Dap an de thi Toan minh hoa THPT quoc gia 2015 so 1

Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: Lyhung95

ĐỀ THI MINH HỌA CHUẨN KÌ THI THPT QUỐC GIA 2015
[Môn Toán – Lần 01]
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Biên soạn: Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
2x
x −1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị và đường thẳng d : y = 8 − 2 x.

Câu 1 (2,0 điểm). Hàm số y =

Lời giải:
a) Các em học sinh tự làm.
b) Hoành độ giao điểm của d và ( C ) là nghiệm của phương trình
8 − 2x =

 x ≠ 1
x ≠ 1
2x
 x ≠ 1
⇔
⇔
⇔
⇔ x = 2 ⇒ y = 4.

2

2
x −1
−2 ( x − 2 ) = 0
 −2 x + 8 x − 8 = 0
( x − 1)( 8 − 2 x ) = 2 x

Viết phương trình tiếp tuyến ∆ với ( C ) tại điểm A ( 2; 4 ) .
Ta có y ' = −

2

( x − 1)

2

⇒ y ' ( 2 ) = −2.

Phương trình ∆ có dạng ∆ : y = y ' ( 2 ) . ( x − 2 ) + 4 ⇔ y = −2 ( x − 2 ) + 4 ⇔ y = −2 x + 8.

Đ/s: ∆ : y = −2 x + 8.
Câu 2 (1,0 điểm).
2
π
 3π 

a) Cho góc α ∈  π;  thỏa mãn cos α = −
. Tính giá trị biểu thức P = 3 sin  α −  .
3
5
 2 



b) Cho số phức z thỏa mãn 2 ( 2 z − 1) = 3 z + ( i − 1)( 2 + 3i ) . Tính mô-đun của số phức w = z 2 + 1
Lời giải:


4
1
2
1
sin α = ± 1 − cos α = ± 1 − = ±
a) Ta có 
5
5 ⇒ sin α = −
5
sin α < 0

1

π
3
3  2  3  1  −2 15 + 3 5

Khi đó, P = 3 sin  α −  = 3  cos α −
sin α  =
−
 − . −
=
3
2

10
5 2 
5

2
 2 

b) Ta có 2 ( 2 z − 1) = 3 z + ( i − 1)( 2 + 3i ) ⇔ 2 ( 2 z − 1) = 3 z + ( −5 − i ) ⇔ 4 z − 3 z = −3 − i
 a = −3
1

Gọi z = a + bi ⇒ 4 ( a + bi ) − 3 ( a − bi ) = −3 − i ⇒ 
1 ⇒ z = −3 − i
7
b = − 7
2

2

i
489 6

 489  36
+ i⇒ w = 

→ số quá to!
Khi đó, w = z + 1 =  −3 −  + 1 =
 +
7
49 7


 49  49
2

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT quốc gia 2015!


Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: Lyhung95

Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình log 4 ( x + 3) − log 2 x − 1 = 2 − 3log 4 2.
Lời giải:
Điều kiện: x > 1
1
1
1
log 2 ( x + 3) − log 2 ( x − 1) = 2 − log 2 8
2
2
2
x+3
⇔ log 2 ( x + 3) − log 2 ( x − 1) = 4 − log 2 8 ⇔ log 2
= log 2 2
x −1
x+3
⇔
= 2 ⇔ x + 3 = 2 x − 2 ⇔ x = 5 (thỏa mãn điều kiện)
x −1
Vậy phương trình có nghiệm là x = 5 .

Phương trình đã cho ⇔

Câu 4 (1,0 điểm). Giải bất phương trình 10 x 2 − 50 x − 3 ≥ 2 x 2 − 5 x + 2 − 3 x − 5.
Lời giải:

10 x 2 − 50 x − 3 ≥ 0

25 + 745
Điều kiện 2 x 2 − 5 x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥
.
10
x ≥ 5

2 x 2 − 14 x + 47
Nhận xét 2 x 2 − 5 x + 2 − 3 x − 5 =
>0.
2 x2 − 5x + 2 + 3 x − 5
Bất phương trình đã cho tương đương với
10 x 2 − 50 x − 3 ≥ 2 x 2 − 5 x + 2 + 9 x − 45 − 6
⇔ 4 x 2 − 27 x + 20 + 3

( 2 x − 1)( x − 5 ).

( 2 x − 1)( x − 2 )( x − 5 )

x−2 ≥0

⇔ 2 ( 2 x 2 − 11x + 5 ) − 5 ( x − 2 ) + 3 2 x 2 − 11x + 5. x − 2 ≥ 0
Đặt

2 x 2 − 11x + 5 = a; x − 2 = b, ( a > 0; b > 0 ) ta thu được

2a 2 − 5b 2 + 3ab ≥ 0 ⇔ ( a − b )( 2a + 5b ) ≥ 0 ⇔ a ≥ b

⇔ 2 x 2 − 11x + 5 ≥ x − 2 ⇔ 2 x 2 − 12 x + 7 ≥ 0 ⇔ x ≥

6 + 22
6 − 22
;x ≤
2
2



22
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm S = 3 +
; +∞  .
2


2

Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân I = ∫ x (1 − 2 x ) dx
3

0

Lời giải :
Đặt 1 − 2 x = t ⇒ x =

Do đó I = −

Đ/s: I = −

1− t
1
⇒ dx = − dt. Khi x = 0 ⇒ t = 1; x = 2 ⇒ t = −3.
2
2

−3
1
1 1− t 3
1
1  t4 t5  1
86
3
4
.
t
dt
=
t
−
t
dt
=
=− .
(
)

 − 
∫
∫
21 2
4 −3
4  4 5  −3
5

86
.
5

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2a và ACB = 600 . Hình
chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm G của tam giác ABC. Tính thể tích khối chóp
S.ABC và khoảng cách từ B đến (SAC) theo a, biết góc giữa SC và (ABC) bằng 600.
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT quốc gia 2015!


Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: Lyhung95

Lời giải :
2a
4a
⇒ AC =
.
Ta có BC tan ACB = AB ⇒ BC =
3
3

2
Gọi K là trung điểm của AB ta có GC = CK
3
2

2
2a 7
1

=
BC 2 +  AB  =
3
3 3
2

Khi đó SG = GC tan 600 =

2a 7
.
3

1
4a 3
Vậy VS . ABC = .SG.S ABC =
3
3

7
3

Dễ thấy d ( B; ( SAC ) ) = 3d ( G; ( SAC ) ) .

Dựng GE ⊥ AC , dựng GH ⊥ SE ⇒ d ( G; ( SAC ) ) = GH
1
1
1
1
1
1
+
⇒ h = 1 ⇒ GE =
Lại có GE = d ( G; AC ) = h trong đó 2 =
2
2
3
3
h
AB
AC
3
Ta có

1
1
1
2a 7
7
=
+
⇒ GH =

⇒ d ( B; ( SAC ) ) = 2a
2
2
2
GH
GE
SG
3 29
29

Vậy V =

4a 3
3

7
7
; d = 2a
.
3
29

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, đỉnh B ( −5; 2 ) và
phương trình cạnh AC : x − y − 1 = 0 . Trên tia BC lấy điểm M sao cho BM .BC = 48 . Tìm tọa độ điểm C biết
rằng tam giác AMC có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 10.

Lời giải :
Giả sử E là giao điểm của AB và đường tròn ( C ) ngoại tiếp tam giác AMC.
Khi đó ta có CE là đường kính vì EAC = 900 .
Tứ giác AEMC là tứ giác nội tiếp nên EMC = 900

Theo phương tích ta có: BM .BC = BE.BA = 48
BM AB
Hoặc ta có cos ABE =
=
⇒ BC.BM = BA.BE = 48
BE BC
Phương trình AB là: x + y + 3 = 0 ⇒ A = AB ∩ AC ⇒ A ( −1; −2 )
Khi đó AB = 4 2 ⇒ BE = 6 2 . Ta có: BE =

3
BA ⇒ E (1; −4 )
2

t = −3 ⇒ C ( −3; −4 )
2
2
Gọi C ( t ; t − 1) ta có: CE = 2 R = 2 10 ⇔ ( t − 1) + ( t + 3 ) = 40 ⇔ 
t = 5 ⇒ C ( 5; 4 )
Vậy C ( −3; −4 ) ; C ( 5; 4 ) là các điểm cần tìm.

Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm I (1;3; −2 ) và mặt phẳng
( P ) : x + 2 y − 2 z + 1 = 0 . Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu tâm I bán kính bằng 5 ; tìm tọa độ tâm
và bán kính đường tròn giao tuyến.

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT quốc gia 2015!


Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: Lyhung95

Lời giải :
Ta có : d ( I ; ( P ) ) =

12
= 4 < 5 do đó mặt phẳng (P) cắt mặt cầu tâm I đã cho.
1+ 4 + 4
Gọi K là tâm đường tròn giao tuyến khi đó K là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P)

x = 1+ t

Phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với (P) là d :  y = 3 + 2t .

 z = −2 − 2t
Gọi K (1 + t ;3 + 2t ; −2 − 2t ) ∈ d
4
 1 1 2
Mặt khác, K ∈ ( P ) ta có: 1 + t + 6 + 4t + 4 + 4t + 1 = 0 ⇔ t = − ⇒ K  − ; ; 
3
 3 3 3
Khi đó r = R 2 − d 2 ( K ; ( P ) ) = 52 − 42 = 3
 1 1 2
Vậy K  − ; ;  ; r = 3
 3 3 3

Câu 9 (0,5 điểm). Trong một buổi Offline của một nhóm bạn trẻ quen biết nhau qua mạng từ trước đó gồm 8
bạn là Nam, Hồng, Thủy, Thảo, Huyền, Trang, Tuấn, Đức. Sau khi ăn uống họ chia làm 2 nhóm, mỗi nhóm
4 người để chơi trò xếp hình. Tính xác suất để hai bạn Thảo và Tuấn ở cùng một nhóm với nhau.
Lời giải :
Số cách chia 8 bạn thành 2 nhóm là : C .C = 70

4
8

4
4

Chọn 2 bạn vào 1 trong 2 nhóm có 2 cách chọn.
Chọn 2 bạn vào nhóm có 2 bạn có C62 cách chọn
Vậy số cách chọn để 2 bạn cùng nhóm là : 2.C62 = 30
Vậy xác suất để 2 bạn cùng nhóm là: P =

30 3
= .
70 7

Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn xz + yz + 1 = xy.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =

2x
2y
z2 −1
+
+
.
x2 + 1 y2 + 1 z 2 + 1
Lời giải :

Cách 1.
Bài ra xz + yz + 1 = xy ⇒

Ta có P =

2
x
1+

1
x2

+

2
y
1+

1
y2

z z 1
1
1
+ +
= 1. Đặt = a > 0;
= b > 0; z = c ≥ 0 ⇒ ab + bc + ca = 1.
y x xy
x
y

+

z2 −1
2a
2b
c2 −1
2a
2b
2
=
+
+
= 2
+ 2
− 2
+ 1.
2
2
2
2
z +1 a +1 b +1 c +1 a +1 b +1 c +1

Với ab + bc + ca = 1 ⇒ a 2 + 1 = a 2 + ab + bc + ca = ( a + b )( a + c ) .
Tương tự b 2 + 1 = ( b + a )( b + c ) ; 1 + c 2 = ( c + a )( c + b ) .

⇒ ( a + b )( b + c )( c + a ) =

(1 + a )(1 + b )(1 + c )
2

2

2

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT quốc gia 2015!


Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Khi đó
=

Facebook: Lyhung95

a (b + c ) + b ( c + a )
a
b
a
b
+
=
+
=
2
2
1+ a 1+ b
( a + b )( a + c ) ( b + a )( b + c ) ( a + b )( b + c )( c + a )

1 + ab
=
( a + b )( b + c )( a + c )
2

Do đó P ≤

c +1
2

−

1.1 + a.b

(1 + a 2 )(1 + b2 )(1 + c2 )

≤

1 + a 2 . 1 + b2

(1 + a 2 )(1 + b2 )(1 + c2 )

=

1
1 + c2

.

2
1
1
+ 1. Đặt t =
≤
= 1 ⇒ t ∈ [ 0;1] và P ≤ 2t − 2t 2 + 1.

2
c +1
0 +1
c +1
2

t ∈ ( 0;1)
1
t ∈ ( 0;1)
Xét hàm số f ( t ) = 2t − 2t 2 + 1 với t ∈ [ 0;1] có f ' ( t ) = 2 − 4t ; 
⇔
⇔ .
2
2 − 4t = 0
 f ' ( t ) = 0
1 3
Mặt khác f ( t ) liên tục trên đoạn [ 0;1] và f ( 0 ) = f (1) = 1; f   =
2 2
3
1 3
⇒ max f ( t ) = f   = ⇒ Pmax = .
2
2 2
[0;1]

3
Đ/s: Pmax = .
2
a (b + c ) + b ( c + a )
2 − c (a + b)

a
b
+ 2
=
=
a + 1 b + 1 ( a + b )( b + c )( c + a ) ( a + b ) ( c 2 + ab + bc + ca )

Cách 2. Làm như trên ta có được
=

2 − c (a + b)

( a + b) (c

Mặt khác

2

+ 1)

=

2

( a + b) (c

2

+ 1)

−

2

c
c +1

(1)

2

1
1
1
2
2
2
( a + b ) − ab = ( a − b ) ≥ 0 ⇒ ab ≤ ( a + b )
4
4
4

⇒ 1 = c ( a + b ) + ab ≤ c ( a + b ) +

1
2
2
( a + b ) ⇒ ( a + b ) + 4c ( a + b ) ≥ 4
4

⇒ ( a + b + 2c ) ≥ 4 ( c 2 + 1) ⇒ a + b + 2c ≥ 2 c 2 + 1 ⇒ a + b ≥ 2
2

⇒ a+b ≥

2 ( c2 + 1 − c2 )
c2 + 1 + c

Kết hợp với (1) ⇒

=

2
c + c2 + 1

>0⇒

2

( a + b ) ( c 2 + 1)

−

(

c2 + 1 − c

)

c

c + c2 + 1
c
1
≤
− 2
=
.
2
2
c +1
c +1
c +1
c2 + 1

a
b
1
+ 2
≤
. Đến đây ta làm tương tự như trên.
a +1 b +1
c2 + 1
2

Nếu các em cần ôn tập thêm các mảng kiến thức khó như hình phẳng, hệ pt, bất phương trình thì có thể tham
khảo một số khóa học để nâng cao kĩ năng giải toán hơn nữa tại Moon.vn

STT

Tên khóa học

Số bài giảng

Học phí

1

Khóa Tổng ôn kiến thức 2015

59 bài giảng

400.000 đồng

2

Khóa Luyện giải đề thi trước kì thi THPTQG 2015

52 đề thi

300.000 đồng

3

Khóa Rèn kĩ năng giải hệ pt và hình phẳng Oxy

15 bài giảng

150.000 đồng

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT quốc gia 2015!