Bài 2. Phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục cố định

Bài 2 phương trình động lưc học của vật rắn
quay quanh một trục cố định
1.
2.
3.
4.

Nội dung:
Mối liên hệ giữa gia tốc góc và momen lực
Momen quán tính
Phương trình động lưc học của vật rắn
Bài tập ví dụ

C1. Khi dùng tay đẩy hoặc kéo cánh cửa để làm cánh cửa quay
càng mạnh ta có thể tăng dần độ lớn của lực hoặc thay đổi soa
cho phương của lực vuông góc với cửa và giá của lực càng xa
trục quay


Bài 2 phương trình động lưc học của vật rắn
quay quanh một trục cố định
1. Mối liên hệ giữa gia tốc góc và momen lực
a. Momen lực với trục quay

∆ : M=Fd
Momen của lựcF đối với trục quay
Trong đó d là cánh tay đòn của lực.
Đơn vị của momen lực là (Nm)
C2. Ta chỉ xét thành phần tiếp tuyến của lực vì thành phần này
gây ra gia tốc tiếp tuyến, tức làm biến đổi tốc độ góc. Thành

phần pháp tuyến có tác dụng làm chất điểm chuyển động trên
đường tròn nhưng không ảnh hưởng đến sự biến đổi tốc độ góc


Bài 2 phương trình động lưc học của vật rắn
quay quanh một trục cố định
1. Mối liên hệ giữa gia tốc góc và momen lực
b. Mối liên hệ giữa gia tốc góc và momen lực
Trường hợp vật rắn gồm quả cầu nhỏ có khối lượng m gắn
vào đầu một thanh rất nhẹ dài r và chỉ có thể quay trên mặt
phẳng nhẵn nằm ngang xung quanh một trục thẳng đứng
đi qua đầu kia của thanh.
Tác dụng vào quả cầu một lực F theo phương tiếp
t
tuyến với quỹ đạo tròn của quả cầu thì momen của lực Ft
đối với trục quay là M= F r. Với
Ft = mat và at = rγ ⇒ M = (mr 2 )γ


Bài 2 phương trình động lưc học của vật rắn
quay quanh một trục cố định
1. Mối liên hệ giữa gia tốc góc và momen lực
b. Mối liên hệ giữa gia tốc góc và momen lực

Trường hợp vật rắn gồm nhiều chất điểm có
khối lượng mi, m …
ở cách trục quay những khoảng r,i r jthì :
2
=
(

Momen lực tác dụng lên mỗi chất điểm là : M i mi r i )γ
Momen lực tác dụng lên toàn bộ vật rắn là:
j

2

M = (∑ mi r i )γ
C3. Công thức cho thấy với cùng momen lực tác dụng vật
rắn nào có tổng miri lớn thì gia tóc góc nhỏ, đặc trưng cho
mức quán tính của vật quay.


Bài 2 phương trình động lưc học của vật rắn quay
quanh một trục cố định
2. Momen quán tính
- Momen quán tính I đối với một trục đặc trưng cho mức
quán tính của vật rắn trong chuyển động quay quanh trục
ấy.
I = ∑ mi ri 2
Biểu thức:
kg .m 2
- Đơn vị của momen quán tính trong hệ SI là
- Một vài công thức tính momen quán tính của vật rắn đồng
chất có dạng hình học đối với trục đối xứng:


Bài 2 phương trình động lưc học của vật rắn
quay quanh một trục cố định
Thanh cứng có tiết diện nhỏ so với chiều dài:

1
2
I = m
12




Bài 2 phương trình động lưc học của vật rắn
quay quanh một trục cố định
Vành tròn , bán kính R:

I = mR

2

R


Bài 2 phương trình động lưc học của vật rắn
quay quanh một trục cố định
Đĩa tròn dẹt mỏng bán kính R.

1
2
I = mR
2

R

Bài 2 phương trình động lưc học của vật rắn
quay quanh một trục cố định
Quả cầu đặc bán kính R.

2
2
I = mR
5

R


Bài 2 phương trình động lưc học của vật rắn quay quanh
một trục cố định
3. Phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một
trục

γ

Vật rắn có một momen quán tính I đối với một trục quay cố định Δ. Dưới tác động
của ngoại lự, vật rắn có gia tốc góc
.
2
Phương trình động lực học của
γ (vật
radrắn
/ s là
) : M=I .
Trong hệ SI : M (N.m), I (kg.m),

.
4. Ví dụ:

γ

Phân tích bài toán
- Chuyển động của thùng nước là chuyển động tịnh tiến.
- Chuyển động của hình trụ là chuyển động quay quanh một trục cố định.
- Gia tốc tịnh tiến của thùng và gia tốc góc của hình trục liên hệ với nhau bằng
công thức:
a

γ=

R


Bài 2 phương trình động lưc học của vật rắn
quay quanh một trục cố định
4. Ví dụ:
Bài giải:
Áp dụng định luật II Niu tơn cho chuyển động tịnh tiến của thùng nước, ta có:
mg – T = ma

(1)

T là lực căng của sợi dây
Áp dụng phương trình động lưc học cho chuyển động quay của hình trục, ta có:
M = TR = I γ

(2)

Hệ thức giữa gia tốc dài và giai tốc góc là:

a
γ=
R

(3)


Bài 2 phương trình động lưc học của vật rắn
quay quanh một trục cố định
4. Ví dụ:
Từ (2) suy ra:

Iγ Ia (4)
T=
= 2
R R

Thay T từ (4) vào (1), ta được:

Ia
mg − 2 = ma
R
Suy ra:

a=

mg
1
=
g
1
1
m + 2 (1 +
)
2
R
mR


Bài 2 phương trình động lưc học của vật rắn
quay quanh một trục cố định
Bài 1. Một momen lức không đổi 50 Nm tác dụng vào bánh đà
có khối lượng momen quán tính 10 kgm2. Nếu bánh đà bắt đầu
quay thì sau bao lâu bánh đà đạt tới 60 rad/s?
Hướng dẫn
M 50
Gia tốc góc của bánh đà: γ = = = 5rad / s 2 .
I 10

Từ

ω 60
ω = γt ⇒ t = =
= 12 s.
γ
5

Bài 2 phương trình động lưc học của vật rắn
quay quanh một trục cố định
Bài 2. Tính momen quán tính cuả một quả cầu có khối lượng 20
kg, có bán kính 0,4 m khi trục quay đi qua tâm của nó.
Hướng dẫn
Momen quán tính:

2
2
2
2
2
I = mR = .20.04 = 1,28kg.m
5
5


Bài 2 phương trình động lưc học của vật rắn
quay quanh một trục cố định
Bài 3.Một dòng dọc có bán kính 40 cm có momen quán tính 0.08
kg.m2 đối với trục của nó. Ròng rọc chịu một lực không đổi 2 N
tiếp tuyến với vành. Lúc đầu dòng dọc đứng yên. Tính tốc độ góc
của dòng dọc sau khi quay được 10 s. Bỏ qua mọi lực cản.
Hướng dẫn
Gia tốc góc: γ = M = F .r = 2.0,4 = 10rad / s 2
I
I
0,08

Tại t = 10 s, tốc độ góc:

ω = γt = 10.10 = 100rad / s


Bài 2 phương trình động lưc học của vật rắn
quay quanh một trục cố định
Bài 4. Một đĩa mài trụ có khối lượng 0,55 kg và bán kính
7,5cm tính:
a. Momen quán tính của nó đối với trục đi qua tâm.
b. Momen lực cần thiết phải tác dụng vào đĩa mài để tăng
tốc từ nghỉ đến 1500 vòng/ phutstrong 5s, nếu biết rằng
sau khi ngừng tác dụng của momen lực thì đĩa quay
chậm dần cho đến lúc dừng lại mất 45s.


Bài 2 phương trình động lưc học của vật rắn
quay quanh một trục cố định
Bài 4. Hướng dẫn: Cho m= 0,55 kg ,r= 7,5cm. a, Tìm I? b, M ms=?; MF=?

1
mR 2 = 1,55.10 -3 kgm2
2
ω 1500.2π
γ
=
=
= 10πrad / s 2
Khi đĩa quay nhanh dần đều: 1
t1

60.5
ω − 1500.2π − 10π
2
γ
=
=
=
rad
/
s
Khi đĩa quay chậm dần đều:
2
t2
60.45
9
10π
Ta có: M ms = Iγ 2 = −
; M F + M ms = Iγ 1 = I .10π
9
10π
⇒ M F = I .10π + I
= 0,054 Nm
9

a, Momen quán tính của đĩa: I=


Bài 2 phương trình động lưc học của vật rắn
quay quanh một trục cố định
Bài 5. Một ròng rọc có hai rãnh với bán kính R và r

một dây không dãn quấn vào, đầu tự do của mỗi dây mang một vật.
Các khối lượng m1 và m2>m1. Tính gia tốc của ròng rọc và các lực
căng.
R
Hướng dẫn: Dễ thấy m2 đi xuống m1 đi lên

r

Phương trình chuyển động của 2 vật:
m1g – T1= - m1a1 (1)
m2g – T2= m2a2 (2) trong đó a1,a2 là độ lớn
gia tốc của m1,m2.
Momen lực tác dung lên ròng rọc T2R – T1r

γ

Phương trình động lực học của ròng rọc:
T2R -T1r= I

(3)

m1
m2


Bài 2 phương trình động lưc học của vật rắn
quay quanh một trục cố định
Bài 5. Hướng dẫn:
Mặt khác ta còn có:

a1 = rγ
a2 = Rγ

(4)
(5)

Giải hệ phương trình tìm được

(m2 R − m1r ) g
γ=
;
2
2
m2 R + m1r + I
T1 = m1 ( g + rγ ); T2 = m2 ( g − Rγ )