chuong4 (2)

Bài giảng cơ lý thuyết

CHƯƠNG 4: TRỌNG TÂM VẬT RẮN
4.1. Tâm của hệ lực song song

ur uu
r uu
r

Khảo sát hệ lực song song (F1 ,F2 ...Fn ) tác dụng lên vật rắn. Giả sử hệ có hợp

ur
uu
r
R
=
F
lực, tức là véc tơ chính
∑ k ≠0.

Hình 4.1

ur
Gọi O1 là một điểm nào đó trên đường tác dụng của hợp lực R Chọn hệ trục
tọa độ Oxy như hình vẽ, ta được các bán kính vectơ xác định vị trí của điểm O 1 là

r uuuur
ur uuuuu
r
r = OO1 và vị trí của các điểm đặt của các lực thuộc hệ là rk = OM k (k = 1,2,...,n) .
Theo định lý Varinhông, tổng hình học các vectơ mômen của các lực thuộc hệ

ur ur
ur uu
r
m
(R)
=
m
(F
đối với điểm O1 ta có: o1
∑ o1 k ) = 0
uuuuur ur r
mà véc tơ O1M k = rk − r(k = 1,2,...,n) do đó theo công thức tính mô men của một
lực đối với 1 điểm ta có:

ur uu
r
uuuur
r
ur r r

∑ mo1 (Fk ) =∑ (O1M k ∧ Fk ) = ∑ (rk − r) ∧ Fk  = 0
ur r
r
uu
r
(r
∧
F
)

−
r
∧
F
k
∑ k
∑ k =0

r

(4.1)

ur
Chọn đường tác dụng của hợp lực R là trục tọa độ O1ξ trên đó có véc tơ đơn vị

là e . Tất cả các lực của hệ đều có thể biểu thị qua vec tơ đơn vị đó:

uu
r
r
Fk = Fkξ e(k = 1,2,...,n)

(4.2)
1


Bài giảng cơ lý thuyết

uu
r

Với Fkξ là hình chiếu của lực Fk lên trục O1ξ, do đó

uu
r
r r
F
=
(F
e)
∑ k ∑ kξ = e(∑ Fkξ )

(4.3)

Thay các biểu thức (4.2), (4.3) vào đẳng thức (4.1), ta được:

ur
r
r r
(r
∧
F
e)
−
(r
∧ e∑ Fkξ ) = 0
∑ k kξ

r
Lấy véc tơ đơn vị e làm thừa số chung
ur

r
r
 ∑ (rk .Fkξ ) − r(∑ Fkξ )  ∧ e = 0



(4.4)

r
Nếu ta chọn điểm O1 có bán kính véc tơ r thỏa mãn điều kiện

ur
r
(r
.F
)
−
∑ k kξ r(∑ Fkξ ) = 0

ur
r ∑ Fkξ rk
r=
∑ Fkξ

hay

(4.5)

(4.5) xác định duy nhất một điểm, điểm đó có vị trí không thay đổi trên vật, khi quay
tất cả các lực song song quanh các điểm đặt của chúng, để cho các đường tác dụng

của chúng thay đổi phương, thì đường tác dụng của hợp lực vẫn luôn luôn đi qua
điểm ấy. Điểm có tính chất đặc biệt đó gọi là tâm hệ lực song song.
Định nghĩa:
Điểm C, mà đường tác dụng của hợp lực của hệ lực song song luôn đi qua khi
quay các lực của hệ quanh điểm đặt của chúng theo cùng chiều và cùng góc quay,
gọi là tâm của hệ lực song song đó.
Bán kính véc tơ xác định vị trí của tâm C là

ur
ur ∑ Fkξ rk
rC =
∑ Fkξ

(4.6)

Gọi Oxyz là hệ trục tọa độ bất kỳ cố định đối với vật rắn, chiếu biểu thức (4.6)
xuống các trục ta tìm được công thức xác định tọa độ trọng tâm C của hệ lực song
song:

xC = ∑

Fkξ x k

∑F

, yC = ∑

kξ

Fkξ yk

∑F

kξ

,z C = ∑

Fkξ z k

∑F

(4.7)

kξ

4.2. Định nghĩa và công thức xác định trọng tâm vật rắn
4.2.1. Trọng tâm vật rắn
2


Bài giảng cơ lý thuyết

Các vật rắn ở trên mặt đất hoặc ở gần mặt đất đều chịu tác dụng của lực hấp
dẫn của trái đất, gọi là trọng lực của vật đó.
Đối với các vật có kích thước rất nhỏ với bán kính trái đất, thì có thể xem các
trọng lực tác dụng lên các phân tố của vật như các lực song song và có giá trị không
đổi đối với từng phân tố khi vật xoay.

uu
r

Ký hiệu: p k là trọng lực do trái đất tác dụng lên phân tố Mk của vật rắn (k = 1,2,
ur uu
r uu
r
u
r
…,n); P là hợp lực của hệ lực song song (P1 ,P2 ,...,Pn ) đó.
u
r
Lực P : trọng lực của vật, còn trị số P: trọng lượng của vật rắn, P = Σpk
uu
r
Khi vật rắn quay trong không gian, các lực song song p k có điểm đặt cố định
trên vật và có đường tác dụng luôn thẳng đứng

Hình 4.2
Định nghĩa
Trọng tâm của vật rắn là một điểm hình học, có vị trí cố định đối với vật rắn
đó, mà đường tác dụng của hợp lực của các trọng lực của các phân tố của vật luôn
luôn đi qua, với mọi vị trí của vật trong không gian.
4.2.2. Công thức xác định tọa độ trọng tâm của vật rắn
Từ công thức (4.7) ta có các công thức xác định tọa độ trọng tâm C như sau:

xC = ∑

pk x k
P

, yC = ∑

pk yk
P

,z C = ∑

pk zk
P

(4.8)

uu
r

trong đó: xk, yk, zk là tọa độ của điểm đặt của trọng lực p k của các phân tố của vật
4.2.3. Trọng tâm của các vật đồng chất
Công thức xác định tọa độ trọng tâm của vật rắn đồng chất:
3


Bai giang c ly thuyờt

a. Vt rn ụng chõt:
Trong lng Pk cua cac phõn tụ bng: p k = v k (k = 1,2,...,n) , thay vao (4.8)

xC =

V k xk
V

, yC =

V k yk
V

,z C =

V k zk
V

(4.9)

Trong o:
la trong lng cua mụt n vi thờ tich
Vk la thờ tich cua phõn tụ
V la thờ tich cua võt rn
b. Tõm phng ụng chõt:

xC =
Trong o:

F k xk
F

, yC =

F k yk

(4.10)

F

Fk la diờn tich cua phõn tụ
F la diờn tich cua tõm

c. ng cong ụng chõt:

xC =
Trong o:

l k xk
L

, yC =

l k yk
L

,z C =

l k zk
L

(4.11)

lk la chiờu dai cua phõn tụ
L la chiờu dai cua ng cong.

4.3. Cỏc phng phỏp tim trng tõm vt rn
4.3.1. Phng phỏp ụi xng

Nờu võt ụng chõt co mt ụi xng, truc ụi xng hoc tõm ụi xng thi trong
tõm cua võt phai nm trờn mt phng ụi xng, truc ụi xng hoc nm tai tõm ụi
xng o.
Vi du: Thanh thng, vanh tron, mt tron, mt hinh ch nhõt, hinh cõu ụng chõt
ờu co trong tõm tai tõm ụi xng cac võt o.
4.3.2. Phng phỏp phõn chia
Muốn tìm trọng tâm của hình phẳng phức tạp ta chia hình
đó thành những hình đơn giản đã biết trọng tâm và diện
tích rồi áp dụng công thức để xác định toạ độ trọng tâm.
Vi du: Xac inh trong tõm hinh phng sau:
Bai giai:
4


Bài giảng cơ lý thuyết

Hình 4.3
Chia hình phẳng làm 2 hình đơn giản có diện tích và toạ độ trọng tâm như sau:
F1 = b . d ; x1 = d/2 ; y1 = b/2
F2 = d.(a-d) ; x2 = (a-d)/2 ; y2 = d/2
Diện tích của toàn hình là:
F = F1+ F2 = b.d + d(a-d)
Toạ độ trọng tâm của hình:

x1F1 + x 2 F2
F
y F + y 2 F2
yc = 1 1
F

xc =

Căn cứ vào các toạ độ đã tính ta xác định được toạ độ trọng tâm C.
4.3.3. Phương pháp khối lượng âm (phương pháp bù)
Khi vật bị khoét nhiều lỗ có hình thù khác nhau mà trọng tâm của các lỗ khoét
có thể tìm được, thì ta có thể áp dụng phương pháp phân chia ở trên, với điều kiện là
các lỗ khoét đi có khối lượng mang dấu âm.
Thí dụ
Xác định vị trí của trọng tâm của bản tròn bán kính R1 = 20cm có lỗ khuyết tròn
bán kính R2 = 10cm, khoảng cách O1O2 = 5cm

5


Bài giảng cơ lý thuyết

y

x
O1
O2

Hình 4.4
Bài giải
Trọng tâm của bản nằm trên đường O1O2 vì là trục đối xứng. Dựng các trục tọa
độ. Để xác định tọa độ yc ta bù thêm diện tích để bản tròn trở thành bản kín, sau đó
lấy diện tích này trừ đi diện tích của mặt tròn khuyết.
Khi đó

F1 = πR 12 = 3,14.202 = 1256cm 2 , y1 = 0

F2 = πR 22 = 3,14.102 = 314cm 2 , y 2 = −5
F = F1 − F2 = 1256 − 314 = 942cm 2
Thay các giá trị vừa tìm được vào (5.4), ta được

yc =

y1F1 − y 2 F2 5.314
=
= 1,67cm
F
942

4.3.4. Phương pháp tích phân
Nếu không thể chia vật ra thành một số phần hữu hạn với các trọng tâm đã biết,
đầu tiên ta chia vật thành các thể tích bé ∆vk (k = 1,2,…n). Đối với các thể tích này,
các công thức (4.9) có dạng:

xC = ∑

x k ∆v k
V

, yC = ∑

y k ∆v k
V

,z C = ∑

z k ∆v k

V

Tìm giới hạn của các tổng tích phân trên khi cho ∆vk → 0, tức là thu các
thể tích đó về điểm, ta được công thức xác định tọa độ trọng tâm của các vật đồng
chất dưới dạng tích phân:
6


Bài giảng cơ lý thuyết

xC =

1
1
1
xdv, y C = ∫ ydv,z C = ∫ zdv
∫
V (v)
V (v)
V (v)

(4.12)

- Tương tự, tọa độ trọng tâm của tấm phẳng đồng chất có dạng:

xC =

1
1
xdF, y C = ∫ ydF

∫
F (s)
F (s)

(4.13)

- Đối với đường cong đồng chất:

xC =

1
1
1
xdl,
y
=
ydl,z
=
C
C
∫
∫
∫ zdl
L (L)
L (L)
L (L)

(4.14)

Thí dụ

Tìm trọng tâm của khối bán cầu đồng chất, có bán kính R
Bài giải

Hình 4.5
Khối bán cầu đồng chất có trục đối xứng Oz, vậy trọng tâm C của vật phải
nằm trên trục oz, ta chỉ cần tìm tọa độ zc theo công thức (4.12):
Để tính tích phân trên, ta dùng tọa độ trụ (r, ϕ, z). Ta xét yếu tố thể tích dv:
dv = rdϕ.dr.dz
2π

R

R 2 −r2

0

0

0

∫ dv = ∫ dϕ∫ rdr ∫
v

 2 r2 r4  R π 4
1 2 2
zdz = 2π∫ (R − r )rdr = π  R
− ÷0 = R
2
2
4

4

0
R

Vậy tọa độ trọng tâm của khối bán cầu đồng chất là:
7


Bài giảng cơ lý thuyết

x c = 0, yc = 0,z c =

1

1
3
. πR 4 = R
2 3 4
8
πR
3

4.3.5. Phương pháp áp dụng các định lý Guynđanh
a. Định lý Guynđanh 1
Diện tích của mặt tròn xoay sinh ra do một đường cong phẳng AB khi
quay quanh trục oy, nằm trong mặt phẳng chứa đường cong và không cắt đường
cong đó, bằng chiều dài L của đường cong AB nhân với chu vi của đường tròn do
trọng tâm C của đường cong AB vạch ra:

F = 2πx c .L

(4.15)

Hình 4.6
Thí dụ
Tìm trọng tâm của cung tròn đồng chất bán kính R, với góc ở tâm là 2α

8


Bài giảng cơ lý thuyết

Hình 4.7
Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, cung tròn có trục ox là trục đối xứng, do
đó trọng tâm C phải nằm trên trục ox.
Cho cung AB quay quanh trục oy, ta được mặt đới cầu. Áp dụng công
thức (10.4), ta được
Fđối cầu = 2πx c .L
Trong đó
Fđối cầu = 2πRh = 2πR.2R sin α

L = R.2α
Thay vào biểu thức trên, giải ra được tọa độ của trọng tâm

xc =

R sin α
α

b. Định lý Guynđanh 2
Thể tích của một vật tròn xoay sinh ra do một hình phẳng quay xung
quanh trục oy, cùng nằm trong mặt phẳng chứa hình phẳng và không cắt hình phẳng
ấy, bằng diện tích F của hình phẳng nhân với chu vi của đường tròn do trọng tâm C
của hình phẳng vạch ra:

V = 2πx c .F

(4.16)

9


Bài giảng cơ lý thuyết

Hình 4.8
Thí dụ
Hình xuyến tạo ra bởi một mặt tròn bán kính r, khi nó quay quanh trục oy cùng nằm
trong mặt phẳng với mặt tròn. Khoảng cách từ trọng tâm mặt tròn đến trục oy là R.
Tìm diện tích và thể tích của hình xuyến.

Hình 4.10
Bài giải
Đường tròn bán kính r quay quanh trục oy tạo ra mặt xuyến. Áp dụng
công thức (4.15) ta tìm được diện tích của mặt xuyến

F = 2πR.2πr = 4π2Rr
Đồng thời mặt tròn cũng tạo ra hình xuyến có diện tích được tính bằng
công thức (4.16)

V = 2πR.πr 2 = 2π2 Rr 2
4.3.6. Phương pháp thực nghiệm
Để tìm trọng tâm của các vật không đồng chất có hình dạng phức tạp,
người ta có thể tìm bằng phương pháp cân và phương pháp treo.
10


Bài giảng cơ lý thuyết

Thí dụ 1 (phương pháp cân)
Chiếu xe ôtô tải có trọng lượng P, khoảng cách giữa hai trục bánh xe là l.
Cho bánh xe sau đặt lên bàn cân, biết được áp lực N1. Tìm khoảng cách từ trọng tâm
C của xe đến trục bánh sau

Hình 4.11
Bài giải

uur uur u
r

Xe ôtô được cân bằng dưới tác dụng của hệ lực song song phẳng (N1 , N 2 ,P)
Thành lập các phương trình cân bằng cho xe

∑Y = N + N − P = 0
∑ m = −Px + N l = 0
1

o

2

c

1

trong đó xc là khoảng cách từ trọng tâm C của xe đến trục của cặp bánh sau. Giải hệ
phương trình trên, ta được:

xc =

1
(P − N1 )
P

Thí dụ 2 (phương pháp treo)
Muốn tìm trọng tâm của một tấm phẳng có dạng như hình vẽ, người ta có
thể dùng phương pháp treo như sau:

11


Bài giảng cơ lý thuyết

Hình 4.12
Treo tấm bằng sợi dây mềm tại điểm A, sau khi vật được cân bằng, ta

u
r

đánh dấu phương Aξ của dây treo. Aξ chính là đường tác dụng của trọng lực P của
vật, Trọng tâm C của vật phải nằm trên đường Aξ.
Ta lại treo tấm tại điểm treo B, sau khi cân bằng, phương của dây là

u
r

đường Bη cũng là đường tác dụng của trọng lực P .
Vậy giao điểm của hai đường Aξ và Bη chính là trọng tâm C của tấm
4.4. Trọng tâm của một số vật đồng chất thường gặp
- Thanh thẳng

Hình 4.13
- Tấm hình chữ nhật, hình bình hành

Hình 4.14
- Tấm hình tam giác

12


Bài giảng cơ lý thuyết

Hình 4.15
C là giao điểm của ba đường trung tuyến
- Đường tròn mặt tròn

Hình 4.16
- Cung tròn

Hình 4.17

xc = R

sin α
α

- Tấm hình quạt tròn

13


Bài giảng cơ lý thuyết

Hình 4.18

xc =

2 R sin α
3 α

- Khối hình chóp, khối hình nón

Hình 4.20
Trọng tâm của khối hình chóp và khối hình nón đều nằm trên đoạn thẳng nối
từ đỉnh S đến trọng tâm O của đáy, và chia đoạn đó theo tỷ lệ:

1
CO = SO
4

14