm mà lực di chuyễn tới.

Tr 8

8

2.2.2 Định lý ba lực cân bằng
Ba lực cân bằng là chúng cùng nằm trong một mặt phẳng, và nếu chúng không song song thì
đường tác dụng phải đồng quy tại một điểm .

2.3. Điều kiện cân bằng của một hệ lực phẳng – phương trình cân bằng :
2.3.1- Định lý :
Điều kiện cần và đủ để một hệ lực bất kỳ cân bằng là vectơ chính

và momen chính

của hệ lực ấy đối với một tâm thu gọn bất kỳ đều bằng không.
-

-

2.3.2- Phương trình cân bằng :
Từ điều kiện cân bằng của hệ lực :

= 0,

= 0 ta chiếu trên các trục tọa độ sẽ

nhận được 6 phương trình vô hướng sau đây và được gọi là 6 phương trình cân bằng của hệ
lực .

2.3.3 -Điều kiện cân bằng của vật rắn không tự do.
Trường hợp không tự do, ngoài các lực chủ động tác dụng lên vật rắn còn có các phản lực
liên kết . Giải phóng các liên kết ta có vật tự do cân bằng chịu hệ lực sau :
( ,
)=0

( i, k = 1, 2 , ... n )
a) Vật rắn quay được quanh một trục cố định:
A, B là các bản lề trụ. Vật cân bằng nếu ( Hình a) :

Tr 9

9


(

)∼0

,

các phản lực liên kết
vậy :

Σ mz (

đều cắt trục ,

)=0

Do đó : Điều kiện cân bằng của vật rắn quay quanh
trục cố định là : “ Tổng momen của các lực chủ động
đối với trục quay bằng không “.
b) Vật rắn quay được quanh một điểm:
O là bản lề cầu. Vật rắn cân bằng thì ta có ( Hình b):

(

,

)∼0

Vì đường tác dụng của phản lực liên kết
O nên :

Σ mo (

phải đi qua

)=0

Vậy điều kiện cân bằng của vật rắn quay quanh
một điểm cố định là: “ Tổng momen của các lực chủ
động đối với tâm quay bằng không”

2.4. Bài toán hệ lực phẳng với liên kết ma sát.
2.4.1- Phản lực liên kết tại các mặt tựa thực:
Trong thực tế tại chổ tiếp xúc giữa hai vật không phải là tiếp xúc điểm mà tiếp xúc nhiều
điểm ( hay mặt ). Phản lực xuất hiện tại chổ tiếp xúc là một hệ lực. Thu hệ lực này về tâm thu
gọn ta được một phản lực liên kết
và một ngẫu lực liên kết
. Phản lực liên kết có thể
phân ra thành :

Tr 10

-

có phương pháp tuyến

của mặt tiếp xúc

-

có phương tiếp tuyến với mặt tiếp xúc

10


-

có phương song song với

và

có phương vuông góc với

Khi hai vật tiếp xúc chuyển dịch, hay có xu hướng chuyển dịch tương đối với nhau. Các liên
kết trên có tác dụng cản trở những chuyển dịch đó.
: cản trượt
: cản lăn
: Cản xoay
2.4.2 -Các lực ma sát:
a- Định nghiã : Các phản lực liên kết của mặt tựa gây cản trở chuyển động hay xu hướng
chuyển động cuả vật tựa trên nó đựợc gọi là :
: Lực ma sát trượt

: Ngẫu lực ma sát lăn
: Ngẫu lực ma sát xoay
b- Tính chất :
Chúng đều cản trở chuyển động hoặc xu hướng chuyển động
Chúng xuất hiện ở chổ tiếp xúc trượt, lăn hoặc xoay
Chúng có trị số :
0 ≤ Fms ≤ Fmax





0

≤ M1 ≤ k.N

0

≤ Mx ≤ fx.N

Trong đó:
- f : Hệ số ma sát trượt
- k : Hệ số ma sát lăn, tính ra m
- fx : Hệ số ma sát xoay, tính ra m
 Khi vật còn ở trạng thái tĩnh thì ,
và

có trị số luôn luôn bằng lực, momen lực

tác dụng lên vật gây xu hướng trượt, lăn hoặc xoay.

 Khi lực hoặc momen lực tác dụng bằng các trị số cực đại trở lên của chúng
thì vật bắt đầu trượt, lăn hoặc xoay
Fmax = f.N , M1max = f1.N ,
Mxmax = fx.N
 Các hệ số f, k, fx chỉ phụ thuộc vào tính chất của mặt tiếp xúc, không phụ thuộc vào diện
tích tiếp xúc
 Khi vật chuyển động thì các hệ số ma sát ( ứng với trạng thái động ) nói chung là nhỏ so
với trạng thái tĩnh.



2.4.3 - Điều kiện cân bằng khi có ma sát:
a- Điều kiện cân bằng tổng quát - Miền cân bằng:
Ngoài các phương trình cơ bản chung, khi có ma sát còn phải thêm các phương trình và bất
phương trình :
Hình chiếu các lực lên phương trựơt y :
Σ Yi ≤ f.N
Tr 11

11








Momen của các lực gây lăn :
Σ m1( ) ≤

k.N

Momen của các lực gây xoay
Σ mx ( ) ≤

fx.N

Do có bất phương trình, nên bài toán ma sát có tập hợp nghiệm làm thành miền cân bằng.
Ngoài ra, trong các bài toán ma sát có thể còn đặt ra các điều kiện:
Lăn không trượt:
Σ yi ≤ f.N
Σ m1( ) ≥ k.N



không lăn, không trượt
Σ yi ≤ f.N
Σ m1( ) ≤ k.N



không lăn, không xoay, không trượt
Σ yi ≤ f.N
Σ m1( ) ≤
k.N
Σ mx (



)

≤

fx.N

Vừa lăn, Vừa xoay, Vừa trượt
Σ yi ≥ f.N
Σ m1( ) ≥ k.N
Σ mx (

) ≥ fx.N

b-Phản lực toàn phần, góc ma sát, nón ma sát:
Xét trường hợp ma sát trượt, phản lực liên toàn phần trong trường hợp này là
=
+
N = R.cos α
F = R.sin α
Điều kiện cân bằng có ma sát: F ≤ f.N
nên
F ≤ f. R. cos α
Hay
R.sin α ≤ f. R. cos α
Vậy:
tg α ≤ f
Trường hợp Fmax thì Rmax và tương ứng: tg ϕ ≤
Trong đó: ϕ : góc ma sát

Tr 12

f

12


Khi không trượt thì F < f. N ⇒

nằm trong góc ϕ

Xu hướng trượt có thể diển ra theo mọi phía do đó hình nón tương ứng với góc ϕ được gọi
là nón ma sát. và điều kiện không trượt có thể nêu là :
“ Phản lực toàn phần
phải nằm trong nón ma sát”

BÀI 3: HỆ LỰC KHÔNG GIAN
3.1. Véctơ chính và momen chính của hệ lực không gian

R

F2

Tr 13

Fn

F
1

M

O

13


Định lý: Hệ lực không gian bất kỳ tương đương với 1 lực và một ngẫu lực đặt tại điểm tuỳ ý,
chúng gọi là lực thu gọn và ngẫu lực thu gọn. Lực thu gọn được biểu diễn bằng véctơ chính của
hệ lực đặt tại tâm thu gọn, còn ngẫu lực thu gọn có véctơ mômen bằng mômen chính của hệ lực
đối với tâm thu gọn.

3.2. Định lý dời lực song song: (Trình bày ở mục 2 bài 2 hệ lực phẳng)
3.3. Điều kiện cân bằng – phương trình cân bằng của hệ lực không gian.
Hệ lực song song trong không gian là hệ gồm các lực có dường tác dụng song song với nhau
nhưng không cùng nằm trên một mặt phẳng
Hệ lực song song là trường hợp đặc biệt của hệ lực không gian nên điều kiện cân bằng của nó
có thể được suy ra từ điều kiện cân bằng
Nếu trục z song song với phương của các lực thì trong mọi trường hợp ta luôn có :
,
,

Do đó để hệ lực cân bằng ta chỉ cần thoả mãn ba phưong trình sau

Vậy
Điều kiện cần và đủ để hệ lực song song trong không gian cân bằng là tổng hình chiếu của tất
cả các lực lên trục song song với các lực phải bằng không và tổng mômen của các lực đối với
hai trục vuông góc với các lực cũng phải bằng không.

Bài tập 1 : Dầm AB đặt nằm ngang, chịu tác dụng của lực P nghiêng góc 450 so với phương
nằm ngang tại giữa dầm. Hãy xác định phản lực ở gối A và B tác dụng lên dầm?

Bài giải :
Khảo sát cân bằng của dầm AB;

Các lực tác dụng . Lực cho : P

Tr 14

14



N
Phản lực tại B : B , Vuông góc mặt tựa nằm ngang. Cắt đường tác dụng của P tại I.

  
R
(
P
Phản lực ở gối A : A .Ta có : , N B , R A ) ∼ 0

R
Theo định lý ba lực phẳng cân bằng thì hệ lực này đồng qui. Vậy đường tác dụng của A đi qua
I, và hợp với phương nằm ngang góc α
Hệ phương cân bằng :
ΣX = RAcosα - P cos450 = 0
(1)
0
ΣY = RAsinα - Pcos45 + NB = 0
(2)
2

1
cos α =
sinα =
5 ;
5
Trong đó :
2
P cos 450 P
2 = P 10
⇒ RA =
=
2
cos α
4
5
Từ (1)
2 P 10 P 2 P 5. 2 P
⇒ N B = P cos 450 − R A sinα = P.
− .
=
− .
=
2
2
4
2
4
5
5
4

Từ (2)

P
. 10
RA = 4

P
. 2
; RB = 4

Bài tập 2: (hs tự giải)Xác định phản lực ở ngàm của dầm nằm ngang có trọng lượng không
đáng kể, chịu lực như hình vẽ. Cho q=1,5 KN/m ; m = 2 KNm ; P= 4 KN ; α = 45o

CHƯƠNG II : ĐỘNG HỌC
Mục tiêu :
 Xác định được loại chuyển động, các phương trình biểu diễn chuyển động thẳng của chất
điểm, vận tốc và gia tốc của chuyển động thẳng, các phương trình biểu diễn chuyển động
cong của chất điểm và vận tốc, gia tốc của chuyển động cong.
 Trình bày đầy đủ các khái niệm và các phương trình biểu diễn chuyển động cơ bản,
chuyển động quay quanh một trục cố định, chuyển động tổng hợp, chuyển động song
phẳng của vật rắn.
 Xác định được vận tốc, gia tốc của vật rắn chuyển động.
Tr 15

15


BÀI 1. CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM
1.1. Phương pháp vectơ :
1.1.1 Phương trình chuyển động :

Xét một điểm M chuyển động trong hệ quy chiếu Oxyz
Vị trí của điểm M xác định bởi
vectơ
=
. Điểm M chuyển
động, do đó M thay đổi theo thời
gian:(hình 2.2)

=

(t)

Liên hệ giữa

và t gọi là phương

trình chuyển động của chất điểm theo bán kính vectơ

Hình 2.1

1.1.2. Vận tốc : (hình 2.3)
t1
t2

= t 2 – t1
=

–
Hình 2.2

Vận tốc trung bình:

Vận tốc tức thời:

tb

=

=

=

=

Vậy: Vận tốc tức thời bằng đạo hàm của vectơ r theo thời gian
1.1.3. Gia tốc
Chứng minh tương tự như vận tốc ta có gia tốc tức thời ở thời điểm t :
=

Tr 16

=

16


Vậy: Vectơ gia tốc bằng đạo hàm của vectơ vận tốc theo thời gian
Ta có:
→

v=

=

=

(

)=

=

(1)

Vậy: vectơ gia tốc bằng đạo hàm bậc hai của bán kính vectơ của điểm theo thời gian

1.2. Phương pháp tọa độ Descartes
1.2.1. Phương trình chuyển động
Vị trí của điểm M được xác định bằng ba tọa độ x, y, z của điểm ở trong tọa độ Đề các vuông
góc Oxy

=x +y +z
Điểm M chuyển động x, y, z thay đổi theo thời gian. Vậy phương trình chuyển động của
điểm có dạng:
x=x(t), y=y(t), z=z(t).
1.2.2. Vận tốc
Để xác định V thì ta xác định các hình chiếu của nó lên các trục tọa độ.
Ký hiệu: Vx, Vy, Vz.
Sử dụng công thức (1) ta được:
=

=
+
+

(Với Vx=

, Vy=

, Vz=

=

+

+

)

Vậy: Các hình chiếu của vận tốc trên các trục tọa độ đề các bằng đạo hàm theo thời gian
của tọa độ tương ứng
Biết hình chiếu ta có thể tìm trị số v , phương của vận tốc:
Tr 17

17


V=

=

Cos

(

,

,

=

(m/s)

, Cos

=

, Cos

lần lượt là góc tạo bởi

=

.

với các trục tọa độ x, y, z)

1.2.3. Gia tốc
Chứng minh tương tự như vận tốc ta có gia tốc W:
=

=

=

W=

=

+

+

; (Wx =

=

, Wy =

= , Wz =

= )

(m/s2)

 Hệ tọa độ tự nhiên
Dựng trong mặt phẳng mặt tiếp với quĩ đạo tại điểm M trục

hướng theo tiếp tuyến của quĩ

đạo về phía dương.

Dựng trục Mn hướng theo pháp tuyến của quĩ đạo về phía lm, pháp tuyến Mn goi là pháp tuyến
chính (nằm trong mặt phẳng mặt tiếp).
Dựng pháp tuyến Mb vuông góc với mặt phẳng mặt tiếp, pháp tuyến Mb goi là trục trùng pháp
tuyến

Vectơ đơn vị trên ba trục
Như thế tại mọi điểm
trục hướng theo tiếp

 Phương

Phương trình:

là

,

,

.

của đường cong ta luôn dựng được một hệ tọa độ vuông góc có 3
tuyến, pháp tuyến chính, trùng pháp tuyến gọi là hệ tọa độ tự nhiên.

trình chuyển động
Điểm M chuyển động do
s=

thay đổi theo thời gian.

(t)

biểu diễn qui luật chuyển động của điểm M dọc theo quĩ đạo gọi là phương trình chuyển động
của điểm dạng tọa độ tự nhiên.

Tr 18

18


 Độ cong quĩ đạo

Đại lượng Ktb =

được goi là độ cong trung bình của quĩ đạo với cung MM1

Đại lượng k =

=

gọi là độ cong của quĩ đạo tại điểm M.

VD: Xét qũy đạo là đường tròn có bán kính là R:
=



,

= R.

Như vậy bán kính cong của đường tròn tại các điểm của chúng chính bằng bán kính của đường
tròn đó.
Vận tốc.
=
=
.
= . (Vì vectơ v hướng theo phương tiếp tuyến của qũi đạo nên = .

).


Gia tốc.
=
=

=

.

Vậy ta có:

Tr 19

+

=

.

=

.

+

.

=

.

+

.

.

=

.

+

.

(Trong hình học vi phân người ta chứng minh được rằng

.

+

. =

=

).

+

19


Với

=

=

=

W=
Kết luận:
+
+

Gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc về phương
Gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc về trị số.
Bài tập ứng dụng : Cho chất điểm chuyển động theo phương trình:
x = asinωt

y = - acosωt
z = bt
Hãy xác định vận tốc và gia tốc của chất điểm.
Bài giải
a) Vận tốc của chất điểm, ta có :
Vx = = aωcosωt
Vy =

= aωsinωt

Vz =

=b

V=
b) Gia tốc của chất điểm.
Wx = = - aω2sinωt
Wx =

= aω2cosωt

Wz =

=0

Dấu Wx ngược với x, dấu của Wy ngược với y.Nên

Tr 20

là gia tốc hướng tâm

20


BÀI 2 : CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN
2.1. Hai chuyển động cơ bản của vật rắn :
2.1.1 Chuyển động tịnh tiến của vật rắn
a.Định nghĩa : ( hình 2.3)

hình 2.3

Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động mà bất kỳ
thẳng nào thuộc vật đều chuyển động song song với chính

đoạn
nó.

b.Tính chất : (hình 2.4)
=

+

(1)

Đạo hàm 2 vế biểu thức (1) ta được:
=
(2)

hình 2.4

Đạo hàm 2 vế biểu thức (2) ta được:
=
(3)

Kết luận: ‘’’Trong chuyển động tịnh tiến vận tốc và gia tốc tại mọi điểm như nhau’’’
2.1.2. Chuyển động của vật rắn quay quanh một trục cố định.
2.1.2.1. Định nghĩa.
Tr 21

21


Là chuyển động trong đó hai điểm nào đó của vật rắn (hoặc gắn liền với vật) luôn luôn cố
định trong suốt quá trình chuyển động.

2.1.2.2. Phương trình chuyển động
Dựng mặt phẳng cố định P0 qua trục và mặt phẳng động P qua trục và gắn chặt với vật rắn.
Góc giữa mp(P) và mp(P0) là ư.
Khi vật chuyển động góc ư thay đổi theo thời gian, vì vậy:
ư = ư(t)
được gọi là phương trình chuyển động của vật rắn quay.
Qui ước: Góc quay ư dương khi trục quay ngược chiều kim đồng hồ và ngược lại.
2.1.2.3. Vận tốc góc.
Ký hiệu: (rad/s)
=

=

> 0 khi vật quay theo chiều dương.
< 0 khi vật quay theo chiều âm.

Vậy: Vận tốc góc có giá trị bằng đạo hàm bậc nhất của góc quay ư theo thời gian.
Chú ý: =
(rad/s hoặc 1/s).(n số vòng quay trong một phút).
2.1.2.4. Gia tốc góc
Ký hiệu: (rad/s2 hoặc 1/s2)
=

=

=

.

> 0 khi vật quay nhanh dần.

.

< 0 khi vật quay chậm dần.

2.1.2.5. Các dạng chuyển động đặc biệt
Chuyển động quay đều.
Tr 22

22


=
=

= const,

= 0.

= const

ư(t) =

+

.t

Chuyển động quay biến đổi đều.
= = const.
=

= const

=

(t) =

d =
ư(t) =

+

.dt =(

.t2 +

+

.t
.t ).dt

.t +

2.1.2.6. Khảo sát chuyển động của điểm thuộc vật
Phương trình chuyển động của chất điểm.
S = R.
Vận tốc dài.
V=
=

= R.

Kết luận: Trị số của vận tốc dài bằng tích số vận tốc góc của vật với bán kính của điểm
có phương vuông góc với bán kính , có chiều theo chiều của
Gia tốc dài hay gia tốc tuyến tính.

: phương vuông góc bán kính
chiều theo chiều
Trị số

= R.

: phương trùng phương R.
chiều hướng vào tâm quĩ đạo
Trị số
=

= R.

: phương tạo với bán kính 1 góc tg

độ lớn W =
Tr 23

=

=

=

=

= R.
23


2.1.2.7. Công thức Livis.
Truyền chuyển động giữa hai trục cố định song song nhau vận tốc và gia tốc góc của các
bánh truyền với bán kính của chúng.
V1= .R1
V2=

.R2

Tỉ số truyền i=

=

=

=

(i<1 tăng tốc, i>1 giảm tốc)

Dấu “+” ăn khớp trong, đai thẳng.
Dấu “-“ ăn khớp ngoài, đai chéo.

2.2. Chuyển động song phẳng của vật rắn.
2.2.1. Định nghĩa và mô hình.
2.2.1.1 Định nghĩa.
Chuyển động của vật rắn được gọi là chuyển động song phẳng khi mỗi điểm thuộc vật luôn
luôn di chuyển trong một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cố định được chọn trước gọi
là mặt phẳng qui chiếu.

2.2.1.2 Mô hình của vật rắn chuyển động song phẳng.
Xét đoạn AB tùy ý thuộc vật rắn vuông góc với mặt phẳng qui chiếu. AB = const (do vật
rắn tuyệt đối).A và B luôn luôn di chuyển trên 2 mặt phẳng song song nhau, như vậy AB
chuyển động tịnh tiến.
Mọi điểm thuộc AB đều có vận tốc và gia tốc bằng nhau. Từ đó suy ra rằng nếu biết
chuyển động của một tiết diện phẳng nào đó ( nó là giao điểm của một mặt phẳng song
song với một mặt phẳng qui chiếu v vật) của vật thì biết được vận tốc và gia tốc của mọi
điểm thuộc vật.
Bài toán khảo sát chuyển động song song của VR trong không gian đưa về bài toán
khảo sát chuyển động của một tiết diện phẳng của nó trong mặt phẳng chứa tiết diện phẳng,
song song với mặt phẳng qui chiếu.

Tr 24

24


2.2.2. Khảo sát chuyển động của vật.
2.2.2.1 Định lý:
Chuyển động song phẳng là hợp hai chuyển động: chuyển động tịnh tiến và chuyển động
quay.

Xét chuyển động của hình phẳng (S).
Hệ trục cố định Oxy.
Lấy điểm O1 tùy ý thuộc (S) làm cực v gắn vo O 1 một hệ trục động O1x1y1 v gắn chặt với (S)
một hệ trục O1ỵç.
Chuyển động của hình (S) hoàn tòan được xác định bằng chuyển động của hệ O1ỵç. Chuyển
động của hệ này chia làm 2 thành phần:
+ Chuyển động của hệ trục O1ỵç/hệ trục O1x1y1: chuyển động tương đối (chuyển động quay
quanh O1).
+ Chuyển động của hệ trục động O1x1y1/ hệ trục cố định Oxy: chuyển động kéo theo (chuyển
động tịnh tiến).
2.2.2.2 Phương trình chuyển động.
x0 = x0(t), y0 = y0(t) (chuyển động tịnh tiến)
ư = ư(t)
(chuyển động quay)
2.2.2.3 Vận tốc và gia tốc.
+ Vận tốc tịnh tiến theo:
,
.
+ Vận tốc quay tương đối:

=

+ Gia tốc tịnh tiến theo:

,

+ Gia tốc quay tương đối:

.
.
.

2.2.3. Khảo sát chuyển động của điểm thuộc vật.
2.2.3.1 Phương trình chuyển động.
xM(t) = x0(t) + ỵ.cos
- ç.sin
.

Tr 25

25