ĐỀ THI ĐẠI SỐ | Studyvn.Com | Tìm nhanh công thức, phương pháp giải bài tập DE THI DAI SO

Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM

Khoa Khoa học Cơ bản
Bộ môn Toán

ĐỀ THI MÔN: ĐẠI SỐ
Mã môn học: MATH141401 -Đề thi gồm 02 trang
Thời gian : 90 phút
Được sử dụng tài liệu

SINH VIÊN ĐƯỢC PHÉP CHỌN TÙY Ý CÁC CÂU HỎI SAU ĐÂY
ĐỂ LÀM BÀI VÀ CHỈ CẦN LÀM ĐỦ 1O ĐIỂM
Câu 1 (2 điểm) Cho A   , B   là hai tập hợp hữu hạn. Chứng minh :
a) Nếu ánh xạ f : A  B đơn ánh thì A  B . Khi nào dấu “=” xảy ra?
b) Nếu ánh xạ f : A  B toàn ánh thì B  A . Khi nào dấu “=” xảy ra?
c) Trong cuộc sống hàng ngày, chắc bạn đã và đang quen dần với các mã số như : Mã số sinh
viên, mã số công chức, mã số thuế, mã số doanh nghiệp hay công ty, mã số sách trong các
thư viện hoặc nhà sách, mã hàng hóa trong siêu thị, số điện thoại, số chứng minh nhân dân,
số xe, mã ASCII, địa chỉ email, địa chỉ IP, …. Tại sao khi mã hóa thì quy tắc mã hóa phải
là một đơn ánh từ tập các phần tử hay đối tượng cần mã hóa vào tập các mã được sử
dụng?

Câu 2 (1,5 điểm) (P= plaintext = bản r

, C = ciphertext = bản m )

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z
 
  # y  x b * $ % f g )  j k  m   p q @  t 

Gọi  là tập gồm 26 chữ cái tiếng Anh, ’ là tập tất cả các ký tự ở hàng dưới. Xét ánh

xạ f :   ’ xác định bằng cách biến mỗi ký tự hàng trên thành một ký tự tương ứng
theo thứ tự đó hàng dưới.
a) Chứng minh f là một song ánh.
b) Biết bản tin và bản mã đều được mã hóa dựa vào song ánh f .
Viết bản mã C của thông điệp P  attack at midnight;
viết bản rõ P’ của bản mã C’ =  *  #$  # jx #jy+   y # mtkjbmk * t
Câu 3 (2 điểm) Ma trận Ar* = aij* mn  M n() gọi là ma trận rút gọn bậc thang tối giản
nếu nó thỏa đồng thời bốn tính chất sau:
(i) Trên các hàng khác zêro (hàng mà có ít nhất một phần tử khác 0), phần tử khác 0 đầu tiên là số 1.
(ii) Trên cột có số 1 nói ở (i), các phần tử còn lại đều bằng 0.
(iii) Nếu phần tử khác 0 đầu tiên của hàng 1, 2, …, k có chỉ số cột là j1 , j 2 ,..., j k thì
j1  j 2  ...  j k . (Tức là, các số khác 0 đầu tiên trên mỗi hàng xếp theo thứ tự bậc thang từ trên xuống
dưới và từ trái sang phải)

(iv) Các hàng zêro (nếu có) ở phía dưới các hàng khác zêro(hàng zêro là hàng mà tất cả các phần tử đều bằng
0).
Trình bày thuật toán áp dụng các phép biến đổi sơ cấp hàng để đưa ma trận
A = [aij]mxnMn() về ma trận rút gọn bậc thang tối giản Ar* .


4
Câu 4 (2 điểm) Trong không gian  với tích vô hướng Euclide cho hai tập con

A =  u1 = (1;1;-1;0), u2 = (2; 2;1;3), B = v1 = (1;0;1;-1) ; v2 = (2;-1;1;-1)
a) Tìm x, y, z , t   sao cho x.u1  y.u 2  z.v1  t.v 2  (0; 7; -2; 9)
b) Chứng minh tập A trực giao với tập B.
c) Đặt U = <A>, W =<B>. Tìm véctơ u U và véctơ v W sao cho u + v = (0; 7; -2; 9)
và u trực giao với v.
Câu 5 (2,5 điểm) Cho toán tử tuyến tính f : 2  2 có ma trận đối với cơ sở

B = (1;0), (0;1) là :

 f B

7 1
 = A
1 7

= 

a) Chéo hóa trực giao ma trận A và tính An với n  .
b) Tìm một cơ sở trực chuẩn E của 2 sao cho ma trận của f đối với cơ sở E là ma
trận chéo và viết ma trận chéo đó.
c) Nhận dạng và vẽ đường bậc hai có phương trình trong mặt phẳng 0 xy là
7 x 2  7 y 2  2 xy  24 .
Câu 6 (2 điểm) Trong không gian C() các hàm số thực liên tục trên , cho tích vô
hướng

2

< f(x), g(x) > =

 f ( x).g ( x)dx ; với f(x), g(x)  C()


2

a) Xét tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của tập B = cosx, sinx, x.
b) Tìm một cơ sở trực giao của không gian W = < B > = < cosx, sinx, x >.
Câu 7 (2 điểm)

a) Hãy xác định tham số m để dạng toàn phương sau đây xác định dương

f(x1, x2, x3) = 7 x12  7 x 22  mx32  2 x1 x 2  2 x1 x3  2 x 2 x3
b) Một bản tin hai bit nhị phân ab được mã hóa thành abababc , với c là bit kiểm tra thỏa
a  b  c  0 (ví dụ 01 mã hóa thành 0101011). Viết các bản tin gốc tương ứng của các bản mã nhận
được: 0000000 , 1010101 , 1111000, 0101101

Câu 8 (2 điểm) Cho p là số nguyên tố và tập Zp =  0 , 1 , ……., ( p  1)  - tập tất cả các
lớp tương đương của quan hệ đồng dư modulo p.
a) Trên tập Zp, ta định nghĩa phép toán cộng “+” như sau : x, y  Z p , x + y = x  y .
Chứng minh (Zp , +) là một nhóm Abel với phần tử trung hòa là 0 .
b) Z*p = Zp \ 0 , trong tập Z*p ta định nghĩa phép toán nhân “.” như sau :


x, y  Z*p , x . y = x.y

Chứng minh ( Z*p , .) là một nhóm Abel với phần tử trung hòa là 1 .
c) Chứng minh (Zp , +, .) là một trường.

………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………..
 Ghi chú : Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi.
Ngày 16 tháng 1 năm 2013
Bộ môn Toán
Ngô Hữu Tâm