Effect of heat conduction of penny (nhiệt lạnh)

Effect of heat conduction of penny-shaped crack interior on thermal stress intensity
factors
Anh hưởng của dẫn nhiêt qua các vết nứt lỗ khí lên hệ số cường độ ứng suất nhi ệt

Abstract ( Tóm tắt )
This paper annalyzes the thermal stress induced by a penny-shaped crack in an elestic
solid with uniform steady heat flux. Air inside an opening crack is taken as a thermally
conducting medium and the crack is partially insulated. The Hankel transform technique
is applied to convert the problem to a system of dual integral equations. Heat flux is the
opening crack or temperature gradient across the crack depends on the crack opening
displacement. Explicit expression for the whole temperature change field and heat flux at
any position in the cracked medium are given in terms of elementary functions. Thermal
stresses and displacements are presented for a solid with a partially insulated crack
under remote tensile loading and uniform heat flux. Stress intensity factors ( SIFs) are
determind. The mode-I SIFs depend only on external tensile loading, and are free of the
material properties. The mode-II SIFs are related to both mechanical of thermal loading ,
in addition to the material properties. Numerical result for a cracked thermoelastic
material are presented to show in the influence of the thermal conductivity of air of the
crack interior on the mode-II SIFs, and indicate that heat conduction of crack affects
thermal SIFs. Insulated and isothermal crack are two limiting cases of a partially
insulated crack


Mục này phân tích ảnh hưởng của các lỗ khí trong vật liệu ảnh hưởng đến ừng suất lên vật
rắn đàn hồi khi chịu tác dụng liên tục và đồng đều của dòng nhiệt. Khí bên trong đ ược xem
như là môi trường dẫn nhiệt và phía ngoài lỗ khí được xem như là lớp vỏ cách nhi ệt.
Phương pháp biến đổi Hankel được áp dụng để biến đổi hệ các hàm nhị nguyên. Dòng
nhiệt ở những vết nứt hay vùng chênh lệch nhiệt độ đi qua các vết nứt phụ thuộc vào bề
rộng của vết nứt. Biểu thức tường minh dùng các hàm cơ bản để tính lượng nhi ệt và dòng
nhiệt ở vị trí bất kì được cho trước. Các ứng suất nhiệt và chuyển vị được trình bày vết
nứt vật liệu chịu tải kéo và dòng nhiệt đồng nhất . Hệ số cường độ ứng suất nhiệt (SIFs)

được xác định. Dạng I (vết nứt dạng mở rộng) - Hệ số cường độ ứng suất nhiệt (SIFs) chỉ
phụ thuộc vào tải kéo và được giải phóng các đặc tính vật liệu. Dạng II (dạng trượt )- Hệ
số cường độ ứng suất nhiệt (SIFs) liên quan tới ca tác động cơ học và tải nhi ệt , thêm vào
giải phóng các đặc tính của vật liệu. Thông số kết quả cho vật liệu đàn hồi kháng nứt được
trình bày để cho thấy ảnh hưởng của độ dẫn nhiệt trong không khí tới các vết n ứt bên
trong của dạng II, và xác định được ảnh hưởng của SIFs tới việc dẫn nhiệt qua vết n ứt. Vết
nứt giữ nhiệt và đẳng nhiệt là 2 trường hợp đặc biệt của một vết nứt cách nhiệt.
Keywords:
Penny-shaped crack – vết nứt dạng lỗ khí
Heat flux – thông lượng nhiệt
Thermal stress intensity factor – thông số cường độ ứng suất nhiệt
Hankel transform – Phép biến đổi Hankel
Partially insulated crack- Vết nứt được bọc ngoài
Heat conduction of crack- dẫn nhiệt qua vết nứt

1/ Introduction
Thermally induced machanical failure is one of the most typical failure and frequently
encountred in electronic and photonic systems widely used in electronic devices. To
promote structural riliability and lengthen service priod of electronic devices, thermal
stress analysis is major concern in design and fabrication of electronic production.
Accordingly, the ability to understand the mechanical behavior of electronic structures
induced by thermal effect in of quite importance. In particular, the presence of inclusion
and defect in structures gives rise to thermal stress concentration and degrade the
performance of structure [1,2]


Nhiệt cơ học là một trong những yếu tố phổ biến ảnh hưởng gây hư hại đến các bộ phận
quang – điện tử trong các thiết bị điện tử. Để cái tiến sản phẩm và kéo dài tuổi thọ c ủa các
thiết bị điện tử, việc phân tích ứng suất nhiệt nhiệt là mối quan tâm lớn nhất trong thi ết
kế và chế tạo linh kiện điện tử. Bên cạnh đó, khả năng để xác định những tác động cơ h ọc

lên các vi mạch gây ra bởi ứng suất nhiệt nhiệt bên trong có vai trò quan tr ọng. Đặc bi ệt, s ự
hiện diện của các bọt khí và khiếm khuyết trong cấu trúc dẫn đến sự hội tụ ứng suất
nhiệt nhiệt và làm giảm chất lượng của cấu trúc vật liệu.

Thermal stress analysis of an elastic medium with crack hs recived considerable
attention. Along this line, a great number of investigations have been done. For example,
Sih [3] applied a complex variable method to determine the singular behavior thermal
stress near a crack tip in a two-dimensional elastic medium. For a three-dimensional
elastic solid, Olesiak and Sneddon [4] gave an analysis of a penny-shaped crack
embedded in an isotropic homogeneous solid where heat flux or temperature change at
the crack surface is given. This problem is symetric with respect to the crack plane. On
contrary , Florence and Goodier [5} analyzed an antisymetric problem are determined
thermal stresses disturbed by a penny – shaped crack when a simple uniform steady heat
flux is given. Furthermore, thermal stresses in a semi-infinite elastic solid containing a
penny-shaped crack has been studied by Srivasatava and Palaiya [6]. For a transversly
isotropic thermoelastic medium containing a penny-shaped crack, such symmetric and
antisymmetric problems have been analyzed. Thermal stresses disturbed by a crack under
heat flow has been determined [7]. When the temperature change at the crack surface is
penny-shaped crack is given , a fundamental solution has been obtained [8]. For an
interface crack problem Lee and Shul [9] determined thermal stress intensity factor for an
interface crack under vertical uniform heat flow for a two-dimensional thermoelasticity
problem. Similar three-dimensional thermoelastic problems for a penny-shaped crack
lying at the interface of a bi-material with imperfect and perfect contact near the crack
front have been dealt with a closed-form solutions have been derived, respectively
[10,11]. For a bimaterial periodically-layered space, a thermoelastic problem related to an
interface crack under heat flow has been solve [12]. Due to a distinct interface of two
bonded bi-material have been studied [ 13 -15]. Considering the drawback of the classical
Fourier law, Sherief and El-Maghraby [16] used a generalized thermoelasticity coupling
theory to analyze the response of thermal stresses for a penny-shaped crack. Wang and
Han [17] used non-Fourier heat conduction to study a crack problem in a finite solid. Hu

and Chen [18] applied dual-phase-lag theory to investigate transient heat conduction in a
cracked half plane


Phân tích ứng suất nhiệt nhiệt của môi trường đàn hồi với vết nứt đã nhận được nhi ều s ự
chú ý. Trong suốt 1 thời gian dài, một số lượng lớn các nghiên cứu đã đ ược ti ến hành. Ví d ụ,
Sih [3] đã tiến hành phân tích để xác định các điểm ứng suất nhi ệt nhi ệt kỳ d ị g ần các mũi
vết nứt trong môi trường đàn hồi hai chiều. Đối với vật rắn đàn hồi 3 chi ều, Olesiak và
Sneddon [4] đã phân tích các vết nứt lỗ khí xét cho trường hợp đặt trong vùng rắn có dòng
nhiệt đẳng hướng đồng nhất hoặc nhiệt độ bề mặt được cho trước. Vấn đề này ngược lại
so với vết nứt ở bề mặt phẳng. Ngược lại, Florence và Goodier [5] đã phân tích bài toán
ngược được xác định bởi ứng suất nhiệt nhiệt bị dao động bởi vết nứt lỗ khí khi đã đ ưa vào
dòng nhiệt ổn định phân bố đều khắp vật liệu. Hơn nữa, ứng suất nhiệt nhiệt trong vật
rắn đàn hồi bán vô hạn có chứa vết nứt lỗ khí đã được nghiên cứu trước đât bởi Srivastava
và Palaiya [6]. Đối với dòng nhiệt đẳng hướng trong môi trường đàn hồi theo ph ương ngang
chứa vết nứt lỗ khí, các yếu tố đối xứng và phản đối xứng đã được phân tích ở trên. Ứng
suất nhiệt nhiệt bị dao dao động bởi vết nứt dưới dòng nhiệt lúc này được xác định [7]. Khi
nhiệt độ bề mặt của vết nứt lỗ khí được cho trước, lúc này một phương pháp được đ ưa ra
[8]. Đối với vấn đề về các bề mặt nứt , Lee và Shul [9] đã xác dịnh được SIFs cho b ề mặt n ứt
dưới dạng các dòng nhiệt dọc phân bố đều đề giải quyết bài toán 2 chiều nhiệt phân bố
đều trong môi trường đàn hồi. Tương tự đối với nhiệt đàn hồi 3 chiều cho vết n ứt lỗ khí,
nằm tại tại bề mặt với dạng tiếp xúc hoàn toàn và tiếp xúc không hoàn toàn tiếp xúc gần
với phía trên được đưa về dạng giải tích tương đương [10,11]. Đối với vùng lưỡng kim bất
kì, vấn đề nhiệt đàn hồi liên quan đến bề mặt nứt dưới tác dụng của dòng nhiệt đã đ ược
giải quyết [12] Đã có nghiên cứu về sự ghép nối giữa 2 vật liệu khác biệt [13-15] Xem xét
những hạn chế của định luật Fourier cổ điển, Sheriep và El-Maghraby [16] đã sử d ụng lí
thuyết về khớp nhiệt đàn hồi tổng quát để phân tích phản ứng của ứng suất nhiệt nhi ệt
với vết nứt lỗ khí. Wang và Han [17] đã sử dụng hàm dẫn nhiệt không Fourier đ ể nghiên
cứu rạn nứt trong chất rắn hữu hạn. Hu và Chen [18] đã áp dụng lí thuyết trễ pha kép để
nghiên cứu dẫn nhiệt thông qua 1 nửa bề mặt nứt

For smart materials and structures with crack, the analysis of thermal stresses have been
made. Shang at el [19] handled a symmetric thermopiezoelectric problem related to a
penny shaped crack. Similarly , for uniform heat flux , thermal stress analysis
corresponding to an antisymmetric problem has been coped with and the exact solution
has been derived for a penny shaped crack by Wang and Noda [20]. Further investigation
for a magneto-electro-thermo-elastic material with a penny shaped crack under uniform
heat flow can be found in [21-23]. Ueda [24] treated a dynamic thermoelectroelastic
response a functionallygraded piezoelectric strip with a penny-shaped crack.


Đối với vật liệu thông minh và các cấu trúc với các vết nứt, các phân tích về ứng suất nhiệt
đã được thực hiện . Shang tại mục [ 19 ] đã xử lý vấn đề về điện áp nhiệt liên quan đến vứt
nứt dạng lỗ khí . Tương tự như vậy , đối với dòng nhiệt thống nhất , phân tích ứng suất
nhiệt tương ứng với vấn đề phản đối xứng đã được lưu lại với các giải pháp và chính xác
được áp dụng cho vết nứt dạng lỗ bởi Wang và Noda [ 20 ] . Tiếp tục phân tích đ ối với một
loại vật liệu điện –từ ,nhiệt đàn hồi với vết nứt dạng lỗ khí dưới tác dụng của dòng nhi ệt
có thể được tìm thấy trong [ 21-23 ] . Ueda [ 24 ] điều trị một phản ứng nhiệt điện động
phân loại theo dải áp điện với vết nứt dạng lỗ khí

In the above-mentioned researches, the thermal boundary conditions at the crack surfaces
are assumed either insulated or isothermal. As we know, due to the presence of crack, the
temperature continuity cannot be met when crack is open. Meanwhile, air inside crack
can transfer heat, but with thermal conductivity differing from that of the cracked
medium. Accordingly, the above two cases are extremely ideal assumptions. Barber [25]
considered amore realistic heat conductivity for a crack and solved a penny-shaped crack
problem. The effect of the crack surface on thermal conductivity and thermal stress
intensity factors were further analyzed by Hasselman [26] and Kuo [27]. Since air inside
crack has lower heat conductivity than the cracked material, Lee and Park[28] analyzed a
paritally insulated interface crack under thermo-machanical loading. Zhong and Lee [30]

proposed a new thermal boundary condition at the crack surface, and solved a
thermoelastic problem of a crack in a two-dimensional elastic medium.
Trong nghiên cứu nói trên, các điều ki ện biên nhiệt ở các bề mặt vết nứt được giả thiết
một trong hai trường hợp cách nhiệt hoặc đẳng nhiệt. Như chúng ta đã biết, do sự hiện
diện của các vết nứt, tính liên tục miền nhiệt độ có thể không được đáp ứng khi vết nứt bị
hở. Bên cạnh đó, không khí bên trong vết nứt có thể trao đổi nhiệt, nhưng với độ dẫn nhiệt
khác nhau .Theo đó, hai trường hợp nêu trên là giả định điều kiện lý tưởng. Barber [25]
được coi là trường hợp dẫn nhiệt thực tế đối với một vết nứt và giải quyết vấn đề vết nứt
lỗ khí. Ảnh hưởng của các bề mặt vết nứt dẫn nhiệt và các yếu tố cường độ ứng suất nhiệt
được phân tích sâu hơn bằng phương pháp Hasselman [26] và Kuo [27]. Từ thời điểm
không khí bên trong vết nứt có độ dẫn nhiệt thấp hơn so với các vật liệu bị n ứt, Lee và
Park [28] đã phân tích một giao diện nứt đặc trưng cách nhiệt dưới nhiệt cơ học sinh ra.
Zhong và Lee [30] đề xuất một điều kiện biên nhiệt điện mới ở bề mặt vết nứt, và gi ải
quyết một vấn đề nhiệt đàn hồi của một vết nứt trong môi trường đàn hồi hai chiều.

This paper further develops the partial insulation crack model and analyzes the effect of
heat conduction of a penny-shaped crack on stress intensity factors in a three-dimensional
thermoelastic material. By means of the Hankel transform technique, the problem is
reduced to a system of coupled dual integral equations. Singular thermal stresses are
derived and stress intensity factors are determined. The effects of the thermal


conductivity of the air inside an opening crack on thermal stress intensity factors are
presented graphically for a cracked solid
Mục này tiếp tục phát triển mô hình vết nứt cách nhiệt từng phần và phân tích tác động
của sự dẫn nhiệt của một vết nứt lỗ khí vào các yếu tố cường độ ứng suất trong một vật
liệu đàn hồi nhiệt ba chiều . Bằng phương pháp phân tích Hankel, bài toán được đưa về
một phương trình tích phân kép. Ứng suất nhiệt được dẫn xuất và các yếu tố cường độ ứng
suất được xác định. Những ảnh hưởng của độ dẫn nhiệt của không khí bên trong vết nứt
mở đối với cường độ ứng suất nhiệt được trình bày bằng đồ thị cho một nứt rắn

2. Statement of the problem
Consider a penny-shaped crack embeded in an infinite homogenerous isotropic
thermoelastic solid which is subjected to simple uniform tensile loading and heat flux.
The crack is located at the circular region in the xoy-plane , i.e.r <= a.z=0, where (r,phi,z)
is a system of cylindrical polar coordiantes whosr origin is at the crack center, as shown
in Fig.1. Here we assume that the elastic body under consideration is thermally
conductive. With regard to the temperature change θ (r.z) in the solid relativeto the
temperature for the solid in a state of zero tress and strain, it is required to satisfy
Hãy cân nhắc về môt vết nứt lỗ khí trong một môi trường đồng nhất đẳng hướng vô hạn
nhiệt đàn hồi vật rắn mà phải chịu tải kéo thống nhất và thông lượng nhiệt. Các vết nứt
nằm ở khu vực vòng tròn trong mặt phẳng XOY , i,e,r ≤ az = 0 , trong đó ( r , φ, z ) là một hệ
thống các tọa độ cực hình trụ có nguồn gốc là ở trung tâm vùng nứt, thể hiện trong hình 1.
Ta giả định rằng khối đàn hồi được coi là dẫn nhiệt . Đối với θ thay đổi nhiệt độ θ ( r,z )
trong vật rắn tương đối nhiệt độ cho rắn trong trạng thái không có cường độ và biến
dạng , nó là cần thiết để đáp ứng hệ thức

Laplace’s equation . ( Biểu thức Laplace )

∂ 2θ 1 ∂θ ∂ 2θ
+
+
=0
∂r 2 r ∂r ∂z 2

(1)

In the steady state , where no thermal sources are assumed in the solid. Here an
axisymmetric problem is considered for simplicity.
Ở trạng thái ổn định , nơi không có nguồn nhiệt được giả định ở thể rắn . Dưới đây là một

bài toán đối xứng trục được đưa về dạng đơn giản.


In order to analyze thermal stresses in the cracked solid, in the absence of body forces,
the equilibrium equations of stresses are
Để phân tích ứng suất nhiệt trong nứt rắn , trong trường hợp thiếu các lực cơ học, các
phương trình cân bằng ứng suất là

Fig.1 Schematic of a penny-shaped crack embeded in a solid subjected to mechanical
tension and heat flux
Hình 1 Hình minh họa của một vết nứt vết nứt lỗ khí trong vật rắn chịu áp lực và truy ền
nhiệt

∂σ rr ∂σ rz σ rr − σ 00
+
+
=0
∂r
∂z
r

∂σ rz ∂σ zz σ rz
+
+
=0
∂r
∂z
r

(2)

(3)

Where the stresses are related with the strains and teperature change by the following the
constitutive relationships within the framework of the theory of linear thermoelasitcity
Trường hợp ứng suất có liên quan với các biến dạng và thay đổi nhiệt độ của các công thức
liên hệ sau đây trong khuôn khổ của lý thuyết nhiệt đàn hồi tuyến tính

σ rr = λ e + 2µ

∂u Eαθ
−
∂r 1 − 2v '

(4)


σ θθ = λe + 2 µ

σ zz = λ e + 2 µ

u Eαθ
−
r 1 − 2v '
∂w Eαθ
−
∂z 1 − 2v '

 ∂w ∂u 
σ rz = µ 

+ ÷
 ∂r ∂z 

(5)

(6)

(7)

With μ and λ being Lame’s constants. ( Với μ và λ là hằng số Lame )
λ=

vE
E
. µ=
.
(1 + v)(1 − 2v)
2(1 + v)

(8)

And e being volume strain.(và e là biến dạng thể tích )
e=

∂u u ∂w
+ +
.
∂r r ∂z

(9)

Where E is Young’s modulus. V Poisson’s ratio, � the coefficient of linear expansion, u
and w are displacement components along the radial and axial directions, respectively
equations, appropriate boundary conditions must be funished. For elastic fields we have
Trong đó E là moduls Young. Tỷ lệ V Poisson, α là hệ số giãn nở tuyến tính, u và w là
các thành phần chuyển dọc theo hướng tâm và hướng trục, lần lượt các phương
trình, các điều kiện biên thích hợp phải được sắp xếp cho thích hợp. Đối v ới các
trường đàn hồi, ta có
σ zz (e, 0 + ) = σ zz (e, 0) = 0. σ zz (e, 0− ) = 0, r < a.

(10)

σ zz (e, 0 + ) = σ zz (e, 0 − ). w( r , 0 + ) = w(r , 0 − ). u (r , 0+ ) = u ( r , 0− ).

σ zz (e, 0+ ) = σ zz (e, 0− ). r ≥ 0.

(12)

r>a (11)


σ zz (r , z ) → σ 0 . r 2 + z 2 → ∞

(13)

Where σ0 is a prescribed constant. Notice that (10) implies that the crack surfaces are
traction-free. Other boundary conditions indicate the continuity of elastic fields gor
crack-free part at z=0
Trong đó σ0 là một hằng số quy định. Chú ý rằng (10) ngụ ý rằng các bề mặt vết
nứt là lực chống kéo. Điều kiện biên khác chỉ ra sự liên tục của các tr ường đàn h ồi

cho vùng chống nứt tại z = 0
As for the temperaure change field , a general boundary condition usually reads
Đối với các vùng thay đổi nhiệt độ, điều kiện biên nói chung có công thức
h(θ − θ 0 ) + k

∂θ
=0
∂n

(14)

Where h is the heat transfer coefficient from the solid into external ambient at
temperature θo, k is the heat conductivity, and n is the outward unit vector normal to the
boundary of the solid. For an infinite cracked elastic solid, if heat flux far away from the
crack is a constant , we can assume
Trong đó h là hệ số truyền nhiệt từ môi trường xung quanh ở nhiệt độ θo, k là độ
dẫn nhiệt, và n là vector đơn vị hướng ra ngoài tiến đến lớp biên của vật rắn. Đ ối
với vật rắn đàn hồi chịu nứt vô cùng, nếu dòng nhiệt truyền ra từ vết nứt là một
hằng số, ta có thể giả thiết
qz ( r , z ) = q0 .

r 2 + z2 → ∞

(15)

Where qz and qo denote the heat flux and prescribed heat flux value, respectively
Trong đó qZ và qo biểu thị cho dòng nhiệt và quy định giá trị dòng nhiệt, tương ứng
với
qz ( r , z ) = − k

∂θ
∂z

(16)


For an opening crack full of air , if the crack is understood as an insulated medium, we
have
Đối với vết nứt hở chứ không khí, nếu các vết nứt được xem như là một vùng cách
nhiệt, ta có
q z (r , 0 + ) = q z (r , 0 − ) = 0

- r
In pervious studies, an insulated crack is frequently assumed by many researchers such as
[5,22,31], in particular for antisymmetric problem with prescribed uniform heat flux. In
the present study, taking into accout the fact that air inside crack has heat conductivity,
although it is small enough as comparedto those of most solids, it is therefore more
resonable to assume that
Trong các nghiên cứu trước đây, vết nứt cách nhiệt thường giả định bởi nhiều nhà
nghiên cứu như ở phần [5,22,31], đặc biệt đối với bài toán phản đối xứng với yêu
cuầ thông lượng nhiệt đồng nhất. Trong nghiên cứu hiện tại, có xét đến đi ều kiện
thực tế là không khí bên trong vết nứt có độ dẫn nhiệt, mặc dù nó là khá nhỏ so v ới
với hầu hết các chất rắn, do đó sẽ phù hợp hơn nếu ta giả định
q z (r , 0 + ) = q z (r , 0 − ) = 0

r
Instead of the zeroheat flux boundary condition, where qc is governed by the following
nonlinear relation of the temperature jump across the crack surfaces [30]

Thay thế cho nhiệt thông độ không điều kiện biên, trong đó qc bị chi phối bởi các
mối quan hệ phi tuyến của biến thiên nhiệt độ trên bề mặt vết nứt [30]
θ ( r , 0 + ) − θ ( r , 0− )
qc = −kc

w(r , 0+ ) − w( r , 0− )

(19)

kc being the heat conductivity of air inside the crack.
kc là độ dẫn nhiệt của không khí bên trong vết nứt.

3. Solution of the problem (Giải pháp )


In the section, we solve thermal stresses disturbed by a penny-shaped crack under
uniform heat flux. Prior to presentation of the solution of the problem, let us first simplify
the above equations. Form the equilibrium equations (2) and (3) we have
Trong phần này, ta giải quyết vấn đề ứng suất nhiệt bị ảnh hưởng bởi vết nứt lỗ
khí dưới dòng nhiệt đồng đều. Trước khi trình bày giải pháp của vấn đề, trước tiên
ta đơn giản hóa các phương trình trên. Hình thành các phương trình cân bằng (2) và
(3) ta có

∇ 2u −

∇2 w +

u
1 ∂e 2(1 + v)α ∂θ
+

−
=0
2
r 1 − 2v ∂r
1 − 2v ∂r
1 ∂e 2(1 + v)α ∂θ
−
=0
1 − 2v ∂z
1 − 2v ∂r

(20)

(21)

Where (trong đó )
∇2 =

∂2 1 ∂ ∂2
+
+
∂r 2 r ∂r ∂z 2

(22)

A usual treatment for such thermoelastic problems is finished via two steps. Ther first
step is to determine the temperature change field, regardless of elastic fields, and after
getting temperature change, the second step is to solve the stress response due to
temperature change. Such a treatment is inconvenient in achieving concrete solution since
in the second step determination of a desired solution is related to a system of

nonhomogeneous partial differential equation subject to proper boundary conditions.
Giải thông thường đối với bài toán nhiệt đàn hồi như vậy là hoàn tất thông qua hai
bước. Trước tiên là xác định các vùng thay đổi nhiệt độ, bất kể trường đàn hồi, và
sau khi nhận được sự thay đổi nhiệt độ, bước thứ hai là tính các ứng suất do thay
đổi nhiệt độ. Cách tính như trên gây bất tiện trong việc ứng dụng vào thực tế kể từ
bước xác định thứ hai bằng cách tính các ứng suất nhưng lại liên quan đến hệ
không đồng chất cục bộ để đạo hàm từng phần với điều kiện biên biên.
In this paper, we present an approach for simutaneously determining temperature change
field and thermal stresses according to given boundary conditions. To this end, similar to
the well-known Love displacement potential function, let us introduce two new unknown


χ

potential functions and
equation, respectively,

ζ

such that they satisfy biharmonic equation and harmonic

Trong mục này, chúng tôi giới thiệu một cách tiếp cận để đồng thời xác định vùng
thay đổi nhiệt độ và ứng suất nhiệt theo điều kiện biên nhất định. Để kết thúc ,
tương tự như hiểu biết về phép thế vị của Love (hàm toán học – Love’s
χ

ζ

displacement function), hãy để chúng tôi giới thiệu hai hàm giá tr ị mới và và
như vậy là chúng thỏa mãn phương trình song hòa và phương trình đơn hòa, tương

ứng,
∇ 2∇ 2ζ = 0
(23)
∇2 χ = 0

(24)

Then if choosing elastic displacement components and temperature change expressed in
terms of

χ

and

ζ

as follows

Sau đó, nếu lựa chọn các thành phần chuy ển vị đàn hồi và thay đổi nhiệt độ được
biểu diễn theo
∂ 2ζ
u=−

∂r ∂z

χ

and

ζ

(25)

w = 2(1 − v)∇ 2ζ + 2(1 + v)α

θ=

∂2 χ
∂z 2

như sau

∂χ
∂z

(26)

(27)

we find that Eqs. (20) and (21) are automatically fulfilled. Consequently, the
problem reduces to looking for two potential functions f and v through appropriate
boundary conditions. Once they are determined, all physical quantities of interest
to us are obtainable. In fact, the displacement components and temperature change
are given by (25)-(27). In addition, elastic stresses and heat flux can be expressed
in terms of f and v. They are


ta thấy rằng phương trình. (20) và (21) lập tức xác định được các giá trị u , w, θ . Do đó,
bài toán thu gọn về việc chỉ cần xác định hai hàm f và v thông qua các điều kiện biên phù
hợp. Khi chúng được xác định, tất cả các đại lượng vật lý mà ta quan tâm đều được xác

định. Mà các hhành phần chuyển vị và biến thiện nhiệt độ được xác định bởi (25) - (27).
Hơn nữa, các ứng suất đàn hồi và thông lượng nhiệt có thể được biểu diễn dưới dạng f và
v. Đó là
∂  2 ∂ 2ζ 
∂2 χ
σ rr = 2µ  v∇ − 2 ÷− 2µ (1 + v)α 2
∂z 
∂r 
∂z

σ θθ = 2µ

σ zz = 2µ

σ rz = 2µ

∂  2 1 ∂ζ
 v∇ −
∂z 
r ∂r

∂2 χ

−
2
µ
(1
+
v
)

α
÷
∂z 2


(29)

∂ 
∂ 2ζ
2
(2
−
v
)
∇
ζ
−

∂z 
∂z 2


∂2 χ
+
2
µ
(1
+
v
)

α
÷
∂z 2


∂ 
∂ 2ζ
2
(1
−
v
)
∇
ζ
−

∂z 
∂z 2


∂2 χ
+
2
µ
(1
+
v
)
α
÷

∂r ∂z


∂3 χ
qz = − k 3
∂z

qr = − k

(28)

(30)

(31)

(32)

∂3 χ
∂r ∂z 2

(33)

A straightforward check implies that the governing equations are all identically
fulfilled. Additionally, if setting v = 0, the well-known Love potential method is
recovered for axisymmetric elastic problems, whereas if setting f = 0, the above
results reduce to the general solution of a pure temperature change field. As for a
thermal stress problem related to the coupling of temperature and mechanical
behavior, the above approach provides a method for simultaneously seeking
temperature and elastic fields. It is pointed out that in the above derivation, the
order of the governing equations is not increased. It infers that proper boundary

conditions are enough to solve the problem in question.
In order to obtain a desired solution, it is expedient to employ the Hankel
transform technique. Performing the Hankel transform of the zeroth order to both
sides of Eqs. (23) and (24) leads to two ordinary differential equations. After
solving these equations and performing the Hankel transform one gets


Một phép kiểm tra đơn giản ngụ ý rằng các phương trình phổ biến tất cả đều
giống nhau. Ngoài ra, nếu đặt v = 0, Hệ thức Love được khôi phục đ ể gi ải quy ết bài
toán đối xứng trục đàn hồi, trong khi đó nếu thiết lập f = 0, kết quả trên sẽ được
đưa về dạng phương trình chung của vùng biến thiên nhiệt độ thuần túy . Đối v ới
bài toán ứng suất nhiệt liên quan đến các nhiệt liên kết và xử lí cơ h ọc, cách ti ếp
cận trên đưa ra giải pháp để xác định đồng thời nhiệt độ và các vùng đàn hồi. Nó
chỉ ra rằng trong các phương trình ở trên, thứ tự của các phương trình chính là
không tăng. Suy ra rằng chỉ cần có điều kiện biên phù hợp là đủ để gi ải quyết bài
toán trên.
Để có được giải pháp mong muốn, nó là phù hợp để áp dụng các kĩ thuật chuy ển
đổi Hankel. Tiến hành biến đổi Hankel của thứ tự 0 cho cả hai bên của phương
trình. (23) và (24) đưa về hai phương trình vi phân thông thường. Sau khi giải
quyết các phương trình và thực hiện phép biến đổi Hankel được
ζ (r , z ) = ∫

∞

0

1
( A1 + 2vA2 + zξ A2 )e −ξ z J 0 ( ξ r ) d ξ ,
2
ξ

(34)

χ (r , z ) = ∫

∞

0

1 −ξ z
Be J 0 ( ξ r ) d ξ ,
ξ2
(35)

for z≥ 0, where J n(*) is the nth order Bessel function of the first kind, A 1, A 2 and B
are unknown functions in to be determined through appropriate boundary conditions
Next we substitute (34) and (35) into (26) and (27), after some algebra yielding
cho z≥ 0, trong đó Jn (*) là bậc thứ n của các loại đầu tiên của hàm Bessel, A1, A2 và
B là các hàm chưa đuôc xác định thông qua các đi ều ki ện biên .
Tiếp theo chúng ta thay thế (34) và (35) vào (26) và (27),

∫

u= −

w=−

∞

0

∫

∞

0

[ A1 − (1 − 2v) A2 + zξ A2 ]e −ξ z J1 ( ξ r ) d ξ ,
(36)

[ A1 − (1 − 2v) A2 + zξ A2 ]e −ξ z J 0 ( ξ r ) dξ − 2(1 + v )α ∫

∞

0

1 −ξ z
Be J 0 (ξ r )dξ ,
ξ
(37)

∞

θ = ∫ Be −ξ z J 0 (ξ r )dξ ,
0

(38)

Similarly, from (30)-(33) we obtain integral expressions for all of the stress
components and heat flux. In particular, we have

Tương tự như vậy, từ (30) - (33) ta thu được biểu thức không thể thiếu cho tất cả
các thành phần ứng suất và dòng nhiệt. Đặc biệt, ta có
∞

∞

0

0

σ zz = 2 µ ∫ ξ ( A1 + A2 + zξ A2 )e − zξ Jo ( ξ r ) d ξ + 2 µ (1 + v)α ∫ Be
∞

∞

0

0

σ rz = 2 µ ∫ ξ ( A1 + zξ A2 )e − zξ J1 ( ξ r ) d ξ + 2µ (1 + v)α ∫ Be

−ξ z

−ξ z

Jo(ξ r ) d ξ ,
(39)

J1 (ξ r )d ξ ,

(40)

∞

qz = ∫ kBe −ξ z J 0 (ξ r )d ξ ,
0

(41)

∞

qr = ∫ kBe −ξ z J1 (ξ r ) d ξ ,
0

(42)

To obtain thermal stresses in z < 0, an analogous procedure if taking functions
Để có được ứng suất nhiệt trong z <0, phương pháp tương tự nếu dùng nhiêu hàm
ξ (r , z ) = ∫

∞

0

1
C + 2vC2 − zξ C2 ) eξ z J 0 (ξ r )d ξ ,
2 ( 1
ξ
(43)

χ (r , z ) = ∫

∞

0

1 ξz
De J 0 (ξ r )d ξ ,
ξ2
(44)

allows us to get the displacement components and temperature change below
cho phép chúng ta có được những thành phần chuyển vị và biến thiên nhi ệt độ
dưới đây
∞

u = ∫ [C1 − (1 − 2v)C2 − zξ C2 ]eξ z J1 ( ξ r ) d ξ
0

(45)

∞

∞

0

0

w = − ∫ [C1 +2 (1 − v)C2 − zξ C2 ]eξ z J 0 ( ξ r ) dξ + 2(1 + v )α ∫

1 ξz
De J 0 ( ξ r ) d ξ ,
ξ
(46)

∞

θ = ∫ eξ z J 0 ( ξ r ) d ξ ,
0

(47)

Meanwhile, the above expressions are inserted into constitutive relationships to


derive the stress components and heat flux. For instance, one has
Trong khi đó, các biểu thức trên được đưa vào tạo các mối quan hệ đ ể đạo hàm
hàm các thành phần ứng suất và dòng nhiệt. Ví dụ, ta có
σ zz = −2 µ

σ rz = 2 µ

∫

∞

∞

ξ (C1 − zξ C2 )eξ z J1 ( ξ r ) d ξ − 2µ ( 1 + v ) α ∫ Deξ z J1 ( ξ r ) dξ ,

0

∫

0

∞

ξ (C1 + C2 − zξ C2 )eξ z Jo ( ξ r ) d ξ + 2µ ( 1 + v ) α ∫ Deξ z J1 ( ξ r ) d ξ ,
0

(48)

∞

0

U 2 =A1 +A 2 ( 1 + v ) α

(49)

B
,
ξ
(50)

∞

qr = k ∫ ξ De −ξ z J1 (ξ r )dξ ,

0

+

(51)

−

qz (r.0 ) = qz (r.0
Application
of ).the boundary conditions
for any r ≥0 leads to

Áp dụng các điều kiện biên
cho bất kỳ r ≥0 dẫn đến
C2 + A2 = -2 A1 −

σ zz (r.0+ ) = σ zz (r.0− ). σ rz (r.0+ ) = σ rz (r.0− ).

σ zz (r.0+ ) = σ zz (r.0− ). σ rz (r.0 + ) = σ rz (r.0 − ). qz (r.0+ ) = qz (r.0 − ).

2(1 + v)α B
ξ
(52)

C1 = A1 ,
(53)

D = − B,
(54)

Subtracting the displacement components and tempeature at Z0- from their counterparts
at Z0+ yeilds
Trừ các thành phần chuyển và nhiệt độ tại at Z0- đối xứng tại Z0+

lim z →0 a 2 − l12 = 0
(55)


∆w = w(r , 0 + ) − w ( r , 0− ) = − 4 ( 1 − v )

∫

∞

0

U 2 J 0 ( ξ r ) dξ ,
(56)

∆θ = θ (r , 0+ ) − θ ( r , 0− ) =2∫ BJ 0 ( ξ r ) d ξ ,
∞

0

(57)

Where (trong đó)

U1 =A1 +

(1

− 2v ) ( 1 + v ) α B
,
2(1 − v)
ξ
(58)

B
,
ξ

U 2 =A1 +A 2 ( 1 + v ) α

(59)

Making use of the continuity condition of the displacement components and
temperature change for crack-free part at z = 0, viz. ∆u = ∆ W = ∆h = 0 for r > a,
we have
Áp dụng các điều kiện liên tục của chuyển vị và biến thiên nhi ệt đ ộ cho ph ần
chống nứt tại z = 0, tức là. Δu = ΔW = Δh = 0 với r> a, ta có

∫

∞

∫

∞

∫

∞

0

U 1 J 1 ( ξ r ) d ξ , r > a,
(60)

0

U 2 J 0 ( ξ r ) d ξ , r > a,
(61)

0

BJ 0 ( ξ r ) d ξ , r > a,
(62)

In addition, applying the remaining boundary conditions at the crack surface, we
get
Ngoài ra, áp dụng các điều kiện biên còn lại ở bề mặt vết nứt, ta được

∫

∞

0

∫

∞

0


(1 + v)α B 
ξ U1 +
J1 ( ξ r ) dξ = 0, r < a
2(1 − v) ξ 


ξU 2 J 0 ( ξ r ) dξ = −

σ0
,r < a
2µ
(64)

(63)


∫

∞

0

ξ BJ 0 ( ξ r ) dξ = qc − q0 , r < a ,

(65)

Thus Eqs. (60)-(65) form a system of coupled dual integral equations. Based on a
multiplying-factor approach [32], solving the above system of coupled dual
integral equations, we obtain the desired solution to be
Do đó phương trình. (60) - (65) hình thành hệ thống hàm kép. Dựa trên cách ti ếp
cận tích hệ số [32], giải quyết các hệ thống hàm đã cho của hàm tích phân kép, ta
có được cách giải mong muốn
B=

qc − q0
k

2 3/2
a J 3/2(ξ a )
πξ
(66)

U2 = −

σ 0 2 3/2
a J 3/2(ξ a )
2µ πξ
(67)

U1 = −

(qc − q0 )(1 + v)α
6k (1 − v)

2 5/2
a J 5/2(ξ a )
πξ
(68)

where in deriving the above solution, we have used some integrals of Bessel
functions, listed in Appendix A.
Recalling the known integral identities, listed in Appendix A, and considering
that q c is not determined yet, from (66)-(68) one first gets
Lấy đạo hàm phần đáp án , ta dùng một số thứ nguyên của hàm Bessel, được li ệt kê
trong Phụ lục A.
Nhắc lại những thứ nguyên đồng nhất, được liệt kê trong Phụ lục A, và xem xét qc
mà chưa được xác định, từ (66) - (68) , trước tiên được
∆W =

4(1 − v)σ 0
a2 − r 2 ,
πµ
(69)

∆θ =

4( qc − q0 ) 2 2
a −r ,
πk

(70)

Hence qc can be gained by using (19) to be
Do đó qc có thể xác định được bằng cách sử dụng (19) là

qc =

µ kc q0
µ kc + (1 − v )kσ 0
(71)

From the above-obtained result, we find that the heat flux inside an opening crack
q c is independent of the radial coordinate r, although the nonlinear relation at the
right-hand side of Eq. (19) is related to r. However, q c nonlinearly depends on
applied tensile stress r 0(r0 > 0). This is easily understood since if no external ten sile loading is exerted, a crack with vanishing thickness does not open, which
infers that heat flux does not change at all as if the crack is absent, viz. q c =q 0
follows from (71), as expected. In this case, uniform heat flux in the solid does not
make a crack open. In other words, crack opening is only caused by applied tensile
loading. This is different from a symmetric thermoelastic problem where uniform
heat flux or temperature is solely prescribed on the crack surface, which causes a
crack to open (e.g. [4] ). Moreover, the present problem cannot be solved by
superposition because of the nonlinearity characteristic of Eq. (71). Furthermore,
owing to (1 - v)kr 0 > 0, a practical heat flux inside an opening crack is always less
than applied uniform heat flux.
With the above obtained results, the entire thermal stress field of a cracked solid
can be determined. The displacement components and temperature can be derived
by substituting (66)-(68) into (36)-(38). Making use of some known results
involving infinite integrals of Bessel functions, which are listed in Appendix A,
explicit expressions for the elastic displacements and temperature change are
obtainable. For example, after superposing a temperature field corresponding to
uniform heat flux without crack, the temperature change in the whole cracked solid
is

Từ kết quả trên thu được, ta thấy rằng dòng nhiệt bên trong vết nứt mở qclà độc
lập trong tọa độ hướng tâm r, mặc dù mối quan hệ phi tuyến ở phía bên tay phải
của phương trình. (19) có liên quan đến r. Tuy nhiên, hệ không phi tuyến qc phụ
thuộc vào áp dụng ứng suất kéo r0 (r0> 0). Điều này là dễ hiểu vì nếu không có tải
chịu kéo được tác dụng từ bên ngoài , vết nứt với độ dày đồng nhất không mở, mà
có thể suy luận rằng dòng nhiệt không thay đổi ở tất cả các điểm nếu như các vết
nứt vắng mặt, giá trị qc = q0 theo (71), như mong đợi. Trong trường hợp này, thông
lượng nhiệt đồng nhất của vật rắn không làm cho vết nứt hở. Nói cách khác, h ở vết
nứt gây ra bởi tải kéo. Điều này khác với vấn đề đối xứng nhiệt đàn hồi nơi dòng
nhiệt đồng nhất hoặc nhiệt độ được chỉ định trên bề mặt vết nứt, gây ra m ột vết
nứt hở (ví dụ như [4]). Hơn nữa, bài toán lúc này không thể được giải quyết bằng
sự chồng chất vì đặc tính phi tuyến của Eq. (71). Ngoài ra, do (1 - v) kr 0> 0, một
dòng nhiệt thực tế bên trong một vết nứt hơ luôn nhỏ hơnso với khi áp dụng thông
lượng nhiệt đồng nhất.
Với những kết quả đạt được ở trên, toàn bộ vùng ứng suất nhiệt của một chất rắn
nứt có thể được xác định. Các chuyển vị và nhiệt độ có thể được xác địnhbằng cách
thay thế (66) - (68) vào (36) - (38). Khiến việc sử dụng một số kết quả nổi tiếng
liên quan đến tích phân vô hạn của Bessel, trong đó được liệt kê trong Phụ lục A,
biểu hiện rõ ràng cho các chuyển vị đàn hồi và thay đổi nhi ệt đ ộ có thể đạt được.
Ví dụ, sau khi vùng nhiệt chồng chất tương ứng với thông lượng nhiệt đồng nhất
mà không có vết nứt, sự thay đổi nhiệt độ trong toàn bộ vật rắn chịu nứt là

qr = −

al1 a 2 − l12
2(1 − v)kσ 0 q0
π [ µ kc + (1 − v) kσ 0 ] l2 (l22 − l12 )
(72)

where the sign ∓ takes and – for z ≥ 0, and + for z < 0, respectively, and
trong đó kí hiệu ∓ được ra, và – đối với z ≥ 0 và ngược lại
l1 =

l2 =

1
( r + a) 2 + z 2 − ( r − a) 2 + z 2 

2
1
(r + a ) 2 + z 2 + (r − a ) 2 + z 2 

2

(73)

(74)

Note that lim z→0√(a2-l12) as r > a and lim z→0√(a2-l12) = √(a2-r2) as r < a. It is readily
found that the temperature change is continuos except for the crack region, and has


a temperature difference across the crack. Moreover, this temperature difference is
related to crack opening displacement. Once applied tensile stress disappears, crack
is closed and a continuously varying temperature retrieves. In this case, with the aid
of the integrals of Bessel functions (Appendix A), the heat flux vector in the whole
solid can be evaluated as
Lưu ý rằng z lim → 0√ (a2-L12) là r> a và lim z → 0√ (a2-L12) = √ (a2-r2) là r Một điểm dễ nhận thấy sự biến thiên nhiệt độ là liên tục trừ các khu vực chịu n ứt,

và có một sự khác biệt nhiệt độ trên các vết nứt. Hơn nữa, chênh lệch nhi ệt đ ộ này
có liên quan đến chuyển vị vết nứt hở. Khi việc áp dụng ứng suất kéo bi ến mất, v ết
nứt được đóng lại và một nhiệt độ liên tục thay đổi. Trong trường hợp này, với sự
trợ giúp của các tích phân của hàm Bessel (Phụ lục A), các vector thông l ượng nhi ệt
trong cả khối rắn có thể được đánh giá là
a

l22 − a 2 
2(1 − v)kσ 0 q0
−1  l1 
sin  ÷− 2 2  ,
qz = q0 −
π [ µ kc + (1 − v)kσ 0 ] 
l2 − l1 
r



(75)

al1 a 2 − l12
2(1 − v)kσ 0 q0
qr = −
π [ µ kc + (1 − v) kσ 0 ] l2 (l22 − l12 )
(76)

At z = 0, after a little manipulation the relative sliding of the radial displacement
component is
Tại z = 0, độ trượt tương đối của các thành phần chuyển vị hướng tâm là
∆u =

2(qc − q 0)(1 + v )α
3k

∫

∞

0

2 5/ 2
a J 5/ 2 (ξ a ) J1 (ξ r )d ξ
ξπ

4(1 − v 2 )ασ 0 q0
=−
r a2 − r 2
3π [ µ kc + (1 − v )kσ 0 ]
(77)

Obviously, we find that although crack opening displacement, given by (69), and
crack relative sliding displacement (77) are both present, the mechanism of the
occurrence of them is different. Crack opening displacement is caused by applied
tensile stress, while crack relative sliding displacement ∆ U is produced by heat
flux and tensile mechanical loading. From (77), ∆ U is apparently dependent on
both σ0 and q 0 besides the material properties involved.
In assessing the safety and integrity of a structure, of much significance is
induced thermal stresses for the problem under consideration. Although full
thermal stress field can be derived explicitly, here we omit lengthy expressions and
only give the components of thermal stress σzz and σrz in z = 0. After some

calculations and making use of the known integrals, we obtain σzz and σrz to be


Rõ ràng, ta thấy rằng mặc dù vết nứt hở chuyển vị, cho bởi (69), và v ết nứt chuy ễn
vị trượt tương đối (77) đều được trình bày, cơ chế phân bố của chúng là khác nhau.
Vết nứt hở chuyển vị được gây ra bởi ứng suất kéo , trong khi vết nứt chuy ễn vị
trượt tương đối ΔU được tạo ra bởi dòng nhiệt và tải kéo. Từ (77), ΔU là dường
như phụ thuộc vào cả σ0 và q0 bên cạnh những tính chất vật liệu liên quan.
Khi đánh giá sự an toàn và nguyên vẹn của cấu trúc, mang ý nghĩa là gây ra ứng su ất
nhiệt cho bài toán mà ta đang xét. Mặc dù trường ứng suất nhiệt đầy đủ có th ể
được bắt nguồn một cách rõ ràng, ở đây chúng ta bỏ qua các bi ểu thức dài dòng và
chỉ tập trung cho các thành phần của σzz ứng suất nhiệt và σrz tại z = 0. Sau một số
tính toán và tính tích phân,ta có được σzz và σrz
 2σ 0 
a
 a  
− sin −1  ÷ 

 2
σ zz (r , 0) =  π  r − a 2
 r  


−σ 0 , r < a


, r > a (78)


µ (1 + v)α aσ 0q0

a2
−

σ rz (r , 0) =  3π [ µ kc + (1 − v )kσ 0 ] r r 2 − a 2
0, r < a








r >a (79)

4. Numerical results and discussion
4. Số liệu kết quả và thảo luận
In the foregoing section, expressions for the temperature change and the thermal
stress responses have been obtained. This section is devoted to numerical
calculation to show the influence of air as a conducting medium inside crack on
the thermal stresses, in particular for the thermal stresses near the front of the
penny-shaped crack.
Trong phần trên, biểu hiện cho sự biến thiên nhiệt độ và phản ứng của ứng suất
nhiệt đã được nghiệm thu. Phần này được dành cho việc tính toán thông s ố đ ể bi ểu
thị các ảnh hưởng của không khí như một môi trường dẫn nhiệt bên trong vết nứt
tới ứng suất nhiệt, đặc biệt là đối với các ứng suất nhiệt gần phíađầu của vết nứt
lỗ khí

4.1. Partial insulation coefficient

4.1. Hệ số cách nhiệt một phần
Prior to the presentation of thermal stress distribution induced by a pennyshaped crack, let us first evaluate heat flux inside the crack. In other words, the
crack is understood as a conducting medium, not a completely insulated medium
since air of the crack interior has nonvanishing thermal conductivity, although -1it is-1
low enough. On the other hand, the thermal conductivity of air k c = 0.024 Wm K
is much less than that of most materials. Table 1 lists the material properties of
several typical materials. Therefore, when heat flux passes a crack, the crack
behaves unlike an insulated medium or a material itself. It is an intermediate
between an insulation and the material itself. Consequently, based on the above
result, we can define q c /q 0 as the partial insulation coefficient g, which was taken
as a known parameter in [28]. It is clear that in the present analysis g nonlinearly
depends on applied mechanical loading and heat flux through the following
formula
Trước khi trình bày phân bố ứng suất nhiệt gây ra bởi vết nứt lỗ khí, trước tiên ta
hãy đánh giá thông lượng nhiệt bên trong vết nứt. Nói cách khác, các vết nứt đ ược
xem như là một môi trường dẫn nhiệt, không phải là một môi trường cách nhiệt ,
không khí của lọt vào bên trong đã ngăn cản việc dẫn nhiệt, dù chỉ v ới một lượng
tương đối nhỏ. Mặt khác, độ dẫn nhiệt của không khí kc = 0,024 Wm-1K-1 là ít hơn
nhiều so với hầu hết các vật liệu. Bảng 1 liệt kê các thuộc tính vật chất của m ột s ố
vật liệu điển hình. Do đó, khi dòng nhiệt đi qua một vết nứt, vết nứt phản ứng
không như vật cách nhiệt hoặc đặc tính vật liệu của nó. Nó là dạng trung hòa gi ữa
vai trò cách nhiệt và đặc tính vật liệu. Do đó, dựa trên kết quả trên, chúng ta có th ể
xác định qc / q0 là một phần hệ số cách nhiệt g, được biết đến như một tham
số[28]. Rõ ràng là trong phân tích g dạng phi tuyến phụ thu ộc vào tải cơ học và
thông lượng nhiệt qua công thức sau
η=

kc / k
kc / k + 2(1 − v 2 )σ 0 / E

(80)

η

Moreover, the partial insulation coefficient
reduces to zero if imposing
the
η
thermal conductivity of air to vanish, and the crack collapses to a completely
insulated crack. In addition, if applied mechanical loading is absent,
= 1 is
implied and the crack surfaces in this case are isothermal. Once the crack is open,
a realistic situation is that the crack is neither completely insulated nor isothermal
at the crack surfaces. Therefore, partial insulation is more reasonable to simulate
a
η
realistic case. For the materials listed in Table 1, the ratio of k/kc ranges from
37.5
to 16250. Fig. 2 shows the variation of the partial insulation coefficient
against
� 0 /E for several different materials. From Fig. 2 one observes that for given
applied loading, the partial insulation coefficient g may take different values,
depending on chosen materials. This is easily interpreted from (80) because the
crack is in close proximity to an isothermal crack for small enough applied loading
σ0 or equivalently r 0 /E < k c /k, while the crack is in close proximity to an insulated
crack for σ0/E << k c /k. Specially, from Fig. 2 it-3 is viewed that for cracked glass,
the crack is nearly isothermal crack if σ0/E < 10 , whereas for cracked copper, the
crack may be approximately

η
Hơn nữa, hệ số cách nhiệt một phần
giảm tới mức 0 nếu dẫn nhiệt của không khí biến
mất, và các vết nứt sẽ gây uốn lên các vết nứt cách nhiệt tuyệt đối. Ngoài ra, n ếu áp dụng

η

tải cơ học thì còn thiếu, biểu thức
= 1 và vết nứt bề mặt trong trường hợp này là đẳng
nhiệt. Khi các vết nứt bị hở, xảy ra tình trạng là các vết n ứt không cách nhi ệt tuy ệt đối
cũng không đẳng nhiệt ở các bề mặt vết nứt. Do đó, cách nhiệt một phần là cách hi ệu qu ả
hơn để mô phỏng một trường hợp thực tế. Đối với các vật liệu được liệt kê trong Bảng 1, t ỉ
lệ k / kc dao động từ 37,5 đến 16250.

η
Hình. 2 cho thấy biến thiên của hệ số cách nhiệt một phần đối với σ0 / E cho các vật liệu
khác nhau. Từ hình. 2 người ta thấy tải áp dụng được cho trước, hệ số cách nhi ệt m ột

η

phần
có thể có nhiều giá trị, tùy thuộc vào vật liệu được lựa chọn. Điều này rất d ễ hi ểu
từ (80), vì vết nứt này gần như vết nứt cách nhiệt để áp dụng cho tải σ0 hoặc tương ứng
σ0 / E << kc / k, trong khi các vết nứt gần như là vết nứt cách nhiệt khi σ0 / E << kc / k. Đặc
biệt, từ hình. 2 vết nứt thủy tinh, dạng vết nứt này là gần như là vết n ứt đ ẳng nhi ệt nếu σ0
/ E < 10-3, trong khi đối với vết nứt của đồng, có thể gần như xấp xỉ

Table 1
Properties of some materials.
k (Wm -1 K -1 )

a (2G -6 K -1 )

E (GPa)

V

k/kc

Cu

39G

17

117

0..35

16250

Al
Pb
Steel (stainless)
Glass

2G5
35
17
G.9

23.1
29
17.3
8.5

69
14
18G
55

0..34
0.44
0.31
0.25

8541.7
1458.3
7G8.33
37.5

η
Fig. 2. Partial insulation coefficient

against

σ0/E for different materials

η
Hình 2 hệ số cách nhiệt một phần

so với σ0/E đối với các loại vật liệu

Understood as an insulated crack if σ0/E > 10-4. Fig.3 displays the variation of the partial
insulation cofficient against kc/k if taking σ0/E = 10-4, 2x10-4, 5x10-4
Được xem như là vết nứt cách nhiệt nếu σ0/ E> 10-4. Hình 3 hiển thị các biến thể
của hệ số cách nhiệt một phần đối với kc / k nếu lấy σ0/ E = 10-4, 2x10-4, 5x10-4


4.2. Distribution of temperature change
Now for a cracked thermoelastic solid, we compare the temperature change for an
insulated or partially insulated crack. By superposing the temperature field corresponding
to uniform heat flux, we get the entire temperature change as
4.2. Phân bố của biến thiên nhiệt độ
Đối với một nứt nhiệt đàn rồi rắn, ta so sánh sự biến thiên nhiệt độ cho một v ết
nứt cách nhiệt hoặc cách nhiệt một phần. Bằng phương pháp hợp các trường nhiệt
độ tương ứng với thông lượng nhiệt đồng nhất, ta có được sự biến thiên nhiệt độ
toàn bộ như sau




qz
q0
2
2
−1  a 

θ=
sin  ÷− 1 0 m

 

 k
Ek c
Ekc
 l2   k π 1 +
 π 1 +




2
2
  2(1 − v )kσ 0 

 2(1 − v )kσ 0 

a 2 − l12
(81)

where we have used the relation ar = l 1 l 2 . Figs. 4 and 5 give a comparison of the
temperature change in a cracked aluminum and lead solid, respectively, where
solid lines correspond to the temperature distribution for a partially insulated
crack, and dashed lines correspond to that for a completely
insulated crack. In
calculating temperature distribution, we have taken σ0/E = 10-4. From Figs. 4
trong đó ta sử dụng quan hệ ar = l 1 l 2 . hình 4 và 5 so sánh sự thay đổi nhiệt độ vết
nứt của nhôm và vật rắn, dòng vật rắn tương ứng với sự phân bố nhiệt độ trong
một vết nứt một phần cách nhiệt, và các đường đứt nét tương ứng đối với một vết
nứt cách nhiệt tuyệt đối. Trong việc tính toán phân bố nhiệt, chúng tôi đã đưa hệ

số
σ0 / E = 10-4. Từ hình 4