Chuyên đề Lim có loi giai
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.01 MB, 126 trang )
CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
Năm học: 2017 - 2018
Hiện tại trên mạng đang rao bán lại tài liệu của Tôi với giá 600k
khá cao, họ mua lại của Tôi và bán lại giá cao quá, đây là tài liệu
của Tôi, bạn nhầm lẫn mua lại tài liệu giá cao thì thiệt thòi cho
bạn, Tôi chia sẻ giá rẻ bèo chủ yếu góp vui thôi
Tôi làm tài liệu này gồm các chuyên đề toán 11 có giải chi tiết, cụ
thể, bạn chỉ lấy và dạy, tài liệu gồm rất nhiều chuyên đề toán 11,
lƣợng file lên đến gần 3000 trang ( gồm đại số và hình học ) bạn
nào muốn tài liệu của Tôi thì nạp thẻ cào Vietnam Mobile giá 100
ngàn, rồi gửi mã thẻ cào + Mail, gửi qua số điện thoại
0169 763 7278 rồi tôi gửi tài liệu cho bạn, chủ yếu góp vui thôi…..
Tiến sĩ Hà Văn Tiến
Xin Giới Thiệu Chuyên Đề Giới Hạn
MỤC LỤC
PHẦN I – ĐỀ BÀI .................................................................................................................................... 3
GIỚI HẠN DÃY SỐ ................................................................................................................................ 3
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP ................................................................................................. 3
B – BÀI TẬP ............................................................................................................................................ 3
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA ........................................................................... 3
DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN
.............................................................................................................................................................. 6
GIỚI HẠN HÀM SỐ .............................................................................................................................. 13
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT ................................................................................................................ 13
B – BÀI TẬP .......................................................................................................................................... 14
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM .................... 14
DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH
0
........................................................................... 16
0
DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH
.......................................................................... 21
DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC ............................................ 25
DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƢỢNG GIÁC .............................................................................................. 27
HÀM SỐ LIÊN TỤC .............................................................................................................................. 30
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP ............................................................................................... 30
B – BÀI TẬP .......................................................................................................................................... 30
DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM ........................................................ 30
Trang 1
Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278
CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
Năm học: 2017 - 2018
DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH .............................................34
DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH .................... 38
ÔN TẬP CHƢƠNG IV ........................................................................................................................... 39
PHẦN II – HƢỚNG DẪN GIẢI ............................................................................................................47
GIỚI HẠN DÃY SỐ ............................................................................................................................... 47
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP ................................................................................................ 47
B – BÀI TẬP ...........................................................................................................................................47
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA .........................................................................47
DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN
............................................................................................................................................................. 52
GIỚI HẠN HÀM SỐ .............................................................................................................................. 73
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT .................................................................................................................73
B – BÀI TẬP ...........................................................................................................................................73
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM ..................... 73
DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH
0
............................................................................80
0
DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH
..........................................................................89
DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC .............................................99
DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƢỢNG GIÁC ............................................................................................. 103
HÀM SỐ LIÊN TỤC ............................................................................................................................ 110
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP .............................................................................................. 110
B – BÀI TẬP .........................................................................................................................................110
DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM ....................................................... 110
DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH ...........................................117
DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH .................. 124
ĐÁP ÁN ÔN TẬP CHƢƠNG IV .........................................................................................................126
Trang 2
Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278
CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
Năm học: 2017 - 2018
PHẦN I – ĐỀ BÀI
GIỚI HẠN DÃY SỐ
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP
GIỚI HẠN HỮU HẠN
1. Giới hạn đặc biệt:
1
1
lim
0 (k
lim 0 ;
n n
n nk
lim q 0 ( q 1) ;
n
n
GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. Giới hạn đặc biệt:
)
lim nk (k
)
lim qn (q 1)
2. Định lí:
lim C C
n
2. Định lí :
a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì
lim (un + vn) = a + b
lim (un – vn) = a – b
lim (un.vn) = a.b
u
a
lim n
(nếu b 0)
vn b
a) Nếu lim un thì lim
1
0
un
b) Nếu lim un = a, lim vn = thì lim
un
vn
=0
c) Nếu lim un = a 0, lim vn = 0
u
neá
u a.vn 0
thì lim n =
neá
u a.vn 0
vn
b) Nếu un 0, n và lim un= a
thì a 0 và lim
lim n
d) Nếu lim un = +, lim vn = a
neá
u a 0
thì lim(un.vn) =
neá
u a 0
un a
c) Nếu un vn ,n và lim vn = 0
thì lim un = 0
d) Nếu lim un = a thì lim un a
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
u
S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1 q 1
1 q
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô
0
định: , , – , 0. thì phải tìm cách khử
0
dạng vô định.
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Phƣơng pháp:
Để chứng minh lim un 0 ta chứng minh với mọi số a 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao cho
un a n na .
Để chứng minh lim un l ta chứng minh lim(un l ) 0 .
Để chứng minh lim un ta chứng minh với mọi số M 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên nM
sao cho un M n nM .
Để chứng minh lim un ta chứng minh lim(un ) .
Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Nếu lim un , thì lim un .
C. Nếu lim un 0 , thì lim un 0 .
Câu 2. Giá trị của lim
B. Nếu lim un , thì lim un .
D. Nếu lim un a , thì lim un a .
1
bằng:
n 1
Trang 3
Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278
CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
A. 0
B. 1
1
(k *) bằng:
nk
A. 0
B. 2
2
sin n
Câu 4. Giá trị của lim
bằng:
n2
A. 0
B. 3
Câu 5. Giá trị của lim(2n 1) bằng:
A.
B.
2
1 n
Câu 6. Giá trị của lim
bằng:
n
A.
B.
2
Câu 7. Giá trị của lim
bằng:
n 1
A.
B.
cos n sin n
Câu 8. Giá trị của lim
bằng:
n2 1
A.
B.
n 1
Câu 9. Giá trị của lim
bằng:
n2
A.
B.
3
3n n
Câu 10. Giá trị của lim
bằng:
n2
A.
B.
2n
Câu 11. Giá trị của lim
bằng:
n 1
A.
B.
2n 1
Câu 12. Giá trị của A lim
bằng:
n2
A.
B.
2n 3
Câu 13. Giá trị của B lim 2
bằng:
n 1
A.
B.
Năm học: 2017 - 2018
C. 2
D. 3
C. 4
D. 5
C. 5
D. 8
C. 0
D. 1
C. 0
D. 1
C. 0
D. 1
C. 0
D. 1
C. 0
D. 1
C. 0
D. 1
C. 0
D. 1
C. 2
D. 1
C. 0
D. 1
C. 0
D. 1
1
2
D. 1
Câu 3. Giá trị của lim
n 1
bằng:
n 1
A.
B.
n2 n
Câu 15. Giá trị của A lim
bằng:
2n
Câu 14. Giá trị của C lim
A.
2
B.
C.
n sin n 3n 2
bằng:
n2
A.
B.
1
Câu 17. Giá trị của C lim 2
bằng:
n 2 n 7
A.
B.
4n 1
Câu 18. Giá trị của D lim
bằng:
2
n 3n 2
A.
B.
Câu 16. Giá trị của B lim
Trang 4
C. 3
D. 1
C. 0
D. 1
C. 0
D. 4
Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278
CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
an
0 bằng:
n!
A.
B.
n
Câu 20. Giá trị của lim a với a 0 bằng:
A.
B.
Năm học: 2017 - 2018
Câu 19. Giá trị của lim
Trang 5
C. 0
D. 1
C. 0
D. 1
Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278
CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
Năm học: 2017 - 2018
DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI
HẠN CƠ BẢN
Phƣơng pháp:
Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đƣa về các giới hạn cơ bản.
f ( n)
ta thƣờng chia cả tử và mẫu cho n k , trong đó k là bậc lớn nhất của tử và
Khi tìm lim
g ( n)
mẫu.
Khi tìm lim k f (n) m g (n) trong đó lim f (n) lim g (n) ta thƣờng tách và sử dụng
phƣơng pháp nhân lƣợng liên hơn.
+ Dùng các hằng đẳng thức:
a b a b a b;
3 a 3 b 3 a2 3 ab 3 b2 a b
Dùng định lí kẹp: Nếu un vn ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0
Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trƣờng hợp sau đây:
Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa
cao nhất của tử và của mẫu.
Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử
và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.
Câu 1. Cho dãy số un với un
1
.
2
n cos 2n
Câu 2. Kết quả đúng của lim 5 2
là:
n 1
A.
1
.
4
n
u
1
và n 1 . Chọn giá trị đúng của lim un trong các số sau:
n
4
un
2
A. 4.
Câu 3. Giá trị của. A lim
B.
C. 0 .
D. 1 .
B. 5.
C. –4.
D.
2n 1
bằng:
1 3n
A.
B.
C.
2
3
1
.
4
D. 1
4n 2 3n 1
Câu 4. Giá trị của. B lim
bằng:
(3n 1) 2
A.
Câu 5. Kết quả đúng của lim
A.
3
.
3
Câu 6. Giới hạn dãy số un
A. .
B.
C.
4
9
D. 1
n 2 2n 1
là
3n 4 2
2
B. .
3
3n n 4
với un
là:
4n 5
1
C. .
2
B. .
C.
Trang 6
3
.
4
D.
1
.
2
D. 0 .
Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278
CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
Câu 7. Chọn kết quả đúng của lim
Năm học: 2017 - 2018
n 3 2n 5
:
3 5n
2
.
5
2n2 3n 1
Câu 8. Giá trị của A lim 2
bằng:
3n n 2
A. 5 .
B.
C. .
A.
B.
C.
Câu 9. Giá trị của B lim
n 2 2n
n 3n2 1
2n
Câu 10. Giá trị của C lim
2
1 n 2
4
Câu 11. Giá trị của D lim
4
Câu 15. Giá trị của. D lim
A.
Câu 16. Giá trị của. E lim
A.
Câu 17. Giá trị của. F lim
Câu 19. lim
n4 n2 1
C. 0
D. 1
C. 8
D. 1
C.
1
4
D. 1
n3 3n2 2
bằng:
n 4 4n 3 1
B.
C. 0
D. 1
n 2n 1
bằng:
n2
B.
C. 0
D. 1
3
4
n 4 2n 1 2n
3
3n3 n n
B. 0 .
10
D. 1
B.
Câu 18. Cho dãy số un với un n 1
A. .
1 3 3
4
2 1
3n3 1 n
bằng:
B.
A.
D. 1
C.
bằng:
2n 4 3n 1 n
A.
B.
(n 2)7 (2n 1)3
Câu 13. Giá trị của. F lim
bằng:
(n 2 2)5
A.
B.
n3 1
Câu 14. Giá trị của. C lim
bằng:
n(2n 1)2
A.
C. 16
bằng:
2n 4 n 2 n
4
Câu 12. Giá trị của C lim
D.
3
B.
A.
1
1 3
C. 0
bằng:
n 1 3n 2
3
2
D. 1
9
n17 1
B.
A.
2
3
bằng:
B.
A.
D. .
C.
3
3
3 1
D. 1
2n 2
. Chọn kết quả đúng của lim un là:
n n2 1
C. 1 .
D. .
4
bằng :
Trang 7
Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278
CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
A. .
B. 10 .
n 1 4
Câu 20. Tính giới hạn: lim
n 1 n
B. 0 .
A. 1 .
Câu 21. Tính giới hạn: lim
A. 0 .
1 3 5 .... 2n 1
3n2 4
1
B. .
3
Câu 22. Chọn kết quả đúng của lim 3
C. 0 .
D. .
C. 1
1
D. .
2
2
C. .
3
D. 1 .
C. 2 .
D.
n2 1 1
.
3 n 2 2n
B. 3 .
A. 4 .
Năm học: 2017 - 2018
1
.
2
ak nk ... a1n a0
Câu 23. Giá trị của D lim
(Trong đó k , p là các số nguyên dƣơng; ak bp 0 ).
bp n p ... b1n b0
bằng:
A.
B.
C. Đáp án khác
D. 1
n2
25
Câu 24. Kết quả đúng của lim n
là:
3 2.5n
5
5
25
1
A. .
B. .
C. .
D. .
2
2
2
50
n
n 1
3 4.2 3
Câu 25. lim
bằng:
3.2n 4n
A. .
B. .
C. 0 .
D. 1 .
n
n
3.2 3
Câu 26. Giá trị của C lim n 1 n 1 bằng:
2 3
1
A.
B.
C.
D. 1
3
Câu 27. Giá trị đúng của lim 3n 5n là:
A. .
B. .
3.2n 3n
Câu 28. Giá trị của. K lim n 1 n 1 bằng:
2 3
1
A.
B.
3
5n 1
Câu 29. lim n
bằng :
3 1
A. .
B. 1 .
C. 2
D. 1
C. 0
D. .
1
C. .
4
D. .
C. 0
D. 1
n 1
A. 0 .
Câu 31. Giá trị của. C lim
A.
D. 2 .
4 2
bằng :
3n 4n 2
n
Câu 30. lim 4
C. 2 .
1
B. .
2
3.3n 4n
bằng:
3n 1 4n 1
1
B.
2
Trang 8
Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278
CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
Năm học: 2017 - 2018
Câu 32. Cho các số thực a,b thỏa a 1; b 1 . Tìm giới hạn I lim
1 a a 2 ... a n
.
1 b b 2 ... b n
1 b
1 a
k
k 1
a .n a n ... a1n a0
Câu 33. Tính giới hạn của dãy số A lim k p k 1 p 1
với ak bp
bp .n bp 1n ... b1n b0
A.
B.
C. Đáp án khác
n
Câu 34. lim n2 sin
2n3 bằng:
5
A. .
B. 0 .
C. 2 .
B.
A.
Câu 36. Giá trị của. H lim
Câu 39. Giá trị của A lim
Câu 40. Giá trị của B lim
A.
Câu 41. Giá trị của D lim
A.
1
12
Câu 43. Giá trị của. N lim
A.
Câu 44. Giá trị của. K lim
A.
Câu 45. Giá trị của. N lim
A.
1
2
D. 1
C. 0
D. 1
1
2
D. 1
C.
C.
n2 1 3n2 2 là:
B. .
C. 0 .
D. 1 .
C. 3
D. 1
C. 0
D. 3
1
3
D. 1
C. 0
D. 1
n 6n n bằng:
2
B.
n3 9n2 n bằng:
3
B.
n 2 2n 3 n3 2n 2
bằng:
B.
Câu 42. Giá trị của. M lim
A.
D. 1
n 2 1 n bằng:
Câu 38. Giá trị đúng của lim
A.
B.
A.
A. .
D. .
2n2 1 n bằng:
B.
Bài 40. Giá trị của K lim n
.:
D. 1
C. 3
A.
0
n2 n 1 n bằng:
B.
A.
D. 1
n2 6n n bằng:
B.
A.
Câu 37. Giá trị của B lim
Câu 35. Giá trị của. M lim
C.
3
C.
1 n2 8n3 2n bằng:
B.
4n2 1 3 8n3 n bằng:
B.
3
C. 0
n3 n2 1 3 4n2 n 1 5n bằng:
B.
3
D. 1
C.
5
12
D. 1
n3 3n 2 1 n bằng:
B.
C. 0
Trang 9
D. 1
Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278
CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
Năm học: 2017 - 2018
Câu 46. Giá trị đúng của lim n n 1 n 1 là:
A. 1 .
B. 0 .
C. 1 .
Câu 47. Giá trị của. H lim n
3
2
B.
A.
Câu 48. Giá trị của A lim
C.
2
3
C. 2
Câu 49. lim 200 3n 2n bằng :
A. 0 .
B. 1 .
C. .
3
2n sin 2n 1
Câu 50. Giá trị của. A lim
bằng:
n3 1
A.
B.
C. 2
n
n!
Câu 51. Giá trị của. B lim
bằng:
n 3 2n
A.
B.
C. 0
n 1
Câu 52. Giá trị của. D lim
bằng:
n2 ( 3n2 2 3n2 1)
2
A.
B.
C.
3
5
5
D. 1
2
Câu 53. Giá trị của. E lim( n2 n 1 2n) bằng:
A.
B.
Câu 54. Giá trị của. F lim
A.
D. 1
n2 2n 2 n bằng:
B.
A.
D. .
8n n 4n 3 bằng:
3
D. .
D. 1
D. 1
D. 1
C. 0
D. 1
C. 0
D. 1
n 1 n bằng:
B.
Câu 55. Giá trị của. H lim( n 1 n 1) bằng:
A.
B.
C. Đáp án khác
D. 1
1
1
1
Câu 56. Tính giới hạn của dãy số un
:
...
2 1 2 3 2 2 3
(n 1) n n n 1
A.
B.
C. 0
D. 1
k
p
2
2
(n 1) 13 23 ... n3
:
3n3 n 2
1
C.
D. 1
9
n(n 1)
1
1
1
.:
(1 )(1 )...(1 ) trong đó Tn
2
T1
T2
Tn
1
C.
D. 1
3
23 1 33 1 n3 1
.:
3 . 3 .... 3
2 1 3 1 n 1
2
C.
D. 1
3
n
2k 1
k .:
2
k 1
C. 3
D. 1
Câu 57. Tính giới hạn của dãy số un
A.
B.
Câu 58. Tính giới hạn của dãy số un
A.
B.
Câu 59. Tính giới hạn của dãy số un
A.
B.
Câu 60. Tính giới hạn của dãy số un
A.
B.
Trang 10
Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278
CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
Năm học: 2017 - 2018
Câu 61. Tính giới hạn của dãy số un q 2q 2 ... nq n với q 1
A.
B.
C.
.:
q
1 q
D.
2
q
1 q
2
n
n
k 1 n k
Câu 62. Tính giới hạn của dãy số un
A.
B.
Câu 63. Tính giới hạn của dãy số B lim
A.
A.
D. 1
n n 1 4 n 2n 1
(2n 3)2
6
4
.:
C. 3
4n 2 n 1 2n
B.
Câu 65. Tính giới hạn của dãy số D lim
.:
C. 3
3
B.
Câu 64. Tính giới hạn của dãy số C lim
A.
2
D.
.:
C. 3
D.
n 2 n 1 2 3 n3 n 2 1 n
B.
C.
3
4
1
6
1
4
.:
D. 1
1
Câu 66. Cho dãy số ( xn ) xác định bởi x1 , xn1 xn2 xn ,n 1
2
1
1
1
Đặt Sn
. Tính lim Sn .
x1 1 x2 1
xn 1
A.
B.
C. 2
1 2
k
Câu 67. Cho dãy ( xk ) đƣợc xác định nhƣ sau: xk ...
2! 3!
(k 1)!
D. 1
n
Tìm lim un với un n x1n x2n ... x2011
.
A.
B.
C. 1
1
2012!
u0 2011
un3
Câu 68. Cho dãy số (un ) đƣợc xác định bởi:
1 . Tìm lim .
n
un 1 un u 2
n
A.
B.
C. 3
x 1 1
Câu 69. Cho dãy x 0 xác định nhƣ sau: f ( x)
. Tìm 0; .
x
A.
B.
C. 2010
n. 1 3 5 ... (2n 1)
Câu 70. Tìm lim un biết un
2n 2 1
1
A.
B.
C.
2
3 x 2 2x 1
khi x 1
Câu 71. Tìm lim un biết f ( x)
x 1
3m 2
khi x 1
A.
D. 1
D. 1
D. 1
D. 1
3
B.
C. 2
Trang 11
1
2012!
D.
6
2
Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278
CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
Năm học: 2017 - 2018
x 1 1
khi x 0
Câu 72. Tìm lim un biết f ( x)
x
2 x 2 3m 1 khi x 0
A.
B.
C. 2
2x 4 3
khi x 2
Câu 73. Tìm lim un biết f ( x)
trong đó x 1 .
x 1
khi
x
2
2
x 2mx 3m 2
1
A.
B.
C.
3
n
1
Câu 74. Tìm lim un biết un
k 1
n2 k
A.
B.
C. 3
D. 1
D. 1
D. 1
Câu 75. Tìm lim un biết un 2 2... 2
n dau can
B.
A.
C. 2
Câu 76. Gọi g ( x) 0, x 2 là dãy số xác định bởi . Tìm lim f ( x) lim
x 2
B.
A.
C.
2
4
3
x 2
D. 1
2x 4 3 3 .
D. 1
2
1
1
1
Câu 77. Cho dãy số A x12 x1 x2 x1 x2 x22 x12 x22 3 0 đƣợc xác định nhƣ sau x1 x2 .
2
4
2
3
Đặt x . Tìm x3 2 x 3 3 2 x 4 0 .
2
1
A.
B.
C.
D. 1
2
Câu 78. Cho a, b ,(a, b) 1; n ab 1, ab 2,... . Kí hiệu rn là số cặp số (u, v)
sao cho
rn
1
.
n n
ab
n au bv . Tìm lim
A.
B.
C.
1
ab
D. ab 1
1
u1 2
Câu 79. Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi :
. Tìm kết quả đúng của lim un .
un 1 1 , n 1
2 un
1
A. 0 .
B. 1 .
C. 1 .
D.
2
1
1 1 1
Câu 80. Tìm giá trị đúng của S 2 1 ... n ....... .
2
2 4 8
1
A. 2 1 .
B. 2 .
C. 2 2 .
D. .
2
1
1
1
Câu 81. Tính giới hạn: lim
....
n n 1
1.2 2.3
3
A. 0
B. 1 .
C. .
D. Không có giới hạn.
2
Trang 12
Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278
CÁC CHUN ĐỀ TỐN 11–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
Năm học: 2017 - 2018
1
1
1
Câu 82. Tính giới hạn: lim
....
n 2n 1
1.3 3.5
2
C. .
3
B. 0 .
A. 1 .
1
1
1
Câu 83. Tính giới hạn: lim
....
n n 2
1.3 2.4
3
A. .
B. 1 .
C. 0 .
4
1
1
1
Câu 84. Tính giới hạn: lim
.
...
n(n 3)
1.4 2.5
11
A.
.
B. 2 .
C. 1 .
18
1
1
1
Câu 85. Tính giới hạn: lim 1 2 1 2 ... 1 2 .
2 3 n
1
1
A. 1 .
B. .
C. .
2
4
D. 2 .
2
D. .
3
D.
3
.
2
D.
3
.
2
GIỚI HẠN HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT
Giới hạn hữu hạn
Giới hạn vơ cực, giới hạn ở vơ cực
1. Giới hạn đặc biệt:
1. Giới hạn đặc biệt:
lim x x0 ;
lim c c (c:
nế
u k chẵ
n
lim xk ; lim xk
x x0
x x0
nế
u
k
lẻ
x
x
hằng số)
c
2. Định lí:
lim c c ;
lim
0
x
x xk
a) Nếu lim f ( x) L và lim g( x) M
x x0
x x0
1
1
lim ;
lim
thì: lim f ( x) g( x) L M
x0 x
x0 x
x x0
1
1
lim f ( x) g( x) L M
lim
lim
x x0
x0 x
x0 x
2. Định lí:
lim f ( x).g( x) L.M
x x0
Nếu lim f ( x) L 0 và lim g( x) thì:
x x0
x x0
f ( x) L
lim
(nếu M 0)
nế
u L vàlim g( x) cù
ngdấ
u
x x0 g( x)
M
x x0
lim f ( x)g( x)
b) Nếu f(x) 0 và lim f ( x) L
u L vàlim g( x) trá
i dấ
u
x
x0
x x0
nế
x x0
thì L 0 và lim f ( x) L
0 nế
u lim g( x)
x x0
x x0
f ( x)
c) Nếu lim f ( x) L thì lim f ( x) L
lim
nế
u lim g( x) 0 vàL.g( x) 0
x x0
x x0
x x0 g( x)
x x0
u lim g( x) 0 vàL.g( x) 0
3. Giới hạn một bên:
nế
x x0
lim f ( x) L lim f ( x) lim f ( x) L
x x0
x x0
x x0
0
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vơ định: ,
0
, – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vơ định.
Trang 13
Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278
lim
x x
CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
Năm học: 2017 - 2018
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM
Phƣơng pháp:
+ Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số.
+ Nếu f ( x) là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng f ( x0 )
+ Nếu f ( x) cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn trái
bằng giới hạn phải).
x3 2 x 2 1
Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim
là:
x 1
2 x5 1
1
1
A. 2 .
B. .
C. .
D. 2 .
2
2
4 x3 1
Câu 2. lim 2
bằng:
x 2 3 x x 2
11
11
A . .
B. . .
C. . .
D. .
4
4
x 1
Câu 3. Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩa.
x 1 x 2
A.
B.
C. 2
D. 1
3
Câu 4. Tìm giới hạn hàm số lim x 1 bằng định nghĩa.
x 2
B.
C. 9
x3 2
Câu 5. Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩa.
x 1
x 1
A.
A.
B.
D. 1
C. 2
D.
x3
bằng định nghĩa.
x x 2
A.
B.
C. 2
2
2x x 1
Câu 7. Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩa.
x
x2
A.
B.
C. 2
3x 2
Câu 8. Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩa.
x 1 2 x 1
A.
B.
C. 5
1
4
Câu 6. Tìm giới hạn hàm số lim
Câu 9. Cho hàm số f ( x)
5
.
9
D. 1
D. 1
4 x 2 3x
. Chọn kết quả đúng của lim f ( x) :
x 2
2 x 1 x3 2
5
5
.
C.
.
3
9
x4 2
Câu 10. Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩa.
x 0
2x
1
A.
B.
C. 2
8
4x 3
Câu 11. Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩa.
x 1
x 1
A.
B.
C. 2
A.
D. 1
B.
Trang 14
D.
2
.
9
D. 1
D. 1
Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278
CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
Năm học: 2017 - 2018
3x 1
bằng định nghĩa.
x 2 x 2
A.
B.
C. 2
2
2x x 3
Câu 13. Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩa.
x 1
x 1
A.
B. 5
C. 2
x 1
Câu 14. Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩa.
4
x 2
2 x
Câu 12. Tìm giới hạn hàm số lim
A.
B.
D. 1
D. 1
C. 2
D. 1
2
3x
bằng định nghĩa.
x 2 x 2 1
3
A.
B.
C.
2
2
Câu 16. Tìm giới hạn hàm số lim x x 1 bằng định nghĩa.
Câu 15. Tìm giới hạn hàm số lim
x
A.
D. 1
B.
C. 2
x 4
D. 1
2
Câu 17. Tìm giới hạn hàm số lim
x
x 2
A.
4
1 2 x
bằng định nghĩa.
B.
C. 0
D. 1
x 3x 2
bằng định nghĩa.
x 1
x 1
A.
B.
C. 2
2
x x 1
Câu 19. Tìm giới hạn hàm số A lim
bằng định nghĩa.
x 1
x 1
1
A.
B.
C.
2
2 tan x 1
Câu 20. Tìm giới hạn hàm số B lim
bằng định nghĩa.
sin x 1
x
2
Câu 18. Tìm giới hạn hàm số lim
D. 1
D. 1
6
A.
B.
C.
4 36
9
x 2 x 1
bằng định nghĩa.
x 0
3x 1
A.
B.
C. 3 2 1
3
7x 1 1
Câu 22. Tìm giới hạn hàm số D lim
bằng định nghĩa.
x 1
x2
A.
B.
C. 2
x 1
Câu 23. Tìm giới hạn hàm số A lim 2
bằng định nghĩa.
x 2 x x 4
1
A.
B.
C.
6
2
sin 2x 3cos x
Câu 24. Tìm giới hạn hàm số B lim
bằng định nghĩa.
tan x
x
Câu 21. Tìm giới hạn hàm số C lim
D. 1
3
D. 1
D. 3
D. 1
6
A.
B.
Câu 25. Tìm giới hạn hàm số C lim
x 1
C.
3 3 9
4
2
D. 1
2x2 x 1 3 2 x 3
bằng định nghĩa.
3x 2 2
Trang 15
Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278
CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
B.
A.
C.
Năm học: 2017 - 2018
3 3 9
4
2
D.
235
3x 1 2
bằng định nghĩa.
x 1
3x 1 2
1
A.
B.
C.
D. 0
6
x 2 3 khi x 2
Câu 27. Cho hàm số f x
. Chọn kết quả đúng của lim f x :
x 2
x 1 khi x 2
A. 1 .
B. 0 .
C. 1 .
D. Không tồn tại.
2
x ax 1 khi x 2
Câu 28. Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x 2 f ( x) 2
.
2
x
x
1
khi
x
2
1
A.
B.
C.
D. 1
2
5ax 2 3x 2a 1
khi x 0
Câu 29. Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại x 0 f ( x)
.
2
1
x
x
x
2
khi
x
0
2
A.
B.
C.
D. 1
2
2
5ax 3x 2a 1 khi x 0
Câu 30. Tìm a để hàm số. f ( x)
có giới hạn tại x 0
2
1
x
x
x
2
khi
x
0
2
A.
B.
C.
D. 1
2
2
x ax 1 khi x 1
Câu 31. Tìm a để hàm số. f ( x) 2
có giới hạn khi x 1 .
2
x
x
3
a
khi
x
1
1
A.
B.
C.
D. 1
6
0
DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH
0
P( x)
1. L = lim
với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0
x x0 Q ( x )
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
Chú ý:
+ Nếu tam thức bậc hai ax2 bx+c có hai nghiệm x1 , x2 thì ta luôn có sự phân
Câu 26. Tìm giới hạn hàm số D lim 3
tích ax2 bx c a( x x1 )( x x2 ) .
+ an bn (a b)(a n 1 a n 2b ... ab n 2 b n 1 )
P( x)
2. L = lim
với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc
x x0 Q ( x )
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.
Các lƣợng liên hợp:
+ ( a b )( a b ) a b
3 2
3
3
+ ( a b )( a
3
ab 3 b2 ) a b
+ ( n a n b )( n a n1 n a n2b ... n bn1 ) a b
P( x)
3. L = lim
với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêu thức chứa căn không đồng bậc
x x0 Q ( x )
Trang 16
Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278
CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
Giả sử: P(x) =
m
Năm học: 2017 - 2018
u( x) n v( x) vôùi m u( x0 ) n v( x0 ) a .
Ta phân tích P(x) = m u( x) a a n v( x) .
Trong nhiều trƣờng hợp việc phân tích nhƣ trên không đi đến kết quả ta phải phân tích nhƣ sau:
n u ( x) m v( x) ( n u ( x) m( x)) ( m v( x) m( x)) , trong đó m( x) c .
x2 2 x 1
là:
x 1 2 x 3 2
1
C. .
2
Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim
A. .
B. 0 .
x3 3x 2 2
:
x2 4 x 3
Câu 2. Tìm giới hạn A lim
x 1
B.
A.
C.
3
2
D. 1
x4 5x2 4
:
x3 8
Câu 3. Tìm giới hạn B lim
x 2
B.
A.
D. .
C.
1
6
D. 1
C.
1
6
D. 25
(1 3x)3 (1 4 x) 4
:
x 0
x
Câu 4. Tìm giới hạn C lim
B.
A.
x 3
. Giá trị đúng của lim f x là:
x 3
x2 9
A. . .
B. 0. .
C. 6. .
(1 x)(1 2 x)(1 3x) 1
Câu 6. Tìm giới hạn D lim
:
x 0
x
1
A.
B.
C.
6
n
x 1
Câu 7. Tìm giới hạn A lim m
(m, n *) :
x 0 x 1
n
A.
B.
C.
m
n
1 ax 1
Câu 8. Tìm giới hạn B lim
(n *, a 0) :
x 0
x
a
A.
B.
C.
n
n
1 ax 1
Câu 8. Tìm giới hạn A lim m
với ab 0 :
x 0 1 bx 1
am
A.
B.
C.
bn
1 x 3 1 x 4 1 x 1
Câu 9. Tìm giới hạn B lim
với 0 . :
x 0
x
Câu 5. Cho hàm số f x
A.
B.
Câu 10. Tìm giới hạn A lim
x 2
C. B
4
3
D. .
D. 6
D. m n
2
D. 1
n
a
D. 1
am
bn
D. B
4
3
2
2 x 5x 2
:
x3 3x 2
2
Trang 17
Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278
CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
A.
B.
x 1
B.
Câu 12. Tìm giới hạn C lim
x 3
A.
B.
Câu 13. Tìm giới hạn D lim 4
x 0
D. 1
C.
1
5
D. 1
C.
x 7
3
1
3
D. 1
x 1 1
:
2x 1 1
B.
Câu 14. Tìm giới hạn E lim
A.
1
3
2x 3 x
:
x2 4 x 3
3
A.
C.
x 4 3x 2
:
x3 2 x 3
Câu 11. Tìm giới hạn B lim
A.
Năm học: 2017 - 2018
C.
2
3
D. 1
C.
8
27
D. 1
4x 1 x 2
:
4
2x 2 2
B.
(2 x 1)(3x 1)(4 x 1) 1
:
x 0
x
9
A.
B.
C.
2
3
1 4x 1 6x
Câu 16. Tìm giới hạn M lim
:
x 0
x2
1
A.
B.
C.
3
m
n
1 ax 1 bx
Câu 17. Tìm giới hạn N lim
:
x 0
x
a b
A.
B.
C.
m n
m
n
1 ax 1 bx 1
Câu 18. Tìm giới hạn G lim
:
x 0
x
a b
A.
B.
C.
m n
Câu 15. Tìm giới hạn F lim
1 mx 1 nx
Tìm giới hạn V lim
n
Câu 19.
A.
x2
x 0
D.
a b
m n
D.
a b
m n
mn n m
2
D.
mn n m
2
1
n!
D. 0
:
C.
1 x 1 x ...1 x :
Câu 20. Tìm giới hạn K lim
3
1 x
A.
Câu 21. Tìm giới hạn L lim
x 0
A.
n
n 1
B.
C.
n
1 x2 x
B.
D. 0
m
B.
x 1
D. 1
1 x2 x
x
n
:
C. 2n
Trang 18
D. 0
Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278
CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
Năm học: 2017 - 2018
2 x2 5x 2
:
x 2
x3 8
Câu 22. Tìm giới hạn A lim
A.
B.
Câu 23. Tìm giới hạn B lim
x 1
A.
B.
B.
3
x 0
C.
1
6
D. 0
C.
1
3
D. 0
(2 x 1)(3x 1)(4 x 1) 1
:
x 0
x
9
B.
C.
n
x 0
m
x 0
C.
4
9
D. 0
C.
2 an bm
mn
D. 0
C.
2 an bm
mn
D. mn n m
C.
1
n!
D. 0
C.
4
3
D. 0
C.
4
3
D.
1 ax n 1 bx
:
1 x 1
B.
1 mx 1 nx
Câu 29. Tìm giới hạn V lim
n
x 0
D. 0
1 4x 3 1 6x
:
1 cos 3x
B.
Câu 28. Tìm giới hạn N lim
A.
D. 0
n
Câu 27. Tìm giới hạn M lim
A.
2
5
x 1 1
:
2x 1 1
B.
Câu 26. Tìm giới hạn F lim
A.
C.
2x 3 3
:
x 4x 3
Câu 25. Tìm giới hạn D lim
A.
D. 0
2
x 3
A.
1
4
x 4 3x 2 2
:
x3 2 x 3
Câu 24. Tìm giới hạn C lim
A.
C.
m
1 2 x 3 1 3x
:
B.
1 x 1 x ...1 x :
Câu 30. Tìm giới hạn K lim
3
1 x
2 n 1
x 1
A.
B.
Câu 31. Tìm giới hạn A lim
x 0
A.
4x 1 3 2x 1
:
x
B.
Câu 32. Tìm giới hạn B lim 3
x 1
A.
n
4x 5 3
:
5x 3 2
B.
Trang 19
2
5
Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278
CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
Câu 33. Tìm giới hạn C lim
x 1
A.
x 2
x 0
x 1
A.
4
3
D. 3
C.
4
3
D. 1
C.
1
2
D. 0
C.
4
3
D. 1
1 2 x 3 1 3x
:
x2
B.
Câu 36. Tìm giới hạn B lim
C.
x x2
:
x 3 3x 2
B.
Câu 35. Tìm giới hạn A lim
A.
2 x 3 3 2 3x
:
x 2 1
B.
Câu 34. Tìm giới hạn D lim
A.
4
Năm học: 2017 - 2018
5 4x 3 7 6x
:
x3 x 2 x 1
B.
Trang 20
Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278
CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH
Năm học: 2017 - 2018
Phƣơng pháp:
P( x)
trong đó P( x), Q( x) , dạng này ta còn gọi là dạng vô định .
x Q ( x )
với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lƣợng
liên hợp.
Tƣơng tự nhƣ cách khử dạng vô định ở dãy số. Ta cần tìm cách đƣa về các giới hạn:
+ lim x 2 k
;
lim x 2 k 1 () .
L = lim
x
( x )
x
( x )
k
0 (n 0; k 0) .
x x n
( x )
+ lim
+ lim f ( x) () lim
x x0
x x0
k
0 (k 0) .
f ( x)
5
bằng:
x 3 x 2
Câu 1. lim
A. 0 .
B. 1 .
5
.
3
D. .
C. 7. .
D. .
C.
x4 7
là:
x x 4 1
B. 1. .
Câu 2. Giá trị đúng của lim
A. 1.
Câu 3. Tìm giới hạn C lim
x
A.
2 x 3x 2
2
5x x2 1
:
B.
C.
2 3
6
D. 0
1
B. .
3
C.
1
.
3
D. 2 .
2 x2 1
bằng:
x 3 x 2
Câu 4. lim
A. 2 .
Câu 5. Cho hàm số f ( x)
A.
1
.
2
Câu 6. lim
x
A.
3 2
.
2
1 3x
2 x2 3
x2 1
. Chọn kết quả đúng của lim f ( x) :
x
2x4 x2 3
2
B.
.
C. 0 .
2
bằng:
B.
Câu 7. Tìm giới hạn D lim
x
A.
D. .
3
2
.
2
1 x4 x6
1 x3 x 4
3 2
.
2
D.
C.
4
3
D. 1
2
.
2
:
B.
Câu 8. Cho hàm số f x x 2
C.
x 1
. Chọn kết quả đúng của lim f x :
x
x x2 1
4
Trang 21
Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278
CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
A. 0 .
Câu 9. lim
x 1
A. 3 .
Năm học: 2017 - 2018
B.
1
.
2
C. 1 .
D. Không tồn tại.
B.
1
.
2
C. 1 .
D. .
x2 x 3
bằng:
2 x 1
x4 8x
là:
x x 3 2 x 2 x 2
24
C. .
5
Câu 10. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim
A.
21
.
5
21
.
5
B.
D.
24
.
5
Câu 12. Tìm giới hạn E lim ( x 2 x 1 x) :
x
A.
B.
C.
1
2
D. 0
Câu 13. Tìm giới hạn F lim x( 4 x 2 1 x) :
x
4
3
Câu 14. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim 4 x5 3x3 x 1 là:
A.
B.
C.
x
A. .
B. 0 .
D. .
C. 4 .
x x x x là:
Câu 15. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim
4
x
A. .
B. 0 .
3
2
D. .
C. 1 .
D. 0
Câu 16. Tìm giới hạn B lim x x 2 x 1 :
x
A.
B.
C.
4
3
D. 0
Câu 17. Tìm giới hạn M lim ( x 2 3x 1 x 2 x 1) :
x
A.
B.
Câu 18. Tìm giới hạn N lim
x
A.
x
4
x
4
3
D. Đáp án khác
C.
4
3
D. 0
8x 3 2x 2x :
16 x 4 3x 1 4 x 2 2 :
B.
Câu 20. Tìm giới hạn K lim
A.
3
B.
Câu 19. Tìm giới hạn H lim
A.
C.
C.
4
3
D. 0
x2 1 x2 x 2x :
B.
C.
1
2
D. 0
3x 2 5 x 1
:
x 2 x 2 x 1
Câu 21. Tìm giới hạn A lim
A.
B.
C.
3
2
D. 0
a0 x n ... an 1 x an
(a0b0 0) :
x b x m ... b
0
m 1 x bm
Câu 22. Tìm giới hạn B lim
Trang 22
Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278
CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
A.
B.
3
Câu 23. Tìm giới hạn A lim
3x3 1 2 x 2 x 1
x
A.
4
4 x4 2
B.
x
3
4
3
2 x3 2 1
D. Đáp án khác
:
C.
x x2 1 2x 1
Câu 24. Tìm giới hạn B lim
A.
C.
Năm học: 2017 - 2018
3
3 2
2
D. 0
:
B.
C.
4
3
D. 0
(2 x 1)3 ( x 2) 4
:
x
(3 2 x)7
Câu 25.Tìm giới hạn A lim
A.
B.
C.
4 x 2 3x 4 2 x
Câu 26. Tìm giới hạn B lim
x2 x 1 x
B.
x
A.
2 x 3x 2
5x x2 1
x
3
C.
2 3
4
D. 0
C.
4
3
D. 1
:
x 2 x 1 3 2 x3 x 1 :
C.
4
3
D. 0
B.
C.
D. 0
1
2
B.
Câu 30.Tìm giới hạn C lim
x
Câu 31. Tìm giới hạn D lim
x
4x2 x 1 2x :
3
x3 x 2 1 x 2 x 1 :
B.
Câu 32. Tìm giới hạn A lim
x
A.
D. 0
:
x
A.
C. 2
B.
Câu 29. Tìm giới hạn A lim
A.
1 x4 x6
1 x3 x 4
x
A.
:
B.
Câu 28. Tìm giới hạn D lim
A.
D. 0
2
Câu 27. Tìm giới hạn C lim
A.
1
16
C.
1
6
D. 0
x2 x 1 2 x2 x x :
B.
C.
3
2
D. 0
Câu 33.Tìm giới hạn B lim x( x 2 2 x 2 x 2 x x) :
x
A.
B.
C.
Trang 23
1
4
D. 0
Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278
CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
Năm học: 2017 - 2018
a0 x n ... an 1 x an
Câu 34. Tìm giới hạn A lim
, (a0b0 0) :
x b x m ... b
0
m 1 x bm
4
A.
B.
C.
3
4 x 2 x 3 8 x3 x 1
Câu 35. Tìm giới hạn B lim
x
A.
4
B.
4 x 2 2 3 x3 1
Câu 36. Tìm giới hạn C lim
x2 1 x
x
A.
x x2 1 2x 1
x 3
2 x3 x 1 x
:
C.
4
3
D. 4
C.
3
2
D. 0
C.
4
3
D. 0
:
B.
Câu 37. Tìm giới hạn D lim
A.
x4 3
:
B.
Câu 38. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim x 2 cos
x 0
A. Không tồn tại.
D. Đáp án khác
B. 0 .
C. 1 .
Trang 24
2
là:
nx
D. .
Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278
CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
Năm học: 2017 - 2018
DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC
Phƣơng pháp:
1. Giới hạn một bên : Áp dụng định lý giới hạn của một tích và một thƣơng..
2. Dạng – : Giới hạn này thƣờng có chứa căn
Ta thƣờng sử dụng phƣơng pháp nhân lƣợng liên hợp của tử và mẫu, Sau đó tìm cách biến đổi đƣa về
dạng .
3. Dạng 0.:
Ta cũng thƣờng sử dụng các phƣơng pháp nhƣ các dạng ở trên.
1 2
Câu 1. Chọn kết quả đúng của lim 2 3 :
x 0 x
x
A. .
B. 0 .
C. .
D. Không tồn tại.
x3 x 2
Câu 2. lim
bằng:
x 1
x 1 1 x
A. 1 .
B. 0 .
2
x x 1
Câu 3. lim
bằng:
x 1
x2 1
A. –.
B. –1.
x 3
Câu 4. Giá tri đúng của lim
x 3 x 3
A. Không tồn tại.
B. 0 .
Câu 5. Tìm giới hạn A lim
x
D. .
C. 1.
D. +.
C. 1 .
D. .
x x 1 x :
2
B.
A.
C. 1 .
C.
1
2
D. 0
Câu 6. Tìm giới hạn B lim 2 x 4 x 2 x 1 :
x
B.
A.
C.
1
4
D. 0
1
1
. Chọn kết quả đúng của lim f x :
x 1
x 1 x 1
2
2
A. .
B. .
C. .
3
3
Câu 8. Tìm giới hạn C lim [ n ( x a1 )( x a2 )...( x an ) x] :
Câu 7. Cho hàm số f ( x)
3
D. .
x
A.
B.
C.
a1 a2 ... an
n
D.
a1 a2 ... an
2n
Câu 9. Tìm giới hạn A lim ( x 2 x 1 x) :
x
A.
B.
C.
1
2
D. 0
Câu 10. Tìm giới hạn B lim x( 4 x 2 1 x) :
x
A.
B.
C.
1
4
D. 0
Câu 11. Tìm giới hạn C lim ( x 2 x 1 x 2 x 1) :
x
Trang 25
Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278
