Bí quyết chinh phục điểm 9,10 kỳ thi vào lớp 10 THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA


Bí quyết chinh phục điểm 9 ,10 kỳ thi vào lớp 10 THPT
Câu 1 : Cho a , b , c lần lượt là độ dài 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
a2 + b2 − c2 b2 + c2 − a2 c2 + a2 − b2
+
+
>1
2ab
2bc
2ca

( Đề thi vào lớp 10 THPT Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa năm học 2017-2018 )
a 2 + b2 − c 2 b 2 + c 2 − a 2 a 2 + c 2 − b2
+
+
>1
2ab
2bc
2ac
⇔  c( a 2 + b 2 − c 2 ) + 2abc  +  a (b 2 + c 2 − a 2 ) − 2abc  + b(a 2 + c 2 − b 2 ) − 2abc  > 0
⇔ c  (a + b) 2 − c 2  + a  (b − c )2 − a 2  + b  (a − c )2 − b 2  > 0
⇔ c (a + b − c )(a + b + c ) + a (b − c − a )(b − c + a ) + b(a − c − b )(a − c + b ) > 0
⇔ c (a + b − c )(a + b + c ) + a (b − c − a )(a + b − c ) + b(a − c − b )(a + b − c ) > 0
⇔ ( a + b − c) [ c.(a + b + c) + a (b − c − a ) + b( a − c − b) ] > 0
⇔ ( a + b − c)  ca + cb + c 2 + ab − ac − a 2 + ba − bc − b 2  > 0
⇔ ( a + b − c)  c 2 + ab − a 2 + ba − b 2  > 0 ⇔ (a + b − c)  c 2 − a 2 + 2ba − b 2  > 0
⇔ ( a + b − c)  c 2 − (a 2 − 2ba + b 2 )  > 0 ⇔ (a + b − c )  c 2 − ( a − b )2  > 0
⇔ ( a + b − c)(c − a + b)(c + a − b) > 0
BĐT cuối đúng .Vì a;b;c là độ dài ba cạnh của tam giác ta có : a + b > c suy ra a + b –c >0 ;tương tự , ta có

c+b−a =c−a+b >0
và c + a –b >0 nhân với với vế ba bất đẳng thức nói trên ta có
→ đpcm
( a + b –c)( c–a+b) (c + a –b)>0 nên bất đẳng thức đầu đúng

Câu 2 : Giải phương trình

5x 2 + 4x − x 2 − 3x − 18 = 5 x

.

(Đề thi vào lớp 10 THPT Sở GD & ĐT Nam Định năm học 2017-2018 )
Điều kiện:

x≥6

Cách 1: Lời giải của thầy Nguyễn Minh Sang:

5x 2 + 4x − 5 x = x 2 − 3x − 18 ⇔ 5x 2 + 4x + 25x − 10x 5x + 4 = x 2 − 3x − 18
⇔ 6 ( 5x + 4 ) − 10x 5x + 4 + 4x 2 + 2x − 6 = 0

Đăng tải bởi baigiangtoanhoc.com

Page 2


Bí quyết chinh phục điểm 9 ,10 kỳ thi vào lớp 10 THPT

Đặt

5x + 4 = t

, phương trình trên trở thành:

6t 2 − 10xt + 4x 2 + 2x − 6 = 0 ; ∆ ' = 25x 2 − 6(4x 2 + 2x − 6) = (x − 6) 2 ≥ 0
 5x + x − 6
t = x − 1
t =
6

⇔  2x + 3
t =
 5x − x − 6
t
=
3


6


t = x − 1 ⇔ x − 1 = 5x + 4 ⇔ x 2 − 7x − 3 = 0 ⇔ x =
Với

t=
Với

Vậy

7 + 61

(do x ≥ 6)
2

2x + 3
⇔ 2x + 3 = 3 5x + 4 ⇔ 4x 2 − 33x − 27 = 0 ⇔ x = 9 (do x ≥ 6)
3

 7 + 61 
S=
;9 
 2


.

Cách 2: Lời giải của thầy Nguyễn Văn Thảo:
5 x 2 + 4 x − 5 x = x 2 − 3 x − 18 ⇔ 5 x 2 + 4 x = x 2 − 3 x − 18 + 5 x
⇔ 5 x 2 + 4 x = x 2 + 22 x − 18 + 10 x ( x 2 − 3 x − 18) ⇔ 2 x 2 − 9 x + 9 = 5 x( x − 6)( x + 3)
⇔ 2( x 2 − 6x) + 3( x + 3) = 5 ( x 2 − 6x)( x + 3)

Đặt:

a = x 2 − 6x

 b = x + 3

(a ≥ 0;b ≥ 3)

Đăng tải bởi baigiangtoanhoc.com

ta có phương trình:

Page 3


Bí quyết chinh phục điểm 9 ,10 kỳ thi vào lớp 10 THPT
 a=b
2a 2 + 3b 2 = 5ab ⇔ (a − b)(2a − 3b) = 0 ⇔ 
 2a = 3b

7 + 61
(TM )
 x=
2
2
1)a = b ⇔ x − 7x − 3 = 0 ⇔ 

7 − 61
( KTM )
x =

2
 x = 9(tm)
2
2)2a = 3b ⇔ 4x − 33x − 27 = 0 ⇔ 
 x = −3 ( ktm)

4

Vậy phương trình có tập nghiệm:


 7 + 61 

S = 9;

2 




.

Câu 3 :Cho a,b lần lượt là các số thực.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :P=

( x 2 − y 2 )(1 − x 2 y 2 )
(1 + x 2 )(1 + y 2 )

( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc )
P=

a,b ≥ 0
2

2

Đặt a = x ; b = y (

a, b ≥ 0
Vì

( a − b ) ( 1 − ab )
2
2
( 1+ a ) (1+ b)

) thì

.

(a − b)(1 − ab) = a − a 2 b − b + ab 2 ≤ a + ab 2 = a(1 + b 2 ) ≤ a(1 + 2b + b 2 ) = a(1 + b) 2
nên:

(1 + a) 2 = (1 − a) 2 + 4a ≥ 4a
Lại có

⇒P≤

a ( 1 + b)

2

4a ( 1 + b )

2

=

1
4

Dấu “=” xảy ra

Đăng tải bởi baigiangtoanhoc.com

a = 1
 x = ±1
⇔
⇔
b = 0
y = 0

Page 4

m axP =
Vậy

 x = ±1
1
⇔
4
y = 0


Bí quyết chinh phục điểm 9 ,10 kỳ thi vào lớp 10 THPT
1
1
2
+ 2
=
x + 1 y + 1 xy + 1

2

Câu 4 : Giả sử x, y là hai số thực phân biệt thỏa mãn

P=

. Tính giá trị biểu thức

1
1
2
+ 2
+
x + 1 y + 1 xy + 1
2

(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2017-2018 )

1
1
2
1
1
1
1
+ 2
=
⇔ 2
−
+ 2

−
=0
x + 1 y + 1 xy + 1
x + 1 xy + 1 y + 1 xy + 1
2

xy − y 2
xy − x 2
+ 2
= 0 ⇒ ( xy − y 2 ) ( y 2 + 1) + ( xy − x 2 ) ( x 2 + 1) = 0
2
( x + 1) ( xy + 1) ( y + 1) ( xy + 1)
⇔ ( x − y)

2

( xy − 1) = 0 ⇔ xy = 1 (vi

x ≠ y) ⇒ S = 2

x1 , x2 , x3 ,...., x9
Câu 5: Các số thực không âm

 x1 + x2 + x3 + .... + x9 = 10

 x1 + 2 x2 + 3 x3 + .... + 9 x9 = 18

thỏa mãn

1.19 x1 + 2.18 x2 + 3.17 x3 + .... + 9.11x9 ≥ 270

Chứng minh rằng :

.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2017-2018 )

9 ( x1 + x2 + x3 + ... + x9 ) = 90
9 ( x1 + x2 + x3 + ... + x9 ) = 90
⇒ 19 x1 + 29 x2 + 39 x3 + ... + 99 x9 = 270

10 ( x1 + 2 x2 + 3 x3 + ... + 9 x9 ) = 180
Mat khac
1.19 x1 + 2.18 x2 + 3.17 x3 + ... + 9.11x9 =

(19 x1 + 29 x2 + 39 x3 + ... + 99 x9 ) + ( 7 x2 + 12 x3 + 15 x4 ... + 7 x8 ) = 270 + ( 7 x2 + 12 x3 + 15 x4 ... + 7 x8 ) ≥ 270
 x1 = 9

Dau " = " xay ra ⇔  x9 = 1
 x = x = ... = x = 0
3
8
 2

Đăng tải bởi baigiangtoanhoc.com

Page 5


Bí quyết chinh phục điểm 9 ,10 kỳ thi vào lớp 10 THPT

(x

2

+ 2 x ) + 4 ( x + 1) − x 2 + ( x + 1) + ( x 2 + x ) = 2017
2

2

2

2

Câu 6 : Giải phương trình

∀x ∈ R

ĐKXĐ

(x

2

+ 2 x ) + 4 ( x + 1) − x 2 + ( x + 1) + ( x 2 + x ) = 2017
2

2

2

2

⇔ x 4 + 2 x3 + 4 x 2 + 4 x 2 + 8 x + 8 − x 2 + x 2 + 2 x + 1 + x 4 + 2 x 3 + x 2 = 2017
⇔

(x

2

+ 2x + 2) −
2

(x

2

+ x + 1) = 2017 ⇔ x 2 + 2 x + 2 − x 2 − x − 1 = 2017 ⇔ x = 2016
2

(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2017-2018 )
Câu 7 :Cho các số dương a,b,c,d . Chứng minh rằng trong 4 số

a2 +

1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1
+ ;b + + ;c + + ;d + +
b c
c d
d a
a b

Có ít nhất một số không nhỏ hơn 3.
Hướng dẫn :

P = a2 +
Giả sử cả bốn số đều nhỏ hơn 3 thì

1 1
1 1
1 1
1 1
+ + b2 + + + c2 + + + d 2 + + < 3
b c
c d
d a
a b

.Mặt khác

1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
P = a 2 + + + b2 + + + c2 + + + d 2 + + = a 2 + b2 + c2 + d 2 + 2  + + + ÷
b c
c d
d a
a b
a b c d 
1 1 1

4
2 1
Do 4 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) ≥ ( a + b + c + d ) ; + + + ≥
⇒
a b c d a+b+c+d

( a+b+c+d)
P≥
4

2

( a + b + c + d ) . 16
16
16
16
+
+
≥ 33
.
= 12
a+b+c+d a+b+c+d
4
a+b+c+d a+b+c+d
2

Trái điều giả sử suy ra có ít nhất một số không nhỏ hơn 3.

(x

2

− x + 1) ( x 2 + 4x + 1) = 6x 2

Câu 8 :Giải phương trình:
Đặt y = x2 + 1, phương trình trở thành:

( y − x ) ( y + 4x ) = 6x 2 ⇔ y 2 + 3xy − 4x 2 = 6x 2
⇔ y 2 + 3xy − 10x 2 = 0 ⇔ ( y − 2x ) ( y + 5x ) = 0
 y = 2x
⇔
 y = −5x

Đăng tải bởi baigiangtoanhoc.com

Page 6


Bí quyết chinh phục điểm 9 ,10 kỳ thi vào lớp 10 THPT
x 2 + 1 = 2x ⇔ x 2 − 2x + 1 = 0 ⇔ ( x − 1) = 0 ⇔ x = 1
2

Với y = 2x thì

−5 ± 21
2

x 2 + 1 = −5x ⇔ x 2 + 5x + 1 = 0 ⇔ x =
Với y = – 5x thì

Vậy tập nghiệm của phương trình là

 −5 ± 21 
S = 1;

2



(Đề thi vào lớp 10 THPT Sở GD &ĐT Bắc Ninh năm học 2017-2018 )
Câu 9 : Cho 4 số thực dương x, y, z, t thỏa mãn x + y + z + t = 2.

A=

( x + y + z) ( x + y)
xyzt

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.
(Đề thi vào lớp 10 THPT Sở GD & ĐT Bắc Ninh năm học 2017-2018 )
Câu 10 : Cho x,y là các số thực dương nhỏ hơn 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
xy (1 − x − y )
( x + y )(1 − x )(1 − y )
Q=
(Đề thi vào lớp 10 THPT Chuyên Sở GD & ĐT Tây Ninh )

( x3 − 4 ) =
3

Câu 11 : Giải phương trình :

(

3

( x 2 + 4) 2 + 4

)

2

.

(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Sở GD & ĐT Phú Thọ năm học 2017 -2018 )
1
1
1
+
+
= 2017
x+ y y+z x+z

x, y , z
Câu 12 : Cho
P=

là các số dương thay đổi thỏa mãn :

.Tìm giá trị lớn nhất của

1
1
1
+
+
2 x + 3 y + 3 z 3x + 2 y + 3 z 3 x + 3 y + 2 z

biểu thức :

.
( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Sở GD & ĐT Thanh Hóa năm học 2017-2018 )
Hướng dẫn :
1 1 1 1
( x + y + z + t )( + + + ) > 16
x y z t

Áp dụng bất đẳng thức phụ:

hay

(với x,y,z,t >0 )

Đăng tải bởi baigiangtoanhoc.com

1
1 1 1 1 1
≤ ( + + + )
x + y + z + t 16 x y z t

Page 7


Bí quyết chinh phục điểm 9 ,10 kỳ thi vào lớp 10 THPT

Câu 13 :Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn :
P=

1
1
1
1
 1
 1
7. 2 + 2 + 2  = 6. +
+  + 2016.
b
c 
a
 ab bc ca 

1
3(2a + b )
2

2

+

1

3(2b + c )
2

2

+

1
3(2c 2 + a 2 )

Tìm giá trị lớn nhất của
(1 − a ) 3 + (1 − b) 3 + (1 − c ) 3 ≤
Câu 14 : Cho 3 số thực a,b,c không âm thỏa mãn a +b +c =3. Chứng minh rằng

x + y + z ≤ 1.
Câu 15 : Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn :
x2 +

1
1
1
+ y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82.
2
y
z
x

xyz ≤ 1
Câu 16 :Cho các số thực x,y,z thỏa mãn :

.

Chứng minh rằng :

Đăng tải bởi baigiangtoanhoc.com

Page 8

Chứng minh rằng :

3
4

.