Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 huyện quỳnh lưu nghệ an năm học 2017 2018 có đáp án

UBND HUYN QUNH LU
PHềNG GIO DC V O TO
K THI HC SINH GII LP 9 NM HC 2017 - 2018
CHNH THC

THI MễN: TON
Ngy thi 05/10/2017
Thi gian lm bi: 150 phỳt (Khụng k thi gian giao )
( thi gm cú 01 trang)

Bi 1: (4,0 im).
2x x 1 2x x x x x x

).
.
1 x
1 x x
2 x 1
6 6
a) Tỡm cỏc giỏ tr ca x A
.
5
2
1
b) Chng minh rng A vi mi x tho món x 0, x 1, x
4
3

Cho biu thc A 1 (

Bi 2: (4,0 im).

a) Gii phng trỡnh: 3x2 + 4x + 10 = 2 14 x2 7
b) Cho 3 s dng x,y,z tho món iu kin:
xy + yz + zx = 1

1 y 1 z y 1 z 1 x z 1 x 1 y
2

Tớnh: T = x

2

2

2

2

1 y2

1 x2

2

1 z2

Bi 3 (4 )
a) Tỡm tt c cỏc s t nhiờn n sao cho n2 17 l mt s chớnh phng.
b) Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: y2 = -2(x6 - x3y - 32).
Bi 4 (6 im) : Cho hai đờng tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại A và D có các
đờng kính AOB và AO'C vuông góc với nhau tại A. Một đờng thẳng d đi qua A và cắt

các nửa đờng tròn không chứa điểm D của (O), (O') tơng ứng tại các điểm M, N khác
A.
a) Chng minh rng B, D, C thng hng
b) Chứng minh tam giác ABM và tam giác CAN đồng dạng.
c) Tìm quỹ tích giao điểm P của OM và O'N khi d di động.
d) Xác định vị trí của d sao cho tứ giác MNCB có diện tích lớn nhất. Tìm giá trị
lớn nhất đó theo R và R'.
Bi 5: (2,0 im).Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:
2
2
2
A= x y z

xy

yz

zx

vi x > 0; y > 0; z > 0 v

xy

yz

zx 1

Ht
H tờn thớ sinh:................................................ Ch kớ ca giỏm th:1:...................
S bỏo danh:.................

Ch kớ ca giỏm th 2:...................


UBND HUYỆN QUỲNH LƯU
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2015-2016
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN LỚP 9
( Đáp án này gồm có 05 trang)
Nội dung cần đạt

Bài

Điể
m

Bài 1.a)


2x  x  1 2x x  x  x x  x
(2 x  1)( x  1) x (2 x  1)( x  1)  x ( x  1)

).
 1 

.
 (1  x ) 1  x (1  x )( x  x  1)  2 x  1
1 x
1 x x

2 x 1



x ( x  1) 
x
x 1
 1  1 

. x  1
x  x 1 
x  x 1 x  x 1


A  1 (

1(4
đ)





6 6
x 1
6 6


 x  6. x  1  0 . Từ đó giải
5

5
x  x 1
được x  2  3; x  2  3

Ta có A 

x 1
2
  x  2 x  1  0  ( x  1) 2  0
x  x 1 3
2
x  1  0  ( x  1)2  0 . Vậy A 
3

b)Ta có: A  

1

Do x  1 nên

1

2
3

a) xác định đúng điều kiện: x 

 2
2
;x 

2
2

 x2  4 x  4  2 x 2  1  2 2 x 2  1. 7  7 = 0  ( x  2)2  ( 2 x  1  7)  0
 x  2
 x  2  0


   x  2  x  2 (Thỏa mãn)
2
 2 x  1  7  0
  x  2


2(4
đ)

1+x2 = xy + yz + zx + x2 = y(x+z)+x(x+z)
=(x+z)(z+y)
2
Tương tự ta có:
1+y =(y+x)(y+z)
1+z2 =(z+x)(z+y)

0,75

b) Ta có

T= x
z

 y  x  y  z z  x z  y   y z  x z  y x  y x  z 
x  z x  y 
x  y  y  z 
x  y x  z  y  x  y  z  =
z  x z  y 

=x(y+z)+y(x+z)+z(x+y) =2(xy+yz+zx)=2. Vậy T= 2
3(4
đ)

0,25
1,0

a) Đặt m2  n2  17

(m  N)

1

1
0,25
0,5


 m2  n2  17  (m  n)(m  n)  17  1.17 =17.1
0,5

Do m + n > m - n

m  n  17 m  9


m

n

1

n  8
2
2
Vậy với n = 8 ta có n  17  64  17  81  9
b) y2 = -2( x6 - x3y - 32)

0,25
0,5

 2 x6  2 x3 y  y 2  64  x6  ( x  y)3  64  ( x2 )3  ( x  y)3  64

1,0
0,5
0,5

Vì x  Z  x  N . Vậy x chỉ có thể nhận các giá trị  0; 1; 2 
Suy ra cặp nghiệm nghuyên cần tìm là: (0; 8), (0;-8), (2;8), (-2;-8)
2

Bài 4
a) Vì góc CDA = góc CDA= 900 (AB và AC là các đường kính).

Suy ra B, D, C
thẳng hàng

I
M

A
N
O'

O

4

P
B

C

D

b) Góc ABM = Góc CAN (cùng phụ với MAB) =>Tam gi¸c AMB
vµ tam gi¸c CAN ®ång d¹ng(g.g)

2
điể
m

d) diÖn tÝch Tø gi¸c BMNC lín nhÊt <=> (SBMA +SANC)min <=>
l¹i cã: BM2 + AM2 = R2 vËy:

0,5

R2
dÊu b»ng khi BM = AM <=> d t¹o víi AB mét gãc 450
2

0,5
0,5
0,5

(SBMA)min <=> (BM.AM)min
BM.AM 

Khi ®ã diÖn tÝch tø gi¸c BMNC lµ:





1
R.R'  R 2  R' 2 .
2

Bài 5( 2điểm
Biến đổi để được:
5(2
đ)

 xy

yz
zx 
A = x + y + z 


 (1)
x

y
y

z
x

z


+ Chứng minh được: x + y + z  xy  yz  zx > 0 (2)
1
+ Thay (2) (3) vào (1) được A 
2

0,5

0,5
0,25


Do đó: Min A =
+ Vậy Amin =

 x  y  z
1

2
 xy  yz  zx  1

1
1
xyz
2
3

Chú ý: Học sinh làm cách khác vẫn cho điểm tối đa

0,5

0,25