Thuật toán Gomory giải bài toán qui hoạch nguyên tuyến tính và ứng dụng trong pháo binh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.02 MB, 75 trang )

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TÔ THỊ HƯƠNG LAN

THUẬT TOÁN GOMORY GIẢI BÀI TOÁN
QUY HOẠCH NGUYÊN TUYẾN TÍNH
VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHÁO BINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TÔ THỊ HƯƠNG LAN

THUẬT TOÁN GOMORY GIẢI BÀI TOÁN
QUY HOẠCH NGUYÊN TUYẾN TÍNH
VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHÁO BINH

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. NGUYỄN NĂNG TÂM

HÀ NỘI - 2017

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của luận văn tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc
nhất tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, thầy đã định hướng chọn đề tài và tận
tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm và hoàn thiện luận văn
này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng sau đại học, các thầy
cô giáo khoa Toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, các thầy giáo giảng dạy
chuyên ngành Toán ứng dụng đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại
trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các đồng nghiệp ở Bộ môn
Toán Tin Khoa Khoa học cơ bản Trường sĩ quan Pháo binh, nơi tôi đang công
tác; gia đình và bạn bè đã luôn tạo điều kiện giúp đỡ và động viên tôi trong
suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, tháng 6 năm 2017
Tác giả

Tô Thị Hương Lan

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng
Tâm, luận văn chuyên ngành Toán ứng dụng với đề tài: “Thuật toán Gomory
giải bài toán qui hoạch nguyên tuyến tính và ứng dụng trong Pháo
binh” được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn!

Hà Nội, tháng 6 năm 2017
Tác giả

Tô Thị Hương Lan

Mục lục

LỜI CẢM ƠN

1

LỜI CAM ĐOAN

2

MỞ ĐẦU

3

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

6

Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

7

1.1

1.2

Một số vấn đề cơ bản về bài toán tối ưu tuyến tính . . . . . . .

7

1.1.1

Bài toán tối ưu [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2

Bài toán qui hoạch nguyên tuyến tính . . . . . . . . . . .

9

1.1.3

Điều kiện tối ưu tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Phương pháp đơn hình [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.1

Thuật toán đơn hình dạng bảng . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.2

Thuật toán đơn hình dạng tọa độ . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.3

Phương pháp đơn hình đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . .

17

Chương 2. THUẬT TOÁN GOMORY GIẢI BÀI TOÁN QUY
HOẠCH NGUYÊN TUYẾN TÍNH

23

2.1

Cơ sở lí thuyết về thuật toán lát cắt . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.1.1

Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.1.2

Khái niệm lát cắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.1.3

Tư tưởng phương pháp cắt . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2

2.3

Thuật toán Gomory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2.1

Thuật toán Gomory thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2.2

Thuật toán Gomory thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.2.3

Thuật toán Gomory thứ ba . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Định lí về sự tồn tại nghiệm của bài toán . . . . . . . . . . . . .

47

2.3.1

Điều kiện để sử dụng thuật toán Gomory . . . . . . . . .

47

2.3.2

Tính hữu hạn của thuật toán Gomory . . . . . . . . . .

48

2.3.3

Cơ sở xây dựng lát cắt đúng nguyên . . . . . . . . . . .

51

Chương 3. ỨNG DỤNG TRONG PHÁO BINH
3.1

3.2

3.3

52

Khái niệm chỉ tiêu hiệu quả bắn (CTHQB) . . . . . . . . . . . .

52

3.1.1

Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.1.2

Khái niệm mục tiêu (M) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.2.1

Bài toán thực tế: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.2.2

Thiết lập mô hình toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

Phương pháp giải bài toán đặt ra . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.3.1

Sử dụng thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.3.2

Văn bản chương trình [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

KẾT LUẬN

70

TÀI LIỆU THAM KHẢO

71

3

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Bài toán tối ưu tuyến tính là một bài toán quan trọng của lý thuyết tối ưu.
Đây là mô hình toán học của nhiều bài toán phổ biến trong thực tế, có hình
thức toán học đơn giản và dễ giải. Mặt khác, về lý thuyết, ta có thể xấp xỉ
với độ chính xác cao các bài toán tối ưu phi tuyến bởi dãy các bài toán tối ưu
tuyến tính.
Trong lí thuyết tối ưu ta gặp một lớp bài toán mà đối tượng của nó không
thể chia cắt nhỏ tùy ý, trong lớp bài toán này tất cả (hoặc một bộ phận) các
biến chỉ nhận các giá trị nguyên, đó là bài toán qui hoạch nguyên. Bài toán
quy hoạch nguyên có nhiều ứng dụng trong thực tế và trong quân sự, chẳng
hạn bài toán dự tính số đạn trúng mục tiêu; số vọng gác ít nhất để có thể đảm
bảo an ninh một khu vực; bài toán tìm số chiến sĩ ít nhất để phân công công
việc, hay bài toán chiếc ba lô,.. Vì vậy, vấn đề đặt ra là cần nghiên cứu một lớp
các bài toán quy hoạch nguyên với phương pháp giải phù hợp để giải quyết các
bài toán thực tế và bài toán chuyên ngành. Đối với bài toán qui hoạch nguyên

tuyến tính, các thuật toán giải bài toán qui hoạch tuyến tính tổng quát cơ bản
hầu hết không thể sử dụng được nữa do yêu cầu về tính nguyên của các biến
số. Năm 1958, Gomory (nhà toán học người Mĩ) đã công bố thuật toán cắt nổi
tiếng để giải bài toán qui hoạch nguyên tuyến tính, mở đầu cho sự ra đời và
phát triển của lí thuyết bài toán qui hoạch nguyên.
Lí thuyết tối ưu cũng được ứng dụng nhiều trong trong chuyên ngành chỉ
huy của Pháo binh, có nhiều bài toán tối ưu được đưa về bài toán qui hoạch

4

nguyên tuyến tính, chẳng hạn: bài toán dự tính số đạn trúng mục tiêu; bài toán
vận tải trong quân sự; bài toán đuổi bắt mục tiêu; ... thuật toán Gomory tỏ ra
là một công cụ hữu hiệu trong việc xử lí các bài toán này. Vì vậy, tôi chọn đề
tài nghiên cứu: “Thuật toán Gomory giải bài toán qui hoạch nguyên tuyến tính
và ứng dụng trong Pháo binh”.
2. Mục đích nghiên cứu
Sử dụng thuật toán Gomory giải bài toán qui hoạch nguyên để tìm ra phương
án tối ưu cho bài toán.
Nghiên cứu lớp bài toán tối ưu diệt mục tiêu pháo binh có yếu tố ngẫu
nhiên.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày một số kiến thức cơ bản về bài toán quy hoạch tuyến tính, bài
toán quy hoạch nguyên; Lí thuyết tối ưu; phương pháp cắt; Cơ sở lý thuyết
của thuật toán Gomory để giải bài toán quy hoạch nguyên.
Nêu bài toán ứng dụng, từ đó mô hình hoá dạng toán học.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: thuật toán Gomory để giải bài toán quy hoạch nguyên
và ứng dụng trong pháo binh.
Phạm vi nghiên cứu: Cơ sở lý thuyết của thuật toán lát cắt Gomory để giải

bài toán quy hoạch nguyên.
5. Phương pháp nghiên cứu
Tìm hiểu các tài liệu liên quan đến bài toán qui hoạch nguyên, bài toán tối
ưu tuyến tính, thuật toán Gomory.

5

Phương pháp nghiên cứu lí thuyết, chủ yếu là các phương pháp suy luận
toán học.
Tổng hợp kiến thức và trình bày một cách hệ thống.
6. Đóng góp của đề tài
Xem xét bài toán qui hoạch nguyên tuyến tính trong Pháo binh cả ở khía
cạnh thực tế và toán học.
Hình thành hướng tiếp cận giải bài toán đã đặt ra.

6

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

7

Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.
1.1.1.

Một số vấn đề cơ bản về bài toán tối ưu tuyến tính
Bài toán tối ưu [3]

Trong thực tế và lý thuyết, nhiều bài toán được mô tả dưới dạng:
max f (x) với x ∈ C

(P )

trong đó f : Rn → R là một hàm cho trước, C ⊂ Rn là một tập con cho trước,
Rn là không gian Euclid n-chiều.
Ta còn viết bài toán (P ) như sau: max{f (x) : x ∈ C}.
Định nghĩa 1.1. Bài toán (P ) được gọi một bài toán tối ưu hay một bài toán
quy hoạch toán học. Hàm f gọi là hàm mục tiêu, C là tập ràng buộc (hay miền
chấp nhận được của (P )). Các phần tử của C được gọi là các vectơ chấp nhận
được của (P ) hoặc các phương án.
Nếu C = Rn thì ta nói (P ) là một bài toán không có ràng buộc, ngược lại,
(P ) là bài toán có ràng buộc.
Định nghĩa 1.2. Điểm x∗ ∈ C mà f (x∗ ) ≥ f (x) với mọi x ∈ C được gọi là
nghiệm, hoặc nghiệm tối ưu, hoặc nghiệm tối ưu toàn cục, hoặc cực đại toàn
cục của bài toán (P ), ta còn gọi nghiệm tối ưu là phương án tối ưu.
Tập các nghiệm tối ưu của (P ) kí hiệu là Sol(P ), tập các nghiệm tối ưu địa
phương kí hiệu là loc(P ).

8

Hình 1.1

Cực tiểu địa phương: M2 , M4 . Cực tiểu toàn cục: M2 .
Cực đại địa phương: M3 . Cực đại toàn cục: M3 .

Hai bài toán tối ưu gọi là tương đương nếu tập nghiệm của chúng trùng
nhau.
Định nghĩa 1.3. Giá trị tối ưu ν(P ) của (P ) được xác định bởi
ν(P ) = sup{f (x) : x ∈ C}.
Nếu C = ∅ thì qui ước ν(P ) = +∞.
Dễ thấy, Sol(P ) ⊂ loc(P ), và Sol(P ) = {x ∈ C : f (x) = ν(P )}.
Lưu ý: Thay cho bài toán (P ) ở trên, ta có thể gặp bài toán tìm giá trị
nhỏ nhất sau:
min f (x) với x ∈ C.

(P1 )

Một điểm x∗ được gọi là một nghiệm tối ưu toàn cục (cực tiểu toàn cục)
của (P1 ) nếu f (x) ≥ f (x∗ ) với mọi x ∈ C.
Ta nói x∗ là một nghiệm tối ưu địa phương (cực tiểu địa phương) của (P1 )
nếu tồn tại một lân cận U của x∗ sao cho f (x) ≥ f (x∗ ) với mọi x ∈ C ∩ U.
Rõ ràng x∗ là một nghiệm tối ưu toàn cục (một nghiệm tối ưu địa phương)
của (P1 ) khi và chỉ khi x∗ là một nghiệm tối ưu toàn cục (một nghiệm tối ưu
địa phương) của bài toán tìm giá trị lớn nhất sau: max(−f (x)) với x ∈ C.. Do

9

vậy bất kỳ bài toán tìm giá trị nhỏ nhất nào dạng (P1 ) đều có thể đưa về bài
toán tìm giá trị lớn nhất dạng (P )
Hiển nhiên rằng, nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán (P ) (hay (P1 )) đều
là nghiệm tối ưu địa phương của (P ) (hay (P1 )), điều ngược lại không phải lúc
nào cũng đúng. Tuy nhiên, nếu C là một tập lồi và f là một hàm lồi trên C
thì mọi nghiệm tối ưu địa phương của (P ) đều là nghiệm tối ưu toàn cục của
(P ). Khẳng định sau đây chứng minh điều đó.

Định lý 1.1. Cho C ⊂ Rn là tập lồi, f : C → R là một hàm lồi. Khi đó, nếu
x∗ là một nghiệm tối ưu của bài toán (P ): max{f (x) : x ∈ C}, thì nó cũng là
một nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán đó.
Chứng minh. Giả sử x∗ là nghiệm tối ưu địa phương của (P ). Khi đó x∗ ∈ C
và tồn tại lân cận mở V trong Rn của x∗ sao cho:
f (x∗ ) ≥ f (x), ∀x ∈ V ∩ C.
Lấy x ∈ C tùy ý. Vì C lồi nên với mọi t ∈ (0, 1) đủ nhỏ, ta có
xt = tx + (1 − t)x∗ ∈ V ∩ C.
Do f lồi trên C nên
f (x∗ ) ≥ f (xt ) ≥ tf (x) + (1 − t)f (x∗ ) suy ra f (x∗ ) ≥ f (x).
Vì x ∈ C tùy ý, ta suy ra x∗ là nghiệm tối ưu toàn cục của (P ).
1.1.2.

Bài toán qui hoạch nguyên tuyến tính

Trong các bài toán quy hoạch tuyến tính, các biến số có thể nhận những giá
trị thực không âm. Tuy nhiên, trong thực tiễn thường gặp các bài toán mà các
biến số chỉ có thể nhận một số hữu hạn hay đếm được giá trị, thường là các
giá trị nguyên. Chẳng hạn sẽ là vô nghĩa khi đưa ra câu trả lời: cần sản xuất
nửa cái bàn hay cần sử dụng 3,5 người để hoàn thành công việc, hoặc có 1,3
viên đạn bắn trúng mục tiêu. . . Vì thế ta sẽ đề cập đến nội dung và phương

10

pháp giải các bài toán tối ưu trên lưới các điểm nguyên hay trên các tập rời
rạc, gọi tắt là bài toán quy hoạch rời rạc hay bài toán quy hoạch nguyên.
Bài toán qui hoạch nguyên tuyến tính:
n

cj xj → min (max)

f (x) =

(L, C)

j=1

aij xj ≤ bi , i = 1, . . . , n1

(1.1)

aij xj = bi ; i = n1 + 1, . . . , m

(1.2)

xj ≥ 0, j = 1, . . . , n

(1.3)

xj ∈ Z, j = 1, . . . , k (k ≤ n)

(1.4)

trong đó cj , aij là các số nguyên, bi nguyên không âm.
Nếu k = n thì bài toán (L, C) với điều kiện (1.1) - (1.4) gọi là bài toán quy
hoạch tuyến tính nguyên hoàn toàn. Nếu k < n thì bài toán gọi là bài toán quy
hoạch nguyên bộ phận. Điều kiện (1.4) đôi khi được viết dưới dạng: xj nguyên,
j ∈ J ⊂ {1, . . . , n}.
Ký hiệu:

Bài toán với điều kiện (1.1) - (1.3) ký hiệu (L, C) là bài toán qui hoạch
tuyến tính, miền xác định L, phương án tối ưu là X(L, C).
Bài toán với điều kiện (1.1) - (1.4) ký hiệu (LN , C) là bài toán qui hoạch
nguyên tuyến tính, LN - miền xác định của bài toán qui hoạch nguyên tuyến
tính, X(LN , C) là phương án tối ưu.
(L, C) là bài toán tối ưu từ vựng với phương án tối ưu mở rộng X =
n

(

cj xj , x1 , x2 , . . . , xn ).
j=1

Véc tơ X thỏa mãn (1.3) - (1.4) được gọi là phương án (hay lời giải chấp
nhận được).
Phương án X ∗ làm cực tiểu (cực đại) (L, C) gọi là phương án tối ưu.

11

Nếu X ∗ = (x1 , . . . , xn ) là phương án (hay phương án tối ưu) và x0 =
n

thì vectơ X = (

cj xj

cj xj , x1 , x2 , . . . , xn ) gọi là phương án mở rộng (phương án
j=1

tối ưu mở rộng).
Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên gọi là giải được nếu tồn tại phương
án tối ưu X ∗ .
Một đa diện L mà tất cả các đỉnh của nó đều là nguyên (mọi thành phần
là nguyên) gọi là đa diện nguyên.
1.1.3.

Điều kiện tối ưu tổng quát

Trong phần này chúng ta sẽ đề cập đến bài toán tối ưu dạng:
max{f (x) : x ∈ C}

(1.5)

trong đó C ⊂ Rn là một tập đóng.
Định lý 1.2. [3, tr. 63]. Bài toán (1.5) có nghiệm tối ưu khi và chỉ khi tồn
tại x ∈ C sao cho tập M (f0 ) = {α ∈ R : α ≤ f (x)} đóng, khác rỗng và bị chặn
trên.
Chứng minh. Giả sử (1.5) có nghiệm tối ưu x∗ ∈ C. Khi đó, rõ ràng:
M (f ) = {α ∈ R : α ≤ f (x∗ )}.
Vậy M (f ) là đóng, khác rỗng, bị chặn trên.
Giả sử tập M (f ) đóng, khác rỗng và bị chặn trên. Khi đó, tồn tại α0 =
sup M (f ) < +∞ và α0 ∈ M (f ). Vì α ∈ M (f ), theo định nghĩa của M (f ), tồn
tại x∗ ∈ C sao cho α0 ≤ f (x∗ ). Mặt khác, f0 (x) ∈ M (f ) với mọi x ∈ C, suy ra
α0 thuộc f (x∗ ). Vậy f (x∗ ) = sup M (f0 ) < +∞, suy ra f (x∗ ) ≥ f (x) với mọi
x ∈ C. Vậy x∗ là nghiệm tối ưu của bài toán (1.5).

12

1.2.

Phương pháp đơn hình [5]

Đây là một phương pháp đơn giản và hữu hiệu để giải bài toán tối ưu tuyến
tính được Dantzig, nhà toán học Mỹ, tìm ra vào năm 1947. Như đã biết, mọi
bài toán tối ưu tuyến tính đều chuyển được về dạng chính tắc. Do đó, trong
mục này chỉ xét bài toán dạng chính tắc.
1.2.1.

Thuật toán đơn hình dạng bảng

Thuật toán đơn hình để giải bài toán qui hoạch tuyến tính chính tắc khi
biết một phương án cực biên x0 . Xét bài toán tối ưu tuyến tính dạng chính tắc
không suy biến
n

cj xj → min

f (x) =
j=1
n

aij xj = bi ; i = 1, . . . , n
j=1

xj ≥ 0; j = 1, 2, . . . , n
• Thuật toán:
Bước khởi tạo. Tìm một phương án cực biên x0 và cơ sở J(x0 ) tương ứng. Với
mỗi k ∈

/ J(x0 ), các định các hệ số khai triển xjk của Ak trong J(x0 ) bằng cách
giải hệ:
xjk Aj = Ak , k = 1, ..., n
j∈J(x0 )

và các ước lượng theo công thức
∆k = sumj∈J(x0 ) xjk cj − ck
Tính f (x0 ) =
j∈J

cj x0j

Chú ý: ∆j = 0, ∀j ∈ J
Bước 1. Kiểm tra dấu hiệu tối ưu của phương án cực biên x0 :
Nếu ∆k ≤ 0, ∀k ∈ J(x0 ) thì x0 là phương án tối ưu. Thuật toán dừng.

13

Nếu có k ∈
/ J(x0 ), ∆k > 0 thì x0 chưa phải phương án tối ưu. Chuyển sang
Bước 2.
Bước 2. Kiểm tra dấu hiệu bài toán không có nghiệm tối ưu:
Với mỗi k ∈
/ J(x0 ) mà ∆k > 0, kiểm tra hệ số triển khai xjk : nếu có ∆k > 0
mà xjk ≤ 0, ∀j ∈ J(x0 ), thì kết luận bài toán không có nghiệm tối ưu. Thuật
toán dừng.
Nếu với mọi k ∈
/ J(x0 ) mà ∆k > 0 đều có ít nhất một j ∈ J(x0 ) mà xjk ≥ 0
thì chuyển sang Bước 3.

Bước 3. Chọn ẩn đưa vào cơ sở mới và xác định ẩn loại ra:
Ẩn xs được chọn đưa vào làm ẩn cơ sở (cột As được chọn đưa vào làm cột
của cơ sở mới) theo tiêu chuẩn sau: ∆s = max{k ∈
/ J(x0 ), ∆k > 0}.
Ẩn xs được chọn đưa ra khỏi cơ sở (cột Ar được chọn đưa ra khỏi cơ sở cũ)
theo quy tắc:
λ = min

x0j
xjs

0

: j ∈ J(x ), xjs > 0

=

x0j
xrs

.

Phần tử xrs được gọi là phần tử trục (phần tử xoay) của phép biến đổi cơ sở.
Chuyển sang Bước 4.
Bước 4. Lập phương án cực biên mới: Xây dựng phương án cực biên mới, với
cơ sở mới J(x1 ) = J(x0 )\{r} ∪ {s}. Tính f (x1 ), ∆1k và x1k theo cơ sở mới J(x1 ).
Quay về Bước 1.
• Bảng đơn hình
Để thuận tiện cho việc tính toán người ta thường sắp xếp các số liệu trong
mỗi bước lặp của thủ tục đơn hình vào một bảng, gọi là bảng đơn hình. Giả

sử tại một bước lặp nào đó ta có x = (x1 , . . . , xn ) là phương án cực biên ứng
với cơ sở J(x) = {j1 , . . . , jm } với sắp xếp thỏa mãn E = (Aj1 , . . . , Ajm ) là ma
trận đơn vị: Cột ứng với chỉ số jk là véc tơ đơn vị với số 1 nằm trên dòng với
chỉ số jk .

14

Bảng đơn hình của bài toán chính tắc dạng:

1.2.2.

Hệ số

Cơ sở

Phương án

c1

c2

...

cjk

...

cn

J

CJ

xJ

A1

A2

...

Ajk

...

An

cj1

Aj1

x0j1

xj 1 1

xj 1 2

...

0

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

cjk

Ajk

x0jk

xj k 1

xj k 2

...

...

...

...

cjm

Ajm

x0jm
f (x0 )

λ

xj 1 n

λj 1

...

...

...

0

...

...

...

...

1

...

xj k n

λj k

...

...

0

...

...

...

xj m 1

xjm 2

...

...

...

xjm n

λjm

∆1

∆2

...

0

...

∆n

Thuật toán đơn hình dạng tọa độ

Xét bài toán tối ưu tuyến tính dạng chính tắc không suy biến (L, C)
n

cj xj → max

f (x) =
j=1
n

aij xj = bi , i = 1, . . . , m
j=1

xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , n.
• Bảng l-chuẩn
Bảng đơn hình Tk gọi là chuẩn từ vựng (hay l-chuẩn) nếu (x0j ) ≥ 0, ∀j ∈ Nk .
Bảng đơn hình Tk gọi là chấp nhận được nếu mọi (xi0 ) ≥ 0, ∀i = 1, m. Phương
án xk là phương án tối ưu nếu bảng đơn hình Tk là l-chuẩn và chấp nhận được.
• Thuật toán:
Bước lặp xuất phát: Xây dựng phương án tựa xuất phát x0 , tương ứng có
bảng đơn hình Tr và các tập Br , Nr .
Kiểm tra bảng Tr có chuẩn hay không (tức là x0j ≥ 0, ∀j ∈ Nk ) thì x0 là
phương án tối ưu. Thuật toán dừng.
Nếu tồn tại x0j < 0, thì x0 chưa là phương án tối ưu.

15

Bước lặp tổng quát: r ≥ 0
Kiểm tra nếu x0 không là tối ưu thì xác định đưa xl vào cơ sở theo công
thức
x0l = min{x0j | j ∈ Nr }.
Đưa xk ra khỏi cơ sở theo tiêu chuẩn
xk0
= min
xkl

xi0
| i = 1, 2, . . . , n; xil > 0 .
xil

Phần tử xkl gọi là phần tử xoay.
Xây dựng bảng tọa độ Tr∗ mới theo công thức:
x∗ik = −

xil
xkl

x∗ij = xij −

xkj
xil .
xkl

Nếu không có xil > 0 (i = 1, 2, . . . , n) bài toán không giải được.
Nhận xét 1.1. Nếu bảng đơn hình xuất phát là l-chuẩn thì chỉ có hai khả
năng có thể xảy ra:
• (L, C) không có phương án.

• (L, C) có phương án tối ưu từ vựng.
Ví dụ 1.1. Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau:
max(x0 ) = −x1 − 2x2




2x1 + 3x2 ≥ 7
x +x ≤3

1
2


x ≥ 0, j = 1, 2
j

Giải. Ta giải bài toán bằng phương pháp đơn hình.
• Dạng bảng đơn hình
Thêm các biến phụ ta có bài toán trở thành
min(f (x)) = x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4 + M x5 (x5 là biến giả)

16




2x1 + 3x2 − x3 = 7
x +x +x =3

1
2
4


x ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4
j

Bảng số

I

II

III

Ci

Ai

P/án

1

2

0

0

A1

A2

A3

A4

λ

M

A5

7

2

3

−1

0

7/3

0

A4

3

1

1

0

1

3

f(x)

0

−1

−2

0

0

M

7

2

3

−1

0

2

A2

7/3

2/3

1

−1/3

0

7/2

0

A4

2/3

1/3

0

1/3

1

2

f (x)

14/3

1/3

0

−2/3

0

M

0

0

0

0

0

2

A2

1

0

1

−1

−2

-

1

A1

2

1

0

1

3

-

f (x)

4

0

0

−1

−1

Phương án tối ưu của bài toán là (2, 1, 0, 0, 0).
Trị hàm mục tiêu max(x0 ) = −4.
• Dạng tọa độ của phương pháp đơn hình
Thêm các biến bù, bài toán được viết lại thành
max(x0 ) = −x1 − x2




x3 = −7 + 2x1 + 3x2
x =3−x −x

4

1
2


x ≥ 0 (j = 1, . . . , 4)
j

17

Ta có các bảng đơn hình như sau:
(I) 1

−x1

−x2

(II)

1

−x3

−x2

x0

0

1

2

x0

−7/2 1/2

1/2

x1

0

−1

0

x1

7/2

−1/2 3/2

x2

0

0

−1

x2

0

0

−1

x3

−7

−2

−3

x3

0

−1

0

x4

3

1

1

x4

−1/2 1/2

(III)

l

−x3

−x4

x0

−4

1

1

x1

2

1

3

x2

1

−1

−2

x3

0

−1

0

x4

0

0

−1

−1/2

Vậy phương án tối ưu là (2, 1) với trị hàm mục tiêu là max(x0 ) = −4
1.2.3.

Phương pháp đơn hình đối ngẫu

Xét bài toán tối ưu tuyến tính dạng chính tắc không suy biến (L, C)
n

cj xj → max

x0 =

(1.6)

j=1
n

aij xj = bi (i = 1, 2, . . . , m)

(1.7)

j=1

xj ≥ 0; j = 1, 2, . . . , n

(1.8)

1.2.3.1. Bảng đơn hình xuất phát là l-chuẩn
Ý tưởng của thuật toán: Xuất phát từ một cơ sở mà bảng đơn hình tương
ứng là l-chuẩn, nếu bảng đơn hình chưa là chấp nhận được thì ta tiến hành
dịch chuyển sang cơ sở mới mà bảng đơn hình ứng với cơ sở mới cũng là l-chuẩn
cho đến khi gặp bảng đơn hình là chấp nhận được thì dừng. Khi đó phương án
cơ sở ứng với bảng đơn hình cuối là phương án tối ưu từ vựng.

Thuật toán: Giả sử tồn tại cơ sở Br sao cho bảng đơn hình Tr ứng với Br
là l-chuẩn. Áp dụng thuật toán đơn hình dạng tọa độ

18

Bước 1: Nếu Tr là chấp nhận được thì phương án cơ sở ứng với Br là phương
án tối ưu từ vựng. Thuật toán kết thúc. Ngược lại, ta chuyển sang bước 2.
Bước 2: Nếu tồn tại i ∈ 1, n sao cho xi0 < 0, xij ≥ 0, ∀j ∈ N thì (L, C) không
có phương án (vì xi = xi0 +

xij (−xj ) < 0, j ∈ N ). Vậy (L, C) không có

phương án tối ưu từ vựng. Thuật toán kết thúc. Ngược lại:
• Đặt k = min{i : xi0 < 0}.
Rj
Rl
• Chọn l thỏa mãn
= lexmin
: j ∈ N, xkj < 0 .
|xkl |
|xkj |
• Thực hiện phép biến đổi cơ bản của bảng đơn hình: đưa xk ra khỏi tập
các biến cơ sở, đưa xl vào. Quay trở lại Bước 1.
1.2.3.2. Bảng đơn hình xuất phát không là l-chuẩn
Ý tưởng: Bắt đầu từ một bảng đơn hình không là l-chuẩn, ta thêm vào một
ràng buộc giả tạo được bảng đơn hình mới. Sau đó chuyển đổi bảng đơn hình
này thành l-chuẩn và từ đó áp dụng thuật toán đơn hình đối ngẫu từ vựng cho
cho bảng đơn hình. Sử dụng kết quả của bài toán mới để đưa ra kết quả cho
bài toán ban đầu.

Thuật toán: Giả sử ta xây dựng bảng đơn hình Tr ứng với bài toán (1.6) - (1.8)
không phải là l-chuẩn, ứng với nó có các tập Br và Nr .
Giả sử hàm

xj , j ∈ N bị chặn trên tập (1.7) - (1.8). Khi đó ta tìm được

số M sao cho:

xj ≤ M, j ∈ N (có thể dùng đơn hình thường để xác định

M ). Đ
Đưa vào biến mới



xn+1 = M +

(−xj )
j∈N


x

n+1

≥0

Viết ràng buộc mới này vào cuối bảng Tr , chọn xk loại khỏi cơ sở theo quy
tắc: k = n + 1. Chọn biến xl được vào cơ số theo quy tắc:
Rl = lexmin{Rj | j ∈ N }.

Thực hiện một bước biến đổi bảng đơn hình, ta nhận được bảng T0 là

19

l-chuẩn (Rj ≥ 0, j ∈ N0 ) và ứng với nó ta có các tập B0 và N0
B0 = B ∪ {s}, N0 = N ∪ {n + 1}\{s}.
Khi đó, ta nhận được bảng đơn hình mới là l-chuẩn.
Định lý 1.3. Khi sử dụng thuật toán đơn hình đối ngẫu từ vựng thì các bảng
đơn hình đều là l-chuẩn.
Chứng minh. Với cách chọn dòng và cột xoay như trong thuật toán đơn hình
đối ngẫu thì nếu bảng đơn hình trước là l-chuẩn thì bảng đơn hình sau cũng
là l-chuẩn.
Thật vậy, thực hiện phép biến đổi cơ bản của bảng đơn hình : đưa xk ra
khỏi tập các biến cơ sở, đưa xk vào. Ta xây dựng bảng tọa độ mới theo công
thức:
Rkl = −

Rl
xkl

Rjl = Rj −

xkj
Rj j ∈ (N ∪ {0})\{l}.
xkl

Giả sử bảng đơn hình trước là l-chuẩn tức là Rj > 0, ∀j ∈ N. Vì l thỏa mãn:
Rj
Rl

= lexmin
: j ∈ N, xkj < 0 nên
|xkl |
|xkj |
xkl < 0 ⇒ Rkl > 0, ∀j ∈ N.
Nếu xkl ≥ 0 ⇒ Rjl > 0, ∀j ∈ N.
Ngược lại, nếu xkj < 0 ⇒ Rjl = Rj −
l thỏa mãn

Rl
= lexmin
|xkl |

xkj
Rj = |xkj |
xkl

Rj
Rj
−
|xkj | |xkl |

> 0 (vì

Rj
: j ∈ N, xkj < 0 , cách chọn l là duy nhất).
|xkj |

Vậy bảng đơn hình sau cũng là l-chuẩn, tức là Rjl > 0, ∀j ∈ N.
Mặt khác, bảng đơn hình xuất phát là l-chuẩn. Vậy khi sử dụng thuật toán

đơn hình đối ngẫu từ vựng thì các bảng đơn hình đều là l-chuẩn.
Nhận xét 1.2. Nếu bảng đơn hình xuất phát là l-chuẩn thì chỉ có hai khả
năng có thể xảy ra:

20

• (L, C) không có phương án.
• (L, C) có phương án tối ưu từ vựng.
Nếu bảng đơn hình xuất phát không là l-chuẩn thì có các khả năng có thể
xảy ra khi tiến hành thuật toán:
• (L, C) không có phương án.
• (L, C) có phương án nhưng không có phương án tối ưu.
• (L, C) có tập các phương án tối ưu không bị chặn.
• (L, C) có phương án tối ưu từ vựng.
Ví dụ 1.2. Giải bài toán sau bằng phương pháp đơn hình đối ngẫu.
max x0 = 3x1 − x2 + 2x3
2x1 + 4x2 − x3 ≤ 10
3x1 + x2 + x3 ≥ 4
x1 − x2 + x3 ≤ 2
− x1 + x2 − x3 ≤ −2
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.
Thêm các biến bù ta được bài toán.
max x0 = 3x1 − x2 + 2x3
2x1 + 4x2 − x3 + x4 = 10
3x1 + x2 + x3 − x5 = 4
x1 − x2 + x3 + x6 = 2
− x1 + x2 − x3 + x7 = −2
xj ≥ 0, j = 1, 7.
Ta có các bảng đơn hình sau khi thêm ràng buộc phụ. Vì bảng đơn hình không