ĐỀ THI ĐẠI SỐ | Studyvn.Com | Tìm nhanh công thức, phương pháp giải bài tập DE THI DAI SO

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN TOÁN

ĐỀ THI MÔN: ĐẠI SỐ
Mã môn học: MATH 141401
Ngày thi: 30/12/2014. Thời gian làm bài: 90 phút
Sinh viên được sử dụng tài liệu

Chú ý: Đề thi có 14 ý, mỗi ý 1 điểm. Sinh viên chỉ được chọn 10 ý để làm bài.
2
3
 1
 4 
 x
Câu 1: Cho các ma trận A  3m  1
1
0 , B  m  2 , X   y  .




 
m  9 9 
 m
 14 
 z 
a/ (1điểm) Tìm m để hệ phương trình tuyến tính A. X  B có vô số nghiệm.

b/ (1điểm) Với m  3 , tính det  5.A2014  .

Câu 2: Cho B  u1   0, 2, 1 ; u2  1,1 , 0  ; u3  1, 0,  1 là m t cơ s c a

3

và

E  v1  2 x, v2   x 2  1, v3  x 2  x  1 là m t cơ s c a P2  x  . Cho ánh xạ tuyến tính f :

3

 P2  x 

được xác định b i f  a, b, c    a  2b . x 2   b  c  . x   a  b  c  .
a/ (1điểm) Tìm m t cơ s và số chiều c a Im f .
b/ (1điểm) Tìm ma trận c a ánh xạ tuyến tính f đối với cặp cơ s B, E .
1

c/ (1điểm) Trong P2  x  cho tích vô hướng u, v   u  x  .v  x  dx . Hãy trực giao cơ s E.
1

 5 3 0 
 x1 


Câu 3: Cho ma trận A  3 5 0 và X   x2  .


 
 0 0 4 
 x3 

a/ (1điểm) Tìm tất cả các giá trị riêng và vectơ riêng c a ma trận A.
b/ (1điểm) Đưa ạng toàn phương f  x1, x2 , x3   5x12  5x22  4 x32  6 x1 x2 về ạng chính t c b ng ph p biến

đ i trực giao.
c/ (1điểm) Đưa ạng toàn phương g  x1, x2 , x3   X T A2014 X về ạng chính t c b ng ph p biến đ i trực giao.
Câu 4: Cho ánh xạ g :
với

 G xác định b i g  k   3k  3, k  ,

là tập số nguyên và tập G  n  3k : k 

.

a/ (1điểm) Chứng minh quy t c n  k : n  k  3 (với mọi n, k  G ) là m t ph p toán hai ngôi trên G .
b/ (1điểm) Chứng minh G cùng với ph p toán  là m t nhóm Abel (nhóm Abel là nhóm giao hoán).
c/ (1điểm) Chứng minh ánh xạ g là m t song ánh.
d/ (1điểm) Chứng minh g là m t đồng cấu từ nhóm



,   (nhóm các số nguyên

với phép cộng các số

nguyên) vào nhóm  G,  . Từ đó suy ra g :  ,     G,  là m t đẳng cấu nhóm.
Câu 5: Ma trận vuông A được gọi là ma trận lũy đẳng nếu A2  A .
0 1
a/ (1điểm) Chứng tỏ r ng A  
 là ma trận lũy đẳng. Ma trận A có khả nghịch không?

0 1
b/ (1điểm) Chứng minh r ng nếu A, B  M n 



là các ma trận lũy đẳng và AB  BA thì AB cũng là ma

trận lũy đẳng.
CBCT không giải thích đề thi.

Ngày

tháng
năm
B môn Toán