Chuong4 giaiphuongtrinhphituyen2 (3 files merged)

CHƯƠNG 4
GiẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN


Nội du g
Đặt vấn đề
1. Phương pháp chia đôi
2. Phương pháp dây cung
3. Phương pháp Newton
4. Phương pháp cát tuyến

5. Phương pháp lặp
6. Phương pháp Bairstow


Đặt ấ đề

• Phươ g trình phi tu ế (PTPT)
–
–
–
–
–

VD1: x2 = 0
VD2: 1 + 2x + x2 - 3x3 + 7x4 = 0
VD3: ln(x+1) = 0
VD4: tg(x) – artg(2x) = 0
Tổ g quát: f(x) = 0

• Giải phươ g trình phi tu ế (root finding)

– Tìm x để f(x) = 0
– X đượ gọi là ghiệ
điể ủa hàm f

ủa PT, ũ g đượ gọi là không

• Tìm ghiệ dưới dạ g công thứ hiệ : Khó, ột
số không tồ tại ( VD PT đa thứ ậ lớ hơ 4)
=> sử dụ g PP số dựa trên thủ tụ lặp


Giải PTPT: Một số kh i iệ
• Sự tồ tại ghiệ
– Đị h lý: Cho hàm f:R->R; [a,b] là đoạ phân ly ghiệ
ếu f(a) và f(b) trái dấu. Nếu thêm điều kiệ f liên tụ
trên [a,b] thì tồ tại ghiệ x* ϵ [a,b] sao cho f(x*)=0.
– VD:
ex + 1 = 0 vô ghiệ
2x + 3 = 0 có ột ghiệ
x2 + 3x + 1 = 0 có hai ghiệ
sin(x) = 0 có vô số ghiệ

• Độ hạ và điều kiệ
– Số điều kiệ

ủa bài toán giải PTPT

ủa bài toán tìm ghiệ

x* : 1 f ' ( x* )

Giải PTPT: Một số kh i iệ
• Giải PTPT ằ g phươ g ph p lặp
– Điều kiệ dừ g
•

f (x )  

x*  x  

• ɛ l độ h h

ho t ướ

– Tố độ hội tụ:
• Gọi sai số ở ướ lặp k l ek = xk - x* ; xk l lời giải ấp ỉ
tại ướ k, * l ghiệ h h
.
e
• Dãy {ek} hội tụ ới tố độ ếu: lim k 1r  C; C ≠
– = : hội tụ tu ế t h
– > : hội tụ t
tu ế t h
– = : hội tụ
h phươ g

k 

ek

Giải PTPT: Phươ g ph p hia đ i
• Ý tưở g: ếu [a, ] hỉ hứa ột ghiệ ủa PT
f = th f a *f ≤ ; [a, ]-khoả g ph l ghiệ
• Phươ g ph p hia đ i: Chia đ i khoả g ph l
ghiệ li tụ ho đế khi đủ hỏ, hư sau:
– Chia đ i: = a+ /
– Kiể t a:
• Nếu f = , => l ghiệ
• Nếu f a *f < th đặt [a, ] l khoả g ph
• Nếu f *f < th đặt [ , ] l khoả g ph

– Lặp ho đế khi khoả g ph
h h
ɛ ho t ướ

l

ghiệ

l
l

ghiệ
ghiệ

ới
ới

hỏ hơ độ


Giải PTPT: Phươ g ph p hia đ i
• Độ d i khoả g ph
– Bướ
– Bướ
– Bướ

l

ghiệ

sau

ỗi ướ lặp:

: -a)/21
: -a)/22
: -a)/2n

• Cho t ướ độ h h
ɛ, th số ướ lặp ầ
thiết l số gu
thỏa
:
ca

n
2

 n  log 2

• Vậ số ướ lặp ầ thiết l

ca


c  a

:  n  log 2
 

7


Giải PTPT: Phươ g ph p hia đ i
• VD: PT ex – =
[ , ]. T
ghiệ

ghiệ
ằ t o g khoả g
ới sai số ho ph p .

– Đặt a = , = , => f a *f
– Bướ lặp :

= -1*5.389 < 0

• Đặt = -0)/2 = 1; f(b) = 0.718
• Kiể t a: f a *f < , => [ , ] l khoả g ph
ới

l

ghiệ

– Bướ lặp :
• Đặt = -0)/2 = 0.5; f(b) = - 0.351
• Kiể t a: f *f < , => [ . , ] l khoả g ph
ới

– ……….

l

ghiệ


Giải PTPT: Phươ g ph p hia đ i
Lần
lặp

a

b

c

f(a)

f(b)

f(c)

Sai số
(độ dài khoảng PLN)

1

0

1

2

-1

0.718

5.3890

1

2

0

0.5

1

-1

-0.351

0.718

0.5

3

0.5

0.75

1

-0.351

0.117

0.718

0.25

4

0.5

0.625

0.75

-0.351

-0.132

0.117

0.125

5

0.625

0.688

0.75

-0.132

-0.011

0.117

0.0625

6

0.688

0.719

0.75

-0.011

0.058

0.117

0.03125

7

0.688

0.703

0.719

-0.011

0.020

0.052

0.015625

8

0.688

0.695

0.703

-0.011

0.004

0.020

0.0078125

• Ghi h : số ướ
1/9/2017

2  0

 log 2 200  8
lặp:  n  log 2

0.01 

9

Giải PTPT: Phươ g ph p hia đ i
• Y u ầu

t h ă g:

– Y u ầu phải iết t ướ khoả g ph l ghiệ
– Kh g đ i hỏi t h li tụ ủa đạo h
ậ hất
– C thể giải kiểu PTPT ất kỳ
– C thể p dụ g ho h
kh g iểu diễ dưới
dạ g giải t h

1/9/2017

10


Giải PTPT: Phươ g ph p hia đ i
• B i tập: Viết hươ g t h Matla giải phươ g
t h phi tu ế ằ g phươ g ph p hia đ i

1/9/2017

11


Giải PTPT: Phươ g ph p d

u g

• Tha
hia đ i khoả g ph l ghiệ , phươ g
ph p d
u g sử dụ g đoạ thẳ g đi ua hai
đầu
t ủa khoả g ph l ghiệ để t
khoả g ph l ghiệ
ới
• Giả sử [a, ] l khoả g ph l ghiệ , PT đườ g
thẳ g đi ua điể A a,f a
B ,f , gọi l
dây cung AB, là:
y  f (a ) 

f (c)  f (a )
ca
( x  a )...hay... x  a 
( y  f (a ))
ca
f (c)  f (a )

• Điể
đượ t
ằ g giao điể
ho h, tứ = , do đ :
ba

ủa AB

ca
af (c)  cf (a )
f (a ) 
f (c)  f (a )
f (c)  f (a )

tụ


Giải PTPT: Phươ g ph p d

u g

y
A(a,f(a))

b2

b1

c

a
B(c,f(c))

x


Giải PTPT: Phươ g ph p d
• Kh

so ới phươ g ph p hia đ i:

– Kh g đặt = -a)/2
– Đặt:

af (c)  cf (a )
b
f (c)  f (a )

u g


Giải PTPT: Phươ g ph p d
• Y u ầu

u g

t h ă g:

– Y u ầu phải iết t ướ khoả g ph l ghiệ
– C thể giải kiểu PTPT ất kỳ
– Hội tụ ha h ếu h
dạ g ph p ội su tu ế
t h; hội tụ hậ
ếu khoả g ph l ghiệ lớ .

1/9/2017

15

Giải PTPT: Phươ g ph p Ne to
• Ý tưở g:
– Tha PTPT f = ằ g ột phươ g t
ới .
– Y u ầu iết ghiệ ấp ỉ a đầu
– Dựa t
khai t iể Ta lo

h tu ế t h


Giải PTPT: Phươ g ph p Ne to

• X t PT f = , f khả i li tụ đế ấp t o g
khoả g [ 0, ], khả i ấp + t o g khoả g 0,x);
khai t iể Ta lo ho h
f l :
( x  x0 )
( x  x0 )2
( x  x0 )n ( n )
( x  x0 )n1 ( n1)
f ( x)  f ( x0 ) 
f ' ( x0 ) 
f ' ' ( x0 )  ... 
f ( x0 ) 
f ( )
1!
2!

n!
(n  1)!

t o g đ ξ thuộ

o,

. Ký hiệu h = - xo, ta có:

f ( x)  f ( x0 )  ( x  x0 ) f ' ( x0 )   (h2 )

• Một
h ấp ỉ: f ( x)  f ( x0 )  ( x  x0 ) f ' ( x0 )
• Vậ giải PT f =  giải PT
f ( x0 )
f ( x0 )  ( x  x0 ) f ' ( x0 )  0  x  x0 
f ' ( x0 )


Giải PTPT: Phươ g ph p Ne to
• Thủ tụ lặp để giải PTPT ẳ g phươ g ph p
Newton:
– Chọ ghiệ ấp ỉ 0
–T
ghiệ theo
g thứ lặp

– Kết th

f ( xk 1 )

xk  xk 1 
, k  1,2,
f ' ( xk 1 )
khi:

f ( xk )  


Giải PTPT: Phươ g ph p Ne to
• Nhậ

t:

– Đ i hỏi t h đạo h
ậ hất.
– Tố độ hội tụ
h phươ g


Giải PTPT: Phươ g ph p Ne to
• VD: Giải PT sau: f

=

2–

4 sin(x) = 0:

– Ta có: f ’(x) = 2x – 4 cos(x)
– Su a

g thứ lặp Ne to :
xn  4 sin( xn )
 xn 
2 xn  4 cos( xn )
2

xn 1

– Lấ

0

= , ta

Bước lặp
0
1
2

kết uả hư ả g sau:
x

f(x)

3
2.153

8.346
1.295

1.954

0.108


Giải PTPT: Phươ g ph p Ne to
• B i tập: Viết hươ g t
phươ g ph p Ne to

h Matla giải PTPT ằ g


Giải PTPT: Phươ g ph p

t tu ế

• Phươ g ph p Ne to
f ( xk 1 )
xk  xk 1 
, k  1,2,
f ' ( xk 1 )

• Ý tưở g: Tha iệ t
ph p Ne to ằ g
t
hai ướ lặp li
• Phươ g ph p t tu

h đạo h
t o g phươ g

iệ t h sai ph
ấp ỉ dựa
tiếp.
ế :

f ( xk 1 )  f ( xk 2 ) x  x  f ( xk 1 ) , k  1,2,
Sk 1  f ( xk 1 ) 
; k k 1
Sk 1
xk 1  xk 2
'

– Cầ hai điể

uất ph t:

0

và x1


Giải PTPT: Phươ g ph p lặp
• Ý tưở g:
– Tha
i to t
to dưới dạ g: t

để f = , gười ta iết
thỏa

i

x = g(x)
(1)
• Đị h ghĩa: Điể * l điể
ất độ g ủa h
g
ếu * = g(x* , ghĩa l * kh g ị iế đổi ởi
h ạ g. B i to
gọi l
i to điể
ất
độ g


Giải PTPT: Phươ g ph p lặp
• C

dụ:

– Phươ g ph p Ne to ,

f ( xk 1 )
xk  xk 1 
, k  1,2,
f ' ( xk 1 )

N

f ( x)

, ta đượ phươ g ph p lặp
thể đặt g ( x )  x 
f ' ( x)

–T
–T

ghiệ
ghiệ

• C

ủa PT: f
ủa PT: f

= - ex , => g(x) = ex
= 2 – x – 2, => g(x) = x2 – 2

g thứ giải PTPT ằ g phươ g ph p lặp
xk = g(xk-1 ; k = , , …


Giải PTPT: Phươ g ph p Bai sto
• Ý tưở g:
– D g để t
ghiệ ủa ột đa thứ
– Chia đa thứ th h
h tử ậ , => iệ t
ghiệ ủa đa thứ đượ tha ằ g t
ghiệ

đa thứ ậ

ủa