Quy về hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng để giải bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Toán học là bộ môn quan trọng trong chương trình phổ thông. Việc giảng
dạy và học tập môn Toán không những trang bị cho học sinh những kiến thức,
rèn luyện cho học sinh các kỹ năng và phương pháp tư duy toán học cụ thể. Mà
còn áp dụng những kiến thức đó trong cuộc sống cũng như trong các bộ môn
khoa học khác mới là điều quan trọng.
Trong chương trình toán THPT, sách giáo khoa Hình học 11 cơ bản các
bài toán tính khoảng cách giữa các đối tượng trong hình học không gian được
đưa ra khá đơn giản, học sinh chưa được tiếp cận với cách tính cụ thể dẫn đến
phần lớn học sinh học phần hình học không gian lớp 11 đặc biệt là bài toán
khoảng cách các em còn gặp rất nhiều vướng mắc. Với suy nghĩ làm thế nào để
học sinh tự tìm ra và tháo gở những vướng mắc trong khi học hình học không
gian lớp 11, hiểu rõ bản chất, thực hiện thành thạo kỹ năng tính khoảng cách và
có hứng thú với môn học này. Từ đó, các em có thể tự học, tự tìm tòi và khám
phá những điều hay, những cái mới của môn Toán. Và từ kinh nghiệm giảng dạy
của mình, để giúp học sinh nâng cao năng lực tư duy và có thêm kiến thức để tự
tin hơn trong việc giải quyết các bài toán khó. Đồng thời giúp cho quý Thầy, Cô
và các bạn đồng nghiệp dạy Toán có thêm một tài liệu tham khảo trong quá trình
giảng dạy bộ môn của mình. Vì vậy, tôi chọn đề tài:
'' Kỹ thuật quy về hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt
phẳng để giải bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11''.
1.2. Mục đích nghiên cứu
+ Giúp các em học sinh lớp 11 rèn luyện kĩ năng giải bài toán tính khoảng
cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong hình học không gian lớp 11 bằng
cách quy về một điểm là hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng
và các em biết lựa chọn phương pháp tối ưu để giải các bài toán tính khoảng
cách, đặc biệt là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau dưới dạng câu hỏi
tự luận cũng như dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm như hiện nay. Từ đó giúp các
em phát triển, nâng cao năng lực tư duy và tạo hứng thú giải các bài toán khó.
+ Chia sẻ kinh nghiệm dạy học với quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp.

1.3. Đối tượng nghiên cứu
Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là bài toán cơ
bản về tính khoảng cách.
Tìm phương pháp, kỹ thuật quy về điểm hình chiếu vuông góc của một
điểm lên một mặt phẳng để tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11.
Phân biệt và lựa chọn phương pháp tối ưu để tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau trong không gian và áp dụng vào câu hỏi trắc nghiệm
một cách linh hoạt hơn.

1


Phạm vi áp dụng: Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho các em học sinh
lớp 11, 12 ôn thi THPT Quốc Gia , các em học sinh giỏi và tất cả Thầy, Cô giáo
giảng dạy môn Toán ở các trường trung học phổ thông tham khảo.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu của đề tài được xây dựng trên cơ sở lý thuyết bộ
môn toán, thực tiễn giảng dạy và đối tượng học sinh được áp dụng:
+ Tìm hiểu thực trạng về đổi mới phương pháp dạy học môn Toán, đặc biệt là
phương pháp truyền đạt nội dung kiến thức môn hình học không gian lớp 11.
+ Tìm hiểu về thực trạng học tập môn hình học không gian ở trường Trung học
phổ thông.
+ Tìm hiểu về kĩ năng sử dụng thiết bị, sơ đồ tư duy trong học tập hình học
không gian lớp 11.
+ Tổ chức thực hiện đề tài vào thực tế dạy học tại trường THPT Như Thanh.
+ Tiến hành so sánh, đối chiếu và đánh giá về hiệu quả của đề tài khi áp dụng
cho các lớp học sinh đã được giảng dạy.
Nghiên cứu tài liệu.

2

2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận
Hiện nay, nền giáo dục nước ta đang đổi mới và áp dụng những phương
pháp giáo dục hiện đại, nhằm phát huy năng lực tự học, năng lực tư duy sáng
tạo, và năng lực giải quyết vấn đề của người học.
Việc đổi mới phương pháp dạy và học trong nhà trường phổ thông đang
được thực hiện. Việc đổi mới này nhắm đến người học, người học làm trung
tâm, chủ động tìm hiểu và giải quyết vấn đề. Người dạy là người hướng dẫn,
định hướng cho người học, tạo hứng thú cho người học.
Hình học không gian là môn học có cấu trúc chặt chẽ, nội dung phong phú,
là môn học đòi hỏi học sinh có tư duy lôgic, trí tưởng tượng không gian, và tính
sáng tạo cao. Đặc biệt là bài toán tính khoảng cách là bài toán khó yêu cầu học
sinh phải có vốn kiến thức tổng hợp về hình không gian, hình học phẳng từ vẽ
hình đến các kiến thức cơ bản để vận dụng vào bài toán cụ thể.
Vì vậy, là giáo viên tôi phải áp dụng nhiều phương pháp giáo dục khác
nhau trong dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh. Trong đó, việc tổ chức
các hoạt động học tập để giúp các em học sinh nắm bắt được những kiến thức cơ
bản của hình học không gian nói chung và bài toán tính khoảng cách nói riêng.
Bồi dưỡng cho các em khả năng tự học, tự nghiên cứu, độc lập tư duy và nhất là
tạo cho các em có sự hứng thú trước các vấn đề khó hay các bài toán khó. Từ đó
giúp các em đạt được kết quả cao trong quá trình học tập và vận dụng được các
kiến thức, kỹ năng được học vào hoạt động thực tiễn.
2.2. Thực trạng của vấn đề
Thực trạng học môn Toán hiện nay ở các trường THPT là một bộ phận
không nhỏ các học sinh học toán nhưng không hiểu rõ bản chất, chưa chủ động
tìm hiểu sâu về một vấn đề dẫn đến các em gặp phải nhiều khó khăn trong quá
trình học tập môn toán cũng như các môn học khác.
Ở trường các em học sinh được học sách Hình học 11 cơ bản, các bài tập

tương đối đơn giản nhưng trong thực tế bài tập có yêu cầu cao hơn; hình thức thi
trắc nghiệm cũng đòi hỏi học sinh phải giải quyết nhanh các bài toán dẫn đến
học sinh đã không mấy hứng thú với môn hình học không gian lại còn thấy lúng
túng và bế tắc hơn.
Giáo viên còn hạn chế trong việc nâng cao hiệu quả sử dụng phương
pháp, phương tiện, công cụ, thiết bị đồ dùng dạy học bộ môn, phần lớn giáo viên
mới chỉ dừng lại ở mức trang bị lý thuyết và giao nhiệm vụ cho học sinh với một
vài bài tập cụ thể mà chưa khai thác bài toán ở nhiều dạng khác nhau, dẫn đến
học sinh chưa hứng thú học tập môn hình học không gian, kết quả học tập của
học sinh còn hạn chế.
Bên cạnh đó còn có nguyên nhân như các em chưa xác định đúng đắn
động cơ học tập, chưa có phương pháp học tập cho từng bộ môn, từng phân môn
hay từng chuyên đề mà giáo viên đã cung cấp cho học sinh. Cũng có thể do
3


chính các thầy cô chưa chú trọng rèn luyện cho học sinh, hay phương pháp
truyền đạt kiến thức chưa tốt làm giảm nhận thức của học sinh...
Từ thực trạng trên, là giáo viên dạy Toán trực tiếp giảng dạy khối lớp 11,
tôi đã mạnh dạn đưa ra giải pháp sau để các em học sinh có kỹ năng tính khoảng
cách giữa các đối tượng trong hình học không gian lớp 11 thành thạo và có thể
vận dụng vào các bài toán khác cũng như môn học khác.
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
2.3.1. Giải pháp để giải quyết vấn đề được nêu:
Bước 1. Tổ chức cho học sinh nắm bắt các kiến thức cơ bản về lí thuyết
Bài 5: Khoảng cách (SGK Hình học 11, cơ bản) theo phân phối chương trình
dạy học.
Bước 2. Tổ chức bồi dưỡng rèn luyện kĩ năng quy về điểm hình chiếu
vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng để tính khoảng cách giữa các đối
tượng trong không gian.

Thời lượng thực hiện thông qua thời lượng các tiết dạy học tự chọn. Qua
đây cũng rèn luyện khả năng tự học, phương pháp tư duy sáng tạo và tạo hứng
thú học môn hình học không gian cũng như giải các bài toán khó cho học sinh.
2.3.2. Tổ chức thực hiện giảng dạy nội dung:
Bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11
Phần I. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt
phẳng
a) Kiến thức cần nhớ ( SGK Hình học 11, cơ bản).

+ d(M, a) = MH
trong đó H là hình chiếu của M trên a (Hình 1).
+ d(M, (P)) = MH trong đó H là hình chiếu của M trên mp ( P) ( Hình 2).
+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong
mp ( P) thì d vuông góc với mp ( P) .
+ Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong
mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
b) Bài toán 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng cách sử
dụng điểm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng.
Giáo viên tổ chức hoạt động cho học sinh rèn luyện kỹ năng tính khoảng
cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
4


Cho một điểm M và mp ( P)
không chứa M , xác định khoảng cách
từ M đến mp(P)? Vì khoảng cách
d ( M ,( P )) = MH ( Hình 2) nên A luôn
nằm trên một mp (Q) nào đó mà
mp (Q) vuông góc với mp ( P) . Vì vậy,
để xác định khoảng cách này ta cần

làm theo các bước sau:
Bước 1. Dựng mp (Q) đi qua M và vuông góc với mp ( P)
Bước 2. Xác định giao tuyến d của mp ( P) và mp (Q)
Bước 3. Kẻ MH vuông góc với d tại H thì: MH ⊥ ( P ) ⇒ d ( M ,( P )) = MH
Lưu ý: Các trường hợp đặc biệt :
+ Hình chóp đều có hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy là tâm của
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc cùng tạo với mặt đáy một
góc bằng nhau thì hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy là tâm của đường
tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
+ Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với mặt đáy một góc thì hình chiếu
vuông góc của đỉnh lên mặt đáy là tâm của đường tròn nội tiếp đa giác đáy.
c) Áp dụng.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a . SA
vuông góc với đáy và SA = 2a . Tính khoảng cách
a) Từ D đến mp ( SAC ) .
b) Từ A đến mp ( SBC )
Hướng dẫn giải.
a) ( Học sinh dễ dàng tính được)
Ta có: BD ⊥ AC , BD ⊥ SA
⇒ BD ⊥ ( SAC )
a 2
2
b) Giáo viên cần hình thành cho học sinh tìm
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
qua ba bước sau:
Bước 1: Xác định được BC ⊥ ( SAB)
BC ⊂ ( SBC ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAB ) .
Bước 2: SB = ( SBC ) ∩ ( SAB )
Bước 3:Trong ( SAB ) kẻ ⇒ AH ⊥ SB tại H thì AH ⊥ ( SBC ) , suy ra

d ( A,( SBC )) = AH .
1
1
1
1
1
5
2a 5
2a 5
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇒AH =
⇒d ( A,( SBC )) =
.
2
2
2
AH
AB
AS
a
4a
4a
5
5
⇒ d ( D,( SAC )) = DO =

Ví dụ 2. Cho hình chóp S . ABC đều có cạnh bằng a , G là trọng tâm của tam
5

giác ABC . Tính khoảng cách
a) Từ S đến mp ( ABC ) .

b) Từ G đến mp ( SBC )
Hướng dẫn giải.
a) ( Học sinh áp dụng trường hợp đặc biệt)
S . ABC là hình chóp đều nên trọng tâm G của tam giác ABC cũng là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Ta có: SG ⊥ ( ABC )
⇒ d (G ,( ABC )) = SG mà AG = 2 AM = 2 . a 3 = a 3

3

3

2

3

⇒ SG = SA2 − AG 2 = a 6 ⇒ d (G ,( ABC )) = a 6 .

3
b) Giáo viên tiếp tục rèn luyện cho
học sinh tìm khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng qua ba bước sau:
Ta có: M là trung điểm của BC .
BC ⊥ AM , BC ⊥ SM ⇒ BC ⊥ ( SAM )
( SBC ) ⊥ ( SAM ) ,
hay
và

( SBC ) ∩ ( SAM ) = SM
Kẻ GH ⊥ SM tại H , suy ra:
GH ⊥ ( SBC ) ⇒ d (G,( SBC )) = GH
1
1
1
12 3
27
=
+
=
+
=
GH 2 GM 2 GS 2 a 2 2a 2 2a 2

3

⇒ GH = a 6 . Vậy d (G ,( SBC )) = a 6

9

9

Nhận xét 1: Trong Ví dụ 2. nếu thay yêu cầu tính khoảng cách từ điểm G đến
mp(SBC) bằng tính khoảng cách từ trung điểm N của AB đến mp(SBC) thì việc
tìm mp(Q) qua N và vuông góc với (SBC) khá là khó đối với học sinh khi mới
làm quen với bài toán tính khoảng cách. Vì vậy, giáo viên gợi mở cho học sinh
có thể tính khoảng cách đó bằng cách quy về tính khoảng cách từ G đến (SBC),
( G là hình chiếu vuông góc của điểm S lên (ABC)) và sử dụng kết quả sau:
* Nếu M , N không thuộc mp( P) mà

MI
= k thì:
MN cắt mp(P) tại I và
NI
d (M ,( P )) = k .d ( N ,( P ))
Thậtvậy,
MH MI
=
= k ⇒ MH = k .MH '
NH ' NI
⇒ d ( M ,( P )) = k .d ( N ,( P )) ( Hình 3)

6


Ví dụ 2. c) Tính khoảng cách từ N ( trung
điểm của AB ) đến ( SBC )?
Giải:
Ta có:
NC 3
3
a 6
= ⇒ d ( N ,( SBC )) = d (G,( SBC )) =
GC 2
2
6
(theo câu b) Ví dụ 2).

Ví dụ 3.( Trích đề thi tuyển sinh- Khối A – 2014, môn Toán) Cho hình chóp
3a

S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SD = , hình chiếu vuông
2
góc của S lên mặt phẳng ( ABCD ) là trung điểm của AB . Tính khoảng cách từ
điểm A đến mp ( SBD) .
Phân tích bài toán: để tính khoảng
cách từ điểm A đến ( SBD) ta cần dựng
được hình chiếu vuông góc của A lên
( SBD) , tuy nhiên nếu việc làm này
khó khăn thì ta có thể dùng cách khác
để tính d ( A,( SBD)) . Nếu theo Nhận
xét 1 ta có thể quy về tính khoảng cách
khác. Vậy, ta có thể quy d ( A,( SBD))
về tính khoảng cách từ điểm nào đến
( SBD) ? Điểm đó có gì đặc biệt?
Áp dụng Bài toán 1.
+ Học sinh lập luận và đưa ra lời giải:
Bước 1: Quy d ( A,( SBD)) về d ( H ,( SBD)) .
Bước 2: Tính d ( H ,( SBD)) với H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD).
Giải.
Gọi H là trung điểm của AB , nên SH ⊥ ( ABCD ) . Ta có:
AB
= 2 ⇒ d ( A,( SBD)) = 2.d ( H ,( SBD)) .
AH
Kẻ HM ⊥ BD tại M thì BD ⊥ ( SMH ) hay ( SBD) ⊥ ( SMH ) , ( SBD) ∩ ( SMH ) = SM .
Trong ( SMH ) kẻ HK ⊥ SM tại K , suy ra: d ( H ,( SBD)) = HK . Ta có:
a 5
a 2
.
HD =
, SH = SD2 − HD 2 = a, HM =

2
4
Tam giác SHM vuông tại H , HK là đường cao nên:
1
1
1
1 8 9
a
=
+
=
+
=
⇒
HK
=
.
3
HK 2 HM 2 HS 2 a 2 a 2 a 2
7


2a
.
3
Nhận xét 2: Trong các ví dụ trên việc tích khoảng cách từ một điểm A đến một
mặt phẳng ( P ) chúng ta đều phải dựng hình chiếu vuông góc của A lên ( P ). Bài
toán dễ dàng giải được nếu ta quy khoảng cách đó về khoảng cách từ điểm M
đến ( P ), mà M là hình chiếu vuông góc của một điểm N trên ( P ) lên ( Q ) nào
đó và ( Q ) phải cắt ( P ).

Khi đó việc tính khoảng cách từ A đến ( P ) như sau:
Vậy d ( A,( SBD)) = 2.d ( H ,( SBD)) =

+Bước 1: Sử dụng Nhận xét 1. quy
d ( A,( P)) về d ( M ,( P ))
+Bước 2: Tính d ( M ,( P)) .
- Kẻ MI vuông góc với giao tuyến d
của ( P ) và ( Q ) tại I .
- Kẻ MH ⊥ NI tại H thì MH ⊥ ( P) , suy
ra: d ( M ,( P)) = MH
Ví dụ 4. Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có AA ' = 2 AB = 2a
, G là trọng tâm của tam giác ABB ' . Tính khoảng cách từ điểm G đến
mp ( AB ' C ')
Giải.
GO 1
=
Gọi O là tâm của ABB ' A ' , ta có:
A 'O 3
1
=> d (G,( AB ' C ')) = d ( A ',( AB ' C '))
3
Gọi M là trung điểm của B ' C ' , ta có:
A ' M ⊥ B ' C ', B ' C ' ⊥ AA ' => B ' C ' ⊥ ( AA ' M )
hay ( AB ' C ') ⊥ ( AA ' M ) và ( AB ' C ') ∩ ( AA ' M ) = AM
Trong ( AA ' M ) kẻ A ' H ⊥ SM tại H , suy ra:
A ' H ⊥ ( AB ' C ') ⇒ d ( A ',( AB ' C ')) = A ' H .
A' M =

1
1

1
a 3
=
+
và
2
2
A' H
A' M
A ' A2
2

4
1
19
⇒ A ' H = 2a 57 ⇒ d ( A ',( AB ' C ')) = 2a 57 .
+ 2=
2
2
3a
4a 12a
19
19
1
2a 57
Vậy d (G,( AB ' C ')) = d ( A ',( AB ' C ')) =
.
3
57
=

8


Phần II. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai
mặt phẳng song song
a) Kiến thức cần nhớ. ( SGK Hình học 11, cơ bản)

+ d(a,(P)) = d(M,(P))
với a // (P), M là điểm bất kì nằm trên a ( Hình 4).
+ d((P),(Q)) = d(M,(P)) với (P) // (Q), M là điểm bất kì nằm trên (Q) (Hình 5).
b) Bài toán 2: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa
hai mặt phẳng song song.
Phương pháp giải:
Bước 1. Bằng định nghĩa chuyển khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
song song, giữa hai mặt phẳng song song về khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng.( tức là chuyển Bài toán 2 về Bài toán 1)
Bước 2. Giải Bài toán 1.
c) Áp dụng.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh bẳng a. Tính khoảng cách
giữa AB và ( SCD) .
Giải.
AB
/
/
CD
⇒
AB
/
/(

SCD
)
Ta có:
nên
d ( AB,( SCD)) = d ( A,( SCD )) .
Gọi O là tâm của ABCD thì
AC
SO ⊥ ( ABCD ) mà
= 2 , suy ra:
OC
d ( A,( SCD)) = 2.d (O,( SCD))
Gọi M là trung điểm của CD . Ta có:
CD ⊥ ( SOM ) hay ( SCD) ⊥ ( SOM ) và
( SCD) ∩ ( SOM ) = SM .
Trong ( SOM ) kẻ OH ⊥ SM tại H thì OH ⊥ ( SCD ) nên d (O,( SCD)) = OH .
1
1
4
4
a 3
a 3
a 1
Ta có: SH =
= 2+
= 2 + 2 ⇒ OH =
, OM = ,
2
2
4
2

2 OH OS OM 3a a
a 3 a 3
Vậy d ( AB,( SCD)) = 2.d (O,( SCD)) =2.
=
.
4
2
9


Ví dụ 6. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bẳng a. Gọi M , N , P
lần lượt là trung điểm của AB, C ' D ' và B ' C ' . Tính khoảng cách:
a) Giữa BC ' và ( AB ' D ') .
b) Giữa ( MNP ) và ( AB ' D ') .
Giải.
BC
'/
/
AD
'
⇒
BC
'/
/(
AB
'
D
')
a) Ta có
, suy ra: d ( BC ', ( AB ' D ')) = d (C ', ( AB ' D ')) .

Gọi O là tâm của A ' B ' C ' D ' , vì OA ' = AC ' nên d (C ', ( AB ' D ')) = d ( A ', ( AB ' D ')) .
Ta có: B ' D ' ⊥ (OAA ') hay ( AB ' D ') ⊥ (OAA ') mà ( AB ' D ') ∩ (OAA ') = AO .
Kẻ A ' H ⊥ OA tại H thì A ' H ⊥ ( AB ' D ') suy ra d ( A ', ( AB ' D ')) = A ' H .
1
1
1
1 2
a 3
a 3
. Vậy d ( BC ', ( AB ' D ')) =
.
=
+
= 2 + 2 => A ' H =
2
2
2
3
3
A' H
A ' A A 'O a a
b) Ta có:
MN / / AD ', NP / / B ' D ' ⇒ ( MNP) / /( AB 'D ')
nên d (( MNP), ( AB ' D ')) = d ( N , ( AB ' D ')) .
Gọi I là giao của A ' N và B ' D ' thì I là trọng
tâm của tam giác A ' C ' D ' , suy ra:
khi đó:

NI 1
= ,

A' I 2

1
a 3
d ( N , ( AB ' D ')) = d ( A ', ( AB ' D ')) =
.
2
6
(theo câu a))
a 3
Vậy d (( MNP), ( AB ' D ')) =
.
6

Nhận xét 3: Trong các Ví dụ 5, Ví dụ 6 thì việc tính khoảng cách giữa các đối
tượng đều dùng kỹ thuật quy về khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và
điểm đó phải là hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng. Đây
là kỹ thuật rất cần thiết và quan trọng mà học sinh cân có trong tính khoảng
cách.
Phần III. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
a) Kiến thức cần nhớ. ( SGK Hình học 11, cơ bản)
a) Đường thẳng d cắt cả a, b và cùng vuông
góc với a, b được gọi là đường vuông góc
chung của a, b.
b) Nếu d là đường thẳng vuông góc và cắt
a, b tại M , N thì MN được gọi là đoạn
vuông góc chung của a, b.
c) Độ dài đoạn vuông góc chung MN của a,
b được gọi là khoảng cách giữa a, b.
+ d (a, b) = MN trong đó MN là đoạn vuông

10


góc chung của a và b ( Hình 6).
b) Bài toán 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, xác định khoảng
cách giữa hai đường thẳng a và b. Ta đã biết khoảng cách giữa a và b là độ dài
của đoạn vuông góc chung của a và b. Ngoại trừ trường hợp đoạn vuông góc
chung có sẵn, ta thường dựng đoạn vuông góc chung của a và b như sau:
Cách 1 (Áp dụng khi hai đường thẳng
a, b vuông góc):
Bước 1. Dựng mp( P) chứa b, vuông
góc với a tại A ( Hình 7).
Bước 2. Kẻ AB vuông góc với b tại B .
Đoạn AB là đoạn vuông góc chung
của a và b.

Cách 2:
Bước 1. Dựng mp( P ) chứa b song song
với a,
Bước 2.Dựng mp( Q ) chứa a ( Q ) ⊥ ( P ),
( Q ) cắt b tại B
Bước 3. Từ B dựng d ⊥ ( P) cắt a tại A .
Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của
a và b. (Hình 8)
Cách 3:
Bước 1. Dựng ( P) ⊥ a tại O và dựng
hình chiếu vuông góc b' của b lên ( P
).
Bước 2. Dựng hình chiếu vuông góc

H của O lên b'
Bước 3. Qua H dựng d // a và d cắt b
tại B, kẻ BA ⊥ a tại A . Đoạn AB là
đoạn vuông góc chung của a và b.
(Hình 9)
c) Áp dụng.
Ví dụ 7. Cho hình tứ diện S . ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và
SA = SB = SC = a . Gọi I là trung điểm của BC . Xác định và tính khoảng cách:
a) Giữa SA và BC .
b) Giữa AI và SC .
Hướng dẫn giải

11


a)( Học sinh dễ dàng giải được)
Ta có: SA ⊥ ( SBC ) nên SA ⊥ BC , SI ⊥ SA
mà tam giác SBC cân tại S . Suy ra SI
là đoạn vuông góc chung của SA và BC .
Ta có: SI =

BC a 2
=
2
2

Bình luận: Ở câu a) thì SA ⊥ BC nên việc dựng đoạn vuông góc chung khá dễ
dàng. Nhưng ở câu b) này thì việc dựng đoạn vuông góc chung khó hơn, vậy ta
sẽ dựng theo cách nào? Nếu quan sát thật kỹ thì có ( SAB) ⊥ SC nên ta có thể
dùng cách 3 để dựng đoạn vuông góc chung của AI và SC như sau:

b) Hướng dẫn giải
Ta có: ( SAB) ⊥ SC
Bước 1 Ta đi dựng hình chiếu vuông góc
của AI lên ( SAB) :
Qua I kẻ IK / / SC và cắt SB tại trung
điểm K , suy ra IK ⊥ ( SAB) , nên AK là
hình chiếu vuông góc của AI lên ( SAB) .
Bước 2 Kẻ SH ⊥ AK tại H .

Bước 3 Hoàn thành dựng đoạn
vuông góc chung của AI và SC :
Kẻ HN / / SC ( N ∈ AI ) và kẻ
MN / / SH ( M ∈ SC ). Khi đó MN là
đoạn vuông góc chung của AI và
SC và MN = SH . Ta có:
1
1
1
1 4
a 5
a 5
. Vậy d ( AI , SC ) = MN =
.
= 2 + 2 = 2 + 2 => SH =
2
5
5
SH SA SK a a
Ví dụ 8. Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA
vuông góc với ( ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa SD và AC .

Hướng dẫn giải.
Ta đi dựng đoạn vuông góc chung của AC và SD theo cách 2 như sau:
Dựng đường thẳng Dt / / AC , dựng AI ⊥ Dt tại I , suy ra Dt ⊥ ( SAI ) , kẻ
AE ⊥ SI tại E , kẻ EM / / AC ( M ∈ SD ) và kẻ MN / / AE ( N ∈ AC ). Khi
đó MN là đoạn vuông góc chung của SD và AC và MN = AE .
Ta có AIDO là hình vuông nên AI = OD =

BD a 2
, tam giác SIA vuông tại A
=
2
2

12


và AE là đường cao nên
1
1
1
1 2
a 3
.
=
+
=
+
=>
AE
=

3
AE 2 SA2 AI 2 a 2 a 2
a 3
Vậy d ( AC , SD) =
.
3

Nhận xét 4:
+ Ở Ví dụ 7a) thì việc dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo
nhau này rất đơn giản nên học sinh có thể áp dụng và làm rất nhanh.
+ Còn ở Ví dụ 7b), Ví dụ 8 thì việc dựng đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau gặp khó khăn. Nếu như học sinh không nắm được cách dựng
cho mỗi trường hợp cụ thể, nhất là không nắm rõ bản chất của nó dẫn đến học
sinh không mấy hứng thú gì đến bài toán này.
Khi đó học sinh cần biết cách chuyển khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau qua các khoảng cách quen thuộc hơn nhờ hai kết quả sau ta có thể
chuyển bài toán này qua Bài toán 1.
Kết quả 1: ( SGK Hình học 11, cơ
bản) Khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau a và b bằng khoảng
cách giữa một trong hai đường thẳng
đó đến mặt phẳng song song với nó và
chứa đường thẳng còn lại.( Hình 10)

Kết quả 2: ( SGK Hình học 11, cơ
bản) Khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau bằng khoảng cách
giữa hai mặt phẳng song song lần lượt
chứa hai đường thẳng đó.( Hình 11)

* Đến đây giáo viên cần cho học sinh xác định rõ các bước (hay kỹ thuật)
chuyển Bài toán 3 về Bài toán 1 như sau:
Bước 1: Dựng mp( P ) chứa đường thẳng b và ( P ) // a. ( Hình 10, Hình 11)
Bước 2: Quy d ( a, b) = d (a, ( P ))
13


Bước 3: Quy d ( a,( P )) = d ( M ,( P)) , M là điểm thuộc đường thẳng a.(Bài
toán 1)
Ví dụ 8. Cách giải 2:
Dựng đường thẳng Dt / / AC thì ( Dt , S ) / / AC
nên:
d ( AC , SD) = d ( AC , (S , Dt )) = d ( A,( S , Dt ))
Kẻ AI ⊥ Dt tại I , suy ra Dt ⊥ ( SAI ) hay
( SDI ) ⊥ ( SAI ), ( SDI ) ∩ ( SAI ) = SI . Kẻ
AE ⊥ SI tại E và AE ⊥ ( S , Dt ) suy ra:
d ( A,( S , Dt )) = AE .
a 2
Ta có AIDO là hình vuông nên AI = OD =
.
2
SAI vuông tại
A
AE là đường cao nên
Tam giác
và
1
1
1
1 2

a 3
d ( AC , SD) = a 3
.
Vậy
=
+
=
+
=>
A
E
=
3
3
AE 2 SA2 AI 2 a 2 a 2
Ví dụ 7. câu b) Cách giải 2:
Kẻ IK / / SC ( K ∈ SD ) thì SC / /( AIK )
nên:
d ( SC , AI ) = d ( SC ,( AIK )) = d ( S ,( AIK )) .
Ta có ( AIK ) ⊥ ( SAB), ( AIK ) ∩ ( SAB) = AK .
Kẻ SH ⊥ AK thì SH ⊥ ( AIK )
⇒ d ( S ,( AIK )) = SH . Tam giác SAK
vuông tại S và SH là chiều cao nên:
1
1
1
1 4
a 5
.
= 2 + 2 = 2 + 2 => SH =

2
5
SH SA SK a a
a 5
Vậy d ( SC , AI ) = MN =
.
5
S . ABCD có ABCD là hình chữ nhật
Ví dụ 9. Cho hình chóp
AD = 2 AB = 2a , SA ⊥ ( ABCD) và SA = a . Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của AD và BC . Tính khoảng cách giữa BM và SN .
Giải.
Ta có BM / / DN thì BM / /( SDN ) nên d ( BM , SN ) = d ( BM ,( SND))
MD 1
1
= d ( M ,( SND )) , mà
= suy ra: d ( M ,( SND)) = d ( A,( SND )) .
AD 2
2
ND
⊥
AN
,
ND
⊥
SA
⇒
ND
⊥
(

SAN
)
Ta có
hay
( SND) ⊥ ( SAN ), SN = ( SND) ∩ ( SAN ) .
Kẻ AH ⊥ SN tại H thì d ( A,( SND )) = AH

14


Tam giác SAN vuông tại A, AH là chiều
cao ta có:
1
1
1
1
1
a 6
.
=
+
=
+
=>
AH
=
3
AH 2 AS 2 AN 2 a 2 2a 2
1 a 6 a 6
Vậy d ( BM , SN ) = .

=
2 3
6

Nhận xét 5:
Qua các cách giải hai Ví dụ 7, Ví dụ 8, Ví dụ 9 phần nào giúp học sinh
nắm được ưu nhược điểm của các cánh giải để có lựa chọn cách giải tốt nhất,
nhanh nhất cho bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
+ Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vuông góc với nhau thì cách dùng
đoạn vuông góc chung để tính khoảng cách là tốt nhất.
+ Trường hợp còn lại, thì việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b
chéo nhau ta sẽ quy việc tính khoảng cách đó về tính khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng.
Nhất là đối các bài thi trắc nghiệm như hiện nay thì trước một bài
toán học sinh không chỉ biết các giải nó mà còn phải biết lựa chọn và áp
dụng cách giải nhanh nhất.
Các ví dụ sau đây giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chuyển các bài toán
tính khoảng cách giữa các đối tượng trong hình học không gian về Bài toán 1 và
rèn luyện kỹ năng quy điểm cần tính khoảng cách về một điểm là hình chiếu
vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng.
Ví dụ 10. Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình thoi cạnh bằng a, góc
·ABC = 60o , SA = AC , SB = SD góc giữa SA và mặt đáy bằng 60o. Tính
khoảng cách giữa:
a) AC và SD .
b) AB và SC .
Giải
Gọi O là tâm của ABCD , suy ra SO ⊥ ( ABCD ) .
a) Ta có AC ⊥ ( SBD) chứa SD , từ O kẻ OH ⊥ SD tại H thì: d ( AC , SD) =OH .
·
Góc giữa SA và ( ABCD ) bằng góc giữa SA và OA bằng SAO

= 60o , các
a 3
tam giác ABC , SAC , ADC là tam giác đều, có AC = AB = a , SO = OD =
,
2
suy ra tam giác SOD vuông cân tại O và
a 3 2 a 6
a 6
. Vậy d ( AC , SD) =
.
OH =
. =
2 2
4
4
15


b) Ta có AB / / CD suy ra AB / /( SCD )
nên d ( AB, SC ) = d ( AB, ( SCD ))
= d ( A,( SCD ))
AC
= 2 nên d ( A,( SCD)) = 2d (O,( SCD))
Vì
OC
Từ O kẻ OI ⊥ CD tại I thì CD ⊥ ( SOI ) ,
( SCD) ⊥ ( SOI ),( SCD) ∩ ( SOI ) = SI kẻ
OK ⊥ SI tại K , suy ra: OK ⊥ ( SCD )
d (O,( SCD)) = OK .
Tam giác OCD vuông tại O ta có:

1
1
1
=
+
. Tam giác SOI vuông tại O ta có:
2
2
OI OC OD 2
1
1
1
1
1
1
4
4
4
20
a 15 .
= 2+ 2=
+
+
+
=
=>
OK
=
2
2

2
2 = 2 +
OK OI OS
OC
OS
OD
10
a
3a 2 3a 2 3a 2
a 15
Vậy d ( AB, SC ) =
.
10
Ví dụ 11.( Trích đề thi tuyển sinh khối A – 2012, môn Toán) Cho hình chóp
S . ABC có ABC là tam giác đều có cạnh bằng a. Hình chiếu của S lên mặt
phẳng ( ABC ) là điềm H sao cho AH = 2CH . Góc giữa SB và mặt phẳng
( ABC ) bằng 60o. Tính khoảng cách giữa SA và BC .
Giải
Kẻ đường thẳng At / / BC nên :
BC / / mp ( S , At )
⇒ d ( BC , SA) = d ( BC ,( S , At )) = d (C ,( S , At ))
mà

CA 3
3
= ⇒ d (C , ( S , At )) = d ( H , ( S , At ))
HA 2
2

Kẻ HG ⊥ At tại G thì AG ⊥ ( SHG ) hay

( SAG ) ⊥ ( SHG ) và ( SAG ) ∩ ( SHG ) = SG
Kẻ HK ⊥ HG tại K thì HK ⊥ ( SAG ) suy
ra: d ( H , ( SAG )) = HK . Ta có
BH 2 = HC 2 + BC 2 − 2.HC.BC.cos 600 =

a 7
3

2
a 3 ·
AM =
, SCH = 60o
3
3
a 21
1
1
1
24
a 42
⇒ SH = 3HB =
=
+ 2 = 2 ⇒ HK =
2
2
3
12
HK HG HS 7a
3
a 42

⇒ d (C , ( S , At )) = d ( H , ( S , At )) =
.
2
8
HG =

16


a 42
Vậy d ( BC , SA) =
8
Ví dụ 12. ( Trích đề thi THPT QG - 2015, môn Toán) Cho hình chóp
S . ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA ⊥ ( ABCD) , góc giữa
SC và mặt đáy bằng 45o. Tính khoảng cách giữa AC và SB .
Giải
d
/
/
AC
Kẻ đường thẳng d qua B và
,
AC
/
/
mp
(
S
,
d

)
ta có:
,
d ( AC , SB ) = d ( AC , ( S , d )) = d ( A,( S , d ))
Kẻ AM ⊥ d tại M , AH ⊥ AM tại H .
Khi đó: BM ⊥ ( SAM ), hay
( SBM ) ⊥ ( SAM )
( SBM ) ∩ ( SAM ) = SM . Suy ra
AH ⊥ ( S , d ) ⇒ d ( A,( S , d )) = AH
·
Ta có SCA
= ( SC ,( ABCD )) = 45o
⇒ SA = AC = a 2 .
Tam giác SAM vuông tại A và đường cao AH nên
1
1
1
5
a 10
.
= 2+
= 2 ⇒ d ( AC , SB) = AH =
2
2
5
AH
AS AM 2a
Ví dụ 13. Cho hình lăng trụ đều ABC. A ' B ' C ' , G là trọng tâm của tam giác
ABC , khoảng cách từ G đến ( B ' AC ) bằng a, góc tạo bởi hai mặt phẳng
( B ' AC ) và ( ABC ) bằng 30o . Tính khoảng cách giữa AC và B ' G .

Giải
Đường thẳng đi qua G cắt BA, BC lần
lượt tại M , N ta có: AC / / MN nên
AC / /( B ' MN ) . Khi đó:
d ( AC , B ' G ) = d ( AC ,( B ' MN )) = d ( A,( B ' MN ))
Ta có:
AM 1
1
= ⇒ d ( A,( B ' MN )) = d ( B,( B ' MN )) .
BM 2
2
Ta có BG ⊥ MN ⇒ ( BGB ') ⊥ ( B ' MN ) , kẻ
BH ⊥ B ' G thì BH ⊥ ( B ' MN )
⇒ d ( B ,( B ' MN )) = BH
Gọi D trung điểm của AC , I là hình
chiếu vuông góc của G lên ( B ' AC ) , ta
·
có: GI = a , BDB
' = (( B ' AC ),( ABC )) = 30o
suy ra GD = 2a, BD = 6 a, BG = 4a , BB ' = BD.tan 30o = 2a 3 . Tam giác
BB ' G vuông tại B và BH là chiều cao nên:
17


1
1
1
7
2a 84
.

=
+
=
⇒ BH =
2
2
2
2
7
BH BG BB ' 48a

1 2a 84 a 84
Vậy d ( A,( B ' MN )) = .
.
=
2
7
7
Ví dụ 14. ( Trích đề thi tuyển sinh khối B - 2014, môn Toán) Cho hình lăng
trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, hình chiếu vuông góc
của A ' lên ( ABC ) là trung điểm của AB . Góc giữa A ' C và mặt đáy bằng
60o . Tính khoảng cách từ B đến ( ACC ' A ') .
Giải
Gọi H là trung điểm của AB , ta có:
BA
= 2 ⇒ d ( B,( ACC ' A ')) = 2d ( H ,( ACC ' A ')) .
HA
Kẻ HM ⊥ AC tại M ta được
AC ⊥ ( A ' HM ) hay ( ACC ' A ') ⊥ ( A ' HM )
và ( ACC ' A ') ∩ ( A ' HM ) = A ' M .

Kẻ HK ⊥ A ' M ⇒ HK ⊥ ( ACC ' A ') và
d ( H , ( ACC ' A ')) = HK . Ta có:
a 3
3a
,
CH =
, A ' H = CH .tan 60o =
2
2
1
a 3
. Tam giác A ' HM vuông tại H, HK là đường cao nên
MH = HC =
2
4
1
1
1
52
3a 52
.
=
+
=
⇒
HK
=
52
HK 2 HM 2 HA '2 9a 2
3a 52

Vậy d ( B, ( ACC ' A ') = 2 HK =
.
26
2.4. Kết quả đạt được qua việc áp dụng SKKN.
*) Đối với học sinh sau khi tiếp thu nội dung: Bài toán tính khoảng cách
trong hình học không gian lớp 11.
+ 100% học sinh đạt yêu cầu và thành thạo giải bài toán tính khoảng cách từ một
điểm điến một mặt phẳng ( bài toán cơ bản).
+ Kỹ năng tính khoảng cách giữa các đối tượng hình học không gian được nâng
lên rõ rệt qua việc quy về điểm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt
phẳng.
+ Học sinh biết lựa chọn phương pháp tối ưu cho bài toán tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau.
+ Nâng cao kỹ năng giải nhanh bài toán tính khoảng cách cho dưới dạng câu hỏi
trắc nghiệm.

18


+ Các tiết học sôi nổi, học sinh hứng thú và chủ động tìm tòi và giải bài toán
tính khoảng cách và các bài toán trong hình học không gian khác cũng như các
em tự tin hơn trước các bài toán khó. Năng lực tư duy của đa phần học sinh
được cải thiện đáng kể.
Trong năm học 2016 – 2017, sau khi áp dụng SKKN này vào lớp 11B 3
trường THPT Như Thanh. Tôi đã yêu cầu học sinh của lớp này làm bài tập sau
đây: Tìm các bài toán hình học không gian về tính khoảng cách dạng câu hỏi
trắc nghiệm và giải chúng.
Kết quả các em làm bài ở phần phụ lục.
*) Đối với bản thân và đồng nghiệp qua áp dụng SKKN này:
+ Chất lượng giảng dạy và giáo dục của bản thân, đồng nghiệp và của trường

THPT Như Thanh được nâng lên đáng kể. Kỹ năng vận dụng các phương pháp
giảng dạy và giáo dục học sinh ngày càng hoàn thiện.
+ Nội dung, ý tưởng của SKKN được đồng nghiệp đánh giá cao.

19


3. KẾT LUẬN
Sáng kiến này đã đạt được một số kết quả sau :
- Rèn luyện kỹ năng giải và giải nhanh bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng (bài toán cơ bản).
- Đưa ra phương pháp, kỹ thuật quy bài toán tính khoảng cách giữa các
đối tượng trong hình học không gian lớp 11 về bài toán cơ bản, đồng thời chỉ ra
cho học sinh biết cách lựa chọn phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau (đây là bài toán khó). Qua đó, các em học sinh đã nâng cao
năng lực tư duy trước các bài toán mà lâu nay các em còn bế tắc. Các em có nền
kiến thức, phương pháp vững chắc về hình học không để vận dụng vào kiến thức
hình học lớp 12 đặc biệt là phần thể tích khối đa diện và khối tròn xoay.
Qua giảng dạy tôi thấy rằng: Bài toán tính khoảng cách giữa các đối tượng
trong hình học không gian lớp 11 không phải là một vấn đề mới, nhưng thực tế
cho thấy có nhiều Thầy, Cô chưa quan tâm đúng mức vần đề này, đặc biệt là chỉ
rõ cho học sinh bản chất của việc tính khoảng cách và phương pháp, kỹ thuật
tính nhanh nhất. Vì vậy, vấn đề nào cho dù khó mà giáo viên quan tâm và
truyền thụ cho học sinh bằng lòng say mê và nhiệt tình của mình thì sẽ cuốn hút
các em trong việc học tập và nghiên cứu của các em.
SKKN này nếu được áp dụng rộng rãi sẽ giúp các em học sinh có thêm
những kĩ năng giải loại toán này, rèn luyện tư duy từ đó tự tin hơn khi thi Đại
học, và góp thêm một tài liệu cho quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp. Rất
mong được sự quan tâm đóng góp ý kiến của các em học sinh, của quý Thầy, Cô
giáo cùng các bạn đồng nghiệp.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 9 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Người thực hiện

Lê Đình Ngọc

20


TÀI LIỆU THAM KHẢO

[ 1] Sách giáo khoa hình học 11 Cơ bản - Nhà xuất bản giáo dục 2010
– TRẦN VĂN HẠO ( Tổng chủ biên).NGUYỄN MỘNG HY (chủ biên)

[ 2] Sách bài tập hình học 11 Cơ bản - Nhà xuất bản giáo dục 2010
– TRẦN VĂN HẠO ( Tổng chủ biên).NGUYỄN MỘNG HY (chủ biên)

[ 3] Giải toán và câu hỏi trắc nghiệm Hình Học 11- Nhà xuất bản giáo dục 2010
– Nhóm tác giả TRẦN THÀNH MINH, PHAN LƯU BIÊN, TRẦN QUANG
NGHĨA.

[ 4] Giải toán Hình Học 11 - Nhà xuất bản giáo dục 2004
– TRẦN THÀNH MINH (Chủ biên)...

[ 5] Đề thi Đại học các khối A, B, D từ năm 2002 đến năm 2015 của Bộ Giáo
dục và Đào tạo.

[ 6] Tài liệu nguồn Internet.

21


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Lê Đình Ngọc
Chức vụ và đơn vị công tác: giáo viên dạy môn Toán, trường THPT Như Thanh,
Thanh Hoá.
Cấp đánh giá Kết quả
Năm học
xếp loại
đánh
giá
TT
Tên đề tài SKKN
đánh giá
(Ngành GD cấp
xếp
loại
huyện/tỉnh;
xếp loại
(A, B, hoặc C)
Tỉnh...)

1.

Sử dụng phương pháp hàm Ngành GD
Tỉnh
số giải bài toán tìm giá trị
Thanh Hoá
nhỏ nhất, giá trị lớn nhất

C

2013 - 2014

của biểu thức chứa nhiều
biến
----------------------------------------------------

22